TS EAMCET 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) मान लीजिए $P = (x, y)$। चतुर्भुज $PABC$ का क्षेत्रफल: $\text{Area}(PABC) = \frac{1}{2} |3x - 2y - 4|$।
त्रिभुज $PAB$ का क्षेत्रफल: $\text{Area}(\triangle PAB) = \frac{1}{2} |x + y - 3|$।
शर्त के अनुसार,$\text{Area}(PABC) = 2 \times \text{Area}(\triangle PAB)$।
अतः,$|3x - 2y - 4| = 2|x + y - 3|$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(3x - 2y - 4)^2 = 4(x + y - 3)^2$।
सरल करने पर,$x^2 - 4xy + 8y - 4 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(2, -3)$,$B(-2, 1)$ और $C(x_0, y_0)$ हैं।
चूंकि तीसरा शीर्ष $C$ रेखा $2x + 3y = 9$ पर स्थित है,इसलिए $2x_0 + 3y_0 = 9$ है।
माना त्रिभुज का केंद्रक $G(h, k)$ है।
केंद्रक के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$h = \frac{2 - 2 + x_0}{3} = \frac{x_0}{3} \implies x_0 = 3h$
$k = \frac{-3 + 1 + y_0}{3} = \frac{y_0 - 2}{3} \implies y_0 = 3k + 2$
$x_0$ और $y_0$ के मानों को रेखा के समीकरण $2x_0 + 3y_0 = 9$ में रखने पर:
$2(3h) + 3(3k + 2) = 9$
$6h + 9k + 6 = 9$
$6h + 9k = 3$
$3$ से भाग देने पर,हमें $2h + 3k = 1$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदु पथ $2x + 3y = 1$ है।

(B) वक्र का समीकरण $x^2+xy+y^2+x+3y+1=0$ है और रेखा $x+y+2=0$ है।
रेखा का उपयोग करके वक्र के समीकरण को समघात बनाने पर,$\frac{x+y}{-2}=1$ प्राप्त होता है।
वक्र के समीकरण में मान रखने पर:
$x^2+xy+y^2+(x+3y)(\frac{x+y}{-2}) + 1(\frac{x+y}{-2})^2=0$.
हर को हटाने के लिए $4$ से गुणा करने पर:
$4x^2+4xy+4y^2-2(x^2+4xy+3y^2)+(x^2+2xy+y^2)=0$.
$3x^2-2xy-y^2=0$.
इसे $ax^2+2hxy+by^2=0$ से तुलना करने पर,$a=3, h=-1, b=-1$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-1)^2-3(-1)}}{3-1} \right| = 2$.
अतः,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

(C) बिंदु $(x_1, y_1)$ से परवलय $y^2 = 4ax$ पर स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण $SS_1 = T^2$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$S = y^2 - 4x$,$S_1 = (-2)^2 - 4(-1) = 8$,और $T = -2y - 2x + 2$ है।
$SS_1 = T^2$ में मान रखने पर:
$(y^2 - 4x)(8) = (-2y - 2x + 2)^2$.
$4$ से विभाजित करने पर:
$2(y^2 - 4x) = (x + y - 1)^2$.
$x^2 + 2xy - y^2 + 6x - 2y + 1 = 0$.
यह रेखाओं का युग्म $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है,जहाँ $a = 1, h = 1, b = -1$ है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = |\frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b}|$ है।
चूँकि $a + b = 1 + (-1) = 0$ है,हर $0$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $\tan \theta = \infty$।

(B) माना जीवा का समीकरण $lx + my = 1$ है।
वक्र $3x^2 - y^2 - 2x + 4y = 0$ को जीवा के समीकरण के साथ समघातीय बनाने पर:
$3x^2 - y^2 - 2x(lx + my) + 4y(lx + my) = 0$
$3x^2 - y^2 - 2lx^2 - 2mxy + 4lxy + 4my^2 = 0$
$(3 - 2l)x^2 + (4l - 2m)xy + (4m - 1)y^2 = 0$
चूंकि जीवा मूल बिंदु पर समकोण अंतरित करती है,इसलिए रेखाओं का युग्म परस्पर लंबवत होना चाहिए।
अतः,$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होगा:
$(3 - 2l) + (4m - 1) = 0$
$2 - 2l + 4m = 0$
$l - 2m = 1$
$lx + my = 1$ की तुलना $l(1) + m(-2) = 1$ से करने पर,रेखा सदैव $(1, -2)$ बिंदु से होकर गुजरती है।

(A) मूल समीकरण $2x^2 - xy + y^2 + 2x + 3y + 1 = 0$ है।
मूल बिंदु को $(h, k)$ पर स्थानांतरित करने के लिए,हम $x = X + h$ और $y = Y + k$ प्रतिस्थापित करते हैं।
नया समीकरण $2(X+h)^2 - (X+h)(Y+k) + (Y+k)^2 + 2(X+h) + 3(Y+k) + 1 = 0$ है।
इसका विस्तार करने पर,$X$ और $Y$ के रैखिक पद $(4h - k + 2)X + (-h + 2k + 3)Y = 0$ प्राप्त होते हैं।
नए मूल बिंदु को केंद्र होने के लिए,इन गुणांकों को शून्य होना चाहिए:
$4h - k = -2$ और $-h + 2k = -3$।
इन्हें हल करने पर,$h = -1$ और $k = -2$ प्राप्त होता है।
अतः,$h + k = -3$।
समीकरण $2X^2 - XY + Y^2 + C' = 0$ बन जाता है।
घूर्णन द्वारा $XY$ पद को हटाने के लिए,हम $\tan 2\theta = \frac{2H}{A-B}$ का उपयोग करते हैं,जहाँ समीकरण $AX^2 + 2HXY + BY^2 = 0$ है।
यहाँ $A = 2, H = -1/2, B = 1$ है।
अतः,$\tan 2\theta = \frac{2(-1/2)}{2 - 1} = -1$।
इसलिए,$h + k + \tan 2\theta = -3 + (-1) = -4$।

(C) दिया गया समीकरण $a^2 x^2 + 2xy + 4y^2 = 0$ है।
इसे मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के युग्म के व्यापक समीकरण $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ से तुलना करने पर,$A = a^2$,$H = 1$,और $B = 4$ प्राप्त होता है।
दो भिन्न रेखाओं के लिए शर्त $H^2 - AB > 0$ है।
अतः,$1^2 - (a^2)(4) > 0$.
$1 - 4a^2 > 0$.
$4a^2 - 1 < 0$.
$(2a - 1)(2a + 1) < 0$.
इस प्रकार,$-\frac{1}{2} < a < \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के युग्म का सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है।
इसकी तुलना $(2\ell-3)x^2 + 2\ell xy - y^2 = 0$ से करने पर,हमें $a = 2\ell-3$,$h = \ell$,और $b = -1$ प्राप्त होता है।
समीकरण के भिन्न रेखाओं का युग्म होने के लिए शर्त $h^2 - ab > 0$ है।
मान रखने पर: $\ell^2 - (2\ell-3)(-1) > 0$.
$\ell^2 + 2\ell - 3 > 0$.
गुणनखंड करने पर: $(\ell+3)(\ell-1) > 0$.
यह असमिका $\ell < -3$ या $\ell > 1$ के लिए सत्य है।
अतः,यह शर्त $\ell \in R - [-3, 1]$ के सभी मानों के लिए संतुष्ट होती है।

(A) समांतर रेखाओं $Ax + By + C_1 = 0$ और $Ax + By + C_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ होती है।
$3x - 2y + 5 = 0$ और $3x - 2y + 5 + 2\sqrt{13} = 0$ के लिए,$d = \frac{|5 - (5 + 2\sqrt{13})|}{\sqrt{3^2 + (-2)^2}} = \frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{13}} = 2$.
$L_1: 3x - 2y + k_1 = 0$,$3x - 2y + 5 = 0$ से $\frac{4d}{\sqrt{13}} = \frac{8}{\sqrt{13}}$ की दूरी पर है,इसलिए $\frac{|k_1 - 5|}{\sqrt{13}} = \frac{8}{\sqrt{13}} \Rightarrow |k_1 - 5| = 8$. चूँकि $k_1 > 0$,इसलिए $k_1 = 13$.
$L_2: 3x - 2y + k_2 = 0$,$3x - 2y + 5 = 0$ से $\frac{3d}{\sqrt{13}} = \frac{6}{\sqrt{13}}$ की दूरी पर है,इसलिए $\frac{|k_2 - 5|}{\sqrt{13}} = \frac{6}{\sqrt{13}} \Rightarrow |k_2 - 5| = 6$. चूँकि $k_2 > 0$,इसलिए $k_2 = 11$.
संयुक्त समीकरण $(3x - 2y + 13)(3x - 2y + 11) = 0$ है।
$u = 3x - 2y$ लेने पर,$(u + 13)(u + 11) = u^2 + 24u + 143 = 0$.
अतः,$(3x - 2y)^2 + 24(3x - 2y) + 143 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) $L = 0$ और $l = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाली किसी भी रेखा का समीकरण $L + \lambda l = 0$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई रेखाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$(2x + 3y - 5) + \lambda(4x - 5y + 7) = 0$
$(2 + 4\lambda)x + (3 - 5\lambda)y + (7\lambda - 5) = 0$ --- (समीकरण $1$)
रेखा $L_1$ बिंदुओं $(2, 3)$ और $(1, -1)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करती है। विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,विभाजन बिंदु $(x, y)$ है:
$x = \frac{2(1) + 1(2)}{2 + 1} = \frac{4}{3}$
$y = \frac{2(-1) + 1(3)}{2 + 1} = \frac{1}{3}$
चूंकि बिंदु $(\frac{4}{3}, \frac{1}{3})$ रेखा $L_1$ पर स्थित है,हम इसे समीकरण $1$ में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(2 + 4\lambda)(\frac{4}{3}) + (3 - 5\lambda)(\frac{1}{3}) + (7\lambda - 5) = 0$
हर को हटाने के लिए $3$ से गुणा करने पर:
$4(2 + 4\lambda) + (3 - 5\lambda) + 3(7\lambda - 5) = 0$
$8 + 16\lambda + 3 - 5\lambda + 21\lambda - 15 = 0$
$32\lambda - 4 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$
$\lambda = \frac{1}{8}$ को समीकरण $1$ में वापस रखने पर:
$(2 + 4(\frac{1}{8}))x + (3 - 5(\frac{1}{8}))y + (7(\frac{1}{8}) - 5) = 0$
$2.5x + 2.375y - 4.125 = 0$
$\frac{5}{2}x + \frac{19}{8}y = \frac{33}{8}$
$ax + by = 1$ का रूप प्राप्त करने के लिए $\frac{8}{33}$ से गुणा करने पर:
$(\frac{5}{2} \times \frac{8}{33})x + (\frac{19}{8} \times \frac{8}{33})y = 1$
$\frac{20}{33}x + \frac{19}{33}y = 1$
इस प्रकार,$a = \frac{20}{33}$ और $b = \frac{19}{33}$ है।
अतः,$33(a - b) = 33(\frac{20}{33} - \frac{19}{33}) = 33(\frac{1}{33}) = 1$.

(C) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है। केंद्र $(-g, -f) = (\alpha, \beta)$ है।
चूँकि वृत्त $Y$-अक्ष को $(0, 3)$ पर स्पर्श करता है,केंद्र का $Y$-निर्देशांक $3$ होगा,अतः $-f = 3 \Rightarrow f = -3$.
बिंदु $(0, 3)$ वृत्त पर स्थित है,इसलिए $9 + 6f + c = 0$ $\Rightarrow 9 - 18 + c = 0$ $\Rightarrow c = 9$.
$X$-अक्ष पर अंतःखंड की लंबाई $2\sqrt{g^2 - c} = 2$ है,अतः $g^2 - c = 1$ $\Rightarrow g^2 - 9 = 1$ $\Rightarrow g^2 = 10$ $\Rightarrow g = \pm \sqrt{10}$.
केंद्र $(\alpha, \beta) = (-g, -f)$ है और $\alpha < 0$ दिया गया है,इसलिए $-g < 0 \Rightarrow g > 0$। अतः $g = \sqrt{10}$।
इस प्रकार,$\alpha = -\sqrt{10}$ और $\beta = 3$। अतः केंद्र $(-\sqrt{10}, 3)$ है।

(C) माना वृत्त का केंद्र $O(\alpha, \beta)$ है और $A(1,1)$ से गुजरने वाले व्यास का दूसरा सिरा $Q(h, k)$ है।
चूंकि वृत्त $X$-अक्ष को स्पर्श करता है,त्रिज्या $|\beta|$ है। अतः,वृत्त का समीकरण $(x-\alpha)^2 + (y-\beta)^2 = \beta^2$ है।
चूंकि $A(1,1)$ वृत्त पर स्थित है,$(1-\alpha)^2 + (1-\beta)^2 = \beta^2$,जो सरल होकर $(1-\alpha)^2 + 1 - 2\beta = 0$ हो जाता है,इसलिए $2\beta = (1-\alpha)^2 + 1$।
$O(\alpha, \beta)$ व्यास $AQ$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $\alpha = \frac{h+1}{2}$ और $\beta = \frac{k+1}{2}$ है।
इन मानों को $2\beta = (1-\alpha)^2 + 1$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$k+1 = (1 - \frac{h+1}{2})^2 + 1$
$k+1 = (\frac{2-h-1}{2})^2 + 1$
$k+1 = \frac{(1-h)^2}{4} + 1$
$k = \frac{(h-1)^2}{4}$
$4k = (h-1)^2$।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदु पथ $(x-1)^2 = 4y$ प्राप्त होता है।

(D) वृत्त का केंद्र उसके व्यासों $x - y = 2$ और $2x + 3y = 14$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
$x - y = 2$ से $y = x - 2$ प्राप्त होता है।
इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $2x + 3(x - 2) = 14$.
$2x + 3x - 6 = 14$ $\Rightarrow 5x = 20$ $\Rightarrow x = 4$.
अतः $y = 4 - 2 = 2$.
इसलिए,वृत्त का केंद्र $(4, 2)$ है।
वृत्त $(1, -2)$ से होकर गुजरता है। त्रिज्या $r$ केंद्र $(4, 2)$ और बिंदु $(1, -2)$ के बीच की दूरी है।
$r = \sqrt{(4 - 1)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

(C) दी गई रेखा $x-y+1=0$ से,$y=x+1$ प्राप्त होता है।
इसे वृत्त के समीकरण $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2+(x+1)^2+2x+2(x+1)+1=0$
$2x^2+6x+4=0 \Rightarrow x^2+3x+2=0$
$(x+1)(x+2)=0$,अतः $x=-1$ या $x=-2$ है।
$x=-1$ के लिए $y=0$ और $x=-2$ के लिए $y=-1$ है।
अतः,बिंदु $A(-1, 0)$ और $B(-2, -1)$ हैं।
$AB$ को व्यास मानकर वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0$ होता है।
$(x+1)(x+2)+(y-0)(y+1)=0$
$x^2+y^2+3x+y+2=0$ प्राप्त होता है।
इसे $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$2g=3 \Rightarrow g=3/2$,$2f=1 \Rightarrow f=1/2$,और $c=2$ प्राप्त होता है।
अतः $g+f = 3/2 + 1/2 = 2$ है।
चूंकि $c=2$ है,इसलिए $g+f=c$ है।

(A) माना वृत्त का केंद्र $C(\alpha, \beta)$ है। चूंकि केंद्र रेखा $x-y+1=0$ पर स्थित है,इसलिए $\beta = \alpha+1$। अतः,$C = (\alpha, \alpha+1)$।
दिए गए बिंदु $P(3,1)$ और $Q(-2,4)$ वृत्त पर स्थित हैं,इसलिए $CP^2 = CQ^2$।
$(\alpha-3)^2 + (\alpha+1-1)^2 = (\alpha+2)^2 + (\alpha+1-4)^2$
$(\alpha-3)^2 + \alpha^2 = (\alpha+2)^2 + (\alpha-3)^2$
$\alpha^2 = (\alpha+2)^2$
$\alpha^2 = \alpha^2 + 4\alpha + 4$
$4\alpha = -4 \Rightarrow \alpha = -1$।
अतः,केंद्र $C(-1, 0)$ है।
त्रिज्या $r = CP = \sqrt{(-1-3)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{16+1} = \sqrt{17}$।
वृत्त के प्राचलिक समीकरण $x = h + r \cos \theta$ और $y = k + r \sin \theta$ होते हैं।
मान रखने पर,$x = -1 + \sqrt{17} \cos \theta$ और $y = \sqrt{17} \sin \theta$ प्राप्त होता है।

(D) $X$-अंतःखंड $2\sqrt{g^2-c} = 6 \Rightarrow g^2-c = 9$ ...$(1)$
$Y$-अंतःखंड $2\sqrt{f^2-c} = 8 \Rightarrow f^2-c = 16$ ...$(2)$
रेखा $gx+fy+1=0$ बिंदु $(1, -1)$ से गुजरती है,अतः $g(1) + f(-1) + 1 = 0 \Rightarrow g-f = -1$ ...$(3)$
$(1)$ में से $(2)$ घटाने पर: $g^2-f^2 = -7 \Rightarrow (g-f)(g+f) = -7$.
$g-f = -1$ रखने पर,हमें $g+f = 7$ प्राप्त होता है ...$(4)$
$(3)$ और $(4)$ को हल करने पर: $2g = 6 \Rightarrow g = 3$ और $f = 4$.
$(1)$ से,$c = g^2-9 = 3^2-9 = 0$.
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{3^2+4^2-0} = \sqrt{9+16} = 5$.

(C) केंद्र $C(2,3)$ से जीवा $AB$ $(x+y+1=0)$ पर लंब $CD$ की लंबाई:
$CD = \left|\frac{2+3+1}{\sqrt{1^2+1^2}}\right| = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$.
$\triangle CAD$ में,केंद्र पर कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए $\angle ACD = 30^{\circ}$.
$\triangle CAD$ में त्रिकोणमिति का उपयोग करने पर:
$\cos 30^{\circ} = \frac{CD}{AC} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{AC}$.
$AC = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{6}$.
त्रिज्या $r = AC$,इसलिए $r^2 = (2\sqrt{6})^2 = 4 \times 6 = 24$.
केंद्र $(2,3)$ और त्रिज्या का वर्ग $24$ वाले वृत्त का समीकरण:
$(x-2)^2 + (y-3)^2 = 24$
$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = 24$
$x^2 + y^2 - 4x - 6y + 13 = 24$
$x^2 + y^2 - 4x - 6y - 11 = 0$.

(B) समीकरण $ax^2-xy-3y^2-5x+20y+c=0$ बिंदु $(2,3)$ से गुजरने वाली रेखाओं के एक युग्म को दर्शाता है।
$(2,3)$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$a(2)^2 - (2)(3) - 3(3)^2 - 5(2) + 20(3) + c = 0$
$4a - 6 - 27 - 10 + 60 + c = 0$
$4a + c = -17$ ...$(1)$
रेखाओं के युग्म के लिए,सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} a & -1/2 & -5/2 \\ -1/2 & -3 & 10 \\ -5/2 & 10 & c \end{vmatrix} = 0$
गणना करने पर $a=2$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(1)$ में $a=2$ रखने पर,$c = -17 - 4(2) = -25$ प्राप्त होता है।
अतः,$a - c = 2 - (-25) = 27$.

(C) माना रेखाएँ $L_1: 2x - 3y + 3 = 0$,$L_2: 2x + y + 1 = 0$,और $L_3: 6x + 4y + 1 = 0$ हैं।
ढाल की जाँच करने पर,$L_1$ की ढाल $m_1 = 2/3$ और $L_3$ की ढाल $m_3 = -3/2$ है।
चूँकि $m_1 \times m_3 = -1$,इसलिए $L_1$ और $L_3$ परस्पर लंबवत हैं।
अतः,यह एक समकोण त्रिभुज है और $L_2$ कर्ण है।
वृत्त का समीकरण $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ का उपयोग करने पर,हमें $8x^2 + 8y^2 + 18x - 20y + 17 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) समानांतर रेखाओं $x+y-2=0$ और $x+y-6=0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|-2 - (-6)|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ है।
अंतर्निहित वृत्त की त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = \sqrt{2}$ है।
वृत्त का केंद्र वर्ग की मध्य-रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है। मध्य-रेखाएं $x+y-4=0$ और $x-y+3=0$ हैं।
इन समीकरणों को हल करने पर: $(x+y=4)$ और $(x-y=-3)$। जोड़ने पर $2x=1$,अतः $x=\frac{1}{2}$। $x$ का मान रखने पर $y=4-\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,केंद्र $(\frac{1}{2}, \frac{7}{2})$ है।
वृत्त का समीकरण $(x-\frac{1}{2})^2 + (y-\frac{7}{2})^2 = (\sqrt{2})^2$ है।
$x^2 - x + \frac{1}{4} + y^2 - 7y + \frac{49}{4} = 2$.
$x^2 + y^2 - x - 7y + 12.5 = 2$.
$x^2 + y^2 - x - 7y + 10.5 = 0$.
$2$ से गुणा करने पर,$2x^2 + 2y^2 - 2x - 14y + 21 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) चारों वृत्तों के केंद्र $(\lambda, \lambda), (\lambda, -\lambda), (-\lambda, \lambda),$ और $(-\lambda, -\lambda)$ हैं और त्रिज्या $\lambda$ है।
माना अभीष्ट वृत्त का केंद्र मूल बिंदु $(0, 0)$ है और त्रिज्या $r$ है।
मूल बिंदु से किसी भी चार वृत्तों के केंद्र की दूरी $\sqrt{\lambda^2 + \lambda^2} = \sqrt{2} \lambda$ है।
चूंकि अभीष्ट वृत्त इन चार वृत्तों को बाह्य रूप से स्पर्श करता है,इसलिए अभीष्ट वृत्त के केंद्र और चार वृत्तों में से किसी के भी केंद्र के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर होनी चाहिए,अर्थात $r + \lambda$।
अतः,$r + \lambda = \sqrt{2} \lambda$।
$r$ के लिए हल करने पर,हमें $r = \sqrt{2} \lambda - \lambda = (\sqrt{2} - 1) \lambda$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्त बिंदुओं $A(3,4)$,$B(3,2)$ और $C(1,4)$ से होकर गुजरता है।
चूंकि $AB$ एक ऊर्ध्वाधर रेखाखंड $(x=3)$ है और $AC$ एक क्षैतिज रेखाखंड $(y=4)$ है,इसलिए $A(3,4)$ पर कोण $90^\circ$ है।
अतः,$BC$ वृत्त का व्यास है।
$BC$ का मध्यबिंदु केंद्र $(h, k) = (\frac{3+1}{2}, \frac{2+4}{2}) = (2, 3)$ है।
त्रिज्या $r$ केंद्र $(2, 3)$ से $(3, 4)$ तक की दूरी है:
$r = \sqrt{(3-2)^2 + (4-3)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
प्राचलिक समीकरण $x = 2 + \sqrt{2} \cos \theta$ और $y = 3 + \sqrt{2} \sin \theta$ हैं।
$x = a + r \cos \theta$ और $y = b + r \sin \theta$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 2$,$b = 3$ और $r = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$b^a \cdot r^a = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$.

(A) माना अभीष्ट वृत्त $S_2 = 0$ है। स्पर्श बिंदु $P(1,2)$ है। दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2+2x+8y-23=0$ का केंद्र $C_1(-1,-4)$ है और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{(-1)^2+(-4)^2-(-23)} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ है।
चूंकि वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2 = r_1 + r_2 = 2\sqrt{10} + \sqrt{10} = 3\sqrt{10}$ है।
केंद्र $C_2(h,k)$,$C_1(-1,-4)$ और $P(1,2)$ को जोड़ने वाली रेखा पर स्थित है। सदिश $\vec{C_1P} = (2,6)$ है।
$\vec{C_1P}$ की दिशा में इकाई सदिश $\frac{(2,6)}{2\sqrt{10}} = (\frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{3}{\sqrt{10}})$ है।
चूंकि $C_2$,$P(1,2)$ से $\sqrt{10}$ की दूरी पर है,$C_2 = (1,2) + \sqrt{10}(\frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{3}{\sqrt{10}}) = (2,5)$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(2,5)$ और त्रिज्या $\sqrt{10}$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-2)^2 + (y-5)^2 = 10$ अर्थात $x^2+y^2-4x-10y+19 = 0$ है।
यहाँ $a=-4, b=-10, c=19$ है।
अतः $|a+b+c| = |-4-10+19| = 5$.

(C) चूंकि वृत्त दोनों निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करता है और $(-6, 3)$ बिंदु से गुजरता है,इसलिए इसका केंद्र $(-r, r)$ और त्रिज्या $r$ है,जहाँ $r > 0$ है।
वृत्त का समीकरण: $(x+r)^2 + (y-r)^2 = r^2$
$x^2 + 2xr + r^2 + y^2 - 2yr + r^2 = r^2$
$x^2 + y^2 + 2xr - 2yr + r^2 = 0$
बिंदु $(-6, 3)$ को समीकरण में रखने पर:
$(-6)^2 + (3)^2 + 2(-6)r - 2(3)r + r^2 = 0$
$36 + 9 - 12r - 6r + r^2 = 0$
$r^2 - 18r + 45 = 0$
$(r - 3)(r - 15) = 0$
अतः,$r = 3$ या $r = 15$ है।
$r = 3$ के लिए,समीकरण $x^2 + y^2 + 6x - 6y + 9 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-4x+6y-12=0$ है।
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $g=-2$,$f=3$,और $c=-12$ प्राप्त होता है।
इस वृत्त का केंद्र $C$ $(-g, -f) = (2, -3)$ है और इसकी त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-2)^2+(3)^2-(-12)} = \sqrt{4+9+12} = \sqrt{25} = 5$ है।
मान लीजिए $O(-3, 2)$ वृत्त $S$ का केंद्र है। पहले वृत्त का व्यास वृत्त $S$ की एक जीवा है।
केंद्रों $O(-3, 2)$ और $C(2, -3)$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (-3 - 2)^2} = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25+25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ है।
$S$ के केंद्र,पहले वृत्त के केंद्र और जीवा पर स्थित एक बिंदु द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,वृत्त $S$ की त्रिज्या $R$,$R^2 = r^2 + d^2$ द्वारा दी जाती है।
$R^2 = 5^2 + (5\sqrt{2})^2 = 25 + 50 = 75$.
$R = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$.

(A) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+6x+6y-2=0$ है। केंद्र $O$ $(-3, -3)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{(-3)^2+(-3)^2-(-2)} = \sqrt{9+9+2} = \sqrt{20}$ है।
चूंकि बिंदु $Q$ $Y$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए इसका $x$-निर्देशांक $0$ है। रेखा के समीकरण $5x-2y+6=0$ में $x=0$ रखने पर,$-2y+6=0$ प्राप्त होता है,जिससे $y=3$ मिलता है। अतः,$Q$ $(0, 3)$ है।
बिंदु $Q(0, 3)$ से वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई $PQ = \sqrt{S_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $S_1 = x_1^2+y_1^2+6x_1+6y_1-2$ है।
$PQ = \sqrt{0^2+3^2+6(0)+6(3)-2} = \sqrt{0+9+0+18-2} = \sqrt{25} = 5$.

(A) वृत्त $x^2+y^2=4$ के लिए बिंदु $P(\sqrt{3}, 1)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $T=0$ के अनुसार $\sqrt{3}x+y=4$ है।
इस स्पर्शरेखा $PT$ की ढाल $m_{PT} = -\sqrt{3}$ है।
चूंकि रेखा $L$,$PT$ के लंबवत है,इसलिए $L$ की ढाल $m_L = \frac{1}{\sqrt{3}}$ होगी।
माना रेखा $L$ का समीकरण $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + c$ है,जिसे $x - \sqrt{3}y + \sqrt{3}c = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $L$,वृत्त $(x-3)^2+y^2=1$ (केंद्र $(3, 0)$,त्रिज्या $r=1$) की स्पर्शरेखा है,इसलिए केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होगी:
$\frac{|3 - \sqrt{3}(0) + \sqrt{3}c|}{\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2}} = 1$
$\frac{|3 + \sqrt{3}c|}{2} = 1$
$|3 + \sqrt{3}c| = 2$
स्थिति $1$: $3 + \sqrt{3}c = 2$ $\Rightarrow \sqrt{3}c = -1$ $\Rightarrow c = -\frac{1}{\sqrt{3}}$।
समीकरण $x - \sqrt{3}y = 1$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-10x=0$ है। वृत्त का केंद्र $(5,0)$ है।
बिंदु $(9,3)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $9x + 3y - 5(x+9) = 0$ अर्थात $4x + 3y - 45 = 0$ है।
स्पर्श रेखा $X$-अक्ष को बिंदु $A(\frac{45}{4}, 0)$ पर काटती है।
अभिलंब का समीकरण $3x - 4y - 15 = 0$ है।
अभिलंब $X$-अक्ष को बिंदु $B(5,0)$ पर काटती है।
त्रिभुज के शीर्ष $P(9,3)$,$A(\frac{45}{4}, 0)$ और $B(5,0)$ हैं।
आधार $AB = \frac{45}{4} - 5 = \frac{25}{4}$ और ऊँचाई $3$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \frac{25}{4} \times 3 = \frac{75}{8}$ वर्ग इकाई।

(A) बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $S=0$ पर स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण $SS_1=T^2$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$S = x^2+y^2-4=0$ और बिंदु $(4,0)$ है।
$S_1 = 4^2+0^2-4 = 12$.
$T = 4x-4$.
$SS_1=T^2$ में मान रखने पर:
$12(x^2+y^2-4) = (4x-4)^2$.
$12(x^2+y^2-4) = 16(x-1)^2$.
$4$ से विभाजित करने पर:
$3(x^2+y^2-4) = 4(x^2-2x+1)$.
$3x^2+3y^2-12 = 4x^2-8x+4$.
$x^2-3y^2-8x+16 = 0$.
$(x-4)^2 - 3y^2 = 0$.
$(x-4)^2 = 3y^2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\sqrt{3}y = \pm(x-4)$.

(D) वृत्त $S = x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0$ के लिए, केंद्र $C_1 = (1, 2)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{1^2 + 2^2 - (-4)} = 3$ है।
वृत्त $S^{\prime} = x^2 + y^2 + 4x + 4y + 4 = 0$ के लिए, केंद्र $C_2 = (-2, -2)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 - 4} = 2$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $C_1 C_2 = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ है।
सीधी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई $L = \sqrt{(C_1 C_2)^2 - (r_1 - r_2)^2}$ द्वारा दी जाती है।
$L = \sqrt{5^2 - (3 - 2)^2} = \sqrt{25 - 1} = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6}$।
अतः, $T_1$ और $T_1^{\prime}$ के बीच की दूरी $2 \sqrt{6}$ है।

(D) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2x+4y+3=0$ है।
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=-1, f=2, c=3$ प्राप्त होता है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-1)^2+2^2-3} = \sqrt{1+4-3} = \sqrt{2}$ है।
बिंदु $P(6,-5)$ से वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई $L = \sqrt{S_1}$ है।
$L = \sqrt{6^2+(-5)^2-2(6)+4(-5)+3} = \sqrt{36+25-12-20+3} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle OAP$ में,जहाँ $O$ केंद्र है और $A$ स्पर्श बिंदु है,$\tan(\frac{\theta}{2}) = \frac{r}{L} = \frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{4}$ है।
हम जानते हैं कि $\tan \theta = \frac{2\tan(\frac{\theta}{2})}{1-\tan^2(\frac{\theta}{2})} = \frac{2(\frac{1}{4})}{1-(\frac{1}{4})^2} = \frac{1/2}{15/16} = \frac{8}{15}$ है।
अतः,$\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{15}{8}$।

(C) वृत्तों के समीकरण $S_1: x^2+y^2-2x-4y+c=0$ और $S_2: x^2+y^2-4x-2y+4=0$ हैं।
$S_1$ के लिए,केंद्र $C_1 = (1, 2)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{5-c}$ है।
$S_2$ के लिए,केंद्र $C_2 = (2, 1)$ और त्रिज्या $r_2 = 1$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{2}$ है।
दो वृत्तों के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \left| \frac{r_1^2 + r_2^2 - d^2}{2r_1r_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ रखने पर,$\frac{1}{2} = \left| \frac{4-c}{2\sqrt{5-c}} \right|$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$5-c = (4-c)^2 \Rightarrow c^2 - 7c + 11 = 0$।
हल करने पर,$c = \frac{7 \pm \sqrt{5}}{2}$।

(B) वृत्तों के समीकरण $x^2+y^2-2x+2y+1=0$ और $x^2+y^2+2x-2y+k=0$ हैं।
पहले वृत्त के लिए,केंद्र $C_1 = (1, -1)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{1^2+(-1)^2-1} = 1$ है।
दूसरे वृत्त के लिए,केंद्र $C_2 = (-1, 1)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{(-1)^2+1^2-k} = \sqrt{2-k}$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ है।
वृत्तों के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{r_1^2 + r_2^2 - d^2}{2r_1r_2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\theta = \frac{\pi}{3}$,इसलिए $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{2} = \frac{1^2 + (\sqrt{2-k})^2 - (2\sqrt{2})^2}{2(1)(\sqrt{2-k})} = \frac{1 + 2 - k - 8}{2\sqrt{2-k}} = \frac{-5-k}{2\sqrt{2-k}}$।
अतः,$\sqrt{2-k} = -5-k$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $2-k = (-5-k)^2 = 25 + k^2 + 10k$।
$k^2 + 11k + 23 = 0$।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$k = \frac{-11 \pm \sqrt{121 - 4(23)}}{2} = \frac{-11 \pm \sqrt{121 - 92}}{2} = \frac{-11 \pm \sqrt{29}}{2}$।
चूंकि $\sqrt{29}$ अपरिमेय है,इसलिए $k$ एक अपरिमेय संख्या है।

(B) दो वृत्तों $x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ और $x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ के लंबकोणीय होने की शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ है।
दिए गए वृत्तों के लिए यह शर्त लागू करने पर:
$1$) $4g + 4f = c + 7$
$2$) $-4g + 4f = c + 7$
$3$) $-4g - 4f = c + 7$
$(1)$ में से $(2)$ घटाने पर $8g = 0 \Rightarrow g = 0$ प्राप्त होता है।
$(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर $c = -7$ प्राप्त होता है।
अतः $f = 0$ प्राप्त होता है।
वृत्त का समीकरण $S: x^2 + y^2 - 7 = 0$ है।
बिंदु $(\sqrt{3}, 2)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 + c = 0$ के अनुसार $\sqrt{3}x + 2y - 7 = 0$ है।

(A) दो वृत्तों $x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ और $x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ के लंबकोणीय होने की शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ है।
दिया गया है $S: x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + 4 = 0$ और $C_1: x^2 + y^2 - 4x - 4y - 4 = 0$.
शर्त लागू करने पर: $2g(-2) + 2f(-2) = 4 - 4$ $\Rightarrow -4g - 4f = 0$ $\Rightarrow g + f = 0$.
माना $r_1$ वृत्त $S$ की त्रिज्या है,अतः $r_1^2 = g^2 + f^2 - 4$.
दिया गया है कि $S$,$C_2: x^2 + y^2 + 4x + 4y + 4 = 0$ के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाता है।
केंद्र $O_1 = (-g, -f)$ और $O_2 = (-2, -2)$ हैं। दूरी $d^2 = (-g + 2)^2 + (-f + 2)^2 = (g - 2)^2 + (f - 2)^2$.
$C_2$ की त्रिज्या $r_2 = \sqrt{2^2 + 2^2 - 4} = 2$ है।
वृत्तों के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\cos \theta = \frac{r_1^2 + r_2^2 - d^2}{2r_1r_2}$.
$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} = \frac{r_1^2 + 4 - ((g - 2)^2 + (f - 2)^2)}{2r_1(2)}$.
$2r_1 = r_1^2 + 4 - (g^2 - 4g + 4 + f^2 - 4f + 4) = r_1^2 + 4 - (g^2 + f^2 - 4(g + f) + 8)$.
चूंकि $g + f = 0$ और $g^2 + f^2 = r_1^2 + 4$,इसलिए $2r_1 = r_1^2 + 4 - (r_1^2 + 4 - 0 + 8) = r_1^2 + 4 - r_1^2 - 12 = -8$.
मापांक लेने पर,$2r_1 = 8$,अतः $r_1 = 4$.

(C) दो वृत्त लंबकोणीय (orthogonal) होते हैं यदि उनके बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ हो।
वृत्तों $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ के लिए,लंबकोणीयता की शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ है।
दिए गए समीकरणों की तुलना मानक रूप से करने पर:
वृत्त $1$: $g_1 = -2, f_1 = -3, c_1 = k$.
वृत्त $2$: $g_2 = 4, f_2 = -2, c_2 = 11$.
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$2(-2)(4) + 2(-3)(-2) = k + 11$
$-16 + 12 = k + 11$
$-4 = k + 11$
$k = -15$.

(C) दो वृत्तों $S_1=0$ और $S_2=0$ के प्रतिच्छेदन से होकर जाने वाले वृत्त का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x^2+y^2+6x+4y-12) + \lambda(x^2+y^2-4x-6y-12) = 0$
$(1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 + (6-4\lambda)x + (4-6\lambda)y - 12(1+\lambda) = 0$
$(1+\lambda)$ से विभाजित करने पर,$x^2 + y^2 + 2\left(\frac{3-2\lambda}{1+\lambda}\right)x + 2\left(\frac{2-3\lambda}{1+\lambda}\right)y - 12 = 0$ प्राप्त होता है।
वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ की त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$ होती है।
दिया है $r = \sqrt{13}$,अतः $g^2+f^2-c = 13$.
$\left(\frac{3-2\lambda}{1+\lambda}\right)^2 + \left(\frac{2-3\lambda}{1+\lambda}\right)^2 - (-12) = 13$
$\frac{9+4\lambda^2-12\lambda + 4+9\lambda^2-12\lambda}{(1+\lambda)^2} = 1$
$13\lambda^2 - 24\lambda + 13 = 1 + 2\lambda + \lambda^2$
$12\lambda^2 - 26\lambda + 12 = 0 \Rightarrow 6\lambda^2 - 13\lambda + 6 = 0$.
$\lambda$ के लिए हल करने पर: $(2\lambda-3)(3\lambda-2) = 0$,अतः $\lambda = \frac{3}{2}$ या $\lambda = \frac{2}{3}$.
$\lambda = \frac{2}{3}$ के लिए,समीकरण $x^2+y^2+2x-12=0$ है।
$\lambda = \frac{3}{2}$ के लिए,समीकरण $x^2+y^2-2y-12=0$ है।

(C) माना वृत्त $S$ का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
चूंकि वृत्त मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरता है,इसलिए $c=0$ है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f)$ है।
चूंकि केंद्र रेखा $x-y=0$ पर स्थित है,इसलिए $-g - (-f) = 0$,जिसका अर्थ है $g=f$।
अतः,वृत्त $S$ का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2gy=0$ है।
दो वृत्त $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ लंबकोणीय रूप से काटते हैं यदि $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1+c_2$ हो।
यहाँ,$g_1=g, f_1=g, c_1=0$ और $g_2=-2, f_2=-3, c_2=10$ है।
इन मानों को रखने पर: $2(g)(-2) + 2(g)(-3) = 0 + 10$।
$-4g - 6g = 10$ $\Rightarrow -10g = 10$ $\Rightarrow g = -1$।
वृत्त $S$ की त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-1)^2+(-1)^2-0} = \sqrt{2}$ है।
वृत्त $S$ का व्यास $2r = 2\sqrt{2}$ है।

(A) प्रथम वृत्त $x^2+y^2=4$ के लिए,केंद्र $C_1 = (0,0)$ और त्रिज्या $r_1 = 2$ है।
दूसरे वृत्त $x^2+y^2-6x-8y-24=0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (3,4)$ और त्रिज्या $r_2 = 7$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(3-0)^2+(4-0)^2} = 5$ है।
यहाँ $|r_2 - r_1| = |7 - 2| = 5$ है।
चूँकि केंद्रों के बीच की दूरी $d = |r_2 - r_1|$ है,इसलिए वृत्त एक-दूसरे को आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं।
जब दो वृत्त एक-दूसरे को आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं,तो उनकी $1$ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा होती है।

(B) वृत्तों के समीकरण $C_1: x^2+y^2-6x-6y+13=0$ और $C_2: x^2+y^2-8y+9=0$ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा $AB$ का समीकरण $C_1 - C_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है:
$(x^2+y^2-6x-6y+13) - (x^2+y^2-8y+9) = 0$
$-6x+2y+4 = 0 \Rightarrow 3x-y-2 = 0$.
यह परवलय की नियता है।
नियता की ढाल $m_D = 3$ है।
परवलय का अक्ष नियता के लंबवत है और शीर्ष $O(0,0)$ से गुजरता है।
अक्ष की ढाल $m_A = -1/3$ है।
अक्ष का समीकरण $y - 0 = -1/3(x - 0) \Rightarrow x+3y = 0$ है।
शीर्ष से नियता पर लंब का पाद $3x-y-2=0$ और $x+3y=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
इन्हें हल करने पर,हमें $x = 3/5$ और $y = -1/5$ प्राप्त होता है। यह बिंदु $Z(3/5, -1/5)$ है।
चूंकि शीर्ष $O(0,0)$ नाभि $S(\alpha, \beta)$ और लंब के पाद $Z(3/5, -1/5)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य बिंदु है:
$0 = (\alpha + 3/5)/2 \Rightarrow \alpha = -3/5$
$0 = (\beta - 1/5)/2 \Rightarrow \beta = 1/5$.
अतः,नाभि $(-3/5, 1/5)$ है।

(A) वृत्तों $S_1$ और $S_2$ की उभयनिष्ठ जीवा $S_1 - S_2 = 0$ है।
$(x^2+y^2+2x+3y+1) - (x^2+y^2+4x+3y+2) = 0$
$-2x - 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$।
$S_1$ और $S_2$ से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ है।
$(1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 + (2+4\lambda)x + (3+3\lambda)y + (1+2\lambda) = 0$।
इस वृत्त का केंद्र $(-\frac{2+4\lambda}{2(1+\lambda)}, -\frac{3+3\lambda}{2(1+\lambda)})$ है।
चूंकि उभयनिष्ठ जीवा $x = -\frac{1}{2}$ व्यास है,केंद्र इस रेखा पर स्थित है।
$-\frac{2+4\lambda}{2(1+\lambda)} = -\frac{1}{2}$ $\Rightarrow 3\lambda = -1$ $\Rightarrow \lambda = -\frac{1}{3}$।
मान रखने पर,$2x^2+2y^2+2x+6y+1=0$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
चूंकि वृत्त धनात्मक $X$ और $Y$ अक्ष को स्पर्श करता है, इसलिए इसका केंद्र $(r, r)$ और त्रिज्या $r$ होगी, जहाँ $r > 0$ है।
अतः, समीकरण $(x - r)^2 + (y - r)^2 = r^2$ हो जाता है, जो सरल होकर $x^2 + y^2 - 2rx - 2ry + r^2 = 0$ बनता है।
इसे $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के साथ तुलना करने पर, हमें $g = -r$ और $f = -r$ प्राप्त होता है।
चूंकि बिंदु $(2, 4)$ वृत्त पर स्थित है, हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(2 - r)^2 + (4 - r)^2 = r^2$
$4 - 4r + r^2 + 16 - 8r + r^2 = r^2$
$r^2 - 12r + 20 = 0$
$(r - 10)(r - 2) = 0$
अतः, दो संभावित त्रिज्याएँ $r_1 = 10$ और $r_2 = 2$ हैं।
दोनों वृत्तों के क्षेत्रफल $A_1 = \pi(10)^2 = 100\pi$ और $A_2 = \pi(2)^2 = 4\pi$ हैं।
उनके क्षेत्रफलों का अंतर $100\pi - 4\pi = 96\pi$ है।

(C) माना वृत्त $S = x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
दिया गया है कि $P(-3, 5)$ का प्रतिलोम बिंदु $A(1, 3)$ है।
$P$ की ध्रुवीय रेखा $PA$ के लंबवत होती है।
$PA$ की ढाल $m_{PA} = \frac{3 - 5}{1 - (-3)} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ है।
अतः,ध्रुवीय रेखा की ढाल $m = -\frac{1}{m_{PA}} = 2$ होगी।
ध्रुवीय रेखा $A(1, 3)$ से होकर गुजरती है,इसलिए इसका समीकरण $y - 3 = 2(x - 1)$ होगा।
$y - 3 = 2x - 2$.
$2x - y + 1 = 0$.

(D) माना ध्रुव $(h, k)$ है।
वृत्त $2x^2 + 2y^2 - 3x + 5y - 7 = 0$ के सापेक्ष ध्रुवीय रेखा का समीकरण $T = 0$ है।
समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर: $x^2 + y^2 - \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}y - \frac{7}{2} = 0$.
ध्रुवीय रेखा का समीकरण: $hx + ky - \frac{3}{2}(\frac{x+h}{2}) + \frac{5}{2}(\frac{y+k}{2}) - \frac{7}{2} = 0$.
$4$ से गुणा करने पर: $(4h - 3)x + (4k + 5)y - 3h + 5k - 14 = 0$.
दी गई रेखा $9x + y - 28 = 0$ से तुलना करने पर:
$\frac{4h - 3}{9} = \frac{4k + 5}{1} = \frac{-3h + 5k - 14}{-28} = \lambda$.
हल करने पर,हमें $\lambda = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$4h - 3 = 9$ $\Rightarrow 4h = 12$ $\Rightarrow h = 3$.
$4k + 5 = 1$ $\Rightarrow 4k = -4$ $\Rightarrow k = -1$.
अतः,ध्रुव $(3, -1)$ है।

(B) दिया गया वृत्त $S: x^2+y^2-8x+10y+5=0$ है।
$P(1,1)$ के ध्रुव का समीकरण $T=0$ के अनुसार:
$x(1)+y(1)-4(x+1)+5(y+1)+5=0 \Rightarrow x-2y-2=0$ ...$(1)$
$Q(1,-1)$ को मध्य-बिंदु के रूप में रखने वाली जीवा का समीकरण $T=S_1$ के अनुसार:
$x(1)+y(-1)-4(x+1)+5(y-1)+5 = 1+1-8-10+5 \Rightarrow 3x-4y-7=0$ ...$(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को हल करने पर,हमें $(11, 13/2)$ प्राप्त होता है।

(C) दो वृत्तों $S_1=0$ और $S_2=0$ की मूल अक्ष $S_1-S_2=0$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $S_1: x^2+y^2-5x+6y+12=0$ और $S_2: x^2+y^2+6x-4y-14=0$।
$S_1$ में से $S_2$ घटाने पर:
$(x^2+y^2-5x+6y+12) - (x^2+y^2+6x-4y-14) = 0$
$-11x+10y+26=0$ या $11x-10y-26=0$।
मूल अक्ष की ढाल $m_1 = \frac{11}{10}$ है।
मूल अक्ष के लंबवत रेखा की ढाल $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{10}{11}$ होगी।
$(1,1)$ से गुजरने वाली और $m_2 = -\frac{10}{11}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण:
$y-1 = -\frac{10}{11}(x-1)$
$11(y-1) = -10(x-1)$
$11y-11 = -10x+10$
$10x+11y-21=0$।

(D) माना वृत्तों के समीकरण $S_1: x^2+y^2-1=0$,$S_2: x^2+y^2-2x-3=0$ और $S_3: x^2+y^2-2y-3=0$ हैं।
रेडिकल केंद्र ज्ञात करने के लिए,हम रेडिकल अक्षों का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
$S_1-S_2=0 \implies 2x+2=0 \implies x=-1$.
$S_1-S_3=0 \implies 2y+2=0 \implies y=-1$.
अतः,रेडिकल केंद्र $C(\alpha, \beta)$ $(-1, -1)$ है।
वृत्तों की त्रिज्याएँ: $r_1 = 1$,$r_2 = 2$,$r_3 = 2$.
त्रिज्याओं का योग $r = 1+2+2 = 5$.
केंद्र $(-1, -1)$ और त्रिज्या $5$ वाले वृत्त का समीकरण $(x+1)^2+(y+1)^2=25$ है।

(D) वृत्त $S_1: x^2+y^2-2x-6y+9=0$ के लिए,केंद्र $C_1$ $(1, 3)$ है और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{1^2+3^2-9} = \sqrt{1} = 1$ है।
वृत्त $S_2: x^2+y^2+6x-2y+1=0$ के लिए,केंद्र $C_2$ $(-3, 1)$ है और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{(-3)^2+1^2-1} = \sqrt{9} = 3$ है।
केंद्रों $C_1$ और $C_2$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ है।
चूँकि $\sqrt{20} \approx 4.47$ और $r_1 + r_2 = 1 + 3 = 4$ है,हम देखते हैं कि $d > r_1 + r_2$ है।
चूँकि केंद्रों के बीच की दूरी त्रिज्याओं के योग से अधिक है,इसलिए दोनों वृत्त एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करते हैं और एक-दूसरे के बाहर स्थित हैं।
अतः,उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या $4$ है।

(C) मान लीजिए मूलबिंदु $P(h, k)$ पर स्थानांतरित किया जाता है। रूपांतरण समीकरण $x = x' + h$ और $y = y' + k$ हैं।
प्रथम समीकरण $3x^2 + y^2 - 6x + 4y + 4 = 0$ में इन मानों को रखने पर:
$3(x' + h)^2 + (y' + k)^2 - 6(x' + h) + 4(y' + k) + 4 = 0$
$3(x'^2 + 2hx' + h^2) + (y'^2 + 2ky' + k^2) - 6x' - 6h + 4y' + 4k + 4 = 0$
$3x'^2 + y'^2 + (6h - 6)x' + (2k + 4)y' + (3h^2 + k^2 - 6h + 4k + 4) = 0$.
प्रथम घात के पदों को हटाने के लिए,$x'$ और $y'$ के गुणांकों को शून्य लेने पर:
$6h - 6 = 0 \Rightarrow h = 1$
$2k + 4 = 0 \Rightarrow k = -2$.
अतः,मूलबिंदु $P(1, -2)$ पर स्थानांतरित होता है।
अब,दूसरे समीकरण $2x^2 + 3xy - 5y^2 + 2x - 23y - 24 = 0$ में $x = x' + 1$ और $y = y' - 2$ रखने पर:
$2(x' + 1)^2 + 3(x' + 1)(y' - 2) - 5(y' - 2)^2 + 2(x' + 1) - 23(y' - 2) - 24 = 0$
गणना करने पर हमें प्राप्त होता है:
$2x'^2 + 3x'y' - 5y'^2 = 0$.
इस प्रकार,रूपांतरित समीकरण $2x^2 + 3xy - 5y^2 = 0$ है।

(B) माना $P(x, y)$ बिंदु है। दिया गया है $PA + PB = 4$।
$\sqrt{(x-2)^2 + (y-0)^2} + \sqrt{(x-0)^2 + (y+2)^2} = 4$
$\sqrt{(x-2)^2 + y^2} = 4 - \sqrt{x^2 + (y+2)^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x-2)^2 + y^2 = 16 + x^2 + (y+2)^2 - 8\sqrt{x^2 + (y+2)^2}$
$x^2 - 4x + 4 + y^2 = 16 + x^2 + y^2 + 4y + 4 - 8\sqrt{x^2 + (y+2)^2}$
$-4x - 4y - 16 = -8\sqrt{x^2 + (y+2)^2}$
$x + y + 4 = 2\sqrt{x^2 + (y+2)^2}$
पुनः वर्ग करने पर:
$(x + y + 4)^2 = 4(x^2 + y^2 + 4y + 4)$
$x^2 + y^2 + 16 + 2xy + 8x + 8y = 4x^2 + 4y^2 + 16y + 16$
$3x^2 - 2xy + 3y^2 - 8x + 8y = 0$.

(A) दिया गया है कि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ लंबवत हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ है।
हमें $|\vec{a}| = 8$ और $|\vec{b}| = 3$ दिया गया है।
हमें $|\vec{a} - 2\vec{b}|$ का मान ज्ञात करना है।
गुणधर्म $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$ का उपयोग करते हुए:
$|\vec{a} - 2\vec{b}|^2 = (\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b})$
$= |\vec{a}|^2 + 4|\vec{b}|^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b})$
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$= (8)^2 + 4(3)^2 - 4(0)$
$= 64 + 4(9) - 0$
$= 64 + 36 = 100$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$|\vec{a} - 2\vec{b}| = \sqrt{100} = 10$.

(B) माना $\vec{a} = \vec{BC} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = \vec{CD} = \hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ है।
समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,भुजाएँ $\vec{BC}$ और $\vec{CD}$ हैं। विकर्ण $\vec{AC} = \vec{BC} + \vec{CD} = (2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + (\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}) = 3\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{BD} = \vec{BC} - \vec{CD} = (2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - (\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}) = \hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ हैं।
माना $\vec{d_1} = \vec{AC} = 3\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{d_2} = \vec{BD} = \hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ है।
$|\vec{d_1}| = \sqrt{3^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 9 + 1} = \sqrt{19}$.
$|\vec{d_2}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 1 + 9} = \sqrt{11}$.
$\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = (3)(1) + (3)(-1) + (-1)(3) = 3 - 3 - 3 = -3$.
$\cos \theta = \frac{\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}}{|\vec{d_1}| |\vec{d_2}|} = \frac{-3}{\sqrt{19} \cdot \sqrt{11}} = \frac{-3}{\sqrt{209}}$.
चूँकि $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{9}{209} = \frac{200}{209}$,इसलिए $\sin \theta = \frac{\sqrt{200}}{\sqrt{209}} = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{209}}$ है।
अतः,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{10\sqrt{2} / \sqrt{209}}{-3 / \sqrt{209}} = \frac{-10\sqrt{2}}{3}$।

(D) बिंदु $P$ का स्थिति सदिश जो $AB$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है,विभाजन सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\vec{r} = \frac{2(\overrightarrow{OB}) + 1(\overrightarrow{OA})}{2+1} = \frac{2(\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}) + 1(\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k})}{3}$
$= \frac{2\hat{i} + 6\hat{j} - 4\hat{k} + \hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}}{3} = \frac{3\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}}{3} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$
अब,सदिश $\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{OC} - \vec{r} = (4\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}) - (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$
$\overrightarrow{PC}$ का परिमाण $|\overrightarrow{PC}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$
$\overrightarrow{PC}$ की दिक्-कोसाइन $(l, m, n)$ इस प्रकार हैं:
$l = \frac{3}{7}, m = \frac{2}{7}, n = \frac{6}{7}$
अतः,$l + 3m + 2n = \frac{3}{7} + 3(\frac{2}{7}) + 2(\frac{6}{7}) = \frac{3 + 6 + 12}{7} = \frac{21}{7} = 3$

(A) एक सदिश $\vec{v}$ का $\vec{a}$ पर प्रक्षेप $\left(\frac{\vec{v} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2}\right) \vec{a}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,$|\vec{a}|^2 = (1)^2 + (-2)^2 + (2)^2 = 1 + 4 + 4 = 9$ की गणना करें।
$\vec{p}$ ($\vec{b}$ का $\vec{a}$ पर प्रक्षेप) के लिए:
$\vec{p} = \left(\frac{(6)(1) + (2)(-2) + (-3)(2)}{9}\right) \vec{a} = \left(\frac{6 - 4 - 6}{9}\right) \vec{a} = \frac{-4}{9} \vec{a}$.
$\vec{q}$ ($\vec{c}$ का $\vec{a}$ पर प्रक्षेप) के लिए:
$\vec{q} = \left(\frac{(3)(1) + (-4)(-2) + (-12)(2)}{9}\right) \vec{a} = \left(\frac{3 + 8 - 24}{9}\right) \vec{a} = \frac{-13}{9} \vec{a}$.
अब,हमें $13 \vec{p}$ ज्ञात करना है:
$13 \vec{p} = 13 \left(\frac{-4}{9} \vec{a}\right) = \frac{-52}{9} \vec{a}$.
$\vec{q} = \frac{-13}{9} \vec{a}$ के साथ तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $4 \vec{q} = 4 \left(\frac{-13}{9} \vec{a}\right) = \frac{-52}{9} \vec{a}$.
अतः,$13 \vec{p} = 4 \vec{q}$.

(C) माना बिंदुओं के स्थिति सदिश $\vec{A} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{B} = 2\hat{i} - \hat{k}$,$\vec{C} = \hat{j} + 2\hat{k}$,और $\vec{D} = \hat{i} + \hat{j} + \lambda\hat{k}$ हैं।
बिंदुओं के समतलीय होने के लिए,सदिशों $\vec{AB}$,$\vec{AC}$,और $\vec{AD}$ का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए।
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$.
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = -\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{AD} = \vec{D} - \vec{A} = 2\hat{j} + (\lambda-1)\hat{k}$.
समतलीयता की शर्त $\begin{vmatrix} 1 & 1 & -2 \\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & \lambda-1 \end{vmatrix} = 0$ है।
सारणिक का विस्तार करने पर: $1(2(\lambda-1) - 2) - 1(-1(\lambda-1) - 0) - 2(-2 - 0) = 0$.
$1(2\lambda - 4) + 1(\lambda - 1) + 4 = 0$.
$3\lambda - 1 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{3}$.
अब,सदिश $6\lambda\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}$ है।
इसका परिमाण $\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$ है।

(D) माना कि चार बिंदुओं के स्थिति सदिश $\vec{a} = 2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$,$\vec{b} = -12 \hat{i}-\hat{j}-3 \hat{k}$,$\vec{c} = -\hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}$,और $\vec{d} = \lambda \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ हैं।
बिंदु समतलीय होते हैं यदि सदिश $\vec{b}-\vec{a}$,$\vec{c}-\vec{a}$,और $\vec{d}-\vec{a}$ समतलीय हों,जिसका अर्थ है कि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य है: $(\vec{b}-\vec{a}) \cdot ((\vec{c}-\vec{a}) \times (\vec{d}-\vec{a})) = 0$.
सदिशों की गणना:
$\vec{b}-\vec{a} = -14\hat{i} - 6\hat{k}$
$\vec{c}-\vec{a} = -3\hat{i} + 3\hat{j} - 7\hat{k}$
$\vec{d}-\vec{a} = (\lambda-2)\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$
समतलीयता के लिए शर्त यह है कि इन सदिशों का सारणिक शून्य हो:
$\begin{vmatrix} -14 & 0 & -6 \\ -3 & 3 & -7 \\ \lambda-2 & 3 & -4 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$-14(3(-4) - (-7)(3)) - 0 + (-6)(-3(3) - 3(\lambda-2)) = 0$
$-14(9) - 6(-3 - 3\lambda) = 0$
$-126 + 18 + 18\lambda = 0$
$18\lambda = 108 \implies \lambda = 6$.

(B) माना $G_1$,$\triangle ABD$ का केंद्रक है। इसके निर्देशांक $\left(\frac{1+3-1}{3}, \frac{2+7+0}{3}, \frac{3-2-1}{3}\right) = (1, 3, 0)$ हैं।
माना $G_2$,$\triangle ACD$ का केंद्रक है। इसके निर्देशांक $\left(\frac{1+6-1}{3}, \frac{2+7+0}{3}, \frac{3+7-1}{3}\right) = (2, 3, 3)$ हैं।
स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i} + 3\hat{j}$ और $\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$ हैं।
$\vec{a}$ और $\vec{b}$ से गुजरने वाली रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + t(\vec{b} - \vec{a})$ है।
$\vec{b} - \vec{a} = (2-1)\hat{i} + (3-3)\hat{j} + (3-0)\hat{k} = \hat{i} + 3\hat{k}$ है।
अतः,$\vec{r} = (\hat{i} + 3\hat{j}) + t(\hat{i} + 3\hat{k}) = (1+t)\hat{i} + 3\hat{j} + 3t\hat{k}$।

(C) दिया गया है कि $\vec{c}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के साथ समतलीय है,इसलिए अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$ है।
चूंकि $\vec{d}$,$\vec{a}$,$\vec{b}$ और $\vec{c}$ के लंबवत है,यह $\vec{a} \times \vec{b}$ की दिशा में इकाई सदिश है।
अतः,$[\vec{a} \vec{b} \vec{d}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{d}) = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{d} = |\vec{a} \times \vec{b}| |\vec{d}| \cos 0^{\circ} = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin 30^{\circ} (1) = (1)(1)(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.
दिया गया समीकरण $\frac{1}{2} \vec{c} - 0 \cdot \vec{d} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ बन जाता है।
इसलिए,$\vec{c} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$.
अतः,$|\vec{c}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$.

(D) दिया है: $|\vec{a}|=1, |\vec{b}|=2$ और $|\vec{a}-\vec{b}|^2+|\vec{a}+2\vec{b}|^2=20$।
डॉट प्रोडक्ट का विस्तार करने पर:
$(\vec{a}-\vec{b}) \cdot (\vec{a}-\vec{b}) + (\vec{a}+2\vec{b}) \cdot (\vec{a}+2\vec{b}) = 20$
$|\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 + |\vec{a}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2 = 20$
$2|\vec{a}|^2 + 5|\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 20$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$2(1)^2 + 5(2)^2 + 2(1)(2)\cos\theta = 20$
$2 + 20 + 4\cos\theta = 20$
$22 + 4\cos\theta = 20$
$4\cos\theta = -2$
$\cos\theta = -\frac{1}{2}$
अतः,$\theta = \frac{2\pi}{3}$।

(A) माना $\vec{a} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$ है।
दिया गया है $\vec{a} \times \hat{i} = \hat{j} + \hat{k}$।
सदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\vec{a} \times \hat{i} = (x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}) \times \hat{i} = -y \hat{k} + z \hat{j} = z \hat{j} - y \hat{k}$।
$\hat{j} + \hat{k}$ से तुलना करने पर,हमें $z = 1$ और $y = -1$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $\vec{a} \cdot \hat{i} = 1$,इसलिए $(x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}) \cdot \hat{i} = x = 1$।
अतः,$\vec{a} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$।
बिंदु $\vec{p} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ से गुजरने वाली और $\vec{a}$ के समांतर रेखा का समीकरण $\vec{r} = \vec{p} + t \vec{a}$ है।
$\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + t(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = (1+t) \hat{i} + (1-t) \hat{j} + (1+t) \hat{k}$।

(B) दिया गया है कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$.
चूंकि $\vec{a} \perp \vec{b}$,इसलिए $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
दिया गया है $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|=1$,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = 1$ प्राप्त होता है।
डॉट गुणन का विस्तार करने पर: $(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) = 1$.
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 1$.
ज्ञात मान रखने पर: $1 + 1 + 1 + 2(0 + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 1$.
$3 + 2(\vec{c} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{b}) = 1$.
चूंकि $\vec{c} \cdot \vec{a} = |\vec{c}||\vec{a}| \cos \alpha = \cos \alpha$ और $\vec{c} \cdot \vec{b} = |\vec{c}||\vec{b}| \cos \beta = \cos \beta$,इसलिए:
$3 + 2(\cos \alpha + \cos \beta) = 1$.
$2(\cos \alpha + \cos \beta) = 1 - 3 = -2$.
अतः,$\cos \alpha + \cos \beta = -1$.

(D) दिया गया है $(\vec{c} \cdot \vec{c}) \vec{a} = \vec{c}$। दोनों पक्षों का $\vec{c}$ के साथ अदिश गुणन करने पर:
$(\vec{c} \cdot \vec{c}) (\vec{a} \cdot \vec{c}) = \vec{c} \cdot \vec{c} = |\vec{c}|^2$।
चूंकि $\vec{c}$ शून्य सदिश नहीं है,$|\vec{c}|^2 (\vec{a} \cdot \vec{c}) = |\vec{c}|^2$,अतः $\vec{a} \cdot \vec{c} = 1$ $(i)$।
दिया गया समीकरण: $(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} + (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{b} = (4 - 2 \beta - \sin \alpha) \vec{b} + (\beta^2 - 1) \vec{c}$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(\vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} = (4 - 2 \beta - \sin \alpha) \vec{b} + (\beta^2 - 1) \vec{c}$।
चूंकि $\vec{b}$ और $\vec{c}$ असरेख हैं,गुणांकों की तुलना करने पर:
$\vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{a} \cdot \vec{b} = 4 - 2 \beta - \sin \alpha$ $(ii)$
$-\vec{a} \cdot \vec{b} = \beta^2 - 1 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 - \beta^2$ $(iii)$।
$(i)$ और $(iii)$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $1 + (1 - \beta^2) = 4 - 2 \beta - \sin \alpha$।
$2 - \beta^2 = 4 - 2 \beta - \sin \alpha \Rightarrow \beta^2 - 2 \beta + 2 - \sin \alpha = 0$।
इस समीकरण के लिए $\sin \alpha = 1$ (अर्थात $\alpha = \frac{\pi}{2}$) लेने पर,$\beta^2 - 2 \beta + 1 = 0 \Rightarrow (\beta - 1)^2 = 0 \Rightarrow \beta = 1$।
अतः,$\sin (\alpha + \beta) = \sin (\frac{\pi}{2} + 1) = \cos 1$।

(A) दिया गया है कि $\vec{p} = \vec{q} + \vec{r}$,अतः:
$a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k} = (d \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) + (3 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k})$
$a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k} = (d + 3) \hat{i} + 4 \hat{j} + 2 \hat{k}$
गुणांकों की तुलना करने पर,$a = d + 3 \Rightarrow d = a - 3$,$b = 4$,और $c = 2$ प्राप्त होता है।
$\vec{q}$ और $\vec{r}$ द्वारा निर्मित $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\vec{q} \times \vec{r}| = 5 \sqrt{6}$ है।
$\vec{q} \times \vec{r} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ d & 3 & 4 \\ 3 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6 - 4) - \hat{j}(-2d - 12) + \hat{k}(d - 9) = -10 \hat{i} + (2d + 12) \hat{j} + (d - 9) \hat{k}$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \sqrt{(-10)^2 + (2d + 12)^2 + (d - 9)^2} = 5 \sqrt{6}$.
$\sqrt{100 + 4d^2 + 48d + 144 + d^2 - 18d + 81} = 10 \sqrt{6}$.
$5d^2 + 30d + 325 = 600 \Rightarrow 5d^2 + 30d - 275 = 0 \Rightarrow d^2 + 6d - 55 = 0$.
$(d + 11)(d - 5) = 0$,अतः $d = 5$ या $d = -11$.
यदि $d = 5$,तो $a = 5 + 3 = 8$. अतः $|a| + |b| + |c| = 8 + 4 + 2 = 14$.
यदि $d = -11$,तो $a = -11 + 3 = -8$. अतः $|a| + |b| + |c| = |-8| + 4 + 2 = 14$.

(D) सह-आदि किनारों $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ वाले समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिगुणन $|[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]|$ के निरपेक्ष मान द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $|[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]| = 61$.
$\begin{vmatrix} \lambda & 3 & 4 \\ 3 & -1 & \lambda \\ \lambda & 1 & -3 \end{vmatrix} = \pm 61$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$\lambda(3 - \lambda) - 3(-9 - \lambda^2) + 4(3 + \lambda) = \pm 61$.
$3\lambda - \lambda^2 + 27 + 3\lambda^2 + 12 + 4\lambda = \pm 61$.
$2\lambda^2 + 7\lambda + 39 = \pm 61$.
स्थिति $1$: $2\lambda^2 + 7\lambda + 39 = 61 \Rightarrow 2\lambda^2 + 7\lambda - 22 = 0$.
द्विघाती सूत्र का उपयोग करने पर: $\lambda = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 4(2)(-22)}}{2(2)} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 176}}{4} = \frac{-7 \pm \sqrt{225}}{4} = \frac{-7 \pm 15}{4}$.
$\lambda = \frac{8}{4} = 2$ या $\lambda = \frac{-22}{4} = -5.5$.
चूंकि $\lambda$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $\lambda = 2$ एक हल है।
स्थिति $2$: $2\lambda^2 + 7\lambda + 39 = -61 \Rightarrow 2\lambda^2 + 7\lambda + 100 = 0$.
विविक्तकर $D = 7^2 - 4(2)(100) = 49 - 800 = -751 < 0$. इस स्थिति के लिए कोई वास्तविक हल मौजूद नहीं है।
अतः,$\lambda$ के लिए केवल एक संभावित पूर्णांक मान $2$ है। संभावित मानों की संख्या $1$ है।

(B) $\vec{b}$ और $\vec{c}$ दोनों के लंबवत सदिश $\vec{r} = \lambda(\vec{b} \times \vec{c})$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 5 \\ 1 & -4 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 + 20) - \hat{j}(-6 - 5) + \hat{k}(-12 + 1) = 22\hat{i} + 11\hat{j} - 11\hat{k} = 11(2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$.
अतः,$\vec{r} = \lambda(11)(2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$.
दिया है $\vec{r} \cdot \vec{a} = 11$,इसलिए $11\lambda(2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) = 11$.
$11\lambda(2(1) + 1(2) - 1(3)) = 11 \implies 11\lambda(2 + 2 - 3) = 11 \implies 11\lambda(1) = 11 \implies \lambda = 1$.
अतः,$\vec{r} = 11(2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$.
एक सदिश $\vec{p}$,$\vec{r}$ के लंबवत होगा यदि $\vec{r} \cdot \vec{p} = 0$,जिसका अर्थ है $(2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) \cdot \vec{p} = 0$.
विकल्प $B$ की जाँच करने पर: $(2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) \cdot (\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = 2(1) + 1(-1) - 1(1) = 2 - 1 - 1 = 0$.
अतः,सदिश $\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ सदिश $\vec{r}$ के लंबवत है।

(A) दिए गए सदिश $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ और $\vec{b} = 2\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल ज्ञात करें: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2) + (2)(-1) + (-2)(-2) = 2 - 2 + 4 = 4$.
परिमाण का वर्ग ज्ञात करें: $|\vec{a}|^2 = 1^2 + 2^2 + (-2)^2 = 9$ और $|\vec{b}|^2 = 2^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = 9$.
$\vec{a}$ का $\vec{b}$ पर लंब प्रक्षेप सदिश $\vec{x} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \vec{b} = \frac{4}{9} \vec{b}$ है।
$\vec{b}$ का $\vec{a}$ पर लंब प्रक्षेप सदिश $\vec{y} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|^2} \vec{a} = \frac{4}{9} \vec{a}$ है।
अब,$|\vec{x} - \vec{y}| = |\frac{4}{9} \vec{b} - \frac{4}{9} \vec{a}| = \frac{4}{9} |\vec{b} - \vec{a}|$.
$\vec{b} - \vec{a} = (2-1)\hat{i} + (-1-2)\hat{j} + (-2 - (-2))\hat{k} = \hat{i} - 3\hat{j}$ प्राप्त होता है।
अतः,$|\vec{b} - \vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{10}$.
इस प्रकार,$|\vec{x} - \vec{y}| = \frac{4}{9} \sqrt{10}$।

(C) दिया गया है $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}$.
इसका अर्थ है $\vec{a}+\vec{b}=-\vec{c}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $|\vec{a}+\vec{b}|^2 = |-\vec{c}|^2$.
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = |\vec{c}|^2$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $3^2 + 5^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 7^2$.
$9 + 25 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 49$.
$34 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 49$.
$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 49 - 34 = 15$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{15}{2}$.
हम जानते हैं कि $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$,जहाँ $\theta$ $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है।
$\frac{15}{2} = (3)(5) \cos \theta$.
$\frac{15}{2} = 15 \cos \theta$.
$\cos \theta = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(D) दिया गया है: $|\vec{a}|=4, |\vec{b}|=5, |\vec{a}-\vec{b}|=3$.
परिमाण समीकरण का वर्ग करने पर: $|\vec{a}-\vec{b}|^2 = 3^2 = 9$.
गुणधर्म $|\vec{a}-\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta = 9$ का उपयोग करने पर।
मान रखने पर: $16 + 25 - 2(4)(5) \cos \theta = 9$.
$41 - 40 \cos \theta = 9$.
$40 \cos \theta = 32$.
$\cos \theta = \frac{32}{40} = \frac{4}{5}$.
चूंकि $\cos \theta = \frac{4}{5}$,इसलिए $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$.
इस प्रकार,$\cot^2 \theta = (\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9}$.

(B) दिया गया है कि $\vec{a} \cdot \vec{a} = \vec{b} \cdot \vec{b} = \vec{c} \cdot \vec{c} = 5$.
इसका अर्थ है कि $|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 = |\vec{c}|^2 = 5$.
हम जानते हैं कि $|\vec{x} + \vec{y} + \vec{z}|^2 = |\vec{x}|^2 + |\vec{y}|^2 + |\vec{z}|^2 + 2(\vec{x} \cdot \vec{y} + \vec{y} \cdot \vec{z} + \vec{z} \cdot \vec{x})$.
प्रत्येक पद का विस्तार करने पर:
$|\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}|^2 = 15 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{c} \cdot \vec{a})$.
$|\vec{b} + \vec{c} - \vec{a}|^2 = 15 + 2(\vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{c} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b})$.
$|\vec{c} + \vec{a} - \vec{b}|^2 = 15 + 2(\vec{c} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{c})$.
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$50 = 45 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$.
$5 = -2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = -\frac{5}{2}$.

(D) मान लीजिए कि मूल बिंदु परिकेंद्र $S$ पर है। तब $\vec{SA} = \vec{a}, \vec{SB} = \vec{b}, \vec{SC} = \vec{c}$,जहाँ $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = R$ है।
$(i)$ लंबकेंद्र $O$,$\vec{SO} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ द्वारा दिया जाता है। अतः,$\vec{SA} + \vec{SB} + \vec{SC} = \vec{SO}$। इसलिए,$(i) \rightarrow D$।
(ii) मान लीजिए $G$ केंद्रक है। तब $\vec{G} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3}$ है। $S$ को मूल बिंदु लेने पर,$\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = (\vec{a} - \vec{g}) + (\vec{b} - \vec{g}) + (\vec{c} - \vec{g}) = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - 3\vec{g} = 3\vec{g} - 3\vec{g} = \vec{0}$। इसलिए,$(ii) \rightarrow C$।
(iii) चूँकि $\vec{OA} = \vec{a} - \vec{o}$,$\vec{OB} = \vec{b} - \vec{o}$,और $\vec{OC} = \vec{c} - \vec{o}$ है,इसलिए $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - 3\vec{o} = \vec{o} - 3\vec{o} = -2\vec{o} = 2\vec{SO} = 2\vec{OS}$ (चूँकि $\vec{SO} = \vec{o}$)। इसलिए,$(iii) \rightarrow A$।
(iv) केंद्रक $G$,लंबकेंद्र $O$ और परिकेंद्र $S$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। अतः,$\vec{OG} = \frac{2}{3}\vec{OS}$। इसलिए,$(iv) \rightarrow B$।
अतः,सही मिलान $(i) \rightarrow D, (ii) \rightarrow C, (iii) \rightarrow A, (iv) \rightarrow B$ है।

(A) बिंदु $A$ (स्थिति सदिश $\vec{a}$) से गुजरने वाली और सदिश $\vec{b}$ के समानांतर रेखा का समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ है।
दिए गए सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर: $\vec{r} = (2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) + \lambda(\hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}) = (2+\lambda) \hat{i} + (2\lambda-1) \hat{j} + (1-\lambda) \hat{k}$.
$\vec{r}$ का $\vec{c}$ पर प्रक्षेप $\frac{\vec{r} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{9}{\sqrt{6}}$ है।
सबसे पहले,$|\vec{c}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{6}$ ज्ञात करें।
अब,अदिश गुणनफल $\vec{r} \cdot \vec{c} = (2+\lambda)(1) + (2\lambda-1)(1) + (1-\lambda)(-2) = 2 + \lambda + 2\lambda - 1 - 2 + 2\lambda = 5\lambda - 1$.
प्रक्षेप की तुलना करने पर: $\frac{5\lambda - 1}{\sqrt{6}} = \frac{9}{\sqrt{6}} \Rightarrow 5\lambda - 1 = 9 \Rightarrow 5\lambda = 10 \Rightarrow \lambda = 2$.
$\lambda = 2$ को $\vec{r}$ के समीकरण में रखने पर: $\vec{r} = (2+2) \hat{i} + (2(2)-1) \hat{j} + (1-2) \hat{k} = 4 \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}$.
अंत में,परिमाण $|\vec{r}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 9 + 1} = \sqrt{26}$.

(C) दिया गया है कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$.
चूंकि $\vec{a} \perp \vec{b}$ और $\vec{a} \perp \vec{c}$,इसलिए $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ और $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$.
$\vec{b}$ और $\vec{c}$ के बीच का कोण $\frac{2 \pi}{3}$ है,इसलिए $\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| |\vec{c}| \cos \frac{2 \pi}{3} = (1)(1) \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2}$.
अब,व्यंजक $|\vec{a}+3 \vec{b}-4 \vec{c}|^2 = (\vec{a}+3 \vec{b}-4 \vec{c}) \cdot (\vec{a}+3 \vec{b}-4 \vec{c})$ पर विचार करें।
इस अदिश गुणनफल का विस्तार करने पर:
$|\vec{a}+3 \vec{b}-4 \vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + 9|\vec{b}|^2 + 16|\vec{c}|^2 + 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 8(\vec{a} \cdot \vec{c}) - 24(\vec{b} \cdot \vec{c})$.
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$|\vec{a}+3 \vec{b}-4 \vec{c}|^2 = 1 + 9(1) + 16(1) + 6(0) - 8(0) - 24\left(-\frac{1}{2}\right)$.
$|\vec{a}+3 \vec{b}-4 \vec{c}|^2 = 1 + 9 + 16 + 12 = 38$.

(C) एक चतुष्फलक का आयतन जिसकी कोरें $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं,$V = \frac{1}{6} |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]|$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई कोरें $\vec{a} = \hat{i}-\lambda \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = \lambda \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$,और $\vec{c} = \hat{i}+\hat{j}+\lambda \hat{k}$ हैं।
आयतन $2$ है,इसलिए $\frac{1}{6} |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = 2$,जिसका अर्थ है कि $|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = 12$ है।
अदिश त्रिक गुणनफल सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$|\det \begin{bmatrix} 1 & -\lambda & 1 \\ \lambda & -1 & -1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{bmatrix}| = 12$.
सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(-\lambda - (-1)) -(-\lambda)(\lambda^2 - (-1)) + 1(\lambda - (-1)) = \pm 12$.
$(1-\lambda) + \lambda(\lambda^2+1) + (\lambda+1) = \pm 12$.
$2 + \lambda^3 + \lambda = \pm 12$.
स्थिति $1$: $\lambda^3 + \lambda + 2 = 12 \Rightarrow \lambda^3 + \lambda - 10 = 0$. $\lambda = 2$ के लिए,$8 + 2 - 10 = 0$ है। अतः $\lambda = 2$ एक हल है।
स्थिति $2$: $\lambda^3 + \lambda + 2 = -12 \Rightarrow \lambda^3 + \lambda + 14 = 0$. इस समीकरण के लिए कोई पूर्णांक हल मौजूद नहीं है।
अतः,$\lambda = 2$ है।
हमें $|\lambda \hat{i} - 3\lambda \hat{j} + 3\hat{k}| = |2\hat{i} - 6\hat{j} + 3\hat{k}|$ ज्ञात करना है।
परिमाण $= \sqrt{2^2 + (-6)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7$।

(C) का $b$ पर लंब प्रक्षेप $x = \frac{a \cdot b}{|b|^2} b$ द्वारा दिया जाता है।
$b$ का $a$ पर लंब प्रक्षेप $y = \frac{a \cdot b}{|a|^2} a$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $a = \hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ और $b = 2\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$।
अदिश गुणनफल की गणना करें: $a \cdot b = (1)(2) + (2)(-1) + (-2)(-2) = 2 - 2 + 4 = 4$।
परिमाण के वर्ग की गणना करें: $|a|^2 = 1^2 + 2^2 + (-2)^2 = 1 + 4 + 4 = 9$ और $|b|^2 = 2^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = 4 + 1 + 4 = 9$।
अतः,$x - y = \frac{a \cdot b}{|b|^2} b - \frac{a \cdot b}{|a|^2} a = \frac{4}{9} b - \frac{4}{9} a = \frac{4}{9} (b - a)$।
$b - a = (2\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}) - (\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}) = \hat{i} - 3\hat{j}$ की गणना करें।
इसलिए $x - y = \frac{4}{9} (\hat{i} - 3\hat{j})$।
अंत में,$|x - y| = \frac{4}{9} \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \frac{4}{9} \sqrt{1 + 9} = \frac{4}{9} \sqrt{10}$।

(A) दो रेखाओं की दिक्-कोसाइन $(l, m, n)$ के लिए दिए गए संबंध:
$l+m+n=0$ और $lm=0$
$lm=0$ से,हमारे पास दो स्थितियाँ हैं: $l=0$ या $m=0$।
स्थिति $1$: यदि $l=0$,तो $0+m+n=0 \Rightarrow n=-m$। दिक्-अनुपात $(0, m, -m)$ प्राप्त होते हैं,जिसे $(0, 1, -1)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
स्थिति $2$: यदि $m=0$,तो $l+0+n=0 \Rightarrow n=-l$। दिक्-अनुपात $(l, 0, -l)$ प्राप्त होते हैं,जिसे $(1, 0, -1)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मान लीजिए दिक्-सदिश $\vec{a} = (0, 1, -1)$ और $\vec{b} = (1, 0, -1)$ हैं।
दो रेखाओं के बीच के कोण $\theta$ के लिए $\cos \theta$ का सूत्र:
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|(0)(1) + (1)(0) + (-1)(-1)|}{\sqrt{0^2+1^2+(-1)^2} \cdot \sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}}$
$\cos \theta = \frac{|0 + 0 + 1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$
अतः,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$।

(C) दिए गए समीकरण $3l+2m+n=0$ ...$(1)$ और $2mn-3nl+5lm=0$ ...$(2)$ हैं।
समीकरण $(1)$ से,$n = -(3l+2m)$।
इसे समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2m(-(3l+2m)) - 3l(-(3l+2m)) + 5lm = 0$
$-6ml - 4m^2 + 9l^2 + 6lm + 5lm = 0$
$9l^2 + 5lm - 4m^2 = 0$।
$m^2$ से विभाजित करने पर ($m \neq 0$ मानते हुए),हमें $9(\frac{l}{m})^2 + 5(\frac{l}{m}) - 4 = 0$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $t = \frac{l}{m}$,तो $9t^2 + 5t - 4 = 0$।
$(9t-4)(t+1) = 0$,इसलिए $t = \frac{4}{9}$ या $t = -1$।
स्थिति $1$: $t = -1 \Rightarrow l = -m$। तब $n = -(3(-m)+2m) = m$। दिक्-अनुपात $(-1, 1, 1)$ हैं।
स्थिति $2$: $t = \frac{4}{9} \Rightarrow l = \frac{4}{9}m$। तब $n = -(3(\frac{4}{9}m)+2m) = -(\frac{4}{3}m+2m) = -\frac{10}{3}m$। दिक्-अनुपात $(\frac{4}{9}, 1, -\frac{10}{3})$ हैं,जो $(4, 9, -30)$ के समतुल्य है।
मान लीजिए दिक्-सदिश $\vec{a} = (-1, 1, 1)$ और $\vec{b} = (4, 9, -30)$ हैं।
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|(-1)(4) + (1)(9) + (1)(-30)|}{\sqrt{(-1)^2+1^2+1^2} \sqrt{4^2+9^2+(-30)^2}}$
$= \frac{|-4 + 9 - 30|}{\sqrt{3} \sqrt{16+81+900}} = \frac{|-25|}{\sqrt{3} \sqrt{997}} = \frac{25}{\sqrt{2991}}$।

(C) मान लीजिए कि दो रेखाएं $L_1$ और $L_2$ हैं जिनकी दिक्-कोसाइन क्रमशः $(\ell, m, n)$ और $(a, b, c)$ हैं।
दो रेखाएं जिनके दिक्-कोसाइन $(\ell_1, m_1, n_1)$ और $(\ell_2, m_2, n_2)$ हैं,उनके कोण समद्विभाजकों के दिक्-अनुपात $(\ell_1 \pm \ell_2, m_1 \pm m_2, n_1 \pm n_2)$ द्वारा दिए जाते हैं।
अतः,दी गई रेखाओं के लिए,समद्विभाजकों के दिक्-अनुपात $(\ell \pm a, m \pm b, n \pm c)$ हैं।
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(C) अभिकथन $(A)$ के लिए: दो रेखाएँ समांतर होती हैं यदि उनके दिक्-अनुपात समानुपाती हों। $L_1$ और $L_2$ के लिए,हमारे पास $\frac{2}{4/\sqrt{19}} = \frac{\sqrt{19}}{2}$,$\frac{5}{10/\sqrt{19}} = \frac{\sqrt{19}}{2}$,और $\frac{7}{14/\sqrt{19}} = \frac{\sqrt{19}}{2}$ है। चूँकि अनुपात समान हैं,रेखाएँ समांतर हैं। अतः,$(A)$ सत्य है।
कारण $(R)$ के लिए: शर्त $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ दो रेखाओं के लंबवत होने की शर्त है,समांतर होने की नहीं। अतः,$(R)$ असत्य है।
इसलिए,$(A)$ सत्य है और $(R)$ असत्य है।

(D) सबसे पहले,हम सदिशों $\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{CD}$ को ज्ञात करते हैं:
$\overrightarrow{AB} = B - A = (3-1, 4-(-1), -2-2) = (2, 5, -4)$
$\overrightarrow{CD} = D - C = (3-0, 5-3, 6-2) = (3, 2, 4)$
मान लीजिए कि $\theta$ सदिशों $\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{CD}$ के बीच का कोण है। कोण का कोज्या (cosine) निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{CD}|}$
डॉट प्रोडक्ट की गणना करें:
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (2)(3) + (5)(2) + (-4)(4) = 6 + 10 - 16 = 0$
चूंकि डॉट प्रोडक्ट $0$ है,इसलिए सदिश लंबवत हैं।
अतः,$\cos \theta = 0$,जिसका अर्थ है कि $\theta = 90^{\circ}$।

(D) रेखा $B(1, 1, 2)$ और $C(2, 2, 1)$ से होकर गुजरती है। रेखा के दिक अनुपात $(2-1, 2-1, 1-2) = (1, 1, -1)$ हैं।
रेखा का समीकरण $\frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-2}{-1} = k$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $Q = (k+1, k+1, -k+2)$ है।
सदिश $\vec{PQ} = (k+1-1, k+1-(-2), -k+2-1) = (k, k+3, 1-k)$ है।
चूंकि $\vec{PQ}$ रेखा के लंबवत है,इसलिए $\vec{PQ}$ और दिशा सदिश $(1, 1, -1)$ का डॉट गुणनफल शून्य होगा:
$1(k) + 1(k+3) - 1(1-k) = 0$
$k + k + 3 - 1 + k = 0 \Rightarrow 3k + 2 = 0 \Rightarrow k = -\frac{2}{3}$.
$Q$ ज्ञात करने के लिए $k$ का मान रखने पर: $x = -\frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3}$,$y = -\frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3}$,$z = -(-\frac{2}{3}) + 2 = \frac{8}{3}$.
$Q$,$PR$ का मध्य बिंदु है,जहाँ $R = (l, m, n)$ है:
$\frac{1+l}{2} = \frac{1}{3} \Rightarrow l = -\frac{1}{3}$.
$\frac{-2+m}{2} = \frac{1}{3} \Rightarrow m = \frac{8}{3}$.
$\frac{1+n}{2} = \frac{8}{3} \Rightarrow n = \frac{13}{3}$.
अतः,$l^2 + m^2 + n^2 = (-\frac{1}{3})^2 + (\frac{8}{3})^2 + (\frac{13}{3})^2 = \frac{1+64+169}{9} = \frac{234}{9} = 26$.

(A) दिए गए संबंध $l+m+n=0$ और $2lm+2nl-mn=0$ हैं।
पहले समीकरण से,$l = -(m+n)$।
इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(-(m+n))m + 2n(-(m+n)) - mn = 0$
$-2m^2 - 2mn - 2mn - 2n^2 - mn = 0$
$-2m^2 - 5mn - 2n^2 = 0$
$2m^2 + 5mn + 2n^2 = 0$
$(2m+n)(m+2n) = 0$।
स्थिति $1$: $n = -2m$। तब $l = -(m - 2m) = m$। अतः $l=m$ और $n=-2m$। दिक्-अनुपात $(1, 1, -2)$ हैं।
स्थिति $2$: $m = -2n$। तब $l = -(-2n + n) = n$। अतः $l=n$ और $m=-2n$। दिक्-अनुपात $(1, -2, 1)$ हैं।
मान लीजिए दिक्-अनुपात $\vec{a} = (1, 1, -2)$ और $\vec{b} = (1, -2, 1)$ हैं।
कोण $\theta$ का कोसाइन $\cos \theta = \left| \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (1)(-2) + (-2)(1) = 1 - 2 - 2 = -3$।
$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{6}$।
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$।
$\cos \theta = \left| \frac{-3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} \right| = \left| \frac{-3}{6} \right| = \frac{1}{2}$।

(B) रेखाखंड $AB$ के दिक अनुपात ($D$.$R$.) $(-1-4, 2-5, 1-(-10)) = (-5, -3, 11)$ हैं।
चूंकि समतल $AB$ के लंबवत है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (-5, -3, 11)$ है।
$AB$ का मध्य-बिंदु $P = \left(\frac{4-1}{2}, \frac{5+2}{2}, \frac{-10+1}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, \frac{7}{2}, -\frac{9}{2}\right)$ है।
$(x_0, y_0, z_0)$ से गुजरने वाले और $(a, b, c)$ अभिलंब वाले समतल का समीकरण $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ होता है।
मान रखने पर: $-5(x - \frac{3}{2}) - 3(y - \frac{7}{2}) + 11(z + \frac{9}{2}) = 0$.
$2$ से गुणा करने पर: $-5(2x - 3) - 3(2y - 7) + 11(2z + 9) = 0$.
$-10x + 15 - 6y + 21 + 22z + 99 = 0$.
$-10x - 6y + 22z + 135 = 0$.
$-1$ से गुणा करने पर: $10x + 6y - 22z - 135 = 0$.

(D) $A(3,-2,1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = 4 \hat{i}+7 \hat{j}-4 \hat{k}$ के लंबवत समतल का समीकरण $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $4(x-3)+7(y+2)-4(z-1)=0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $4x+7y-4z+6=0$ हो जाता है।
किसी बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से समतल $ax+by+cz+d=0$ पर लंब की लंबाई का सूत्र $d = \frac{|ax_1+by_1+cz_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ है।
यहाँ,बिंदु $P(1,2,-1)$ है और समतल $4x+7y-4z+6=0$ है।
सूत्र में इन मानों को रखने पर:
$PM = \frac{|4(1)+7(2)-4(-1)+6|}{\sqrt{4^2+7^2+(-4)^2}}$
$PM = \frac{|4+14+4+6|}{\sqrt{16+49+16}}$
$PM = \frac{|28|}{\sqrt{81}}$
$PM = \frac{28}{9}$.

(D) चूंकि समतल $\pi$,समतल $x-y-z=0$ के समांतर है,इसलिए इसका समीकरण $x-y-z+k=0$ के रूप में होगा।
यह दिया गया है कि बिंदु $(1, -2, 1)$ समतल $\pi$ पर स्थित है,इसलिए हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$1 - (-2) - 1 + k = 0$
$1 + 2 - 1 + k = 0$
$2 + k = 0 \implies k = -2$.
अतः,समतल $\pi$ का समीकरण $x-y-z-2=0$ है।
इसकी तुलना दिए गए समीकरण $ax+by+cz-2=0$ से करने पर,हमें $a=1, b=-1, c=-1$ प्राप्त होता है।
अब,$b-2c$ का मान ज्ञात करते हैं:
$b-2c = -1 - 2(-1) = -1 + 2 = 1$.
चूंकि $a=1$,इसलिए $b-2c = a$ है।

(C) बिंदु $\vec{a}$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n}$ के लंबवत समतल का समीकरण $(\vec{r}-\vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,बिंदु $\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = \hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}$ वाले समतल का समीकरण ज्ञात करें:
$1(x-1) + 2(y-1) - 3(z+1) = 0$
$x - 1 + 2y - 2 - 3z - 3 = 0$
$x + 2y - 3z - 6 = 0$.
चूंकि समतल $\pi$ इस समतल के समानांतर है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश भी $\vec{n} = \hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}$ ही होगा।
अतः,बिंदु $3\hat{i}-4\hat{j}+5\hat{k}$ से गुजरने वाले समतल $\pi$ का समीकरण:
$1(x-3) + 2(y+4) - 3(z-5) = 0$
$x - 3 + 2y + 8 - 3z + 15 = 0$
$x + 2y - 3z + 20 = 0$.

(A) बिंदुओं $\vec{a} = \hat{i}-\hat{j}$ और $\vec{b} = \hat{j}-\hat{k}$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda(\vec{b}-\vec{a})$ है।
$\vec{r} = (\hat{i}-\hat{j}) + \lambda(-\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = (1-\lambda)\hat{i} + (2\lambda-1)\hat{j} - \lambda\hat{k}$ ...$(i)$
बिंदुओं $\vec{a} = 2\hat{i}+\hat{j}$,$\vec{b} = 2\hat{j}-\hat{k}$,और $\vec{c} = \hat{i}+2\hat{k}$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $(\vec{r}-\vec{a}) \cdot [(\vec{b}-\vec{a}) \times (\vec{c}-\vec{a})] = 0$ है।
अभिलंब सदिश $\vec{n} = (\vec{b}-\hat{a}) \times (\vec{c}-\hat{a}) = (-2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) \times (-\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}) = \hat{i} + 5\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
अतः,समतल का समीकरण $(\vec{r} - (2\hat{i}+\hat{j})) \cdot (\hat{i} + 5\hat{j} + 3\hat{k}) = 0$ है।
रेखा $(i)$ से $\vec{r}$ का मान समतल के समीकरण में रखने पर:
$((1-\lambda-2)\hat{i} + (2\lambda-1-1)\hat{j} - \lambda\hat{k}) \cdot (\hat{i} + 5\hat{j} + 3\hat{k}) = 0$
$(-1-\lambda) + 5(2\lambda-2) - 3\lambda = 0$
$-1 - \lambda + 10\lambda - 10 - 3\lambda = 0 \Rightarrow 6\lambda = 11 \Rightarrow \lambda = \frac{11}{6}$.
$\lambda = \frac{11}{6}$ को $(i)$ में रखने पर:
$\vec{r} = (1-\frac{11}{6})\hat{i} + (2(\frac{11}{6})-1)\hat{j} - \frac{11}{6}\hat{k} = -\frac{5}{6}\hat{i} + \frac{16}{6}\hat{j} - \frac{11}{6}\hat{k} = \frac{1}{6}(-5\hat{i} + 16\hat{j} - 11\hat{k})$.

(A) बिंदुओं $(6,3,2)$ और $(1,-4,-9)$ को जोड़ने वाली रेखा के दिक अनुपात $(6-1, 3-(-4), 2-(-9)) = (5, 7, 11)$ हैं।
चूंकि समतल इस रेखा के लंबवत है,इसलिए समतल के अभिलंब के दिक अनुपात $(a, b, c) = (5, 7, 11)$ हैं।
बिंदु $(x_0, y_0, z_0) = (1, 1, 1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $(a, b, c) = (5, 7, 11)$ वाले समतल का समीकरण $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ है।
मान रखने पर,हमें $5(x-1) + 7(y-1) + 11(z-1) = 0$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर,$5x - 5 + 7y - 7 + 11z - 11 = 0$,जो सरल होकर $5x + 7y + 11z - 23 = 0$ हो जाता है।
इसकी तुलना $ax + by + cz - 23 = 0$ से करने पर,हमें $a=5, b=7, c=11$ प्राप्त होता है।
अतः,$a+b-c = 5+7-11 = 1$.

(A) रेखा $L$ दोनों समतलों के समांतर है,इसलिए यह दोनों समतलों के अभिलंब सदिशों के लंबवत होगी। मान लीजिए अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{n_2} = \hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ हैं।
रेखा $L$ का दिशा सदिश $\vec{v}$,$\vec{n_1} \times \vec{n_2}$ द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-3) - \hat{j}(4-1) + \hat{k}(6-3) = 3\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}$.
हम दिशा सदिश को $\vec{u} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ के रूप में सरल कर सकते हैं।
रेखा $X$-अक्ष के साथ जो कोण $\alpha$ बनाती है,वह $\vec{u}$ और इकाई सदिश $\hat{i} = (1, 0, 0)$ के बीच का कोण है।
$\cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \hat{i}}{|\vec{u}| |\hat{i}|} = \frac{(1)(1) + (-1)(0) + (1)(0)}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(B) रेखा $L$,$P_1 = \vec{a}-\vec{b}+\vec{c}$ और $P_2 = \vec{b}-\vec{c}$ से होकर गुजरती है। रेखा $L$ का दिशा सदिश $\vec{v} = P_2 - P_1 = (\vec{b}-\vec{c}) - (\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}) = -\vec{a} + 2\vec{b} - 2\vec{c}$ है।
अतः,रेखा $L$ का समीकरण $\vec{r} = (\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}) + \lambda(-\vec{a} + 2\vec{b} - 2\vec{c})$ है।
समतल $\pi$,$A = 2\vec{a}-\vec{b}$,$B = 2\vec{b}-\vec{c}$,और $C = 2\vec{c}-\vec{a}$ से होकर गुजरता है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (B-A) \times (C-A) = (-2\vec{a}+3\vec{b}-\vec{c}) \times (-3\vec{a}+\vec{b}+2\vec{c}) = 7(\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a})$ है।
समतल का समीकरण $(\vec{r} - (2\vec{a}-\vec{b})) \cdot (\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}) = 0$ है।
$\vec{r} = \vec{a}-\vec{b}+\vec{c} + \lambda(-\vec{a} + 2\vec{b} - 2\vec{c})$ को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने और $\lambda$ के लिए हल करने पर,हमें $\lambda = 1$ प्राप्त होता है।
$\lambda = 1$ को रेखा के समीकरण में रखने पर $\vec{r} = (\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}) + 1(-\vec{a} + 2\vec{b} - 2\vec{c}) = \vec{b}-\vec{c}$ प्राप्त होता है।

(B) माना बिंदु $P = (1,0,-2)$ और लंब का पाद $F = (2,0,-1)$ है।
समतल के अभिलंब के दिक्-अनुपात सदिश $\vec{PF} = (2-1, 0-0, -1-(-2)) = (1, 0, 1)$ द्वारा दिए जाते हैं।
चूंकि समतल का समीकरण $ax+by+cz=2$ है,अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$ है।
अतः,$(a, b, c) = \lambda(1, 0, 1) = (\lambda, 0, \lambda)$ किसी स्थिरांक $\lambda$ के लिए।
समतल का समीकरण $\lambda x + 0y + \lambda z = 2$ या $\lambda(x+z) = 2$ हो जाता है।
चूंकि बिंदु $F(2,0,-1)$ समतल पर स्थित है,हम इसके निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\lambda(2 + (-1)) = 2 \implies \lambda(1) = 2 \implies \lambda = 2$.
इसलिए,$a = \lambda = 2$,$b = 0$,और $c = \lambda = 2$.
अंत में,$a^2+b^2+c^2 = 2^2 + 0^2 + 2^2 = 4 + 0 + 4 = 8$.

(B) $52$ पत्तों में से $2$ पत्ते निकालने के कुल तरीके $C(52, 2) = 1326$ हैं।
गड्डी में $12$ फेस कार्ड होते हैं।
कुल $13$ हुकुम के पत्ते होते हैं।
हुकुम के फेस कार्ड $3$ होते हैं।
हुकुम के वे पत्ते जो फेस कार्ड नहीं हैं,उनकी संख्या $13 - 3 = 10$ है।
हमें $1$ फेस कार्ड और $1$ हुकुम का पत्ता (जो फेस कार्ड न हो) चुनना है।
स्थिति $1$: $3$ हुकुम फेस कार्ड में से $1$ और $10$ हुकुम के पत्तों में से $1$ चुनने के तरीके = $3 \times 10 = 30$।
स्थिति $2$: $9$ अन्य फेस कार्ड में से $1$ और $10$ हुकुम के पत्तों में से $1$ चुनने के तरीके = $9 \times 10 = 90$।
कुल अनुकूल परिणाम = $30 + 90 = 120$।
प्रायिकता = $\frac{120}{1326} = \frac{20}{221}$।

(B) मान लीजिए कि थैली में सफेद गेंदों की संभावित संरचनाएं $E_1$ ($4$ सफेद),$E_2$ ($3$ सफेद,$1$ अन्य),और $E_3$ ($2$ सफेद,$2$ अन्य) हैं। यह मानते हुए कि प्रत्येक संरचना समान रूप से संभावित है,$P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$ है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि निकाली गई दो गेंदें सफेद हैं।
$P(E|E_1) = \frac{^4C_2}{^4C_2} = 1$
$P(E|E_2) = \frac{^3C_2}{^4C_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$P(E|E_3) = \frac{^2C_2}{^4C_2} = \frac{1}{6}$
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(E_1|E) = \frac{P(E_1)P(E|E_1)}{P(E_1)P(E|E_1) + P(E_2)P(E|E_2) + P(E_3)P(E|E_3)}$
$P(E_1|E) = \frac{\frac{1}{3} \times 1}{\frac{1}{3} \times 1 + \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{6}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

(C) $3$ सिक्कों को एक साथ उछालने पर $2$ चित और $1$ पट प्राप्त करने की प्रायिकता $p$ मानिए। कुल परिणाम $2^3 = 8$ हैं। अनुकूल परिणाम ${HHT, HTH, THH}$ हैं,इसलिए $p = \frac{3}{8}$.
$2$ चित और $1$ पट न प्राप्त करने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$ है।
खिलाड़ी $A$ शुरुआत करता है। $B$ तब जीतता है यदि $A$ विफल हो जाए और फिर $B$ सफल हो जाए,या $A$ विफल हो जाए,$B$ विफल हो जाए,$A$ विफल हो जाए और फिर $B$ सफल हो जाए,इत्यादि।
$B$ के जीतने की प्रायिकता $P(B) = qp + q^3p + q^5p + \dots$ है।
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = qp = \frac{5}{8} \times \frac{3}{8} = \frac{15}{64}$ और सार्व अनुपात $r = q^2 = (\frac{5}{8})^2 = \frac{25}{64}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1 - r} = \frac{15/64}{1 - 25/64} = \frac{15/64}{39/64} = \frac{15}{39}$ है।

(D) मान लीजिए कि $A$,$B$,और $C$ के परीक्षा पास करने की प्रायिकताएं क्रमशः $P(T_A) = k$,$P(T_B) = 2k$,और $P(T_C) = 3k$ हैं,जो $1:2:3$ के अनुपात पर आधारित हैं।
मान लीजिए $I$ वह घटना है कि कोई व्यक्ति साक्षात्कार को सफलतापूर्वक पार करता है। सशर्त प्रायिकताएं $P(I|T_A) = 0.8$,$P(I|T_B) = 0.7$,और $P(I|T_C) = 0.6$ हैं।
हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है कि $A$ चुना जाता है,यह देखते हुए कि उनमें से एक का चयन किया गया है। इसकी गणना बेयस प्रमेय का उपयोग करके की जाती है:
$P(A|I) = \frac{P(T_A) \times P(I|T_A)}{P(T_A) \times P(I|T_A) + P(T_B) \times P(I|T_B) + P(T_C) \times P(I|T_C)}$
$P(A|I) = \frac{k \times 0.8}{k \times 0.8 + 2k \times 0.7 + 3k \times 0.6}$
$P(A|I) = \frac{0.8k}{0.8k + 1.4k + 1.8k} = \frac{0.8k}{4.0k} = \frac{0.8}{4} = \frac{1}{5}$.

(C) एक निष्पक्ष पासे पर कोई भी विशिष्ट संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $P = \frac{1}{6}$ है।
लड़के को कुल $7$ का स्कोर तब मिलता है यदि परिणामों का योग $7$ हो। चूंकि उसे अतिरिक्त मौका केवल $1$ आने पर मिलता है,इसलिए संभावित अनुक्रम इस प्रकार हैं:
$1. [1, 6]: P = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \left(\frac{1}{6}\right)^2$
$2. [1, 1, 5]: P = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \left(\frac{1}{6}\right)^3$
$3. [1, 1, 1, 4]: P = \left(\frac{1}{6}\right)^3 \times \frac{1}{6} = \left(\frac{1}{6}\right)^4$
$4. [1, 1, 1, 1, 3]: P = \left(\frac{1}{6}\right)^4 \times \frac{1}{6} = \left(\frac{1}{6}\right)^5$
$5. [1, 1, 1, 1, 1, 2]: P = \left(\frac{1}{6}\right)^5 \times \frac{1}{6} = \left(\frac{1}{6}\right)^6$
कुल प्रायिकता इन स्वतंत्र अनुक्रमों का योग है:
$P(\text{Total} = 7) = \left(\frac{1}{6}\right)^2 + \left(\frac{1}{6}\right)^3 + \left(\frac{1}{6}\right)^4 + \left(\frac{1}{6}\right)^5 + \left(\frac{1}{6}\right)^6$
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें $a = \left(\frac{1}{6}\right)^2$,$r = \frac{1}{6}$,और $n = 5$ पद हैं।
योग $= a \frac{1-r^n}{1-r} = \left(\frac{1}{6}\right)^2 \frac{1-(1/6)^5}{1-1/6} = \frac{1}{36} \times \frac{1-(1/6)^5}{5/6} = \frac{1}{36} \times \frac{6}{5} \times \left(1-\frac{1}{6^5}\right) = \frac{1}{30} \left(1-\frac{1}{6^5}\right)$.

(C) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए,अर्थात $\sum_{x=1}^{\infty} P(X=x) = 1$.
दिया गया है $P(X=x) = c\left(\frac{2}{3}\right)^x$.
$x$ के मान रखने पर: $c\left(\frac{2}{3}\right) + c\left(\frac{2}{3}\right)^2 + c\left(\frac{2}{3}\right)^3 + \ldots = 1$.
$c$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $c \left[ \frac{2}{3} + \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^3 + \ldots \right] = 1$.
कोष्ठक के अंदर का पद एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है,जिसका प्रथम पद $a = \frac{2}{3}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{2}{3}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
अतः,$c \left[ \frac{2/3}{1 - 2/3} \right] = 1$.
$c \left[ \frac{2/3}{1/3} \right] = 1$.
$c(2) = 1$.
इसलिए,$c = \frac{1}{2}$.

(B) चरण $1$: व्यक्ति $A$ के जीतने की प्रायिकता ज्ञात करें। दो पासों का योग $2$ से $12$ तक होता है। अभाज्य योग ${2, 3, 5, 7, 11}$ हैं। इन योगों के लिए परिणामों की संख्या: $2(1), 3(2), 5(4), 7(6), 11(2)$ है। कुल अनुकूल परिणाम $= 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$. अतः,$P(A) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$.
चरण $2$: व्यक्ति $B$ के जीतने की प्रायिकता ज्ञात करें। $12$ फेस कार्ड हैं और $16$ अभाज्य संख्या वाले कार्ड हैं ($2, 3, 5, 7$ प्रत्येक सूट में)। $52$ में से $2$ कार्ड चुनने के कुल तरीके $= ^{52}C_2 = 1326$. अनुकूल तरीके $= ^{12}C_1 \times ^{16}C_1 = 12 \times 16 = 192$. अतः,$P(B) = \frac{192}{1326} = \frac{32}{221}$.
चरण $3$: चूंकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{5}{12} \times \frac{32}{221} = \frac{40}{663}$.

(A) माना $E_1$ सामान्य सिक्का चुनने की घटना है और $E_2$ दोनों तरफ हेड वाला सिक्का चुनने की घटना है।
$P(E_1) = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ और $P(E_2) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
माना $A$ वह घटना है कि सिक्का $6$ बार उछालने पर $6$ बार हेड आता है।
$P(A|E_1) = (\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64}$.
$P(A|E_2) = 1^6 = 1$.
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,चुने गए सिक्के के दोनों तरफ हेड होने की प्रायिकता:
$P(E_2|A) = \frac{P(E_2) \times P(A|E_2)}{P(E_1) \times P(A|E_1) + P(E_2) \times P(A|E_2)}$.
$P(E_2|A) = \frac{\frac{1}{5} \times 1}{\frac{4}{5} \times \frac{1}{64} + \frac{1}{5} \times 1} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{80} + \frac{1}{5}} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{1+16}{80}} = \frac{1}{5} \times \frac{80}{17} = \frac{16}{17}$.

(C) मान लीजिए $X$ सही उत्तरों की संख्या है। चूंकि प्रत्येक प्रश्न में दो विकल्प (सही या गलत) हैं,इसलिए सही उत्तर की प्रायिकता $p = \frac{1}{2}$ और गलत उत्तर की प्रायिकता $q = \frac{1}{2}$ है।
यह द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n = 6$ और $p = \frac{1}{2}$ है।
छात्र उत्तीर्ण होता है यदि उसे $4, 5,$ या $6$ सही उत्तर मिलते हैं।
उत्तीर्ण होने की प्रायिकता $P(X \ge 4) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6)$ है।
सूत्र $P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X=4) = {}^6C_4 (\frac{1}{2})^4 (\frac{1}{2})^2 = 15 \times (\frac{1}{2})^6 = \frac{15}{64}$.
$P(X=5) = {}^6C_5 (\frac{1}{2})^5 (\frac{1}{2})^1 = 6 \times (\frac{1}{2})^6 = \frac{6}{64}$.
$P(X=6) = {}^6C_6 (\frac{1}{2})^6 (\frac{1}{2})^0 = 1 \times (\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64}$.
कुल प्रायिकता $= \frac{15+6+1}{64} = \frac{22}{64} = \frac{11}{32}$.

(B) माना $X$ निकाले गए खराब अंडों की संख्या को दर्शाने वाला यादृच्छिक चर है। अंडों की कुल संख्या $12$ है और हम बिना प्रतिस्थापन के $3$ अंडे निकालते हैं। $X$ के लिए संभावित मान $0, 1, 2$ हैं।
प्रायिकता वितरण की गणना इस प्रकार की जाती है:
$P(X=0) = \frac{{}^{10}C_3}{{}^{12}C_3} = \frac{120}{220} = \frac{12}{22}$
$P(X=1) = \frac{{}^{10}C_2 \times {}^{2}C_1}{{}^{12}C_3} = \frac{45 \times 2}{220} = \frac{90}{220} = \frac{9}{22}$
$P(X=2) = \frac{{}^{10}C_1 \times {}^{2}C_2}{{}^{12}C_3} = \frac{10 \times 1}{220} = \frac{10}{220} = \frac{1}{22}$
अब,हम माध्य $E(X) = \sum x_i P_i$ की गणना करते हैं:
$E(X) = (0 \times \frac{12}{22}) + (1 \times \frac{9}{22}) + (2 \times \frac{1}{22}) = \frac{9+2}{22} = \frac{11}{22} = \frac{1}{2}$
इसके बाद,हम $E(X^2) = \sum x_i^2 P_i$ की गणना करते हैं:
$E(X^2) = (0^2 \times \frac{12}{22}) + (1^2 \times \frac{9}{22}) + (2^2 \times \frac{1}{22}) = \frac{9+4}{22} = \frac{13}{22}$
अंत में,प्रसरण $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ द्वारा प्राप्त होता है:
$Var(X) = \frac{13}{22} - (\frac{1}{2})^2 = \frac{13}{22} - \frac{1}{4} = \frac{26-11}{44} = \frac{15}{44}$