TS EAMCET 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया गया है $b=6, c=9$ और $\sin A=\frac{2 \sqrt{14}}{9}$।
चूंकि $A$ एक न्यून कोण है,$\cos A = \sqrt{1-\sin^2 A} = \sqrt{1-\frac{56}{81}} = \frac{5}{9}$।
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करने पर,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$।
$\frac{5}{9} = \frac{36+81-a^2}{2(6)(9)}$ $\Rightarrow \frac{5}{9} = \frac{117-a^2}{108}$ $\Rightarrow 60 = 117-a^2$ $\Rightarrow a^2 = 57$।
अब,$3a(\cos B+\cos C) = 3a\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} + \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)$।
$= \frac{3(b+c)}{2bc} [a^2 - (b-c)^2]$।
मान रखने पर: $\frac{3(6+9)}{2(6)(9)} [57 - (6-9)^2] = \frac{3(15)}{108} [57 - 9] = \frac{45}{108} \times 48 = 20$।

(A) कारण $(R)$ के लिए: दिया गया है $r:R:r_2 = 1:2.5:6 = 2:5:12$।
मान लीजिए $r=2k, R=5k, r_2=12k$।
सूत्र $r_2-r = 4R \sin^2 \frac{B}{2}$ का उपयोग करने पर,$12k-2k = 4(5k) \sin^2 \frac{B}{2}$।
$10k = 20k \sin^2 \frac{B}{2}$ $\Rightarrow \sin^2 \frac{B}{2} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow \frac{B}{2} = 45^{\circ}$ $\Rightarrow B = 90^{\circ}$।
अतः,कारण $(R)$ सत्य है।
कथन $(A)$ के लिए: दिया गया है $r=6, r_2=36, R=15$।
$r_2-r = 4R \sin^2 \frac{B}{2}$ का उपयोग करने पर,$36-6 = 4(15) \sin^2 \frac{B}{2}$।
$30 = 60 \sin^2 \frac{B}{2}$ $\Rightarrow \sin^2 \frac{B}{2} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow B = 90^{\circ}$।
यदि $B=90^{\circ}$ है,तो $b^2 = a^2+c^2$ होगा। इसलिए,कथन $(A)$ सत्य है।
चूंकि $(R)$,$(A)$ में उपयोग किए गए गुणधर्म के लिए तार्किक आधार प्रदान करता है,इसलिए $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।

(C) दिया गया है कि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2b = a + c$। ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$।
अतः,$2 \sin B = \sin A + \sin C$।
दिया है $A = 2C$,इसलिए $2 \sin B = \sin 2C + \sin C$।
चूंकि $A + B + C = 180^{\circ}$,हमारे पास $B = 180^{\circ} - (A + C) = 180^{\circ} - 3C$ है।
अतः,$2 \sin(180^{\circ} - 3C) = \sin 2C + \sin C$।
$2 \sin 3C = 2 \sin C \cos C + \sin C$।
$2(3 \sin C - 4 \sin^3 C) = \sin C(2 \cos C + 1)$।
चूंकि $\sin C \neq 0$,हमारे पास $2(3 - 4 \sin^2 C) = 2 \cos C + 1$ है।
$6 - 8(1 - \cos^2 C) = 2 \cos C + 1$।
$6 - 8 + 8 \cos^2 C = 2 \cos C + 1$।
$8 \cos^2 C - 2 \cos C - 3 = 0$।
$(4 \cos C + 3)(2 \cos C - 1) = 0$।
$A = 2C$ होने के कारण,$C < 90^{\circ}$,इसलिए $\cos C > 0$। अतः,$\cos C = \frac{3}{4}$।
तब $\sin C = \sqrt{1 - (\frac{3}{4})^2} = \frac{\sqrt{7}}{4}$।
$B = 180^{\circ} - 3C$,इसलिए $\sin B = \sin 3C = \sin C(4 \cos^2 C - 1)$।
$\sin B = \frac{\sqrt{7}}{4} (4(\frac{9}{16}) - 1) = \frac{5\sqrt{7}}{16}$।
अंत में,$b:c = \sin B : \sin C = \frac{5\sqrt{7}}{16} : \frac{\sqrt{7}}{4} = 5:4$।

(D) दिया गया है $\frac{\cos A}{a}=\frac{\cos B}{b}=\frac{\cos C}{c}$।
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$,इसलिए $\frac{\cos A}{a} = \frac{b^2+c^2-a^2}{2abc}$।
अतः,$\frac{b^2+c^2-a^2}{2abc} = \frac{a^2+c^2-b^2}{2abc} = \frac{a^2+b^2-c^2}{2abc}$।
यह दर्शाता है कि $b^2+c^2-a^2 = a^2+c^2-b^2 = a^2+b^2-c^2$।
$b^2+c^2-a^2 = a^2+c^2-b^2$ से,हमें $2b^2 = 2a^2$ प्राप्त होता है,इसलिए $a=b$।
$a^2+c^2-b^2 = a^2+b^2-c^2$ से,हमें $2c^2 = 2b^2$ प्राप्त होता है,इसलिए $b=c$।
अतः,$a=b=c$,जिसका अर्थ है कि $\triangle ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है।
दिया गया है $a=2$,तो क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (2)^2 = \sqrt{3}$ वर्ग इकाई है।

(A) $\triangle ABC$ का परिमाप $a+b+c$ है। इसके कोणों के ज्या का समांतर माध्य $\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{3}$ है।
दिया है: $a+b+c = 6 \times \left(\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{3}\right) = 2(\sin A + \sin B + \sin C)$.
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$ रखने पर:
$2R(\sin A + \sin B + \sin C) = 2(\sin A + \sin B + \sin C)$.
इससे $2R = 2$,अर्थात $R = 1$ प्राप्त होता है।
दिया है $BC = a = 1$,अतः $a = 2R \sin A$ का उपयोग करने पर:
$1 = 2(1) \sin A \implies \sin A = \frac{1}{2}$.
चूंकि $A$ एक त्रिभुज का कोण है,इसलिए $A = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6}$।

(D) दिया गया है कि $r_1 = 2r_2 = 3r_3$.
सूत्र के अनुसार,$s-a = k, s-b = 2k, s-c = 3k$ लेने पर,
$s = 6k$.
अतः $a = 5k, b = 4k, c = 3k$.
अब,$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = \frac{5}{4} + \frac{4}{3} + \frac{3}{5} = \frac{75+80+36}{60} = \frac{191}{60}$.

(D) दिया गया है $r_1=2 r_2=3 r_3$।
सूत्र $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{\Delta}{s-a} = \frac{2\Delta}{s-b} = \frac{3\Delta}{s-c}$
$\frac{1}{s-a} = \frac{2}{s-b}$ से,हमें $s-b = 2s-2a \Rightarrow s = 2a-b$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{s-a} = \frac{3}{s-c}$ से,हमें $s-c = 3s-3a \Rightarrow 2s = 3a-c$ प्राप्त होता है।
$s = \frac{a+b+c}{2}$ को इन समीकरणों में रखने पर:
$a+b+c = 4a-2b \Rightarrow 3a-3b = c$।
$a+b+c = 3a-c \Rightarrow 2a-b = 2c$।
अनुपात ज्ञात करने पर:
$3a-3b = c$ और $2a-b = 2c$ से,$2(3a-3b) = 2a-b$ $\Rightarrow 6a-6b = 2a-b$ $\Rightarrow 4a = 5b$ $\Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{5}{4}$।
तब $c = 3a-3b = 3a - 3(\frac{4a}{5}) = 3a - \frac{12a}{5} = \frac{3a}{5} \Rightarrow \frac{c}{a} = \frac{3}{5}$।
चूंकि $\frac{a}{b} = \frac{5}{4}$ और $\frac{c}{a} = \frac{3}{5}$,इसलिए $\frac{b}{c} = \frac{b}{a} \times \frac{a}{c} = \frac{4}{5} \times \frac{5}{3} = \frac{4}{3}$।
अंत में,$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} = \frac{5}{4} + \frac{4}{3} + \frac{3}{5} = \frac{75+80+36}{60} = \frac{191}{60}$।

(C) दिया गया समीकरण $x^3-11x^2+36x-36=0$ है।
त्रिघातीय समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(x-2)(x-3)(x-6)=0$ प्राप्त होता है।
अतः,बहिःत्रिज्याएँ $r_1=2, r_2=3, r_3=6$ हैं।
हम जानते हैं कि $\frac{1}{r} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1$।
चूँकि $r = \frac{\Delta}{s} = 1$,इसलिए $\Delta = s$ है।
$r_1 = \frac{s}{s-a} = 2$ का उपयोग करने पर,$s = 2s - 2a$,जिससे $2a = s$ प्राप्त होता है।
$r_2 = \frac{s}{s-b} = 3$ का उपयोग करने पर,$s = 3s - 3b$,जिससे $3b = 2s$ प्राप्त होता है।
$r_3 = \frac{s}{s-c} = 6$ का उपयोग करने पर,$s = 6s - 6c$,जिससे $6c = 5s$ प्राप्त होता है।
चूँकि $s = \frac{a+b+c}{2}$,इसलिए $2s = a+b+c$ है।
$a = \frac{s}{2}, b = \frac{2s}{3}, c = \frac{5s}{6}$ को $a+b+c = 2s$ में रखने पर:
$\frac{s}{2} + \frac{2s}{3} + \frac{5s}{6} = \frac{3s+4s+5s}{6} = \frac{12s}{6} = 2s$।
यह किसी भी $s$ के लिए सत्य है। परिमाप $2s$ ज्ञात करने के लिए,हम $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = s$ का उपयोग करते हैं।
$\sqrt{s(s-\frac{s}{2})(s-\frac{2s}{3})(s-\frac{5s}{6})} = s$ $\Rightarrow \sqrt{s(\frac{s}{2})(\frac{s}{3})(\frac{s}{6})} = s$ $\Rightarrow \sqrt{\frac{s^4}{36}} = s$ $\Rightarrow \frac{s^2}{6} = s$।
चूँकि $s \neq 0$,इसलिए $s = 6$ है।
अतः,परिमाप $2s = 2(6) = 12$ है।

(B) दिया गया है $a=7, b=8, c=9$।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{7+8+9}{2} = 12$।
क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{12(12-7)(12-8)(12-9)} = \sqrt{12 \times 5 \times 4 \times 3} = \sqrt{720} = 12\sqrt{5}$।
हम जानते हैं कि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}, r_2 = \frac{\Delta}{s-b}, r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$।
अतः,$\frac{1}{r_1^2}+\frac{1}{r_2^2}+\frac{1}{r_3^2} = \frac{(s-a)^2+(s-b)^2+(s-c)^2}{\Delta^2}$।
मान रखने पर:
$= \frac{(12-7)^2+(12-8)^2+(12-9)^2}{720} = \frac{5^2+4^2+3^2}{720} = \frac{25+16+9}{720} = \frac{50}{720} = \frac{5}{72}$।

(D) दिया है $b=6, c=7$ और $\tan \frac{A}{2}=\frac{1}{\sqrt{6}}$.
सूत्र $\cos A = \frac{1-\tan^2(A/2)}{1+\tan^2(A/2)}$ का उपयोग करने पर:
$\cos A = \frac{1-1/6}{1+1/6} = \frac{5/6}{7/6} = \frac{5}{7}$.
कोसाइन नियम $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{5}{7} = \frac{6^2+7^2-a^2}{2 \times 6 \times 7} = \frac{36+49-a^2}{84}$.
$60 = 85 - a^2$ $\Rightarrow a^2 = 25$ $\Rightarrow a=5$.
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{5+6+7}{2} = 9$.
अंतःत्रिज्या $r = (s-a) \tan \frac{A}{2}$.
$r = (9-5) \times \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{4}{\sqrt{6}} = \frac{4\sqrt{6}}{6} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$.

(A) दिया गया है $a : b : c = 4 : 5 : 6$. मान लीजिए $a = 4k, b = 5k, c = 6k$.
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{15k}{2}$.
क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{15k}{2}(\frac{7k}{2})(\frac{5k}{2})(\frac{3k}{2})} = \frac{15\sqrt{7}k^2}{4}$.
परिवृत्त त्रिज्या $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{120k^3}{4 \times \frac{15\sqrt{7}k^2}{4}} = \frac{8k}{\sqrt{7}}$.
अंतःत्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{15\sqrt{7}k^2}{4} \times \frac{2}{15k} = \frac{\sqrt{7}k}{2}$.
अनुपात $\frac{R}{r} = \frac{8k}{\sqrt{7}} \times \frac{2}{\sqrt{7}k} = \frac{16}{7}$.

(D) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=8^2$ है,अतः त्रिज्या $r=8$ है। रेखा $y=\sqrt{3}x$ है,जो धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $\theta = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ रेडियन का कोण बनाती है।
यह क्षेत्र $r=8$ त्रिज्या और केंद्रीय कोण $\theta = \frac{\pi}{3}$ वाला एक वृत्तीय त्रिज्यखंड है।
वृत्तीय त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = \frac{1}{2} r^2 \theta$ है।
मान रखने पर,$A = \frac{1}{2} \times (8)^2 \times \frac{\pi}{3}$ प्राप्त होता है।
$A = \frac{1}{2} \times 64 \times \frac{\pi}{3} = \frac{32 \pi}{3}$ वर्ग इकाई।

(A) माना $y = \frac{x^2-2x+1}{x^2+x-1}$.
$y(x^2+x-1) = x^2-2x+1$
$(y-1)x^2 + (y+2)x - (y+1) = 0$.
चूँकि $x \in \mathbb{R}$,विविक्तकर $D \geq 0$.
$D = (y+2)^2 + 4(y-1)(y+1) \geq 0$
$5y^2 + 4y \geq 0$
$y(5y+4) \geq 0$.
अतः $y \in (-\infty, -\frac{4}{5}] \cup [0, \infty)$.
इसलिए,$y$ के मान $\left(-\frac{4}{5}, 0\right)$ अंतराल में नहीं हैं।

(C) दिया गया फलन $f(x) = e^{\log(\sin x)} + (\tan x)^3 - \operatorname{cosec}(3x - 5)$ है।
सबसे पहले,व्यंजक को सरल करने पर: $f(x) = \sin x + (\tan x)^3 - \operatorname{cosec}(3x - 5)$।
मान लीजिए $f_1(x) = \sin x$,$f_2(x) = (\tan x)^3$,और $f_3(x) = -\operatorname{cosec}(3x - 5)$।
$f_1(x) = \sin x$ का आवर्तकाल $T_1 = 2\pi$ है।
$f_2(x) = (\tan x)^3$ का आवर्तकाल $T_2 = \pi$ है।
$f_3(x) = -\operatorname{cosec}(3x - 5)$ का आवर्तकाल $T_3 = \frac{2\pi}{|3|} = \frac{2\pi}{3}$ है।
$f(x)$ का आवर्तकाल $(T_1, T_2, T_3)$ का $\text{LCM}$ है = $\text{LCM}(2\pi, \pi, \frac{2\pi}{3})$।
भिन्नों का $\text{LCM}$ ज्ञात करने के लिए,हम $\frac{\text{अंश का LCM}}{\text{हर का HCF}}$ सूत्र का उपयोग करते हैं = $\frac{\text{LCM}(2\pi, \pi, 2\pi)}{\text{HCF}(1, 1, 3)} = \frac{2\pi}{1} = 2\pi$।

(C) दिया गया है कि $x = \log \left( y + \sqrt{y^2 + 1} \right)$.
प्रतिलोम हाइपरबोलिक साइन फलन की परिभाषा के अनुसार,हम जानते हैं कि $\sinh^{-1}(y) = \log \left( y + \sqrt{y^2 + 1} \right)$.
दिए गए समीकरण की परिभाषा से तुलना करने पर,हमें $\sinh^{-1}(y) = x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का हाइपरबोलिक साइन लेने पर,हमें $y = \sinh x$ प्राप्त होता है।

(A) बहुपद का भाग करने पर: $\frac{6 x^4+13 x^3+2 x^2-x+3}{2 x^2+3 x-2} = 3 x^2+2 x+1 + \frac{5}{2 x^2+3 x-2}$
हर का गुणनखंड करने पर: $2 x^2+3 x-2 = (2 x-1)(x+2)$.
आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करने पर: $\frac{5}{(2 x-1)(x+2)} = \frac{A}{2 x-1} + \frac{B}{x+2}$
$5 = A(x+2) + B(2 x-1)$
$x = \frac{1}{2}$ रखने पर: $A = 2$.
$x = -2$ रखने पर: $B = -1$.
तुलना करने पर: $f(x) = 3 x^2+2 x+1$,$a = 2$,$b = 2$,$A = 2$,$B = -1$.
$f(1)+a \cdot B+b \cdot A = 6 + 2(-1) + 2(2) = 8$.

(B) वक्र के दिए गए प्राचलिक समीकरण: $x=2 \sin t$ और $y=2 \cos t$ हैं।
वर्ग करके जोड़ने पर,$x^2+y^2=4 \sin^2 t + 4 \cos^2 t = 4$ प्राप्त होता है।
यह $2$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$,जिससे $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ प्राप्त होता है।
किसी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_T = -\frac{x}{y}$ है।
अभिलंब की ढाल $m_N = -\frac{1}{m_T} = \frac{y}{x}$ होती है।
$t = \frac{\pi}{2}$ पर,बिंदु $x = 2 \sin(\frac{\pi}{2}) = 2$ और $y = 2 \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ है।
इस बिंदु पर अभिलंब की ढाल $m_N = \frac{0}{2} = 0$ है।
अभिलंब का समीकरण $y - y_1 = m_N(x - x_1)$ है।
मान रखने पर: $y - 0 = 0(x - 2)$,जो सरल होकर $y = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दिए गए वक्र $x^2-y^2=4$ ...$(i)$ और $x^2+y^2=4\sqrt{2}$ ...(ii) हैं।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर,$2x^2 = 4(1+\sqrt{2})$,जिससे $x^2 = 2(1+\sqrt{2})$ प्राप्त होता है।
समीकरण (ii) से $(i)$ घटाने पर,$2y^2 = 4(\sqrt{2}-1)$,जिससे $y^2 = 2(\sqrt{2}-1)$ प्राप्त होता है।
$(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x - 2y\frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y} = m_1$.
(ii) का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} = m_2$.
वक्रों के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\tan \theta = \left|\frac{2x/y}{1 - x^2/y^2}\right| = \left|\frac{2xy}{y^2-x^2}\right|$.
यहाँ $y^2-x^2 = -4$ और $x^2y^2 = 4(2-1) = 4$,इसलिए $xy = 2$.
अतः,$\tan \theta = \left|\frac{2(2)}{-4}\right| = 1$.
इस प्रकार,$\theta = \frac{\pi}{4}$.

(D) दिया गया है $\frac{x^4}{(x-1)(x-2)(x-3)}=p(x)+\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3}$.
बहुपद विभाजन करने पर: $x^4 = (x^3-6x^2+11x-6)(x+6) + (18x^2-42x+36)$.
अतः,$p(x) = x+6$.
शेष भाग के लिए आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{18x^2-42x+36}{(x-1)(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3}$.
$x=1$ के लिए: $12 = 2A \Rightarrow A=6$.
$x=2$ के लिए: $24 = -B \Rightarrow B=-24$.
$x=3$ के लिए: $72 = 2C \Rightarrow C=36$.
अब,$p\left(\frac{3}{2}\right) + C = \left(\frac{3}{2} + 6\right) + 36 = \frac{15}{2} + 36 = 43.5$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $48$ है।

(B) दी गई आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{x+1}{\left(x^2+1\right)(x-1)^2}=\frac{A x+B}{x^2+1}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{(x-1)^2}$ है।
दोनों पक्षों को $(x^2+1)(x-1)^2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x+1 = (Ax+B)(x-1)^2 + C(x-1)(x^2+1) + D(x^2+1)$.
$x=1$ रखने पर: $1+1 = D(1^2+1) \Rightarrow 2 = 2D \Rightarrow D=1$.
दाएँ पक्ष का विस्तार करने पर:
$x+1 = (Ax+B)(x^2-2x+1) + C(x^3-x^2+x-1) + D(x^2+1)$
$x+1 = (A+C)x^3 + (-2A+B-C+D)x^2 + (A-2B+C)x + (B-C+D)$.
गुणांकों की तुलना करने पर:
$1$) $A+C = 0 \Rightarrow C = -A$
$2$) $-2A+B-C+D = 0 \Rightarrow -2A+B-(-A)+1 = 0 \Rightarrow -A+B+1 = 0 \Rightarrow B = A-1$
$3$) $A-2B+C = 1 \Rightarrow A-2(A-1)+(-A) = 1 \Rightarrow A-2A+2-A = 1 \Rightarrow -2A = -1 \Rightarrow A = \frac{1}{2}$.
अतः $C = -\frac{1}{2}$ और $B = \frac{1}{2}-1 = -\frac{1}{2}$ है।
अंत में,$A+B+C+D = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$।

(A) माना बिंदु $P(x, y, z)$ है।
$(a)$ बिंदु $P$ की $x$-अक्ष से लंबवत दूरी $d_1 = \sqrt{y^2 + z^2}$ है। अतः,$d_1^2 = y^2 + z^2$.
$(b)$ बिंदु $P$ की $y$-अक्ष से लंबवत दूरी $d_2 = \sqrt{x^2 + z^2}$ है। अतः,$d_2^2 = x^2 + z^2$.
$(c)$ बिंदु $P$ की $z$-अक्ष से लंबवत दूरी $d_3 = \sqrt{x^2 + y^2}$ है। अतः,$d_3^2 = x^2 + y^2$.
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से बिंदु $P$ की दूरी $d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ है। अतः,$d^2 = x^2 + y^2 + z^2$.
लंबवत दूरियों के वर्गों का योग $d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 = (y^2 + z^2) + (x^2 + z^2) + (x^2 + y^2) = 2(x^2 + y^2 + z^2)$ है।
यह योग मूल बिंदु से दूरी के वर्ग का $k$ गुना दिया गया है,इसलिए $2(x^2 + y^2 + z^2) = k(x^2 + y^2 + z^2)$।
अतः,$k = 2$ प्राप्त होता है।

(B) सबसे पहले,दूरी सूत्र का उपयोग करके भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई ज्ञात करें:
$AB = \sqrt{(4-1)^2 + (3-(-2))^2 + (5-1)^2} = \sqrt{3^2 + 5^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 25 + 16} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
$AC = \sqrt{(4-3)^2 + (3-2)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 1 + 16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\angle BAC$ का आंतरिक समद्विभाजक सम्मुख भुजा $BC$ को कोण बनाने वाली भुजाओं के अनुपात में विभाजित करता है:
$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{5\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \frac{5}{3}$
इस प्रकार,बिंदु $D$,$BC$ को $5:3$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करके,$D$ के निर्देशांक:
$D = \left( \frac{5(3) + 3(1)}{5+3}, \frac{5(2) + 3(-2)}{5+3}, \frac{5(1) + 3(1)}{5+3} \right) = \left( \frac{18}{8}, \frac{4}{8}, \frac{8}{8} \right) = \left( \frac{9}{4}, \frac{1}{2}, 1 \right)$
अब,$C(3,2,1)$ और $D(\frac{9}{4}, \frac{1}{2}, 1)$ के बीच दूरी सूत्र का उपयोग करके $CD$ की लंबाई ज्ञात करें:
$CD = \sqrt{(\frac{9}{4} - 3)^2 + (\frac{1}{2} - 2)^2 + (1 - 1)^2}$
$CD = \sqrt{(-\frac{3}{4})^2 + (-\frac{3}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{9}{16} + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{9 + 36}{16}} = \sqrt{\frac{45}{16}} = \frac{3\sqrt{5}}{4}$

(C) $AB$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु $P$ के निर्देशांक विभाजन सूत्र द्वारा प्राप्त होते हैं:
$P = \left( \frac{1(2) + 2(1)}{1+2}, \frac{1(3) + 2(2)}{1+2}, \frac{1(1) + 2(3)}{1+2} \right) = \left( \frac{4}{3}, \frac{7}{3}, \frac{7}{3} \right)$
$BC$ को $-2:3$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु $Q$ के निर्देशांक:
$Q = \left( \frac{-2(3) + 3(2)}{-2+3}, \frac{-2(1) + 3(3)}{-2+3}, \frac{-2(2) + 3(1)}{-2+3} \right) = (0, 7, -1)$
$P$ और $Q$ के बीच की दूरी $PQ = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$:
$PQ = \sqrt{\left(0 - \frac{4}{3}\right)^2 + \left(7 - \frac{7}{3}\right)^2 + \left(-1 - \frac{7}{3}\right)^2}$
$PQ = \sqrt{\frac{16}{9} + \frac{196}{9} + \frac{100}{9}} = \sqrt{\frac{312}{9}} = \frac{2\sqrt{78}}{3}$

(D) मान लीजिए त्रिभुज के शीर्ष $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$,और $C(x_3, y_3, z_3)$ हैं।
दिया गया है कि $AB, BC, CA$ के मध्य बिंदु क्रमशः $M_1(3,0,0)$,$M_2(0,4,0)$,और $M_3(0,0,5)$ हैं।
मध्य बिंदु सूत्र का उपयोग करते हुए:
$x_1+x_2=6, x_2+x_3=0, x_3+x_1=0$
इन्हें हल करने पर,हमें $x_1=3, x_2=3, x_3=-3$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार $y$ निर्देशांक के लिए:
$y_1+y_2=0, y_2+y_3=8, y_3+y_1=0$
इन्हें हल करने पर,हमें $y_1=-4, y_2=4, y_3=4$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार $z$ निर्देशांक के लिए:
$z_1+z_2=0, z_2+z_3=0, z_3+z_1=10$
इन्हें हल करने पर,हमें $z_1=5, z_2=-5, z_3=5$ प्राप्त होता है।
अतः,शीर्ष $A(3, -4, 5)$,$B(3, 4, -5)$,और $C(-3, 4, 5)$ हैं।
अब,भुजाओं की लंबाई के वर्गों की गणना करें:
$AB^2 = (3-3)^2 + (4-(-4))^2 + (-5-5)^2 = 0^2 + 8^2 + (-10)^2 = 64 + 100 = 164$.
$BC^2 = (-3-3)^2 + (4-4)^2 + (5-(-5))^2 = (-6)^2 + 0^2 + 10^2 = 36 + 100 = 136$.
$CA^2 = (3-(-3))^2 + (-4-4)^2 + (5-5)^2 = 6^2 + (-8)^2 + 0^2 = 36 + 64 = 100$.
अंत में,$AB^2+BC^2+CA^2 = 164 + 136 + 100 = 400$.

(C) माना शीर्ष $A(1,2,3), B(3,-1,5),$ और $C(4,0,-3)$ हैं।
सबसे पहले,हम भुजाओं के दिक्-अनुपात की गणना करते हैं:
$\overrightarrow{AB} = (3-1, -1-2, 5-3) = (2, -3, 2)$
$\overrightarrow{BC} = (4-3, 0+1, -3-5) = (1, 1, -8)$
$\overrightarrow{AC} = (4-1, 0-2, -3-3) = (3, -2, -6)$
अब,लंबवतता की जाँच करें:
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (2)(3) + (-3)(-2) + (2)(-6) = 6 + 6 - 12 = 0$.
चूँकि डॉट प्रोडक्ट $0$ है,$\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC}$,जिसका अर्थ है कि $\angle A = 90^{\circ}$.
समकोण त्रिभुज में,परिकेंद्र कर्ण $BC$ का मध्य-बिंदु होता है।
परिकेंद्र $(\alpha, \beta, \gamma) = \left(\frac{3+4}{2}, \frac{-1+0}{2}, \frac{5-3}{2}\right) = \left(\frac{7}{2}, -\frac{1}{2}, 1\right)$.
अतः,$\alpha = \frac{7}{2}, \beta = -\frac{1}{2}, \gamma = 1$.
तब,$|\alpha| + |\beta| = |\frac{7}{2}| + |-\frac{1}{2}| = \frac{7}{2} + \frac{1}{2} = 4$.
चूँकि $|\gamma| = |1| = 1$,हमें $4 = 4|\gamma|$ प्राप्त होता है।

(A) द्विघात व्यंजक $x^2 + bx + c > 0$ के सभी $x \in R$ के लिए सत्य होने हेतु,विविक्तकर $D < 0$ होना चाहिए।
$D = b^2 - 4c < 0 \Rightarrow b^2 < 4c$.
चूँकि $b$ और $c$ को $\{1, 2, \ldots, 9\}$ से बिना प्रतिस्थापन के चुना जाता है $(b \neq c)$,$b^2 < 4c$ को संतुष्ट करने वाले युग्म $(b, c)$ इस प्रकार हैं:

$b$	संभावित $c$ मान $(c \neq b)$	संख्या
$1$	$2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$	$8$
$2$	$3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$	$7$
$3$	$4, 5, 6, 7, 8, 9$	$6$
$4$	$5, 6, 7, 8, 9$	$5$
$5$	$7, 8, 9$	$3$
$6$	संभव नहीं	$0$

कुल अनुकूल परिणाम $= 8 + 7 + 6 + 5 + 3 = 29$.
कुल संभावित परिणाम $= 9 \times 8 = 72$.
प्रायिकता $= \frac{29}{72}$.

(D) माना हुकुम का पत्ता निकालने की प्रायिकता $p = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ है।
हुकुम का पत्ता न निकालने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{3}{4}$ है।
$A$ तब जीतता है यदि $A$ पहले,पांचवें,नौवें,... मोड़ पर हुकुम का पत्ता निकालता है।
$A$ के जीतने की प्रायिकता है:
$P(A) = p + q^4 p + q^8 p + \dots$
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = p$ और सार्व अनुपात $r = q^4$ है।
योग $S = \frac{a}{1-r} = \frac{p}{1-q^4}$ है।
मान रखने पर:
$P(A) = \frac{1/4}{1 - (3/4)^4} = \frac{1/4}{1 - 81/256} = \frac{1/4}{175/256} = \frac{1}{4} \times \frac{256}{175} = \frac{64}{175}$.

(B) $6$ छात्रों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के कुल तरीके $= 6! = 720$.
अनुकूल व्यवस्था खोजने के लिए,$A$ और $B$ को उनके बीच एक छात्र के साथ एक ब्लॉक के रूप में मानें। शेष $4$ छात्र हैं। हम $A$ और $B$ के बीच रखने के लिए $4$ में से $1$ छात्र को $^4C_1$ तरीकों से चुनते हैं।
अब,$(A, \text{student}, B)$ ब्लॉक को एक इकाई के रूप में मानें। शेष $3$ छात्रों के साथ,हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए $4$ इकाइयाँ हैं,जिन्हें $4!$ तरीकों से किया जा सकता है।
ब्लॉक के भीतर,$A$ और $B$ को $2!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अनुकूल व्यवस्थाओं की संख्या $= ^4C_1 \times 4! \times 2! = 4 \times 24 \times 2 = 192$.
प्रायिकता $= \frac{192}{720} = \frac{4}{15}$.

(C) तीन पांसों को फेंकने पर कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 \times 6 = 216$ है।
तीनों पांसों पर अलग-अलग संख्याएँ आने के लिए,पहले पांसे पर $6$ में से कोई भी संख्या,दूसरे पांसे पर शेष $5$ संख्याओं में से कोई भी,और तीसरे पांसे पर शेष $4$ संख्याओं में से कोई भी संख्या आ सकती है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $= 6 \times 5 \times 4 = 120$ है।
अतः,प्रायिकता $= \frac{120}{216} = \frac{5}{9}$ है।

(A) कुल गेंदों की संख्या = $3 + 5 + 7 = 15$।
$15$ में से $3$ गेंदें चुनने के तरीके = $^{15}C_3 = 455$।
कम से कम दो नीली गेंदें प्राप्त करने के लिए दो स्थितियाँ हैं:
स्थिति $1$: ठीक $2$ नीली और $1$ अन्य गेंद।
तरीके = $^7C_2 \times ^8C_1 = 21 \times 8 = 168$।
स्थिति $2$: ठीक $3$ नीली गेंदें।
तरीके = $^7C_3 = 35$।
कुल अनुकूल परिणाम = $168 + 35 = 203$।
प्रायिकता = $\frac{203}{455} = \frac{29}{65}$।

(A) कुल मंजिलों की संख्या $= 7$ है।
प्रत्येक $5$ व्यक्ति $7$ मंजिलों में से किसी भी मंजिल पर उतर सकते हैं।
$5$ व्यक्तियों के उतरने के कुल तरीके $= 7^5$ हैं।
यदि सभी $5$ व्यक्ति अलग-अलग मंजिलों पर उतरते हैं,तो तरीकों की संख्या ${}^7P_5$ होगी।
${}^7P_5 = \frac{7!}{(7-5)!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 2520$।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{{}^7P_5}{7^5} = \frac{2520}{16807} = \frac{360}{2401}$।

(B) द्विघात समीकरण $x^2+ax+b=0$ के वास्तविक मूल होते हैं यदि विविक्तकर $D = a^2 - 4b \geq 0$,जिसका अर्थ है $a^2 \geq 4b$.
चूंकि $a \in \{3, 4, 5\}$ और $b \in \{1, 2, 3, 4\}$,कुल संभावित युग्मों $(a, b)$ की संख्या $3 \times 4 = 12$ है।
प्रत्येक युग्म के लिए शर्त $a^2 \geq 4b$ की जाँच करने पर:
यदि $a=3$,$a^2=9$: $9 \geq 4b \implies b \leq 2.25$. $b$ के संभावित मान $1, 2$ हैं ($2$ युग्म)।
यदि $a=4$,$a^2=16$: $16 \geq 4b \implies b \leq 4$. $b$ के संभावित मान $1, 2, 3, 4$ हैं ($4$ युग्म)।
यदि $a=5$,$a^2=25$: $25 \geq 4b \implies b \leq 6.25$. $b$ के संभावित मान $1, 2, 3, 4$ हैं ($4$ युग्म)।
कुल अनुकूल परिणाम = $2 + 4 + 4 = 10$.
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{10}{12} = \frac{5}{6}$ है।

(B) दिया गया है कि $P(A) + P(B) = 2 P(A \cap B)$.
हम प्रायिकता के योग प्रमेय को जानते हैं: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
दी गई शर्त को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$P(A \cup B) = 2 P(A \cap B) - P(A \cap B) = P(A \cap B)$.
चूंकि $P(A \cap B) \leq P(A) \leq P(A \cup B)$ और $P(A \cap B) \leq P(B) \leq P(A \cup B)$,इसलिए समानता $P(A \cup B) = P(A \cap B)$ का अर्थ है कि $P(A) = P(B) = P(A \cap B) = P(A \cup B)$.
अतः,$P(A) = P(B)$.

(C) एक सामान्य वर्ष में $365$ दिन होते हैं,अर्थात $52$ पूर्ण सप्ताह और $1$ अतिरिक्त दिन।
यह अतिरिक्त दिन सप्ताह के $7$ दिनों में से कोई भी हो सकता है।
माना $E_1$ $53$ रविवार प्राप्त करने की घटना है,$E_2$ $53$ मंगलवार प्राप्त करने की घटना है,और $E_3$ $53$ गुरुवार प्राप्त करने की घटना है।
चूंकि ये घटनाएं परस्पर अपवर्जी (mutually exclusive) हैं,इसलिए $53$ रविवार या $53$ मंगलवार या $53$ गुरुवार प्राप्त करने की प्रायिकता $P(E_1 \cup E_2 \cup E_3) = P(E_1) + P(E_2) + P(E_3)$ होगी।
$P(E_1) = \frac{1}{7}$,$P(E_2) = \frac{1}{7}$,और $P(E_3) = \frac{1}{7}$।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{1}{7} + \frac{1}{7} + \frac{1}{7} = \frac{3}{7}$ है।

(D) हमें दिया गया है कि $P(A \cup B) = P(A \cap B)$.
चूंकि $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$,दी गई शर्त को प्रतिस्थापित करने पर:
$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
$2P(A \cap B) = P(A) + P(B)$.
साथ ही,चूंकि $A \cap B \subseteq A \subseteq A \cup B$ और $A \cap B \subseteq B \subseteq A \cup B$,शर्त $P(A \cup B) = P(A \cap B)$ का अर्थ है कि $P(A) = P(B) = P(A \cap B)$.
इसका मतलब है कि $P(A \cap B') = P(A) - P(A \cap B) = 0$ और $P(A' \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0$.
अतः,विकल्प $A$,$B$,और $C$ सत्य हैं।
हालाँकि,$P(A) + P(B) = 2P(A \cap B)$,जो आवश्यक रूप से $1$ के बराबर नहीं है। इसलिए,विकल्प $D$ सत्य नहीं है।