यदि समीकरण $z^2-i=0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं,तो $|\operatorname{Arg} \beta-\operatorname{Arg} \alpha|=$

निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$I$: यदि $a$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं,तो $\sqrt{-a} \times \sqrt{-b} = \sqrt{ab}$
$II$: $\frac{1+i\sqrt{3}}{1-i\sqrt{3}}$ का कोणांक (argument) $120^{\circ}$ है
तो:

यदि $Arg(z)$ एक सम्मिश्र संख्या $z$ का मुख्य कोणांक (principal argument) दर्शाता है,तो व्यंजक $Arg\left( -i e^{i\frac{\pi}{9}} z^2 \right) + 2Arg\left( 2i e^{-i\frac{\pi}{18}} \bar{z} \right)$ का मान क्या है?

मान लीजिए $z_{1}$ और $z_{2}$ दो ऐसी सम्मिश्र संख्याएँ हैं कि $\overline{z}_{1} = i \overline{z}_{2}$ और $\arg \left( \frac{z_{1}}{\overline{z}_{2}} \right) = \pi$ है। तो:

यदि $\frac{3+i \sin \theta}{4-i \cos \theta}, \theta \in [0, 2 \pi],$ एक वास्तविक संख्या है,तो $\sin \theta + i \cos \theta$ का कोणांक (argument) क्या है?

कथन $(A)$: यदि $\bar{z}_1$ और $z_2$ के कोणांक (arguments) क्रमशः $\frac{\pi}{5}$ और $\frac{\pi}{3}$ हैं,तो $\arg(z_1 z_2) = \frac{2\pi}{15}$ है। कारण $(R)$: किसी भी सम्मिश्र संख्या $z$ के लिए,$\arg(\bar{z}) = \frac{\pi}{2} + \arg(z)$। निम्नलिखित में से सही विकल्प है: