એક લેટર લોકમાં $15$ અલગ-અલગ અક્ષરો ધરાવતી ત્રણ રિંગ્સ છે. જો $N$ એ લોક ખોલવા માટેના નિષ્ફળ પ્રયાસોની સંખ્યા દર્શાવે છે,તો:

એક હાઈસ્કૂલમાં,$6$ છોકરાઓ $M_1, M_2, M_3, M_4, M_5, M_6$ અને $5$ છોકરીઓ $G_1, G_2, G_3, G_4, G_5$ ના જૂથમાંથી એક સમિતિ બનાવવાની છે.
$(i)$ ધારો કે $\alpha_1$ એ કુલ રીતો છે જેમાં સમિતિ બનાવી શકાય છે જેથી સમિતિમાં $5$ સભ્યો હોય,જેમાં બરાબર $3$ છોકરાઓ અને $2$ છોકરીઓ હોય.
$(ii)$ ધારો કે $\alpha_2$ એ કુલ રીતો છે જેમાં સમિતિ બનાવી શકાય છે જેથી સમિતિમાં ઓછામાં ઓછા $2$ સભ્યો હોય,અને છોકરાઓ અને છોકરીઓની સંખ્યા સમાન હોય.
$(iii)$ ધારો કે $\alpha_3$ એ કુલ રીતો છે જેમાં સમિતિ બનાવી શકાય છે જેથી સમિતિમાં $5$ સભ્યો હોય,જેમાં ઓછામાં ઓછી $2$ છોકરીઓ હોય.
$(iv)$ ધારો કે $\alpha_4$ એ કુલ રીતો છે જેમાં સમિતિ બનાવી શકાય છે જેથી સમિતિમાં $4$ સભ્યો હોય,જેમાં ઓછામાં ઓછી $2$ છોકરીઓ હોય અને $M_1$ અને $G_1$ બંને એકસાથે સમિતિમાં ન હોય.

$LIST-I$	$LIST-II$
$P$. $\alpha_1$ નું મૂલ્ય	$1. 136$
$Q$. $\alpha_2$ નું મૂલ્ય	$2. 189$
$R$. $\alpha_3$ નું મૂલ્ય	$3. 192$
$S$. $\alpha_4$ નું મૂલ્ય	$4. 200$
	$5. 381$
	$6. 461$

સાચો વિકલ્પ છે:

એક ગણમાં $2n + 1$ ઘટકો છે. આ ગણના $n$ કરતા વધારે ઘટકો ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા કેટલી થાય?

બિન-શૂન્ય અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનાવેલી તમામ ત્રણ-અંકની સંખ્યાઓનો સરવાળો,જ્યાં બધા અંકો પ્રાકૃતિક સંખ્યાના પૂર્ણ વર્ગ હોય,તે છે

$1012$ અને $23421$ ની વચ્ચે આવતી એવી કેટલી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે જે $2, 3, 4, 5, 6$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાય (અંકોનું પુનરાવર્તન માન્ય નથી) અને તે $55$ વડે વિભાજ્ય હોય?

જુદા જુદા રંગના પાંચ દડાઓને ત્રણ અલગ અલગ કદના બોક્સમાં મૂકવાના છે. દરેક બોક્સમાં પાંચેય દડા સમાઈ શકે છે. આપણે દડાઓને કેટલી રીતે મૂકી શકીએ જેથી કોઈ પણ બોક્સ ખાલી ન રહે?