વિકલ સમીકરણ $3 x \log _{e} x \frac{d y}{d x}+y=2 \log _{e} x$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y \sec^2 x = \tan x \sec^2 x$ નો ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $y = y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x\frac{dy}{dx} + y = x \ln x$,$(x > 1)$ નો ઉકેલ છે. જો $2y(2) = \ln 4 - 1$ હોય,તો $y(e)$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $y^2 dx + \left( x - \frac{1}{y} \right) dy = 0$ માટે,જો $y(1) = 1$ હોય,તો $x = $ શોધો.

ધારો કે $y = y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(x^2 + 1)^2 \frac{dy}{dx} + 2x(x^2 + 1)y = 1$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y(0) = 0$ છે. જો $\sqrt{a} y(1) = \frac{\pi}{32}$ હોય,તો $a$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $y=f(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}+\frac{xy}{x^2-1}=\frac{x^6+4x}{\sqrt{1-x^2}}$ નું ઉકેલ છે,જ્યાં $-1 < x < 1$ અને $f(0)=0$ છે. જો $6 \int_{-1/2}^{1/2} f(x) dx = 2\pi - \alpha$ હોય,તો $\alpha^2$ ની કિંમત . . . . . . છે.