WBJEE 2023 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

38 QuestionsHindiWith Solutions

PhysicsQ138 of 38 questions

Page 1 of 1 · Hindi

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PhysicsMediumMCQWBJEE · 2023
एक चिकने क्षैतिज तल पर $n$ प्रत्यास्थ गेंदें रखी गई हैं। गेंदों के द्रव्यमान क्रमशः $m, \frac{m}{2}, \frac{m}{2^2}, \ldots, \frac{m}{2^{n-1}}$ हैं। यदि पहली गेंद दूसरी गेंद से $v_0$ वेग से टकराती है,तो $n$-वीं गेंद का वेग क्या होगा?
A
$\frac{4}{3} v_0$
B
$\left(\frac{4}{3}\right)^n v_0$
C
$\left(\frac{4}{3}\right)^{n-1} v_0$
D
$v_0$

Solution

(C) दो द्रव्यमानों $m_1$ और $m_2$ के बीच एक-आयामी प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,जहाँ $m_2$ प्रारंभ में स्थिर है,टक्कर के बाद दूसरे द्रव्यमान का वेग $v_2 = \frac{2m_1}{m_1 + m_2} v_1$ द्वारा दिया जाता है।
पहली टक्कर: द्रव्यमान $m_1 = m$,$m_2 = \frac{m}{2}$ से $v_0$ वेग से टकराता है। दूसरी गेंद का वेग $v_1$:
$v_1 = \frac{2m}{m + \frac{m}{2}} v_0 = \frac{2m}{\frac{3m}{2}} v_0 = \frac{4}{3} v_0$.
दूसरी टक्कर: द्रव्यमान $m_2 = \frac{m}{2}$,$m_3 = \frac{m}{4}$ से $v_1 = \frac{4}{3} v_0$ वेग से टकराता है। तीसरी गेंद का वेग $v_2$:
$v_2 = \frac{2(\frac{m}{2})}{\frac{m}{2} + \frac{m}{4}} v_1 = \frac{m}{\frac{3m}{4}} v_1 = \frac{4}{3} v_1 = \left(\frac{4}{3}\right)^2 v_0$.
इस पैटर्न का पालन करते हुए,$n$-वीं गेंद के लिए,$(n-1)$ टक्करों के बाद वेग $v_{n-1}$ होगा:
$v_{n-1} = \left(\frac{4}{3}\right)^{n-1} v_0$.
Solution diagram
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PhysicsMediumMCQWBJEE · 2023
$m$ द्रव्यमान का एक चूहा $I$ जड़त्व आघूर्ण और $R$ त्रिज्या वाले घूमते हुए सीलिंग फैन के बाहरी किनारे पर कूदता है। परिणामस्वरूप पंखे के कोणीय वेग में होने वाली आंशिक हानि क्या है?
A
$\frac{m R^2}{I+m R^2}$
B
$\frac{I}{I+m R^2}$
C
$\frac{I-m R^2}{I}$
D
$\frac{I-m R^2}{I+m R^2}$

Solution

(A) कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,चूंकि निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं करता है,इसलिए प्रारंभिक कोणीय संवेग अंतिम कोणीय संवेग के बराबर होता है।
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = I \omega_0$,जहाँ $\omega_0$ प्रारंभिक कोणीय वेग है।
जब $m$ द्रव्यमान का चूहा $R$ त्रिज्या वाले किनारे पर कूदता है,तो निकाय का नया जड़त्व आघूर्ण $I' = I + m R^2$ हो जाता है।
मान लीजिए कि नया कोणीय वेग $\omega$ है। तब,$L_f = (I + m R^2) \omega$.
$L_i = L_f$ को बराबर करने पर,हमें $I \omega_0 = (I + m R^2) \omega$ प्राप्त होता है।
अतः,$\omega = \frac{I \omega_0}{I + m R^2}$.
कोणीय वेग में आंशिक हानि $\frac{\omega_0 - \omega}{\omega_0} = 1 - \frac{\omega}{\omega_0}$ द्वारा दी जाती है।
$\omega$ का मान रखने पर,हमें $1 - \frac{I}{I + m R^2} = \frac{I + m R^2 - I}{I + m R^2} = \frac{m R^2}{I + m R^2}$ प्राप्त होता है।
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PhysicsMediumMCQWBJEE · 2023
एक संशोधित गुरुत्वाकर्षण विभव $V = -\frac{GM}{r} + \frac{A}{r^2}$ द्वारा दिया गया है। यदि स्थिरांक $A$ को गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक $G$,द्रव्यमान $M$ और प्रकाश की गति $c$ के पदों में व्यक्त किया जाता है,तो विमीय विश्लेषण से $A$ क्या है?
A
$\frac{G^2 M^2}{c^2}$
B
$\frac{GM}{c^2}$
C
$\frac{1}{c^2}$
D
विमाहीन

Solution

(A) दिया गया समीकरण $V = -\frac{GM}{r} + \frac{A}{r^2}$ है।
विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,समीकरण के प्रत्येक पद की विमाएँ समान होनी चाहिए।
इसलिए,$\frac{A}{r^2}$ की विमा $\frac{GM}{r}$ की विमा के बराबर होनी चाहिए।
$[V] = [\frac{GM}{r}] = [\frac{A}{r^2}]$
इससे,$[A] = [\frac{GM}{r}] \times [r^2] = [GM] \times [r]$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि गुरुत्वाकर्षण विभव $V$ की विमा प्रति इकाई द्रव्यमान ऊर्जा के समान होती है,जो $[L^2 T^{-2}]$ है।
साथ ही,$\frac{GM}{r}$ गुरुत्वाकर्षण विभव को दर्शाता है,इसलिए $[\frac{GM}{r}] = [L^2 T^{-2}]$।
चूंकि प्रकाश की गति $c$ की विमा $[L T^{-1}]$ है,इसलिए $c^2$ की विमा $[L^2 T^{-2}]$ होगी।
अतः,$[\frac{GM}{r}] = [c^2]$।
$[r] = \frac{[GM]}{[c^2]}$ को $[A]$ के व्यंजक में रखने पर:
$[A] = [GM] \times \frac{[GM]}{[c^2]} = \frac{G^2 M^2}{c^2}$।
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PhysicsDifficultMCQWBJEE · 2023
पृथ्वी की सतह के निकट एक उपग्रह प्रति परिक्रमण लगभग $90$ मिनट का समय लेता है। चंद्रमा की परिक्रमा करने वाला एक उपग्रह भी प्रति परिक्रमण लगभग $90$ मिनट का समय लेता है। तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
A
$\rho_m < \rho_e$
B
$\rho_m > \rho_e$
C
$\rho_m = \rho_e$
D
घनत्व के बारे में कोई निष्कर्ष नहीं निकाला जा सकता है

Solution

(C) $R$ त्रिज्या और $\rho$ घनत्व वाले ग्रह की सतह के निकट परिक्रमा करने वाले उपग्रह के लिए,गुरुत्वाकर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है।
$m g = m \omega^2 R$
चूंकि $g = \frac{G M}{R^2}$ और $M = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$,इसलिए $g = \frac{G \rho \frac{4}{3} \pi R^3}{R^2} = \frac{4}{3} \pi G \rho R$.
इस मान को बल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$m (\frac{4}{3} \pi G \rho R) = m \omega^2 R$
$\omega^2 = \frac{4}{3} \pi G \rho$
चूंकि $\omega = \frac{2 \pi}{T}$,हमें $(\frac{2 \pi}{T})^2 = \frac{4}{3} \pi G \rho$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $T^2 = \frac{3 \pi}{G \rho}$ हो जाता है।
अतः,$T \propto \frac{1}{\sqrt{\rho}}$.
चूंकि दोनों उपग्रहों का आवर्तकाल $T$ समान है,इसलिए उनके घनत्व समान होने चाहिए,अर्थात $\rho_m = \rho_e$.
Solution diagram
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PhysicsMediumMCQWBJEE · 2023
एक आदर्श गैस के छह अणुओं के वेग क्रमशः $1, 3, 5, 5, 6$ और $5 \,m/s$ हैं। किसी दिए गए तापमान पर,यदि $\overline{V}$ और $V_{rms}$ अणुओं की औसत और rms गति का प्रतिनिधित्व करते हैं,तो
A
$\overline{V} = 5 \,m/s$
B
$V_{rms} > \overline{V}$
C
$V_{rms}^2 < \overline{V}^2$
D
$V_{rms} = \overline{V}$

Solution

(B) औसत गति $\overline{V}$ की गणना वेगों के अंकगणितीय माध्य के रूप में की जाती है: $\overline{V} = \frac{1 + 3 + 5 + 5 + 6 + 5}{6} = \frac{25}{6} \approx 4.16 \,m/s$.
रूट मीन स्क्वायर गति $V_{rms}$ की गणना वेगों के वर्गों के माध्य के वर्गमूल के रूप में की जाती है: $V_{rms} = \sqrt{\frac{1^2 + 3^2 + 5^2 + 5^2 + 6^2 + 5^2}{6}} = \sqrt{\frac{1 + 9 + 25 + 25 + 36 + 25}{6}} = \sqrt{\frac{121}{6}} = \frac{11}{\sqrt{6}} \approx 4.49 \,m/s$.
दोनों मानों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $4.49 > 4.16$,इसलिए $V_{rms} > \overline{V}$.
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$2 \,kg$ द्रव्यमान का एक पिंड $5 \,m$ त्रिज्या के क्षैतिज वृत्ताकार पथ पर गति कर रहा है। किसी क्षण पर, इसकी चाल $2 \sqrt{5} \,m/s$ है और यह $3 \,m/s^2$ की दर से बढ़ रही है। उस क्षण पर पिंड पर कार्य करने वाले कुल बल का परिमाण है: ($\,N$ में)
A
$6$
B
$8$
C
$14$
D
$10$

Solution

(D) पिंड दो प्रकार के त्वरण का अनुभव करता है: अभिकेंद्र त्वरण $(a_c)$ और स्पर्शरेखीय त्वरण $(a_T)$।
अभिकेंद्र त्वरण $a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{(2\sqrt{5})^2}{5} = \frac{20}{5} = 4 \,m/s^2$ है।
स्पर्शरेखीय त्वरण $a_T = 3 \,m/s^2$ दिया गया है।
कुल त्वरण $a = \sqrt{a_c^2 + a_T^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \,m/s^2$ है।
अतः, पिंड पर कार्य करने वाला कुल बल $F = m \times a = 2 \,kg \times 5 \,m/s^2 = 10 \,N$ होगा।
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PhysicsDifficultMCQWBJEE · 2023
चित्र में दिखाए अनुसार, एक पंप को एक क्षैतिज सिलेंडर के रूप में डिज़ाइन किया गया है जिसमें $A$ क्षेत्रफल वाला एक पिस्टन और $a$ क्षेत्रफल वाला एक आउटलेट छिद्र है। पिस्टन बल $F$ के प्रभाव में निरंतर वेग से चलता है। यदि तरल का घनत्व $\rho$ है, तो छिद्र से निकलने वाले तरल की गति क्या होगी? (मान लें $A \gg a$)
Question diagram
A
$\sqrt{\frac{F}{\rho A}}$
B
$\frac{a}{A} \sqrt{\frac{F}{\rho A}}$
C
$\sqrt{\frac{2 F}{\rho A}}$
D
$\frac{A}{a} \sqrt{\frac{2 F}{\rho A}}$

Solution

(C) सांतत्य समीकरण (Equation of Continuity) के अनुसार, आयतन प्रवाह दर स्थिर रहती है:
$AV = av \implies V = \frac{a}{A}v$
जहाँ $V$ पिस्टन का वेग है और $v$ छिद्र से निकलने वाले तरल का वेग है।
सिलेंडर के अंदर (पिस्टन के पास) और छिद्र के बीच बर्नौली के सिद्धांत को लागू करने पर:
$P_{in} + \frac{1}{2} \rho V^2 = P_{out} + \frac{1}{2} \rho v^2$
सिलेंडर के अंदर का दबाव $P_{in} = P_0 + \frac{F}{A}$ है, जहाँ $P_0$ वायुमंडलीय दबाव है। छिद्र पर दबाव $P_{out} = P_0$ है।
इन मानों को बर्नौली समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(P_0 + \frac{F}{A}) + \frac{1}{2} \rho V^2 = P_0 + \frac{1}{2} \rho v^2$
$\frac{F}{A} = \frac{1}{2} \rho (v^2 - V^2)$
$V = \frac{a}{A}v$ रखने पर:
$\frac{F}{A} = \frac{1}{2} \rho (v^2 - (\frac{a}{A}v)^2) = \frac{1}{2} \rho v^2 (1 - \frac{a^2}{A^2})$
चूंकि $A \gg a$, इसलिए $\frac{a^2}{A^2} \approx 0$, अतः:
$\frac{F}{A} = \frac{1}{2} \rho v^2 \implies v = \sqrt{\frac{2F}{\rho A}}$
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PhysicsDifficultMCQWBJEE · 2023
जैसा कि चित्र में दिखाया गया है,जब $U$-ट्यूब स्थिर होती है,तो समान अनुप्रस्थ काट वाली $U$-ट्यूब की दोनों भुजाओं में तरल का स्तर समान होता है। यदि $U$-ट्यूब '$f$' त्वरण के साथ दाईं ओर गति करती है,तो $U$-ट्यूब की दो भुजाओं के बीच तरल की ऊँचाई में अंतर होगा (गुरुत्वीय त्वरण $= g$):
Question diagram
A
$\frac{f}{g} a$
B
$\frac{g}{f} a$
C
$a$
D
$\frac{f a}{g}$

Solution

(D) जब $U$-ट्यूब को दाईं ओर '$f$' त्वरण के साथ त्वरित किया जाता है,तो तरल पर विपरीत दिशा में एक छद्म बल (pseudo-force) कार्य करता है।
मान लीजिए कि तरल की सतह का क्षैतिज के साथ कोण $\theta$ है।
तरल पर कार्य करने वाला प्रभावी त्वरण गुरुत्वीय त्वरण '$g$' (नीचे की ओर) और छद्म त्वरण '$f$' (बाईं ओर) का सदिश योग है।
कोण $\theta$ का टेंजेंट क्षैतिज त्वरण और ऊर्ध्वाधर त्वरण के अनुपात द्वारा दिया जाता है:
$\tan \theta = \frac{f}{g}$
$U$-ट्यूब की ज्यामिति से,जहाँ '$h$' ऊँचाई का अंतर है और '$a$' दो भुजाओं के बीच की क्षैतिज दूरी है:
$\tan \theta = \frac{h}{a}$
$\tan \theta$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{h}{a} = \frac{f}{g}$
अतः,ऊँचाई का अंतर है:
$h = \frac{f a}{g}$
Solution diagram
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PhysicsEasyMCQWBJEE · 2023
सरल आवर्त गति में,मान लीजिए $f$ त्वरण है और $T$ आवर्तकाल है। यदि $x$ विस्थापन को दर्शाता है,तो $|fT|$ बनाम $x$ का ग्राफ कैसा दिखेगा?
A
Option A
B
Option B
C
Option C
D
Option D

Solution

(A) सरल आवर्त गति में,त्वरण $f$ को $f = -\omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $x$ विस्थापन है।
परिमाण लेने पर,हमारे पास $|f| = \omega^2 |x|$ है।
आवर्तकाल $T$ को $T = \frac{2\pi}{\omega}$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,गुणनफल $|fT|$ है:
$|fT| = |f| \cdot T = (\omega^2 |x|) \cdot \left(\frac{2\pi}{\omega}\right) = 2\pi\omega |x|$.
चूंकि $2\pi\omega$ एक स्थिरांक है,संबंध $|fT| = (2\pi\omega) |x|$ $y = mx$ के रूप का एक रैखिक समीकरण दर्शाता है,जहाँ $y = |fT|$ और $x$ विस्थापन है।
अतः,$|fT|$ बनाम $x$ का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।
Solution diagram
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PhysicsMediumMCQWBJEE · 2023
$m$ द्रव्यमान का एक कण $u$ वेग से,क्षैतिज ($x$-अक्ष) के साथ $\theta$ कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है। यदि अन्य सभी मापदंडों को समान रखते हुए प्रक्षेपण कोण $\theta$ को बदला जाए,तो प्रक्षेपण बिंदु के परितः अधिकतम ऊँचाई पर कोणीय संवेग $(L)$ का परिमाण $\theta$ के साथ कैसे बदलता है?
A
Option A
B
Option B
C
Option C
D
Option D

Solution

(D) प्रक्षेपण बिंदु के परितः कण का कोणीय संवेग $L = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम ऊँचाई पर,कण का वेग पूरी तरह से क्षैतिज होता है,जो $v_x = u \cos \theta$ है।
अधिकतम ऊँचाई पर स्थिति सदिश का ऊर्ध्वाधर घटक अधिकतम ऊँचाई $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ के बराबर होता है।
अधिकतम ऊँचाई पर कोणीय संवेग का परिमाण $L = m v_x H = m (u \cos \theta) \left( \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \right)$ है।
इसे सरल करने पर,हमें $L = \frac{m u^3}{2g} \sin^2 \theta \cos \theta$ प्राप्त होता है।
$\theta = 0^{\circ}$ के लिए,$L = 0$. $\theta = 90^{\circ}$ (या $\frac{\pi}{2}$) के लिए,$L = 0$.
$0$ और $\frac{\pi}{2}$ के बीच,फलन $f(\theta) = \sin^2 \theta \cos \theta$ धनात्मक है और एक अधिकतम मान प्राप्त करता है। यह ग्राफ $D$ में दिखाए गए आकार के अनुरूप है।
Solution diagram
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गैस की एक निश्चित मात्रा को $A$ से $C$ तक दो तरीकों से ले जाया जाता है: $a$) सीधे $A \rightarrow C$ के अनुदिश,और $b$) दो चरणों में,$A \rightarrow B$ और फिर $B \rightarrow C$ के अनुदिश। सीधे पथ $A \rightarrow C$ पर किया गया कार्य और अवशोषित ऊष्मा क्रमशः $200 \ J$ और $280 \ J$ है। यदि पथ $A \rightarrow B \rightarrow C$ पर किया गया कार्य $80 \ J$ है,तो इस पथ पर अवशोषित ऊष्मा ज्ञात कीजिए।
Question diagram
A
$80 \ J$
B
$0$
C
$160 \ J$
D
$120 \ J$

Solution

(C) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$,जहाँ $\Delta U$ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन है।
चूंकि आंतरिक ऊर्जा एक अवस्था फलन है,इसलिए $A$ और $C$ के बीच किसी भी पथ के लिए $\Delta U$ समान रहता है।
सीधे पथ $A \rightarrow C$ के लिए:
$\Delta W_{AC} = 200 \ J$
$\Delta Q_{AC} = 280 \ J$
$\Delta U = \Delta Q_{AC} - \Delta W_{AC} = 280 \ J - 200 \ J = 80 \ J$.
पथ $A \rightarrow B \rightarrow C$ के लिए:
$\Delta W_{ABC} = 80 \ J$
चूंकि $\Delta U$ एक अवस्था फलन है,इसलिए इस पथ के लिए भी $\Delta U = 80 \ J$ होगा।
अतः,अवशोषित ऊष्मा $\Delta Q_{ABC} = \Delta U + \Delta W_{ABC} = 80 \ J + 80 \ J = 160 \ J$.
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PhysicsMediumMCQWBJEE · 2023
समान द्रव्यमान वाले दो पदार्थों $A$ और $B$ को एक स्थिर दर पर गर्म किया जाता है। पदार्थों के तापमान $\theta$ में समय $t$ के साथ परिवर्तन को चित्र में दिखाया गया है। सही कथन चुनें।
Question diagram
A
$A$ की विशिष्ट ऊष्मा $B$ से अधिक है
B
$B$ की विशिष्ट ऊष्मा $A$ से अधिक है
C
दोनों की विशिष्ट ऊष्मा समान है
D
उपरोक्त में से कोई भी सत्य नहीं है

Solution

(A) स्थिर दर पर दी गई ऊष्मा $\Delta H = mC \Delta \theta$ द्वारा दी जाती है।
चूँकि ऊष्मा आपूर्ति की दर $\frac{dH}{dt}$ स्थिर है,हम लिख सकते हैं:
$\frac{dH}{dt} = mC \frac{d\theta}{dt}$.
इसका तात्पर्य है कि $\frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{mC} \left( \frac{dH}{dt} \right)$.
चूँकि $m$ और $\frac{dH}{dt}$ स्थिर हैं,$\theta-t$ ग्राफ का ढाल विशिष्ट ऊष्मा $C$ के व्युत्क्रमानुपाती है (अर्थात,$\text{slope} \propto \frac{1}{C}$)।
चित्र से,रेखा $B$ का ढाल रेखा $A$ के ढाल से अधिक है (अर्थात,$\text{slope}_B > \text{slope}_A$)।
इसलिए,$C_B < C_A$,जिसका अर्थ है कि $A$ की विशिष्ट ऊष्मा $B$ से अधिक है।
Solution diagram
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PhysicsEasyMCQWBJEE · 2023
$p-v$ आरेख में एक चक्रीय प्रक्रिया दिखाई गई है। निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
Question diagram
A
$1 \rightarrow 2$: समदाबी,$2 \rightarrow 3$: समतापीय
B
$3 \rightarrow 1$: समआयतनिक,$2 \rightarrow 3$: रुद्धोष्म
C
पूर्ण चक्रीय प्रक्रिया में निकाय द्वारा किया गया कार्य अशून्य है
D
पूर्ण चक्रीय प्रक्रिया में निकाय द्वारा अवशोषित ऊष्मा अशून्य है

Solution

(A, B, C, D) $p-v$ आरेख में:
$1$. प्रक्रिया $1 \rightarrow 2$ एक क्षैतिज रेखा है,जिसका अर्थ है कि दाब $p$ स्थिर है। अतः,यह एक समदाबी प्रक्रिया है।
$2$. प्रक्रिया $3 \rightarrow 1$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा है,जिसका अर्थ है कि आयतन $v$ स्थिर है। अतः,यह एक समआयतनिक प्रक्रिया है।
$3$. प्रक्रिया $2 \rightarrow 3$ एक वक्र है,जो इस चक्र में एक रुद्धोष्म प्रक्रिया को दर्शाता है।
$4$. किसी भी पूर्ण चक्रीय प्रक्रिया के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है। ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$Q = \Delta U + W$। चूँकि $\Delta U = 0$ है,इसलिए $Q = W$ होता है। चक्रीय प्रक्रिया में किया गया कार्य $W$ चक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है,जो अशून्य है। इसलिए,किया गया कार्य और अवशोषित ऊष्मा दोनों अशून्य हैं।
अतः,कथन $A$,$B$,$C$ और $D$ सभी सही हैं।
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PhysicsEasyMCQWBJEE · 2023
एक माध्यम में धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में $4 \ m/s$ के वेग से यात्रा कर रही एक समतल प्रगामी तरंग का विस्थापन $t=0$ पर $y=3 \sin 2 \pi (-x/3)$ द्वारा दिया गया है। तो बाद के समय $t=4 \ s$ पर विस्थापन के लिए व्यंजक क्या होगा?
A
$y=3 \sin 2 \pi \left(-\frac{x-16}{3}\right)$
B
$y=3 \sin 2 \pi \left(\frac{-x-16}{3}\right)$
C
$y=3 \sin 2 \pi \left(\frac{-x-1}{3}\right)$
D
$y=3 \sin 2 \pi \left(\frac{-x+16}{3}\right)$

Solution

(A) धनात्मक $x$-दिशा में यात्रा करने वाली तरंग का सामान्य समीकरण $y = A \sin(\omega t - kx + \phi)$ है।
$t=0$ पर,समीकरण $y = 3 \sin(-2\pi x / 3)$ है,जिसका अर्थ है $k = 2\pi / 3$.
तरंग का वेग $v = 4 \ m/s$ दिया गया है,इसलिए $v = \omega / k$ संबंध का उपयोग करते हुए:
$\omega = v \cdot k = 4 \times (2\pi / 3) = 8\pi / 3$.
अतः,सामान्य तरंग समीकरण $y = 3 \sin \left(\frac{8\pi}{3}t - \frac{2\pi}{3}x\right)$ होगा।
$t=4 \ s$ पर,$t$ का मान रखने पर:
$y = 3 \sin \left(\frac{8\pi}{3}(4) - \frac{2\pi}{3}x\right)$
$y = 3 \sin \left(\frac{32\pi}{3} - \frac{2\pi}{3}x\right)$
$2\pi$ को कॉमन लेने पर:
$y = 3 \sin 2\pi \left(\frac{16}{3} - \frac{x}{3}\right) = 3 \sin 2\pi \left(-\frac{x-16}{3}\right)$.
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PhysicsEasyMCQWBJEE · 2023
$4 \,m$ लंबाई और $0.4 \,kg$ द्रव्यमान की एक समान रस्सी को एक घर्षणहीन मेज पर इस प्रकार रखा गया है कि रस्सी का $0.6 \,m$ हिस्सा मेज के किनारे से नीचे लटक रहा है। लटकते हुए हिस्से को मेज पर खींचने के लिए किया गया कार्य ज्ञात कीजिए। ($g = 10 \,m/s^2$ मानिए) ($\,J$ में)
A
$0.36$
B
$0.24$
C
$0.12$
D
$0.18$

Solution

(D) रस्सी का प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\lambda = \frac{M}{L} = \frac{0.4 \,kg}{4 \,m} = 0.1 \,kg/m$ है।
लटकते हुए भाग की लंबाई $l = 0.6 \,m$ है।
लटकते हुए भाग का द्रव्यमान $m = \lambda \times l = 0.1 \,kg/m \times 0.6 \,m = 0.06 \,kg$ है।
लटकते हुए भाग का द्रव्यमान केंद्र मेज के किनारे से $h = \frac{l}{2} = \frac{0.6 \,m}{2} = 0.3 \,m$ नीचे है।
रस्सी को मेज पर खींचने के लिए किया गया कार्य लटकते हुए भाग की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है,जो $W = mgh$ है।
मान रखने पर: $W = 0.06 \,kg \times 10 \,m/s^2 \times 0.3 \,m = 0.18 \,J$।
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एक ट्रेन पटरियों पर $u$ की स्थिर गति से चल रही है। ट्रेन में बैठी एक लड़की $m$ द्रव्यमान की एक गेंद को ट्रेन की गति की दिशा में अपने सापेक्ष $v$ गति से आगे फेंकती है। तो
A
ट्रेन में लड़की द्वारा मापी गई गेंद की गतिज ऊर्जा $mv^2 / 2$ है
B
गेंद को फेंकने में लड़की द्वारा किया गया कार्य $mv^2 / 2$ है
C
ट्रेन द्वारा किया गया कार्य $mvu$ है
D
रेलवे ट्रैक के पास खड़े व्यक्ति द्वारा मापी गई गेंद की गतिज ऊर्जा में वृद्धि $mv^2 / 2$ है

Solution

(A, B, C) $1$. लड़की के सापेक्ष, गेंद का प्रारंभिक वेग $0$ है और अंतिम वेग $v$ है। गतिज ऊर्जा $E_k = \frac{1}{2}mv^2$ है। अतः, लड़की द्वारा किया गया कार्य $W = \Delta E_k = \frac{1}{2}mv^2$ है। इसलिए, विकल्प $A$ और $B$ सही हैं।
$2$. जमीन के सापेक्ष, गेंद का प्रारंभिक वेग $u$ है और अंतिम वेग $v+u$ है। ट्रेन द्वारा किया गया कार्य जमीन से देखे जाने पर गेंद की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन और लड़की द्वारा किए गए कार्य का अंतर है: $W_{\text{train}} = \Delta E_{k, \text{ground}} - W_{\text{girl}} = [\frac{1}{2}m(v+u)^2 - \frac{1}{2}mu^2] - \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(v^2 + u^2 + 2vu - u^2) - \frac{1}{2}mv^2 = mvu$। इसलिए, विकल्प $C$ सही है।
$3$. जमीन पर खड़े व्यक्ति द्वारा मापी गई गतिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta E_{k, \text{ground}} = \frac{1}{2}m(v+u)^2 - \frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mvu$ है। अतः, विकल्प $D$ गलत है।
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PhysicsMediumMCQWBJEE · 2023
यदि हाइड्रोजन परमाणु की प्रथम उत्तेजित अवस्था में स्थितिज ऊर्जा को शून्य मान लिया जाए,तो $n = \infty$ अवस्था की कुल ऊर्जा क्या होगी?
A
$3.4 eV$
B
$6.8 eV$
C
$0$
D
$\infty$

Solution

(B) हाइड्रोजन परमाणु में $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की स्थितिज ऊर्जा $U_n = -27.2 / n^2 \ eV$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था $(n = 2)$ के लिए,स्थितिज ऊर्जा $U_2 = -27.2 / 2^2 = -6.8 \ eV$ है।
प्रश्न के अनुसार,हम $U_2 = 0$ मानते हैं। इसका अर्थ है कि हम स्थितिज ऊर्जा के पैमाने में $6.8 \ eV$ का स्थिरांक जोड़ रहे हैं।
हाइड्रोजन परमाणु की कुल ऊर्जा $E_n = -13.6 / n^2 \ eV$ होती है।
$n = \infty$ के लिए,मानक कुल ऊर्जा $E_{\infty} = 0 \ eV$ है।
चूंकि हमने स्थितिज ऊर्जा के पैमाने में $6.8 \ eV$ जोड़ा है,इसलिए नई कुल ऊर्जा $E'_{\infty} = E_{\infty} + 6.8 \ eV = 0 + 6.8 \ eV = 6.8 \ eV$ होगी।
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PhysicsEasyMCQWBJEE · 2023
$12 \mu C$ और $6 \mu C$ के आवेश समान अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाली दो चालक प्लेटों को दिए जाते हैं,जिन्हें चित्र में दिखाए अनुसार एक-दूसरे के करीब आमने-सामने रखा गया है। सतह $A, B, C$ और $D$ पर परिणामी आवेश वितरण $\mu C$ में क्रमशः क्या होगा?
Question diagram
A
$9, 3, -3, 9$
B
$3, 9, -9, 3$
C
$6, 6, -6, 12$
D
$6, 6, 3, 3$

Solution

(A) मान लीजिए कि दो प्लेटों पर आवेश $Q_1 = 12 \mu C$ और $Q_2 = 6 \mu C$ हैं।
जब दो बड़ी चालक प्लेटों को एक-दूसरे के समानांतर रखा जाता है,तो बाहरी सतहों पर आवेश $\frac{Q_1 + Q_2}{2}$ के बराबर होता है और आंतरिक सतहों पर आवेश क्रमशः $\frac{Q_1 - Q_2}{2}$ और $\frac{Q_2 - Q_1}{2}$ के बराबर होता है।
सतह $A$ (पहली प्लेट की बाहरी सतह) के लिए: $q_A = \frac{Q_1 + Q_2}{2} = \frac{12 + 6}{2} = \frac{18}{2} = 9 \mu C$.
सतह $B$ (पहली प्लेट की आंतरिक सतह) के लिए: $q_B = \frac{Q_1 - Q_2}{2} = \frac{12 - 6}{2} = \frac{6}{2} = 3 \mu C$.
सतह $C$ (दूसरी प्लेट की आंतरिक सतह) के लिए: $q_C = \frac{Q_2 - Q_1}{2} = \frac{6 - 12}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \mu C$.
सतह $D$ (दूसरी प्लेट की बाहरी सतह) के लिए: $q_D = \frac{Q_1 + Q_2}{2} = \frac{12 + 6}{2} = \frac{18}{2} = 9 \mu C$.
अतः,सतह $A, B, C$ और $D$ पर आवेश वितरण क्रमशः $9 \mu C, 3 \mu C, -3 \mu C$ और $9 \mu C$ है।
Solution diagram
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आकृति में $C$ धारिता वाले दो समान समानांतर प्लेट संधारित्र $A$ और $B$ को एक बैटरी से जुड़े हुए दिखाया गया है। कुंजी $K$ शुरू में बंद है। अब स्विच को खोल दिया जाता है और संधारित्रों की प्लेटों के बीच के खाली स्थान को $K=3$ परावैद्युतांक वाले पदार्थ से भर दिया जाता है। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
Question diagram
A
जब स्विच बंद होता है,तो दोनों संधारित्रों में संचित कुल ऊर्जा $CV^2$ होती है
B
जब स्विच खोल दिया जाता है,तो संधारित्र $B$ में कोई आवेश संचित नहीं होता है
C
जब स्विच खोल दिया जाता है,तो संधारित्र $B$ में संचित ऊर्जा $\frac{1}{6} CV^2$ होती है
D
जब स्विच खोल दिया जाता है,तो दोनों संधारित्रों में संचित कुल ऊर्जा $\frac{5}{3} CV^2$ होती है

Solution

(A, C, D) शुरू में,जब स्विच $K$ बंद होता है,तो दोनों संधारित्र $A$ और $B$ वोल्टेज $V$ की बैटरी के साथ समानांतर क्रम में होते हैं। संचित कुल ऊर्जा $U = \frac{1}{2}CV^2 + \frac{1}{2}CV^2 = CV^2$ है।
जब स्विच $K$ खोल दिया जाता है,तो संधारित्र $A$ बैटरी से जुड़ा रहता है,जबकि संधारित्र $B$ अलग हो जाता है। $B$ पर आवेश $q_B = CV$ स्थिर रहता है।
परावैद्युत $(K=3)$ डालने के बाद:
संधारित्र $A$ के लिए: नई धारिता $C_A' = KC = 3C$ है। वोल्टेज $V$ स्थिर रहता है। संचित ऊर्जा $U_A = \frac{1}{2}C_A'V^2 = \frac{1}{2}(3C)V^2 = \frac{3}{2}CV^2$ है।
संधारित्र $B$ के लिए: आवेश $q_B = CV$ स्थिर रहता है। नई धारिता $C_B' = KC = 3C$ है। संचित ऊर्जा $U_B = \frac{q_B^2}{2C_B'} = \frac{(CV)^2}{2(3C)} = \frac{C^2V^2}{6C} = \frac{1}{6}CV^2$ है।
संचित कुल ऊर्जा $U_{total} = U_A + U_B = \frac{3}{2}CV^2 + \frac{1}{6}CV^2 = \frac{9+1}{6}CV^2 = \frac{10}{6}CV^2 = \frac{5}{3}CV^2$ है।
अतः,कथन $A$,$C$ और $D$ सही हैं।
Solution diagram
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चित्र में दिखाए गए सर्किट पर एक प्रयोग में, वोल्टमीटर $8 \,V$ का पाठ्यांक (reading) दर्शाता है। वोल्टमीटर का प्रतिरोध क्या है?
Question diagram
A
$20 \Omega$
B
$320 \Omega$
C
$160 \Omega$
D
$1.44 k \Omega$

Solution

(C) माना वोल्टमीटर का प्रतिरोध $R_v$ है। वोल्टमीटर $160 \Omega$ के प्रतिरोध के साथ समानांतर क्रम में जुड़ा है। इस समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{160 R_v}{160 + R_v}$ है।
सर्किट का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R_p + 20 = \frac{160 R_v}{160 + R_v} + 20$ है।
सर्किट में कुल धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{10}{\frac{160 R_v}{160 + R_v} + 20}$ है।
समानांतर संयोजन पर वोल्टेज (वोल्टमीटर का पाठ्यांक) $V_p = I \times R_p = 8 \,V$ है।
$I$ और $R_p$ का मान रखने पर: $\frac{10}{\frac{160 R_v}{160 + R_v} + 20} \times \frac{160 R_v}{160 + R_v} = 8$.
माना $x = \frac{160 R_v}{160 + R_v}$ है। तब $\frac{10x}{x + 20} = 8 \implies 10x = 8x + 160 \implies 2x = 160 \implies x = 80 \Omega$.
अब, $\frac{160 R_v}{160 + R_v} = 80 \implies 160 R_v = 80(160 + R_v) \implies 160 R_v = 12800 + 80 R_v \implies 80 R_v = 12800 \implies R_v = 160 \Omega$.
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एक $R$ प्रतिरोध वाली कुंडली से $Q$ आवेश गुजरता है। यदि कुंडली में धारा समय $T$ के दौरान समान दर से घटकर शून्य हो जाती है,तो कुंडली में उत्पन्न ऊष्मा की मात्रा होगी,
A
$\frac{4 Q^2 R}{3 T}$
B
$\frac{2 Q^2 R}{3 T}$
C
$\frac{Q^2 R}{4 T}$
D
$Q^2 R T$

Solution

(A) कुंडली से गुजरने वाला कुल आवेश $Q$ धारा-समय ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है। चूंकि धारा समय $T$ में $I_0$ से घटकर $0$ हो जाती है,इसलिए ग्राफ $T$ आधार और $I_0$ ऊंचाई वाला एक त्रिभुज है।
$Q = \frac{1}{2} I_0 T \Rightarrow I_0 = \frac{2 Q}{T}$
समय के फलन के रूप में धारा $I(t) = I_0 \left(1 - \frac{t}{T}\right) = \frac{2 Q}{T} \left(1 - \frac{t}{T}\right)$ द्वारा दी जाती है।
कुंडली में उत्पन्न ऊष्मा $H$ का मान $H = \int_0^T I^2 R \, dt$ द्वारा प्राप्त होता है।
$H = R \int_0^T \left[ \frac{2 Q}{T} \left(1 - \frac{t}{T}\right) \right]^2 \, dt = \frac{4 Q^2 R}{T^2} \int_0^T \left(1 - \frac{t}{T}\right)^2 \, dt$.
मान लीजिए $u = 1 - \frac{t}{T}$,तो $du = -\frac{1}{T} dt$,इसलिए $dt = -T du$.
जब $t=0, u=1$; जब $t=T, u=0$.
$H = \frac{4 Q^2 R}{T^2} \int_1^0 u^2 (-T \, du) = \frac{4 Q^2 R}{T} \int_0^1 u^2 \, du$.
$H = \frac{4 Q^2 R}{T} \left[ \frac{u^3}{3} \right]_0^1 = \frac{4 Q^2 R}{3 T}$.
Solution diagram
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एक वृत्ताकार कुंडली को एक धारावाही चालक के पास रखा गया है,दोनों कागज के तल पर स्थित हैं। चालक से धारा इस प्रकार प्रवाहित हो रही है कि लूप में प्रेरित धारा दक्षिणावर्त (clockwise) है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। तार में धारा है,
Question diagram
A
समय पर निर्भर और नीचे की ओर।
B
स्थिर और ऊपर की ओर।
C
एक प्रत्यावर्ती धारा (alternating current)।
D
इनमें से कोई नहीं

Solution

(D) दाएं हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार,यदि तार में धारा ऊपर की ओर बहती है,तो कुंडली के क्षेत्र में चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं कागज के तल के अंदर की ओर निर्देशित होती हैं।
यदि तार में धारा नीचे की ओर बहती है,तो कुंडली के क्षेत्र में चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं कागज के तल के बाहर की ओर निर्देशित होती हैं।
लूप में दक्षिणावर्त प्रेरित धारा के लिए,प्रेरित चुंबकीय क्षेत्र को कागज के तल के अंदर की ओर निर्देशित होना चाहिए (दाएं हाथ के ग्रिप नियम द्वारा)।
लेंज के नियम के अनुसार,प्रेरित धारा चुंबकीय प्रवाह में परिवर्तन का विरोध करती है।
स्थिति $1$: यदि धारा ऊपर की ओर बह रही है और बढ़ रही है,तो तल के अंदर चुंबकीय क्षेत्र बढ़ता है,इसलिए इसका विरोध करने के लिए प्रेरित धारा वामावर्त (counter-clockwise) होगी। यह मेल नहीं खाता है।
स्थिति $2$: यदि धारा ऊपर की ओर बह रही है और घट रही है,तो तल के अंदर चुंबकीय क्षेत्र घटता है,इसलिए इसका समर्थन करने के लिए प्रेरित धारा दक्षिणावर्त होगी।
स्थिति $3$: यदि धारा नीचे की ओर बह रही है और बढ़ रही है,तो तल के बाहर चुंबकीय क्षेत्र बढ़ता है,इसलिए इसका विरोध करने के लिए प्रेरित धारा वामावर्त होगी।
स्थिति $4$: यदि धारा नीचे की ओर बह रही है और घट रही है,तो तल के बाहर चुंबकीय क्षेत्र घटता है,इसलिए इसका समर्थन करने के लिए प्रेरित धारा दक्षिणावर्त होगी।
चूंकि प्रेरित धारा उत्पन्न करने के लिए धारा का समय पर निर्भर होना आवश्यक है,और घटती हुई ऊपर की ओर धारा और घटती हुई नीचे की ओर धारा दोनों ही दक्षिणावर्त प्रेरित धारा उत्पन्न कर सकती हैं,इसलिए सबसे उपयुक्त सामान्य विवरण यह है कि धारा समय पर निर्भर है।
Solution diagram
23
PhysicsMediumMCQWBJEE · 2023
एक छड़ चुंबक चित्र में दिखाए अनुसार एक चालक तार के क्षैतिज वलय के केंद्र से गुरुत्वाकर्षण के अधीन विरामावस्था से नीचे गिरता है। निम्नलिखित में से कौन सा ग्राफ छड़ चुंबक की चाल $(v)$ बनाम समय $(t)$ ग्राफ को सबसे अच्छी तरह दर्शाता है?
A
Option A
B
Option B
C
Option C
D
Option D

Solution

(A) जब छड़ चुंबक चालक वलय से होकर गिरता है,तो वलय से जुड़ी चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन होता है। लेंज के नियम के अनुसार,वलय में एक प्रेरित धारा उत्पन्न होती है जो चुंबक की गति का विरोध करती है।
जैसे-जैसे चुंबक वलय के करीब आता है,प्रेरित धारा एक चुंबकीय क्षेत्र बनाती है जो चुंबक को प्रतिकर्षित करती है,जिससे इसका त्वरण $g$ (गुरुत्वीय त्वरण) से कम हो जाता है।
जैसे ही चुंबक वलय के केंद्र से गुजरता है,वलय से जुड़ी चुंबकीय फ्लक्स घटने लगती है। प्रेरित धारा अब एक चुंबकीय क्षेत्र बनाती है जो चुंबक को आकर्षित करती है,जो फिर से इसकी नीचे की ओर गति का विरोध करती है।
पूरी प्रक्रिया के दौरान,चुंबक पर शुद्ध बल $F_{net} = mg - F_{mag}$ होता है,जहाँ $F_{mag}$ चुंबकीय बल है। चुंबक की चाल लगातार बढ़ती है,लेकिन जब यह वलय के पास होता है तो विपरीत चुंबकीय बल के कारण इसका त्वरण कम हो जाता है। विकल्प $A$ में दिया गया ग्राफ इस व्यवहार को सही ढंग से दर्शाता है,जहाँ ढाल (त्वरण) कम हो जाती है जब चुंबक वलय से गुजरता है और फिर से बढ़ जाती है।
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PhysicsEasyMCQWBJEE · 2023
$k$ तरंग संख्या और $\omega$ कोणीय आवृत्ति वाली एक समतल विद्युतचुंबकीय तरंग का विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = E_0(\hat{i} + \hat{j}) \sin(kz - \omega t)$ द्वारा दिया गया है। निम्नलिखित में से कौन सा संबंधित चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ की दिशा देता है?
A
$\hat{k}$
B
$-\hat{i} + \hat{j}$
C
$-\hat{i} - \hat{j}$
D
$\hat{i} - \hat{k}$

Solution

(B) विद्युतचुंबकीय तरंग के लिए,संचरण की दिशा सदिश $\vec{k}_{dir} = \hat{k}$ द्वारा दी जाती है (क्योंकि कला $kz - \omega t$ है)।
विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E} = E_0(\hat{i} + \hat{j})$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ संचरण की दिशा और विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ दोनों के लंबवत होता है।
$\vec{B}$ की दिशा क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{k}_{dir} \times \vec{E}$ द्वारा प्राप्त होती है।
$\vec{B}_{dir} = \hat{k} \times (\hat{i} + \hat{j}) = (\hat{k} \times \hat{i}) + (\hat{k} \times \hat{j}) = \hat{j} - \hat{i} = -\hat{i} + \hat{j}$.
अतः,चुंबकीय क्षेत्र की दिशा $-\hat{i} + \hat{j}$ है।
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PhysicsDifficultMCQWBJEE · 2023
समान आयतन आवेश घनत्व वाले एक धनावेशित अनंत बेलन पर विचार करें। एक विद्युत द्विध्रुव जिसमें $+Q$ और $-Q$ आवेश एक द्रव्यमानहीन छड़ के विपरीत सिरों पर जुड़े हैं,चित्र में दिखाए अनुसार स्थित है। चित्र में दिखाए गए क्षण पर,द्विध्रुव अनुभव करेगा,
Question diagram
A
बाईं ओर एक बल और कोई टॉर्क नहीं
B
दाईं ओर एक बल और दक्षिणावर्त (clockwise) टॉर्क
C
दाईं ओर एक बल और वामावर्त (counter clockwise) टॉर्क
D
कोई बल नहीं लेकिन केवल एक दक्षिणावर्त टॉर्क

Solution

(B) एक अनंत आवेशित बेलन के कारण उसकी अक्ष से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E \propto \frac{1}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $+Q$ आवेश बेलन के करीब है,इसलिए $+Q$ की स्थिति पर विद्युत क्षेत्र $(E_1)$,$-Q$ की स्थिति पर विद्युत क्षेत्र $(E_2)$ से अधिक है,अर्थात $E_1 > E_2$ है।
$+Q$ आवेश पर लगने वाला बल $F_1 = Q E_1$ है (बेलन से दूर,अर्थात दाईं ओर)।
$-Q$ आवेश पर लगने वाला बल $F_2 = Q E_2$ है (बेलन की ओर,अर्थात बाईं ओर)।
चूंकि $E_1 > E_2$ है,इसलिए नेट बल $F_{\text{net}} = F_1 - F_2$ दाईं ओर कार्य करता है।
टॉर्क के संबंध में,बल $F_1$ छड़ के केंद्र से अधिक दूरी पर कार्य करता है और यह बड़ा है,जबकि $F_2$ कम दूरी पर कार्य करता है। इन बलों का संयोजन छड़ के केंद्र के परितः एक दक्षिणावर्त टॉर्क उत्पन्न करता है।
Solution diagram
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PhysicsDifficultMCQWBJEE · 2023
$\vec{p}$ द्विध्रुव आघूर्ण वाला एक विद्युत द्विध्रुव निर्देशांक प्रणाली के मूल बिंदु पर $z$-अक्ष के अनुदिश रखा गया है। बिंदु $A(a, 0, 0)$ से बिंदु $B(0, 0, a)$ तक $q$ आवेश को ले जाने के लिए आवश्यक कार्य कितना होगा?
A
$\frac{p q}{4 \pi \varepsilon_0 a}$
B
$0$
C
$\frac{-p q}{4 \pi \varepsilon_0 a^2}$
D
$\frac{p q}{4 \pi \varepsilon_0 a^2}$

Solution

(D) विद्युत द्विध्रुव के कारण किसी बिंदु $(r, \theta)$ पर विद्युत विभव $V = \frac{p \cos \theta}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदु $A(a, 0, 0)$ द्विध्रुव के निरक्षीय तल पर स्थित है (जो $z$-अक्ष पर है),इसलिए कोण $\theta_A = 90^{\circ}$ है। अतः,$A$ पर विभव $V_A = \frac{p \cos 90^{\circ}}{4 \pi \varepsilon_0 a^2} = 0$ है।
बिंदु $B(0, 0, a)$ द्विध्रुव की अक्षीय रेखा पर स्थित है,इसलिए कोण $\theta_B = 0^{\circ}$ है। अतः,$B$ पर विभव $V_B = \frac{p \cos 0^{\circ}}{4 \pi \varepsilon_0 a^2} = \frac{p}{4 \pi \varepsilon_0 a^2}$ है।
$A$ से $B$ तक $q$ आवेश को ले जाने के लिए किया गया कार्य $W = q(V_B - V_A)$ है।
मान रखने पर,$W = q \left( \frac{p}{4 \pi \varepsilon_0 a^2} - 0 \right) = \frac{p q}{4 \pi \varepsilon_0 a^2}$ प्राप्त होता है।
Solution diagram
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एक पतली कांच की छड़ को $R$ त्रिज्या के अर्धवृत्त में मोड़ा गया है। छड़ पर आवेश गैर-समान रूप से रैखिक आवेश घनत्व $\lambda = \lambda_0 \sin \theta$ के साथ वितरित है (जहाँ $\lambda_0$ एक धनात्मक स्थिरांक है और $\theta$ $x$-अक्ष के साथ कोण है)। अर्धवृत्त के केंद्र $P$ पर विद्युत क्षेत्र क्या होगा?
Question diagram
A
$-\frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 R} \hat{j}$
B
$\frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 R} \hat{j}$
C
$\frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 R} \hat{i}$
D
इनमें से कोई नहीं

Solution

(D) रैखिक आवेश घनत्व $\lambda = \lambda_0 \sin \theta$ दिया गया है। छड़ का एक छोटा अवयव लें जो केंद्र पर $d\theta$ कोण बनाता है। इस अवयव पर आवेश $dq = \lambda (R d\theta) = \lambda_0 R \sin \theta d\theta$ है।
इस अवयव के कारण केंद्र पर विद्युत क्षेत्र $dE = \frac{k dq}{R^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\lambda_0 R \sin \theta d\theta}{R^2} = \frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 R} \sin \theta d\theta$ है।
समरूपता के कारण,विद्युत क्षेत्र के $x$-घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। $y$-घटक $dE_y = -dE \sin \theta = -\frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 R} \sin^2 \theta d\theta$ है।
$\theta = 0$ से $\pi$ तक समाकलन करने पर:
$E_y = -\frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 R} \int_0^{\pi} \sin^2 \theta d\theta = -\frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 R} \int_0^{\pi} \frac{1 - \cos 2\theta}{2} d\theta = -\frac{\lambda_0}{8 \pi \varepsilon_0 R} [\theta - \frac{\sin 2\theta}{2}]_0^{\pi} = -\frac{\lambda_0}{8 \pi \varepsilon_0 R} (\pi) = -\frac{\lambda_0}{8 \varepsilon_0 R}$.
अतः,$\vec{E} = -\frac{\lambda_0}{8 \varepsilon_0 R} \hat{j}$। चूंकि यह विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही उत्तर $D$ है।
Solution diagram
28
PhysicsEasyMCQWBJEE · 2023
आकृति एक विद्युत क्षेत्र के लिए $x-y$ तल में दो समविभव रेखाओं को दर्शाती है। इन समविभव रेखाओं के बीच के स्थान में विद्युत क्षेत्र का $x$-घटक $E_{x}$ है, ($V/m$ में)
Question diagram
A
$100$
B
$-100$
C
$200$
D
$-200$

Solution

(B) विद्युत क्षेत्र का घटक $E_{x}$,$x$ के सापेक्ष विभव की ऋणात्मक प्रवणता द्वारा दिया जाता है,अर्थात $E_{x} = -\frac{dV}{dx}$।
ग्राफ से,विभवांतर $\Delta V = V_{2} - V_{1} = 4 \ V - 2 \ V = 2 \ V$ है।
इन दो समविभव रेखाओं के बीच $x$-अक्ष पर दूरी $\Delta x = 4 \ cm - 2 \ cm = 2 \ cm = 0.02 \ m$ है।
इसलिए,विद्युत क्षेत्र के $x$-घटक का मान $E_{x} = -\frac{\Delta V}{\Delta x} = -\frac{2 \ V}{0.02 \ m} = -100 \ V/m$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।
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$I$ धारा प्रवाहित करने वाला एक तार $x$-$y$ तल में वक्र $y=A \sin \left(\frac{2 \pi}{\lambda} x\right)$ के अनुदिश रखा गया है। $z$-दिशा में एक चुंबकीय क्षेत्र $B$ मौजूद है। $x=0$ और $x=\lambda$ के बीच तार के भाग पर चुंबकीय बल का परिमाण क्या है?
A
$0$
B
$2 I \lambda B$
C
$I \lambda B$
D
$I \lambda B / 2$

Solution

(C) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही तार पर चुंबकीय बल $\vec{F} = I (\vec{L}_{eff} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{L}_{eff}$ तार के प्रारंभिक बिंदु से अंतिम बिंदु तक का प्रभावी विस्थापन सदिश है।
दिए गए वक्र $y = A \sin \left(\frac{2 \pi}{\lambda} x\right)$ के लिए,प्रारंभिक बिंदु $x=0$ पर है,जो $y=0$ देता है। अंतिम बिंदु $x=\lambda$ पर है,जो $y = A \sin(2\pi) = 0$ देता है।
अतः,प्रभावी विस्थापन सदिश $\vec{L}_{eff}$ बिंदु $(0, 0)$ से $(\lambda, 0)$ तक का सदिश है,जो $\vec{L}_{eff} = \lambda \hat{i}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $z$-दिशा में है,इसलिए $\vec{B} = B \hat{k}$ है।
चुंबकीय बल $\vec{F} = I (\lambda \hat{i} \times B \hat{k}) = I \lambda B (\hat{i} \times \hat{k}) = -I \lambda B \hat{j}$ होगा।
चुंबकीय बल का परिमाण $|\vec{F}| = I \lambda B$ है।
Solution diagram
30
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एक आवेशित कण एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B = B_0 \hat{k}$ में मूल बिंदु से $v = 3 \hat{i} + 4 \hat{k} \text{ m/s}$ के वेग के साथ चलना शुरू करता है। कण का प्रक्षेप पथ और वह समय $t$ जिस पर वह $x-y$ तल से $2 \text{ m}$ ऊपर पहुँचता है,हैं,
A
वृत्ताकार पथ,$\frac{1}{2} \text{ s}$.
B
हेलिकल (कुंडलिनी) पथ,$\frac{1}{2} \text{ s}$.
C
वृत्ताकार पथ,$\frac{2}{3} \text{ s}$.
D
हेलिकल (कुंडलिनी) पथ,$\frac{2}{3} \text{ s}$.

Solution

(B) चुंबकीय क्षेत्र $z$-अक्ष की दिशा में है $(B = B_0 \hat{k})$।
कण का वेग $v = 3 \hat{i} + 4 \hat{k} \text{ m/s}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत वेग का घटक $v_{\perp} = 3 \hat{i} \text{ m/s}$ है,जो $x-y$ तल में वृत्ताकार गति उत्पन्न करता है।
चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर वेग का घटक $v_{\parallel} = 4 \hat{k} \text{ m/s}$ है,जो स्थिर रहता है क्योंकि इस दिशा में कोई बल कार्य नहीं कर रहा है।
चूंकि कण के पास लंबवत और समानांतर दोनों वेग घटक हैं,इसलिए प्रक्षेप पथ हेलिकल (कुंडलिनी) होगा।
$z$-अक्ष पर तय की जाने वाली दूरी $s = 2 \text{ m}$ है।
सूत्र $s = v_{\parallel} \times t$ का उपयोग करने पर,हमें $t = \frac{s}{v_{\parallel}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \text{ s}$ प्राप्त होता है।
Solution diagram
31
PhysicsDifficultMCQWBJEE · 2023
$q$ आवेश और $m$ द्रव्यमान का एक आवेशित कण $R$ त्रिज्या वाले एक ऊर्ध्वाधर बेलनाकार क्षेत्र के केंद्र से $2R$ की दूरी पर रखा गया है,जहाँ चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = (4t^2 - 2t + 6) \hat{k}$ के अनुसार बदलता है,जहाँ $t$ समय है। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
A
प्रेरित विद्युत क्षेत्र रेखाएं बंद लूप बनाती हैं
B
यदि $r < R$ है तो विद्युत क्षेत्र $r$ के साथ रैखिक रूप से बदलता है,जहाँ $r$ बेलन की मध्य रेखा से त्रिज्यीय दूरी है
C
ऊपर से देखने पर आवेशित कण दक्षिणावर्त दिशा में गति करेगा
D
जब $t = 2 \text{ s}$ है तो आवेशित कण का त्वरण $\frac{7qR}{2m}$ है

Solution

(A, B, C, D) $r < R$ के लिए,फैराडे के प्रेरण नियम का उपयोग करते हुए: $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\phi_B}{dt}$.
$E(2\pi r) = \frac{d}{dt}[(4t^2 - 2t + 6) \pi r^2] = (8t - 2) \pi r^2$.
अतः,$E = \frac{(8t - 2)r}{2} = (4t - 1)r$. चूँकि $E \propto r$,विद्युत क्षेत्र $r < R$ के लिए $r$ के साथ रैखिक रूप से बदलता है।
$r > R$ के लिए,चुंबकीय फ्लक्स $r \le R$ क्षेत्र तक सीमित है: $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d}{dt}[B \cdot \pi R^2]$.
$E(2\pi r) = (8t - 2) \pi R^2 \implies E = \frac{(8t - 2)R^2}{2r}$.
$r = 2R$ और $t = 2 \text{ s}$ पर:
$E = \frac{(8(2) - 2)R^2}{2(2R)} = \frac{14R^2}{4R} = \frac{7R}{2}$.
त्वरण $a = \frac{Eq}{m} = \frac{7qR}{2m}$.
प्रेरित विद्युत क्षेत्र असंरक्षी होते हैं और बंद लूप बनाते हैं। लेंज के नियम के अनुसार,चूँकि $t > 0.25 \text{ s}$ के लिए $\vec{B}$ बढ़ रहा है,प्रेरित क्षेत्र परिवर्तन का विरोध करता है,जिसके परिणामस्वरूप धनात्मक आवेश के लिए दक्षिणावर्त दिशा में गति होती है।
Solution diagram
32
PhysicsDifficultMCQWBJEE · 2023
एक क्षेत्र में एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ मौजूद है। $q$ आवेश और $m$ द्रव्यमान वाला एक इलेक्ट्रॉन $v$ वेग से गति करते हुए चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत दिशा में प्रवेश करता है। बोहर के कोणीय संवेग के क्वांटमीकरण को ध्यान में रखते हुए,निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
A
$n^{\text{th}}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n \propto \sqrt{n}$
B
$n^{\text{th}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v_n = \sqrt{\frac{n q B \hbar}{m^2}}$ है
C
$n^{\text{th}}$ स्तर की ऊर्जा $E_n \propto n$
D
दो क्रमिक स्तरों के बीच संक्रमण आवृत्ति $\omega$,$n$ से स्वतंत्र है

Solution

(A, B, C, D) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण के लिए,वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
कोणीय संवेग के लिए बोहर की क्वांटमीकरण शर्त लागू करने पर: $mvr = \frac{nh}{2\pi} = n\hbar$.
क्वांटमीकरण शर्त में $v = \frac{qBr}{m}$ प्रतिस्थापित करने पर: $m \left( \frac{qBr}{m} \right) r = n\hbar \implies qBr^2 = n\hbar \implies r_n = \sqrt{\frac{n\hbar}{qB}}$. अतः,$r_n \propto \sqrt{n}$। (कथन $A$ सत्य है)।
अब,$v_n = \frac{qBr_n}{m} = \frac{qB}{m} \sqrt{\frac{n\hbar}{qB}} = \sqrt{\frac{n q B \hbar}{m^2}}$। (कथन $B$ सत्य है)।
$n^{\text{th}}$ स्तर की ऊर्जा $E_n = \frac{1}{2}mv_n^2 = \frac{1}{2}m \left( \frac{n q B \hbar}{m^2} \right) = n \left( \frac{q B \hbar}{2m} \right)$ है। अतः,$E_n \propto n$। (कथन $C$ सत्य है)।
संक्रमण आवृत्ति $\omega$,$\Delta E = \hbar \omega$ द्वारा दी जाती है। क्रमिक स्तरों के लिए,$\Delta E = E_{n+1} - E_n = \frac{q B \hbar}{2m}$। इसलिए,$\omega = \frac{\Delta E}{\hbar} = \frac{qB}{2m}$,जो $n$ से स्वतंत्र है। (कथन $D$ सत्य है)।
Solution diagram
33
PhysicsDifficultMCQWBJEE · 2023
तीन समान उत्तल लेंस,जिनमें से प्रत्येक की फोकस दूरी $f$ है,एक सीधी रेखा में एक-दूसरे से $f$ दूरी पर रखे गए हैं। एक वस्तु को सबसे बाईं ओर वाले लेंस के सामने $f/2$ दूरी पर रखा गया है। तो,
Question diagram
A
अंतिम प्रतिबिंब सबसे दाईं ओर वाले लेंस के पीछे $f/2$ दूरी पर होगा और इसका आवर्धन $-1$ होगा।
B
अंतिम प्रतिबिंब सबसे दाईं ओर वाले लेंस के पीछे $f/2$ दूरी पर होगा और इसका आवर्धन $+1$ होगा।
C
अंतिम प्रतिबिंब सबसे दाईं ओर वाले लेंस के पीछे $f$ दूरी पर होगा और इसका आवर्धन $-1$ होगा।
D
अंतिम प्रतिबिंब सबसे दाईं ओर वाले लेंस के पीछे $f$ दूरी पर होगा और इसका आवर्धन $+1$ होगा।

Solution

(A) पहले लेंस के लिए:
$u_1 = -f/2$,$f_1 = f$
लेंस सूत्र $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{-f/2} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{v_1} + \frac{2}{f} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{v_1} = -\frac{1}{f} \Rightarrow v_1 = -f$.
आवर्धन $m_1 = \frac{v_1}{u_1} = \frac{-f}{-f/2} = 2$.
दूसरे लेंस के लिए:
पहले लेंस से बना प्रतिबिंब दूसरे लेंस के लिए वस्तु का कार्य करता है। लेंसों के बीच की दूरी $f$ है। इसलिए,$u_2 = -(f + |v_1|) = -(f + f) = -2f$.
लेंस सूत्र $\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{-2f} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{v_2} + \frac{1}{2f} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{v_2} = \frac{1}{2f} \Rightarrow v_2 = 2f$.
आवर्धन $m_2 = \frac{v_2}{u_2} = \frac{2f}{-2f} = -1$.
तीसरे लेंस के लिए:
दूसरे लेंस से बना प्रतिबिंब तीसरे लेंस के लिए वस्तु का कार्य करता है। दूसरे और तीसरे लेंस के बीच की दूरी $f$ है। प्रतिबिंब $v_2 = 2f$ दूसरे लेंस के पीछे बनता है। तीसरे लेंस के लिए वस्तु दूरी $u_3 = -(f - v_2) = -(f - 2f) = f$.
लेंस सूत्र $\frac{1}{v_3} - \frac{1}{u_3} = \frac{1}{f_3}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v_3} - \frac{1}{f} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{v_3} = \frac{2}{f} \Rightarrow v_3 = f/2$.
आवर्धन $m_3 = \frac{v_3}{u_3} = \frac{f/2}{f} = 1/2$.
कुल आवर्धन $M = m_1 \times m_2 \times m_3 = 2 \times (-1) \times (1/2) = -1$.
अंतिम प्रतिबिंब सबसे दाईं ओर वाले लेंस के पीछे $f/2$ दूरी पर बनता है।
Solution diagram
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PhysicsDifficultMCQWBJEE · 2023
एकवर्णी प्रकाश की एक किरण दो माध्यमों $X$ और $Y$ को अलग करने वाली समतल सतह पर आपतित होती है,जिसमें माध्यम $X$ में आपतन कोण $i$ और माध्यम $Y$ में अपवर्तन कोण $r$ है। दिया गया ग्राफ $\sin i$ और $\sin r$ के बीच संबंध को दर्शाता है। यदि $V_X$ और $V_Y$ क्रमशः माध्यम $X$ और $Y$ में किरण के वेग हैं,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
Question diagram
A
$V_X = \frac{1}{\sqrt{3}} V_Y$
B
$V_X = \sqrt{3} V_Y$
C
जब प्रकाश माध्यम $X$ में आपतित होता है तो पूर्ण आंतरिक परावर्तन हो सकता है।
D
$v_X = \sqrt{3} v_Y$,जहाँ $v_X$ और $v_Y$ क्रमशः माध्यम $X$ और $Y$ में प्रकाश की आवृत्तियाँ हैं।

Solution

(B) स्नेल के नियम के अनुसार,$\mu_X \sin i = \mu_Y \sin r$ होता है।
चूँकि $\mu = \frac{c}{V}$ है,हम लिख सकते हैं $\frac{c}{V_X} \sin i = \frac{c}{V_Y} \sin r$,जो सरल होकर $\frac{\sin i}{\sin r} = \frac{V_X}{V_Y}$ हो जाता है।
दिए गए ग्राफ से,रेखा की ढाल $\tan 30^{\circ} = \frac{\sin r}{\sin i} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
इसलिए,$\frac{\sin i}{\sin r} = \sqrt{3}$ है।
इस मान को वेग के अनुपात में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{V_X}{V_Y} = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $V_X = \sqrt{3} V_Y$।
चूँकि प्रकाश विरल माध्यम $(X)$ से सघन माध्यम $(Y)$ में जा रहा है (क्योंकि $r < i$),इसलिए जब प्रकाश माध्यम $X$ से $Y$ में आपतित होता है तो पूर्ण आंतरिक परावर्तन नहीं हो सकता है। अपवर्तन के दौरान आवृत्ति स्थिर रहती है।
Solution diagram
35
PhysicsEasyMCQWBJEE · 2023
दिए गए परिपथ में, लोड प्रतिरोध $R_L$ के सिरों पर वोल्टेज ड्रॉप $V_L$ ज्ञात कीजिए। ($V$ में)
Question diagram
A
$5$
B
$3$
C
$9$
D
$6$

Solution

(B) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या ज़ेनर डायोड चालन कर रहा है, हम पहले यह मानते हैं कि डायोड ओपन-सर्किट है और लोड प्रतिरोध $R_L$ के सिरों पर वोल्टेज की गणना करते हैं।
वोल्टेज डिवाइडर नियम का उपयोग करते हुए, $R_L = 100 \, \Omega$ लोड प्रतिरोध पर वोल्टेज $V_{ab}$ इस प्रकार है:
$V_{ab} = V_{source} \times \frac{R_L}{R + R_L}$
$V_{ab} = 9 \, V \times \frac{100 \, \Omega}{200 \, \Omega + 100 \, \Omega} = 9 \, V \times \frac{100}{300} = 3 \, V$
चूंकि गणना किया गया वोल्टेज $V_{ab} = 3 \, V$, ज़ेनर ब्रेकडाउन वोल्टेज $V_Z = 5 \, V$ से कम है, इसलिए ज़ेनर डायोड ब्रेकडाउन क्षेत्र में प्रवेश नहीं करता है और नॉन-कंडक्टिंग $(OFF)$ स्थिति में रहता है।
अतः, परिपथ एक साधारण श्रेणी परिपथ की तरह व्यवहार करता है और लोड प्रतिरोध $R_L$ पर वोल्टेज ड्रॉप $V_L = 3 \, V$ है।
Solution diagram
36
PhysicsEasyMCQWBJEE · 2023
दिए गए लॉजिक सर्किट में इनपुट $A, B, C$ और आउटपुट $Y$ हैं। $A, B$ और $C$ के कितने संयोजनों के लिए आउटपुट $Y=0$ प्राप्त होता है?
Question diagram
A
$8$
B
$5$
C
$7$
D
$1$

Solution

(C) दिए गए लॉजिक सर्किट का आउटपुट $Y$ इस प्रकार निर्धारित होता है:
$1$. इनपुट $A$ एक $NOT$ गेट से गुजरकर $\overline{A}$ बन जाता है।
$2$. इनपुट $\overline{A}$ और $B$ को $NAND$ गेट में देने पर,$\overline{\overline{A} \cdot B}$ प्राप्त होता है।
$3$. इनपुट $C$ एक $NOT$ गेट से गुजरकर $\overline{C}$ बन जाता है।
$4$. आउटपुट $\overline{\overline{A} \cdot B}$ और $\overline{C}$ को $NOR$ गेट में देने पर,$Y = \overline{(\overline{\overline{A} \cdot B}) + \overline{C}}$ प्राप्त होता है।
$5$. डी मॉर्गन प्रमेय का उपयोग करने पर,$Y = \overline{(\overline{\overline{A} \cdot B})} \cdot \overline{(\overline{C})} = (\overline{A} \cdot B) \cdot C = \overline{A} \cdot B \cdot C$.
$6$. आउटपुट $Y=1$ केवल तब प्राप्त होता है जब $\overline{A}=1, B=1, C=1$ हो,जिसका अर्थ है $A=0, B=1, C=1$।
$7$. इनपुट $A, B, C$ के लिए कुल $2^3 = 8$ संभावित संयोजन हैं।
$8$. चूंकि $Y=1$ केवल $1$ संयोजन के लिए है,इसलिए $Y=0$ प्राप्त करने वाले संयोजनों की संख्या $8 - 1 = 7$ है।
Solution diagram
37
PhysicsEasyMCQWBJEE · 2023
दो सुसंगत स्रोतों,जिनकी तीव्रता का अनुपात $n:1$ है,के साथ एक व्यतिकरण पैटर्न प्राप्त होता है। अनुपात $\frac{I_{\text{Max}}-I_{\text{Min}}}{I_{\text{Max}}+I_{\text{Min}}}$ अधिकतम होगा यदि
A
$n=1$
B
$n=2$
C
$n=3$
D
$n=4$

Solution

(A) दिया गया है कि तीव्रता का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = n$,इसलिए $I_1 = nI_2$.
$I_{\text{Max}} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 = (\sqrt{nI_2} + \sqrt{I_2})^2 = (\sqrt{n} + 1)^2 I_2$.
$I_{\text{Min}} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2 = (\sqrt{nI_2} - \sqrt{I_2})^2 = (\sqrt{n} - 1)^2 I_2$.
अब,अनुपात है:
$\frac{I_{\text{Max}} - I_{\text{Min}}}{I_{\text{Max}} + I_{\text{Min}}} = \frac{(\sqrt{n} + 1)^2 I_2 - (\sqrt{n} - 1)^2 I_2}{(\sqrt{n} + 1)^2 I_2 + (\sqrt{n} - 1)^2 I_2} = \frac{(\sqrt{n} + 1)^2 - (\sqrt{n} - 1)^2}{(\sqrt{n} + 1)^2 + (\sqrt{n} - 1)^2}$.
पदों का विस्तार करने पर:
$= \frac{(n + 1 + 2\sqrt{n}) - (n + 1 - 2\sqrt{n})}{(n + 1 + 2\sqrt{n}) + (n + 1 - 2\sqrt{n})} = \frac{4\sqrt{n}}{2(n + 1)} = \frac{2\sqrt{n}}{n + 1}$.
माना $f(n) = \frac{2\sqrt{n}}{n + 1}$. अधिकतम मान प्राप्त करने के लिए,यदि हम $n=1$ रखते हैं तो $f(1) = \frac{2(1)}{1+1} = 1$ प्राप्त होता है,जो इस व्यंजक के लिए अधिकतम संभव मान है।
38
PhysicsEasyMCQWBJEE · 2023
चित्र में दिखाए अनुसार,$\lambda$ तरंगदैर्ध्य वाली $X$-किरणें एक क्रिस्टल में दो तलों के बीच $d$ दूरी वाले परमाणुओं के समानांतर तलों से परावर्तित होती हैं। यदि दो परावर्तित किरणें संपोषी व्यतिकरण करती हैं,तो उच्चिष्ठ (maxima) के लिए शर्त क्या होगी? (जहाँ $n$ व्यतिकरण फ्रिंज का क्रम है)
Question diagram
A
$d \tan \theta = n \lambda$
B
$d \sin \theta = n \lambda$
C
$2 d \cos \theta = n \lambda$
D
$2 d \sin \theta = n \lambda$

Solution

(D) जब $X$-किरणें $d$ दूरी वाले समानांतर परमाण्विक तलों पर $\theta$ कोण पर आपतित होती हैं,तो क्रमिक तलों से परावर्तित किरणों के बीच का पथांतर $\Delta x = 2 d \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
संपोषी व्यतिकरण (उच्चिष्ठ) के लिए,पथांतर तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का एक पूर्णांक गुणज होना चाहिए।
अतः,उच्चिष्ठ के लिए शर्त $2 d \sin \theta = n \lambda$ है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ व्यतिकरण फ्रिंज का क्रम है। इसे ब्रैग का नियम (Bragg's Law) कहा जाता है।

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