WBJEE 2012 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,निकाय पर कुल बाह्य बल शून्य है,इसलिए $y$-अक्ष (गति की प्रारंभिक दिशा के लंबवत) के अनुदिश संवेग संरक्षित रहना चाहिए।
प्रारंभ में,निकाय का $y$-अक्ष के अनुदिश संवेग शून्य है।
टक्कर के बाद,गेंदों $A$ और $B$ के लिए $y$-अक्ष के अनुदिश संवेग के घटक समान और विपरीत होने चाहिए।
मान लीजिए $m_1 = 4 \ kg$ और $m_2 = 1 \ kg$ है।
$m_1 v_1 \sin(30^{\circ}) = m_2 v_2 \sin(60^{\circ})$
$4 \cdot v_1 \cdot \frac{1}{2} = 1 \cdot v_2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$2 v_1 = \frac{\sqrt{3}}{2} v_2$
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

(B) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,किसी ग्रह के परिक्रमण काल $(T)$ का वर्ग सूर्य से उसकी औसत दूरी $(R)$ के घन के समानुपाती होता है।
$T^{2} \propto R^{3}$
माना पृथ्वी का परिक्रमण काल $T_{1} = D$ है जो $L_{1}$ दूरी पर है,और दूसरे ग्रह का परिक्रमण काल $T_{2}$ है जो $L_{2}$ दूरी पर है।
अतः,$\frac{T_{2}^{2}}{T_{1}^{2}} = \frac{L_{2}^{3}}{L_{1}^{3}}$
$\frac{T_{2}^{2}}{D^{2}} = \left(\frac{L_{2}}{L_{1}}\right)^{3}$
$T_{2}^{2} = D^{2} \left(\frac{L_{2}}{L_{1}}\right)^{3}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$T_{2} = D \left(\frac{L_{2}}{L_{1}}\right)^{3/2} \text{ दिन}$.

(D) दिया गया है: बक्से का द्रव्यमान $m = 2 kg$,स्थैतिक घर्षण गुणांक $\mu = 0.2$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 ms^{-2}$ है।
बक्से को कार की छत पर स्थिर रहने के लिए,बक्से पर कार्य करने वाले छद्म बल (pseudo-force) को स्थैतिक घर्षण बल द्वारा संतुलित किया जाना चाहिए।
अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max} = \mu N = \mu mg$ द्वारा दिया जाता है।
बक्से को कार के साथ त्वरित करने के लिए आवश्यक बल $F = ma$ है।
दोनों को बराबर करने पर,हमें $ma = \mu mg$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$a = \mu g$ है।
मान रखने पर: $a = 0.2 \times 10 = 2 ms^{-2}$।
अतः,कार का अधिकतम त्वरण $2 ms^{-2}$ है।

(B) निकाय का कुल द्रव्यमान $M = 4 \ kg + 2 \ kg + 1 \ kg = 7 \ kg$ है।
चूंकि सतह घर्षण रहित है,निकाय का त्वरण $a = \frac{F}{M} = \frac{14 \ N}{7 \ kg} = 2 \ m/s^2$ है।
$4 \ kg$ और $2 \ kg$ के ब्लॉक के बीच संपर्क बल $N$ ज्ञात करने के लिए,हम $2 \ kg$ और $1 \ kg$ के ब्लॉकों के संयुक्त निकाय (कुल द्रव्यमान $m' = 3 \ kg$) की गति पर विचार करते हैं।
बल $N$ इस $3 \ kg$ के संयुक्त निकाय पर कार्य करने वाला एकमात्र क्षैतिज बल है जो इसे $2 \ m/s^2$ के त्वरण से गति प्रदान करता है।
इसलिए,$N = m' \times a = 3 \ kg \times 2 \ m/s^2 = 6 \ N$.

(D) माना वस्तु का द्रव्यमान $m$ ग्राम है और वस्तु का आयतन $V$ $\text{cm}^3$ है। पानी का घनत्व $\rho_w = 1 \text{ g/cm}^3$ है। आभासी भार $W'$ को $W' = W_{actual} - F_B$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $F_B$ उत्प्लावन बल है।
$1.2$ विशिष्ट गुरुत्व वाले द्रव के लिए,घनत्व $\rho_l = 1.2 \text{ g/cm}^3$ है। वजन $44 \text{ gwt}$ है,इसलिए:
$44 = m - 1.2V$ $(i)$
पानी के लिए,वजन $50 \text{ gwt}$ है,इसलिए:
$50 = m - V$ $(ii)$
समीकरण $(ii)$ में से $(i)$ को घटाने पर:
$(50 - 44) = (m - V) - (m - 1.2V)$
$6 = 0.2V$
$V = 30 \text{ cm}^3$
$V = 30$ को समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$50 = m - 30$
$m = 80 \text{ g}$

(C) नली से बहने वाले पानी जैसे तरल का वह वेग जिसके नीचे प्रवाह धारा रेखीय (streamline) बना रहता है और जिसके ऊपर प्रवाह विक्षुब्ध (turbulent) हो जाता है,उसे क्रांतिक वेग (critical velocity) कहा जाता है।

(C) तार का विस्तार $\Delta L$ सूत्र $\Delta L = \frac{F \cdot L}{A \cdot Y}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $F$ तनाव बल है,$L$ लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $Y$ यंग मापांक है।
चूंकि $A = \pi \cdot (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$,हम लिख सकते हैं $\Delta L = \frac{4 F L}{\pi d^2 Y}$।
यहाँ $F$ और $Y$ स्थिर हैं,इसलिए $\Delta L \propto \frac{L}{d^2}$।
प्रत्येक विकल्प के लिए $\frac{L}{d^2}$ का अनुपात ज्ञात करने पर:
$A: \frac{200}{(0.5)^2} = 800$
$B: \frac{300}{(1.0)^2} = 300$
$C: \frac{50}{(0.05)^2} = 20000$
$D: \frac{100}{(0.2)^2} = 2500$
इन मानों की तुलना करने पर,विकल्प $C$ के लिए अनुपात अधिकतम है।

(C) जमीन पर,प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2} m u^{2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $u$ प्रारंभिक वेग है।
प्रक्षेप्य पथ के उच्चतम बिंदु पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है और कण का वेग केवल क्षैतिज घटक के बराबर होता है,जो $v_x = u \cos \theta$ है।
प्रक्षेपण कोण $\theta = 60^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए उच्चतम बिंदु पर क्षैतिज वेग $v_x = u \cos 60^{\circ} = u \times \frac{1}{2} = \frac{u}{2}$ है।
उच्चतम बिंदु पर गतिज ऊर्जा $E^{\prime} = \frac{1}{2} m v_x^{2}$ द्वारा दी जाती है।
$v_x$ का मान रखने पर,हमें $E^{\prime} = \frac{1}{2} m \left( \frac{u}{2} \right)^{2} = \frac{1}{2} m \left( \frac{u^{2}}{4} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2} m u^{2} \right)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $E = \frac{1}{2} m u^{2}$ है,इसलिए $E^{\prime} = \frac{E}{4}$ होगा।

(C) दिया गया है: ऊँचाई $h = 80 \ m$,प्रारंभिक क्षैतिज वेग $v = 8 \ ms^{-1}$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ ms^{-2}$।
ऊर्ध्वाधर गति के लिए,जमीन तक पहुँचने में लगा समय समीकरण $h = \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $80 = \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$.
$80 = 5t^2 \implies t^2 = 16 \implies t = 4 \ s$.
क्षैतिज गति के लिए,तय की गई दूरी $d = v \times t$ द्वारा प्राप्त होती है।
मान रखने पर: $d = 8 \times 4 = 32 \ m$.
अतः,समय $t = 4 \ s$ और दूरी $d = 32 \ m$ है।

(B) सरल आवर्त गति के लिए दिए गए समीकरण हैं:
$x_{1}=A \sin \left(\omega t+\frac{\pi}{6}\right)$
$x_{2}=A \cos (\omega t)$
कलांतर ज्ञात करने के लिए,हमें दोनों समीकरणों को एक ही त्रिकोणमितीय फलन (साइन) में व्यक्त करना होगा।
सर्वसमिका $\cos(\theta) = \sin(\theta + \frac{\pi}{2})$ का उपयोग करते हुए,हम $x_{2}$ को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$x_{2}=A \sin \left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right)$
अब,पहली गति की कला $\phi_{1} = \omega t + \frac{\pi}{6}$ है और दूसरी गति की कला $\phi_{2} = \omega t + \frac{\pi}{2}$ है।
कलांतर $\Delta \phi$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\Delta \phi = \phi_{2} - \phi_{1}$
$\Delta \phi = \left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right) - \left(\omega t + \frac{\pi}{6}\right)$
$\Delta \phi = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi - \pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$
अतः,कलांतर $\frac{\pi}{3}$ है।

(C) $1$. $0^{\circ} C$ पर $100 \ g$ बर्फ को $0^{\circ} C$ पर पानी में बदलने के लिए आवश्यक ऊष्मा: $Q_1 = m \times L_f = 100 \ g \times 80 \ cal/g = 8000 \ cal$.
$2$. $100 \ g$ पानी का तापमान $0^{\circ} C$ से $100^{\circ} C$ तक बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा: $Q_2 = m \times s \times \Delta T = 100 \ g \times 1 \ cal/g^{\circ} C \times 100^{\circ} C = 10000 \ cal$.
$3$. अब तक उपयोग की गई कुल ऊष्मा: $Q_{total} = Q_1 + Q_2 = 8000 + 10000 = 18000 \ cal$.
$4$. शेष ऊष्मा: $Q_{rem} = 22320 \ cal - 18000 \ cal = 4320 \ cal$.
$5$. यह शेष ऊष्मा $100^{\circ} C$ पर पानी के कुछ हिस्से को भाप में बदल देगी: $m_{steam} = Q_{rem} / L_v = 4320 \ cal / 540 \ cal/g = 8 \ g$.
$6$. अंत में बचा हुआ पानी: $100 \ g - 8 \ g = 92 \ g$ पानी $100^{\circ} C$ पर।

(D) किसी भी तापमान पैमाने और सेल्सियस पैमाने के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{X - \text{Lower Fixed Point}}{\text{Upper Fixed Point} - \text{Lower Fixed Point}} = \frac{C}{100}$.
यहाँ, निचला निश्चित बिंदु $10^{\circ}$ है और ऊपरी निश्चित बिंदु $130^{\circ}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{X - 10}{130 - 10} = \frac{40}{100}$.
$\frac{X - 10}{120} = \frac{40}{100}$.
$X - 10 = \frac{40}{100} \times 120$.
$X - 10 = 0.4 \times 120 = 48$.
$X = 48 + 10 = 58^{\circ}$.

(C) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब ध्वनि का स्रोत एक स्थिर प्रेक्षक की ओर बढ़ता है,तो आभासी आवृत्ति $f'$ इस प्रकार दी जाती है:
$f' = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
जहाँ:
$f = 640 \ Hz$ (स्रोत की आवृत्ति)
$v = 340 \ ms^{-1}$ (ध्वनि की गति)
$v_s = 20 \ ms^{-1}$ (स्रोत/ट्रेन की गति)
मान रखने पर:
$f' = 640 \left( \frac{340}{340 - 20} \right)$
$f' = 640 \left( \frac{340}{320} \right)$
$f' = 640 \times 1.0625 = 680 \ Hz$
अतः,प्लेटफॉर्म पर खड़े व्यक्ति को सुनाई देने वाली आवृत्ति $680 \ Hz$ होगी।

(D) बंद पाइप के लिए,$n$-वें ओवरटोन की आवृत्ति $f_{c} = \frac{(2n+1)v}{4l_{1}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ ओवरटोन की संख्या है। प्रथम ओवरटोन $(n=1)$ के लिए,$f_{c} = \frac{3v}{4l_{1}}$ है।
खुले पाइप के लिए,$n$-वें ओवरटोन की आवृत्ति $f_{o} = \frac{(n+1)v}{2l_{2}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ ओवरटोन की संख्या है। प्रथम ओवरटोन $(n=1)$ के लिए,$f_{o} = \frac{2v}{2l_{2}} = \frac{v}{l_{2}}$ है।
यह दिया गया है कि आवृत्तियाँ समान हैं: $\frac{3v}{4l_{1}} = \frac{v}{l_{2}}$।
अनुपात के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{l_{1}}{l_{2}} = \frac{3}{4}$।

(A) दी गई तरंग समीकरण $y = A \sin \left[ \frac{2 \pi}{\lambda} (vt - x) \right]$ है।
इसे मानक समीकरण $y = A \sin (\omega t - kx)$ से तुलना करने पर,हमें $\omega = \frac{2 \pi v}{\lambda}$ और $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$ प्राप्त होता है।
कण का वेग $v_p = \frac{\partial y}{\partial t} = A \omega \cos \left[ \frac{2 \pi}{\lambda} (vt - x) \right]$ होता है।
कण का अधिकतम वेग $(v_p)_{\max} = A \omega = A \left( \frac{2 \pi v}{\lambda} \right)$ है।
प्रश्न के अनुसार,$(v_p)_{\max} = 3v$ है।
अतः,$A \left( \frac{2 \pi v}{\lambda} \right) = 3v$ है।
दोनों पक्षों से $v$ को हटाने पर,$\frac{2 \pi A}{\lambda} = 3$ प्राप्त होता है।
$\lambda$ के लिए हल करने पर,$\lambda = \frac{2 \pi A}{3}$ प्राप्त होता है।

(B) $x$ दूरी तक खींची गई स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k x^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है।
प्रथम स्थिति में,विस्तार $x_1 = 10 \ cm = 0.1 \ m$ है। अतः,$E = \frac{1}{2} k (0.1)^2 = 0.005 k$.
दूसरी स्थिति में,स्प्रिंग को $10 \ cm$ और खींचा जाता है,इसलिए कुल विस्तार $x_2 = 10 \ cm + 10 \ cm = 20 \ cm = 0.2 \ m$ है।
नई स्थितिज ऊर्जा $E'$ का मान $E' = \frac{1}{2} k (0.2)^2 = \frac{1}{2} k (4 \times 0.01) = 4 \times (\frac{1}{2} k (0.1)^2)$ होगा।
इसलिए,$E' = 4 E$.

(D) अभिलक्षणिक $X$-किरणों के लिए मोजले के नियम के अनुसार,उत्सर्जित $X$-किरणों की आवृत्ति $v$,परमाणु क्रमांक $Z$ से $v \propto (Z - b)^2$ के रूप में संबंधित होती है,जहाँ $b$ एक स्क्रीनिंग स्थिरांक है। $K_{\alpha}$ रेखा के लिए,$b = 1$ होता है।
दोनों तत्वों के लिए समान श्रेणी मानते हुए,हमारे पास $v \propto Z^2$ है।
परमाणु क्रमांकों का अनुपात $Z_{A} : Z_{B} = 1 : 2$ दिया गया है।
अतः,आवृत्तियों का अनुपात होगा:
$\frac{v_{A}}{v_{B}} = \left( \frac{Z_{A}}{Z_{B}} \right)^2$
$\frac{v_{A}}{v_{B}} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$
इस प्रकार,$v_{A} : v_{B} = 1 : 4$ है।

(D) मान लीजिए कि संधारित्र $C$ ($X$ और $Y$ के बीच जुड़ा हुआ) के सिरों पर विभवांतर $V_{XY} = 60 \ V$ है।
परिपथ में एक संधारित्र $C$ और उसके समानांतर श्रेणीक्रम में जुड़े $2C$,$C$,और $2C$ संधारित्र हैं।
चूंकि संधारित्र $2C$,$C$,और $2C$ श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए उनमें से समान आवेश $q$ प्रवाहित होता है।
श्रेणी शाखा पर विभवांतर $V_{XY} = 60 \ V$ है।
श्रेणी शाखा की तुल्य धारिता इस प्रकार है:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{2C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{2C} = \frac{1+2+1}{2C} = \frac{4}{2C} = \frac{2}{C}$
अतः,$C_{eq} = \frac{C}{2}$।
श्रेणी शाखा में प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $q$ है:
$q = C_{eq} \times V_{XY} = \frac{C}{2} \times 60 \ V = 30C$।
बिंदुओं $M$ और $N$ के बीच विभवांतर उनके बीच स्थित संधारित्र $C$ के सिरों पर विभवांतर है।
$V_{MN} = \frac{q}{C} = \frac{30C}{C} = 30 \ V$।

(A) प्रतिरोधक में ऊष्मा उत्पन्न होने की दर (शक्ति) का सूत्र $H = \frac{V^2}{R}$ है।
पहली स्थिति में,शक्ति $H = \frac{V^2}{R}$ है।
दूसरी स्थिति में,नया वोल्टेज $V' = \frac{V}{3}$ और नया प्रतिरोध $R' = 2R$ है।
ऊष्मा उत्पन्न होने की नई दर $H'$ इस प्रकार है:
$H' = \frac{(V')^2}{R'} = \frac{(\frac{V}{3})^2}{2R} = \frac{\frac{V^2}{9}}{2R} = \frac{V^2}{18R}$.
चूंकि $H = \frac{V^2}{R}$,इसलिए इस मान को समीकरण में रखने पर:
$H' = \frac{H}{18}$.

(B) धातु के तार के लिए,तापमान बढ़ने पर प्रतिरोध $R$ बढ़ता है।
$I-V$ ग्राफ की ढाल (slope) $\frac{I}{V} = \frac{1}{R}$ द्वारा दी जाती है।
चित्र से,$T_{1}$ के संगत रेखा की ढाल $T_{2}$ के संगत रेखा की ढाल से अधिक है।
इसलिए,$\frac{1}{R_{1}} > \frac{1}{R_{2}}$,जिसका अर्थ है $R_{1} < R_{2}$।
चूंकि तापमान बढ़ने पर प्रतिरोध बढ़ता है,इसलिए $R_{1} < R_{2}$ का अर्थ है $T_{1} < T_{2}$।

(C) बल्ब का प्रतिरोध $R$ स्थिर रहता है और इसे इसके रेटेड मानों द्वारा निर्धारित किया जाता है:
$R = \frac{V_{rated}^2}{P_{rated}} = \frac{200^2}{50} = \frac{40000}{50} = 800 \, \Omega$
जब इसे $V' = 100 V$ के नए आपूर्ति वोल्टेज से जोड़ा जाता है,तो बल्ब द्वारा खपत की गई नई शक्ति $P'$ इस प्रकार है:
$P' = \frac{(V')^2}{R} = \frac{100^2}{800} = \frac{10000}{800} = 12.5 \, W$
अतः,बल्ब की वर्तमान शक्ति $12.5 \, W$ है।

(A) सबसे पहले,परिपथ का तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करें। $4 k\Omega$ और $2 k\Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए उनका तुल्य प्रतिरोध $R_s = 4 k\Omega + 2 k\Omega = 6 k\Omega$ है।
यह $6 k\Omega$ का तुल्य प्रतिरोध $3 k\Omega$ के प्रतिरोधक के साथ समांतर क्रम में है। उनका तुल्य प्रतिरोध $R_p$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{6 k\Omega} + \frac{1}{3 k\Omega} = \frac{1+2}{6 k\Omega} = \frac{3}{6 k\Omega} = \frac{1}{2 k\Omega}$
अतः,$R_p = 2 k\Omega$ है।
अब,परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = 6 k\Omega + R_p = 6 k\Omega + 2 k\Omega = 8 k\Omega$ है।
$72 V$ की बैटरी से प्रवाहित कुल धारा $I$ है:
$I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{72 V}{8 k\Omega} = 9 mA$।
यह धारा $I = 9 mA$,$6 k\Omega$ के प्रतिरोधक से होकर बहती है और फिर जंक्शन पर $3 k\Omega$ की शाखा में और $4 k\Omega$ व $2 k\Omega$ के श्रेणीक्रम वाली शाखा में विभाजित हो जाती है।
मान लीजिए $2 k\Omega$ के प्रतिरोधक से प्रवाहित धारा $i$ है। समांतर शाखाओं में वोल्टेज समान होता है:
$i \times (4 k\Omega + 2 k\Omega) = (I - i) \times 3 k\Omega$
$i \times 6 k\Omega = (9 mA - i) \times 3 k\Omega$
$2i = 9 mA - i$
$3i = 9 mA$
$i = 3 mA$।

(D) एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज में,आसन्न भुजाओं के प्रतिरोधों का अनुपात समान होना चाहिए,अर्थात $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$।
मान लीजिए कि चार भुजाएँ $P = 10 \Omega$,$Q = 10 \Omega$,$R = 10 \Omega$ और $S = 30 \Omega$ हैं।
ब्रिज को संतुलित करने के लिए,चौथी भुजा में प्रभावी प्रतिरोध $S'$ ऐसा होना चाहिए कि $\frac{10}{10} = \frac{10}{S'}$,जिससे $S' = 10 \Omega$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए कि $30 \Omega$ के प्रतिरोध के साथ समानांतर में $x$ प्रतिरोध जोड़ा जाता है ताकि समतुल्य प्रतिरोध $10 \Omega$ हो जाए।
समानांतर संयोजन के लिए सूत्र $\frac{1}{S'} = \frac{1}{30} + \frac{1}{x}$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{10} = \frac{1}{30} + \frac{1}{x}$।
$\frac{1}{x} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{3-1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$।
अतः,$x = 15 \Omega$।

(A) इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_e = \frac{h}{m_e v_e}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v_e = c/2$ है। अतः,$\lambda_e = \frac{h}{m_e (c/2)} = \frac{2h}{m_e c}$।
फोटॉन के लिए,तरंगदैर्ध्य $\lambda_p = \frac{h}{p_p} = \frac{h}{E_p/c} = \frac{hc}{E_p}$ है,जहाँ $E_p$ फोटॉन की ऊर्जा है।
दिया गया है कि $\lambda_e = \lambda_p$,इसलिए $\frac{2h}{m_e c} = \frac{hc}{E_p}$।
इससे $E_p = \frac{m_e c^2}{2}$ प्राप्त होता है।
इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K_e = \frac{1}{2} m_e v_e^2 = \frac{1}{2} m_e (c/2)^2 = \frac{1}{8} m_e c^2$ है।
गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{K_e}{E_p} = \frac{\frac{1}{8} m_e c^2}{\frac{1}{2} m_e c^2} = \frac{1}{4}$ है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $h\nu = h\nu_{0} + eV_{0}$,जहाँ $\nu_{0}$ देहली आवृत्ति है।
प्रथम स्थिति के लिए:
$h\nu = h\nu_{0} + eV_{0}$ --- $(i)$
द्वितीय स्थिति के लिए:
$h(\frac{\nu}{2}) = h\nu_{0} + e(\frac{V_{0}}{4})$ --- (ii)
समीकरण $(i)$ से,हमें प्राप्त होता है $eV_{0} = h\nu - h\nu_{0}$।
इस मान को समीकरण (ii) में रखने पर:
$\frac{h\nu}{2} = h\nu_{0} + \frac{1}{4}(h\nu - h\nu_{0})$
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $4$ से गुणा करने पर:
$2h\nu = 4h\nu_{0} + h\nu - h\nu_{0}$
$2h\nu = 3h\nu_{0} + h\nu$
$h\nu = 3h\nu_{0}$
$\nu_{0} = \frac{\nu}{3}$

(A) दिया गया चुंबकीय फ्लक्स $\phi = 4t^2 + 6t + 9 \text{ Wb}$ है।
फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार, प्रेरित emf $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
परिमाण लेने पर, $\varepsilon = \left| \frac{d\phi}{dt} \right|$.
$\phi$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt}(4t^2 + 6t + 9) = 8t + 6$.
$t = 2 \text{ s}$ पर, प्रेरित emf:
$\varepsilon = 8(2) + 6 = 16 + 6 = 22 \text{ V}$.

(B) पृष्ठ आवेश घनत्व $\sigma$ वाली एक अनंत समतल शीट के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}$ द्वारा दिया जाता है।
धनावेशित समतल $(+\sigma)$ के लिए,विद्युत क्षेत्र $E_{+}$ समतल से दूर की ओर इंगित करता है।
ऋणावेशित समतल $(-\sigma)$ के लिए,विद्युत क्षेत्र $E_{-}$ समतल की ओर इंगित करता है।
दोनों समतलों के बीच,दोनों क्षेत्र एक ही दिशा में यानी धनात्मक समतल से ऋणात्मक समतल की ओर कार्य करते हैं।
इसलिए,कुल विद्युत क्षेत्र $E_{net} = E_{+} + E_{-} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} = \frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$ होगा।
इसकी दिशा धनात्मक समतल से ऋणात्मक समतल की ओर होती है।

(D) दिया गया है,विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E = (2i + 3j + k) \ NC^{-1}$ है।
क्षेत्रफल सदिश $S = 10i \ m^2$ है।
किसी सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi$,विद्युत क्षेत्र सदिश और क्षेत्रफल सदिश के अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा परिभाषित होता है:
$\phi = E \cdot S$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\phi = (2i + 3j + k) \cdot (10i)$
चूंकि $i \cdot i = 1$,$j \cdot i = 0$,और $k \cdot i = 0$ होता है:
$\phi = (2 \times 10) + (3 \times 0) + (1 \times 0)$
$\phi = 20 \ Nm^2 C^{-1}$।

(A) बिंदु आवेश $q$ से $r$ दूरी पर विद्युत विभव $V = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र संरक्षी होता है,इसलिए आवेश $Q$ को बिंदु $A$ से बिंदु $B$ तक ले जाने में किया गया कार्य पथ पर निर्भर नहीं करता है और यह $W = Q(V_B - V_A)$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदु $A(a, 0)$ पर विभव $V_A = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} a}$ है।
बिंदु $B(0, b)$ पर विभव $V_B = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} b}$ है।
अतः,किया गया कार्य $W = Q \left( \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} b} - \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} a} \right)$ है।
$W = \frac{q Q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left( \frac{1}{b} - \frac{1}{a} \right) = \frac{q Q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left( \frac{a - b}{a b} \right)$.

(D) चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही तार पर लगने वाला बल $F$ सूत्र $F = I L B \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मान हैं:
धारा $I = 10 \ A$
लंबाई $L = 2 \ m$
चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.15 \ T$
कोण $\theta = 45^{\circ}$
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$F = 10 \times 2 \times 0.15 \times \sin 45^{\circ}$
$F = 3 \times \frac{1}{\sqrt{2}}$
$F = \frac{3}{\sqrt{2}} \ N$.

(B) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव को घुमाने में किया गया कार्य $W = MB(1 - \cos \theta)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\theta = 60^{\circ}$,इसलिए:
$W = MB(1 - \cos 60^{\circ}) = MB(1 - 0.5) = \frac{MB}{2}$.
अतः,$MB = 2W$.
चुंबकीय सुई पर लगने वाला टॉर्क $\tau = MB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\tau = (2W) \sin 60^{\circ} = 2W \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} W$.

(B) समय $t$ पर शेष नाभिकों की संख्या $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
पदार्थ $A$ के लिए,$N_A = N_0 e^{-5 \lambda t}$.
पदार्थ $B$ के लिए,$N_B = N_0 e^{-\lambda t}$.
दिया गया अनुपात $\frac{N_A}{N_B} = (1/e)^2 = e^{-2}$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{N_0 e^{-5 \lambda t}}{N_0 e^{-\lambda t}} = e^{-2}$
$e^{-5 \lambda t + \lambda t} = e^{-2}$
$e^{-4 \lambda t} = e^{-2}$
घातांकों की तुलना करने पर:
$-4 \lambda t = -2$
$t = \frac{2}{4 \lambda} = \frac{1}{2 \lambda}$.

(D) अवतल दर्पण के लिए, वास्तविक प्रतिबिंब के लिए आवर्धन $m$ ऋणात्मक होता है, इसलिए $m = -3$ और $m = -2$ है।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ और आवर्धन $m = -\frac{v}{u}$ का उपयोग करने पर, हमें $v = -mu$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $u_1 = -x$, $m_1 = -3$, इसलिए $v_1 = -(-3)(-x) = -3x$।
$\frac{1}{-3x} + \frac{1}{-x} = \frac{1}{f} \implies \frac{-1-3}{3x} = \frac{1}{f} \implies \frac{1}{f} = \frac{-4}{3x} \quad (i)$
स्थिति $2$: $u_2 = -(x+5)$, $m_2 = -2$, इसलिए $v_2 = -(-2)(-(x+5)) = -2(x+5)$।
$\frac{1}{-2(x+5)} + \frac{1}{-(x+5)} = \frac{1}{f} \implies \frac{-1-2}{2(x+5)} = \frac{1}{f} \implies \frac{1}{f} = \frac{-3}{2(x+5)} \quad (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{-4}{3x} = \frac{-3}{2(x+5)} \implies 8(x+5) = 9x \implies 8x + 40 = 9x \implies x = 40 \ cm$।
$x = 40$ को $(i)$ में रखने पर:
$\frac{1}{f} = \frac{-4}{3(40)} = \frac{-4}{120} = \frac{-1}{30} \implies f = -30 \ cm$।
फोकस दूरी का परिमाण $30 \ cm$ है।

(A) दिया गया है: निर्वात में प्रकाश का वेग $(c)$ = $3 \times 10^{8} \text{ m/s}$,कांच की प्लेट की मोटाई $(d)$ = $10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$,और अपवर्तनांक $(\mu)$ = $1.5$.
कांच की प्लेट में प्रकाश का वेग $(v)$ इस प्रकार है: $v = \frac{c}{\mu} = \frac{3 \times 10^{8}}{1.5} = 2 \times 10^{8} \text{ m/s}$.
कांच की प्लेट से गुजरने में लगा समय $(t)$ = $\frac{d}{v}$.
मान रखने पर: $t = \frac{0.1 \text{ m}}{2 \times 10^{8} \text{ m/s}} = 0.05 \times 10^{-8} \text{ s} = 0.5 \times 10^{-9} \text{ s}$.
चूंकि $1 \text{ नैनोसेकंड} = 10^{-9} \text{ s}$,इसलिए लगा समय $0.5 \text{ ns}$ है।