यदि $\{-1, 0, 1\}$ समुच्चय के अवयवों से बने सभी $3 \times 3$ शून्येतर आव्यूहों के समुच्चय में से एक आव्यूह यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,तो उस आव्यूह के विषम-सममित (skew-symmetric) होने की प्रायिकता क्या है?

मान लीजिए $|M|$ एक वर्ग आव्यूह $M$ के सारणिक को दर्शाता है। मान लीजिए $g:\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow R$ वह फलन है जो $g(\theta)=\sqrt{f(\theta)-1}+\sqrt{f\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-1}$ द्वारा परिभाषित है,जहाँ $f(\theta)=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}1 & \sin \theta & 1 \\ -\sin \theta & 1 & \sin \theta \\ -1 & -\sin \theta & 1\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}\sin \pi & \cos \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) & \tan \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right) \\ \sin \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right) & -\cos \frac{\pi}{2} & \log _e\left(\frac{4}{\pi}\right) \\ \cot \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) & \log _e\left(\frac{\pi}{4}\right) & \tan \pi\end{array}\right|$ है। मान लीजिए $p(x)$ एक द्विघात बहुपद है जिसके मूल फलन $g(\theta)$ के अधिकतम और न्यूनतम मान हैं,और $p(2)=2-\sqrt{2}$ है। तो,निम्नलिखित में से कौन सा/से $TRUE$ है/हैं?
$(A) \ p \left(\frac{3+\sqrt{2}}{4}\right) < 0$
$(B) \ p \left(\frac{1+3 \sqrt{2}}{4}\right)>0$
$(C) \ p \left(\frac{5 \sqrt{2}-1}{4}\right)>0$
$(D) \ p \left(\frac{5-\sqrt{2}}{4}\right) < 0$

मान लीजिए $p$ एक गैर-विलक्षण आव्यूह है जैसे कि $I + p + p^2 + .... + p^n = O$ (जहाँ $O$ शून्य आव्यूह को दर्शाता है और $I$ तत्समक आव्यूह को दर्शाता है),तो $p^{-1} = $

$A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right] \Rightarrow A^2-2 A=$

यदि $A$ एक $2 \times 2$ आव्यूह है,जहाँ $\operatorname{det} A = -21$ और $A^3$ का ट्रेस $2024$ है,तो $A$ का ट्रेस ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\alpha \in(0, \infty)$ और $A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & \alpha \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ है। यदि $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(2A-A^{T}) \cdot \operatorname{adj}(A-2A^{T}))=2^8$ है,तो $(\operatorname{det}(A))^2$ का मान ज्ञात कीजिए: