શ્રેણી 1 + frac{1}{2} {}^{n}C_{1} + frac{1}{3 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે સરવાળો $S = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k+1} {}^{n}C_{k}$ છે.નિત્યસમ $\frac{1}{k+1} {}^{n}C_{k} = \frac{1}{n+1} {}^{n+1}C_{k+1}$ નો ઉપયોગ કરતા

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2^{n+1}-1}{n+1}$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે સરવાળો $S = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k+1} {}^{n}C_{k}$ છે.નિત્યસમ $\frac{1}{k+1} {}^{n}C_{k} = \frac{1}{n+1} {}^{n+1}C_{k+1}$ નો ઉપયોગ કરતા:$S = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{n+1} {}^{n+1}C_{k+1}$$S = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} {}^{n+1}C_{k+1}$$S = \frac{1}{n+1} [{}^{n+1}C_{1} + {}^{n+1}C_{2} + \dots + {}^{n+1}C_{n+1}]$આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{r=0}^{m} {}^{m}C_{r} = 2^{m}$,તેથી $\sum_{r=1}^{m} {}^{m}C_{r} = 2^{m} - 1$.અહીં $m = n+1$ છે,તેથી સરવાળો $2^{n+1} - 1$ થાય.તેથી,$S = \frac{2^{n+1}-1}{n+1}$.

શ્રેણી $1 + \frac{1}{2} {}^{n}C_{1} + \frac{1}{3} {}^{n}C_{2} + \dots + \frac{1}{n+1} {}^{n}C_{n}$ નો સરવાળો કેટલો થાય?

Similar Questions

$\sum_{k=0}^{20} \left({}^{20}C_{k}\right)^{2}$ ની કિંમત શું થાય?

ધારો કે $m, n \in \mathbb{N}$ અને $\operatorname{gcd}(2, n)=1$. જો $30\binom{30}{0} + 29\binom{30}{1} + \ldots + 2\binom{30}{28} + 1\binom{30}{29} = n \cdot 2^m$ હોય,તો $n + m$ ની કિંમત શોધો. (અહીં $\binom{n}{k} = {^nC_k}$)

જો $(1+x)^n = \sum_{r=0}^n C_r x^r$ હોય,તો $C_0 + (C_0 + C_1) + (C_0 + C_1 + C_2) + \ldots + (C_0 + C_1 + C_2 + \ldots + C_n)$ ની કિંમત શોધો.

$\sum\limits_{r = 0}^{n - 1} {\frac{{^n{C_r}}}{{^n{C_r} + {\,^n}{C_{r + 1}}}}} $ નું મૂલ્ય શું થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module