WBJEE 2023 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) બે દળ $m_1$ અને $m_2$ વચ્ચેની એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,જ્યાં $m_2$ શરૂઆતમાં સ્થિર છે,અથડામણ પછી બીજા દળનો વેગ $v_2 = \frac{2m_1}{m_1 + m_2} v_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ અથડામણ: દળ $m_1 = m$ એ $m_2 = \frac{m}{2}$ સાથે $v_0$ વેગથી અથડાય છે. બીજા દડાનો વેગ $v_1$:
$v_1 = \frac{2m}{m + \frac{m}{2}} v_0 = \frac{2m}{\frac{3m}{2}} v_0 = \frac{4}{3} v_0$.
બીજી અથડામણ: દળ $m_2 = \frac{m}{2}$ એ $m_3 = \frac{m}{4}$ સાથે $v_1 = \frac{4}{3} v_0$ વેગથી અથડાય છે. ત્રીજા દડાનો વેગ $v_2$:
$v_2 = \frac{2(\frac{m}{2})}{\frac{m}{2} + \frac{m}{4}} v_1 = \frac{m}{\frac{3m}{4}} v_1 = \frac{4}{3} v_1 = \left(\frac{4}{3}\right)^2 v_0$.
આ પેટર્નને અનુસરીને,$n$-મા દડા માટે,$(n-1)$ અથડામણો પછીનો વેગ $v_{n-1}$:
$v_{n-1} = \left(\frac{4}{3}\right)^{n-1} v_0$.

(A) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન એ અંતિમ કોણીય વેગમાન જેટલું હોય છે.
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = I \omega_0$,જ્યાં $\omega_0$ એ પ્રારંભિક કોણીય વેગ છે.
જ્યારે $m$ દળનો ઉંદર $R$ ત્રિજ્યા પર ધાર પર બેસે છે,ત્યારે સિસ્ટમની નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = I + m R^2$ થાય છે.
ધારો કે નવો કોણીય વેગ $\omega$ છે. તેથી,$L_f = (I + m R^2) \omega$.
$L_i = L_f$ ને સરખાવતા,આપણને $I \omega_0 = (I + m R^2) \omega$ મળે છે.
આમ,$\omega = \frac{I \omega_0}{I + m R^2}$.
કોણીય વેગમાં થતો આંશિક ઘટાડો $\frac{\omega_0 - \omega}{\omega_0} = 1 - \frac{\omega}{\omega_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $1 - \frac{I}{I + m R^2} = \frac{I + m R^2 - I}{I + m R^2} = \frac{m R^2}{I + m R^2}$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $V = -\frac{GM}{r} + \frac{A}{r^2}$ છે.
પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સમીકરણના દરેક પદના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
તેથી,$\frac{A}{r^2}$ નું પરિમાણ $\frac{GM}{r}$ ના પરિમાણ જેટલું હોવું જોઈએ.
$[V] = [\frac{GM}{r}] = [\frac{A}{r^2}]$
આના પરથી,$[A] = [\frac{GM}{r}] \times [r^2] = [GM] \times [r]$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિમાન $V$ એ એકમ દળ દીઠ ઉર્જાના પરિમાણ ધરાવે છે,જે $[L^2 T^{-2}]$ છે.
વળી,$\frac{GM}{r}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિમાન દર્શાવે છે,તેથી $[\frac{GM}{r}] = [L^2 T^{-2}]$.
પ્રકાશની ગતિ $c$ ના પરિમાણ $[L T^{-1}]$ હોવાથી,$c^2$ ના પરિમાણ $[L^2 T^{-2}]$ થાય.
આમ,$[\frac{GM}{r}] = [c^2]$.
$[r] = \frac{[GM]}{[c^2]}$ ને $[A]$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$[A] = [GM] \times \frac{[GM]}{[c^2]} = \frac{G^2 M^2}{c^2}$.

(C) $R$ ત્રિજ્યા અને $\rho$ ઘનતા ધરાવતા ગ્રહની સપાટીની નજીક ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહ માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$m g = m \omega^2 R$
કારણ કે $g = \frac{G M}{R^2}$ અને $M = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$,તેથી $g = \frac{G \rho \frac{4}{3} \pi R^3}{R^2} = \frac{4}{3} \pi G \rho R$.
આ કિંમતને બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$m (\frac{4}{3} \pi G \rho R) = m \omega^2 R$
$\omega^2 = \frac{4}{3} \pi G \rho$
કારણ કે $\omega = \frac{2 \pi}{T}$,આપણને $(\frac{2 \pi}{T})^2 = \frac{4}{3} \pi G \rho$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $T^2 = \frac{3 \pi}{G \rho}$ થાય છે.
આમ,$T \propto \frac{1}{\sqrt{\rho}}$.
બંને ઉપગ્રહોનો સમયગાળો $T$ સમાન હોવાથી,તેમની ઘનતા સમાન હોવી જોઈએ,એટલે કે $\rho_m = \rho_e$.

(B) સરેરાશ ઝડપ $\overline{V}$ એ વેગના અંકગણિત મધ્યક તરીકે ગણવામાં આવે છે: $\overline{V} = \frac{1 + 3 + 5 + 5 + 6 + 5}{6} = \frac{25}{6} \approx 4.16 \,m/s$.
રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $V_{rms}$ એ વેગના વર્ગોના સરેરાશના વર્ગમૂળ તરીકે ગણવામાં આવે છે: $V_{rms} = \sqrt{\frac{1^2 + 3^2 + 5^2 + 5^2 + 6^2 + 5^2}{6}} = \sqrt{\frac{1 + 9 + 25 + 25 + 36 + 25}{6}} = \sqrt{\frac{121}{6}} = \frac{11}{\sqrt{6}} \approx 4.49 \,m/s$.
બંને મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $4.49 > 4.16$,તેથી $V_{rms} > \overline{V}$.

(D) પદાર્થ બે પ્રકારના પ્રવેગ અનુભવે છે: કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $(a_c)$ અને સ્પર્શકીય પ્રવેગ $(a_T)$.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{(2\sqrt{5})^2}{5} = \frac{20}{5} = 4 \,m/s^2$ છે.
સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_T = 3 \,m/s^2$ આપેલ છે.
પરિણામી પ્રવેગ $a = \sqrt{a_c^2 + a_T^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \,m/s^2$ થાય.
તેથી, પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ $F = m \times a = 2 \,kg \times 5 \,m/s^2 = 10 \,N$ મળે.

(C) સાતત્યના સમીકરણ (Equation of Continuity) મુજબ, કદનો પ્રવાહ દર અચળ રહે છે:
$AV = av \implies V = \frac{a}{A}v$
જ્યાં $V$ એ પિસ્ટનનો વેગ છે અને $v$ એ ઓરિફિસમાંથી બહાર આવતા પ્રવાહીનો વેગ છે.
નળાકારની અંદર (પિસ્ટનની નજીક) અને ઓરિફિસ વચ્ચે બર્નુલીના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા:
$P_{in} + \frac{1}{2} \rho V^2 = P_{out} + \frac{1}{2} \rho v^2$
નળાકારની અંદરનું દબાણ $P_{in} = P_0 + \frac{F}{A}$ છે, જ્યાં $P_0$ એ વાતાવરણીય દબાણ છે. ઓરિફિસ પરનું દબાણ $P_{out} = P_0$ છે.
આ કિંમતોને બર્નુલીના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(P_0 + \frac{F}{A}) + \frac{1}{2} \rho V^2 = P_0 + \frac{1}{2} \rho v^2$
$\frac{F}{A} = \frac{1}{2} \rho (v^2 - V^2)$
$V = \frac{a}{A}v$ મૂકતા:
$\frac{F}{A} = \frac{1}{2} \rho (v^2 - (\frac{a}{A}v)^2) = \frac{1}{2} \rho v^2 (1 - \frac{a^2}{A^2})$
કારણ કે $A \gg a$, તેથી $\frac{a^2}{A^2} \approx 0$, માટે:
$\frac{F}{A} = \frac{1}{2} \rho v^2 \implies v = \sqrt{\frac{2F}{\rho A}}$

(D) જ્યારે $U$-ટ્યુબને જમણી તરફ '$f$' પ્રવેગ સાથે પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રવાહી પર વિરુદ્ધ દિશામાં સ્યુડો-બળ લાગે છે.
ધારો કે પ્રવાહીની સપાટીનો સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\theta$ છે.
પ્રવાહી પર લાગતો અસરકારક પ્રવેગ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ '$g$' (નીચેની તરફ) અને સ્યુડો-પ્રવેગ '$f$' (ડાબી તરફ) નો સદિશ સરવાળો છે.
ખૂણા $\theta$ નો ટેન્જન્ટ એ સમક્ષિતિજ પ્રવેગ અને ઉર્ધ્વ પ્રવેગના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\tan \theta = \frac{f}{g}$
$U$-ટ્યુબની ભૂમિતિ પરથી,જ્યાં '$h$' એ ઊંચાઈનો તફાવત છે અને '$a$' એ બે બાજુઓ વચ્ચેનું સમક્ષિતિજ અંતર છે:
$\tan \theta = \frac{h}{a}$
$\tan \theta$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{h}{a} = \frac{f}{g}$
તેથી,ઊંચાઈનો તફાવત:
$h = \frac{f a}{g}$

(A) સરળ આવર્ત ગતિમાં,પ્રવેગ $f$ એ $f = -\omega^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $x$ એ સ્થાનાંતર છે.
મૂલ્ય લેતા,આપણી પાસે $|f| = \omega^2 |x|$ છે.
આવર્તકાળ $T$ એ $T = \frac{2\pi}{\omega}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,ગુણાકાર $|fT|$ છે:
$|fT| = |f| \cdot T = (\omega^2 |x|) \cdot \left(\frac{2\pi}{\omega}\right) = 2\pi\omega |x|$.
અહીં $2\pi\omega$ એ અચળ હોવાથી,સંબંધ $|fT| = (2\pi\omega) |x|$ એ $y = mx$ સ્વરૂપનું રેખીય સમીકરણ દર્શાવે છે,જ્યાં $y = |fT|$ અને $x$ એ સ્થાનાંતર છે.
આમ,$|fT|$ વિરુદ્ધ $x$ નો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા છે.

(D) પ્રક્ષેપણ બિંદુની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન $L = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,કણનો વેગ સંપૂર્ણપણે સમક્ષિતિજ હોય છે,જે $v_x = u \cos \theta$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ સ્થાન સદિશનો શિરોલંબ ઘટક મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ જેટલો હોય છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ કોણીય વેગમાનનું મૂલ્ય $L = m v_x H = m (u \cos \theta) \left( \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \right)$ છે.
આને સરળ બનાવતા,આપણને $L = \frac{m u^3}{2g} \sin^2 \theta \cos \theta$ મળે છે.
$\theta = 0^{\circ}$ માટે,$L = 0$. $\theta = 90^{\circ}$ (અથવા $\frac{\pi}{2}$) માટે,$L = 0$.
$0$ અને $\frac{\pi}{2}$ ની વચ્ચે,વિધેય $f(\theta) = \sin^2 \theta \cos \theta$ ધન છે અને મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે. આ આલેખ $D$ માં દર્શાવેલ આકારને અનુરૂપ છે.

(C) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$,જ્યાં $\Delta U$ એ આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે.
આંતરિક ઉર્જા એ અવસ્થા વિધેય હોવાથી,$A$ અને $C$ વચ્ચેના કોઈપણ માર્ગ માટે $\Delta U$ સમાન રહે છે.
સીધા માર્ગ $A \rightarrow C$ માટે:
$\Delta W_{AC} = 200 \ J$
$\Delta Q_{AC} = 280 \ J$
$\Delta U = \Delta Q_{AC} - \Delta W_{AC} = 280 \ J - 200 \ J = 80 \ J$.
માર્ગ $A \rightarrow B \rightarrow C$ માટે:
$\Delta W_{ABC} = 80 \ J$
$\Delta U$ એ અવસ્થા વિધેય હોવાથી,આ માર્ગ માટે પણ $\Delta U = 80 \ J$ રહેશે.
તેથી,શોષાયેલી ઉષ્મા $\Delta Q_{ABC} = \Delta U + \Delta W_{ABC} = 80 \ J + 80 \ J = 160 \ J$.

(A) અચળ દરે આપવામાં આવતી ઉષ્મા $\Delta H = mC \Delta \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉષ્મા આપવાનો દર $\frac{dH}{dt}$ અચળ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$\frac{dH}{dt} = mC \frac{d\theta}{dt}$.
આ સૂચવે છે કે $\frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{mC} \left( \frac{dH}{dt} \right)$.
અહીં $m$ અને $\frac{dH}{dt}$ અચળ હોવાથી,$\theta-t$ આલેખનો ઢાળ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે (એટલે કે,$\text{slope} \propto \frac{1}{C}$).
આકૃતિ પરથી,રેખા $B$ નો ઢાળ રેખા $A$ ના ઢાળ કરતા વધારે છે (એટલે કે,$\text{slope}_B > \text{slope}_A$).
તેથી,$C_B < C_A$,જેનો અર્થ છે કે $A$ ની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $B$ કરતા વધારે છે.

(A, B, C, D) $p-v$ આલેખમાં:
$1$. પ્રક્રિયા $1 \rightarrow 2$ એક આડી રેખા છે,જેનો અર્થ છે કે દબાણ $p$ અચળ છે. તેથી,તે સમદાબી પ્રક્રિયા છે.
$2$. પ્રક્રિયા $3 \rightarrow 1$ એક ઉભી રેખા છે,જેનો અર્થ છે કે કદ $v$ અચળ છે. તેથી,તે સમકદ પ્રક્રિયા છે.
$3$. પ્રક્રિયા $2 \rightarrow 3$ એક વક્ર છે,જે આ ચક્રમાં એડિબેટિક પ્રક્રિયા દર્શાવે છે.
$4$. કોઈપણ પૂર્ણ ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 0$ થાય છે. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$Q = \Delta U + W$. $\Delta U = 0$ હોવાથી,$Q = W$ થાય છે. ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $W$ એ ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે,જે શૂન્યતર છે. તેથી,થયેલ કાર્ય અને શોષાયેલી ઉષ્મા બંને શૂન્યતર છે.
આમ,વિધાનો $A$,$B$,$C$ અને $D$ બધા સાચા છે.

(A) ધન $x$-દિશામાં ગતિ કરતા તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $y = A \sin(\omega t - kx + \phi)$ છે.
$t=0$ સમયે,સમીકરણ $y = 3 \sin(-2\pi x / 3)$ છે,જે સૂચવે છે કે $k = 2\pi / 3$.
તરંગનો વેગ $v = 4 \ m/s$ આપેલ છે,તેથી $v = \omega / k$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
$\omega = v \cdot k = 4 \times (2\pi / 3) = 8\pi / 3$.
આમ,સામાન્ય તરંગ સમીકરણ $y = 3 \sin \left(\frac{8\pi}{3}t - \frac{2\pi}{3}x\right)$ થશે.
$t=4 \ s$ સમયે,$t$ ની કિંમત મૂકતા:
$y = 3 \sin \left(\frac{8\pi}{3}(4) - \frac{2\pi}{3}x\right)$
$y = 3 \sin \left(\frac{32\pi}{3} - \frac{2\pi}{3}x\right)$
$2\pi$ સામાન્ય લેતા:
$y = 3 \sin 2\pi \left(\frac{16}{3} - \frac{x}{3}\right) = 3 \sin 2\pi \left(-\frac{x-16}{3}\right)$.

(D) દોરડાના એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\lambda = \frac{M}{L} = \frac{0.4 \,kg}{4 \,m} = 0.1 \,kg/m$ છે।
લટકતા ભાગની લંબાઈ $l = 0.6 \,m$ છે।
લટકતા ભાગનું દળ $m = \lambda \times l = 0.1 \,kg/m \times 0.6 \,m = 0.06 \,kg$ થાય।
લટકતા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ટેબલની ધારથી $h = \frac{l}{2} = \frac{0.6 \,m}{2} = 0.3 \,m$ નીચે છે।
દોરડાને ટેબલ પર ખેંચવા માટે કરવું પડતું કાર્ય એ લટકતા ભાગની સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે,જે $W = mgh$ છે।
કિંમતો મૂકતા: $W = 0.06 \,kg \times 10 \,m/s^2 \times 0.3 \,m = 0.18 \,J$।

(A, B, C) $1$. છોકરીની સાપેક્ષમાં, દડાનો પ્રારંભિક વેગ $0$ છે અને અંતિમ વેગ $v$ છે. ગતિઊર્જા $E_k = \frac{1}{2}mv^2$ છે. આમ, છોકરી દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = \Delta E_k = \frac{1}{2}mv^2$ છે. તેથી, વિકલ્પ $A$ અને $B$ સાચા છે.
$2$. જમીનની સાપેક્ષમાં, દડાનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને અંતિમ વેગ $v+u$ છે. ટ્રેન દ્વારા થયેલ કાર્ય એ જમીન પરથી જોતા દડાની ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર અને છોકરી દ્વારા થયેલ કાર્યનો તફાવત છે: $W_{\text{train}} = \Delta E_{k, \text{ground}} - W_{\text{girl}} = [\frac{1}{2}m(v+u)^2 - \frac{1}{2}mu^2] - \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(v^2 + u^2 + 2vu - u^2) - \frac{1}{2}mv^2 = mvu$. તેથી, વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
$3$. જમીન પર ઉભેલા વ્યક્તિ દ્વારા માપવામાં આવેલ ગતિઊર્જામાં વધારો $\Delta E_{k, \text{ground}} = \frac{1}{2}m(v+u)^2 - \frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mvu$ છે. આમ, વિકલ્પ $D$ ખોટો છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં $n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિતિ ઊર્જા $U_n = -27.2 / n^2 \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n = 2)$ માટે,સ્થિતિ ઊર્જા $U_2 = -27.2 / 2^2 = -6.8 \ eV$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આપણે $U_2 = 0$ લઈએ છીએ. આનો અર્થ એ છે કે આપણે સ્થિતિ ઊર્જાના સ્કેલમાં $6.8 \ eV$ નો અચળાંક ઉમેરી રહ્યા છીએ.
હાઇડ્રોજન પરમાણુની કુલ ઊર્જા $E_n = -13.6 / n^2 \ eV$ છે.
$n = \infty$ માટે,પ્રમાણિત કુલ ઊર્જા $E_{\infty} = 0 \ eV$ છે.
આપણે સ્થિતિ ઊર્જાના સ્કેલમાં $6.8 \ eV$ ઉમેર્યા હોવાથી,નવી કુલ ઊર્જા $E'_{\infty} = E_{\infty} + 6.8 \ eV = 0 + 6.8 \ eV = 6.8 \ eV$ થશે.

(A) ધારો કે બે પ્લેટો પરના વિદ્યુતભારો $Q_1 = 12 \mu C$ અને $Q_2 = 6 \mu C$ છે.
જ્યારે બે મોટી વાહક પ્લેટોને એકબીજાને સમાંતર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે બહારની સપાટીઓ પરનો વિદ્યુતભાર $\frac{Q_1 + Q_2}{2}$ જેટલો હોય છે અને અંદરની સપાટીઓ પરનો વિદ્યુતભાર અનુક્રમે $\frac{Q_1 - Q_2}{2}$ અને $\frac{Q_2 - Q_1}{2}$ જેટલો હોય છે.
સપાટી $A$ (પ્રથમ પ્લેટની બહારની સપાટી) માટે: $q_A = \frac{Q_1 + Q_2}{2} = \frac{12 + 6}{2} = \frac{18}{2} = 9 \mu C$.
સપાટી $B$ (પ્રથમ પ્લેટની અંદરની સપાટી) માટે: $q_B = \frac{Q_1 - Q_2}{2} = \frac{12 - 6}{2} = \frac{6}{2} = 3 \mu C$.
સપાટી $C$ (બીજી પ્લેટની અંદરની સપાટી) માટે: $q_C = \frac{Q_2 - Q_1}{2} = \frac{6 - 12}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \mu C$.
સપાટી $D$ (બીજી પ્લેટની બહારની સપાટી) માટે: $q_D = \frac{Q_1 + Q_2}{2} = \frac{12 + 6}{2} = \frac{18}{2} = 9 \mu C$.
આમ,સપાટી $A, B, C$ અને $D$ પર વિદ્યુતભારનું વિતરણ અનુક્રમે $9 \mu C, 3 \mu C, -3 \mu C$ અને $9 \mu C$ છે.

(A, C, D) શરૂઆતમાં,જ્યારે સ્વીચ $K$ બંધ હોય છે,ત્યારે બંને કેપેસીટર $A$ અને $B$ વોલ્ટેજ $V$ ની બેટરી સાથે સમાંતરમાં હોય છે. સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા $U = \frac{1}{2}CV^2 + \frac{1}{2}CV^2 = CV^2$ છે.
જ્યારે સ્વીચ $K$ ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસીટર $A$ બેટરી સાથે જોડાયેલું રહે છે,જ્યારે કેપેસીટર $B$ અલગ થઈ જાય છે. $B$ પરનો વિદ્યુતભાર $q_B = CV$ અચળ રહે છે.
ડાયલેક્ટ્રિક $(K=3)$ દાખલ કર્યા પછી:
કેપેસીટર $A$ માટે: નવું કેપેસીટન્સ $C_A' = KC = 3C$ છે. વોલ્ટેજ $V$ અચળ રહે છે. સંગ્રહિત ઉર્જા $U_A = \frac{1}{2}C_A'V^2 = \frac{1}{2}(3C)V^2 = \frac{3}{2}CV^2$ છે.
કેપેસીટર $B$ માટે: વિદ્યુતભાર $q_B = CV$ અચળ રહે છે. નવું કેપેસીટન્સ $C_B' = KC = 3C$ છે. સંગ્રહિત ઉર્જા $U_B = \frac{q_B^2}{2C_B'} = \frac{(CV)^2}{2(3C)} = \frac{C^2V^2}{6C} = \frac{1}{6}CV^2$ છે.
સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા $U_{total} = U_A + U_B = \frac{3}{2}CV^2 + \frac{1}{6}CV^2 = \frac{9+1}{6}CV^2 = \frac{10}{6}CV^2 = \frac{5}{3}CV^2$ છે.
આમ,વિધાનો $A$,$C$ અને $D$ સાચા છે.

(C) ધારો કે વોલ્ટમીટરનો અવરોધ $R_v$ છે। વોલ્ટમીટર $160 \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે। આ સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{160 R_v}{160 + R_v}$ છે।
સર્કિટનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_p + 20 = \frac{160 R_v}{160 + R_v} + 20$ છે।
સર્કિટમાં વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{10}{\frac{160 R_v}{160 + R_v} + 20}$ છે।
સમાંતર જોડાણ પરનો વોલ્ટેજ (વોલ્ટમીટરનું રીડિંગ) $V_p = I \times R_p = 8 \,V$ છે।
$I$ અને $R_p$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{10}{\frac{160 R_v}{160 + R_v} + 20} \times \frac{160 R_v}{160 + R_v} = 8$.
ધારો કે $x = \frac{160 R_v}{160 + R_v}$। તો $\frac{10x}{x + 20} = 8 \implies 10x = 8x + 160 \implies 2x = 160 \implies x = 80 \Omega$.
હવે, $\frac{160 R_v}{160 + R_v} = 80 \implies 160 R_v = 80(160 + R_v) \implies 160 R_v = 12800 + 80 R_v \implies 80 R_v = 12800 \implies R_v = 160 \Omega$.

(A) કોઈલમાંથી પસાર થતો કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ એ પ્રવાહ-સમય આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલો હોય છે. પ્રવાહ સમય $T$ માં $I_0$ થી ઘટીને $0$ થાય છે,તેથી આલેખ એ $T$ પાયો અને $I_0$ ઊંચાઈ ધરાવતો ત્રિકોણ છે.
$Q = \frac{1}{2} I_0 T \Rightarrow I_0 = \frac{2 Q}{T}$
સમયના વિધેય તરીકે પ્રવાહ $I(t) = I_0 \left(1 - \frac{t}{T}\right) = \frac{2 Q}{T} \left(1 - \frac{t}{T}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈલમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H$ એ $H = \int_0^T I^2 R \, dt$ દ્વારા મળે છે.
$H = R \int_0^T \left[ \frac{2 Q}{T} \left(1 - \frac{t}{T}\right) \right]^2 \, dt = \frac{4 Q^2 R}{T^2} \int_0^T \left(1 - \frac{t}{T}\right)^2 \, dt$.
ધારો કે $u = 1 - \frac{t}{T}$,તો $du = -\frac{1}{T} dt$,તેથી $dt = -T du$.
જ્યારે $t=0, u=1$; જ્યારે $t=T, u=0$.
$H = \frac{4 Q^2 R}{T^2} \int_1^0 u^2 (-T \, du) = \frac{4 Q^2 R}{T} \int_0^1 u^2 \, du$.
$H = \frac{4 Q^2 R}{T} \left[ \frac{u^3}{3} \right]_0^1 = \frac{4 Q^2 R}{3 T}$.

(D) જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ,જો વાયરમાં પ્રવાહ ઉપરની તરફ વહેતો હોય,તો ગૂંચળાના વિસ્તારમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ કાગળના સમતલની અંદરની તરફ હોય છે.
જો વાયરમાં પ્રવાહ નીચેની તરફ વહેતો હોય,તો ગૂંચળાના વિસ્તારમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ કાગળના સમતલની બહારની તરફ હોય છે.
લૂપમાં ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં પ્રેરિત પ્રવાહ માટે,પ્રેરિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર કાગળના સમતલની અંદરની તરફ હોવું જોઈએ (જમણા હાથના પકડના નિયમ દ્વારા).
લેન્ઝના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે.
કિસ્સો $1$: જો પ્રવાહ ઉપરની તરફ વહેતો હોય અને વધતો હોય,તો સમતલની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર વધે છે,તેથી તેનો વિરોધ કરવા માટે પ્રેરિત પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં હશે. આ મેળ ખાતું નથી.
કિસ્સો $2$: જો પ્રવાહ ઉપરની તરફ વહેતો હોય અને ઘટતો હોય,તો સમતલની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઘટે છે,તેથી તેને ટેકો આપવા માટે પ્રેરિત પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં હશે.
કિસ્સો $3$: જો પ્રવાહ નીચેની તરફ વહેતો હોય અને વધતો હોય,તો સમતલની બહારનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર વધે છે,તેથી તેનો વિરોધ કરવા માટે પ્રેરિત પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં હશે.
કિસ્સો $4$: જો પ્રવાહ નીચેની તરફ વહેતો હોય અને ઘટતો હોય,તો સમતલની બહારનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઘટે છે,તેથી તેને ટેકો આપવા માટે પ્રેરિત પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં હશે.
કારણ કે પ્રેરિત પ્રવાહ ઉત્પન્ન કરવા માટે પ્રવાહ સમય પર આધારિત હોવો જોઈએ,અને ઘટતો ઉપરનો પ્રવાહ તેમજ ઘટતો નીચેનો પ્રવાહ બંને ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં પ્રેરિત પ્રવાહ ઉત્પન્ન કરી શકે છે,તેથી સૌથી યોગ્ય સામાન્ય વર્ણન એ છે કે પ્રવાહ સમય પર આધારિત છે.

(A) જ્યારે ગજિયો ચુંબક વાહક રીંગમાંથી નીચે પડે છે,ત્યારે રીંગ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર થાય છે. લેન્ઝના નિયમ મુજબ,રીંગમાં પ્રેરિત પ્રવાહ ઉત્પન્ન થાય છે જે ચુંબકની ગતિનો વિરોધ કરે છે.
જેમ જેમ ચુંબક રીંગની નજીક આવે છે,તેમ પ્રેરિત પ્રવાહ એક ચુંબકીય ક્ષેત્ર બનાવે છે જે ચુંબકને અપાકર્ષે છે,જેના કારણે તેનો પ્રવેગ $g$ (ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ) કરતા ઓછો થાય છે.
જેમ જેમ ચુંબક રીંગના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે,તેમ રીંગ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘટવાનું શરૂ થાય છે. પ્રેરિત પ્રવાહ હવે એક ચુંબકીય ક્ષેત્ર બનાવે છે જે ચુંબકને આકર્ષે છે,જે ફરીથી તેની નીચેની ગતિનો વિરોધ કરે છે.
સમગ્ર પ્રક્રિયા દરમિયાન,ચુંબક પરનું ચોખ્ખું બળ $F_{net} = mg - F_{mag}$ છે,જ્યાં $F_{mag}$ એ ચુંબકીય બળ છે. ચુંબકની ઝડપ સતત વધે છે,પરંતુ જ્યારે તે રીંગની નજીક હોય ત્યારે વિરોધી ચુંબકીય બળને કારણે તેનો પ્રવેગ ઘટે છે. વિકલ્પ $A$ માંનો આલેખ આ વર્તણૂકને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે,જ્યાં ઢાળ (પ્રવેગ) ઘટે છે જ્યારે ચુંબક રીંગમાંથી પસાર થાય છે અને પછી ફરીથી વધે છે.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,પ્રસરણની દિશા સદિશ $\vec{k}_{dir} = \hat{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે (કારણ કે કળા $kz - \omega t$ છે).
વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E} = E_0(\hat{i} + \hat{j})$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એ પ્રસરણની દિશા અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ બંનેને લંબ હોય છે.
$\vec{B}$ ની દિશા ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{k}_{dir} \times \vec{E}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{B}_{dir} = \hat{k} \times (\hat{i} + \hat{j}) = (\hat{k} \times \hat{i}) + (\hat{k} \times \hat{j}) = \hat{j} - \hat{i} = -\hat{i} + \hat{j}$.
આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા $-\hat{i} + \hat{j}$ છે.

(B) અનંત વિદ્યુતભારીત નળાકારને કારણે તેના અક્ષથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E \propto \frac{1}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $+Q$ વિદ્યુતભાર નળાકારની નજીક છે,તેથી $+Q$ ના સ્થાન પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E_1)$ એ $-Q$ ના સ્થાન પરના વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E_2)$ કરતા વધારે છે,એટલે કે $E_1 > E_2$.
$+Q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F_1 = Q E_1$ છે (નળાકારથી દૂર,એટલે કે જમણી તરફ).
$-Q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F_2 = Q E_2$ છે (નળાકાર તરફ,એટલે કે ડાબી તરફ).
$E_1 > E_2$ હોવાથી,પરિણામી બળ $F_{\text{net}} = F_1 - F_2$ જમણી તરફ લાગે છે.
ટોર્ક વિશે વાત કરીએ તો,બળ $F_1$ સળિયાના કેન્દ્રથી વધુ અંતરે લાગે છે અને તે મોટું છે,જ્યારે $F_2$ ઓછા અંતરે લાગે છે. આ બળોનું સંયોજન સળિયાના કેન્દ્રની આસપાસ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે.

(D) વિદ્યુત ડાયપોલને કારણે કોઈ બિંદુ $(r, \theta)$ પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{p \cos \theta}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $A(a, 0, 0)$ એ ડાયપોલના વિષુવવૃત્તીય સમતલ પર આવેલું છે (જે $z$-અક્ષ પર છે),તેથી ખૂણો $\theta_A = 90^{\circ}$ છે. આમ,$A$ પરનું સ્થિતિમાન $V_A = \frac{p \cos 90^{\circ}}{4 \pi \varepsilon_0 a^2} = 0$ થાય.
બિંદુ $B(0, 0, a)$ એ ડાયપોલની અક્ષ પર આવેલું છે,તેથી ખૂણો $\theta_B = 0^{\circ}$ છે. આમ,$B$ પરનું સ્થિતિમાન $V_B = \frac{p \cos 0^{\circ}}{4 \pi \varepsilon_0 a^2} = \frac{p}{4 \pi \varepsilon_0 a^2}$ થાય.
$A$ થી $B$ સુધી $q$ વિદ્યુતભારને લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = q(V_B - V_A)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$W = q \left( \frac{p}{4 \pi \varepsilon_0 a^2} - 0 \right) = \frac{p q}{4 \pi \varepsilon_0 a^2}$ મળે છે.

(D) રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda = \lambda_0 \sin \theta$ છે. સળિયા પર એક નાનો ખંડ લો જે કેન્દ્ર પર $d\theta$ ખૂણો આંતરે છે. આ ખંડ પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \lambda (R d\theta) = \lambda_0 R \sin \theta d\theta$ છે.
કેન્દ્ર પર આ ખંડને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $dE = \frac{k dq}{R^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\lambda_0 R \sin \theta d\theta}{R^2} = \frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 R} \sin \theta d\theta$ છે.
સંમિતિને કારણે,વિદ્યુતક્ષેત્રના $x$-ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે. $y$-ઘટક $dE_y = -dE \sin \theta = -\frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 R} \sin^2 \theta d\theta$ છે.
$\theta = 0$ થી $\pi$ સુધી સંકલન કરતા:
$E_y = -\frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 R} \int_0^{\pi} \sin^2 \theta d\theta = -\frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 R} \int_0^{\pi} \frac{1 - \cos 2\theta}{2} d\theta = -\frac{\lambda_0}{8 \pi \varepsilon_0 R} [\theta - \frac{\sin 2\theta}{2}]_0^{\pi} = -\frac{\lambda_0}{8 \pi \varepsilon_0 R} (\pi) = -\frac{\lambda_0}{8 \varepsilon_0 R}$.
આમ,$\vec{E} = -\frac{\lambda_0}{8 \varepsilon_0 R} \hat{j}$. જે આપેલા વિકલ્પોમાં નથી,તેથી સાચો જવાબ $D$ છે.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્રનો ઘટક $E_{x}$ એ $x$ ની સાપેક્ષમાં સ્થિતિમાનના ઋણ ઢાળ દ્વારા આપવામાં આવે છે,એટલે કે $E_{x} = -\frac{dV}{dx}$.
આલેખ પરથી,સ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = V_{2} - V_{1} = 4 \ V - 2 \ V = 2 \ V$ છે.
આ બે સમસ્થિતિમાન રેખાઓ વચ્ચે $x$-અક્ષ પરનું અંતર $\Delta x = 4 \ cm - 2 \ cm = 2 \ cm = 0.02 \ m$ છે.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્રના $x$-ઘટકનું મૂલ્ય $E_{x} = -\frac{\Delta V}{\Delta x} = -\frac{2 \ V}{0.02 \ m} = -100 \ V/m$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = I (\vec{L}_{eff} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{L}_{eff}$ એ તારના શરૂઆતના બિંદુથી અંતિમ બિંદુ સુધીનો અસરકારક સ્થાનાંતર સદિશ છે.
આપેલ વક્ર $y = A \sin \left(\frac{2 \pi}{\lambda} x\right)$ માટે,શરૂઆતનું બિંદુ $x=0$ છે,જે $y=0$ આપે છે. અંતિમ બિંદુ $x=\lambda$ છે,જે $y = A \sin(2\pi) = 0$ આપે છે.
આમ,અસરકારક સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{L}_{eff}$ એ $(0, 0)$ થી $(\lambda, 0)$ સુધીનો સદિશ છે,જે $\vec{L}_{eff} = \lambda \hat{i}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $z$-દિશામાં છે,તેથી $\vec{B} = B \hat{k}$.
ચુંબકીય બળ $\vec{F} = I (\lambda \hat{i} \times B \hat{k}) = I \lambda B (\hat{i} \times \hat{k}) = -I \lambda B \hat{j}$ થશે.
ચુંબકીય બળનું મૂલ્ય $|\vec{F}| = I \lambda B$ છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $z$-અક્ષની દિશામાં છે $(B = B_0 \hat{k})$.
કણનો વેગ $v = 3 \hat{i} + 4 \hat{k} \text{ m/s}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ વેગનો ઘટક $v_{\perp} = 3 \hat{i} \text{ m/s}$ છે,જે $x-y$ સમતલમાં વર્તુળાકાર ગતિ કરાવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર વેગનો ઘટક $v_{\parallel} = 4 \hat{k} \text{ m/s}$ છે,જે અચળ રહે છે કારણ કે આ દિશામાં કોઈ બળ લાગતું નથી.
કણ પાસે લંબ અને સમાંતર બંને વેગના ઘટકો હોવાથી,ગતિપથ હેલિકલ (કુંતલાકાર) હશે.
$z$-અક્ષ પર કાપવાનું અંતર $s = 2 \text{ m}$ છે.
સૂત્ર $s = v_{\parallel} \times t$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $t = \frac{s}{v_{\parallel}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \text{ s}$ મળે છે.

(A, B, C, D) $r < R$ માટે,ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\phi_B}{dt}$.
$E(2\pi r) = \frac{d}{dt}[(4t^2 - 2t + 6) \pi r^2] = (8t - 2) \pi r^2$.
આમ,$E = \frac{(8t - 2)r}{2} = (4t - 1)r$. કારણ કે $E \propto r$,વિદ્યુતક્ષેત્ર $r < R$ માટે $r$ સાથે રેખીય રીતે બદલાય છે.
$r > R$ માટે,ચુંબકીય ફ્લક્સ $r \le R$ વિસ્તાર પૂરતું મર્યાદિત છે: $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d}{dt}[B \cdot \pi R^2]$.
$E(2\pi r) = (8t - 2) \pi R^2 \implies E = \frac{(8t - 2)R^2}{2r}$.
$r = 2R$ અને $t = 2 \text{ s}$ પર:
$E = \frac{(8(2) - 2)R^2}{2(2R)} = \frac{14R^2}{4R} = \frac{7R}{2}$.
પ્રવેગ $a = \frac{Eq}{m} = \frac{7qR}{2m}$.
પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્રો બિન-સંરક્ષી છે અને બંધ લૂપ બનાવે છે. લેન્ઝના નિયમ મુજબ,$t > 0.25 \text{ s}$ માટે $\vec{B}$ વધતું હોવાથી,પ્રેરિત ક્ષેત્ર ફેરફારનો વિરોધ કરે છે,જેના પરિણામે ધન વિદ્યુતભાર માટે ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં ગતિ થાય છે.

(A, B, C, D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ માટે,વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોણીય વેગમાન માટે બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત લાગુ પાડતા: $mvr = \frac{nh}{2\pi} = n\hbar$.
ક્વોન્ટાઇઝેશન શરતમાં $v = \frac{qBr}{m}$ મૂકતા: $m \left( \frac{qBr}{m} \right) r = n\hbar \implies qBr^2 = n\hbar \implies r_n = \sqrt{\frac{n\hbar}{qB}}$. આમ,$r_n \propto \sqrt{n}$. (વિધાન $A$ સાચું છે).
હવે,$v_n = \frac{qBr_n}{m} = \frac{qB}{m} \sqrt{\frac{n\hbar}{qB}} = \sqrt{\frac{n q B \hbar}{m^2}}$. (વિધાન $B$ સાચું છે).
$n^{\text{th}}$ સ્તરની ઉર્જા $E_n = \frac{1}{2}mv_n^2 = \frac{1}{2}m \left( \frac{n q B \hbar}{m^2} \right) = n \left( \frac{q B \hbar}{2m} \right)$. આમ,$E_n \propto n$. (વિધાન $C$ સાચું છે).
સંક્રમણ આવૃત્તિ $\omega$ એ $\Delta E = \hbar \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ક્રમિક સ્તરો માટે,$\Delta E = E_{n+1} - E_n = \frac{q B \hbar}{2m}$. તેથી,$\omega = \frac{\Delta E}{\hbar} = \frac{qB}{2m}$,જે $n$ થી સ્વતંત્ર છે. (વિધાન $D$ સાચું છે).

(A) પ્રથમ લેન્સ માટે:
$u_1 = -f/2$,$f_1 = f$
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{-f/2} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{v_1} + \frac{2}{f} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{v_1} = -\frac{1}{f} \Rightarrow v_1 = -f$.
મોટવણી $m_1 = \frac{v_1}{u_1} = \frac{-f}{-f/2} = 2$.
બીજા લેન્સ માટે:
પ્રથમ લેન્સનું પ્રતિબિંબ બીજા લેન્સ માટે વસ્તુ તરીકે વર્તે છે. લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $f$ છે. તેથી,$u_2 = -(f + |v_1|) = -(f + f) = -2f$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{-2f} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{v_2} + \frac{1}{2f} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{v_2} = \frac{1}{2f} \Rightarrow v_2 = 2f$.
મોટવણી $m_2 = \frac{v_2}{u_2} = \frac{2f}{-2f} = -1$.
ત્રીજા લેન્સ માટે:
બીજા લેન્સનું પ્રતિબિંબ ત્રીજા લેન્સ માટે વસ્તુ તરીકે વર્તે છે. બીજા અને ત્રીજા લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $f$ છે. પ્રતિબિંબ $v_2 = 2f$ એ બીજા લેન્સની પાછળ રચાય છે. ત્રીજા લેન્સ માટે વસ્તુ અંતર $u_3 = -(f - v_2) = -(f - 2f) = f$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_3} - \frac{1}{u_3} = \frac{1}{f_3}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_3} - \frac{1}{f} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{v_3} = \frac{2}{f} \Rightarrow v_3 = f/2$.
મોટવણી $m_3 = \frac{v_3}{u_3} = \frac{f/2}{f} = 1/2$.
કુલ મોટવણી $M = m_1 \times m_2 \times m_3 = 2 \times (-1) \times (1/2) = -1$.
અંતિમ પ્રતિબિંબ સૌથી જમણી બાજુના લેન્સની પાછળ $f/2$ અંતરે મળે છે.

(B) સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\mu_X \sin i = \mu_Y \sin r$.
$\mu = \frac{c}{V}$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $\frac{c}{V_X} \sin i = \frac{c}{V_Y} \sin r$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{\sin i}{\sin r} = \frac{V_X}{V_Y}$ થાય છે.
આપેલ આલેખ પરથી,રેખાનો ઢાળ $\tan 30^{\circ} = \frac{\sin r}{\sin i} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
તેથી,$\frac{\sin i}{\sin r} = \sqrt{3}$.
આ કિંમત વેગના ગુણોત્તરમાં મૂકતા,આપણને $\frac{V_X}{V_Y} = \sqrt{3}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $V_X = \sqrt{3} V_Y$.
પ્રકાશ પાતળા માધ્યમ $(X)$ માંથી ઘટ્ટ માધ્યમ $(Y)$ માં જાય છે (કારણ કે $r < i$),તેથી જ્યારે પ્રકાશ માધ્યમ $X$ માંથી $Y$ માં આપાત થાય ત્યારે પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થઈ શકે નહીં. વક્રીભવન દરમિયાન આવૃત્તિ અચળ રહે છે.

(B) ઝેનર ડાયોડ કાર્યરત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે, આપણે પહેલા એવું ધારીએ છીએ કે ડાયોડ ઓપન-સર્કિટ છે અને લોડ અવરોધ $R_L$ પરનો વોલ્ટેજ શોધીએ છીએ.
વોલ્ટેજ ડિવાઈડરના નિયમનો ઉપયોગ કરીને, $R_L = 100 \, \Omega$ લોડ અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ $V_{ab}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$V_{ab} = V_{source} \times \frac{R_L}{R + R_L}$
$V_{ab} = 9 \, V \times \frac{100 \, \Omega}{200 \, \Omega + 100 \, \Omega} = 9 \, V \times \frac{100}{300} = 3 \, V$
અહીં ગણતરી કરેલ વોલ્ટેજ $V_{ab} = 3 \, V$ એ ઝેનર બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ $V_Z = 5 \, V$ કરતા ઓછો હોવાથી, ઝેનર ડાયોડ બ્રેકડાઉન વિસ્તારમાં પ્રવેશતું નથી અને તે નોન-કન્ડક્ટિંગ $(OFF)$ સ્થિતિમાં રહે છે.
તેથી, સર્કિટ એક સાદી શ્રેણી સર્કિટ તરીકે વર્તે છે અને લોડ અવરોધ $R_L$ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ $V_L = 3 \, V$ થાય છે.

(C) આપેલ લોજિક સર્કિટનું આઉટપુટ $Y$ નીચે મુજબ નક્કી થાય છે:
$1$. ઇનપુટ $A$ એ $NOT$ ગેટમાંથી પસાર થઈને $\overline{A}$ બને છે.
$2$. ઇનપુટ $\overline{A}$ અને $B$ ને $NAND$ ગેટમાં આપતા,$\overline{\overline{A} \cdot B}$ મળે છે.
$3$. ઇનપુટ $C$ એ $NOT$ ગેટમાંથી પસાર થઈને $\overline{C}$ બને છે.
$4$. આઉટપુટ $\overline{\overline{A} \cdot B}$ અને $\overline{C}$ ને $NOR$ ગેટમાં આપતા,$Y = \overline{(\overline{\overline{A} \cdot B}) + \overline{C}}$ મળે છે.
$5$. ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$Y = \overline{(\overline{\overline{A} \cdot B})} \cdot \overline{(\overline{C})} = (\overline{A} \cdot B) \cdot C = \overline{A} \cdot B \cdot C$.
$6$. આઉટપુટ $Y=1$ ત્યારે જ મળે જ્યારે $\overline{A}=1, B=1, C=1$ હોય,એટલે કે $A=0, B=1, C=1$ હોય.
$7$. ઇનપુટ $A, B, C$ માટે કુલ $2^3 = 8$ શક્ય સંયોજનો છે.
$8$. $Y=1$ માત્ર $1$ સંયોજન માટે હોવાથી,$Y=0$ મળે તેવા સંયોજનોની સંખ્યા $8 - 1 = 7$ છે.

(A) આપેલ છે કે તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = n$,તેથી $I_1 = nI_2$.
$I_{\text{Max}} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 = (\sqrt{nI_2} + \sqrt{I_2})^2 = (\sqrt{n} + 1)^2 I_2$.
$I_{\text{Min}} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2 = (\sqrt{nI_2} - \sqrt{I_2})^2 = (\sqrt{n} - 1)^2 I_2$.
હવે,ગુણોત્તર:
$\frac{I_{\text{Max}} - I_{\text{Min}}}{I_{\text{Max}} + I_{\text{Min}}} = \frac{(\sqrt{n} + 1)^2 I_2 - (\sqrt{n} - 1)^2 I_2}{(\sqrt{n} + 1)^2 I_2 + (\sqrt{n} - 1)^2 I_2} = \frac{(\sqrt{n} + 1)^2 - (\sqrt{n} - 1)^2}{(\sqrt{n} + 1)^2 + (\sqrt{n} - 1)^2}$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$= \frac{(n + 1 + 2\sqrt{n}) - (n + 1 - 2\sqrt{n})}{(n + 1 + 2\sqrt{n}) + (n + 1 - 2\sqrt{n})} = \frac{4\sqrt{n}}{2(n + 1)} = \frac{2\sqrt{n}}{n + 1}$.
ધારો કે $f(n) = \frac{2\sqrt{n}}{n + 1}$. મહત્તમ કિંમત મેળવવા માટે,જો $n=1$ લઈએ તો $f(1) = \frac{2(1)}{1+1} = 1$ મળે છે,જે આ પદાવલિ માટે મહત્તમ શક્ય કિંમત છે.

(D) જ્યારે $X$-કિરણો $d$ અંતર ધરાવતા સમાંતર પરમાણુ સમતલો પર $\theta$ ના ખૂણે આપાત થાય છે,ત્યારે ક્રમિક સમતલો પરથી પરાવર્તિત થતા કિરણો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta x = 2 d \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સહાયક વ્યતિકરણ (મહત્તમ તીવ્રતા) માટે,પથ તફાવત એ તરંગલંબાઇ $\lambda$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ.
તેથી,મહત્તમ તીવ્રતા માટેની શરત $2 d \sin \theta = n \lambda$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ એ વ્યતિકરણની ક્રમ છે. આને બ્રેગનો નિયમ (Bragg's Law) કહેવામાં આવે છે.