WBJEE 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) माना $f(x) = x^2+px-q^2$ है।
चूँकि $x^2$ का गुणांक $1 > 0$ है,इसलिए परवलय ऊपर की ओर खुलता है।
यह दिया गया है कि एक मूल $\alpha < 2$ है और दूसरा मूल $\beta > 2$ है,इसलिए $x=2$ पर फलन का मान ऋणात्मक होना चाहिए,अर्थात $f(2) < 0$।
द्विघात व्यंजक में $x=2$ रखने पर:
$f(2) = (2)^2 + p(2) - q^2 < 0$
$4 + 2p - q^2 < 0$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) एक वर्ग $ABCD$ में,जहाँ शीर्ष $z_1, z_2, z_3, z_4$ वामावर्त क्रम में हैं,सदिश $\vec{BC}$ को सदिश $\vec{BA}$ को $90^\circ$ वामावर्त दिशा में घुमाकर प्राप्त किया जाता है।
अतः,$\frac{z_3-z_2}{z_1-z_2} = i$ प्राप्त होता है।
इससे $z_3-z_2 = i(z_1-z_2)$ मिलता है।
सरल करने पर $z_3 = i z_1 + (1-i) z_2$ प्राप्त होता है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही विकल्प $D$ है।

(C) माना $a = \alpha + i\beta$ और $z = x + iy$ है।
दिया गया समीकरण $\bar{a}z + a\bar{z} = 0$ है।
मान रखने पर,$(\alpha - i\beta)(x + iy) + (\alpha + i\beta)(x - iy) = 0$ प्राप्त होता है।
विस्तार करने पर,$2(\alpha x + \beta y) = 0$ अर्थात $\alpha x + \beta y = 0$ प्राप्त होता है।
यह मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा है जिसका ढाल $m_1 = -\frac{\alpha}{\beta}$ है।
वास्तविक अक्ष ($x$-अक्ष) में प्रतिबिंब लेने पर,नया ढाल $m_2 = -m_1 = \frac{\alpha}{\beta}$ हो जाता है।
प्रतिबिंबित रेखा का समीकरण $\alpha x - \beta y = 0$ है।
$x = \frac{z+\bar{z}}{2}$ और $y = \frac{z-\bar{z}}{2i}$ रखने पर,$\alpha(\frac{z+\bar{z}}{2}) - \beta(\frac{z-\bar{z}}{2i}) = 0$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर,$(\alpha + i\beta)z + (\alpha - i\beta)\bar{z} = 0$ अर्थात $az + \bar{a}\bar{z} = 0$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है: $\left|\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2}\right|=1$
अंश और हर को $z_2$ से विभाजित करने पर ($z_2 \neq 0$ मानते हुए),हमें प्राप्त होता है:
$\left|\frac{z_1/z_2 + 1}{z_1/z_2 - 1}\right| = 1$
माना $w = \frac{z_1}{z_2}$. तब $|w+1| = |w-1|$.
यह समीकरण उन बिंदुओं $w$ का बिंदुपथ दर्शाता है जो सम्मिश्र तल में $-1$ और $1$ से समान दूरी पर हैं।
दो बिंदुओं से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का समूह उन्हें जोड़ने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक होता है।
बिंदु वास्तविक अक्ष पर $(-1, 0)$ और $(1, 0)$ हैं। इन बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक काल्पनिक अक्ष है।
इसलिए,$w = \frac{z_1}{z_2}$ शुद्ध काल्पनिक होना चाहिए (अर्थात,इसका वास्तविक भाग $0$ है)।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) तीन रिंग्स के लिए कुल संभावित संयोजनों की संख्या $15^3 = 3375$ है।
लॉक खोलने के लिए केवल $1$ ही सही संयोजन है।
अतः,असफल प्रयासों की संख्या $N = 15^3 - 1$ है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ का उपयोग करने पर,$N = (15 - 1)(15^2 + 15 \times 1 + 1^2) = 14 \times (225 + 15 + 1) = 14 \times 241$ प्राप्त होता है।
चूंकि $14 = 2 \times 7$,इसलिए $N = 2 \times 7 \times 241$ है।
यहाँ,$2$,$7$,और $241$ तीनों अभाज्य संख्याएँ हैं।
इस प्रकार,$N$ तीन अलग-अलग अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है।

(A) मान लीजिए $|P| = k$ है। तो $Q$ में $k+1$ अवयव होने चाहिए।
एक निश्चित $k$ के लिए,$P$ को चुनने के तरीकों की संख्या $^{n}C_k$ है।
$Q$ को चुनने के तरीकों की संख्या $^{n}C_{k+1}$ है।
चूंकि $P$ और $Q$ स्वतंत्र रूप से चुने जाते हैं,इसलिए कुल तरीकों की संख्या $k=0$ से $n-1$ तक के सभी संभावित मानों का योग है:
$\sum_{k=0}^{n-1} (^{n}C_k \cdot ^{n}C_{k+1})$
सर्वसमिका $^{n}C_k = ^{n}C_{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$\sum_{k=0}^{n-1} (^{n}C_{n-k} \cdot ^{n}C_{k+1})$
यह $(1+x)^n \cdot (1+x)^n = (1+x)^{2n}$ के विस्तार में $x^{n+1}$ का गुणांक है,जो $^{2n}C_{n+1}$ है।
ध्यान दें कि $^{2n}C_{n+1} = ^{2n}C_{2n-(n+1)} = ^{2n}C_{n-1}$।

(D) '$VERTICAL$' शब्द में $8$ अक्षर हैं,जिनमें $3$ स्वर $(E, I, A)$ और $5$ व्यंजन $(V, R, T, C, L)$ हैं।
चूंकि स्वरों का क्रम नहीं बदलना चाहिए,हम $3$ स्वर स्थानों को समान मानते हैं।
$8$ अक्षरों की कुल व्यवस्था $8!$ है।
चूंकि $3$ स्वरों को आपस में $3!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है,लेकिन उनका क्रम निश्चित है,इसलिए हम कुल व्यवस्था को $3!$ से विभाजित करते हैं।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $\frac{8!}{3!} = 6720$ है।

(D) $n$ वस्तुओं को $n$ व्यक्तियों के बीच वितरित करने के कुल तरीकों की संख्या $n^n$ है।
प्रत्येक व्यक्ति को वस्तुओं की कोई भी संख्या मिल सकती है।
प्रत्येक व्यक्ति को ठीक एक वस्तु मिलने के तरीकों की संख्या $n$ वस्तुओं के $n$ क्रमचयों के बराबर है,जो $n!$ है।
यदि प्रत्येक व्यक्ति को ठीक एक वस्तु मिलती है,तो कोई भी व्यक्ति बिना वस्तु के नहीं रहता है।
इसलिए,कम से कम एक व्यक्ति को कोई वस्तु न मिलने के तरीकों की संख्या कुल तरीकों में से उन तरीकों को घटाने पर प्राप्त होती है जिनमें प्रत्येक को ठीक एक वस्तु मिलती है।
आवश्यक तरीकों की संख्या $= n^n - n!$.

(C) माना पद $a_1, a_1+r, a_1+2r, \ldots, a_1+(n-1)r$ हैं।
उनके वर्गों का माध्य $\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} (a_1+kr)^2$ है।
उनके माध्य का वर्ग $\left(\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} (a_1+kr)\right)^2$ है।
यह अंतर समांतर श्रेणी का प्रसरण (variance) है,जो $\sigma^2 = \frac{r^2(n^2-1)}{12}$ द्वारा दिया जाता है।

(B) दिया गया है कि $1, \log _9(3^{1-x}+2), \log _3(4 \cdot 3^x-1)$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।
$A.P.$ के लिए $2b = a + c$ का उपयोग करने पर:
$2 \log _9(3^{1-x}+2) = 1 + \log _3(4 \cdot 3^x-1)$
गुणधर्म $\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$ का उपयोग करने पर:
$2 \cdot \frac{1}{2} \log _3(3^{1-x}+2) = \log _3 3 + \log _3(4 \cdot 3^x-1)$
$\log _3(3^{1-x}+2) = \log _3(3(4 \cdot 3^x-1))$
$3^{1-x}+2 = 12 \cdot 3^x - 3$
माना $3^x = t$. तब $\frac{3}{t} + 2 = 12t - 3$
$3 + 2t = 12t^2 - 3t$
$12t^2 - 5t - 3 = 0$
$(4t - 3)(3t + 1) = 0$
चूंकि $t = 3^x > 0$,इसलिए $t = \frac{3}{4}$।
$3^x = \frac{3}{4} \Rightarrow x = \log_3 \left(\frac{3}{4}\right) = \log_3 3 - \log_3 4 = 1 - \log_3 4$।

(B) दी गई अभिव्यक्ति $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{2^k \cdot 3^k} + \frac{1}{2^{k+1} \cdot 3^k}\right)$ है।
प्रत्येक कोष्ठक से सामान्य पद बाहर निकालने पर: $\frac{1}{2^k \cdot 3^k} (1 + \frac{1}{2}) = \frac{1}{6^k} \cdot \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,योग $\frac{3}{2} \sum_{k=1}^n \frac{1}{6^k}$ हो जाता है।
जैसे $n \rightarrow \infty$,यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \frac{1}{6}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{6}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1/6}{1-1/6} = \frac{1/6}{5/6} = \frac{1}{5}$ होता है।
इसलिए,कुल मान $\frac{3}{2} \times \frac{1}{5} = \frac{3}{10}$ है।

(C) द्विघात समीकरण $ax^2 + 2bx + c = 0$ का कोई वास्तविक मूल न होने के लिए,विविक्तकर $D < 0$ होना चाहिए।
$D = (2b)^2 - 4ac < 0 \implies 4b^2 < 4ac \implies b^2 < ac$.
चूँकि $a, b, c > 0$,हमारे पास $b < \sqrt{ac}$ है।
$1$. यदि $a, b, c$ $A$.$P$. में हैं,तो $2b = a + c$। चूँकि $b < \sqrt{ac}$,हमारे पास $a + c < 2\sqrt{ac}$ है,जिसका अर्थ है $(\sqrt{a} - \sqrt{c})^2 < 0$,जो असंभव है। अतः,$a, b, c$ $A$.$P$. में नहीं हो सकते।
$2$. यदि $a, b, c$ $G$.$P$. में हैं,तो $b^2 = ac$। लेकिन हमारे पास $b^2 < ac$ है,इसलिए $a, b, c$ $G$.$P$. में नहीं हो सकते।
$3$. यदि $a, b, c$ $H$.$P$. में हैं,तो $b = \frac{2ac}{a+c}$। चूँकि $a, c > 0$,$A$.$M$. $\geq$ $G$.$M$. के अनुसार,$\frac{a+c}{2} \geq \sqrt{ac}$ है,इसलिए $b = \frac{2ac}{a+c} \leq \sqrt{ac}$। यदि $a \neq c$ है तो $b < \sqrt{ac}$ की शर्त पूरी होती है। अतः,$a, b, c$ $H$.$P$. में हो सकते हैं।

(B) समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM \geq GM)$ असमिका के अनुसार,धनात्मक वास्तविक संख्याओं $x_1, x_2, \ldots, x_n$ के लिए:
$\frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 x_2 \ldots x_n}$
मान लीजिए $x_1 = \frac{a_1}{a_2}, x_2 = \frac{a_2}{a_3}, \ldots, x_n = \frac{a_n}{a_1}$ है।
अतः,गुणनफल $x_1 x_2 \ldots x_n = \frac{a_1}{a_2} \times \frac{a_2}{a_3} \times \ldots \times \frac{a_n}{a_1} = 1$ है।
इस मान को असमिका में रखने पर:
$\frac{\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \ldots + \frac{a_n}{a_1}}{n} \geq \sqrt[n]{1} = 1$
इसलिए,$\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \ldots + \frac{a_n}{a_1} \geq n$ है।
न्यूनतम मान $n$ है,जो तब प्राप्त होता है जब $a_1 = a_2 = \ldots = a_n$ हो।

(D) दिया गया समीकरण: $r^2 \cos^2 \left(\theta - \frac{\pi}{3}\right) = 2$
$\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$r^2 \left( \cos \theta \cos \frac{\pi}{3} + \sin \theta \sin \frac{\pi}{3} \right)^2 = 2$
$r^2 \left( \frac{1}{2} \cos \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta \right)^2 = 2$
$r^2 \frac{1}{4} (\cos \theta + \sqrt{3} \sin \theta)^2 = 2$
$(r \cos \theta + \sqrt{3} r \sin \theta)^2 = 8$
चूंकि $x = r \cos \theta$ और $y = r \sin \theta$:
$(x + \sqrt{3} y)^2 = 8$
$(x + \sqrt{3} y)^2 - (2\sqrt{2})^2 = 0$
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करने पर:
$(x + \sqrt{3} y - 2\sqrt{2})(x + \sqrt{3} y + 2\sqrt{2}) = 0$
यह दो सरल रेखाओं का एक युग्म दर्शाता है।

(A) दिया गया है कि $\frac{1}{6} \sin \theta, \cos \theta, \tan \theta$ $G.P.$ में हैं,इसलिए $\cos^2 \theta = \frac{1}{6} \sin \theta \cdot \tan \theta$.
$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\cos^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{6 \cos \theta}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $6 \cos^3 \theta = \sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर $6 \cos^3 \theta + \cos^2 \theta - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
$x = \cos \theta$ लेने पर,$6x^3 + x^2 - 1 = 0$.
$x = \frac{1}{2}$ रखने पर,$6(\frac{1}{8}) + \frac{1}{4} - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$(2 \cos \theta - 1)$ एक गुणनखंड है।
$6x^3 + x^2 - 1$ को $(2x - 1)$ से विभाजित करने पर $3x^2 + 2x + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
$3x^2 + 2x + 1$ का विविक्तकर $D = 4 - 12 = -8 < 0$ है,इसलिए यहाँ कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः,$\cos \theta = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$.

(D) माना शीर्ष $A(a, 1)$,$B(1, b)$,और $D(-1, d)$ हैं। चूँकि $AD$,$y=2x$ के समानांतर है,$AD$ की ढाल $2$ है। अतः,$\frac{d-1}{-1-a} = 2$ $\Rightarrow d-1 = -2-2a$ $\Rightarrow d = -1-2a$। चूँकि $AB$,$AD$ के लंबवत है,$AB$ की ढाल $-\frac{1}{2}$ है। अतः,$\frac{b-1}{1-a} = -\frac{1}{2}$ $\Rightarrow 2b-2 = a-1$ $\Rightarrow b = \frac{a+1}{2}$। चूँकि $ABCD$ एक आयत है,विकर्ण $AC$ का मध्यबिंदु,विकर्ण $BD$ के मध्यबिंदु के समान है। $BD$ का मध्यबिंदु $= (\frac{1-1}{2}, \frac{b+d}{2}) = (0, \frac{b+d}{2})$। $AC$ का मध्यबिंदु $= (\frac{a+x_c}{2}, \frac{1+y_c}{2})$। इन्हें बराबर करने पर,हमें $x_c = -a$ और $y_c = b+d-1 = \frac{a+1}{2} - 1 - 2a - 1 = \frac{-3a-3}{2}$ प्राप्त होता है। अतः,$C$ का निर्देशांक $(-a, \frac{-3(a+1)}{2})$ है। विकल्पों की जाँच करने पर,किसी भी वास्तविक $a$ के लिए दिए गए निर्देशांक इस रूप से मेल नहीं खाते हैं।

(A) दिया गया समीकरण $4a^2 + 12ab + 9b^2 - c^2 = 0$ है।
इसे $(2a + 3b)^2 - c^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सर्वसमिका $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ का उपयोग करने पर,$(2a + 3b - c)(2a + 3b + c) = 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $2a + 3b - c = 0$ या $2a + 3b + c = 0$,जिसे $c = \pm(2a + 3b)$ लिखा जा सकता है।
इस मान को रेखा के समीकरण $ax + by + c = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर,$ax + by \pm(2a + 3b) = 0$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$a(x \pm 2) + b(y \pm 3) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह सभी $a$ और $b$ के लिए सत्य है,इसलिए गुणांक शून्य होने चाहिए: $x \pm 2 = 0$ और $y \pm 3 = 0$।
अतः,रेखाएं $(2, 3)$ या $(-2, -3)$ पर संगामी हैं।

(D) रेखाओं $x+2y-9=0$,$3x+5y-5=0$ और $ax+by-1=0$ के संगामी होने की शर्त यह है कि उनके गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & -9 \\ 3 & 5 & -5 \\ a & b & -1\end{array}\right|=0$
तीसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$a(-10 + 45) - b(-5 + 27) + (-1)(5 - 6) = 0$
$35a - 22b + 1 = 0$
यह समीकरण दर्शाता है कि बिंदु $(a, b)$ समीकरण $35x - 22y + 1 = 0$ को संतुष्ट करता है। अतः,रेखा $35x - 22y + 1 = 0$ बिंदु $(a, b)$ से होकर गुजरती है।

(B) के निर्देशांक $(0,4)$ और $B$ के निर्देशांक $(2t, 0)$ हैं।
$AB$ का मध्यबिंदु $L$,$\left(\frac{0+2t}{2}, \frac{4+0}{2}\right) = (t, 2)$ है।
$AB$ की ढाल $m_{AB} = \frac{0-4}{2t-0} = -\frac{2}{t}$ है।
$AB$ के लंब समद्विभाजक की ढाल $m_{\perp} = \frac{t}{2}$ है।
$L(t, 2)$ से गुजरने वाले लंब समद्विभाजक का समीकरण $y - 2 = \frac{t}{2}(x - t)$ है।
$M$ ज्ञात करने के लिए,$x = 0$ रखें: $y - 2 = \frac{t}{2}(0 - t) \Rightarrow y = 2 - \frac{t^2}{2} = \frac{4-t^2}{2}$।
अतः,$M$ के निर्देशांक $\left(0, \frac{4-t^2}{2}\right)$ हैं।
मान लीजिए $N(h, k)$,$LM$ का मध्यबिंदु है। तो $h = \frac{t+0}{2} = \frac{t}{2} \Rightarrow t = 2h$।
$k = \frac{2 + \frac{4-t^2}{2}}{2} = \frac{4+4-t^2}{4} = \frac{8-t^2}{4} = 2 - \frac{t^2}{4}$।
$k$ के समीकरण में $t = 2h$ प्रतिस्थापित करने पर: $k = 2 - \frac{(2h)^2}{4} = 2 - \frac{4h^2}{4} = 2 - h^2$।
इस प्रकार,$N(x, y)$ का बिंदु पथ $y = 2 - x^2$ है,जो एक परवलय को दर्शाता है।

(C) दिया गया समीकरण $\sin ^2 x + \sin ^2 y = 1$ है।
सर्वसमिका $\sin ^2 y = 1 - \sin ^2 x = \cos ^2 x$ का उपयोग करने पर।
इससे $\sin y = \pm \cos x$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $\sin y = \cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x)$।
इसका व्यापक हल $y = n\pi + (-1)^n(\frac{\pi}{2} - x)$ है,जो $\pm 1$ ढाल वाली रेखाओं को दर्शाता है।
स्थिति $2$: $\sin y = -\cos x = \sin(x - \frac{\pi}{2})$।
इसका व्यापक हल $y = n\pi + (-1)^n(x - \frac{\pi}{2})$ है,जो भी $\pm 1$ ढाल वाली रेखाओं को दर्शाता है।
चूंकि $n$ कोई भी पूर्णांक हो सकता है,इसलिए ऐसी अनंत रेखाएं प्राप्त होती हैं।

(B) परवलय $y^2 = 12x$ है,इसलिए $4a = 12$,जिसका अर्थ है $a = 3$। नाभि $(3, 0)$ है।
आपतित किरण नाभि $(3, 0)$ से गुजरती है और इसका ढाल $m = \tan(\tan^{-1} \frac{3}{4}) = \frac{3}{4}$ है।
आपतित किरण का समीकरण $y - 0 = \frac{3}{4}(x - 3)$ या $x = \frac{4y}{3} + 3$ है।
इसे परवलय के समीकरण $y^2 = 12x$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$y^2 = 12(\frac{4y}{3} + 3) = 16y + 36$.
$y^2 - 16y - 36 = 0$.
$(y - 18)(y + 2) = 0$.
चूंकि किरण प्रथम चतुर्थांश में जा रही है,हम $y = 18$ लेते हैं।
परवलय का एक गुण यह है कि नाभि से गुजरने वाली कोई भी किरण परवलय की अक्ष के समानांतर परावर्तित होती है।
परवलय $y^2 = 12x$ की अक्ष $x$-अक्ष $(y = 0)$ है।
अतः,परावर्तित किरण $y$-निर्देशांक $18$ वाले बिंदु $P$ से गुजरने वाली एक क्षैतिज रेखा है।
इसलिए परावर्तित किरण का समीकरण $y = 18$ है।

(D) परवलय $x^2=8y$ का शीर्ष $O(0, 0)$ है।
मान लीजिए बिंदु $Q$ के निर्देशांक $(x_1, y_1)$ हैं। चूँकि $Q$ परवलय पर स्थित है,इसलिए $x_1^2 = 8y_1$ है।
मान लीजिए बिंदु $P$ के निर्देशांक $(h, k)$ हैं।
विभाजन सूत्र के अनुसार,चूँकि $P$,$OQ$ को $1:3$ के अनुपात में विभाजित करता है:
$h = \frac{1 \cdot x_1 + 3 \cdot 0}{1+3} = \frac{x_1}{4} \Rightarrow x_1 = 4h$
$k = \frac{1 \cdot y_1 + 3 \cdot 0}{1+3} = \frac{y_1}{4} \Rightarrow y_1 = 4k$
इन मानों को परवलय के समीकरण $x_1^2 = 8y_1$ में रखने पर:
$(4h)^2 = 8(4k)$
$16h^2 = 32k$
$h^2 = 2k$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,$P$ का बिंदुपथ $x^2 = 2y$ है।

(B) माना नाभियाँ $F_1 = (ae, 0)$ और $F_2 = (-ae, 0)$ हैं और लघु अक्ष का सिरा $B = (0, b)$ है।
रेखाओं $BF_1$ और $BF_2$ के बीच का कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए $y$-अक्ष के साथ कोण $30^{\circ}$ होगा।
अतः,$\frac{ae}{b} = \tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
इससे,$b = ae\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
संबंध $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$ का उपयोग करने पर:
$e^2 = 1 - \frac{3a^2e^2}{a^2} = 1 - 3e^2$.
$4e^2 = 1 \Rightarrow e = \frac{1}{2}$.

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{a} + \frac{y \sin \theta}{b} = 1$ है।
$x$-अक्ष पर अंतःखंड $T$ के लिए,$y = 0$ रखने पर: $x = \frac{a}{\cos \theta}$। अतः,$OT = \frac{a}{\cos \theta}$।
$y$-अक्ष पर अंतःखंड $T_1$ के लिए,$x = 0$ रखने पर: $y = \frac{b}{\sin \theta}$। अतः,$OT_1 = \frac{b}{\sin \theta}$।
गुणनफल $(OT)(OT_1) = \frac{ab}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{2ab}{\sin 2\theta}$।
चूँकि $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$,$\sin 2\theta$ का अधिकतम मान $1$ है,इसलिए $\frac{2ab}{\sin 2\theta}$ का न्यूनतम मान $2ab$ होगा।

(A) $(\pm ae, 0)$ नाभियों वाले अतिपरवलय का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
यहाँ $ae = 2$ और $b^2 = 4 - a^2$ है।
बिंदु $P(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ को रखने पर,$\frac{2}{a^2} - \frac{3}{4 - a^2} = 1$ प्राप्त होता है।
हल करने पर $a^2 = 1$ और $b^2 = 3$ मिलता है।
अतः समीकरण $\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{3} = 1$ है।
$P(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x\sqrt{2}}{1} - \frac{y\sqrt{3}}{3} = 1$ होगा।
जिसे सरल करने पर $y = x\sqrt{6} - \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

(D) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ के बिंदु $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ पर अभिलंब का समीकरण $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2+b^2$ है।
यहाँ $a=2$ और $b=3$ है,इसलिए $a^2+b^2 = 4+9 = 13$ है।
$A(2 \sec \theta, 3 \tan \theta)$ पर अभिलंब: $2x \cos \theta + 3y \cot \theta = 13$ --- $(1)$
चूँकि $\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$,इसलिए $\sec \phi = \csc \theta$ और $\tan \phi = \cot \theta$ है।
$B(2 \csc \theta, 3 \cot \theta)$ पर अभिलंब: $2x \sin \theta + 3y \tan \theta = 13$ --- $(2)$
प्रतिच्छेदन बिंदु $(\alpha, \beta)$ ज्ञात करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $\sin \theta$ से और $(2)$ को $\cos \theta$ से गुणा करके $x$ को विलुप्त करने पर:
$2x \sin \theta \cos \theta + 3y \cos \theta = 13 \sin \theta$
$2x \sin \theta \cos \theta + 3y \sin \theta = 13 \cos \theta$
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $3y(\cos \theta - \sin \theta) = 13(\sin \theta - \cos \theta)$।
चूँकि $\theta \neq \frac{\pi}{4}$,इसलिए $(\cos \theta - \sin \theta)$ से भाग देने पर:
$3y = -13 \implies y = -\frac{13}{3}$।
अतः,$\beta = -\frac{13}{3}$।

(B) माना $L = \lim _{x}$ ${\rightarrow \infty}\left\{x-\left(\left(x-a_1\right)\left(x-a_2\right) \ldots\left(x-a_n\right)\right)^{1/n}\right\}$.
$n$-वें मूल के अंदर के पद से $x$ कॉमन लेने पर:
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow \infty} \left\{ x - x \left( \left(1-\frac{a_1}{x}\right)\left(1-\frac{a_2}{x}\right) \ldots\left(1-\frac{a_n}{x}\right) \right)^{1/n} \right\}$.
द्विपद सन्निकटन $(1-u)^k \approx 1-ku$ का उपयोग करने पर:
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow \infty} x \left\{ 1 - \left(1-\frac{a_1}{nx}\right)\left(1-\frac{a_2}{nx}\right) \ldots\left(1-\frac{a_n}{nx}\right) \right\}$.
गुणनफल का विस्तार करने और $O(1/x)$ तक के पदों को रखने पर:
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow \infty} x \left\{ 1 - \left( 1 - \frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{nx} + O\left(\frac{1}{x^2}\right) \right) \right\}$.
$L = \lim _{x \rightarrow \infty} x \left( \frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{nx} \right) = \frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}$.

(A) माना $\theta = \angle APB$ है। निर्देशांक $A(0, a)$,$B(0, b)$,और $P(x, 0)$ हैं।
$\triangle APB$ में कोसाइन नियम का उपयोग करने पर:
$AB^2 = PA^2 + PB^2 - 2(PA)(PB) \cos \theta$
$(a - b)^2 = (x^2 + a^2) + (x^2 + b^2) - 2 \sqrt{x^2 + a^2} \sqrt{x^2 + b^2} \cos \theta$
$a^2 - 2ab + b^2 = 2x^2 + a^2 + b^2 - 2 \sqrt{x^2 + a^2} \sqrt{x^2 + b^2} \cos \theta$
$2 \sqrt{x^2 + a^2} \sqrt{x^2 + b^2} \cos \theta = 2x^2 + 2ab$
$\cos \theta = \frac{x^2 + ab}{\sqrt{x^2 + a^2} \sqrt{x^2 + b^2}}$
$\theta$ को अधिकतम करने के लिए,हम $\cos \theta$ को न्यूनतम करते हैं। गणना करने पर $x^2 = ab$ प्राप्त होता है।

(B) समद्विबाहु त्रिभुज $ABC$ में $AB = AC = 15$ और $BC = 10$ है,जहाँ $P$,$BC$ का मध्यबिंदु है।
चूँकि $AP$,आधार $BC$ पर लंब है,इसलिए $BP = PC = 5$ होगा।
$\Delta ABP$ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
$AP = \sqrt{AB^2 - BP^2} = \sqrt{15^2 - 5^2} = \sqrt{225 - 25} = \sqrt{200} = 10 \sqrt{2}$।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} \times BC \times AP = \frac{1}{2} \times 10 \times 10 \sqrt{2} = 50 \sqrt{2}$।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{15 + 15 + 10}{2} = 20$ है।
त्रिभुज की अंतःत्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{50 \sqrt{2}}{20} = \frac{5 \sqrt{2}}{2} = \frac{5}{\sqrt{2}}$।
चूँकि $O$ अंतःवृत्त का केंद्र है और $P$,$BC$ पर स्पर्श बिंदु है,इसलिए $OP$ की दूरी अंतःत्रिज्या $r$ के बराबर होगी।
अतः,$OP = \frac{5}{\sqrt{2}}$ इकाई।

(B) हम व्यंजक $(A \setminus B) \setminus C$ का मूल्यांकन करते हैं:
समुच्चय अंतर की परिभाषा के अनुसार,$A \setminus B = A \cap B'$।
अतः,$(A \setminus B) \setminus C = (A \cap B') \cap C'$।
सर्वनिष्ठ (intersection) के साहचर्य नियम का उपयोग करने पर,हमें $A \cap (B' \cap C')$ प्राप्त होता है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$B' \cap C' = (B \cup C)'$।
इसलिए,$(A \setminus B) \setminus C = A \cap (B \cup C)' = A \setminus (B \cup C)$।
अतः,विकल्प $B$ में दिया गया कथन मान्य है।

(C) दिया गया वक्र $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$ है।
वक्र पर किसी भी बिंदु के प्राचलिक निर्देशांक $(x, y) = (a \cos^3 \theta, a \sin^3 \theta)$ लें।
स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ द्वारा दी जाती है।
$\frac{dy}{d\theta} = 3a \sin^2 \theta \cos \theta$ और $\frac{dx}{d\theta} = -3a \cos^2 \theta \sin \theta$ है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{3a \sin^2 \theta \cos \theta}{-3a \cos^2 \theta \sin \theta} = -\tan \theta$ है।
$(a \cos^3 \theta, a \sin^3 \theta)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $y - a \sin^3 \theta = -\tan \theta (x - a \cos^3 \theta)$ है।
सरल करने पर,$y \cos \theta - a \sin^3 \theta \cos \theta = -x \sin \theta + a \cos^3 \theta \sin \theta$ प्राप्त होता है।
$x \sin \theta + y \cos \theta = a \sin \theta \cos \theta (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = a \sin \theta \cos \theta$ है।
$a \sin \theta \cos \theta$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x}{a \cos \theta} + \frac{y}{a \sin \theta} = 1$ मिलता है।
$x$-अंतःखंड $a \cos \theta$ है और $y$-अंतःखंड $a \sin \theta$ है।
अंतःखंडित भाग की लंबाई $\sqrt{(a \cos \theta)^2 + (a \sin \theta)^2} = \sqrt{a^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)} = a$ है।
चूंकि $a$ एक स्थिरांक है,इसलिए अंतःखंडित भाग की लंबाई स्थिर है।

(D) दिया गया है कि $f$,$\mathbb{R}$ पर एक निरंतर ह्रासमान फलन है।
समीकरण $\frac{x^2}{f(a^2+5a+3)} + \frac{y^2}{f(a+15)} = 1$ के $y$-अक्ष पर मुख्य अक्ष वाला दीर्घवृत्त होने के लिए,$y^2$ पद का हर $x^2$ पद के हर से बड़ा होना चाहिए।
अतः,$f(a+15) > f(a^2+5a+3)$।
चूंकि $f$ एक निरंतर ह्रासमान फलन है,$f(x_1) > f(x_2)$ का अर्थ है $x_1 < x_2$।
इसलिए,$a+15 < a^2+5a+3$।
असमानता को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $a^2+4a-12 > 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर,$(a+6)(a-2) > 0$ प्राप्त होता है।
इस असमानता को हल करने पर,हमें $a < -6$ या $a > 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$a$ के लिए अंतराल $(-\infty, -6) \cup (2, \infty)$ है।

(A) प्रतिदर्श समष्टि $S$ में $6 \times 6 = 36$ परिणाम हैं।
$E_1 = \{(1, 1)\} \implies p_1 = \frac{1}{36}$.
$E_4 = \{(1, 4), (2, 2), (4, 1)\} \implies p_4 = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.
$E_{10} = \{(2, 5), (5, 2)\} \implies p_{10} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$.
मानों की तुलना करने पर: $p_1 = \frac{1}{36} \approx 0.0277$,$p_{10} = \frac{2}{36} \approx 0.0555$,$p_4 = \frac{3}{36} \approx 0.0833$.
अतः,$p_1 < p_{10} < p_4$ सही है।

(A) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A)P(B) = \frac{1}{12} \dots (1)$
न तो $A$ और न ही $B$ के होने की प्रायिकता $P(A' \cap B') = \frac{1}{2}$ है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$P(A' \cap B') = P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B) = \frac{1}{2}$,इसलिए $P(A \cup B) = \frac{1}{2}$।
सूत्र $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ का उपयोग करने पर:
$P(A) + P(B) - \frac{1}{12} = \frac{1}{2} \implies P(A) + P(B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{12} = \frac{7}{12} \dots (2)$
$(1)$ और $(2)$ से,$P(A)$ और $P(B)$ द्विघात समीकरण $x^2 - (P(A)+P(B))x + P(A)P(B) = 0$ के मूल हैं।
$x^2 - \frac{7}{12}x + \frac{1}{12} = 0 \implies 12x^2 - 7x + 1 = 0$।
गुणनखंड करने पर: $12x^2 - 4x - 3x + 1 = 0 \implies 4x(3x - 1) - 1(3x - 1) = 0 \implies (4x - 1)(3x - 1) = 0$।
अतः,$x = \frac{1}{4}$ या $x = \frac{1}{3}$।
इसलिए,प्रायिकताएँ $P(A) = \frac{1}{3}$ और $P(B) = \frac{1}{4}$ हैं (या इसके विपरीत)।

(B) दिया गया है $P(n) = 3^{2n+1} + 2^{n+2}$।
$n = 1$ के लिए,$P(1) = 3^{2(1)+1} + 2^{1+2} = 3^3 + 2^3 = 27 + 8 = 35$।
चूंकि $35 = 5 \times 7$,$P(1)$ अभाज्य पूर्णांकों $5$ और $7$ से विभाज्य है।
अतः,$n = 1$ के लिए कम से कम एक ऐसा अभाज्य पूर्णांक मौजूद है जो $P(n)$ को विभाजित करता है।
किसी भी $n \in N$ के लिए,$P(n) > 1$,और अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार,$1$ से बड़ी प्रत्येक पूर्णांक संख्या का कम से कम एक अभाज्य गुणनखंड होता है।
इसलिए,ऐसा अभाज्य पूर्णांक मौजूद है जो $P(n)$ को विभाजित करता है।

(C) माना $y_n = \log^n x$ है। तब $y_n = \log(y_{n-1})$,जहाँ $y_1 = \log x$,$y_2 = \log(\log x)$,इत्यादि है।
श्रृंखला नियम (chain rule) के अनुसार,$\frac{dy_n}{dx} = \frac{d}{dx}(\log y_{n-1}) = \frac{1}{y_{n-1}} \cdot \frac{dy_{n-1}}{dx}$ है।
इसे विस्तारित करने पर,$\frac{dy_n}{dx} = \frac{1}{y_{n-1}} \cdot \frac{1}{y_{n-2}} \cdot \dots \cdot \frac{1}{y_1} \cdot \frac{d}{dx}(\log x)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{d}{dx}(\log x) = \frac{1}{x}$ है,इसलिए $\frac{dy_n}{dx} = \frac{1}{y_{n-1} y_{n-2} \dots y_1 x}$ है।
$y_k = \log^k x$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \log x \log^2 x \dots \log^{n-1} x}$ प्राप्त होता है।
अतः,$x \log x \log^2 x \dots \log^{n-1} x \frac{dy}{dx} = 1$ है।

(A) किसी $x$ पर ऊर्ध्वाधर जीवा की लंबाई $L(x) = 2y = 2\frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}$ है।
औसत लंबाई $A_L = \frac{1}{2a-a} \int_a^{2a} L(x) dx = \frac{1}{a} \int_a^{2a} 2\frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2} dx$ द्वारा दी जाती है।
$A_L = \frac{2b}{a^2} \int_a^{2a} \sqrt{x^2-a^2} dx$.
समाकलन सूत्र $\int \sqrt{x^2-a^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2} - \frac{a^2}{2}\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|$ का उपयोग करके,$a$ से $2a$ तक गणना करने पर:
$A_L = \frac{2b}{a^2} [\frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2} - \frac{a^2}{2}\ln(x+\sqrt{x^2-a^2})]_a^{2a}$.
$x=2a$ पर: $a^2\sqrt{3} - \frac{a^2}{2}\ln(a(2+\sqrt{3}))$.
$x=a$ पर: $- \frac{a^2}{2}\ln(a)$.
घटाने पर: $A_L = b[2\sqrt{3}-\ln(2+\sqrt{3})]$.

(C) दिया गया सीमा $L = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(2+2h+h^2)-f(2)}{f(1+h-h^2)-f(1)}$.
चूंकि यह सीमा $\frac{0}{0}$ रूप में है,हम अंश और हर का $h$ के सापेक्ष अवकलन करके $L$'$H$ôpital नियम का उपयोग करते हैं:
$L = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(2+2h+h^2) \cdot (2+2h)}{f^{\prime}(1+h-h^2) \cdot (1-2h)}$.
अब,$h=0$ रखने पर:
$L = \frac{f^{\prime}(2) \cdot 2}{f^{\prime}(1) \cdot 1}$.
चूंकि $f^{\prime}(2)=6$ और $f^{\prime}(1)=4$ दिया गया है:
$L = \frac{6 \cdot 2}{4 \cdot 1} = \frac{12}{4} = 3$.

(B) समुच्चय $X$ पर एक संबंध $\rho$ संक्रामक होता है यदि $(a, b) \in \rho$ और $(b, c) \in \rho$ का तात्पर्य है कि $(a, c) \in \rho$।
दो संक्रामक संबंधों $\rho_1$ और $\rho_2$ के प्रतिच्छेदन पर विचार करें।
मान लीजिए $(a, b) \in \rho_1 \cap \rho_2$ और $(b, c) \in \rho_1 \cap \rho_2$ है।
इसका अर्थ है कि $(a, b) \in \rho_1$ और $(b, c) \in \rho_1$,और चूंकि $\rho_1$ संक्रामक है,इसलिए $(a, c) \in \rho_1$।
इसी प्रकार,$(a, b) \in \rho_2$ और $(b, c) \in \rho_2$,और चूंकि $\rho_2$ संक्रामक है,इसलिए $(a, c) \in \rho_2$।
अतः,$(a, c) \in \rho_1 \cap \rho_2$।
इस प्रकार,दो संक्रामक संबंधों का प्रतिच्छेदन हमेशा एक संक्रामक संबंध होता है।

(D) एक तुल्यता संबंध को स्वतुल्य,सममित और संक्रामक होना चाहिए।
$1$. $R^{-1}$ के लिए: चूंकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए $R^{-1}$ भी स्वतुल्य,सममित और संक्रामक होता है। अतः,$R^{-1}$ एक तुल्यता संबंध है।
$2$. $R \cap R^1$ के लिए: दो तुल्यता संबंधों का सर्वनिष्ठ (intersection) हमेशा एक तुल्यता संबंध होता है।
$3$. $R \cup R^1$ के लिए: दो तुल्यता संबंधों का संघ (union) हमेशा संक्रामक होना आवश्यक नहीं है,इसलिए यह हमेशा एक तुल्यता संबंध नहीं होता है।
अतः,$R^{-1}$ और $R \cap R^1$ दोनों तुल्यता संबंध हैं।

(A) दिया गया है कि $B = PAP^{-1}$,जिसे हम $BP = PA$ के रूप में लिख सकते हैं।
आव्यूहों का मान रखने पर:
$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
गुणा करने पर:
बायां पक्ष: $\begin{bmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & y \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
दायां पक्ष: $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
संगत अवयवों की तुलना करने पर,हमें $x = 1$ और $y = x$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = 1$ और $y = 1$।

(A) आव्यूह $A$ का सारणिक ज्ञात करने के लिए,हम पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करते हैं:
$\operatorname{det}(A) = 2 \begin{vmatrix} 7 & 11 \\ 4 & 8 \end{vmatrix} - 0 \begin{vmatrix} 4 & 11 \\ 5 & 8 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 4 & 7 \\ 5 & 4 \end{vmatrix}$
$= 2(56 - 44) - 0 + 3(16 - 35)$
$= 2(12) + 3(-19)$
$= 24 - 57$
$= -33$
चूंकि $-33 = 11 \times (-3)$,इसलिए $\operatorname{det} A$ का मान $11$ से विभाज्य है।

(C) आव्यूह $M_r$ का सारणिक इस प्रकार है: $\det(M_r) = r(r) - (r-1)(r-1) = r^2 - (r-1)^2$.
इसका विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\det(M_r) = r^2 - (r^2 - 2r + 1) = 2r - 1$.
हमें योग ज्ञात करना है: $\sum_{r=1}^{2008} \det(M_r) = \sum_{r=1}^{2008} (2r - 1)$.
यह प्रथम $2008$ विषम संख्याओं का योग है,जो सूत्र $\sum_{r=1}^{n} (2r - 1) = n^2$ द्वारा दिया जाता है।
$n = 2008$ के लिए,योग $(2008)^2$ है।

(A) दिया गया सारणिक $D = \left|\begin{array}{ccc} 1+1+1 & 1+\alpha+\beta & 1+\alpha^2+\beta^2 \\ 1+\alpha+\beta & 1+\alpha^2+\beta^2 & 1+\alpha^3+\beta^3 \\ 1+\alpha^2+\beta^2 & 1+\alpha^3+\beta^3 & 1+\alpha^4+\beta^4 \end{array}\right|$ है।
इसे दो सारणिकों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है:
$D = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & \beta \\ 1 & \alpha^2 & \beta^2 \end{array}\right| \times \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & \alpha^2 \\ 1 & \beta & \beta^2 \end{array}\right|$.
दोनों सारणिक वेंडरमोंड सारणिक हैं,इसलिए $D = \{(1-\alpha)(\alpha-\beta)(\beta-1)\}^2 = (1-\alpha)^2(\alpha-\beta)^2(\beta-1)^2$.
चूँकि $\alpha+\beta = -b/a$ और $\alpha\beta = c/a$,इसलिए $(\alpha-\beta)^2 = (\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta = b^2/a^2 - 4c/a = (b^2-4ac)/a^2$.
साथ ही,$(1-\alpha)(1-\beta) = 1 - (\alpha+\beta) + \alpha\beta = 1 + b/a + c/a = (a+b+c)/a$.
अतः,$D = \{(1-\alpha)(1-\beta)\}^2 (\alpha-\beta)^2 = \left(\frac{a+b+c}{a}\right)^2 \left(\frac{b^2-4ac}{a^2}\right) = (b^2-4ac) \frac{(a+b+c)^2}{a^4}$.
दिए गए समीकरण के साथ तुलना करने पर,हमें $k = b^2-4ac$ प्राप्त होता है।

(A) चूंकि $A$ और $B$ ऑर्थोगोनल आव्यूह हैं,हमारे पास $AA^{\top} = I$ और $BB^{\top} = I$ है।
दोनों तरफ सारणिक लेने पर,हमें $\operatorname{det}(A)\operatorname{det}(A^{\top}) = 1$ और $\operatorname{det}(B)\operatorname{det}(B^{\top}) = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\operatorname{det}(A^{\top}) = \operatorname{det}(A)$,हमारे पास $(\operatorname{det}(A))^2 = 1$ और $(\operatorname{det}(B))^2 = 1$ है,जिसका अर्थ है $\operatorname{det}(A) = \pm 1$ और $\operatorname{det}(B) = \pm 1$।
दिया गया है $\operatorname{det}(A) + \operatorname{det}(B) = 0$,इसलिए $\operatorname{det}(A) = -\operatorname{det}(B)$।
अब,$\operatorname{det}(A+B) = \operatorname{det}(A(I + A^{-1}B))$ पर विचार करें।
चूंकि $A$ ऑर्थोगोनल है,$A^{-1} = A^{\top}$। इसलिए,$\operatorname{det}(A+B) = \operatorname{det}(A(I + A^{\top}B))$।
हम $A+B = A(I + A^{\top}B) = A(B^{\top}B + A^{\top}B) = A(B^{\top} + A^{\top})B$ लिख सकते हैं।
सारणिक लेने पर: $\operatorname{det}(A+B) = \operatorname{det}(A) \operatorname{det}(B^{\top} + A^{\top}) \operatorname{det}(B) = \operatorname{det}(A)\operatorname{det}(B) \operatorname{det}((A+B)^{\top})$।
चूंकि $\operatorname{det}(A) = -\operatorname{det}(B)$,हमारे पास $\operatorname{det}(A)\operatorname{det}(B) = -(\operatorname{det}(B))^2 = -1$ है।
इस प्रकार,$\operatorname{det}(A+B) = -1 \cdot \operatorname{det}(A+B)$।
इसका अर्थ है $2 \operatorname{det}(A+B) = 0$,इसलिए $\operatorname{det}(A+B) = 0$।
अतः,$A+B$ एक सिंगुलर आव्यूह है।

(D) दिया गया अंतराल $x \in (-2 \pi, 0)$ है।
जैसे-जैसे $x$ बाईं ओर से $0$ के करीब पहुंचता है,$x^3$ ऋणात्मक दिशा से $0$ के करीब पहुंचता है।
इसलिए,$\frac{1}{x^3}$ का मान $-\infty$ की ओर अग्रसर होता है।
चूंकि फलन $f(x) = \sin \left(\frac{1}{x^3}\right)$ अपने तर्क $\frac{1}{x^3}$ के $-\infty$ की ओर जाने पर $-1$ और $1$ के बीच दोलन करता है,इसलिए यह फलन $0$ के किसी भी सामीप्य में $x$-अक्ष को अनंत बार काटेगा।
अतः,फलन अंतराल $(-2 \pi, 0)$ में अनंत बार अपना चिह्न बदलता है।

(A) दिया गया संबंध $\rho = \{(x, y) \in N \times N: 2x + y = 41\}$ है।
चूँकि $x, y \in N$,इसलिए $x \geq 1$ और $y \geq 1$ है।
$2x + y = 41$ से,हमें $y = 41 - 2x$ प्राप्त होता है।
चूँकि $y \geq 1$,इसलिए $41 - 2x \geq 1$,जिसका अर्थ है $2x \leq 40$,अतः $x \leq 20$ है।
इस प्रकार,$x \in \{1, 2, 3, \dots, 20\}$ है।
प्रत्येक $x$ के लिए,$y = 41 - 2x$ है। $x$ के मान रखने पर:
यदि $x = 1, y = 39$ है।
यदि $x = 20, y = 1$ है।
अतः,प्रांत $A = \{1, 2, 3, \dots, 20\}$ और परिसर $B = \{1, 3, 5, \dots, 39\}$ है।
$A$ और $B$ दोनों विकल्प $A$ में दिए गए समुच्चयों के उपसमुच्चय हैं।

(C) दिया गया है $f(x) = x^m$,जहाँ $m \geq 0$ और $m \in \mathbb{Z}$ है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f^{\prime}(x) = m x^{m-1}$।
दी गई शर्त $f^{\prime}(a+b) = f^{\prime}(a) + f^{\prime}(b)$ है।
अवकलज को प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है: $m(a+b)^{m-1} = m a^{m-1} + m b^{m-1}$।
यदि $m=0$ है,तो $f(x) = 1$,इसलिए $f^{\prime}(x) = 0$। समीकरण $0 = 0+0$ बन जाता है,जो सत्य है,लेकिन सामान्यतः हम $m$ के लिए गैर-तुच्छ मामलों पर विचार करते हैं।
यदि $m=1$ है,तो $f^{\prime}(x) = 1$। समीकरण $1 = 1+1$ बन जाता है,अर्थात $1=2$ (असत्य)।
यदि $m=2$ है,तो $f^{\prime}(x) = 2x$। समीकरण $2(a+b) = 2a + 2b$ बन जाता है,जो $2a+2b = 2a+2b$ में सरल हो जाता है (सत्य)।
यदि $m=3$ है,तो $f^{\prime}(x) = 3x^2$। समीकरण $3(a+b)^2 = 3a^2 + 3b^2$ बन जाता है,जो $a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + b^2$ में सरल हो जाता है,जिसका अर्थ है $2ab = 0$। चूँकि $a, b > 0$,यह असत्य है।
अतः,$m$ का मान $2$ है।

(C) फलन को $f(x) = \begin{cases} x+1, & -1 \leq x \leq 0 \\ -x, & 0 < x \leq 1 \end{cases}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$x=0$ पर सांतत्य की जाँच करें:
बाएँ हाथ की सीमा: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x+1) = 1$.
दाएँ हाथ की सीमा: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0$.
चूंकि $\lim_{x \to 0^-} f(x) \neq \lim_{x \to 0^+} f(x)$,फलन $x=0$ पर असंतत है।
अब,$[-1, 1]$ पर $f(x)$ के परिसर (range) का विश्लेषण करें:
$x \in [-1, 0]$ के लिए,$f(x) = x+1$ है। परिसर $[0, 1]$ है।
$x \in (0, 1]$ के लिए,$f(x) = -x$ है। परिसर $[-1, 0)$ है।
इन दोनों को मिलाने पर,$f(x)$ का परिसर $[-1, 0) \cup [0, 1] = [-1, 1]$ है।
अधिकतम मान $1$ है ($x=0$ पर प्राप्त) और न्यूनतम मान $-1$ है ($x=1$ पर प्राप्त)।
अतः,$f(x)$,$[-1, 1]$ में असंतत है लेकिन फिर भी इसका अधिकतम और न्यूनतम मान है।

(D) फलन $f(x) = [x^2] \sin(\pi x)$ दो फलनों का गुणनफल है: $g(x) = [x^2]$ और $h(x) = \sin(\pi x)$।
$g(x) = [x^2]$ उन सभी बिंदुओं पर असतत है जहाँ $x^2$ एक पूर्णांक है,अर्थात $x = \sqrt{n}$ जहाँ $n \in \{1, 2, 3, \dots\}$।
गुणनफल $f(x) = g(x)h(x)$ के किसी बिंदु $x_0$ पर सतत होने के लिए,जहाँ $g(x)$ असतत है,$h(x_0) = 0$ होना आवश्यक है।
यहाँ,$h(x) = \sin(\pi x) = 0$ तब होता है जब $x$ एक पूर्णांक हो।
यदि $x^2 = n$ (जहाँ $n$ एक पूर्णांक है) और $x$ भी एक पूर्णांक है,तो $x = \sqrt{n}$ एक पूर्णांक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $n$ एक पूर्ण वर्ग है।
यदि $x^2 = n$ है लेकिन $x$ पूर्णांक नहीं है,तो $\sin(\pi x) \neq 0$ होता है,इसलिए फलन $f(x)$ इन बिंदुओं पर असतत रहता है।
अतः,$f(x)$ केवल उन बिंदुओं पर सतत है जहाँ $x^2$ एक पूर्णांक है और $\sin(\pi x) = 0$ है,जो तब होता है जब $x$ एक पूर्णांक है।
दिए गए विकल्प सही नहीं हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) $x=1$ पर $f(x)$ की अवकलनीयता की जाँच करने के लिए,हम परिभाषा का उपयोग करके अवकलज की गणना करते हैं: $f^{\prime}(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$.
दिया गया है $f(1) = 1$ और $h \neq 0$ के लिए,$f(1+h) = e^{((1+h)^{10}-1)} + h^2 \sin(\frac{1}{h})$.
इन मानों को सीमा की परिभाषा में रखने पर:
$f^{\prime}(1) = \lim_{h \to 0} \frac{e^{((1+h)^{10}-1)} + h^2 \sin(\frac{1}{h}) - 1}{h}$.
विस्तार $e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \dots$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = (1+h)^{10}-1 = 1 + 10h + \dots - 1 = 10h + O(h^2)$:
$f^{\prime}(1) = \lim_{h \to 0} \frac{1 + (10h + O(h^2)) + h^2 \sin(\frac{1}{h}) - 1}{h}$.
$f^{\prime}(1) = \lim_{h \to 0} \frac{10h + O(h^2) + h^2 \sin(\frac{1}{h})}{h}$.
$f^{\prime}(1) = \lim_{h \to 0} (10 + O(h) + h \sin(\frac{1}{h}))$.
स्क्वीज़ प्रमेय के अनुसार $\lim_{h \to 0} h \sin(\frac{1}{h}) = 0$ है,इसलिए हमें $f^{\prime}(1) = 10 + 0 + 0 = 10$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $\cos ^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)=n \log _e\left(\frac{x}{n}\right)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$-\frac{1}{\sqrt{1-\frac{y^2}{b^2}}} \cdot \frac{1}{b} y_1 = n \cdot \frac{n}{x} \cdot \frac{1}{n} = \frac{n}{x}$.
$-\frac{y_1}{\sqrt{b^2-y^2}} = \frac{n}{x} \implies x y_1 = -n \sqrt{b^2-y^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2 y_1^2 = n^2 (b^2-y^2)$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2 x y_1^2 + x^2 \cdot 2 y_1 y_2 = -n^2 \cdot 2 y y_1$.
$2 x y_1$ से विभाजित करने पर (मान लीजिए $x \neq 0, y_1 \neq 0$):
$y_1 + x y_2 = -\frac{n^2 y}{x}$.
$x y_1 + x^2 y_2 + n^2 y = 0$.
$A y_2 + B y_1 + C y = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A=x^2, B=x, C=n^2$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $y = e^{kx}$।
तब $\frac{dy}{dx} = ke^{kx} = ky$ और $\frac{d^2y}{dx^2} = k^2e^{kx} = k^2y$।
इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx})(\frac{dy}{dx} - y) = y\frac{dy}{dx}$
$(k^2y + ky)(ky - y) = y(ky)$
$ky(k+1) \cdot y(k-1) = ky^2$
$k(k^2 - 1)y^2 = ky^2$
चूंकि $y = e^{kx} \neq 0$,हम $y^2$ से विभाजित कर सकते हैं:
$k(k^2 - 1) = k$
$k^3 - k = k$
$k^3 - 2k = 0$
$k(k^2 - 2) = 0$
अतः,$k = 0$ या $k^2 = 2$,जिससे $k = 0, \sqrt{2}, -\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$k$ के तीन भिन्न मान हैं।

(D) प्रतिस्थापन $z = \log \tan \frac{x}{2}$ दिया गया है।
अतः,$\frac{dz}{dx} = \frac{1}{\tan(x/2)} \cdot \sec^2(x/2) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{\sin x} = \operatorname{cosec} x$.
अब,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dz} \cdot \frac{dz}{dx} = \operatorname{cosec} x \frac{dy}{dz}$.
आगे,$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \operatorname{cosec} x \frac{dy}{dz} \right) = \frac{d}{dz} \left( \operatorname{cosec} x \frac{dy}{dz} \right) \cdot \frac{dz}{dx} = \left( -\operatorname{cosec} x \cot x \frac{dy}{dz} + \operatorname{cosec} x \frac{d^2 y}{dz^2} \right) \operatorname{cosec} x = \operatorname{cosec}^2 x \frac{d^2 y}{dz^2} - \operatorname{cosec} x \cot x \frac{dy}{dz}$.
इन मानों को मूल समीकरण $\frac{d^2 y}{dx^2} + \cot x \frac{dy}{dx} + 4y \operatorname{cosec}^2 x = 0$ में रखने पर:
$\left( \operatorname{cosec}^2 x \frac{d^2 y}{dz^2} - \operatorname{cosec} x \cot x \frac{dy}{dz} \right) + \cot x (\operatorname{cosec} x \frac{dy}{dz}) + 4y \operatorname{cosec}^2 x = 0$.
$\operatorname{cosec}^2 x \frac{d^2 y}{dz^2} + 4y \operatorname{cosec}^2 x = 0$.
$\operatorname{cosec}^2 x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{d^2 y}{dz^2} + 4y = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया ऊँचाई फलन: $x(t) = 100t - \frac{25}{2}t^2$ है।
अधिकतम ऊँचाई ज्ञात करने के लिए,हम $x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dx}{dt} = 100 - 25t$।
अधिकतम ऊँचाई के लिए,प्रथम अवकलज को शून्य के बराबर रखें:
$100 - 25t = 0 \implies t = 4 \text{ s}$।
अब,यह पुष्टि करने के लिए कि यह अधिकतम है,द्वितीय अवकलज ज्ञात करें:
$\frac{d^2x}{dt^2} = -25$।
चूँकि $\frac{d^2x}{dt^2} < 0$ है,इसलिए फलन $t = 4 \text{ s}$ पर अधिकतम मान प्राप्त करता है।
$t = 4$ को मूल समीकरण में रखने पर:
$x_{\text{max}} = 100(4) - \frac{25}{2}(4)^2 = 400 - \frac{25}{2}(16) = 400 - 200 = 200 \text{ m}$।

(C) दिया गया फलन $f(x) = e^{\sin x} + e^{\cos x}$ है।
क्रांतिक बिंदुओं को खोजने के लिए,हम अवकलज $f'(x) = 0$ रखते हैं:
$f'(x) = e^{\sin x} \cdot \cos x + e^{\cos x} \cdot (-\sin x) = 0$
$e^{\sin x} \cos x = e^{\cos x} \sin x$
$\frac{e^{\sin x}}{e^{\cos x}} = \frac{\sin x}{\cos x}$
$e^{\sin x - \cos x} = \tan x$
चूंकि $f(x)$ एक $2\pi$ आवर्तकाल वाला आवर्ती फलन है,इसलिए $x$ के हल आवर्ती रूप से प्राप्त होते हैं।
$x = \frac{\pi}{4}$ पर,$e^{\sin(\pi/4) - \cos(\pi/4)} = e^0 = 1$ और $\tan(\pi/4) = 1$ होता है। अतः,$x = \frac{\pi}{4}$ एक क्रांतिक बिंदु है।
$\sin x$ और $\cos x$ की आवर्तिता के कारण,फलन $f(x)$ अपने मानों को हर $2\pi$ के अंतराल पर दोहराता है।
इसलिए,वैश्विक अधिकतम मान सभी पूर्णांक $n$ के लिए $x = 2n\pi + \frac{\pi}{4}$ पर प्राप्त होता है।
चूंकि ऐसे अनंत बिंदु हैं,इसलिए वैश्विक अधिकतम मान अनंत बिंदुओं पर मौजूद है।

(B) दिया गया है $f(x) = 3x^{2/3} - x^2$.
चरम मान ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f'(x) = 3 \cdot \frac{2}{3} x^{-1/3} - 2x = 2x^{-1/3} - 2x = 2 \left( \frac{1 - x^{4/3}}{x^{1/3}} \right)$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $1 - x^{4/3} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^{4/3} = 1$,इसलिए $x = 1$ या $x = -1$.
साथ ही,$x = 0$ पर $f'(x)$ अपरिभाषित है।
हम क्रांतिक बिंदुओं $x = -1, 0, 1$ के आसपास $f'(x)$ के चिह्न का विश्लेषण करते हैं:
$x < -1$ के लिए,$f'(x) > 0$.
$-1 < x < 0$ के लिए,$f'(x) < 0$.
$0 < x < 1$ के लिए,$f'(x) > 0$.
$x > 1$ के लिए,$f'(x) < 0$.
$x = -1$ पर,$f'(x)$ धनात्मक से ऋणात्मक में बदलता है,इसलिए $f$ का $x = -1$ पर स्थानीय अधिकतम मान है।
$x = 0$ पर,$f'(x)$ ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है,इसलिए $f$ का $x = 0$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है।
$x = 1$ पर,$f'(x)$ धनात्मक से ऋणात्मक में बदलता है,इसलिए $f$ का $x = 1$ पर स्थानीय अधिकतम मान है।
अतः,$f$ दो बिंदुओं $x = 1$ और $x = -1$ पर अधिकतम है।

(B) दिया गया है $f^{\prime}(x) = [f(x)]^2 + 4$.
चूँकि $f(x)$ अंतराल $[1, 3]$ पर संतत है और $(1, 3)$ पर अवकलनीय है,माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार,एक ऐसा $c \in (1, 3)$ विद्यमान है जिसके लिए $f^{\prime}(c) = \frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{f(3)-f(1)}{2}$ है।
इसे दिए गए अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{f(3)-f(1)}{2} = [f(c)]^2 + 4$.
इससे $f(3)-f(1) = 2[f(c)]^2 + 8$ प्राप्त होता है।
चूँकि $[f(c)]^2 \ge 0$,इसलिए $f(3)-f(1) \ge 8$.
अतः,$f(3)-f(1)=5$ सत्य नहीं हो सकता है।

(D) हम समाकल्य को विघटित करने के लिए आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हैं: $\frac{1}{(x+1)(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{x-3}$.
अंशों की तुलना करने पर: $1 = A(x-2)(x-3) + B(x+1)(x-3) + C(x+1)(x-2)$.
$x = -1$ के लिए: $1 = A(-3)(-4) \Rightarrow A = \frac{1}{12}$.
$x = 2$ के लिए: $1 = B(3)(-1) \Rightarrow B = -\frac{1}{3}$.
$x = 3$ के लिए: $1 = C(4)(1) \Rightarrow C = \frac{1}{4}$.
पद-दर-पद समाकलन करने पर: $I = \int \left( \frac{1/12}{x+1} - \frac{1/3}{x-2} + \frac{1/4}{x-3} \right) dx = \frac{1}{12} \ln|x+1| - \frac{1}{3} \ln|x-2| + \frac{1}{4} \ln|x-3| + c$.
दिए गए रूप $\frac{1}{k} \ln \left\{ \frac{|x-3|^3|x+1|}{(x-2)^4} \right\}$ से मिलान करने के लिए,हम $\frac{1}{12}$ को उभयनिष्ठ लेते हैं:
$I = \frac{1}{12} \left( \ln|x+1| - 4\ln|x-2| + 3\ln|x-3| \right) + c = \frac{1}{12} \ln \left\{ \frac{|x+1||x-3|^3}{|x-2|^4} \right\} + c$.
अतः,दी गई अभिव्यक्ति के साथ तुलना करने पर,हमें $k = 12$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x \cos(nx) dx$.
$n=1$ के लिए: $I_1 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x \cos x dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos 2x}{2} dx = \left[ \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{4}$.
$n=2$ के लिए: $I_2 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x \cos 2x dx$. $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ का उपयोग करते हुए,$\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$.
$I_2 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1+\cos 2x}{2} \right) \cos 2x dx = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x dx + \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 2x dx$.
$I_2 = \frac{1}{2} \left[ \frac{\sin 2x}{2} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} + \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos 4x}{2} dx = 0 + \frac{1}{4} \left[ x + \frac{\sin 4x}{4} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{8}$.
$n=3$ के लिए: $I_3 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x \cos 3x dx$. $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$ का उपयोग करते हुए,$\cos^3 x = \frac{\cos 3x + 3\cos x}{4}$.
$I_3 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{\cos 3x + 3\cos x}{4} \right) \cos 3x dx = \frac{1}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 3x dx + \frac{3}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x \cos 3x dx$.
$I_3 = \frac{1}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos 6x}{2} dx + \frac{3}{8} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos 4x + \cos 2x) dx = \frac{1}{8} [x]_0^{\frac{\pi}{2}} + 0 + 0 = \frac{\pi}{16}$.
चूंकि $I_1 = \frac{\pi}{4}$,$I_2 = \frac{\pi}{8}$,$I_3 = \frac{\pi}{16}$,इसलिए अनुपात $\frac{I_2}{I_1} = \frac{1}{2}$ और $\frac{I_3}{I_2} = \frac{1}{2}$ है।
अतः,$I_1, I_2, I_3, \ldots$ $G$.$P$. में हैं।

(C) हमें समाकलन $I = \int \frac{x^2 \, dx}{(x \sin x + \cos x)^2}$ दिया गया है।
हम समाकल्य को $I = \int \frac{x}{(x \sin x + \cos x)^2} \cdot \frac{x}{\cos x} \, dx$ के रूप में लिख सकते हैं।
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $u = \frac{x}{\cos x}$ और $dv = \frac{x \, dx}{(x \sin x + \cos x)^2}$ है।
तब $du = \frac{\cos x + x \sin x}{\cos^2 x} \, dx$ प्राप्त होता है।
सूत्र $I = \int u \, dv = uv - \int v \, du$ का उपयोग करने पर,
$I = \frac{-x}{\cos x(x \sin x + \cos x)} - \int \left( \frac{-1}{x \sin x + \cos x} \right) \left( \frac{\cos x + x \sin x}{\cos^2 x} \right) \, dx$.
$I = \frac{-x}{\cos x(x \sin x + \cos x)} + \int \sec^2 x \, dx$.
$I = \frac{-x}{\cos x(x \sin x + \cos x)} + \tan x + c$.
अतः,$f(x) = \frac{-x}{\cos x(x \sin x + \cos x)}$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int_0^{1/2} \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2n}}}$.
$x \in (0, 1/2)$ के लिए,हमारे पास $0 < x < 1$ है,जिसका अर्थ है कि सभी $n \in N, n > 1$ के लिए $x^{2n} < x^2$ होता है।
यदि $n=1$ है,तो $I = \int_0^{1/2} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = [\sin^{-1} x]_0^{1/2} = \frac{\pi}{6}$.
यदि $n > 1$ है,तो $x^{2n} < x^2$,इसलिए $1 - x^{2n} > 1 - x^2$.
यह दर्शाता है कि $\sqrt{1 - x^{2n}} > \sqrt{1 - x^2}$.
इसलिए,$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2n}}} < \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$.
दोनों पक्षों का $0$ से $1/2$ तक समाकलन करने पर:
$I < \int_0^{1/2} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{\pi}{6}$.
अतः,सभी $n \in N$ के लिए,$I \leq \frac{\pi}{6}$.

(A) अंतराल $[a, b]$ पर एक सतत फलन $f(x)$ का औसत मान ज्ञात करने का सूत्र है:
$\text{औसत मान} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$
यहाँ,$f(x) = \sin x$,$a = 0$,और $b = \pi$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\text{औसत ऑर्डिनेट} = \frac{1}{\pi - 0} \int_0^\pi \sin x dx$
$= \frac{1}{\pi} [-\cos x]_0^\pi$
$= \frac{1}{\pi} [-\cos(\pi) - (-\cos(0))]$
$= \frac{1}{\pi} [-(-1) - (-1)]$
$= \frac{1}{\pi} [1 + 1]$
$= \frac{2}{\pi}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B, D) $T$ आवर्तकाल वाले आवर्ती फलन $f(x)$ के लिए,$T$ लंबाई के किसी भी अंतराल पर समाकलन स्थिर होता है,अर्थात $\int_a^{a+T} f(x) dx = \int_0^T f(x) dx$। अतः,कथन $(B)$ सत्य है और $(A)$ असत्य है।
डिरिचलेट फलन $f(x) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$ के लिए,$f(x+T) = f(x)$ किसी भी परिमेय $T$ के लिए सत्य है क्योंकि यदि $x$ परिमेय है,तो $x+T$ परिमेय है,और यदि $x$ अपरिमेय है,तो $x+T$ अपरिमेय है। इस प्रकार,$f$ सभी परिमेय $T$ के लिए आवर्ती है। कथन $(D)$ सत्य है।

(B) लेबनीज़ नियम का उपयोग करते हुए दिए गए समीकरण $\int_0^x (f^{\prime}(t)-\sin 2t) dt = \int_x^0 f(t) \tan t dt$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x) - \sin 2x = -f(x) \tan x$
$f^{\prime}(x) + f(x) \tan x = \sin 2x$
यह $\frac{df}{dx} + P(x)f = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \tan x$ और $Q(x) = \sin 2x = 2 \sin x \cos x$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int \tan x dx} = e^{\ln |\sec x|} = \sec x$ है।
$IF$ से गुणा करने पर,$\frac{d}{dx} (f(x) \sec x) = \sin 2x \sec x = 2 \sin x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$f(x) \sec x = \int 2 \sin x dx = -2 \cos x + C$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f(0) = 1$ दिया गया है,इसलिए $1 \cdot \sec 0 = -2 \cos 0 + C \implies 1 = -2 + C \implies C = 3$ है।
अतः,$f(x) \sec x = -2 \cos x + 3$,जिसका अर्थ है $f(x) = -2 \cos^2 x + 3 \cos x$ है।
अब,$\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (-2 \cos^2 x + 3 \cos x) dx$ है।
$\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$ का उपयोग करने पर,$\int_0^{\frac{\pi}{2}} (-1 - \cos 2x + 3 \cos x) dx = [-x - \frac{\sin 2x}{2} + 3 \sin x]_0^{\frac{\pi}{2}}$ प्राप्त होता है।
$= (-\frac{\pi}{2} - 0 + 3) - (0) = 3 - \frac{\pi}{2}$।

(D) माना $I_1 = \int_0^n [x] dx$ और $I_2 = \int_0^n \{x\} dx$ है।
$I_1 = \int_0^1 0 dx + \int_1^2 1 dx + \int_2^3 2 dx + \dots + \int_{n-1}^n (n-1) dx$।
$I_1 = 0 + 1 + 2 + \dots + (n-1) = \frac{(n-1)n}{2}$।
चूँकि फलन $\{x\}$ का आवर्त $1$ है,इसलिए $I_2 = n \int_0^1 \{x\} dx = n \int_0^1 x dx$।
$I_2 = n \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = n \left( \frac{1}{2} - 0 \right) = \frac{n}{2}$।
अतः,व्यंजक $\frac{I_1}{I_2} = \frac{\frac{n(n-1)}{2}}{\frac{n}{2}} = n-1$ है।

(D) माना $I = \int_0^{2 \pi} \theta \sin ^6 \theta \cos \theta \, d\theta \quad \dots (1)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{2 \pi} (2 \pi - \theta) \sin ^6 (2 \pi - \theta) \cos (2 \pi - \theta) \, d\theta$
चूंकि $\sin(2 \pi - \theta) = -\sin \theta$ और $\cos(2 \pi - \theta) = \cos \theta$,इसलिए:
$I = \int_0^{2 \pi} (2 \pi - \theta) \sin ^6 \theta \cos \theta \, d\theta$
$I = 2 \pi \int_0^{2 \pi} \sin ^6 \theta \cos \theta \, d\theta - \int_0^{2 \pi} \theta \sin ^6 \theta \cos \theta \, d\theta$
$I = 2 \pi \int_0^{2 \pi} \sin ^6 \theta \cos \theta \, d\theta - I$
$2I = 2 \pi \int_0^{2 \pi} \sin ^6 \theta \cos \theta \, d\theta$
$I = \pi \int_0^{2 \pi} \sin ^6 \theta \cos \theta \, d\theta$
माना $f(\theta) = \sin ^6 \theta \cos \theta$. तब $f(2 \pi - \theta) = \sin ^6 (2 \pi - \theta) \cos (2 \pi - \theta) = (-\sin \theta)^6 \cos \theta = \sin ^6 \theta \cos \theta = f(\theta)$.
गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx$ यदि $f(2a-x) = f(x)$ हो:
$I = \pi \cdot 2 \int_0^{\pi} \sin ^6 \theta \cos \theta \, d\theta = 2 \pi \int_0^{\pi} \sin ^6 \theta \cos \theta \, d\theta$
माना $u = \sin \theta$,तो $du = \cos \theta \, d\theta$.
जब $\theta = 0, u = 0$. जब $\theta = \pi, u = 0$.
$I = 2 \pi \int_0^0 u^6 \, du = 0$.

(B) दिया गया है $y = \frac{x}{\ln|cx|}$.
भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\ln|cx| \cdot 1 - x \cdot \frac{1}{cx} \cdot c}{(\ln|cx|)^2} = \frac{\ln|cx| - 1}{(\ln|cx|)^2} = \frac{1}{\ln|cx|} - \frac{1}{(\ln|cx|)^2}$.
चूंकि $y = \frac{x}{\ln|cx|}$,इसलिए $\frac{y}{x} = \frac{1}{\ln|cx|}$.
इस मान को अवकलज व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \left(\frac{y}{x}\right)^2$.
दिए गए अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \phi\left(\frac{x}{y}\right)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\phi\left(\frac{x}{y}\right) = -\left(\frac{y}{x}\right)^2 = -\frac{y^2}{x^2}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $x=\sin \theta$ और $y=\sin(k \theta)$।
सबसे पहले,$y_1 = \frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{d\theta} = k \cos(k \theta)$ और $\frac{dx}{d\theta} = \cos \theta$.
$y_1 = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{k \cos(k \theta)}{\cos \theta} \implies y_1 \cos \theta = k \cos(k \theta)$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y_2 \cos \theta - y_1 \sin \theta \cdot \frac{d\theta}{dx} = -k^2 \sin(k \theta) \cdot \frac{d\theta}{dx}$.
चूंकि $\frac{d\theta}{dx} = \frac{1}{\cos \theta}$,इसलिए:
$y_2 \cos \theta - y_1 \sin \theta \cdot \frac{1}{\cos \theta} = -k^2 \sin(k \theta) \cdot \frac{1}{\cos \theta}$.
$\cos \theta$ से गुणा करने पर:
$y_2 \cos^2 \theta - y_1 \sin \theta = -k^2 \sin(k \theta)$.
चूंकि $1-x^2 = 1-\sin^2 \theta = \cos^2 \theta$ और $x = \sin \theta$ है:
$(1-x^2) y_2 - x y_1 = -k^2 y$.
इसे $(1-x^2) y_2 - x y_1 - \alpha y = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha y = -k^2 y$ प्राप्त होता है,अतः $\alpha = -k^2$।

(A) वक्रों के कुल का दिया गया समीकरण: $y = e^{a \sin x}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\log y = a \sin x$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = a \cos x$.
समीकरण $\log y = a \sin x$ से,हम $a = \frac{\log y}{\sin x}$ लिख सकते हैं।
'$a$' का मान अवकलित समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \left( \frac{\log y}{\sin x} \right) \cos x$.
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \log y \cot x$.
पदों को विकल्पों के अनुसार व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = y \log y \cot x$,जिसे $\frac{dy}{dx} \tan x = y \log y$ या $y \log y = \tan x \frac{dy}{dx}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) अदिश त्रिक गुणनफल सदिशों के घटकों के सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & a \\ a & 0 & 1 \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 1(1 - 0) - a(0 - a^2) + 1(0 - a) = 1 + a^3 - a$
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम '$a$' के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{d\Delta}{da} = 3a^2 - 1 = 0 \implies a^2 = \frac{1}{3} \implies a = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$
द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करने पर:
$\frac{d^2\Delta}{da^2} = 6a$
$a = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए,$\frac{d^2\Delta}{da^2} = -\frac{6}{\sqrt{3}} < 0$,जो स्थानीय अधिकतम मान को दर्शाता है।
अतः,'$a$' का वह मान जिसके लिए अदिश त्रिक गुणनफल अधिकतम है,वह $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ है।

(C) समांतर षट्फलक का आयतन जिसकी कोरें $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ हैं, अदिश त्रिक गुणनफल $|[\vec{u} \vec{v} \vec{w}]|$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a}$ कोरों वाले समांतर षट्फलक का आयतन $9$ है, इसलिए:
$|[(\vec{a} \times \vec{b}) \quad (\vec{b} \times \vec{c}) \quad (\vec{c} \times \vec{a})]| = 9$
हम जानते हैं कि $[(\vec{a} \times \vec{b}) \quad (\vec{b} \times \vec{c}) \quad (\vec{c} \times \vec{a})] = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^2$.
अतः, $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^2 = 9$.
अब, हमें $\vec{u}' = (\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{b} \times \vec{c})$, $\vec{v}' = (\vec{b} \times \vec{c}) \times(\vec{c} \times \vec{a})$, और $\vec{w}' = (\vec{c} \times \vec{a}) \times(\vec{a} \times \vec{b})$ कोरों वाले समांतर षट्फलक का आयतन ज्ञात करना है।
गुणधर्म $(\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{b} \times \vec{c}) = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{b}$ का उपयोग करते हुए, हमें प्राप्त होता है:
$\vec{u}' = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{b}$, $\vec{v}' = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{c}$, $\vec{w}' = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{a}$.
आयतन $|[\vec{u}' \vec{v}' \vec{w}']| = |[([\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{b}) \quad ([\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{c}) \quad ([\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{a})]|$.
$= |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^3 [\vec{b} \vec{c} \vec{a}]| = |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^4|$.
चूंकि $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^2 = 9$, इसलिए $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^4 = (9)^2 = 81$.
अतः, आयतन $81 \text{ घन इकाई}$ है।

(C) सबसे पहले,हम दी गई दो रेखाओं को समाहित करने वाले समतल का समीकरण ज्ञात करते हैं। रेखाएं $L_1: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-3}{4}$ और $L_2: \frac{x-2}{3} = \frac{y-3}{4} = \frac{z-4}{5}$ हैं।
चूंकि रेखाएं एक ही समतल में हैं,समतल का समीकरण सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$\begin{vmatrix} x-1 & y-2 & z-3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$(x-1)(15-16) - (y-2)(10-12) + (z-3)(8-9) = 0$
$-(x-1) + 2(y-2) - (z-3) = 0$
$-x + 1 + 2y - 4 - z + 3 = 0$
$-x + 2y - z = 0$,जो $x - 2y + z = 0$ है।
इसे दिए गए समतल $ax - 2y + z = k$ के साथ तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $a = 1$ और समतल $x - 2y + z = k$ है।
दो समानांतर समतलों $Ax + By + Cz = D_1$ और $Ax + By + Cz = D_2$ के बीच की दूरी $d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$D_1 = 0$,$D_2 = k$,$A = 1, B = -2, C = 1$.
दिया गया है कि $d = \sqrt{6}$,इसलिए $\frac{|0 - k|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \sqrt{6}$.
$\frac{|k|}{\sqrt{1 + 4 + 1}} = \sqrt{6} \Rightarrow \frac{|k|}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}$.
$|k| = \sqrt{6} \times \sqrt{6} = 6$.

(A) समतल का समीकरण $2x - y + 2z - 1 = 0$ दिया गया है।
इस समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ है।
$X$-अक्ष की दिशा का सदिश $\vec{a} = 1\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$ है।
अभिलंब सदिश $\vec{n}$ और $X$-अक्ष के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{a}|}{|\vec{n}| |\vec{a}|}$ है।
अदिश गुणन करने पर: $\vec{n} \cdot \vec{a} = (2)(1) + (-1)(0) + (2)(0) = 2$.
परिमाण ज्ञात करने पर: $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$ और $|\vec{a}| = 1$.
अतः,$\cos \theta = \frac{2}{3 \times 1} = \frac{2}{3}$.
इस प्रकार,$\theta = \cos^{-1} \frac{2}{3}$.

(A) $1$. गुब्बारे की प्रारंभिक गति: $u = 0$,$a = 4 \ ft/sec^2$,$t = 5 \ sec$.
$t = 5 \ sec$ पर गुब्बारे की ऊँचाई: $h_0 = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 4 \times 5^2 = 50 \ ft$.
$t = 5 \ sec$ पर गुब्बारे का वेग: $v_0 = u + at = 0 + 4 \times 5 = 20 \ ft/sec$.
$2$. पत्थर गिराए जाने के बाद की गति: पत्थर का प्रारंभिक वेग $v_0 = 20 \ ft/sec$ और त्वरण $g = -32 \ ft/sec^2$ है।
पत्थर के जमीन तक पहुँचने के लिए $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए $(s = -50 \ ft)$:
$-50 = 20T + \frac{1}{2}(-32)T^2$
$-50 = 20T - 16T^2 \Rightarrow 8T^2 - 10T - 25 = 0$.
$T$ के लिए हल करने पर: $T = 2.5 \ sec = 5/2 \ sec$.
$3$. पत्थर के जमीन पर पहुँचने के समय गुब्बारे की ऊँचाई: गुब्बारा अतिरिक्त $T = 2.5 \ sec$ के लिए $a = 4 \ ft/sec^2$ के साथ ऊपर उठना जारी रखता है।
$H = h_0 + v_0 T + \frac{1}{2}aT^2 = 50 + 50 + 12.5 = 112.5 \ ft$.