WBJEE 2012 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दी गई रेखाओं के समीकरण $3x + 4y = 9$ और $y = mx + 1$ हैं।
$y = mx + 1$ को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$3x + 4(mx + 1) = 9$
$3x + 4mx + 4 = 9$
$x(3 + 4m) = 5$
$x = \frac{5}{3 + 4m}$
$x$ के पूर्णांक होने के लिए,$(3 + 4m)$ को $5$ का भाजक होना चाहिए।
$5$ के भाजक $\{1, -1, 5, -5\}$ हैं।
स्थिति $1$: $3 + 4m = 1 \implies 4m = -2 \implies m = -0.5$ (पूर्णांक नहीं है)।
स्थिति $2$: $3 + 4m = -1 \implies 4m = -4 \implies m = -1$ (पूर्णांक है)।
स्थिति $3$: $3 + 4m = 5 \implies 4m = 2 \implies m = 0.5$ (पूर्णांक नहीं है)।
स्थिति $4$: $3 + 4m = -5 \implies 4m = -8 \implies m = -2$ (पूर्णांक है)।
अतः,$m$ के $2$ पूर्णांक मान संभव हैं,जो $\{-1, -2\}$ हैं।

(C) दिया गया समीकरण: $\log _{2}\left(x^{2}+2 x-1\right)=1$
लघुगणक की परिभाषा के अनुसार,$\log _{b}(a) = c \implies a = b^{c}$.
अतः,$x^{2}+2 x-1 = 2^{1} = 2$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^{2}+2 x-3 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x+3)(x-1) = 0$.
इससे $x = -3$ या $x = 1$ प्राप्त होता है।
प्रांत की जाँच करने पर: $\log _{2}(f(x))$ को परिभाषित होने के लिए $f(x) > 0$ होना चाहिए।
यदि $x = 1$,तो $x^{2}+2 x-1 = 1+2-1 = 2 > 0$ (मान्य)।
यदि $x = -3$,तो $x^{2}+2 x-1 = 9-6-1 = 2 > 0$ (मान्य)।
दोनों हल मान्य हैं,इसलिए कुल $2$ हल हैं।

(A) लघुगणकीय असमिका $\log _{e}\left(x^{2}-16\right) \leq \log _{e}(4 x-11)$ को परिभाषित होने के लिए,तर्क धनात्मक होने चाहिए:
$1) \ x^{2}-16 > 0$ $\Rightarrow (x-4)(x+4) > 0$ $\Rightarrow x \in (-\infty, -4) \cup (4, \infty)$
$2) \ 4x-11 > 0 \Rightarrow x > \frac{11}{4} = 2.75$
इन दोनों को मिलाने पर,प्रांत $x > 4$ प्राप्त होता है।
अब,असमिका को हल करने पर:
$x^{2}-16 \leq 4x-11$
$x^{2}-4x-5 \leq 0$
$(x-5)(x+1) \leq 0$
यह $x \in [-1, 5]$ के लिए सत्य है।
प्रांत $(x > 4)$ और हल $(x \in [-1, 5])$ का प्रतिच्छेदन लेने पर,हमें $4 < x \leq 5$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $(\alpha+\sqrt{\beta})$ और $(\alpha-\sqrt{\beta})$ समीकरण $x^{2}+px+q=0$ के मूल हैं।
मूलों का योग: $(\alpha+\sqrt{\beta}) + (\alpha-\sqrt{\beta}) = -p \Rightarrow 2\alpha = -p \Rightarrow \alpha = -\frac{p}{2}$.
मूलों का गुणनफल: $(\alpha+\sqrt{\beta})(\alpha-\sqrt{\beta}) = q \Rightarrow \alpha^{2}-\beta = q \Rightarrow \beta = \alpha^{2}-q = \frac{p^{2}}{4}-q$.
अतः,$p^{2}-4q = 4\beta$.
समीकरण $(p^{2}-4q)(p^{2}x^{2}+4px)-16q=0$ में मान रखने पर:
$4\beta(p^{2}x^{2}+4px) - 16q = 0$.
चूंकि $p = -2\alpha$,इसलिए $p^{2} = 4\alpha^{2}$ और $q = \alpha^{2}-\beta$:
$4\beta(4\alpha^{2}x^{2}-8\alpha x) - 16(\alpha^{2}-\beta) = 0$.
$4$ से भाग देने पर:
$\beta(\alpha^{2}x^{2}-2\alpha x) - (\alpha^{2}-\beta) = 0$.
$\alpha^{2}\beta x^{2} - 2\alpha\beta x + \beta = \alpha^{2} \Rightarrow \beta(\alpha x - 1)^{2} = \alpha^{2}$.
$(\alpha x - 1)^{2} = \frac{\alpha^{2}}{\beta} \Rightarrow \alpha x - 1 = \pm \frac{\alpha}{\sqrt{\beta}}$.
$\alpha x = 1 \pm \frac{\alpha}{\sqrt{\beta}} \Rightarrow x = \frac{1}{\alpha} \pm \frac{1}{\sqrt{\beta}}$.

(A) चूंकि $a, b$ और $c$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं,इसलिए $2b = a + c$ है।
दिया गया द्विघात समीकरण $a x^{2} - 2b x + c = 0$ है।
$2b = a + c$ का मान समीकरण में रखने पर:
$a x^{2} - (a + c) x + c = 0$
$a x^{2} - a x - c x + c = 0$
$a x(x - 1) - c(x - 1) = 0$
$(x - 1)(a x - c) = 0$
अतः,मूल $x = 1$ और $x = \frac{c}{a}$ हैं।

(B) माना कि $\alpha$ उभयनिष्ठ मूल है।
तब,$\alpha^{2}+\alpha+a=0$ ... $(i)$
और $\alpha^{2}+a\alpha+1=0$ ... (ii)
$(i)$ में से (ii) को घटाने पर:
$(\alpha^{2}+\alpha+a) - (\alpha^{2}+a\alpha+1) = 0$
$\alpha(1-a) + (a-1) = 0$
$\alpha(1-a) - (1-a) = 0$
$(1-a)(\alpha-1) = 0$
इससे $a=1$ या $\alpha=1$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: यदि $a=1$ है,तो समीकरण $x^{2}+x+1=0$ बन जाते हैं,जिसका कोई वास्तविक मूल नहीं है।
स्थिति $2$: यदि $\alpha=1$ है,तो $(i)$ में रखने पर $1^{2}+1+a=0$,जिससे $a=-2$ प्राप्त होता है।
$a=-2$ के लिए,समीकरण $x^{2}+x-2=0$ और $x^{2}-2x+1=0$ हैं।
$x^{2}+x-2=0$ के मूल $x=1, -2$ हैं।
$x^{2}-2x+1=0$ के मूल $x=1, 1$ हैं।
उभयनिष्ठ मूल $x=1$ है,जो वास्तविक है।
अतः,$a$ के ठीक एक मान $(a=-2)$ के लिए समीकरणों का एक उभयनिष्ठ वास्तविक मूल है।

(B) एक द्विघात समीकरण $Ax^{2} + Bx + C = 0$ के मूल विपरीत चिन्हों के होने के लिए,मूलों का गुणनफल शून्य से कम होना चाहिए।
मूलों का गुणनफल = $\frac{C}{A} < 0$.
यहाँ,$A = 2$ और $C = a^{2} - 4a$ है।
अतः,$\frac{a^{2} - 4a}{2} < 0$.
$a^{2} - 4a < 0$.
$a(a - 4) < 0$.
यह असमिका तब सत्य होती है जब $0 < a < 4$ हो।

(D) माना $z = \frac{3}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2} \right) = \sqrt{3} \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) = \sqrt{3} e^{i \frac{\pi}{6}}$.
अतः,$\left( \frac{3}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{50} = (\sqrt{3})^{50} e^{i \frac{50\pi}{6}} = 3^{25} e^{i \frac{25\pi}{3}}$.
चूंकि $\frac{25\pi}{3} = 8\pi + \frac{\pi}{3}$,इसलिए $e^{i \frac{25\pi}{3}} = e^{i \frac{\pi}{3}} = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$.
इस प्रकार,$3^{25} (x + iy) = 3^{25} \left( \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,हमें $x = \frac{1}{2}$ और $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई शर्त $\left|z+\frac{2}{z}\right|=2$ है।
त्रिभुज असमिका का उपयोग करते हुए,$|z| = \left|z+\frac{2}{z}-\frac{2}{z}\right| \leq \left|z+\frac{2}{z}\right| + \left|-\frac{2}{z}\right|$।
दिया गया मान रखने पर,$|z| \leq 2 + \frac{2}{|z|}$।
$|z|$ से गुणा करने पर,$|z|^2 \leq 2|z| + 2$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$|z|^2 - 2|z| \leq 2$।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$|z|^2 - 2|z| + 1 \leq 2 + 1$,जो $(|z|-1)^2 \leq 3$ देता है।
वर्गमूल लेने पर,$-\sqrt{3} \leq |z|-1 \leq \sqrt{3}$।
सभी पक्षों में $1$ जोड़ने पर,$1-\sqrt{3} \leq |z| \leq 1+\sqrt{3}$।
चूंकि $|z| \geq 0$,इसलिए $|z|$ का अधिकतम मान $1+\sqrt{3}$ है।

(B) माना $\omega = \frac{z-1}{z+1}$ एक शुद्ध काल्पनिक संख्या है।
एक सम्मिश्र संख्या $\omega$ शुद्ध काल्पनिक होती है यदि और केवल यदि $\omega + \overline{\omega} = 0$ (जहाँ $\omega \neq 0$)।
अतः,$\frac{z-1}{z+1} + \overline{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)} = 0$
$\frac{z-1}{z+1} + \frac{\overline{z}-1}{\overline{z}+1} = 0$
$(z-1)(\overline{z}+1) + (\overline{z}-1)(z+1) = 0$
$(z\overline{z} + z - \overline{z} - 1) + (z\overline{z} - z + \overline{z} - 1) = 0$
$2z\overline{z} - 2 = 0$
$z\overline{z} = 1$
चूँकि $|z|^2 = z\overline{z}$,इसलिए $|z|^2 = 1$,जिसका अर्थ है कि $|z| = 1$।

(A) माना $z = x + iy$. दिया गया समीकरण $\text{arg}\left(\frac{z-2}{z+2}\right) = \frac{\pi}{3}$ है।
यह एक ऐसे बिंदु $z$ का बिंदुपथ है जिसके लिए $2$ और $-2$ को जोड़ने वाले रेखाखंड द्वारा $z$ पर अंतरित कोण $\frac{\pi}{3}$ है।
$\text{arg}\left(\frac{z-z_1}{z-z_2}\right) = \theta$ के गुण का उपयोग करते हुए,यह बिंदुपथ एक वृत्त का चाप है।
अतः,ये बिंदु एक वृत्त पर स्थित हैं।

(D) अंग्रेजी वर्णमाला के $2$ अक्षरों को चुनने के कुल तरीके (यह मानते हुए कि पुनरावृत्ति की अनुमति है) $26 \times 26 = 26^{2}$ हैं।
ऐसे $4$ अंकों को चुनने के कुल तरीके जिनमें पहला अंक शून्य नहीं है,$9 \times 10 \times 10 \times 10 = 9 \times 10^{3}$ हैं।
इसलिए,अलग पंजीकरण संख्या वाले वाहनों की कुल संख्या $26^{2} \times 9 \times 10^{3}$ है।

(A) "$IRRATIONAL$" शब्द में कुल $10$ अक्षर हैं।
प्रत्येक अक्षर की आवृत्ति की गणना करने पर:
$I$ दो बार आता है।
$R$ दो बार आता है।
$A$ दो बार आता है।
$T, O, N, L$ प्रत्येक एक बार आते हैं।
क्रमचय के सूत्र का उपयोग करते हुए,कुल व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{n!}{n_1! n_2! n_3! \dots n_k!}$ है।
यहाँ,$n = 10$,$n_1 = 2$ ($I$ के लिए),$n_2 = 2$ ($R$ के लिए),और $n_3 = 2$ ($A$ के लिए)।
अतः,शब्दों की कुल संख्या $= \frac{10!}{2! 2! 2!} = \frac{10!}{(2!)^3}$।

(D) $4$ वक्ताओं को व्यवस्थित करने के कुल तरीके $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ हैं।
किसी भी व्यवस्था में,वक्ता $P$ और $Q$ के सापेक्ष क्रम के लिए केवल दो संभावनाएं हैं: या तो $P$,$Q$ से पहले बोलेगा या $Q$,$P$ से पहले बोलेगा।
चूंकि ये दोनों स्थितियां समान रूप से संभावित हैं,इसलिए कुल व्यवस्थाओं में से आधी व्यवस्थाओं में $Q$,$P$ से पहले बोलेगा।
अतः,आवश्यक तरीकों की संख्या $\frac{24}{2} = 12$ है।

(B) $n$ भुजाओं वाले एक नियमित बहुभुज में विकर्णों की संख्या का सूत्र $\frac{n(n-3)}{2}$ या ${ }^{n} C_{2}-n$ है।
$n = 100$ भुजाओं वाले बहुभुज के लिए:
विकर्णों की संख्या $= { }^{100} C_{2} - 100$
$= \frac{100 \times 99}{2} - 100$
$= 50 \times 99 - 100$
$= 4950 - 100$
$= 4850$

(B) $(1+x)^{n}$ के विस्तार में $2nd$,$3rd$ और $4th$ पदों के गुणांक क्रमशः ${}^{n}C_{1}$,${}^{n}C_{2}$ और ${}^{n}C_{3}$ हैं।
यह दिया गया है कि ये समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2({}^{n}C_{2}) = {}^{n}C_{1} + {}^{n}C_{3}$.
मान रखने पर,$2 \times \frac{n(n-1)}{2} = n + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$.
$n$ से भाग देने पर ($n \neq 0$ के लिए),हमें $n-1 = 1 + \frac{(n-1)(n-2)}{6}$ प्राप्त होता है।
$6(n-2) = (n-1)(n-2)$.
चूंकि $n \neq 2$,$(n-2)$ से भाग देने पर $6 = n-1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $n = 7$.
$(1+x)^{n}$ के विस्तार में $x$ की विषम घातों के गुणांकों का योग $2^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।
$n=7$ रखने पर,योग $2^{7-1} = 2^{6} = 64$ है।

(D) माना $AP$ के छह पद $a-5d, a-3d, a-d, a+d, a+3d, a+5d$ हैं,जहाँ सार्व अंतर $2d$ है।
पदों का योग $= 6a = 3$,इसलिए $a = \frac{1}{2}$।
दिया है $T_1 = 4T_3$,जहाँ $T_1 = a-5d$ और $T_3 = a-d$ है।
$a-5d = 4(a-d) \Rightarrow -3a = d$।
$a = \frac{1}{2}$ रखने पर,$d = -\frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
पाँचवाँ पद $T_5 = a+3d = \frac{1}{2} + 3(-\frac{3}{2}) = -4$।

(B) दी गई श्रेणी $S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 6} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{3 \cdot 6 \cdot 9} + \dots$ है।
यह $(1-x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \dots$ के रूप में एक द्विपद श्रेणी है।
हम पदों को $1 + \frac{1}{2}(\frac{2}{3}) + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+1)}{2!}(\frac{2}{3})^2 + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+1)(\frac{1}{2}+2)}{3!}(\frac{2}{3})^3 + \dots$ के रूप में लिख सकते हैं।
द्विपद विस्तार $(1-x)^{-n}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n = \frac{1}{2}$ और $x = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,योग $(1 - \frac{2}{3})^{-1/2} = (\frac{1}{3})^{-1/2} = 3^{1/2} = \sqrt{3}$ है।

(C) मान लीजिए $a$ पहला पद है और $r$ $GP$ का सार्व अनुपात है। $P$ वां,$Q$ वां और $R$ वां पद क्रमशः $ar^{P-1}$,$ar^{Q-1}$ और $ar^{R-1}$ हैं।
प्रश्न के अनुसार:
$ar^{P-1} = 64$ $(i)$
$ar^{Q-1} = 27$ (ii)
$ar^{R-1} = 36$ (iii)
$(i)$ को (ii) से विभाजित करने पर:
$r^{P-Q} = \frac{64}{27} = \left(\frac{4}{3}\right)^3$ (iv)
(ii) को (iii) से विभाजित करने पर:
$r^{Q-R} = \frac{27}{36} = \frac{3}{4}$
$3$ की घात लेने पर:
$r^{3(Q-R)} = \left(\frac{3}{4}\right)^3 = \left(\frac{4}{3}\right)^{-3}$ $(v)$
(iv) और $(v)$ का गुणा करने पर:
$r^{P-Q} \times r^{3Q-3R} = \left(\frac{4}{3}\right)^3 \times \left(\frac{4}{3}\right)^{-3} = 1$
$r^{P+2Q-3R} = r^0$
अतः,$P+2Q-3R = 0$,जिसका अर्थ है $P+2Q = 3R$.

(C) मान लीजिए $a^{p} = b^{q} = c^{r} = k$ है।
चूँकि $a, b, c$ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं,हम $a = k^{1/p}$,$b = k^{1/q}$,और $c = k^{1/r}$ लिख सकते हैं।
दिया गया है कि $a, b, c$ $GP$ में हैं,इसलिए $\frac{b}{a} = \frac{c}{b}$ है।
$a, b, c$ के मान रखने पर,हमें $\frac{k^{1/q}}{k^{1/p}} = \frac{k^{1/r}}{k^{1/q}}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $k^{(1/q - 1/p)} = k^{(1/r - 1/q)}$।
घातांकों की तुलना करने पर,हमें $\frac{1}{q} - \frac{1}{p} = \frac{1}{r} - \frac{1}{q}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{2}{q} = \frac{1}{p} + \frac{1}{r}$ हो जाता है।
यह दर्शाता है कि $\frac{1}{p}, \frac{1}{q}, \frac{1}{r}$ $A.P.$ में हैं।
अतः,$p, q, r$ $H.P.$ में हैं।

(D) अनंत $GP$ का योग $S_{k} = \frac{a}{1-r} = \frac{k}{1-\frac{k}{k+1}} = k(k+1)$ है।
हमें $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k(k+1)}$ का मान ज्ञात करना है।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$ है।
अतः,योग $\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = -1 + 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \dots \right)$ है।
चूंकि $\log_{e} 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$,इसलिए $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \dots = 1 - \log_{e} 2$ है।
अतः,योग $-1 + 2(1 - \log_{e} 2) = 1 - \log_{e} 4$ प्राप्त होता है।

(B) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = n \times n!$ है।
हम $T_n$ को $((n + 1) - 1) \times n! = (n + 1)! - n!$ के रूप में लिख सकते हैं।
योगफल $S_{50} = \sum_{n=1}^{50} T_n = \sum_{n=1}^{50} ((n + 1)! - n!)$ है।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$S_{50} = (2! - 1!) + (3! - 2!) + (4! - 3!) + \ldots + (51! - 50!)$।
सभी मध्यवर्ती पद कट जाते हैं,जिससे $S_{50} = 51! - 1!$ बचता है।
चूंकि $1! = 1$,इसलिए योगफल $51! - 1$ है।

(C) दी गई श्रेणी एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें $a=1$,सार्व अनुपात $r=(1+x)$,और पदों की संख्या $n=21$ है।
श्रेणी का योग $S = \frac{1((1+x)^{21}-1)}{(1+x)-1} = \frac{(1+x)^{21}-1}{x}$ है।
हमें $S = \frac{(1+x)^{21}-1}{x}$ में $x^{10}$ का गुणांक ज्ञात करना है।
यह $(1+x)^{21}-1$ के विस्तार में $x^{11}$ के गुणांक को ज्ञात करने के बराबर है।
$(1+x)^{21}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{21}C_{r} x^{r}$ है।
$r=11$ के लिए,पद ${}^{21}C_{11} x^{11}$ प्राप्त होता है।
अतः,$(1+x)^{21}$ में $x^{11}$ का गुणांक ${}^{21}C_{11}$ है।
इसलिए,दी गई श्रेणी में $x^{10}$ का गुणांक ${}^{21}C_{11}$ है।

(A) माना योग $S = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k+1} {}^{n}C_{k}$ है।
सर्वसमिका $\frac{1}{k+1} {}^{n}C_{k} = \frac{1}{n+1} {}^{n+1}C_{k+1}$ का उपयोग करने पर:
$S = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{n+1} {}^{n+1}C_{k+1}$
$S = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} {}^{n+1}C_{k+1}$
$S = \frac{1}{n+1} [{}^{n+1}C_{1} + {}^{n+1}C_{2} + \dots + {}^{n+1}C_{n+1}]$
हम जानते हैं कि $\sum_{r=0}^{m} {}^{m}C_{r} = 2^{m}$,इसलिए $\sum_{r=1}^{m} {}^{m}C_{r} = 2^{m} - 1$ होता है।
यहाँ $m = n+1$ है,इसलिए योग $2^{n+1} - 1$ है।
अतः,$S = \frac{2^{n+1}-1}{n+1}$।

(C) प्रथम $(r-1)$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $\frac{(r-1)r}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
इसे योग में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sum_{r=2}^{\infty} \frac{(r-1)r}{2 \cdot r!}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $r! = r(r-1)(r-2)!$,व्यंजक सरल होकर $\sum_{r=2}^{\infty} \frac{1}{2(r-2)!}$ हो जाता है।
अचर $\frac{1}{2}$ को बाहर निकालने पर,हमें $\frac{1}{2} \sum_{r=2}^{\infty} \frac{1}{(r-2)!}$ प्राप्त होता है।
माना $k = r-2$. जैसे $r$,$2$ से $\infty$ तक जाता है,$k$,$0$ से $\infty$ तक जाता है।
अतः,व्यंजक $\frac{1}{2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = \frac{1}{2} e$ हो जाता है।

(B) दिया गया है $P = \sum_{r=0}^{5} c_{2r} = c_{0} + c_{2} + c_{4} + c_{6} + c_{8} + c_{10}$.
चूँकि $c_{r} = {}^{10}C_{r}$,इसलिए $P = {}^{10}C_{0} + {}^{10}C_{2} + {}^{10}C_{4} + {}^{10}C_{6} + {}^{10}C_{8} + {}^{10}C_{10} = 2^{10-1} = 2^{9}$.
दिया गया है $Q = \sum_{r=0}^{3} d_{2r+1} = d_{1} + d_{3} + d_{5} + d_{7}$.
चूँकि $d_{r} = {}^{7}C_{r}$,इसलिए $Q = {}^{7}C_{1} + {}^{7}C_{3} + {}^{7}C_{5} + {}^{7}C_{7} = 2^{7-1} = 2^{6}$.
अतः,$\frac{P}{Q} = \frac{2^{9}}{2^{6}} = 2^{9-6} = 2^{3} = 8$.

(C) दिया गया समीकरण: $\tan x + \sec x = 2 \cos x$
$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ और $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\sin x + 1}{\cos x} = 2 \cos x$
$\sin x + 1 = 2 \cos^2 x$
चूंकि $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$,समीकरण होगा:
$\sin x + 1 = 2(1 - \sin^2 x)$
$\sin x + 1 = 2 - 2 \sin^2 x$
$2 \sin^2 x + \sin x - 1 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(2 \sin x - 1)(\sin x + 1) = 0$
इससे $\sin x = \frac{1}{2}$ या $\sin x = -1$ प्राप्त होता है।
$x \in [0, \pi]$ के लिए,$\sin x = \frac{1}{2}$ से $x = \frac{\pi}{6}$ और $x = \frac{5\pi}{6}$ प्राप्त होते हैं।
$\sin x = -1$ के लिए $x = \frac{3\pi}{2}$ प्राप्त होता है,जो अंतराल $[0, \pi]$ के बाहर है।
अतः,हलों की संख्या $2$ है।

(A) दिया है $A(b \cos \alpha, b \sin \alpha)$ और $B(a \cos \beta, a \sin \beta)$.
चूंकि $M(x, y)$ रेखा $AB$ को $b : a$ के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है,विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$x = \frac{ab(\cos \beta - \cos \alpha)}{b - a}$
$y = \frac{ab(\sin \beta - \sin \alpha)}{b - a}$
अब,$x \cos \frac{\alpha+\beta}{2} + y \sin \frac{\alpha+\beta}{2}$ में मान रखने पर:
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर,परिणाम $0$ प्राप्त होता है।

(C) माना रेखा का समीकरण अंतःखंड रूप में $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
जिन बिंदुओं पर रेखा अक्षों को काटती है,उनके निर्देशांक $A(0, b)$ और $B(a, 0)$ हैं।
चूंकि बिंदु $(\alpha, \beta)$ रेखाखंड $AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए:
$\alpha = \frac{0 + a}{2} \Rightarrow a = 2\alpha$
$\beta = \frac{b + 0}{2} \Rightarrow b = 2\beta$
इन मानों को अंतःखंड रूप के समीकरण में रखने पर:
$\frac{x}{2\alpha} + \frac{y}{2\beta} = 1$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$\frac{x}{\alpha} + \frac{y}{\beta} = 2$

(A) मान लीजिए $R$ के निर्देशांक $(h, k)$ हैं।
त्रिभुज के केंद्रक का सूत्र $\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)$ होता है।
दिए गए शीर्षों $P(2, -3), Q(-2, 1)$ और $R(h, k)$ के लिए,केंद्रक $\left(\frac{2 - 2 + h}{3}, \frac{-3 + 1 + k}{3}\right) = \left(\frac{h}{3}, \frac{k - 2}{3}\right)$ होगा।
चूंकि केंद्रक रेखा $2x + 3y = 1$ पर स्थित है,इसलिए यह निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करेंगे:
$2\left(\frac{h}{3}\right) + 3\left(\frac{k - 2}{3}\right) = 1$
$3$ से गुणा करने पर:
$2h + 3(k - 2) = 3$
$2h + 3k - 6 = 3$
$2h + 3k = 9$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,$R$ का बिंदुपथ $2x + 3y = 9$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई रेखाएँ $x+2y=4$ $(i)$ और $2x+y=4$ (ii) हैं।
समीकरणों $(i)$ और (ii) को हल करने पर,प्रतिच्छेदन बिंदु $(\frac{4}{3}, \frac{4}{3})$ प्राप्त होता है।
इस बिंदु से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ मानिए।
चूंकि यह $(\frac{4}{3}, \frac{4}{3})$ से होकर गुजरती है,इसलिए $\frac{4}{3a} + \frac{4}{3b} = 1$,जो सरल होकर $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{3}{4}$ (iii) हो जाता है।
$AB$ का मध्य-बिंदु $(h, k)$ मानिए। तब $h = \frac{a}{2}$ और $k = \frac{b}{2}$,अर्थात $a = 2h$ और $b = 2k$।
इन मानों को समीकरण (iii) में रखने पर,$\frac{1}{2h} + \frac{1}{2k} = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
$2hk$ से गुणा करने पर,$k + h = \frac{3}{2}hk$,या $2(h+k) = 3hk$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,अभीष्ट बिंदुपथ $2(x+y) = 3xy$ है।

(C) बिंदु $(2,0)$,$(0,3)$,और $(0,0)$ मूल बिंदु $(0,0)$ पर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं क्योंकि $x$-अक्ष और $y$-अक्ष के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।
चूंकि $(2,0)$ और $(0,3)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड द्वारा $(0,0)$ पर अंतरित कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए यह रेखाखंड वृत्त का व्यास है।
व्यास के अंत बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ होता है।
$(2,0)$ और $(0,3)$ बिंदुओं को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(x-2)(x-0) + (y-0)(y-3) = 0$
$x^2 - 2x + y^2 - 3y = 0$
$x^2 + y^2 - 2x - 3y = 0$
चूंकि बिंदु $(2k, 3k)$ इस वृत्त पर स्थित है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$(2k)^2 + (3k)^2 - 2(2k) - 3(3k) = 0$
$4k^2 + 9k^2 - 4k - 9k = 0$
$13k^2 - 13k = 0$
$13k(k - 1) = 0$
इससे $k = 0$ या $k = 1$ प्राप्त होता है।
यदि $k = 0$ है,तो बिंदु $(2k, 3k)$ का मान $(0,0)$ हो जाएगा,जो दिए गए बिंदु $(0,0)$ से भिन्न नहीं है।
अतः,चारों बिंदुओं के भिन्न होने के लिए $k = 1$ होना चाहिए।

(A) दो वृत्त $x^{2}+y^{2}+2g_{1}x+2f_{1}y+c_{1}=0$ और $x^{2}+y^{2}+2g_{2}x+2f_{2}y+c_{2}=0$ लंबकोणीय प्रतिच्छेद करते हैं यदि और केवल यदि $2(g_{1}g_{2}+f_{1}f_{2})=c_{1}+c_{2}$ हो।
दिए गए वृत्तों के लिए:
वृत्त $1$: $g_{1}=1, f_{1}=k, c_{1}=6$
वृत्त $2$: $g_{2}=0, f_{2}=k, c_{2}=k$
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$2((1)(0) + (k)(k)) = 6 + k$
$2k^{2} = 6 + k$
$2k^{2} - k - 6 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$2k^{2} - 4k + 3k - 6 = 0$
$2k(k-2) + 3(k-2) = 0$
$(k-2)(2k+3) = 0$
अतः,$k = 2$ या $k = -\frac{3}{2}$.

(C) दिए गए वृत्तों के समीकरण हैं:
$C_{1}: x^{2}+y^{2}=4$ (केंद्र $C_{1} = (0,0)$,त्रिज्या $r_{1} = 2$)
$C_{2}: (x-2)^{2}+y^{2}=1$ (केंद्र $C_{2} = (2,0)$,त्रिज्या $r_{2} = 1$)
मान लीजिए $N$ उभयनिष्ठ जीवा $PQ$ और केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा $C_{1}C_{2}$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$(x^{2}+y^{2}) - ((x-2)^{2}+y^{2}) = 4 - 1$
$4x - 4 = 3 \implies x = \frac{7}{4}$
चूंकि $N$,$x$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए $N$ के निर्देशांक $(\frac{7}{4}, 0)$ हैं।
दूरी $C_{1}N = \frac{7}{4}$ और $C_{2}N = |2 - \frac{7}{4}| = \frac{1}{4}$ है।
दोनों त्रिभुजों $\Delta C_{1}PQ$ और $\Delta C_{2}PQ$ का आधार $PQ$ समान है।
अतः,उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनके शीर्षलंबों के अनुपात के बराबर होगा:
$\frac{\text{Area}(\Delta C_{1}PQ)}{\text{Area}(\Delta C_{2}PQ)} = \frac{C_{1}N}{C_{2}N} = \frac{7/4}{1/4} = 7: 1$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $y^{2}+4x+4y+k=0$
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$y^{2}+4y+4-4+4x+k=0$
$(y+2)^{2} = -4x+4-k$
$(y+2)^{2} = -4(x - \frac{4-k}{4})$
इसे परवलय के मानक रूप $(y-k')^{2} = -4a(x-h')$ से तुलना करने पर,हमें $4a = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,नाभिलंब की लंबाई $4$ इकाई है।

(B) परवलय $y^{2}=8x$ का शीर्ष $M(0,0)$ है।
मान लीजिए परवलय पर स्थित दूसरा बिंदु $N(2t^{2}, 4t)$ है,जहाँ $t$ एक प्राचल है।
मान लीजिए $P(x, y)$ जीवा $MN$ का मध्य-बिंदु है।
मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = \frac{0 + 2t^{2}}{2} = t^{2}$
$y = \frac{0 + 4t}{2} = 2t$
दूसरे समीकरण से,$t = \frac{y}{2}$।
इस मान को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x = (\frac{y}{2})^{2}$
$x = \frac{y^{2}}{4}$
$y^{2} = 4x$
अतः,$P$ का बिंदुपथ $y^{2}=4x$ है।

(C) मान लीजिए परवलय $y^{2}=4x$ पर बिंदुओं $P$ और $Q$ के निर्देशांक क्रमशः $(t^{2}, 2t)$ और $(m^{2}, 2m)$ हैं। परवलय का शीर्ष $X(0, 0)$ है।
चूंकि $PQ$ शीर्ष $X$ पर समकोण बनाता है,इसलिए $XP$ और $XQ$ की प्रवणताओं (slopes) का गुणनफल $-1$ है।
$XP$ की प्रवणता $= \frac{2t-0}{t^{2}-0} = \frac{2}{t}$.
$XQ$ की प्रवणता $= \frac{2m-0}{m^{2}-0} = \frac{2}{m}$.
दिया है,$(\frac{2}{t}) \times (\frac{2}{m}) = -1 \Rightarrow tm = -4$.
$(t^{2}, 2t)$ और $(m^{2}, 2m)$ से गुजरने वाली रेखा $PQ$ का समीकरण है:
$y - 2t = \frac{2m-2t}{m^{2}-t^{2}}(x - t^{2})$
$y - 2t = \frac{2(m-t)}{(m-t)(m+t)}(x - t^{2})$
$y - 2t = \frac{2}{m+t}(x - t^{2})$.
चूंकि $PQ$ परवलय के अक्ष ($x$-अक्ष) को $R(\alpha, 0)$ पर काटता है,इसलिए $y=0$ और $x=\alpha$ रखने पर:
$0 - 2t = \frac{2}{m+t}(\alpha - t^{2})$
$-t(m+t) = \alpha - t^{2}$
$-tm - t^{2} = \alpha - t^{2}$
$\alpha = -tm$.
चूंकि $tm = -4$,इसलिए $\alpha = -(-4) = 4$.
अतः,शीर्ष $X(0, 0)$ से $R(4, 0)$ की दूरी $4$ है।

(B) माना $P(\sqrt{10} \cos \theta, \sqrt{8} \sin \theta)$ दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{10}+\frac{y^{2}}{8}=1$ पर स्थित एक बिंदु है।
दिया गया है कि केंद्र $(0,0)$ से $P$ की दूरी $3$ इकाई है।
अतः,$OP^2 = 3^2 = 9$.
$10 \cos^2 \theta + 8 \sin^2 \theta = 9$.
सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करते हुए,हम $9 = 9(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$ लिख सकते हैं।
$10 \cos^2 \theta + 8 \sin^2 \theta = 9 \sin^2 \theta + 9 \cos^2 \theta$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\cos^2 \theta = \sin^2 \theta$ प्राप्त होता है।
$\tan^2 \theta = 1$.
चूंकि बिंदु प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{4}$।

(D) दिए गए समीकरण $x=2y$ $(i)$ और $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ (ii) हैं।
(ii) में $x=2y$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{(2y)^{2}}{4}+y^{2}=1$
$\frac{4y^{2}}{4}+y^{2}=1$
$y^{2}+y^{2}=1$
$2y^{2}=1$ $\Rightarrow y^{2}=\frac{1}{2}$ $\Rightarrow y=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$(i)$ से,$x=2y$,अतः $x=\pm 2(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \pm \sqrt{2}$.
इस प्रकार,प्रतिच्छेदन बिंदु $P(\sqrt{2}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ और $Q(-\sqrt{2}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ हैं।
$PQ$ को व्यास मानकर वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ है।
$(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) + (y-\frac{1}{\sqrt{2}})(y+\frac{1}{\sqrt{2}}) = 0$
$(x^{2}-2) + (y^{2}-\frac{1}{2}) = 0$
$x^{2}+y^{2} = 2 + \frac{1}{2}$
$x^{2}+y^{2} = \frac{5}{2}$.

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{1}=1$ है।
$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ से तुलना करने पर,$a^{2}=9$ और $b^{2}=1$ प्राप्त होता है।
उत्केंद्रता $e=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$ है।
नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 2\sqrt{2}, 0)$ हैं।
मान लीजिए $P(h, k)$ एक बिंदु है जहाँ नाभियाँ $F_{1}(2\sqrt{2}, 0)$ और $F_{2}(-2\sqrt{2}, 0)$ समकोण बनाती हैं।
अतः,$PF_{1}$ और $PF_{2}$ की प्रवणताओं का गुणनफल $-1$ होगा।
$\frac{k-0}{h-2\sqrt{2}} \times \frac{k-0}{h+2\sqrt{2}} = -1$.
$\frac{k^{2}}{h^{2}-8} = -1$.
$h^{2}+k^{2} = 8$.
अतः,$P$ का बिंदुपथ $x^{2}+y^{2}=8$ है।

(D) माना $e$ अतिपरवलय की उत्केंद्रता (eccentricity) है। केंद्र $(0, 0)$,शीर्ष $(a, 0)$ और नाभि $(ae, 0)$ है।
चूंकि शीर्ष $(a, 0)$,केंद्र $(0, 0)$ और नाभि $(ae, 0)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को समद्विभाजित करता है,इसलिए:
$a = \frac{ae + 0}{2}$ $\Rightarrow 2a = ae$ $\Rightarrow e = 2$.
अतिपरवलय के लिए,$b^{2} = a^{2}(e^{2} - 1)$.
$e = 2$ रखने पर,$b^{2} = a^{2}(2^{2} - 1) = 3a^{2}$.
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ है।
$b^{2} = 3a^{2}$ रखने पर,$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{3a^{2}} = 1$.
$3a^{2}$ से गुणा करने पर,$3x^{2} - y^{2} = 3a^{2}$ प्राप्त होता है।

(D) अतिपरवलय की परिभाषा के अनुसार,यह एक ऐसे बिंदु का बिंदुपथ है जो इस प्रकार गति करता है कि दो स्थिर बिंदुओं से उसकी दूरियों का अंतर सदैव अचर रहता है।
यहाँ स्थिर बिंदु $(8,0)$ और $(-8,0)$ अतिपरवलय की नाभियाँ हैं।
अचर अंतर $2a = 4$ दिया गया है।
चूंकि दो स्थिर बिंदुओं से दूरियों का अंतर अचर है,इसलिए यह बिंदुपथ एक अतिपरवलय को दर्शाता है।

(B) दिया गया सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\pi^{x}-1}{\sqrt{1+x}-1}$ है।
यह एक $\frac{0}{0}$ अनिर्धार्य रूप है।
$x$ के सापेक्ष अंश और हर का अवकलन करने पर ($L$'$H$ôpital's rule):
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx}(\pi^{x}-1)}{\frac{d}{dx}(\sqrt{1+x}-1)}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\pi^{x} \log _{e} \pi}{\frac{1}{2 \sqrt{1+x}}}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} 2 \sqrt{1+x} \cdot \pi^{x} \log _{e} \pi$
$x = 0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= 2 \sqrt{1+0} \cdot \pi^{0} \log _{e} \pi$
$= 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \log _{e} \pi$
$= 2 \log _{e} \pi = \log _{e} \pi^{2}$.

(D) माना $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n !)^{1 / n}}{n} = \lim _{n \rightarrow \infty} \left( \frac{n!}{n^n} \right)^{1/n}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \ln \left( \frac{n!}{n^n} \right) = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \ln \left( \frac{r}{n} \right)$.
यह समाकलन $\int_{0}^{1} \ln(x) \, dx$ के लिए एक रीमान योग है।
$\ln L = \int_{0}^{1} \ln(x) \, dx = [x \ln x - x]_{0}^{1}$.
$x \rightarrow 0^+$ पर सीमा का मूल्यांकन करने पर,हमें $\lim_{x \rightarrow 0^+} x \ln x = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\ln L = (1 \ln 1 - 1) - (0) = -1$.
इसलिए,$L = e^{-1} = \frac{1}{e}$.

(D) $\Delta PQR$ में ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करने पर,हमारे पास $\frac{p}{\sin P} = \frac{q}{\sin Q} = \frac{r}{\sin R} = 2R_{c}$ है,जहाँ $R_{c}$ त्रिभुज की परिवृत्त त्रिज्या है।
अतः,$\sin P = \frac{p}{2R_{c}}$,$\sin Q = \frac{q}{2R_{c}}$,और $\sin R = \frac{r}{2R_{c}}$।
दिया गया समीकरण $r^{2} \sin P \sin Q = pq$ है।
$\sin P$ और $\sin Q$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$r^{2} \left( \frac{p}{2R_{c}} \right) \left( \frac{q}{2R_{c}} \right) = pq$
$r^{2} \frac{pq}{4R_{c}^{2}} = pq$
चूँकि $p, q \neq 0$,हम दोनों पक्षों को $pq$ से विभाजित कर सकते हैं:
$\frac{r^{2}}{4R_{c}^{2}} = 1$
$r^{2} = 4R_{c}^{2}$
$r = 2R_{c}$
चूँकि $r = 2R_{c} \sin R$,हमारे पास $2R_{c} \sin R = 2R_{c}$ है।
$\sin R = 1$
$R = 90^{\circ}$।
अतः,त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

(B) $\Delta PQR$ में,कोणों का योग $P+Q+R = 180^{\circ}$ होता है।
चूंकि $P+R = 180^{\circ}-Q$,हम इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2pr \sin \left(\frac{P+R-Q}{2}\right) = 2pr \sin \left(\frac{180^{\circ}-Q-Q}{2}\right)$
$= 2pr \sin \left(\frac{180^{\circ}-2Q}{2}\right)$
$= 2pr \sin (90^{\circ}-Q)$
$= 2pr \cos Q$
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करते हुए,$\cos Q = \frac{p^{2}+r^{2}-q^{2}}{2pr}$.
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$= 2pr \left(\frac{p^{2}+r^{2}-q^{2}}{2pr}\right)$
$= p^{2}+r^{2}-q^{2}$.

(B) मान लीजिए त्रिभुज की भुजाएँ $a, b, c$ हैं। त्रिभुज का क्षेत्रफल $S$ इस प्रकार है:
$S = \frac{1}{2} a p = \frac{1}{2} b q = \frac{1}{2} c r$
इससे,हम शीर्षलंबों के व्युत्क्रमों को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{1}{p} = \frac{a}{2S}, \frac{1}{q} = \frac{b}{2S}, \frac{1}{r} = \frac{c}{2S}$
इन पदों को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} = \frac{a+b+c}{2S}$
चूंकि परिमाप $2t = a+b+c$ है,हम इस मान को समीकरण में रखते हैं:
$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} = \frac{2t}{2S} = \frac{t}{S}$

(B) एक समबाहु त्रिभुज में,अंतःकेंद्र,केंद्रक,परिकेंद्र और लंबकेंद्र संपाती होते हैं। मान लीजिए अंतःकेंद्र $G(1, 1)$ है।
अंतःकेंद्र $G(1, 1)$ से भुजा $3x + 4y + 3 = 0$ की लंबवत दूरी अंतःत्रिज्या $r$ है:
$r = \frac{|3(1) + 4(1) + 3|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = \frac{|3 + 4 + 3|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{10}{5} = 2$.
समबाहु त्रिभुज में,परिवृत्त की त्रिज्या $R$,अंतःत्रिज्या $r$ की दोगुनी होती है। इसलिए,$R = 2r = 2(2) = 4$.
परिवृत्त का केंद्र $(1, 1)$ और त्रिज्या $R = 4$ है।
वृत्त का समीकरण $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 4^{2}$ होगा।
$x^{2} - 2x + 1 + y^{2} - 2y + 1 = 16$.
$x^{2} + y^{2} - 2x - 2y + 2 = 16$.
$x^{2} + y^{2} - 2x - 2y - 14 = 0$.

(C) मान लीजिए $M, P, B$ क्रमशः गणित,भौतिकी और जीव विज्ञान में अनुत्तीर्ण छात्रों के समुच्चय हैं। वेन आरेख में दिखाए गए क्षेत्रों को $a, b, c, d, e, f, g$ द्वारा दर्शाया गया है,और $h$ उन छात्रों की संख्या है जो सभी विषयों में उत्तीर्ण हुए।
कुल छात्र = $100$,इसलिए $a+b+c+d+e+f+g+h = 100$। दिया गया है $h = 1$,इसलिए $a+b+c+d+e+f+g = 99$।
दिया गया है:
$1) \text{ गणित में अनुत्तीर्ण: } a+b+d+e = 50$
$2) \text{ भौतिकी में अनुत्तीर्ण: } b+c+d+f = 45$
$3) \text{ जीव विज्ञान में अनुत्तीर्ण: } d+e+f+g = 40$
$4) \text{ ठीक दो विषयों में अनुत्तीर्ण: } b+e+f = 32$
समीकरणों $(1), (2), (3)$ को जोड़ने पर:
$(a+b+d+e) + (b+c+d+f) + (d+e+f+g) = 50 + 45 + 40 = 135$
$(a+b+c+d+e+f+g) + (b+e+f) + 2d = 135$
$99 + 32 + 2d = 135$
$131 + 2d = 135$
$2d = 4 \implies d = 2$।
अतः,तीनों विषयों में अनुत्तीर्ण होने वाले छात्रों की संख्या $2$ है।

(D) माना $A = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\}$ और $B = \{b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}, b_{5}, b_{6}, b_{7}\}$ है।
यहाँ,समुच्चय $A$ में अवयवों की संख्या $n(A) = 4$ है और समुच्चय $B$ में अवयवों की संख्या $n(B) = 7$ है।
समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ तक एक एकैकी फलन (injection) तब प्राप्त होता है जब हम $B$ से $4$ भिन्न अवयव चुनते हैं और उन्हें $A$ के $4$ अवयवों के साथ प्रतिचित्रित करते हैं।
ऐसे कुल एकैकी फलनों की संख्या क्रमचय के सूत्र $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 7$ और $r = 4$ है।
कुल एकैकी फलन $= {}^{7}P_{4} = \frac{7!}{(7-4)!} = \frac{7!}{3!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$.

(A) दिया है,$P = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \end{bmatrix}$.
हमें $Q = P P^{T}$ ज्ञात करना है।
$P^{T} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
$Q = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
$Q = \begin{bmatrix} (1 \times 1 + 2 \times 2 + 1 \times 1) & (1 \times 1 + 2 \times 3 + 1 \times 1) \\ (1 \times 1 + 3 \times 2 + 1 \times 1) & (1 \times 1 + 3 \times 3 + 1 \times 1) \end{bmatrix}$.
$Q = \begin{bmatrix} (1 + 4 + 1) & (1 + 6 + 1) \\ (1 + 6 + 1) & (1 + 9 + 1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 8 & 11 \end{bmatrix}$.
अब,$Q$ का सारणिक $|Q| = (6 \times 11) - (8 \times 8)$.
$|Q| = 66 - 64 = 2$.

(B) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}-1 & \cos R & \cos Q \\ \cos R & -1 & \cos P \\ \cos Q & \cos P & -1\end{array}\right|$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$\Delta = -1(1 - \cos^2 P) - \cos R(-\cos R - \cos Q \cos P) + \cos Q(\cos R \cos P + \cos Q)$
$\Delta = -(1 - \cos^2 P) + \cos^2 R + \cos R \cos Q \cos P + \cos Q \cos R \cos P + \cos^2 Q$
$\Delta = -1 + \cos^2 P + \cos^2 R + \cos^2 Q + 2 \cos P \cos Q \cos R$.
चूंकि $P, Q, R$ एक त्रिभुज के कोण हैं,$P+Q+R = \pi$,इसलिए $R = \pi - (P+Q)$.
त्रिभुज में कोसाइन के वर्गों के योग के लिए सर्वसमिका का उपयोग करने पर: $\cos^2 P + \cos^2 Q + \cos^2 R = 1 - 2 \cos P \cos Q \cos R$.
इस मान को $\Delta$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta = -1 + (1 - 2 \cos P \cos Q \cos R) + 2 \cos P \cos Q \cos R = 0$.

(A) दिए गए समीकरण निकाय को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$(1-\alpha)x + 3y + 5z = 0$
$5x + (1-\alpha)y + 3z = 0$
$3x + 5y + (1-\alpha)z = 0$
निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\left|\begin{array}{ccc} 1-\alpha & 3 & 5 \\ 5 & 1-\alpha & 3 \\ 3 & 5 & 1-\alpha \end{array}\right| = 0$
$C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3$ लागू करने पर:
$\left|\begin{array}{ccc} 9-\alpha & 3 & 5 \\ 9-\alpha & 1-\alpha & 3 \\ 9-\alpha & 5 & 1-\alpha \end{array}\right| = 0$
प्रथम स्तंभ से $(9-\alpha)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$(9-\alpha) \left|\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 5 \\ 1 & 1-\alpha & 3 \\ 1 & 5 & 1-\alpha \end{array}\right| = 0$
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ करने पर:
$(9-\alpha) \left|\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 5 \\ 0 & -\alpha-2 & -2 \\ 0 & 2 & -\alpha-4 \end{array}\right| = 0$
$(9-\alpha) [(-\alpha-2)(-\alpha-4) - (-4)] = 0$
$(9-\alpha) [\alpha^2 + 6\alpha + 8 + 4] = 0$
$(9-\alpha) (\alpha^2 + 6\alpha + 12) = 0$
$\alpha^2 + 6\alpha + 12 = 0$ के लिए विविक्तकर $D = 6^2 - 4(1)(12) = 36 - 48 = -12 < 0$ है। अतः,इस द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।
इसलिए,केवल $\alpha = 9$ ही एकमात्र वास्तविक मान है। अतः वास्तविक मानों की संख्या $1$ है।

(B) संवर्धित आव्यूह $[A|B]$ इस प्रकार है: $\begin{bmatrix} \lambda & 1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & -2 & 6 \\ -1 & 1 & 1 & \mu \end{bmatrix}$.
पंक्ति संक्रियाओं का उपयोग करने पर:
$R_1 \leftrightarrow R_2$ करने पर $\begin{bmatrix} 1 & -1 & -2 & 6 \\ \lambda & 1 & 1 & 3 \\ -1 & 1 & 1 & \mu \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
$R_3 \rightarrow R_3 + R_1$ करने पर $\begin{bmatrix} 1 & -1 & -2 & 6 \\ \lambda & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -1 & \mu + 6 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
$R_2 \rightarrow R_2 - \lambda R_1$ करने पर $\begin{bmatrix} 1 & -1 & -2 & 6 \\ 0 & 1+\lambda & 1+2\lambda & 3-6\lambda \\ 0 & 0 & -1 & \mu + 6 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
अनंत हलों के लिए,आव्यूह की कोटि चरों की संख्या $(3)$ से कम होनी चाहिए।
यदि $\lambda = -1$ है,तो दूसरी पंक्ति $[0, 0, -1, 9]$ हो जाती है।
जब $\mu = 3$ होता है,तो समीकरण परस्पर आश्रित हो जाते हैं और अनंत हल प्राप्त होते हैं।

(C) हम जानते हैं कि $\sin ^{-1} \theta$ का परिसर $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ होता है।
दिया गया है कि $\sin ^{-1} x+\sin ^{-1} y+\sin ^{-1} z=\frac{3 \pi}{2}$।
चूंकि प्रत्येक पद $\sin ^{-1} x, \sin ^{-1} y, \sin ^{-1} z$ का अधिकतम मान $\frac{\pi}{2}$ है,इसलिए योग $\frac{3 \pi}{2}$ तभी संभव है जब $\sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,$\sin ^{-1} y = \frac{\pi}{2}$,और $\sin ^{-1} z = \frac{\pi}{2}$ हो।
इसका अर्थ है कि $x = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$,$y = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$,और $z = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$x^{9}+y^{9}+z^{9}-\frac{1}{x^{9} y^{9} z^{9}} = (1)^{9}+(1)^{9}+(1)^{9}-\frac{1}{(1)^{9}(1)^{9}(1)^{9}}$
$= 1+1+1-\frac{1}{1 \times 1 \times 1}$
$= 3-1 = 2$।

(A) दिया गया है कि $f(x) = x^{2} + 2x - 3$ और $g(x) = x + 1$ है।
हमें $x$ का वह मान ज्ञात करना है जिसके लिए $f(g(x)) = g(f(x))$ हो।
सबसे पहले,$f(g(x))$ की गणना करें:
$f(g(x)) = f(x + 1) = (x + 1)^{2} + 2(x + 1) - 3 = (x^{2} + 2x + 1) + 2x + 2 - 3 = x^{2} + 4x$.
अब,$g(f(x))$ की गणना करें:
$g(f(x)) = g(x^{2} + 2x - 3) = (x^{2} + 2x - 3) + 1 = x^{2} + 2x - 2$.
दोनों व्यंजकों को बराबर रखने पर:
$x^{2} + 4x = x^{2} + 2x - 2$.
दोनों पक्षों से $x^{2}$ घटाने पर:
$4x = 2x - 2$.
$4x - 2x = -2$.
$2x = -2$.
$x = -1$.

(B) माना $y = \tan^{-1} \left( \frac{\cos x}{1 + \sin x} \right)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x)$ और $1 + \sin x = 1 + \cos(\frac{\pi}{2} - x) = 2 \cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\cos x}{1 + \sin x} = \frac{\sin(\frac{\pi}{2} - x)}{2 \cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})} = \frac{2 \sin(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) \cos(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})}{2 \cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})} = \tan(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})$.
अतः,$y = \tan^{-1} \left( \tan(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) \right) = \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) = -\frac{1}{2}$.

(A) दिया गया है,$y = \left(\frac{3^{x}-1}{3^{x}+1}\right) \sin x + \log_{e}(1+x)$.
पहले पद के लिए गुणन नियम और दूसरे पद के लिए श्रृंखला नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \left(\frac{3^{x}-1}{3^{x}+1}\right) \frac{d}{dx}(\sin x) + \sin x \frac{d}{dx}\left(\frac{3^{x}-1}{3^{x}+1}\right) + \frac{1}{1+x}$.
$\frac{d}{dx}\left(\frac{3^{x}-1}{3^{x}+1}\right)$ के लिए भागफल नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{d}{dx}\left(\frac{3^{x}-1}{3^{x}+1}\right) = \frac{(3^{x}+1)(3^{x} \ln 3) - (3^{x}-1)(3^{x} \ln 3)}{(3^{x}+1)^{2}} = \frac{2 \cdot 3^{x} \ln 3}{(3^{x}+1)^{2}}$.
इस मान को अवकलन समीकरण में रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = \left(\frac{3^{x}-1}{3^{x}+1}\right) \cos x + \sin x \left(\frac{2 \cdot 3^{x} \ln 3}{(3^{x}+1)^{2}}\right) + \frac{1}{1+x}$.
$x = 0$ पर मान ज्ञात करने पर:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=0} = \left(\frac{3^{0}-1}{3^{0}+1}\right) \cos(0) + \sin(0) \left(\frac{2 \cdot 3^{0} \ln 3}{(3^{0}+1)^{2}}\right) + \frac{1}{1+0}$.
$= \left(\frac{1-1}{1+1}\right) \cdot 1 + 0 \cdot \left(\frac{2 \ln 3}{4}\right) + 1 = 0 + 0 + 1 = 1$.

(D) दिया गया है,$f(x) f^{\prime}(x) < 0$। इसका तात्पर्य यह है कि सभी $x \in R$ के लिए $f(x)$ और $f^{\prime}(x)$ के चिह्न विपरीत हैं।
फलन $g(x) = |f(x)|$ पर विचार करें।
तब $g(x)^2 = |f(x)|^2 = f(x)^2$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2g(x) g^{\prime}(x) = 2f(x) f^{\prime}(x)$ प्राप्त होता है।
अतः,$g^{\prime}(x) = \frac{f(x) f^{\prime}(x)}{g(x)} = \frac{f(x) f^{\prime}(x)}{|f(x)|}$।
चूंकि $f(x) f^{\prime}(x) < 0$ और सभी $x$ के लिए जहाँ $f(x) \neq 0$ है,$|f(x)| > 0$ है,इसलिए $g^{\prime}(x) < 0$ होता है।
अतः,$|f(x)|$ एक ह्रासमान फलन है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x}{8} + \frac{2}{x}$ है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = \frac{1}{8} - \frac{2}{x^2} = \frac{x^2 - 16}{8x^2}$.
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,$f'(x) = 0$ रखें,जिससे $x^2 - 16 = 0$,अर्थात $x = 4$ या $x = -4$ प्राप्त होता है।
चूंकि अंतराल $[1, 6]$ है,हम केवल $x = 4$ पर विचार करेंगे।
अब,क्रांतिक बिंदु और अंतराल के अंतिम बिंदुओं $[1, 6]$ पर $f(x)$ का मान ज्ञात करें:
$f(1) = \frac{1}{8} + \frac{2}{1} = \frac{1}{8} + 2 = \frac{17}{8} = 2.125$.
$f(4) = \frac{4}{8} + \frac{2}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.
$f(6) = \frac{6}{8} + \frac{2}{6} = \frac{3}{4} + \frac{1}{3} = \frac{9+4}{12} = \frac{13}{12} \approx 1.083$.
$f(1) = \frac{17}{8}$,$f(4) = 1$,और $f(6) = \frac{13}{12}$ की तुलना करने पर,अधिकतम मान $\frac{17}{8}$ है।

(B) अंतराल $[a, b]$ पर किसी फलन $f(x)$ के लिए रोले का प्रमेय लागू होने के लिए,निम्नलिखित शर्तों का पूरा होना आवश्यक है:
$(i)$ $f(x)$ को $[a, b]$ पर सतत होना चाहिए।
(ii) $f(x)$ को $(a, b)$ पर अवकलनीय होना चाहिए।
(iii) $f(a) = f(b)$ होना चाहिए।
आइए अंतराल $[-2, 2]$ के लिए विकल्पों की जाँच करें:
$(A)$ $f(x) = x^{3} \Rightarrow f(-2) = -8, f(2) = 8$. चूँकि $f(-2) \neq f(2)$,इसलिए रोले का प्रमेय लागू नहीं होता है।
$(B)$ $f(x) = 4x^{4} \Rightarrow f(-2) = 4(-2)^{4} = 64$ और $f(2) = 4(2)^{4} = 64$. चूँकि $f(-2) = f(2)$ है और फलन एक बहुपद है (जो हर जगह सतत और अवकलनीय होता है),इसलिए रोले का प्रमेय लागू होता है।
$(C)$ $f(x) = 2x^{3} + 3 \Rightarrow f(-2) = 2(-8) + 3 = -13, f(2) = 2(8) + 3 = 19$. चूँकि $f(-2) \neq f(2)$,इसलिए रोले का प्रमेय लागू नहीं होता है।
$(D)$ $f(x) = \pi|x|$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है,जो $(-2, 2)$ के भीतर स्थित है। अतः,रोले का प्रमेय लागू नहीं होता है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(B) दिया गया है कि $f^{\prime \prime}(x)=g^{\prime \prime}(x)$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)+C_1$ प्राप्त होता है।
$x=1$ रखने पर,$f^{\prime}(1)=g^{\prime}(1)+C_1$ प्राप्त होता है।
$f^{\prime}(1)=4$ और $g^{\prime}(1)=6$ दिया गया है,इसलिए $4=6+C_1$,जिसका अर्थ है कि $C_1=-2$ है।
अतः,$f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)-2$ है।
पुनः $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $f(x)=g(x)-2x+C_2$ प्राप्त होता है।
$x=2$ रखने पर,$f(2)=g(2)-2(2)+C_2$ प्राप्त होता है।
$f(2)=3$ और $g(2)=9$ दिया गया है,इसलिए $3=9-4+C_2$,अर्थात $3=5+C_2$,जिससे $C_2=-2$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x)=g(x)-2x-2$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $f(x)-g(x)=-2x-2$ प्राप्त होता है।
$x=1$ के लिए,$f(1)-g(1)=-2(1)-2=-4$ है।

(A) मान लीजिए $I = \int_{-1}^{1}(|x|-2[x]) \, dx$.
हम समाकलन को $x=0$ पर विभाजित करते हैं:
$I = \int_{-1}^{0}(|x|-2[x]) \, dx + \int_{0}^{1}(|x|-2[x]) \, dx$.
$x \in [-1, 0)$ के लिए,$|x| = -x$ और $[x] = -1$ है।
$x \in [0, 1)$ के लिए,$|x| = x$ और $[x] = 0$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_{-1}^{0}(-x - 2(-1)) \, dx + \int_{0}^{1}(x - 2(0)) \, dx$.
$I = \int_{-1}^{0}(-x + 2) \, dx + \int_{0}^{1} x \, dx$.
समाकलन का मूल्यांकन करने पर:
$I = \left[ -\frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1}$.
$I = (0 - 0) - \left( -\frac{(-1)^2}{2} + 2(-1) \right) + \left( \frac{1^2}{2} - 0 \right)$.
$I = - \left( -\frac{1}{2} - 2 \right) + \frac{1}{2}$.
$I = \frac{1}{2} + 2 + \frac{1}{2} = 1 + 2 = 3$.

(D) माना $I = \int_{\pi / 6}^{\pi / 2} \left( \frac{1+\sin 2x+\cos 2x}{\sin x+\cos x} \right) dx$
सर्वसमिकाओं $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ और $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{\pi / 6}^{\pi / 2} \left( \frac{1 + 2\sin x \cos x + 2\cos^2 x - 1}{\sin x + \cos x} \right) dx$
$I = \int_{\pi / 6}^{\pi / 2} \left( \frac{2\cos x(\sin x + \cos x)}{\sin x + \cos x} \right) dx$
$I = \int_{\pi / 6}^{\pi / 2} 2\cos x dx$
$I = 2[\sin x]_{\pi / 6}^{\pi / 2}$
$I = 2\left( \sin \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{6} \right)$
$I = 2\left( 1 - \frac{1}{2} \right) = 2 \times \frac{1}{2} = 1$

(D) माना $I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{1}{1+(\tan x)^{-101}} dx$.
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{1}{1+(\tan(\frac{\pi}{2}-x))^{-101}} dx$
$I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{1}{1+(\cot x)^{-101}} dx$
$I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{1}{1+(\frac{1}{\tan x})^{-101}} dx = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{1}{1+(\tan x)^{101}} dx$.
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_{0}^{\pi / 2} (\frac{1}{1+(\tan x)^{-101}} + \frac{1}{1+(\tan x)^{101}}) dx$
$2I = \int_{0}^{\pi / 2} (\frac{(\tan x)^{101}}{(\tan x)^{101}+1} + \frac{1}{1+(\tan x)^{101}}) dx$
$2I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{1+(\tan x)^{101}}{1+(\tan x)^{101}} dx = \int_{0}^{\pi / 2} 1 dx = \frac{\pi}{2}$.
अतः,$I = \frac{\pi}{4}$.

(D) माना $I = \int_{0}^{\pi / 4} \frac{\sin x + \cos x}{3 + \sin 2x} dx$.
चूंकि $\sin 2x = 1 - (1 - \sin 2x) = 1 - (\sin x - \cos x)^2$,हम हर को $3 + 1 - (\sin x - \cos x)^2 = 4 - (\sin x - \cos x)^2$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$I = \int_{0}^{\pi / 4} \frac{\sin x + \cos x}{4 - (\sin x - \cos x)^2} dx$.
माना $t = \sin x - \cos x$,तो $dt = (\cos x + \sin x) dx$.
जब $x = 0$,तब $t = \sin 0 - \cos 0 = -1$.
जब $x = \pi / 4$,तब $t = \sin(\pi / 4) - \cos(\pi / 4) = 0$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर,$I = \int_{-1}^{0} \frac{dt}{4 - t^2}$.
सूत्र $\int \frac{dx}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a} \log |\frac{a+x}{a-x}|$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2(2)} [\log |\frac{2+t}{2-t}|]_{-1}^{0} = \frac{1}{4} [\log |\frac{2+0}{2-0}| - \log |\frac{2-1}{2+1}|]$.
$I = \frac{1}{4} [\log 1 - \log (1/3)] = \frac{1}{4} [0 - (-\log 3)] = \frac{1}{4} \log 3$.

(C) माना $I = \int_{-2}^{2}(1+2 \sin x) e^{|x|} d x$.
हम समाकल को इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं:
$I = \int_{-2}^{2} e^{|x|} d x + 2 \int_{-2}^{2} \sin x e^{|x|} d x$.
पहले भाग पर विचार करें: $f(x) = e^{|x|}$. चूँकि $f(-x) = e^{|-x|} = e^{|x|} = f(x)$,इसलिए $f(x)$ एक सम फलन है।
अतः,$\int_{-2}^{2} e^{|x|} d x = 2 \int_{0}^{2} e^{x} d x = 2[e^{x}]_{0}^{2} = 2(e^{2}-1)$.
दूसरे भाग पर विचार करें: $g(x) = \sin x e^{|x|}$. चूँकि $g(-x) = \sin(-x) e^{|-x|} = -\sin x e^{|x|} = -g(x)$,इसलिए $g(x)$ एक विषम फलन है।
अतः,$\int_{-2}^{2} \sin x e^{|x|} d x = 0$.
इसलिए,$I = 2(e^{2}-1) + 2(0) = 2(e^{2}-1)$.

(C) माना $I = \int_{1}^{5} [|x-3| + |1-x|] dx$.
चूँकि $x \in [1, 5]$,इसलिए $|1-x| = x-1$ होगा।
अतः,$I = \int_{1}^{5} |x-3| dx + \int_{1}^{5} (x-1) dx$.
प्रथम भाग के लिए,$\int_{1}^{5} |x-3| dx = \int_{1}^{3} -(x-3) dx + \int_{3}^{5} (x-3) dx$.
$= \int_{1}^{3} (3-x) dx + \int_{3}^{5} (x-3) dx = [3x - \frac{x^2}{2}]_{1}^{3} + [\frac{x^2}{2} - 3x]_{3}^{5}$.
$= (9 - 4.5) - (3 - 0.5) + (12.5 - 15) - (4.5 - 9) = 4.5 - 2.5 - 2.5 + 4.5 = 4$.
दूसरे भाग के लिए,$\int_{1}^{5} (x-1) dx = [\frac{x^2}{2} - x]_{1}^{5} = (12.5 - 5) - (0.5 - 1) = 7.5 - (-0.5) = 8$.
अतः,$I = 4 + 8 = 12$.

(B) वक्र $y=x^{3}$ और $y=\frac{1}{x}$ बिंदु $x^{3} = \frac{1}{x}$ पर प्रतिच्छेद करते हैं,जिसका अर्थ है $x^{4} = 1$। प्रथम चतुर्थांश में होने के कारण,$x=1$ प्राप्त होता है। $x=1$ पर,$y=1$ है।
यह क्षेत्र $x=0$ से $x=1$ तक $y=x^{3}$ द्वारा और $x=1$ से $x=2$ तक $y=\frac{1}{x}$ द्वारा परिबद्ध है।
अभीष्ट क्षेत्रफल $= \int_{0}^{1} x^{3} dx + \int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx$
$= \left[ \frac{x^{4}}{4} \right]_{0}^{1} + \left[ \log_{e} x \right]_{1}^{2}$
$= (\frac{1}{4} - 0) + (\log_{e} 2 - \log_{e} 1)$
$= \frac{1}{4} + \log_{e} 2$.

(C) फलन $y = \sin^{-1} x$,$-1 \leq x \leq 1$ के लिए परिभाषित है। प्रथम चतुर्थांश में,$0 \leq x \leq 1$ है।
चूँकि $x \in [0, 1]$ के लिए $x(1-x) \geq 0$ है,इसलिए वक्र $y_1 = \sin^{-1} x + x(1-x)$,वक्र $y_2 = \sin^{-1} x - x(1-x)$ के ऊपर स्थित है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $y_1 = y_2$ रखने पर प्राप्त होते हैं,जो $2x(1-x) = 0$ देता है,जिसका अर्थ है $x = 0$ या $x = 1$।
आवश्यक क्षेत्रफल समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{0}^{1} (y_1 - y_2) dx = \int_{0}^{1} [(\sin^{-1} x + x - x^2) - (\sin^{-1} x - x + x^2)] dx$
$A = \int_{0}^{1} (2x - 2x^2) dx = 2 \int_{0}^{1} (x - x^2) dx$
$A = 2 \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = 2 \left( \frac{1}{6} \right) = \frac{1}{3}$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{d y}{d x}=\frac{x+y+1}{2 x+2 y+1}$
माना $x+y=v$. तब $1+\frac{d y}{d x}=\frac{d v}{d x}$,अतः $\frac{d y}{d x}=\frac{d v}{d x}-1$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{d v}{d x}-1=\frac{v+1}{2 v+1}$
$\frac{d v}{d x}=\frac{v+1}{2 v+1}+1 = \frac{v+1+2 v+1}{2 v+1} = \frac{3 v+2}{2 v+1}$
चरों को पृथक करने पर: $\frac{2 v+1}{3 v+2} d v=d x$
अंश को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{\frac{2}{3}(3 v+2)-\frac{1}{3}}{3 v+2} d v=d x$
$\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{3(3 v+2)}\right) d v=d x$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \left(\frac{2}{3}-\frac{1}{3(3 v+2)}\right) d v = \int d x + C'$
$\frac{2}{3} v - \frac{1}{9} \log |3 v+2| = x + C'$
$v=x+y$ रखने पर: $\frac{2}{3}(x+y) - \frac{1}{9} \log |3 x+3 y+2| = x + C'$
$9$ से गुणा करने पर: $6(x+y) - \log |3 x+3 y+2| = 9 x + 9 C'$
$6 x + 6 y - 9 x - \log |3 x+3 y+2| = C$
$-3 x + 6 y - \log |3 x+3 y+2| = C$
$-1$ से गुणा करने पर: $3 x - 6 y + \log |3 x+3 y+2| = C$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $25 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-10 \frac{d y}{d x}+y=0$ है।
सहायक समीकरण $25 m^{2}-10 m+1=0$ है।
इसे $(5 m-1)^{2}=0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जिससे $m=\frac{1}{5}, \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।
चूंकि मूल वास्तविक और समान हैं,इसलिए सामान्य हल $y=(c_{1}+c_{2} x) e^{x / 5} \quad \dots(i)$ होगा।
$y(0)=1$ दिया गया है,इसलिए $(i)$ में $x=0$ रखने पर $1=(c_{1}+0) e^{0} \Rightarrow c_{1}=1$ प्राप्त होता है।
$y(1)=2 e^{1 / 5}$ दिया गया है,इसलिए $(i)$ में $x=1$ और $c_{1}=1$ रखने पर $2 e^{1 / 5}=(1+c_{2}) e^{1 / 5}$ प्राप्त होता है।
$e^{1 / 5}$ से विभाजित करने पर,$2=1+c_{2} \Rightarrow c_{2}=1$ प्राप्त होता है।
अब $c_{1}=1$ और $c_{2}=1$ को $(i)$ में रखने पर,विशिष्ट हल $y=(1+x) e^{x / 5}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $3 x \log _{e} x \frac{d y}{d x}+y=2 \log _{e} x$.
दोनों पक्षों को $3 x \log _{e} x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3 x \log _{e} x} y = \frac{2}{3 x}$.
यह $\frac{d y}{d x} + P y = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{3 x \log _{e} x}$.
समाकलन गुणक $(IF)$ का सूत्र $e^{\int P d x}$ है।
$IF = e^{\int \frac{1}{3 x \log _{e} x} d x}$.
मान लीजिए $t = \log _{e} x$,तब $d t = \frac{1}{x} d x$.
$IF = e^{\frac{1}{3} \int \frac{1}{t} d t} = e^{\frac{1}{3} \log _{e} t} = e^{\log _{e} (t^{1/3})} = t^{1/3}$.
$t = \log _{e} x$ वापस रखने पर,हमें $IF = (\log _{e} x)^{1/3}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{1 - y \log x}$ है।
विकल्पों की जाँच करने पर,यदि $y = x^y$ है,तो दोनों पक्षों का $\log$ लेने पर: $\log y = y \log x$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है।
$\frac{dy}{dx}$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} (\frac{1}{y} - \log x) = \frac{y}{x}$ प्राप्त होता है।
$\frac{dy}{dx} (\frac{1 - y \log x}{y}) = \frac{y}{x}$ होता है।
$x \frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{1 - y \log x}$ प्राप्त होता है।
यह दिए गए अवकल समीकरण से मेल खाता है। साथ ही,$x=1$ के लिए,$y=1^y=1$,जो शर्त $y(1)=1$ को संतुष्ट करता है।

(D) एक मानक डेक में $52$ अलग-अलग प्रकार के पत्ते होते हैं,और दो डेक में प्रत्येक प्रकार के पत्ते दो बार आते हैं (कुल $104$ पत्ते)।
$26$ अलग-अलग पत्ते प्राप्त करने के लिए,हमें पहले $52$ प्रकारों में से $26$ प्रकार चुनने होंगे,जिसे ${ }^{52} C_{26}$ तरीकों से किया जा सकता है।
इन चुने गए $26$ प्रकारों में से प्रत्येक के लिए,हम $2$ उपलब्ध पत्तों में से कोई भी एक चुन सकते हैं,जो $2^{26}$ तरीके देता है।
$104$ में से $26$ पत्ते चुनने के कुल तरीके ${ }^{104} C_{26}$ हैं।
अतः,प्रायिकता $\frac{{ }^{52} C_{26} \times 2^{26}}{{ }^{104} C_{26}}$ है।

(A) दिया गया है: $P(A^{C}) = 0.3 \implies P(A) = 1 - 0.3 = 0.7$.
$P(B) = 0.4 \implies P(B^{C}) = 1 - 0.4 = 0.6$.
$P(A \cap B^{C}) = 0.5$.
हम जानते हैं कि $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^{C})$,इसलिए $P(A \cap B) = P(A) - P(A \cap B^{C}) = 0.7 - 0.5 = 0.2$.
हमें $P(B \mid A \cup B^{C}) = \frac{P(B \cap (A \cup B^{C}))}{P(A \cup B^{C})}$ ज्ञात करना है।
अंश: $P(B \cap (A \cup B^{C})) = P((B \cap A) \cup (B \cap B^{C})) = P(A \cap B) = 0.2$.
हर: $P(A \cup B^{C}) = P(A) + P(B^{C}) - P(A \cap B^{C}) = 0.7 + 0.6 - 0.5 = 0.8$.
अतः,$P(B \mid A \cup B^{C}) = \frac{0.2}{0.8} = \frac{1}{4}$.

(B) मान लीजिए $F$ निष्पक्ष सिक्का है,$T$ दो-चित वाला सिक्का है और $H$ वह घटना है जिसमें परिणाम चित (head) आता है।
दी गई प्रायिकताएँ $P(F) = \frac{3}{4}$ और $P(T) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ हैं।
निष्पक्ष सिक्के पर चित आने की प्रायिकता $P(H|F) = \frac{1}{2}$ है।
दो-चित वाले सिक्के पर चित आने की प्रायिकता $P(H|T) = 1$ है।
हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है कि दो-चित वाला सिक्का चुना गया था,यह देखते हुए कि परिणाम चित है,यानी $P(T|H)$।
बेयस प्रमेय के अनुसार:
$P(T|H) = \frac{P(H|T) \cdot P(T)}{P(H|T) \cdot P(T) + P(H|F) \cdot P(F)}$
$P(T|H) = \frac{1 \cdot \frac{1}{4}}{1 \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}$
$P(T|H) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4} + \frac{3}{8}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{2+3}{8}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{8}} = \frac{1}{4} \times \frac{8}{5} = \frac{2}{5}$.