मान लीजिए P और Q एक दीर्घवृत्त की नाभियाँ हैं | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।नाभियाँ $P = (-ae, 0)$ और $Q = (ae, 0)$ हैं।लघु अक्ष का

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$\frac{1}{2}$

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(A) मान लीजिए दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।नाभियाँ $P = (-ae, 0)$ और $Q = (ae, 0)$ हैं।लघु अक्ष का सिरा $R = (0, b)$ है।चूँकि $	riangle PQR$ एक समबाहु त्रिभुज है,इसलिए $PQ = PR = QR$ है।$PQ = 2ae$ है।$PR = \sqrt{(ae - 0)^2 + (0 - b)^2} = \sqrt{a^2e^2 + b^2}$ है।$PQ^2 = PR^2$ रखने पर,$(2ae)^2 = a^2e^2 + b^2$ प्राप्त होता है।$4a^2e^2 = a^2e^2 + b^2 \implies 3a^2e^2 = b^2$ है।संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर,$3a^2e^2 = a^2(1 - e^2)$ प्राप्त होता है।$3e^2 = 1 - e^2 \implies 4e^2 = 1 \implies e^2 = \frac{1}{4}$ है।अतः,$e = \frac{1}{2}$ है।

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