$x$ के सभी वास्तविक मानों के लिए,$\frac{1-x+x^2}{1+x+x^2}$ का न्यूनतम मान क्या है?

$x$ के वास्तविक मानों के लिए,$\frac{x^2+2x+1}{x^2+2x-1}$ का परिसर (range) क्या है?

मान लीजिए $f(x)=a x^2+b x+c$ और $a, b, c$ का $GCD$ $1$ है। यदि $\frac{-7+\sqrt{11} i}{6}$ समीकरण $f(x)=0$ का एक मूल है और $f\left(\frac{x}{k}\right)-L=(x+4)(3 x-5)$ है,तो $k$ और $L$ क्रमशः क्या हैं?

यदि $\sqrt{\frac{1-y}{y}}+\sqrt{\frac{y}{1-y}}=\frac{5}{2}$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ $(\beta > \alpha)$ हैं और समीकरण $(\alpha+\beta) x^4-25 \alpha \beta x^2+(\gamma+\beta-\alpha)=0$ के मूल वास्तविक हैं,तो $\gamma$ का एक संभावित मान है

$x$ में एक द्विघात समीकरण को हल करते समय,एक छात्र ने इसके अचर पद को गलत तरीके से लिखा और इसके मूल $5$ और $9$ प्राप्त किए। दूसरे छात्र ने उसी समीकरण के अचर पद और $x^2$ के गुणांक को क्रमशः $12$ और $4$ के रूप में सही ढंग से लिखा। यदि $s$,$p$ और $\Delta$ क्रमशः सही समीकरण के मूलों का योग,मूलों का गुणनफल और विविक्तकर (discriminant) को दर्शाते हैं,तो $\frac{\Delta}{3p+s}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $\alpha_\theta$ और $\beta_\theta$ समीकरण $2x^2 + (\cos \theta)x - 1 = 0$ के भिन्न मूल हैं,जहाँ $\theta \in (0, 2\pi)$ है। यदि $m$ और $M$ क्रमशः $\alpha_\theta^4 + \beta_\theta^4$ के न्यूनतम और अधिकतम मान हैं,तो $16(M + m)$ का मान ज्ञात कीजिए: