MathematicsQ51–53 of 80 questions
Page 2 of 2 · Gujarati
51
MathematicsEasyMCQWBJEE · 2012
એક પાત્રમાં $8$ લાલ અને $5$ સફેદ દડા છે. યાદચ્છિક રીતે ત્રણ દડા પસંદ કરવામાં આવે છે. તો,બંને રંગના દડા પસંદ થાય તેની સંભાવના કેટલી છે?
A
$\frac{40}{143}$
B
$\frac{70}{143}$
C
$\frac{3}{13}$
D
$\frac{10}{13}$
Solution
(D) $13$ દડામાંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{13}C_{3} = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 286$ છે.
બંને રંગના દડા પસંદ થાય તે ઘટનાનો અર્થ એ છે કે આપણે કાં તો ($2$ લાલ અને $1$ સફેદ) અથવા ($1$ લાલ અને $2$ સફેદ) દડા પસંદ કરીએ છીએ.
$2$ લાલ અને $1$ સફેદ દડો પસંદ કરવાની રીતો $= {}^{8}C_{2} \times {}^{5}C_{1} = 28 \times 5 = 140$.
$1$ લાલ અને $2$ સફેદ દડા પસંદ કરવાની રીતો $= {}^{8}C_{1} \times {}^{5}C_{2} = 8 \times 10 = 80$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 140 + 80 = 220$.
આવશ્યક સંભાવના $= \frac{220}{286} = \frac{10}{13}$.
બંને રંગના દડા પસંદ થાય તે ઘટનાનો અર્થ એ છે કે આપણે કાં તો ($2$ લાલ અને $1$ સફેદ) અથવા ($1$ લાલ અને $2$ સફેદ) દડા પસંદ કરીએ છીએ.
$2$ લાલ અને $1$ સફેદ દડો પસંદ કરવાની રીતો $= {}^{8}C_{2} \times {}^{5}C_{1} = 28 \times 5 = 140$.
$1$ લાલ અને $2$ સફેદ દડા પસંદ કરવાની રીતો $= {}^{8}C_{1} \times {}^{5}C_{2} = 8 \times 10 = 80$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 140 + 80 = 220$.
આવશ્યક સંભાવના $= \frac{220}{286} = \frac{10}{13}$.
0 likesView Solution
52
MathematicsEasyMCQWBJEE · 2012
જ્યારે $1! + 2! + 95!$ ને $15$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે મળતી શેષ કેટલી છે?
A
$14$
B
$3$
C
$1$
D
$0$
Solution
(B) આપણે $(1! + 2! + 95!) \pmod{15}$ ની શેષ શોધવાની છે.
પ્રથમ,ફેક્ટોરિયલની ગણતરી કરીએ:
$1! = 1$
$2! = 2$
$3! = 6$
$4! = 24$
$5! = 120$
કારણ કે $5! = 120$ અને $120 = 15 \times 8$,તેથી $5!$ એ $15$ વડે વિભાજ્ય છે.
પરિણામે,$n \geq 5$ માટે તમામ ફેક્ટોરિયલ $n!$ એ $15$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,$95! \equiv 0 \pmod{15}$.
પદાવલિ $1! + 2! + 95! \equiv 1 + 2 + 0 \pmod{15} = 3 \pmod{15}$ બને છે.
તેથી,શેષ $3$ છે.
પ્રથમ,ફેક્ટોરિયલની ગણતરી કરીએ:
$1! = 1$
$2! = 2$
$3! = 6$
$4! = 24$
$5! = 120$
કારણ કે $5! = 120$ અને $120 = 15 \times 8$,તેથી $5!$ એ $15$ વડે વિભાજ્ય છે.
પરિણામે,$n \geq 5$ માટે તમામ ફેક્ટોરિયલ $n!$ એ $15$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,$95! \equiv 0 \pmod{15}$.
પદાવલિ $1! + 2! + 95! \equiv 1 + 2 + 0 \pmod{15} = 3 \pmod{15}$ બને છે.
તેથી,શેષ $3$ છે.
0 likesView Solution
53
MathematicsEasyMCQWBJEE · 2012
ધારો કે $f(x)=ax^{2}+bx+c$ અને $g(x)=px^{2}+qx+r$ એવા છે કે જેથી $f(1)=g(1)$,$f(2)=g(2)$ અને $f(3)-g(3)=2$ થાય. તો,$f(4)-g(4)$ ની કિંમત શોધો.
A
$4$
B
$5$
C
$6$
D
$7$
Solution
(C) ધારો કે $h(x) = f(x) - g(x) = (a-p)x^2 + (b-q)x + (c-r)$.
$f(1) = g(1)$ હોવાથી,$h(1) = 0$ થાય.
$f(2) = g(2)$ હોવાથી,$h(2) = 0$ થાય.
$h(x)$ એ $1$ અને $2$ બીજ ધરાવતી દ્વિઘાત બહુપદી હોવાથી,આપણે તેને $h(x) = k(x-1)(x-2)$ તરીકે લખી શકીએ,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
આપણને $f(3) - g(3) = 2$ આપેલ છે,જેનો અર્થ છે કે $h(3) = 2$.
$h(x) = k(x-1)(x-2)$ માં $x=3$ મૂકતા,આપણને $h(3) = k(3-1)(3-2) = k(2)(1) = 2k$ મળે છે.
$h(3) = 2$ હોવાથી,$2k = 2$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $k = 1$.
આમ,$h(x) = 1(x-1)(x-2) = (x-1)(x-2)$.
આપણે $f(4) - g(4)$ શોધવાનું છે,જે $h(4)$ છે.
$h(4) = (4-1)(4-2) = (3)(2) = 6$.
$f(1) = g(1)$ હોવાથી,$h(1) = 0$ થાય.
$f(2) = g(2)$ હોવાથી,$h(2) = 0$ થાય.
$h(x)$ એ $1$ અને $2$ બીજ ધરાવતી દ્વિઘાત બહુપદી હોવાથી,આપણે તેને $h(x) = k(x-1)(x-2)$ તરીકે લખી શકીએ,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
આપણને $f(3) - g(3) = 2$ આપેલ છે,જેનો અર્થ છે કે $h(3) = 2$.
$h(x) = k(x-1)(x-2)$ માં $x=3$ મૂકતા,આપણને $h(3) = k(3-1)(3-2) = k(2)(1) = 2k$ મળે છે.
$h(3) = 2$ હોવાથી,$2k = 2$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $k = 1$.
આમ,$h(x) = 1(x-1)(x-2) = (x-1)(x-2)$.
આપણે $f(4) - g(4)$ શોધવાનું છે,જે $h(4)$ છે.
$h(4) = (4-1)(4-2) = (3)(2) = 6$.
0 likesView Solution
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real WBJEE style covering Mathematics with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D Mathematics papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Run live WBJEE mock exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFrequently Asked Questions
How many Mathematics questions are in WBJEE 2012?
There are 80 Mathematics questions from the WBJEE 2012 paper on Vedclass, each with a detailed step-by-step solution in Gujarati.
Are WBJEE 2012 Mathematics solutions available in Gujarati?
Yes. All solutions on this page are in Gujarati. You can also switch to English or Hindi using the language buttons above the questions.
Can I practice WBJEE 2012 Mathematics as a timed test?
Yes. Use the Vedclass Test Series to attempt a full WBJEE mock test covering Mathematics with time limits and instant score analysis.
Can teachers create Mathematics papers from WBJEE previous year questions?
Yes. The Vedclass Exam Paper Generator lets teachers mix WBJEE Mathematics questions and generate Set A/B/C/D papers in minutes.
For Teachers & Institutes
Build a Custom Mathematics Paper
Pick WBJEE 2012 Mathematics questions, set difficulty, and generate Set A/B/C/D in 2 minutes.