WBJEE 2012 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્ર પરનું કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય છે,તેથી $y$-અક્ષની દિશામાં (ગતિની પ્રારંભિક દિશાને લંબ) વેગમાનનું સંરક્ષણ થવું જોઈએ.
શરૂઆતમાં,તંત્રનું $y$-અક્ષની દિશામાં વેગમાન શૂન્ય છે.
અથડામણ પછી,દડા $A$ અને $B$ માટે $y$-અક્ષની દિશામાં વેગમાનના ઘટકો સમાન અને વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ.
ધારો કે $m_1 = 4 \ kg$ અને $m_2 = 1 \ kg$.
$m_1 v_1 \sin(30^{\circ}) = m_2 v_2 \sin(60^{\circ})$
$4 \cdot v_1 \cdot \frac{1}{2} = 1 \cdot v_2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$2 v_1 = \frac{\sqrt{3}}{2} v_2$
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

(B) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,ગ્રહના પરિભ્રમણ સમય $(T)$ નો વર્ગ તેના સૂર્યથી સરેરાશ અંતર $(R)$ ના ઘન સાથે સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$T^{2} \propto R^{3}$
ધારો કે પૃથ્વીનો સમયગાળો $T_{1} = D$ છે જે $L_{1}$ અંતરે છે,અને બીજા ગ્રહનો સમયગાળો $T_{2}$ છે જે $L_{2}$ અંતરે છે.
તેથી,$\frac{T_{2}^{2}}{T_{1}^{2}} = \frac{L_{2}^{3}}{L_{1}^{3}}$
$\frac{T_{2}^{2}}{D^{2}} = \left(\frac{L_{2}}{L_{1}}\right)^{3}$
$T_{2}^{2} = D^{2} \left(\frac{L_{2}}{L_{1}}\right)^{3}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$T_{2} = D \left(\frac{L_{2}}{L_{1}}\right)^{3/2} \text{ દિવસ}$.

(D) આપેલ છે: બોક્સનું દળ $m = 2 kg$,સ્થિત ઘર્ષણાંક $\mu = 0.2$,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 ms^{-2}$.
બોક્સ કારની છત પર સ્થિર રહે તે માટે,બોક્સ પર લાગતું આભાસી બળ (pseudo-force) એ સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu N = \mu mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બોક્સને કાર સાથે પ્રવેગિત કરવા માટે જરૂરી બળ $F = ma$ છે.
બંનેને સરખાવતા,આપણને $ma = \mu mg$ મળે છે.
તેથી,$a = \mu g$.
કિંમતો મૂકતા: $a = 0.2 \times 10 = 2 ms^{-2}$.
આમ,કારનો મહત્તમ પ્રવેગ $2 ms^{-2}$ છે.

(B) તંત્રનું કુલ દળ $M = 4 \ kg + 2 \ kg + 1 \ kg = 7 \ kg$ છે.
સપાટી ઘર્ષણરહિત હોવાથી,તંત્રનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{M} = \frac{14 \ N}{7 \ kg} = 2 \ m/s^2$ મળે.
$4 \ kg$ અને $2 \ kg$ ના બ્લોક વચ્ચેનું સંપર્ક બળ $N$ શોધવા માટે,આપણે $2 \ kg$ અને $1 \ kg$ ના બ્લોકના સંયુક્ત તંત્ર (કુલ દળ $m' = 3 \ kg$) ની ગતિનો વિચાર કરીએ.
આ $3 \ kg$ ના સંયુક્ત તંત્ર પર લાગતું એકમાત્ર સમક્ષિતિજ બળ $N$ છે,જે તેને $2 \ m/s^2$ ના પ્રવેગથી ગતિ કરાવે છે.
તેથી,$N = m' \times a = 3 \ kg \times 2 \ m/s^2 = 6 \ N$.

(D) ધારો કે પદાર્થનું દળ $m$ ગ્રામ છે અને પદાર્થનું કદ $V$ $\text{cm}^3$ છે. પાણીની ઘનતા $\rho_w = 1 \text{ g/cm}^3$ છે. આભાસી વજન $W'$ એ $W' = W_{actual} - F_B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $F_B$ એ ઉત્પ્લાવક બળ છે.
$1.2$ વિશિષ્ટ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહી માટે,ઘનતા $\rho_l = 1.2 \text{ g/cm}^3$ છે. વજન $44 \text{ gwt}$ છે,તેથી:
$44 = m - 1.2V$ $(i)$
પાણી માટે,વજન $50 \text{ gwt}$ છે,તેથી:
$50 = m - V$ $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$(50 - 44) = (m - V) - (m - 1.2V)$
$6 = 0.2V$
$V = 30 \text{ cm}^3$
$V = 30$ ને સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$50 = m - 30$
$m = 80 \text{ g}$

(C) નળીમાંથી વહેતા પાણી જેવા પ્રવાહીનો તે વેગ કે જેનાથી નીચે પ્રવાહ સુરેખ (streamline) રહે છે અને જેનાથી ઉપર પ્રવાહ અશાંત (turbulent) બની જાય છે,તેને ક્રિટીકલ વેગ (critical velocity) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(C) તારનું વિસ્તરણ $\Delta L$ એ સૂત્ર $\Delta L = \frac{F \cdot L}{A \cdot Y}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $F$ એ તણાવબળ છે,$L$ એ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi \cdot (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ કે $\Delta L = \frac{4 F L}{\pi d^2 Y}$.
અહીં $F$ અને $Y$ અચળ હોવાથી,$\Delta L \propto \frac{L}{d^2}$ થાય.
દરેક વિકલ્પ માટે $\frac{L}{d^2}$ નો ગુણોત્તર ગણતા:
$A: \frac{200}{(0.5)^2} = 800$
$B: \frac{300}{(1.0)^2} = 300$
$C: \frac{50}{(0.05)^2} = 20000$
$D: \frac{100}{(0.2)^2} = 2500$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $C$ માટે ગુણોત્તર મહત્તમ છે.

(C) જમીન પર,પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2} m u^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે.
ગતિપથના મહત્તમ બિંદુએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે અને કણનો વેગ ફક્ત સમક્ષિતિજ ઘટક જેટલો જ રહે છે,જે $v_x = u \cos \theta$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = 60^{\circ}$ આપેલ હોવાથી,મહત્તમ બિંદુએ સમક્ષિતિજ વેગ $v_x = u \cos 60^{\circ} = u \times \frac{1}{2} = \frac{u}{2}$ થાય છે.
મહત્તમ બિંદુએ ગતિઊર્જા $E^{\prime} = \frac{1}{2} m v_x^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v_x$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $E^{\prime} = \frac{1}{2} m \left( \frac{u}{2} \right)^{2} = \frac{1}{2} m \left( \frac{u^{2}}{4} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2} m u^{2} \right)$ મળે છે.
કારણ કે $E = \frac{1}{2} m u^{2}$ છે,તેથી $E^{\prime} = \frac{E}{4}$ થાય.

(C) આપેલ છે: ઊંચાઈ $h = 80 \ m$,પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ વેગ $v = 8 \ ms^{-1}$,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ ms^{-2}$.
લંબવત ગતિ માટે,જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય $h = \frac{1}{2}gt^2$ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $80 = \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$.
$80 = 5t^2 \implies t^2 = 16 \implies t = 4 \ s$.
સમક્ષિતિજ ગતિ માટે,કાપેલું અંતર $d = v \times t$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $d = 8 \times 4 = 32 \ m$.
આમ,સમય $t = 4 \ s$ અને અંતર $d = 32 \ m$ છે.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ માટે આપેલા સમીકરણો છે:
$x_{1}=A \sin \left(\omega t+\frac{\pi}{6}\right)$
$x_{2}=A \cos (\omega t)$
કળા તફાવત શોધવા માટે,આપણે બંને સમીકરણોને સમાન ત્રિકોણમિતીય વિધેય (સાઇન) માં દર્શાવવા પડશે.
નિત્યસમ $\cos(\theta) = \sin(\theta + \frac{\pi}{2})$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $x_{2}$ ને આ રીતે લખી શકીએ:
$x_{2}=A \sin \left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right)$
હવે,પ્રથમ ગતિની કળા $\phi_{1} = \omega t + \frac{\pi}{6}$ છે અને બીજી ગતિની કળા $\phi_{2} = \omega t + \frac{\pi}{2}$ છે.
કળા તફાવત $\Delta \phi$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\Delta \phi = \phi_{2} - \phi_{1}$
$\Delta \phi = \left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right) - \left(\omega t + \frac{\pi}{6}\right)$
$\Delta \phi = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi - \pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$
તેથી,કળા તફાવત $\frac{\pi}{3}$ છે.

(C) $1$. $0^{\circ} C$ તાપમાને રહેલા $100 \ g$ બરફને $0^{\circ} C$ તાપમાનના પાણીમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે જરૂરી ઉષ્મા: $Q_1 = m \times L_f = 100 \ g \times 80 \ cal/g = 8000 \ cal$.
$2$. $100 \ g$ પાણીનું તાપમાન $0^{\circ} C$ થી $100^{\circ} C$ સુધી વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા: $Q_2 = m \times s \times \Delta T = 100 \ g \times 1 \ cal/g^{\circ} C \times 100^{\circ} C = 10000 \ cal$.
$3$. અત્યાર સુધી વપરાયેલી કુલ ઉષ્મા: $Q_{total} = Q_1 + Q_2 = 8000 + 10000 = 18000 \ cal$.
$4$. બાકી રહેલી ઉષ્મા: $Q_{rem} = 22320 \ cal - 18000 \ cal = 4320 \ cal$.
$5$. આ બાકી રહેલી ઉષ્મા $100^{\circ} C$ તાપમાનના પાણીને વરાળમાં રૂપાંતરિત કરશે: $m_{steam} = Q_{rem} / L_v = 4320 \ cal / 540 \ cal/g = 8 \ g$.
$6$. અંતે બાકી રહેલા પાણીનો જથ્થો: $100 \ g - 8 \ g = 92 \ g$ પાણી $100^{\circ} C$ તાપમાને.

(D) કોઈપણ તાપમાનના માપક્રમ અને સેલ્સિયસ માપક્રમ વચ્ચેનો સંબંધ આ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{X - \text{Lower Fixed Point}}{\text{Upper Fixed Point} - \text{Lower Fixed Point}} = \frac{C}{100}$.
અહીં, નીચલું નિશ્ચિત બિંદુ $10^{\circ}$ છે અને ઉપલું નિશ્ચિત બિંદુ $130^{\circ}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{X - 10}{130 - 10} = \frac{40}{100}$.
$\frac{X - 10}{120} = \frac{40}{100}$.
$X - 10 = \frac{40}{100} \times 120$.
$X - 10 = 0.4 \times 120 = 48$.
$X = 48 + 10 = 58^{\circ}$.

(C) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે અવાજનો સ્ત્રોત સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે દેખીતી આવૃત્તિ $f'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$f' = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
જ્યાં:
$f = 640 \ Hz$ (સ્ત્રોતની આવૃત્તિ)
$v = 340 \ ms^{-1}$ (અવાજની ઝડપ)
$v_s = 20 \ ms^{-1}$ (સ્ત્રોત/ટ્રેનની ઝડપ)
કિંમતો મૂકતા:
$f' = 640 \left( \frac{340}{340 - 20} \right)$
$f' = 640 \left( \frac{340}{320} \right)$
$f' = 640 \times 1.0625 = 680 \ Hz$
તેથી,પ્લેટફોર્મ પર ઉભેલી વ્યક્તિને સંભળાતી આવૃત્તિ $680 \ Hz$ હશે.

(D) બંધ પાઇપ માટે,$n$-માં ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_{c} = \frac{(2n+1)v}{4l_{1}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ ઓવરટોનનો ક્રમ છે. પ્રથમ ઓવરટોન $(n=1)$ માટે,$f_{c} = \frac{3v}{4l_{1}}$.
ખુલ્લી પાઇપ માટે,$n$-માં ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_{o} = \frac{(n+1)v}{2l_{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ ઓવરટોનનો ક્રમ છે. પ્રથમ ઓવરટોન $(n=1)$ માટે,$f_{o} = \frac{2v}{2l_{2}} = \frac{v}{l_{2}}$.
આપેલ છે કે આવૃત્તિઓ સમાન છે: $\frac{3v}{4l_{1}} = \frac{v}{l_{2}}$.
ગુણોત્તર માટે ગોઠવતા: $\frac{l_{1}}{l_{2}} = \frac{3}{4}$.

(A) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $y = A \sin \left[ \frac{2 \pi}{\lambda} (vt - x) \right]$ છે.
આને પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin (\omega t - kx)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega = \frac{2 \pi v}{\lambda}$ અને $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$ મળે છે.
કણનો વેગ $v_p = \frac{\partial y}{\partial t} = A \omega \cos \left[ \frac{2 \pi}{\lambda} (vt - x) \right]$ થાય.
કણનો મહત્તમ વેગ $(v_p)_{\max} = A \omega = A \left( \frac{2 \pi v}{\lambda} \right)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$(v_p)_{\max} = 3v$ છે.
તેથી,$A \left( \frac{2 \pi v}{\lambda} \right) = 3v$.
બંને બાજુથી $v$ ને દૂર કરતા,$\frac{2 \pi A}{\lambda} = 3$ મળે.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા,$\lambda = \frac{2 \pi A}{3}$ મળે છે.

(B) $x$ જેટલું સ્થાનાંતર ધરાવતી સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઊર્જા $U = \frac{1}{2} k x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,સ્થાનાંતર $x_1 = 10 \ cm = 0.1 \ m$ છે. તેથી,$E = \frac{1}{2} k (0.1)^2 = 0.005 k$.
બીજા કિસ્સામાં,સ્પ્રિંગને વધુ $10 \ cm$ ખેંચવામાં આવે છે,તેથી કુલ સ્થાનાંતર $x_2 = 10 \ cm + 10 \ cm = 20 \ cm = 0.2 \ m$ થાય છે.
નવી સ્થિતિ ઊર્જા $E'$ એ $E' = \frac{1}{2} k (0.2)^2 = \frac{1}{2} k (4 \times 0.01) = 4 \times (\frac{1}{2} k (0.1)^2)$ છે.
તેથી,$E' = 4 E$.

(D) લાક્ષણિક $X$-કિરણો માટે મોઝલેના નિયમ મુજબ,ઉત્સર્જિત $X$-કિરણોની આવૃત્તિ $v$ એ પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ સાથે $v \propto (Z - b)^2$ તરીકે સંબંધિત છે,જ્યાં $b$ એ સ્ક્રીનિંગ અચળાંક છે. $K_{\alpha}$ રેખા માટે,$b = 1$ છે.
બંને તત્વો માટે સમાન શ્રેણી ધારતા,આપણી પાસે $v \propto Z^2$ છે.
પરમાણુ ક્રમાંકનો ગુણોત્તર $Z_{A} : Z_{B} = 1 : 2$ આપેલ છે.
તેથી,આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર:
$\frac{v_{A}}{v_{B}} = \left( \frac{Z_{A}}{Z_{B}} \right)^2$
$\frac{v_{A}}{v_{B}} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$
આમ,$v_{A} : v_{B} = 1 : 4$ થાય.

(D) ધારો કે કેપેસિટર $C$ ($X$ અને $Y$ વચ્ચે જોડાયેલ) પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{XY} = 60 \ V$ છે.
પરિપથમાં એક કેપેસિટર $C$ અને તેની સમાંતર શ્રેણીમાં જોડાયેલા $2C$,$C$,અને $2C$ કેપેસિટર્સ છે.
કેપેસિટર્સ $2C$,$C$,અને $2C$ શ્રેણીમાં હોવાથી,તેમાંથી સમાન વિદ્યુતભાર $q$ વહે છે.
શ્રેણી શાખા પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{XY} = 60 \ V$ છે.
શ્રેણી શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{2C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{2C} = \frac{1+2+1}{2C} = \frac{4}{2C} = \frac{2}{C}$
તેથી,$C_{eq} = \frac{C}{2}$.
શ્રેણી શાખામાં દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q$ છે:
$q = C_{eq} \times V_{XY} = \frac{C}{2} \times 60 \ V = 30C$.
બિંદુઓ $M$ અને $N$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ તેમની વચ્ચે આવેલા કેપેસિટર $C$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે.
$V_{MN} = \frac{q}{C} = \frac{30C}{C} = 30 \ V$.

(A) અવરોધકમાં ઉષ્મા ઉત્પન્ન થવાનો દર (પાવર) સૂત્ર $H = \frac{V^2}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,પાવર $H = \frac{V^2}{R}$ છે.
બીજા કિસ્સામાં,નવો વોલ્ટેજ $V' = \frac{V}{3}$ અને નવો અવરોધ $R' = 2R$ છે.
ઉષ્મા ઉત્પન્ન થવાનો નવો દર $H'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$H' = \frac{(V')^2}{R'} = \frac{(\frac{V}{3})^2}{2R} = \frac{\frac{V^2}{9}}{2R} = \frac{V^2}{18R}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $H = \frac{V^2}{R}$,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$H' = \frac{H}{18}$.

(B) ધાતુના તાર માટે,તાપમાન વધવાની સાથે અવરોધ $R$ વધે છે.
$I-V$ આલેખનો ઢાળ $\frac{I}{V} = \frac{1}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આકૃતિ પરથી,$T_{1}$ ને અનુરૂપ રેખાનો ઢાળ $T_{2}$ ને અનુરૂપ રેખાના ઢાળ કરતા વધારે છે.
તેથી,$\frac{1}{R_{1}} > \frac{1}{R_{2}}$,જેનો અર્થ છે કે $R_{1} < R_{2}$.
જેમ કે તાપમાન વધવાની સાથે અવરોધ વધે છે,તેથી $R_{1} < R_{2}$ નો અર્થ છે કે $T_{1} < T_{2}$.

(C) બલ્બનો અવરોધ $R$ અચળ રહે છે અને તે તેની રેટેડ કિંમતો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:
$R = \frac{V_{rated}^2}{P_{rated}} = \frac{200^2}{50} = \frac{40000}{50} = 800 \, \Omega$
જ્યારે તેને $V' = 100 V$ ના નવા સપ્લાય વોલ્ટેજ સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે બલ્બ દ્વારા વપરાતો નવો પાવર $P'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$P' = \frac{(V')^2}{R} = \frac{100^2}{800} = \frac{10000}{800} = 12.5 \, W$
તેથી,બલ્બનો હાલનો પાવર $12.5 \, W$ છે.

(A) સૌ પ્રથમ,સર્કિટનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધો. $4 k\Omega$ અને $2 k\Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,તેથી તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_s = 4 k\Omega + 2 k\Omega = 6 k\Omega$ થાય.
આ $6 k\Omega$ નો સમતુલ્ય અવરોધ $3 k\Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{6 k\Omega} + \frac{1}{3 k\Omega} = \frac{1+2}{6 k\Omega} = \frac{3}{6 k\Omega} = \frac{1}{2 k\Omega}$
તેથી,$R_p = 2 k\Omega$.
હવે,સર્કિટનો કુલ અવરોધ $R_{total} = 6 k\Omega + R_p = 6 k\Omega + 2 k\Omega = 8 k\Omega$ થાય.
$72 V$ ની બેટરીમાંથી વહેતો કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I$:
$I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{72 V}{8 k\Omega} = 9 mA$.
આ વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 9 mA$ એ $6 k\Omega$ ના અવરોધમાંથી વહે છે અને ત્યારબાદ જંકશન પર $3 k\Omega$ ની શાખામાં અને $4 k\Omega$ તથા $2 k\Omega$ ના શ્રેણી જોડાણવાળી શાખામાં વહેંચાય છે.
ધારો કે $2 k\Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i$ છે. સમાંતર શાખાઓમાં વોલ્ટેજ સમાન હોય છે:
$i \times (4 k\Omega + 2 k\Omega) = (I - i) \times 3 k\Omega$
$i \times 6 k\Omega = (9 mA - i) \times 3 k\Omega$
$2i = 9 mA - i$
$3i = 9 mA$
$i = 3 mA$.

(D) સંતુલિત વ્હીટસ્ટન બ્રિજમાં,પાસપાસેની ભુજાઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ,એટલે કે $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$.
ધારો કે ચાર ભુજાઓ $P = 10 \Omega$,$Q = 10 \Omega$,$R = 10 \Omega$ અને $S = 30 \Omega$ છે.
બ્રિજને સંતુલિત કરવા માટે,ચોથી ભુજામાં અસરકારક અવરોધ $S'$ એવો હોવો જોઈએ કે જેથી $\frac{10}{10} = \frac{10}{S'}$,જે $S' = 10 \Omega$ આપે છે.
ધારો કે $30 \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં $x$ અવરોધ જોડવામાં આવે છે જેથી સમતુલ્ય અવરોધ $10 \Omega$ થાય.
સમાંતર જોડાણ માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{S'} = \frac{1}{30} + \frac{1}{x}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{10} = \frac{1}{30} + \frac{1}{x}$.
$\frac{1}{x} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{3-1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$.
તેથી,$x = 15 \Omega$.

(A) ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_e = \frac{h}{m_e v_e}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v_e = c/2$. તેથી,$\lambda_e = \frac{h}{m_e (c/2)} = \frac{2h}{m_e c}$.
ફોટોન માટે,તરંગલંબાઈ $\lambda_p = \frac{h}{p_p} = \frac{h}{E_p/c} = \frac{hc}{E_p}$ છે,જ્યાં $E_p$ એ ફોટોનની ઊર્જા છે.
આપેલ છે કે $\lambda_e = \lambda_p$,તેથી $\frac{2h}{m_e c} = \frac{hc}{E_p}$.
આના પરથી $E_p = \frac{m_e c^2}{2}$ મળે છે.
ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K_e = \frac{1}{2} m_e v_e^2 = \frac{1}{2} m_e (c/2)^2 = \frac{1}{8} m_e c^2$ છે.
ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_e}{E_p} = \frac{\frac{1}{8} m_e c^2}{\frac{1}{2} m_e c^2} = \frac{1}{4}$ થાય.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $h\nu = h\nu_{0} + eV_{0}$,જ્યાં $\nu_{0}$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે:
$h\nu = h\nu_{0} + eV_{0}$ --- $(i)$
બીજા કિસ્સા માટે:
$h(\frac{\nu}{2}) = h\nu_{0} + e(\frac{V_{0}}{4})$ --- (ii)
સમીકરણ $(i)$ પરથી,આપણને મળે છે $eV_{0} = h\nu - h\nu_{0}$.
આ કિંમતને સમીકરણ (ii) માં મૂકતા:
$\frac{h\nu}{2} = h\nu_{0} + \frac{1}{4}(h\nu - h\nu_{0})$
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $4$ વડે ગુણતા:
$2h\nu = 4h\nu_{0} + h\nu - h\nu_{0}$
$2h\nu = 3h\nu_{0} + h\nu$
$h\nu = 3h\nu_{0}$
$\nu_{0} = \frac{\nu}{3}$

(A) આપેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = 4t^2 + 6t + 9 \text{ Wb}$ છે।
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ, ઉદ્ભવતું emf $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
તેનું મૂલ્ય લેતા, $\varepsilon = \left| \frac{d\phi}{dt} \right|$.
$\phi$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt}(4t^2 + 6t + 9) = 8t + 6$.
$t = 2 \text{ s}$ સમયે, ઉદ્ભવતું emf:
$\varepsilon = 8(2) + 6 = 16 + 6 = 22 \text{ V}$.

(B) પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ ધરાવતી અનંત સમતલ શીટને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધન વિદ્યુતભારિત સમતલ $(+\sigma)$ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{+}$ સમતલથી દૂરની દિશામાં હોય છે.
ઋણ વિદ્યુતભારિત સમતલ $(-\sigma)$ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{-}$ સમતલ તરફની દિશામાં હોય છે.
બંને સમતલોની વચ્ચે,બંને ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં એટલે કે ધન સમતલથી ઋણ સમતલ તરફ હોય છે.
તેથી,કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{net} = E_{+} + E_{-} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} = \frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$ થાય.
તેની દિશા ધન સમતલથી ઋણ સમતલ તરફ હોય છે.

(D) આપેલ છે કે,વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતા $E = (2i + 3j + k) \ NC^{-1}$.
ક્ષેત્રફળ સદિશ $S = 10i \ m^2$.
કોઈ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ અને ક્ષેત્રફળ સદિશના અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$\phi = E \cdot S$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\phi = (2i + 3j + k) \cdot (10i)$
કારણ કે $i \cdot i = 1$,$j \cdot i = 0$,અને $k \cdot i = 0$ હોવાથી:
$\phi = (2 \times 10) + (3 \times 0) + (1 \times 0)$
$\phi = 20 \ Nm^2 C^{-1}$.

(A) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ થી $r$ અંતરે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર સંરક્ષી હોવાથી,વિદ્યુતભાર $Q$ ને બિંદુ $A$ થી બિંદુ $B$ સુધી લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય પથ પર આધારિત નથી અને તે $W = Q(V_B - V_A)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $A(a, 0)$ પર સ્થિતિમાન $V_A = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} a}$ છે.
બિંદુ $B(0, b)$ પર સ્થિતિમાન $V_B = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} b}$ છે.
તેથી,કરવું પડતું કાર્ય $W = Q \left( \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} b} - \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} a} \right)$ છે.
$W = \frac{q Q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left( \frac{1}{b} - \frac{1}{a} \right) = \frac{q Q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left( \frac{a - b}{a b} \right)$.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર પર લાગતું બળ $F$ એ સૂત્ર $F = I L B \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ મૂલ્યો છે:
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 10 \ A$
લંબાઈ $L = 2 \ m$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.15 \ T$
ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$
આ મૂલ્યોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = 10 \times 2 \times 0.15 \times \sin 45^{\circ}$
$F = 3 \times \frac{1}{\sqrt{2}}$
$F = \frac{3}{\sqrt{2}} \ N$.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલને ફેરવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = MB(1 - \cos \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\theta = 60^{\circ}$,તેથી:
$W = MB(1 - \cos 60^{\circ}) = MB(1 - 0.5) = \frac{MB}{2}$.
તેથી,$MB = 2W$.
ચુંબકીય સોય પર લાગતું ટોર્ક $\tau = MB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tau = (2W) \sin 60^{\circ} = 2W \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} W$.

(B) સમય $t$ પર બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદાર્થ $A$ માટે,$N_A = N_0 e^{-5 \lambda t}$.
પદાર્થ $B$ માટે,$N_B = N_0 e^{-\lambda t}$.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{N_A}{N_B} = (1/e)^2 = e^{-2}$ છે.
સમીકરણો મૂકતા:
$\frac{N_0 e^{-5 \lambda t}}{N_0 e^{-\lambda t}} = e^{-2}$
$e^{-5 \lambda t + \lambda t} = e^{-2}$
$e^{-4 \lambda t} = e^{-2}$
ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$-4 \lambda t = -2$
$t = \frac{2}{4 \lambda} = \frac{1}{2 \lambda}$.

(D) અંતર્ગોળ અરીસા માટે, વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે મોટવણી $m$ ઋણ હોય છે, તેથી $m = -3$ અને $m = -2$.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ અને મોટવણી $m = -\frac{v}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $v = -mu$ મળે છે.
કિસ્સો $1$: $u_1 = -x$, $m_1 = -3$, તેથી $v_1 = -(-3)(-x) = -3x$.
$\frac{1}{-3x} + \frac{1}{-x} = \frac{1}{f} \implies \frac{-1-3}{3x} = \frac{1}{f} \implies \frac{1}{f} = \frac{-4}{3x} \quad (i)$
કિસ્સો $2$: $u_2 = -(x+5)$, $m_2 = -2$, તેથી $v_2 = -(-2)(-(x+5)) = -2(x+5)$.
$\frac{1}{-2(x+5)} + \frac{1}{-(x+5)} = \frac{1}{f} \implies \frac{-1-2}{2(x+5)} = \frac{1}{f} \implies \frac{1}{f} = \frac{-3}{2(x+5)} \quad (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{-4}{3x} = \frac{-3}{2(x+5)} \implies 8(x+5) = 9x \implies 8x + 40 = 9x \implies x = 40 \ cm$.
$x = 40$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$\frac{1}{f} = \frac{-4}{3(40)} = \frac{-4}{120} = \frac{-1}{30} \implies f = -30 \ cm$.
કેન્દ્રલંબાઈનું મૂલ્ય $30 \ cm$ છે.

(A) આપેલ છે: શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશનો વેગ $(c)$ = $3 \times 10^{8} \text{ m/s}$,કાચની પ્લેટની જાડાઈ $(d)$ = $10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$,અને વક્રીભવનાંક $(\mu)$ = $1.5$.
કાચની પ્લેટમાં પ્રકાશનો વેગ $(v)$ નીચે મુજબ મળે: $v = \frac{c}{\mu} = \frac{3 \times 10^{8}}{1.5} = 2 \times 10^{8} \text{ m/s}$.
કાચની પ્લેટમાંથી પસાર થવા માટે લાગતો સમય $(t)$ = $\frac{d}{v}$.
કિંમતો મૂકતા: $t = \frac{0.1 \text{ m}}{2 \times 10^{8} \text{ m/s}} = 0.05 \times 10^{-8} \text{ s} = 0.5 \times 10^{-9} \text{ s}$.
કારણ કે $1 \text{ નેનોસેકન્ડ} = 10^{-9} \text{ s}$,તેથી લાગતો સમય $0.5 \text{ ns}$ છે.