જો $R$ અને $R^1$ એ ગણ $A$ પરના સામ્ય સંબંધો (equivalence relations) હોય,તો નીચેનામાંથી કયો સંબંધ પણ સામ્ય સંબંધ છે?

ધારો કે $A = \{0, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10\}$ અને $R$ એ $A$ પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ છે,જેથી $R = \{(x, y) \in A \times A : x - y \text{ એ એકી ધન પૂર્ણાંક છે અથવા } x - y = 2\}$. સંબંધ $R$ ને સંમિત સંબંધ બનાવવા માટે તેમાં ઉમેરવા પડતા ઘટકોની ન્યૂનતમ સંખ્યા $...........$ છે.

ધારો કે $R$ એ વાસ્તવિક રેખા છે. ધારો કે $R$ પરના સંબંધો $S$ અને $T$ ને $S = \{(x, y) : y = x + 1, 0 < x < 2\}$ અને $T = \{(x, y) : (x - y) \text{ એ પૂર્ણાંક છે}\}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યા છે. તો:

ધારો કે $L$ એ સમતલની તમામ સીધી રેખાઓનો ગણ છે. સંબંધ $R$ એ $\alpha R\beta \Leftrightarrow \alpha \perp \beta$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $\alpha, \beta \in L$. તો $R$ એ

સાબિત કરો કે વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ $\mathbb{R}$ પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ $R = \{(a, b) : a \leq b^2\}$ એ સ્વવાચક,સંમિત કે પરંપરિત નથી.

પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગણ $N$ પર સંબંધ $R$,$nRm$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે જો $n$ એ $m$ નો અવયવ હોય (એટલે કે $n|m$),તો $R$ એ: