WBJEE 2012 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો $3x + 4y = 9$ અને $y = mx + 1$ છે.
$y = mx + 1$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા:
$3x + 4(mx + 1) = 9$
$3x + 4mx + 4 = 9$
$x(3 + 4m) = 5$
$x = \frac{5}{3 + 4m}$
$x$ પૂર્ણાંક હોય તે માટે,$(3 + 4m)$ એ $5$ નો ભાજક હોવો જોઈએ.
$5$ ના ભાજકો $\{1, -1, 5, -5\}$ છે.
કિસ્સો $1$: $3 + 4m = 1 \implies 4m = -2 \implies m = -0.5$ (પૂર્ણાંક નથી).
કિસ્સો $2$: $3 + 4m = -1 \implies 4m = -4 \implies m = -1$ (પૂર્ણાંક છે).
કિસ્સો $3$: $3 + 4m = 5 \implies 4m = 2 \implies m = 0.5$ (પૂર્ણાંક નથી).
કિસ્સો $4$: $3 + 4m = -5 \implies 4m = -8 \implies m = -2$ (પૂર્ણાંક છે).
આમ,$m$ ના $2$ પૂર્ણાંક મૂલ્યો મળે છે,જે $\{-1, -2\}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\log _{2}\left(x^{2}+2 x-1\right)=1$
લઘુગણકની વ્યાખ્યા મુજબ,$\log _{b}(a) = c \implies a = b^{c}$.
તેથી,$x^{2}+2 x-1 = 2^{1} = 2$.
પદોને ગોઠવતા: $x^{2}+2 x-3 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x+3)(x-1) = 0$.
આથી $x = -3$ અથવા $x = 1$ મળે છે.
પ્રદેશ તપાસતા: $\log _{2}(f(x))$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે $f(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
જો $x = 1$,તો $x^{2}+2 x-1 = 1+2-1 = 2 > 0$ (માન્ય).
જો $x = -3$,તો $x^{2}+2 x-1 = 9-6-1 = 2 > 0$ (માન્ય).
બંને ઉકેલો માન્ય છે,તેથી કુલ $2$ ઉકેલો મળે છે.

(A) લઘુગણકીય અસમતા $\log _{e}\left(x^{2}-16\right) \leq \log _{e}(4 x-11)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,દલીલો ધન હોવી જોઈએ:
$1) \ x^{2}-16 > 0$ $\Rightarrow (x-4)(x+4) > 0$ $\Rightarrow x \in (-\infty, -4) \cup (4, \infty)$
$2) \ 4x-11 > 0 \Rightarrow x > \frac{11}{4} = 2.75$
આ બંનેને જોડતા,પ્રદેશ $x > 4$ મળે છે.
હવે,અસમતા ઉકેલતા:
$x^{2}-16 \leq 4x-11$
$x^{2}-4x-5 \leq 0$
$(x-5)(x+1) \leq 0$
આ $x \in [-1, 5]$ માટે સાચું છે.
પ્રદેશ $(x > 4)$ અને ઉકેલ $(x \in [-1, 5])$ નો છેદ લેતા,આપણને $4 < x \leq 5$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $(\alpha+\sqrt{\beta})$ અને $(\alpha-\sqrt{\beta})$ એ $x^{2}+px+q=0$ ના બીજ છે.
બીજનો સરવાળો: $(\alpha+\sqrt{\beta}) + (\alpha-\sqrt{\beta}) = -p \Rightarrow 2\alpha = -p \Rightarrow \alpha = -\frac{p}{2}$.
બીજનો ગુણાકાર: $(\alpha+\sqrt{\beta})(\alpha-\sqrt{\beta}) = q \Rightarrow \alpha^{2}-\beta = q \Rightarrow \beta = \alpha^{2}-q = \frac{p^{2}}{4}-q$.
આમ,$p^{2}-4q = 4\beta$.
સમીકરણ $(p^{2}-4q)(p^{2}x^{2}+4px)-16q=0$ માં કિંમત મૂકતા:
$4\beta(p^{2}x^{2}+4px) - 16q = 0$.
$p = -2\alpha$ હોવાથી,$p^{2} = 4\alpha^{2}$ અને $q = \alpha^{2}-\beta$:
$4\beta(4\alpha^{2}x^{2}-8\alpha x) - 16(\alpha^{2}-\beta) = 0$.
$4$ વડે ભાગતા:
$\beta(\alpha^{2}x^{2}-2\alpha x) - (\alpha^{2}-\beta) = 0$.
$\alpha^{2}\beta x^{2} - 2\alpha\beta x + \beta = \alpha^{2} \Rightarrow \beta(\alpha x - 1)^{2} = \alpha^{2}$.
$(\alpha x - 1)^{2} = \frac{\alpha^{2}}{\beta} \Rightarrow \alpha x - 1 = \pm \frac{\alpha}{\sqrt{\beta}}$.
$\alpha x = 1 \pm \frac{\alpha}{\sqrt{\beta}} \Rightarrow x = \frac{1}{\alpha} \pm \frac{1}{\sqrt{\beta}}$.

(A) કારણ કે $a, b$ અને $c$ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં છે,તેથી $2b = a + c$ થાય.
આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $a x^{2} - 2b x + c = 0$ છે.
$2b = a + c$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$a x^{2} - (a + c) x + c = 0$
$a x^{2} - a x - c x + c = 0$
$a x(x - 1) - c(x - 1) = 0$
$(x - 1)(a x - c) = 0$
આમ,બીજ $x = 1$ અને $x = \frac{c}{a}$ મળે છે.

(B) ધારો કે $\alpha$ એ સામાન્ય બીજ છે.
તેથી,$\alpha^{2}+\alpha+a=0$ ... $(i)$
અને $\alpha^{2}+a\alpha+1=0$ ... (ii)
$(i)$ માંથી (ii) બાદ કરતા:
$(\alpha^{2}+\alpha+a) - (\alpha^{2}+a\alpha+1) = 0$
$\alpha(1-a) + (a-1) = 0$
$\alpha(1-a) - (1-a) = 0$
$(1-a)(\alpha-1) = 0$
આથી $a=1$ અથવા $\alpha=1$ મળે.
કિસ્સો $1$: જો $a=1$ હોય,તો સમીકરણો $x^{2}+x+1=0$ બને છે,જેના કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.
કિસ્સો $2$: જો $\alpha=1$ હોય,તો $(i)$ માં મૂકતા $1^{2}+1+a=0$,તેથી $a=-2$ મળે.
$a=-2$ માટે,સમીકરણો $x^{2}+x-2=0$ અને $x^{2}-2x+1=0$ છે.
$x^{2}+x-2=0$ ના બીજ $x=1, -2$ છે.
$x^{2}-2x+1=0$ ના બીજ $x=1, 1$ છે.
સામાન્ય બીજ $x=1$ છે,જે વાસ્તવિક છે.
આમ,$a$ ની બરાબર એક કિંમત $(a=-2)$ માટે સમીકરણોને સામાન્ય વાસ્તવિક બીજ છે.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^{2} + Bx + C = 0$ ના બીજ વિરુદ્ધ ચિહ્નના હોય,તો બીજનો ગુણાકાર શૂન્ય કરતા ઓછો હોવો જોઈએ.
બીજનો ગુણાકાર = $\frac{C}{A} < 0$.
અહીં,$A = 2$ અને $C = a^{2} - 4a$.
તેથી,$\frac{a^{2} - 4a}{2} < 0$.
$a^{2} - 4a < 0$.
$a(a - 4) < 0$.
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી પડે જ્યારે $0 < a < 4$ હોય.

(D) ધારો કે $z = \frac{3}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2} \right) = \sqrt{3} \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) = \sqrt{3} e^{i \frac{\pi}{6}}$.
તેથી,$\left( \frac{3}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{50} = (\sqrt{3})^{50} e^{i \frac{50\pi}{6}} = 3^{25} e^{i \frac{25\pi}{3}}$.
કારણ કે $\frac{25\pi}{3} = 8\pi + \frac{\pi}{3}$,તેથી $e^{i \frac{25\pi}{3}} = e^{i \frac{\pi}{3}} = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આમ,$3^{25} (x + iy) = 3^{25} \left( \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા,આપણને $x = \frac{1}{2}$ અને $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે છે.

(C) આપેલ શરત $\left|z+\frac{2}{z}\right|=2$ છે.
ત્રિકોણ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા,$|z| = \left|z+\frac{2}{z}-\frac{2}{z}\right| \leq \left|z+\frac{2}{z}\right| + \left|-\frac{2}{z}\right|$.
આપેલ કિંમત મૂકતા,$|z| \leq 2 + \frac{2}{|z|}$.
$|z|$ વડે ગુણતા,$|z|^2 \leq 2|z| + 2$.
પદોને ગોઠવતા,$|z|^2 - 2|z| \leq 2$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$|z|^2 - 2|z| + 1 \leq 2 + 1$,જે $(|z|-1)^2 \leq 3$ આપે છે.
વર્ગમૂળ લેતા,$-\sqrt{3} \leq |z|-1 \leq \sqrt{3}$.
બધી બાજુ $1$ ઉમેરતા,$1-\sqrt{3} \leq |z| \leq 1+\sqrt{3}$.
$|z| \geq 0$ હોવાથી,$|z|$ ની મહત્તમ કિંમત $1+\sqrt{3}$ છે.

(B) ધારો કે $\omega = \frac{z-1}{z+1}$ એ શુદ્ધ કાલ્પનિક સંખ્યા છે.
સંકર સંખ્યા $\omega$ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોય જો અને માત્ર જો $\omega + \overline{\omega} = 0$ થાય (જ્યાં $\omega \neq 0$).
તેથી,$\frac{z-1}{z+1} + \overline{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)} = 0$
$\frac{z-1}{z+1} + \frac{\overline{z}-1}{\overline{z}+1} = 0$
$(z-1)(\overline{z}+1) + (\overline{z}-1)(z+1) = 0$
$(z\overline{z} + z - \overline{z} - 1) + (z\overline{z} - z + \overline{z} - 1) = 0$
$2z\overline{z} - 2 = 0$
$z\overline{z} = 1$
કારણ કે $|z|^2 = z\overline{z}$,તેથી $|z|^2 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $|z| = 1$.

(A) ધારો કે $z = x + iy$. આપેલ સમીકરણ $\text{arg}\left(\frac{z-2}{z+2}\right) = \frac{\pi}{3}$ છે.
આ એક એવા બિંદુ $z$ નો બિંદુપથ છે કે જેથી $2$ અને $-2$ ને જોડતા રેખાખંડ દ્વારા $z$ આગળ બનતો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ થાય.
$\text{arg}\left(\frac{z-z_1}{z-z_2}\right) = \theta$ ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આ બિંદુપથ એક વર્તુળનો ચાપ છે.
તેથી,આ બિંદુઓ એક વર્તુળ પર આવેલા છે.

(D) અંગ્રેજી મૂળાક્ષરોના $2$ અક્ષરો પસંદ કરવાની કુલ રીતો (પુનરાવર્તન શક્ય છે તેમ માનીને) $26 \times 26 = 26^{2}$ છે.
પ્રથમ અંક શૂન્ય ન હોય તેવા $4$ અંકો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $9 \times 10 \times 10 \times 10 = 9 \times 10^{3}$ છે.
તેથી,અલગ નોંધણી નંબર ધરાવતા વાહનોની કુલ સંખ્યા $26^{2} \times 9 \times 10^{3}$ છે.

(A) "$IRRATIONAL$" શબ્દમાં કુલ $10$ અક્ષરો છે.
દરેક અક્ષરની આવૃત્તિ ગણતા:
$I$ બે વાર આવે છે.
$R$ બે વાર આવે છે.
$A$ બે વાર આવે છે.
$T, O, N, L$ દરેક એક વાર આવે છે.
ક્રમચયના સૂત્ર મુજબ,કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $\frac{n!}{n_1! n_2! n_3! \dots n_k!}$ છે.
અહીં,$n = 10$,$n_1 = 2$ ($I$ માટે),$n_2 = 2$ ($R$ માટે),અને $n_3 = 2$ ($A$ માટે).
તેથી,કુલ શબ્દોની સંખ્યા $= \frac{10!}{2! 2! 2!} = \frac{10!}{(2!)^3}$.

(D) $4$ વક્તાઓને ગોઠવવાની કુલ રીતો $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ છે.
કોઈપણ ગોઠવણીમાં,વક્તા $P$ અને $Q$ ના સાપેક્ષ ક્રમ માટે માત્ર બે જ શક્યતાઓ છે: કાં તો $P$ એ $Q$ પહેલા બોલે અથવા $Q$ એ $P$ પહેલા બોલે.
આ બંને કિસ્સાઓ સમાન રીતે સંભવિત હોવાથી,કુલ ગોઠવણીમાંથી અડધી ગોઠવણીમાં $Q$ એ $P$ પહેલા બોલશે.
તેથી,જરૂરી રીતોની સંખ્યા $\frac{24}{2} = 12$ છે.

(B) $n$ બાજુઓ ધરાવતા નિયમિત બહુકોણમાં વિકર્ણોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\frac{n(n-3)}{2}$ અથવા ${ }^{n} C_{2}-n$ છે.
$n = 100$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણ માટે:
વિકર્ણોની સંખ્યા $= { }^{100} C_{2} - 100$
$= \frac{100 \times 99}{2} - 100$
$= 50 \times 99 - 100$
$= 4950 - 100$
$= 4850$

(B) $(1+x)^{n}$ ના વિસ્તરણમાં $2nd$,$3rd$ અને $4th$ પદોના સહગુણકો અનુક્રમે ${}^{n}C_{1}$,${}^{n}C_{2}$ અને ${}^{n}C_{3}$ છે.
આપેલ છે કે તેઓ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $2({}^{n}C_{2}) = {}^{n}C_{1} + {}^{n}C_{3}$.
કિંમતો મૂકતા,$2 \times \frac{n(n-1)}{2} = n + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$.
$n$ વડે ભાગતા ($n \neq 0$ હોવાથી),આપણને $n-1 = 1 + \frac{(n-1)(n-2)}{6}$ મળે છે.
$6(n-2) = (n-1)(n-2)$.
$n \neq 2$ હોવાથી,$(n-2)$ વડે ભાગતા $6 = n-1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $n = 7$.
$(1+x)^{n}$ ના વિસ્તરણમાં $x$ ના એકી ઘાતાંકોના સહગુણકોનો સરવાળો $2^{n-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n=7$ મૂકતા,સરવાળો $2^{7-1} = 2^{6} = 64$ થાય.

(D) ધારો કે $AP$ ના છ પદો $a-5d, a-3d, a-d, a+d, a+3d, a+5d$ છે,જ્યાં સામાન્ય તફાવત $2d$ છે.
પદોનો સરવાળો $= 6a = 3$,તેથી $a = \frac{1}{2}$.
આપેલ છે કે $T_1 = 4T_3$,જ્યાં $T_1 = a-5d$ અને $T_3 = a-d$.
$a-5d = 4(a-d) \Rightarrow -3a = d$.
$a = \frac{1}{2}$ મૂકતા,$d = -\frac{3}{2}$ મળે.
પાંચમું પદ $T_5 = a+3d = \frac{1}{2} + 3(-\frac{3}{2}) = -4$.

(B) આપેલ શ્રેણી $S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 6} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{3 \cdot 6 \cdot 9} + \dots$ છે.
આ દ્વિપદી શ્રેણી $(1-x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \dots$ ના સ્વરૂપમાં છે.
આપણે પદોને $1 + \frac{1}{2}(\frac{2}{3}) + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+1)}{2!}(\frac{2}{3})^2 + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+1)(\frac{1}{2}+2)}{3!}(\frac{2}{3})^3 + \dots$ તરીકે લખી શકીએ.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1-x)^{-n}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = \frac{1}{2}$ અને $x = \frac{2}{3}$ મળે છે.
તેથી,સરવાળો $(1 - \frac{2}{3})^{-1/2} = (\frac{1}{3})^{-1/2} = 3^{1/2} = \sqrt{3}$ થાય.

(C) ધારો કે $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $r$ એ $GP$ નો સામાન્ય ગુણોત્તર છે. $P$ મું,$Q$ મું અને $R$ મું પદ અનુક્રમે $ar^{P-1}$,$ar^{Q-1}$ અને $ar^{R-1}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ:
$ar^{P-1} = 64$ $(i)$
$ar^{Q-1} = 27$ (ii)
$ar^{R-1} = 36$ (iii)
$(i)$ ને (ii) વડે ભાગતા:
$r^{P-Q} = \frac{64}{27} = \left(\frac{4}{3}\right)^3$ (iv)
(ii) ને (iii) વડે ભાગતા:
$r^{Q-R} = \frac{27}{36} = \frac{3}{4}$
$3$ ઘાત લેતા:
$r^{3(Q-R)} = \left(\frac{3}{4}\right)^3 = \left(\frac{4}{3}\right)^{-3}$ $(v)$
(iv) અને $(v)$ નો ગુણાકાર કરતા:
$r^{P-Q} \times r^{3Q-3R} = \left(\frac{4}{3}\right)^3 \times \left(\frac{4}{3}\right)^{-3} = 1$
$r^{P+2Q-3R} = r^0$
તેથી,$P+2Q-3R = 0$,જેનો અર્થ છે કે $P+2Q = 3R$.

(C) ધારો કે $a^{p} = b^{q} = c^{r} = k$.
$a, b, c$ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોવાથી,આપણે $a = k^{1/p}$,$b = k^{1/q}$,અને $c = k^{1/r}$ લખી શકીએ.
આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $GP$ માં છે,તેથી $\frac{b}{a} = \frac{c}{b}$.
$a, b, c$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{k^{1/q}}{k^{1/p}} = \frac{k^{1/r}}{k^{1/q}}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $k^{(1/q - 1/p)} = k^{(1/r - 1/q)}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા,આપણને $\frac{1}{q} - \frac{1}{p} = \frac{1}{r} - \frac{1}{q}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{2}{q} = \frac{1}{p} + \frac{1}{r}$ થાય છે.
આ દર્શાવે છે કે $\frac{1}{p}, \frac{1}{q}, \frac{1}{r}$ એ $A.P.$ માં છે.
તેથી,$p, q, r$ એ $H.P.$ માં છે.

(D) અનંત $GP$ નો સરવાળો $S_{k} = \frac{a}{1-r} = \frac{k}{1-\frac{k}{k+1}} = k(k+1)$ છે.
આપણે $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k(k+1)}$ શોધવાનું છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$.
તેથી,સરવાળો $\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = -1 + 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \dots \right)$ થાય.
$\log_{e} 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$ હોવાથી,$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \dots = 1 - \log_{e} 2$ થાય.
આથી,સરવાળો $-1 + 2(1 - \log_{e} 2) = 1 - \log_{e} 4$ મળે.

(B) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_n = n \times n!$ છે.
આપણે $T_n$ ને $((n + 1) - 1) \times n! = (n + 1)! - n!$ તરીકે લખી શકીએ.
સરવાળો $S_{50} = \sum_{n=1}^{50} T_n = \sum_{n=1}^{50} ((n + 1)! - n!)$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:
$S_{50} = (2! - 1!) + (3! - 2!) + (4! - 3!) + \ldots + (51! - 50!)$.
બધા વચ્ચેના પદો ઉડી જાય છે,તેથી $S_{50} = 51! - 1!$ વધે છે.
કારણ કે $1! = 1$,તેથી સરવાળો $51! - 1$ થાય છે.

(C) આપેલ શ્રેણી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં $a=1$,સામાન્ય ગુણોત્તર $r=(1+x)$,અને પદોની સંખ્યા $n=21$ છે.
શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{1((1+x)^{21}-1)}{(1+x)-1} = \frac{(1+x)^{21}-1}{x}$ થાય.
આપણે $S = \frac{(1+x)^{21}-1}{x}$ માં $x^{10}$ નો સહગુણક શોધવાનો છે.
આ $(1+x)^{21}-1$ ના વિસ્તરણમાં $x^{11}$ ના સહગુણક શોધવા સમાન છે.
$(1+x)^{21}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{21}C_{r} x^{r}$ છે.
$r=11$ માટે,પદ ${}^{21}C_{11} x^{11}$ મળે.
આમ,$(1+x)^{21}$ માં $x^{11}$ નો સહગુણક ${}^{21}C_{11}$ છે.
તેથી,આપેલ શ્રેણીમાં $x^{10}$ નો સહગુણક ${}^{21}C_{11}$ છે.

(A) ધારો કે સરવાળો $S = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k+1} {}^{n}C_{k}$ છે.
નિત્યસમ $\frac{1}{k+1} {}^{n}C_{k} = \frac{1}{n+1} {}^{n+1}C_{k+1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{n+1} {}^{n+1}C_{k+1}$
$S = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} {}^{n+1}C_{k+1}$
$S = \frac{1}{n+1} [{}^{n+1}C_{1} + {}^{n+1}C_{2} + \dots + {}^{n+1}C_{n+1}]$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{r=0}^{m} {}^{m}C_{r} = 2^{m}$,તેથી $\sum_{r=1}^{m} {}^{m}C_{r} = 2^{m} - 1$.
અહીં $m = n+1$ છે,તેથી સરવાળો $2^{n+1} - 1$ થાય.
તેથી,$S = \frac{2^{n+1}-1}{n+1}$.

(C) પ્રથમ $(r-1)$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $\frac{(r-1)r}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ કિંમતને સરવાળામાં મૂકતા,આપણને $\sum_{r=2}^{\infty} \frac{(r-1)r}{2 \cdot r!}$ મળે છે.
કારણ કે $r! = r(r-1)(r-2)!$,તેથી પદ $\sum_{r=2}^{\infty} \frac{1}{2(r-2)!}$ માં સરળ બને છે.
અચળ $\frac{1}{2}$ ને સામાન્ય લેતા,આપણને $\frac{1}{2} \sum_{r=2}^{\infty} \frac{1}{(r-2)!}$ મળે છે.
ધારો કે $k = r-2$. જેમ $r$ એ $2$ થી $\infty$ સુધી જાય છે,તેમ $k$ એ $0$ થી $\infty$ સુધી જાય છે.
આમ,પદ $\frac{1}{2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = \frac{1}{2} e$ થાય છે.

(B) આપેલ છે કે $P = \sum_{r=0}^{5} c_{2r} = c_{0} + c_{2} + c_{4} + c_{6} + c_{8} + c_{10}$.
$c_{r} = {}^{10}C_{r}$ હોવાથી,$P = {}^{10}C_{0} + {}^{10}C_{2} + {}^{10}C_{4} + {}^{10}C_{6} + {}^{10}C_{8} + {}^{10}C_{10} = 2^{10-1} = 2^{9}$.
આપેલ છે કે $Q = \sum_{r=0}^{3} d_{2r+1} = d_{1} + d_{3} + d_{5} + d_{7}$.
$d_{r} = {}^{7}C_{r}$ હોવાથી,$Q = {}^{7}C_{1} + {}^{7}C_{3} + {}^{7}C_{5} + {}^{7}C_{7} = 2^{7-1} = 2^{6}$.
તેથી,$\frac{P}{Q} = \frac{2^{9}}{2^{6}} = 2^{9-6} = 2^{3} = 8$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\tan x + \sec x = 2 \cos x$
$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ અને $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\sin x + 1}{\cos x} = 2 \cos x$
$\sin x + 1 = 2 \cos^2 x$
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ હોવાથી:
$\sin x + 1 = 2(1 - \sin^2 x)$
$\sin x + 1 = 2 - 2 \sin^2 x$
$2 \sin^2 x + \sin x - 1 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(2 \sin x - 1)(\sin x + 1) = 0$
તેથી $\sin x = \frac{1}{2}$ અથવા $\sin x = -1$.
$x \in [0, \pi]$ માટે,$\sin x = \frac{1}{2}$ પરથી $x = \frac{\pi}{6}$ અને $x = \frac{5\pi}{6}$ મળે છે.
$\sin x = -1$ માટે $x = \frac{3\pi}{2}$ મળે,જે અંતરાલ $[0, \pi]$ ની બહાર છે.
આમ,ઉકેલોની સંખ્યા $2$ છે.

(A) આપેલ છે $A(b \cos \alpha, b \sin \alpha)$ અને $B(a \cos \beta, a \sin \beta)$.
બિંદુ $M(x, y)$ એ $AB$ નું $b : a$ ગુણોત્તરમાં બહારની તરફ વિભાજન કરે છે,તેથી વિભાજન સૂત્ર મુજબ:
$x = \frac{ab(\cos \beta - \cos \alpha)}{b - a}$
$y = \frac{ab(\sin \beta - \sin \alpha)}{b - a}$
હવે,$x \cos \frac{\alpha+\beta}{2} + y \sin \frac{\alpha+\beta}{2}$ માં કિંમતો મૂકતા:
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,પરિણામ $0$ મળે છે.

(C) ધારો કે રેખાનું સમીકરણ અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
રેખા અક્ષોને જ્યાં છેદે છે તે બિંદુઓના યામ $A(0, b)$ અને $B(a, 0)$ છે.
બિંદુ $(\alpha, \beta)$ એ રેખાખંડ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\alpha = \frac{0 + a}{2} \Rightarrow a = 2\alpha$
$\beta = \frac{b + 0}{2} \Rightarrow b = 2\beta$
આ કિંમતોને અંતઃખંડ સ્વરૂપના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{x}{2\alpha} + \frac{y}{2\beta} = 1$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$\frac{x}{\alpha} + \frac{y}{\beta} = 2$

(A) ધારો કે $R$ ના યામ $(h, k)$ છે.
ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્રનું સૂત્ર $\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)$ છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $P(2, -3), Q(-2, 1)$ અને $R(h, k)$ માટે,મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{2 - 2 + h}{3}, \frac{-3 + 1 + k}{3}\right) = \left(\frac{h}{3}, \frac{k - 2}{3}\right)$ થશે.
મધ્યકેન્દ્ર રેખા $2x + 3y = 1$ પર હોવાથી,તે આ સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$2\left(\frac{h}{3}\right) + 3\left(\frac{k - 2}{3}\right) = 1$
$3$ વડે ગુણતા:
$2h + 3(k - 2) = 3$
$2h + 3k - 6 = 3$
$2h + 3k = 9$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,$R$ નો બિંદુપથ $2x + 3y = 9$ મળે છે.

(B) આપેલ રેખાઓ $x+2y=4$ $(i)$ અને $2x+y=4$ (ii) છે.
સમીકરણો $(i)$ અને (ii) ઉકેલતા,છેદબિંદુ $(\frac{4}{3}, \frac{4}{3})$ મળે છે.
આ બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ ધારો.
તે $(\frac{4}{3}, \frac{4}{3})$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$\frac{4}{3a} + \frac{4}{3b} = 1$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{3}{4}$ (iii) થાય છે.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ $(h, k)$ ધારો. તેથી $h = \frac{a}{2}$ અને $k = \frac{b}{2}$,એટલે કે $a = 2h$ અને $b = 2k$.
આ કિંમતો સમીકરણ (iii) માં મૂકતા,$\frac{1}{2h} + \frac{1}{2k} = \frac{3}{4}$ મળે છે.
$2hk$ વડે ગુણતા,$k + h = \frac{3}{2}hk$,અથવા $2(h+k) = 3hk$ મળે છે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $2(x+y) = 3xy$ થાય છે.

(C) બિંદુઓ $(2,0)$,$(0,3)$,અને $(0,0)$ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે કારણ કે $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
$(2,0)$ અને $(0,3)$ ને જોડતા રેખાખંડ દ્વારા $(0,0)$ આગળ બનતો ખૂણો $90^{\circ}$ હોવાથી,આ રેખાખંડ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ છે.
$(2,0)$ અને $(0,3)$ બિંદુઓ મૂકતા,આપણને મળે:
$(x-2)(x-0) + (y-0)(y-3) = 0$
$x^2 - 2x + y^2 - 3y = 0$
$x^2 + y^2 - 2x - 3y = 0$
બિંદુ $(2k, 3k)$ આ વર્તુળ પર આવેલું હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$(2k)^2 + (3k)^2 - 2(2k) - 3(3k) = 0$
$4k^2 + 9k^2 - 4k - 9k = 0$
$13k^2 - 13k = 0$
$13k(k - 1) = 0$
આથી $k = 0$ અથવા $k = 1$ મળે.
જો $k = 0$ હોય,તો બિંદુ $(2k, 3k)$ એ $(0,0)$ બને,જે આપેલ બિંદુ $(0,0)$ થી ભિન્ન નથી.
તેથી,ચાર બિંદુઓ ભિન્ન રહે તે માટે $k = 1$ હોવું જોઈએ.

(A) બે વર્તુળો $x^{2}+y^{2}+2g_{1}x+2f_{1}y+c_{1}=0$ અને $x^{2}+y^{2}+2g_{2}x+2f_{2}y+c_{2}=0$ લંબછેદી હોય જો અને માત્ર જો $2(g_{1}g_{2}+f_{1}f_{2})=c_{1}+c_{2}$ હોય.
આપેલ વર્તુળો માટે:
વર્તુળ $1$: $g_{1}=1, f_{1}=k, c_{1}=6$
વર્તુળ $2$: $g_{2}=0, f_{2}=k, c_{2}=k$
શરતમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$2((1)(0) + (k)(k)) = 6 + k$
$2k^{2} = 6 + k$
$2k^{2} - k - 6 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$2k^{2} - 4k + 3k - 6 = 0$
$2k(k-2) + 3(k-2) = 0$
$(k-2)(2k+3) = 0$
આમ,$k = 2$ અથવા $k = -\frac{3}{2}$.

(C) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$C_{1}: x^{2}+y^{2}=4$ (કેન્દ્ર $C_{1} = (0,0)$,ત્રિજ્યા $r_{1} = 2$)
$C_{2}: (x-2)^{2}+y^{2}=1$ (કેન્દ્ર $C_{2} = (2,0)$,ત્રિજ્યા $r_{2} = 1$)
ધારો કે $N$ એ સામાન્ય જીવા $PQ$ અને કેન્દ્રોને જોડતી રેખા $C_{1}C_{2}$ નું છેદબિંદુ છે.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$(x^{2}+y^{2}) - ((x-2)^{2}+y^{2}) = 4 - 1$
$4x - 4 = 3 \implies x = \frac{7}{4}$
$N$ એ $x$-અક્ષ પર હોવાથી,$N$ ના યામ $(\frac{7}{4}, 0)$ છે.
અંતર $C_{1}N = \frac{7}{4}$ અને $C_{2}N = |2 - \frac{7}{4}| = \frac{1}{4}$.
બંને ત્રિકોણ $\Delta C_{1}PQ$ અને $\Delta C_{2}PQ$ નો પાયો $PQ$ સમાન છે.
તેથી,તેમના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમના વેધના ગુણોત્તર જેટલો થાય:
$\frac{\text{Area}(\Delta C_{1}PQ)}{\text{Area}(\Delta C_{2}PQ)} = \frac{C_{1}N}{C_{2}N} = \frac{7/4}{1/4} = 7: 1$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $y^{2}+4x+4y+k=0$
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$y^{2}+4y+4-4+4x+k=0$
$(y+2)^{2} = -4x+4-k$
$(y+2)^{2} = -4(x - \frac{4-k}{4})$
આને પરવલયના પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(y-k')^{2} = -4a(x-h')$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a = 4$ મળે છે.
તેથી,નાભિલંબની લંબાઈ $4$ એકમ છે.

(B) પરવલય $y^{2}=8x$ નું શિરોબિંદુ $M(0,0)$ છે.
ધારો કે પરવલય પરનું બીજું બિંદુ $N(2t^{2}, 4t)$ છે,જ્યાં $t$ એક પ્રાચલ છે.
ધારો કે $P(x, y)$ એ જીવા $MN$ નું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$x = \frac{0 + 2t^{2}}{2} = t^{2}$
$y = \frac{0 + 4t}{2} = 2t$
બીજા સમીકરણ પરથી,$t = \frac{y}{2}$.
આ કિંમતને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા:
$x = (\frac{y}{2})^{2}$
$x = \frac{y^{2}}{4}$
$y^{2} = 4x$
આમ,$P$ નો બિંદુપથ $y^{2}=4x$ છે.

(C) ધારો કે પરવલય $y^{2}=4x$ પરના બિંદુઓ $P$ અને $Q$ ના યામ અનુક્રમે $(t^{2}, 2t)$ અને $(m^{2}, 2m)$ છે. પરવલયનું શિરોબિંદુ $X(0, 0)$ છે.
$PQ$ એ શિરોબિંદુ $X$ પર કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી $XP$ અને $XQ$ ના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય.
$XP$ નો ઢાળ $= \frac{2t-0}{t^{2}-0} = \frac{2}{t}$.
$XQ$ નો ઢાળ $= \frac{2m-0}{m^{2}-0} = \frac{2}{m}$.
આપેલ છે કે,$(\frac{2}{t}) \times (\frac{2}{m}) = -1 \Rightarrow tm = -4$.
$(t^{2}, 2t)$ અને $(m^{2}, 2m)$ માંથી પસાર થતી રેખા $PQ$ નું સમીકરણ:
$y - 2t = \frac{2m-2t}{m^{2}-t^{2}}(x - t^{2})$
$y - 2t = \frac{2(m-t)}{(m-t)(m+t)}(x - t^{2})$
$y - 2t = \frac{2}{m+t}(x - t^{2})$.
$PQ$ એ પરવલયની અક્ષ ($x$-અક્ષ) ને $R(\alpha, 0)$ માં છેદે છે,તેથી $y=0$ અને $x=\alpha$ મૂકતા:
$0 - 2t = \frac{2}{m+t}(\alpha - t^{2})$
$-t(m+t) = \alpha - t^{2}$
$-tm - t^{2} = \alpha - t^{2}$
$\alpha = -tm$.
$tm = -4$ હોવાથી,$\alpha = -(-4) = 4$.
આમ,શિરોબિંદુ $X(0, 0)$ થી $R(4, 0)$ નું અંતર $4$ છે.

(B) ધારો કે $P(\sqrt{10} \cos \theta, \sqrt{8} \sin \theta)$ એ ઉપવલય $\frac{x^{2}}{10}+\frac{y^{2}}{8}=1$ પરનું બિંદુ છે.
આપેલ છે કે કેન્દ્ર $(0,0)$ થી બિંદુ $P$ નું અંતર $3$ એકમ છે.
તેથી,$OP^2 = 3^2 = 9$.
$10 \cos^2 \theta + 8 \sin^2 \theta = 9$.
નિત્યસમ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$9 = 9(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$ લખી શકાય.
$10 \cos^2 \theta + 8 \sin^2 \theta = 9 \sin^2 \theta + 9 \cos^2 \theta$.
પદોને ગોઠવતા,$\cos^2 \theta = \sin^2 \theta$ મળે.
$\tan^2 \theta = 1$.
બિંદુ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$\theta = \frac{\pi}{4}$.

(D) આપેલ સમીકરણો $x=2y$ $(i)$ અને $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ (ii) છે.
(ii) માં $x=2y$ મૂકતા,આપણને મળે:
$\frac{(2y)^{2}}{4}+y^{2}=1$
$\frac{4y^{2}}{4}+y^{2}=1$
$y^{2}+y^{2}=1$
$2y^{2}=1$ $\Rightarrow y^{2}=\frac{1}{2}$ $\Rightarrow y=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$(i)$ પરથી,$x=2y$,તેથી $x=\pm 2(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \pm \sqrt{2}$.
આમ,છેદબિંદુઓ $P(\sqrt{2}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ અને $Q(-\sqrt{2}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ છે.
$PQ$ ને વ્યાસ તરીકે લેતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ છે.
$(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) + (y-\frac{1}{\sqrt{2}})(y+\frac{1}{\sqrt{2}}) = 0$
$(x^{2}-2) + (y^{2}-\frac{1}{2}) = 0$
$x^{2}+y^{2} = 2 + \frac{1}{2}$
$x^{2}+y^{2} = \frac{5}{2}$.

(D) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{1}=1$ છે.
$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ સાથે સરખાવતા,$a^{2}=9$ અને $b^{2}=1$ મળે છે.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$ છે.
નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 2\sqrt{2}, 0)$ છે.
ધારો કે $P(h, k)$ એવું બિંદુ છે કે જેથી નાભિઓ $F_{1}(2\sqrt{2}, 0)$ અને $F_{2}(-2\sqrt{2}, 0)$ બિંદુ $P$ આગળ કાટખૂણો આંતરે છે.
તેથી,$PF_{1}$ અને $PF_{2}$ ના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય.
$\frac{k-0}{h-2\sqrt{2}} \times \frac{k-0}{h+2\sqrt{2}} = -1$.
$\frac{k^{2}}{h^{2}-8} = -1$.
$h^{2}+k^{2} = 8$.
આમ,$P$ નો બિંદુપથ $x^{2}+y^{2}=8$ છે.

(D) ધારો કે $e$ એ અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) છે. કેન્દ્ર $(0, 0)$,શિરોબિંદુ $(a, 0)$ અને નાભિ $(ae, 0)$ છે.
શિરોબિંદુ $(a, 0)$ એ કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને નાભિ $(ae, 0)$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$a = \frac{ae + 0}{2}$ $\Rightarrow 2a = ae$ $\Rightarrow e = 2$.
અતિવલય માટે,$b^{2} = a^{2}(e^{2} - 1)$.
$e = 2$ મૂકતા,$b^{2} = a^{2}(2^{2} - 1) = 3a^{2}$.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ છે.
$b^{2} = 3a^{2}$ મૂકતા,$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{3a^{2}} = 1$.
$3a^{2}$ વડે ગુણતા,$3x^{2} - y^{2} = 3a^{2}$ મળે છે.

(D) અતિવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,તે એક એવા બિંદુનો બિંદુપથ છે જે એવી રીતે ગતિ કરે છે કે જેથી બે નિશ્ચિત બિંદુઓથી તેના અંતરનો તફાવત અચળ રહે છે.
અહીં નિશ્ચિત બિંદુઓ $(8,0)$ અને $(-8,0)$ એ અતિવલયના નાભિ છે.
અચળ તફાવત $2a = 4$ આપેલ છે.
બે નિશ્ચિત બિંદુઓથી અંતરનો તફાવત અચળ હોવાથી,આ બિંદુપથ એક અતિવલય દર્શાવે છે.

(B) આપેલ લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\pi^{x}-1}{\sqrt{1+x}-1}$ છે.
આ $\frac{0}{0}$ અનિશ્ચિત સ્વરૂપ છે.
અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા ($L$'$H$ôpital's rule):
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx}(\pi^{x}-1)}{\frac{d}{dx}(\sqrt{1+x}-1)}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\pi^{x} \log _{e} \pi}{\frac{1}{2 \sqrt{1+x}}}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} 2 \sqrt{1+x} \cdot \pi^{x} \log _{e} \pi$
$x = 0$ મુકતા:
$= 2 \sqrt{1+0} \cdot \pi^{0} \log _{e} \pi$
$= 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \log _{e} \pi$
$= 2 \log _{e} \pi = \log _{e} \pi^{2}$.

(D) ધારો કે $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n !)^{1 / n}}{n} = \lim _{n \rightarrow \infty} \left( \frac{n!}{n^n} \right)^{1/n}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\ln L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \ln \left( \frac{n!}{n^n} \right) = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \ln \left( \frac{r}{n} \right)$.
આ સંકલન $\int_{0}^{1} \ln(x) \, dx$ માટે રીમાન સરવાળો છે.
$\ln L = \int_{0}^{1} \ln(x) \, dx = [x \ln x - x]_{0}^{1}$.
$x \rightarrow 0^+$ તરીકે લક્ષ લેતા,આપણને $\lim_{x \rightarrow 0^+} x \ln x = 0$ મળે છે.
તેથી,$\ln L = (1 \ln 1 - 1) - (0) = -1$.
આમ,$L = e^{-1} = \frac{1}{e}$.

(D) $\Delta PQR$ માં સાઈન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે $\frac{p}{\sin P} = \frac{q}{\sin Q} = \frac{r}{\sin R} = 2R_{c}$ છે,જ્યાં $R_{c}$ એ ત્રિકોણની પરિત્રિજ્યા છે.
આમ,$\sin P = \frac{p}{2R_{c}}$,$\sin Q = \frac{q}{2R_{c}}$,અને $\sin R = \frac{r}{2R_{c}}$.
આપેલ સમીકરણ $r^{2} \sin P \sin Q = pq$ છે.
$\sin P$ અને $\sin Q$ ની કિંમતો મૂકતા:
$r^{2} \left( \frac{p}{2R_{c}} \right) \left( \frac{q}{2R_{c}} \right) = pq$
$r^{2} \frac{pq}{4R_{c}^{2}} = pq$
$p, q \neq 0$ હોવાથી,આપણે બંને બાજુને $pq$ વડે ભાગી શકીએ:
$\frac{r^{2}}{4R_{c}^{2}} = 1$
$r^{2} = 4R_{c}^{2}$
$r = 2R_{c}$
$r = 2R_{c} \sin R$ હોવાથી,આપણને $2R_{c} \sin R = 2R_{c}$ મળે છે.
$\sin R = 1$
$R = 90^{\circ}$.
તેથી,ત્રિકોણ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(B) $\Delta PQR$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $P+Q+R = 180^{\circ}$ થાય.
$P+R = 180^{\circ}-Q$ હોવાથી,આપણે આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકીએ:
$2pr \sin \left(\frac{P+R-Q}{2}\right) = 2pr \sin \left(\frac{180^{\circ}-Q-Q}{2}\right)$
$= 2pr \sin \left(\frac{180^{\circ}-2Q}{2}\right)$
$= 2pr \sin (90^{\circ}-Q)$
$= 2pr \cos Q$
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos Q = \frac{p^{2}+r^{2}-q^{2}}{2pr}$.
આ કિંમત મૂકતા:
$= 2pr \left(\frac{p^{2}+r^{2}-q^{2}}{2pr}\right)$
$= p^{2}+r^{2}-q^{2}$.

(B) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a, b, c$ છે. ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \frac{1}{2} a p = \frac{1}{2} b q = \frac{1}{2} c r$
આના પરથી,આપણે વેધના વ્યસ્તને આ રીતે લખી શકીએ:
$\frac{1}{p} = \frac{a}{2S}, \frac{1}{q} = \frac{b}{2S}, \frac{1}{r} = \frac{c}{2S}$
આ પદોનો સરવાળો કરતા:
$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} = \frac{a+b+c}{2S}$
પરિમિતિ $2t = a+b+c$ હોવાથી,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકીએ:
$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} = \frac{2t}{2S} = \frac{t}{S}$

(B) સમબાજુ ત્રિકોણમાં,અંતઃકેન્દ્ર,મધ્યકેન્દ્ર,પરિકેન્દ્ર અને લંબકેન્દ્ર એક જ બિંદુ પર હોય છે. ધારો કે અંતઃકેન્દ્ર $G(1, 1)$ છે.
અંતઃકેન્દ્ર $G(1, 1)$ થી બાજુ $3x + 4y + 3 = 0$ નું લંબ અંતર એ અંતઃત્રિજ્યા $r$ છે:
$r = \frac{|3(1) + 4(1) + 3|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = \frac{|3 + 4 + 3|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{10}{5} = 2$.
સમબાજુ ત્રિકોણમાં,પરિત્રિજ્યા $R$ એ અંતઃત્રિજ્યા $r$ કરતા બમણી હોય છે. તેથી,$R = 2r = 2(2) = 4$.
પરિવર્તુળનું કેન્દ્ર $(1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $R = 4$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 4^{2}$ થશે.
$x^{2} - 2x + 1 + y^{2} - 2y + 1 = 16$.
$x^{2} + y^{2} - 2x - 2y + 2 = 16$.
$x^{2} + y^{2} - 2x - 2y - 14 = 0$.

(C) ધારો કે $M, P, B$ એ અનુક્રમે ગણિત,ભૌતિકવિજ્ઞાન અને જીવવિજ્ઞાનમાં નાપાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓના ગણ છે. વેન આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબના પ્રદેશો $a, b, c, d, e, f, g$ છે અને $h$ એ બધા વિષયોમાં પાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા છે.
કુલ વિદ્યાર્થીઓ = $100$,તેથી $a+b+c+d+e+f+g+h = 100$. આપેલ છે $h = 1$,તેથી $a+b+c+d+e+f+g = 99$.
આપેલ છે:
$1) \text{ ગણિતમાં નાપાસ: } a+b+d+e = 50$
$2) \text{ ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં નાપાસ: } b+c+d+f = 45$
$3) \text{ જીવવિજ્ઞાનમાં નાપાસ: } d+e+f+g = 40$
$4) \text{ બરાબર બે વિષયોમાં નાપાસ: } b+e+f = 32$
સમીકરણો $(1), (2), (3)$ નો સરવાળો કરતા:
$(a+b+d+e) + (b+c+d+f) + (d+e+f+g) = 50 + 45 + 40 = 135$
$(a+b+c+d+e+f+g) + (b+e+f) + 2d = 135$
$99 + 32 + 2d = 135$
$131 + 2d = 135$
$2d = 4 \implies d = 2$.
આમ,ત્રણેય વિષયોમાં નાપાસ થતા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $2$ છે.

(D) ધારો કે $A = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\}$ અને $B = \{b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}, b_{5}, b_{6}, b_{7}\}$.
અહીં,ગણ $A$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(A) = 4$ છે અને ગણ $B$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(B) = 7$ છે.
ગણ $A$ થી ગણ $B$ પરનું એક-એક વિધેય ત્યારે જ મળે જો આપણે $B$ માંથી $4$ ભિન્ન ઘટકો પસંદ કરીએ અને તેમને $A$ ના $4$ ઘટકો સાથે જોડીએ.
આવા કુલ એક-એક વિધેયોની સંખ્યા ક્રમચયના સૂત્ર $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n = 7$ અને $r = 4$ છે.
કુલ એક-એક વિધેયો $= {}^{7}P_{4} = \frac{7!}{(7-4)!} = \frac{7!}{3!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$.

(A) આપેલ છે,$P = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \end{bmatrix}$.
આપણે $Q = P P^{T}$ શોધવાનું છે.
$P^{T} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
$Q = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
$Q = \begin{bmatrix} (1 \times 1 + 2 \times 2 + 1 \times 1) & (1 \times 1 + 2 \times 3 + 1 \times 1) \\ (1 \times 1 + 3 \times 2 + 1 \times 1) & (1 \times 1 + 3 \times 3 + 1 \times 1) \end{bmatrix}$.
$Q = \begin{bmatrix} (1 + 4 + 1) & (1 + 6 + 1) \\ (1 + 6 + 1) & (1 + 9 + 1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 8 & 11 \end{bmatrix}$.
હવે,$Q$ નો નિશ્ચાયક $|Q| = (6 \times 11) - (8 \times 8)$.
$|Q| = 66 - 64 = 2$.

(B) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}-1 & \cos R & \cos Q \\ \cos R & -1 & \cos P \\ \cos Q & \cos P & -1\end{array}\right|$.
નિશ્ચાયકનું પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = -1(1 - \cos^2 P) - \cos R(-\cos R - \cos Q \cos P) + \cos Q(\cos R \cos P + \cos Q)$
$\Delta = -(1 - \cos^2 P) + \cos^2 R + \cos R \cos Q \cos P + \cos Q \cos R \cos P + \cos^2 Q$
$\Delta = -1 + \cos^2 P + \cos^2 R + \cos^2 Q + 2 \cos P \cos Q \cos R$.
$P, Q, R$ એ ત્રિકોણના ખૂણા હોવાથી,$P+Q+R = \pi$,તેથી $R = \pi - (P+Q)$.
ત્રિકોણમાં કોસાઇનના વર્ગોના સરવાળા માટેના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos^2 P + \cos^2 Q + \cos^2 R = 1 - 2 \cos P \cos Q \cos R$.
આ કિંમત $\Delta$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\Delta = -1 + (1 - 2 \cos P \cos Q \cos R) + 2 \cos P \cos Q \cos R = 0$.

(A) આપેલ સમીકરણ સંહતિને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$(1-\alpha)x + 3y + 5z = 0$
$5x + (1-\alpha)y + 3z = 0$
$3x + 5y + (1-\alpha)z = 0$
સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\left|\begin{array}{ccc} 1-\alpha & 3 & 5 \\ 5 & 1-\alpha & 3 \\ 3 & 5 & 1-\alpha \end{array}\right| = 0$
$C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3$ લેતા:
$\left|\begin{array}{ccc} 9-\alpha & 3 & 5 \\ 9-\alpha & 1-\alpha & 3 \\ 9-\alpha & 5 & 1-\alpha \end{array}\right| = 0$
પ્રથમ સ્તંભમાંથી $(9-\alpha)$ સામાન્ય લેતા:
$(9-\alpha) \left|\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 5 \\ 1 & 1-\alpha & 3 \\ 1 & 5 & 1-\alpha \end{array}\right| = 0$
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ કરતા:
$(9-\alpha) \left|\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 5 \\ 0 & -\alpha-2 & -2 \\ 0 & 2 & -\alpha-4 \end{array}\right| = 0$
$(9-\alpha) [(-\alpha-2)(-\alpha-4) - (-4)] = 0$
$(9-\alpha) [\alpha^2 + 6\alpha + 8 + 4] = 0$
$(9-\alpha) (\alpha^2 + 6\alpha + 12) = 0$
$\alpha^2 + 6\alpha + 12 = 0$ માટે વિવેચક $D = 6^2 - 4(1)(12) = 36 - 48 = -12 < 0$. તેથી,આ દ્વિઘાત સમીકરણ માટે કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
આમ,માત્ર $\alpha = 9$ એ એકમાત્ર વાસ્તવિક મૂલ્ય છે. તેથી વાસ્તવિક મૂલ્યોની સંખ્યા $1$ છે.

(B) ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સ $[A|B]$ આ મુજબ છે: $\begin{bmatrix} \lambda & 1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & -2 & 6 \\ -1 & 1 & 1 & \mu \end{bmatrix}$.
હરોળની પ્રક્રિયાઓ કરતા:
$R_1 \leftrightarrow R_2$ લેતા $\begin{bmatrix} 1 & -1 & -2 & 6 \\ \lambda & 1 & 1 & 3 \\ -1 & 1 & 1 & \mu \end{bmatrix}$ મળે.
$R_3 \rightarrow R_3 + R_1$ લેતા $\begin{bmatrix} 1 & -1 & -2 & 6 \\ \lambda & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -1 & \mu + 6 \end{bmatrix}$ મળે.
$R_2 \rightarrow R_2 - \lambda R_1$ લેતા $\begin{bmatrix} 1 & -1 & -2 & 6 \\ 0 & 1+\lambda & 1+2\lambda & 3-6\lambda \\ 0 & 0 & -1 & \mu + 6 \end{bmatrix}$ મળે.
અનંત ઉકેલો માટે,શ્રેણિકનો ક્રમ ચલની સંખ્યા $(3)$ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ.
જો $\lambda = -1$ હોય,તો બીજી હરોળ $[0, 0, -1, 9]$ બને છે.
જ્યારે $\mu = 3$ હોય ત્યારે સમીકરણો પરસ્પર આધારિત બને છે અને અનંત ઉકેલો મળે છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1} \theta$ નો વિસ્તાર $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ છે.
આપેલ છે કે $\sin ^{-1} x+\sin ^{-1} y+\sin ^{-1} z=\frac{3 \pi}{2}$.
દરેક પદ $\sin ^{-1} x, \sin ^{-1} y, \sin ^{-1} z$ ની મહત્તમ કિંમત $\frac{\pi}{2}$ હોવાથી,સરવાળો $\frac{3 \pi}{2}$ ત્યારે જ શક્ય છે જો $\sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,$\sin ^{-1} y = \frac{\pi}{2}$,અને $\sin ^{-1} z = \frac{\pi}{2}$ હોય.
આનો અર્થ એ છે કે $x = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$,$y = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$,અને $z = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$x^{9}+y^{9}+z^{9}-\frac{1}{x^{9} y^{9} z^{9}} = (1)^{9}+(1)^{9}+(1)^{9}-\frac{1}{(1)^{9}(1)^{9}(1)^{9}}$
$= 1+1+1-\frac{1}{1 \times 1 \times 1}$
$= 3-1 = 2$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = x^{2} + 2x - 3$ અને $g(x) = x + 1$.
આપણે $x$ ની એવી કિંમત શોધવાની છે કે જેના માટે $f(g(x)) = g(f(x))$ થાય.
પ્રથમ,$f(g(x))$ ની ગણતરી કરીએ:
$f(g(x)) = f(x + 1) = (x + 1)^{2} + 2(x + 1) - 3 = (x^{2} + 2x + 1) + 2x + 2 - 3 = x^{2} + 4x$.
હવે,$g(f(x))$ ની ગણતરી કરીએ:
$g(f(x)) = g(x^{2} + 2x - 3) = (x^{2} + 2x - 3) + 1 = x^{2} + 2x - 2$.
બંને પદોને સરખાવતા:
$x^{2} + 4x = x^{2} + 2x - 2$.
બંને બાજુથી $x^{2}$ બાદ કરતા:
$4x = 2x - 2$.
$4x - 2x = -2$.
$2x = -2$.
$x = -1$.

(B) ધારો કે $y = \tan^{-1} \left( \frac{\cos x}{1 + \sin x} \right)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x)$ અને $1 + \sin x = 1 + \cos(\frac{\pi}{2} - x) = 2 \cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\cos x}{1 + \sin x} = \frac{\sin(\frac{\pi}{2} - x)}{2 \cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})} = \frac{2 \sin(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) \cos(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})}{2 \cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})} = \tan(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})$.
તેથી,$y = \tan^{-1} \left( \tan(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) \right) = \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) = -\frac{1}{2}$.

(A) આપેલ છે,$y = \left(\frac{3^{x}-1}{3^{x}+1}\right) \sin x + \log_{e}(1+x)$.
પ્રથમ પદ માટે ગુણાકારનો નિયમ અને બીજા પદ માટે સાંકળનો નિયમ વાપરતા:
$\frac{dy}{dx} = \left(\frac{3^{x}-1}{3^{x}+1}\right) \frac{d}{dx}(\sin x) + \sin x \frac{d}{dx}\left(\frac{3^{x}-1}{3^{x}+1}\right) + \frac{1}{1+x}$.
$\frac{d}{dx}\left(\frac{3^{x}-1}{3^{x}+1}\right)$ માટે ભાગાકારનો નિયમ વાપરતા:
$\frac{d}{dx}\left(\frac{3^{x}-1}{3^{x}+1}\right) = \frac{(3^{x}+1)(3^{x} \ln 3) - (3^{x}-1)(3^{x} \ln 3)}{(3^{x}+1)^{2}} = \frac{2 \cdot 3^{x} \ln 3}{(3^{x}+1)^{2}}$.
આ કિંમત વિકલનના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = \left(\frac{3^{x}-1}{3^{x}+1}\right) \cos x + \sin x \left(\frac{2 \cdot 3^{x} \ln 3}{(3^{x}+1)^{2}}\right) + \frac{1}{1+x}$.
$x = 0$ આગળ કિંમત મેળવતા:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=0} = \left(\frac{3^{0}-1}{3^{0}+1}\right) \cos(0) + \sin(0) \left(\frac{2 \cdot 3^{0} \ln 3}{(3^{0}+1)^{2}}\right) + \frac{1}{1+0}$.
$= \left(\frac{1-1}{1+1}\right) \cdot 1 + 0 \cdot \left(\frac{2 \ln 3}{4}\right) + 1 = 0 + 0 + 1 = 1$.

(D) આપેલ છે કે,$f(x) f^{\prime}(x) < 0$. આનો અર્થ એ છે કે તમામ $x \in R$ માટે $f(x)$ અને $f^{\prime}(x)$ વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે.
વિધેય $g(x) = |f(x)|$ ધ્યાનમાં લો.
તેથી $g(x)^2 = |f(x)|^2 = f(x)^2$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $2g(x) g^{\prime}(x) = 2f(x) f^{\prime}(x)$ મળે છે.
આમ,$g^{\prime}(x) = \frac{f(x) f^{\prime}(x)}{g(x)} = \frac{f(x) f^{\prime}(x)}{|f(x)|}$.
કારણ કે $f(x) f^{\prime}(x) < 0$ અને તમામ $x$ માટે જ્યાં $f(x) \neq 0$ ત્યાં $|f(x)| > 0$ છે,તેથી $g^{\prime}(x) < 0$ થાય.
તેથી,$|f(x)|$ એ ઘટતું વિધેય છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{x}{8} + \frac{2}{x}$ છે.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો: $f'(x) = \frac{1}{8} - \frac{2}{x^2} = \frac{x^2 - 16}{8x^2}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,$f'(x) = 0$ લેતા,$x^2 - 16 = 0$,તેથી $x = 4$ અથવા $x = -4$ મળે.
અંતરાલ $[1, 6]$ હોવાથી,આપણે ફક્ત $x = 4$ ને ધ્યાનમાં લઈશું.
હવે,ક્રિટિકલ પોઈન્ટ અને અંતરાલના અંતિમ બિંદુઓ $[1, 6]$ પર $f(x)$ ની કિંમત શોધો:
$f(1) = \frac{1}{8} + \frac{2}{1} = \frac{1}{8} + 2 = \frac{17}{8} = 2.125$.
$f(4) = \frac{4}{8} + \frac{2}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.
$f(6) = \frac{6}{8} + \frac{2}{6} = \frac{3}{4} + \frac{1}{3} = \frac{9+4}{12} = \frac{13}{12} \approx 1.083$.
$f(1) = \frac{17}{8}$,$f(4) = 1$,અને $f(6) = \frac{13}{12}$ ની સરખામણી કરતા,મહત્તમ કિંમત $\frac{17}{8}$ છે.

(B) અંતરાલ $[a, b]$ પર વિધેય $f(x)$ માટે રોલનું પ્રમેય લાગુ પાડવા માટે,નીચેની શરતો પૂરી થવી જોઈએ:
$(i)$ $f(x)$ એ $[a, b]$ પર સતત હોવું જોઈએ.
(ii) $f(x)$ એ $(a, b)$ પર વિકલનીય હોવું જોઈએ.
(iii) $f(a) = f(b)$.
ચાલો અંતરાલ $[-2, 2]$ માટે વિકલ્પો તપાસીએ:
$(A)$ $f(x) = x^{3} \Rightarrow f(-2) = -8, f(2) = 8$. અહીં $f(-2) \neq f(2)$ હોવાથી,રોલનું પ્રમેય લાગુ પડતું નથી.
$(B)$ $f(x) = 4x^{4} \Rightarrow f(-2) = 4(-2)^{4} = 64$ અને $f(2) = 4(2)^{4} = 64$. અહીં $f(-2) = f(2)$ છે અને વિધેય બહુપદી હોવાથી તે દરેક જગ્યાએ સતત અને વિકલનીય છે,તેથી રોલનું પ્રમેય લાગુ પડે છે.
$(C)$ $f(x) = 2x^{3} + 3 \Rightarrow f(-2) = 2(-8) + 3 = -13, f(2) = 2(8) + 3 = 19$. અહીં $f(-2) \neq f(2)$ હોવાથી,રોલનું પ્રમેય લાગુ પડતું નથી.
$(D)$ $f(x) = \pi|x|$ એ $x = 0$ આગળ વિકલનીય નથી,જે $(-2, 2)$ માં આવે છે. તેથી,રોલનું પ્રમેય લાગુ પડતું નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ છે કે $f^{\prime \prime}(x)=g^{\prime \prime}(x)$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને $f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)+C_1$ મળે છે.
$x=1$ મુકતા,$f^{\prime}(1)=g^{\prime}(1)+C_1$ મળે.
$f^{\prime}(1)=4$ અને $g^{\prime}(1)=6$ આપેલ છે,તેથી $4=6+C_1$,જેનો અર્થ છે કે $C_1=-2$.
આમ,$f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)-2$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને $f(x)=g(x)-2x+C_2$ મળે છે.
$x=2$ મુકતા,$f(2)=g(2)-2(2)+C_2$ મળે.
$f(2)=3$ અને $g(2)=9$ આપેલ છે,તેથી $3=9-4+C_2$,એટલે કે $3=5+C_2$,તેથી $C_2=-2$.
આમ,$f(x)=g(x)-2x-2$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $f(x)-g(x)=-2x-2$ મળે છે.
$x=1$ માટે,$f(1)-g(1)=-2(1)-2=-4$.

(A) ધારો કે $I = \int_{-1}^{1}(|x|-2[x]) \, dx$.
આપણે સંકલનને $x=0$ આગળ વિભાજિત કરીએ:
$I = \int_{-1}^{0}(|x|-2[x]) \, dx + \int_{0}^{1}(|x|-2[x]) \, dx$.
$x \in [-1, 0)$ માટે,$|x| = -x$ અને $[x] = -1$ છે.
$x \in [0, 1)$ માટે,$|x| = x$ અને $[x] = 0$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$I = \int_{-1}^{0}(-x - 2(-1)) \, dx + \int_{0}^{1}(x - 2(0)) \, dx$.
$I = \int_{-1}^{0}(-x + 2) \, dx + \int_{0}^{1} x \, dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$I = \left[ -\frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1}$.
$I = (0 - 0) - \left( -\frac{(-1)^2}{2} + 2(-1) \right) + \left( \frac{1^2}{2} - 0 \right)$.
$I = - \left( -\frac{1}{2} - 2 \right) + \frac{1}{2}$.
$I = \frac{1}{2} + 2 + \frac{1}{2} = 1 + 2 = 3$.

(D) ધારો કે $I = \int_{\pi / 6}^{\pi / 2} \left( \frac{1+\sin 2x+\cos 2x}{\sin x+\cos x} \right) dx$
નિત્યસમ $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ અને $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{\pi / 6}^{\pi / 2} \left( \frac{1 + 2\sin x \cos x + 2\cos^2 x - 1}{\sin x + \cos x} \right) dx$
$I = \int_{\pi / 6}^{\pi / 2} \left( \frac{2\cos x(\sin x + \cos x)}{\sin x + \cos x} \right) dx$
$I = \int_{\pi / 6}^{\pi / 2} 2\cos x dx$
$I = 2[\sin x]_{\pi / 6}^{\pi / 2}$
$I = 2\left( \sin \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{6} \right)$
$I = 2\left( 1 - \frac{1}{2} \right) = 2 \times \frac{1}{2} = 1$

(D) ધારો કે $I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{1}{1+(\tan x)^{-101}} dx$.
ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{1}{1+(\tan(\frac{\pi}{2}-x))^{-101}} dx$
$I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{1}{1+(\cot x)^{-101}} dx$
$I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{1}{1+(\frac{1}{\tan x})^{-101}} dx = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{1}{1+(\tan x)^{101}} dx$.
$I$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{0}^{\pi / 2} (\frac{1}{1+(\tan x)^{-101}} + \frac{1}{1+(\tan x)^{101}}) dx$
$2I = \int_{0}^{\pi / 2} (\frac{(\tan x)^{101}}{(\tan x)^{101}+1} + \frac{1}{1+(\tan x)^{101}}) dx$
$2I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{1+(\tan x)^{101}}{1+(\tan x)^{101}} dx = \int_{0}^{\pi / 2} 1 dx = \frac{\pi}{2}$.
તેથી,$I = \frac{\pi}{4}$.

(D) ધારો કે $I = \int_{0}^{\pi / 4} \frac{\sin x + \cos x}{3 + \sin 2x} dx$.
$\sin 2x = 1 - (1 - \sin 2x) = 1 - (\sin x - \cos x)^2$ હોવાથી,છેદને $3 + 1 - (\sin x - \cos x)^2 = 4 - (\sin x - \cos x)^2$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$I = \int_{0}^{\pi / 4} \frac{\sin x + \cos x}{4 - (\sin x - \cos x)^2} dx$.
ધારો કે $t = \sin x - \cos x$,તો $dt = (\cos x + \sin x) dx$.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = \sin 0 - \cos 0 = -1$.
જ્યારે $x = \pi / 4$,ત્યારે $t = \sin(\pi / 4) - \cos(\pi / 4) = 0$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,$I = \int_{-1}^{0} \frac{dt}{4 - t^2}$.
સૂત્ર $\int \frac{dx}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a} \log |\frac{a+x}{a-x}|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{2(2)} [\log |\frac{2+t}{2-t}|]_{-1}^{0} = \frac{1}{4} [\log |\frac{2+0}{2-0}| - \log |\frac{2-1}{2+1}|]$.
$I = \frac{1}{4} [\log 1 - \log (1/3)] = \frac{1}{4} [0 - (-\log 3)] = \frac{1}{4} \log 3$.

(C) ધારો કે $I = \int_{-2}^{2}(1+2 \sin x) e^{|x|} d x$.
આપણે સંકલનને આ રીતે વિભાજિત કરી શકીએ:
$I = \int_{-2}^{2} e^{|x|} d x + 2 \int_{-2}^{2} \sin x e^{|x|} d x$.
પ્રથમ ભાગ ધ્યાનમાં લો: $f(x) = e^{|x|}$. કારણ કે $f(-x) = e^{|-x|} = e^{|x|} = f(x)$,તેથી $f(x)$ એ યુગ્મ વિધેય છે.
આમ,$\int_{-2}^{2} e^{|x|} d x = 2 \int_{0}^{2} e^{x} d x = 2[e^{x}]_{0}^{2} = 2(e^{2}-1)$.
બીજો ભાગ ધ્યાનમાં લો: $g(x) = \sin x e^{|x|}$. કારણ કે $g(-x) = \sin(-x) e^{|-x|} = -\sin x e^{|x|} = -g(x)$,તેથી $g(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.
આમ,$\int_{-2}^{2} \sin x e^{|x|} d x = 0$.
તેથી,$I = 2(e^{2}-1) + 2(0) = 2(e^{2}-1)$.

(C) ધારો કે $I = \int_{1}^{5} [|x-3| + |1-x|] dx$.
અહીં $x \in [1, 5]$ હોવાથી,$|1-x| = x-1$ થાય.
તેથી,$I = \int_{1}^{5} |x-3| dx + \int_{1}^{5} (x-1) dx$.
પ્રથમ ભાગ માટે,$\int_{1}^{5} |x-3| dx = \int_{1}^{3} -(x-3) dx + \int_{3}^{5} (x-3) dx$.
$= \int_{1}^{3} (3-x) dx + \int_{3}^{5} (x-3) dx = [3x - \frac{x^2}{2}]_{1}^{3} + [\frac{x^2}{2} - 3x]_{3}^{5}$.
$= (9 - 4.5) - (3 - 0.5) + (12.5 - 15) - (4.5 - 9) = 4.5 - 2.5 - 2.5 + 4.5 = 4$.
બીજા ભાગ માટે,$\int_{1}^{5} (x-1) dx = [\frac{x^2}{2} - x]_{1}^{5} = (12.5 - 5) - (0.5 - 1) = 7.5 - (-0.5) = 8$.
તેથી,$I = 4 + 8 = 12$.

(B) વક્રો $y=x^{3}$ અને $y=\frac{1}{x}$ એ $x^{3} = \frac{1}{x}$ પર છેદે છે,જેનો અર્થ છે કે $x^{4} = 1$. પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$x=1$ મળે છે. $x=1$ આગળ,$y=1$ થાય છે.
આ પ્રદેશ $x=0$ થી $x=1$ સુધી $y=x^{3}$ દ્વારા અને $x=1$ થી $x=2$ સુધી $y=\frac{1}{x}$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{1} x^{3} dx + \int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx$
$= \left[ \frac{x^{4}}{4} \right]_{0}^{1} + \left[ \log_{e} x \right]_{1}^{2}$
$= (\frac{1}{4} - 0) + (\log_{e} 2 - \log_{e} 1)$
$= \frac{1}{4} + \log_{e} 2$.

(C) વિધેય $y = \sin^{-1} x$ એ $-1 \leq x \leq 1$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે. પ્રથમ ચરણમાં,$0 \leq x \leq 1$ છે.
$x \in [0, 1]$ માટે $x(1-x) \geq 0$ હોવાથી,વક્ર $y_1 = \sin^{-1} x + x(1-x)$ એ વક્ર $y_2 = \sin^{-1} x - x(1-x)$ ની ઉપર આવેલો છે.
છેદબિંદુઓ $y_1 = y_2$ લેતા મળે છે,જે $2x(1-x) = 0$ આપે છે,એટલે કે $x = 0$ અથવા $x = 1$.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{0}^{1} (y_1 - y_2) dx = \int_{0}^{1} [(\sin^{-1} x + x - x^2) - (\sin^{-1} x - x + x^2)] dx$
$A = \int_{0}^{1} (2x - 2x^2) dx = 2 \int_{0}^{1} (x - x^2) dx$
$A = 2 \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = 2 \left( \frac{1}{6} \right) = \frac{1}{3}$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{d y}{d x}=\frac{x+y+1}{2 x+2 y+1}$
ધારો કે $x+y=v$. તેથી $1+\frac{d y}{d x}=\frac{d v}{d x}$,એટલે કે $\frac{d y}{d x}=\frac{d v}{d x}-1$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{d v}{d x}-1=\frac{v+1}{2 v+1}$
$\frac{d v}{d x}=\frac{v+1}{2 v+1}+1 = \frac{v+1+2 v+1}{2 v+1} = \frac{3 v+2}{2 v+1}$
ચલનું અલગીકરણ કરતા: $\frac{2 v+1}{3 v+2} d v=d x$
અંશને ફરીથી લખતા: $\frac{\frac{2}{3}(3 v+2)-\frac{1}{3}}{3 v+2} d v=d x$
$\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{3(3 v+2)}\right) d v=d x$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \left(\frac{2}{3}-\frac{1}{3(3 v+2)}\right) d v = \int d x + C'$
$\frac{2}{3} v - \frac{1}{9} \log |3 v+2| = x + C'$
$v=x+y$ મૂકતા: $\frac{2}{3}(x+y) - \frac{1}{9} \log |3 x+3 y+2| = x + C'$
$9$ વડે ગુણતા: $6(x+y) - \log |3 x+3 y+2| = 9 x + 9 C'$
$6 x + 6 y - 9 x - \log |3 x+3 y+2| = C$
$-3 x + 6 y - \log |3 x+3 y+2| = C$
$-1$ વડે ગુણતા: $3 x - 6 y + \log |3 x+3 y+2| = C$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $25 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-10 \frac{d y}{d x}+y=0$ છે.
તેનું સહાયક સમીકરણ $25 m^{2}-10 m+1=0$ છે.
આને $(5 m-1)^{2}=0$ તરીકે લખી શકાય,જે $m=\frac{1}{5}, \frac{1}{5}$ આપે છે.
અહીં બીજ વાસ્તવિક અને સમાન હોવાથી,સામાન્ય ઉકેલ $y=(c_{1}+c_{2} x) e^{x / 5} \quad \dots(i)$ થશે.
$y(0)=1$ આપેલ છે,તેથી $(i)$ માં $x=0$ મૂકતા $1=(c_{1}+0) e^{0} \Rightarrow c_{1}=1$ મળે.
$y(1)=2 e^{1 / 5}$ આપેલ છે,તેથી $(i)$ માં $x=1$ અને $c_{1}=1$ મૂકતા $2 e^{1 / 5}=(1+c_{2}) e^{1 / 5}$ મળે.
$e^{1 / 5}$ વડે ભાગતા,$2=1+c_{2} \Rightarrow c_{2}=1$ મળે.
હવે $c_{1}=1$ અને $c_{2}=1$ ને $(i)$ માં મૂકતા,વિશિષ્ટ ઉકેલ $y=(1+x) e^{x / 5}$ મળે છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $3 x \log _{e} x \frac{d y}{d x}+y=2 \log _{e} x$.
બંને બાજુ $3 x \log _{e} x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3 x \log _{e} x} y = \frac{2}{3 x}$.
આ સમીકરણ $\frac{d y}{d x} + P y = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{3 x \log _{e} x}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ નું સૂત્ર $e^{\int P d x}$ છે.
$IF = e^{\int \frac{1}{3 x \log _{e} x} d x}$.
ધારો કે $t = \log _{e} x$,તેથી $d t = \frac{1}{x} d x$.
$IF = e^{\frac{1}{3} \int \frac{1}{t} d t} = e^{\frac{1}{3} \log _{e} t} = e^{\log _{e} (t^{1/3})} = t^{1/3}$.
$t = \log _{e} x$ પાછું મૂકતા,આપણને $IF = (\log _{e} x)^{1/3}$ મળે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{1 - y \log x}$.
વિકલ્પો તપાસતા,જો $y = x^y$ હોય,તો બંને બાજુ $\log$ લેતા: $\log y = y \log x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx}$ ને કર્તા બનાવતા: $\frac{dy}{dx} (\frac{1}{y} - \log x) = \frac{y}{x}$.
$\frac{dy}{dx} (\frac{1 - y \log x}{y}) = \frac{y}{x}$.
$x \frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{1 - y \log x}$.
આ આપેલ વિકલ સમીકરણ સાથે બંધ બેસે છે. વળી,$x=1$ માટે,$y=1^y=1$,જે શરત $y(1)=1$ નું સમાધાન કરે છે.

(D) ડેકમાં $52$ અલગ-અલગ પ્રકારના પત્તા હોય છે અને દરેક પ્રકારના પત્તા બે ડેકમાં બે વાર આવે છે (કુલ $104$ પત્તા).
$26$ અલગ-અલગ પત્તા મેળવવા માટે,આપણે પહેલા $52$ પ્રકારમાંથી $26$ પ્રકાર પસંદ કરવા પડે,જે ${ }^{52} C_{26}$ રીતે કરી શકાય છે.
આ પસંદ કરેલા દરેક $26$ પ્રકાર માટે,આપણે $2$ ઉપલબ્ધ પત્તામાંથી કોઈ પણ એક પસંદ કરી શકીએ છીએ,જે $2^{26}$ રીતો આપે છે.
$104$ માંથી $26$ પત્તા પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${ }^{104} C_{26}$ છે.
તેથી,સંભાવના $\frac{{ }^{52} C_{26} \times 2^{26}}{{ }^{104} C_{26}}$ છે.

(A) આપેલ છે: $P(A^{C}) = 0.3 \implies P(A) = 1 - 0.3 = 0.7$.
$P(B) = 0.4 \implies P(B^{C}) = 1 - 0.4 = 0.6$.
$P(A \cap B^{C}) = 0.5$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^{C})$,તેથી $P(A \cap B) = P(A) - P(A \cap B^{C}) = 0.7 - 0.5 = 0.2$.
આપણે $P(B \mid A \cup B^{C}) = \frac{P(B \cap (A \cup B^{C}))}{P(A \cup B^{C})}$ શોધવાનું છે.
અંશ: $P(B \cap (A \cup B^{C})) = P((B \cap A) \cup (B \cap B^{C})) = P(A \cap B) = 0.2$.
છેદ: $P(A \cup B^{C}) = P(A) + P(B^{C}) - P(A \cap B^{C}) = 0.7 + 0.6 - 0.5 = 0.8$.
આમ,$P(B \mid A \cup B^{C}) = \frac{0.2}{0.8} = \frac{1}{4}$.

(B) ધારો કે $F$ એ નિષ્પક્ષ સિક્કો છે,$T$ એ બે-છાપવાળો સિક્કો છે અને $H$ એ છાપ મળે તે ઘટના છે.
આપેલ સંભાવનાઓ $P(F) = \frac{3}{4}$ અને $P(T) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ છે.
નિષ્પક્ષ સિક્કા પર છાપ મળવાની સંભાવના $P(H|F) = \frac{1}{2}$ છે.
બે-છાપવાળા સિક્કા પર છાપ મળવાની સંભાવના $P(H|T) = 1$ છે.
આપણે બે-છાપવાળો સિક્કો પસંદ થયો હોય તેની સંભાવના શોધવાની છે,જ્યારે પરિણામ છાપ હોય,એટલે કે $P(T|H)$.
બેયઝના પ્રમેય મુજબ:
$P(T|H) = \frac{P(H|T) \cdot P(T)}{P(H|T) \cdot P(T) + P(H|F) \cdot P(F)}$
$P(T|H) = \frac{1 \cdot \frac{1}{4}}{1 \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}$
$P(T|H) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4} + \frac{3}{8}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{2+3}{8}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{8}} = \frac{1}{4} \times \frac{8}{5} = \frac{2}{5}$.