फलन f: R rightarrow R जो f(x)=frac{x}{sqrt{1+ | vedclass

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Question

(C) एकैकी (injective) की जाँच करने के लिए,मान लीजिए $x_1, x_2 \in R$ के लिए $f(x_1) = f(x_2)$.$\frac{x_1}{\sqrt{1+x_1^2}} = \frac{x_2}{\sqrt{1+x_2^2}}

Vedclass · Accepted Answer

एकैकी (injective) है लेकिन आच्छादक नहीं

Vedclass · Answer

(C) एकैकी (injective) की जाँच करने के लिए,मान लीजिए $x_1, x_2 \in R$ के लिए $f(x_1) = f(x_2)$.$\frac{x_1}{\sqrt{1+x_1^2}} = \frac{x_2}{\sqrt{1+x_2^2}}$दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:$\frac{x_1^2}{1+x_1^2} = \frac{x_2^2}{1+x_2^2}$$x_1^2(1+x_2^2) = x_2^2(1+x_1^2)$$x_1^2 + x_1^2x_2^2 = x_2^2 + x_1^2x_2^2$$x_1^2 = x_2^2$चूँकि $f'(x) = \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} > 0$ सभी $x \in R$ के लिए,फलन निरंतर वर्धमान है।इसलिए,$f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$. अतः,$f$ एकैकी है।आच्छादक (surjective) की जाँच करने के लिए,मान लीजिए $y = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$.चूँकि $x^2 अतः,फलन का परिसर $(-1, 1)$ है,जो सह-प्रांत $R$ के बराबर नहीं है।इसलिए,$f$ आच्छादक नहीं है।अतः,फलन एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।

फलन $f: R \rightarrow R$ जो $f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ द्वारा परिभाषित है,वह है

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