TS EAMCET 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) माना $P = (x, y)$,$A = (0, 2)$,और $B = (-1, 0)$ है।
दिया है $PA = \frac{1}{\sqrt{2}} PB$,जिसका अर्थ है $2 PA^2 = PB^2$ है।
निर्देशांक रखने पर:
$2[(x - 0)^2 + (y - 2)^2] = (x + 1)^2 + (y - 0)^2$
$2(x^2 + y^2 - 4y + 4) = x^2 + 2x + 1 + y^2$
$2x^2 + 2y^2 - 8y + 8 = x^2 + y^2 + 2x + 1$
$x^2 + y^2 - 2x - 8y + 7 = 0$ है।
यह $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के रूप का एक वृत्त है।
तुलना करने पर,$2g = -2 \implies g = -1$ और $2f = -8 \implies f = -4$ है।
केंद्र $(-g, -f) = (1, 4)$ है।
त्रिज्या $\sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-1)^2 + (-4)^2 - 7} = \sqrt{1 + 16 - 7} = \sqrt{10}$ इकाई है।

(A) नियता $x+2y-1=0$ है और नाभि $S(1,0)$ है।
माना $P(x, y)$ परवलय पर कोई बिंदु है।
परिभाषा के अनुसार,$P$ से नाभि की दूरी,$P$ से नियता की लंबवत दूरी के बराबर होती है $(PS = PM)$।
$PS^2 = PM^2$
$(x-1)^2 + (y-0)^2 = \frac{(x+2y-1)^2}{1^2+2^2}$
$5((x-1)^2 + y^2) = (x+2y-1)^2$
$5(x^2 - 2x + 1 + y^2) = x^2 + 4y^2 + 1 + 4xy - 2x - 4y$
$5x^2 - 10x + 5 + 5y^2 = x^2 + 4y^2 + 4xy - 2x - 4y + 1$
$4x^2 - 4xy + y^2 - 8x + 4y + 4 = 0$

(C) दिए गए परवलय $P_1: y^2=5x$ और $P_2: x^2=5y$ हैं।
इन समीकरणों को हल करने पर: $y = \frac{x^2}{5}$ को $y^2=5x$ में प्रतिस्थापित करने पर $(\frac{x^2}{5})^2 = 5x$ प्राप्त होता है,जो $x^4 = 125x$ में सरल हो जाता है। अतः,$x(x^3 - 125) = 0$,जिससे $x=0$ या $x=5$ प्राप्त होता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(5,5)$ हैं।
$(0,0)$ और $(5,5)$ से गुजरने वाली रेखा $L$,$y=x$ है।
$P_1$ की नियता ($y^2=4ax$ जहाँ $4a=5 \Rightarrow a=5/4$) $x = -\frac{5}{4}$ है।
$P_2$ का नाभिलंब ($x^2=4ay$ जहाँ $4a=5 \Rightarrow a=5/4$) $y = \frac{5}{4}$ है।
त्रिभुज के शीर्ष इन तीन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं:
$1$. $x = -\frac{5}{4}$ और $y = \frac{5}{4}$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $C(-\frac{5}{4}, \frac{5}{4})$ है।
$2$. $x = -\frac{5}{4}$ और $y=x$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $B(-\frac{5}{4}, -\frac{5}{4})$ है।
$3$. $y = \frac{5}{4}$ और $y=x$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $A(\frac{5}{4}, \frac{5}{4})$ है।
शीर्षों $A(\frac{5}{4}, \frac{5}{4})$,$B(-\frac{5}{4}, -\frac{5}{4})$,और $C(-\frac{5}{4}, \frac{5}{4})$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\frac{5}{4}(-\frac{5}{4} - \frac{5}{4}) + (-\frac{5}{4})(\frac{5}{4} - \frac{5}{4}) + (-\frac{5}{4})(\frac{5}{4} - (-\frac{5}{4}))|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |-\frac{50}{16} - \frac{50}{16}| = \frac{25}{8}$.

(D) माना समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई $a$ है।
चूँकि एक शीर्ष मूलबिंदु $(0,0)$ पर है और त्रिभुज $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है, अन्य दो शीर्ष परवलय $y^2=12x$ पर $x$-अक्ष के साथ $30^{\circ}$ और $-30^{\circ}$ के कोण पर स्थित हैं।
शीर्ष $A$ के निर्देशांक $(a \cos 30^{\circ}, a \sin 30^{\circ})$ हैं।
चूँकि $A$ परवलय पर स्थित है:
$(a \sin 30^{\circ})^2 = 12(a \cos 30^{\circ})$
$a^2 (1/4) = 12a (\sqrt{3}/2)$
$a = 24\sqrt{3}$.
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (24\sqrt{3})^2 = 432\sqrt{3}$ वर्ग इकाई।

(B) परवलय का समीकरण $y^2=16x$ है,जो $y^2=4ax$ के रूप में है। अतः,$4a=16$,जिससे $a=4$ प्राप्त होता है।
माना बिंदुओं $A$ और $B$ के प्राचल $t_1$ और $t_2$ हैं। चूंकि $AB$ एक नाभिलंब जीवा है,इसलिए $t_1 \cdot t_2 = -1$ होगा।
बिंदु $A(1, -4)$ के लिए,$at_1^2 = 1$ और $2at_1 = -4$ है।
$a=4$ रखने पर,$4t_1^2 = 1$ $\Rightarrow t_1^2 = 1/4$ $\Rightarrow t_1 = -1/2$ (क्योंकि $A$ पर $y < 0$ है)।
चूंकि $t_1 \cdot t_2 = -1$ है,इसलिए $(-1/2) \cdot t_2 = -1$,जिससे $t_2 = 2$ प्राप्त होता है।
बिंदु $B$ का मान $(at_2^2, 2at_2) = (4(2)^2, 2(4)(2)) = (16, 16)$ है।
परवलय $y^2=4ax$ के लिए बिंदु $t$ पर अभिलंब का समीकरण $y + tx = 2at + at^3$ होता है।
$t_2 = 2$ और $a=4$ के लिए,$B$ पर अभिलंब का समीकरण $y + 2x = 2(4)(2) + 4(2)^3$ होगा।
$y + 2x = 16 + 32$.
$y + 2x = 48$.
अतः,अभिलंब का समीकरण $2x + y - 48 = 0$ है।

(C) दी गई रेखा: $x-2y+k=0 \Rightarrow y = \frac{1}{2}x + \frac{k}{2}$.
$y=mx+c$ से तुलना करने पर,$m=\frac{1}{2}$ और $c=\frac{k}{2}$ प्राप्त होता है।
दिया गया परवलय: $y^2-4x-4y+8=0$.
मानक रूप में: $(y-2)^2 = 4(x-1)$.
$x = 2y-k$ को परवलय के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(y-2)^2 = 4(2y-k-1) \Rightarrow y^2-12y+(8+4k) = 0$.
स्पर्श रेखा होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D=0$ होना चाहिए:
$(-12)^2 - 4(8+4k) = 0 \Rightarrow 144 - 32 - 16k = 0$.
$112 = 16k \Rightarrow k = 7$.

(D) परवलय $y^2=16x$ के लिए,$a=4$ है। परवलय की स्पर्श रेखा का समीकरण $y=mx+\frac{4}{m}$ है।
वृत्त $x^2+y^2=8$ के लिए,त्रिज्या $r=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ है। वृत्त की स्पर्श रेखा का समीकरण $y=mx \pm 2\sqrt{2}\sqrt{1+m^2}$ है।
चूंकि ये एक ही रेखा को दर्शाते हैं,इसलिए अचर पद समान होंगे:
$\frac{4}{m} = \pm 2\sqrt{2}\sqrt{1+m^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{16}{m^2} = 8(1+m^2)$.
$8$ से भाग देने पर,$\frac{2}{m^2} = 1+m^2$,जिससे $m^4+m^2-2=0$ प्राप्त होता है।
$t=m^2$ लेने पर,$t^2+t-2=0$,अतः $(t+2)(t-1)=0$। चूंकि $t=m^2 \ge 0$,इसलिए $m^2=1$,अर्थात $m=\pm 1$।
$m=1$ रखने पर: $y=x+4$।
$m=-1$ रखने पर: $y=-x-4$।
अतः,उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएं $y=x+4$ और $y=-x-4$ हैं।

(D) परवलय $y^2=4ax$ पर स्थित बिंदु $(x_1, y_1)$ की नाभीय दूरी $x_1+a$ होती है।
दिया गया परवलय $y^2=kx$ है,इसलिए $4a=k \Rightarrow a=k/4$।
नाभीय दूरी $x_1+a = 2 + k/4 = 3$ है।
$k/4 = 1 \Rightarrow k=4$।
परवलय $y^2=4x$ है।
चूंकि $P(2, y_1)$,$y^2=4x$ पर स्थित है,इसलिए $y_1^2 = 4(2) = 8 \Rightarrow y_1 = \pm 2\sqrt{2}$।
अतः $P$ बिंदु $(2, 2\sqrt{2})$ या $(2, -2\sqrt{2})$ है।
$y^2=4x$ के लिए $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $yy_1 = 2(x+x_1)$ है।
$P(2, 2\sqrt{2})$ के लिए: $y(2\sqrt{2}) = 2(x+2)$ $\Rightarrow \sqrt{2}y = x+2$ $\Rightarrow x - \sqrt{2}y + 2 = 0$।
$P(2, -2\sqrt{2})$ के लिए: $y(-2\sqrt{2}) = 2(x+2)$ $\Rightarrow -\sqrt{2}y = x+2$ $\Rightarrow x + \sqrt{2}y + 2 = 0$।
अतः,स्पर्श रेखा का समीकरण $x \pm \sqrt{2}y + 2 = 0$ है।

(D) परवलय $y^2 = 8\sqrt{5}x$ के लिए स्पर्श रेखा का समीकरण $y = ax + \frac{2\sqrt{5}}{a}$ है।
$y = ax + c$ के साथ तुलना करने पर,$c = \frac{2\sqrt{5}}{a}$ प्राप्त होता है।
रेखा $y = ax + c$ के वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^2 = 1 + a^2$ है।
$c = \frac{2\sqrt{5}}{a}$ को शर्त में रखने पर,$(\frac{2\sqrt{5}}{a})^2 = 1 + a^2$ प्राप्त होता है।
$\frac{20}{a^2} = 1 + a^2$ $\Rightarrow 20 = a^2 + a^4$ $\Rightarrow a^4 + a^2 - 20 = 0$.
माना $t = a^2$,तो $t^2 + t - 20 = 0$.
$(t + 5)(t - 4) = 0$. चूंकि $a^2 > 0$,इसलिए $t = 4$ प्राप्त होता है,अतः $a^2 = 4$.
तब $c^2 = 1 + a^2 = 1 + 4 = 5$.
अतः,$a^2c^2 = 4 \times 5 = 20$.

(D) परवलय $y^2=4ax$ के अभिलंब का समीकरण $y=mx-2am-am^3$ होता है।
परवलय $y^2=4x$ के लिए $a=1$ है,अतः समीकरण $y=mx-2m-m^3$ होगा।
चूंकि अभिलंब $(5,0)$ से गुजरता है,इसलिए $x=5$ और $y=0$ रखने पर:
$0 = m(5) - 2m - m^3$
$0 = 3m - m^3$
$m(3 - m^2) = 0$
अतः,ढाल $m=0$ और $m=\pm\sqrt{3}$ प्राप्त होते हैं।
$m=\sqrt{3}$ के लिए,अभिलंब का समीकरण $y=\sqrt{3}(x-5)$ अर्थात $\sqrt{3}x-y-5\sqrt{3}=0$ है।

(B) दिया गया परवलय $y^2=12x$ है,इसलिए $4a=12 \Rightarrow a=3$ है।
ढाल $m$ वाले अभिलंब का समीकरण $y=mx-2am-am^3$ है,जो $y=mx-6m-3m^3$ हो जाता है।
चूंकि अभिलंब $P(8,0)$ से गुजरता है,इसलिए $0=8m-6m-3m^3$ है।
$2m-3m^3=0 \Rightarrow m(2-3m^2)=0$ है।
ढाल $m_1=0$,$m_2=\sqrt{\frac{2}{3}}$,और $m_3=-\sqrt{\frac{2}{3}}$ प्राप्त होते हैं।
गैर-क्षैतिज अभिलंबों की ढाल $m_2=\sqrt{\frac{2}{3}}$ और $m_3=-\sqrt{\frac{2}{3}}$ है।
इन दो अभिलंबों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{m_2-m_3}{1+m_2m_3} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \theta = \left| \frac{\sqrt{\frac{2}{3}} - (-\sqrt{\frac{2}{3}})}{1 + (\sqrt{\frac{2}{3}})(-\sqrt{\frac{2}{3}})} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{2}{3}}}{\frac{1}{3}} \right| = 2\sqrt{6}$.

(C) परवलय $y^2 = 4ax$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{a}{m}$ है।
यहाँ $y^2 = 8x$ है,इसलिए $a = 2$,अतः स्पर्श रेखा $y = mx + \frac{2}{m}$ है।
दी गई रेखा $2x + 3y + n = 0$ को $y = -\frac{2}{3}x - \frac{n}{3}$ के रूप में लिखने पर।
ढाल की तुलना करने पर,$m = -\frac{2}{3}$।
अंतःखंड की तुलना करने पर,$-\frac{n}{3} = \frac{2}{m} = -3$,जिससे $n = 9$ प्राप्त होता है।
स्पर्श बिंदु $(2n, 4\sqrt{n}) = (18, 12)$ है।
परवलय $y^2 = 8x$ के लिए,बिंदु $(at^2, 2at)$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ है।
यहाँ $(at^2, 2at) = (18, 12)$ और $a = 2$ है,इसलिए $2t^2 = 18 \Rightarrow t = 3$।
अभिलंब का समीकरण $y = -3x + 2(2)(3) + 2(3)^3 = -3x + 12 + 54$ है।
अतः,$3x + y - 66 = 0$।

(A) माना नाभियाँ $S_1 = (3,3)$ और $S_2 = (-4,4)$ हैं,और दीर्घवृत्त पर स्थित बिंदु $P = (0,0)$ है।
दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार,दीर्घवृत्त पर किसी भी बिंदु से दोनों नाभियों तक की दूरियों का योग अचर होता है और यह दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a$ के बराबर होता है।
$PS_1 + PS_2 = 2a$
$\sqrt{(3-0)^2 + (3-0)^2} + \sqrt{(-4-0)^2 + (4-0)^2} = 2a$
$3\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = 2a$
$7\sqrt{2} = 2a \Rightarrow a = \frac{7\sqrt{2}}{2}$.
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = S_1S_2$ है।
$S_1S_2 = \sqrt{(-4-3)^2 + (4-3)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (1)^2} = \sqrt{49+1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
$2ae = 5\sqrt{2}$
$2 \cdot \frac{7\sqrt{2}}{2} \cdot e = 5\sqrt{2}$
$7\sqrt{2} \cdot e = 5\sqrt{2}$
$e = \frac{5}{7}$.

(C) दीर्घवृत्त $E$ का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।
नाभियाँ $S(ae, 0)$ और $S^{\prime}(-ae, 0)$ हैं,और लघु अक्ष का सिरा $B(0, b)$ है।
दिया गया है $\angle S^{\prime} SB = \frac{\pi}{6}$। $\triangle OBS$ में,$\angle OSB = \frac{\pi}{6}$ है।
अतः,$\tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{OB}{OS} = \frac{b}{ae} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
इससे $3b^2 = a^2e^2$ प्राप्त होता है।
चूँकि $b^2 = a^2(1 - e^2)$,हमारे पास $a^2e^2 = a^2 - b^2$ है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$3b^2 = a^2 - b^2$,जो $a^2 = 4b^2$ देता है।
बिंदु $(2\sqrt{3}, 1)$ दीर्घवृत्त पर स्थित है,इसलिए $\frac{(2\sqrt{3})^2}{a^2} + \frac{1^2}{b^2} = 1$ है।
$a^2 = 4b^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{12}{4b^2} + \frac{1}{b^2} = 1$ प्राप्त होता है,जो $\frac{3}{b^2} + \frac{1}{b^2} = 1$ में सरल हो जाता है।
अतः,$\frac{4}{b^2} = 1$,जिससे $b^2 = 4$ और $a^2 = 16$ प्राप्त होता है।
दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a$ है और लघु अक्ष की लंबाई $2b$ है।
लंबाइयों के वर्गों का योग $(2a)^2 + (2b)^2 = 4a^2 + 4b^2 = 4(16) + 4(4) = 64 + 16 = 80$ है।

(A) माना दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। नाभियाँ $S_1(ae, 0)$ और $S_2(-ae, 0)$ हैं। दीर्घ अक्ष के सिरे $A(a, 0)$ और $A'(-a, 0)$ हैं। लघु अक्ष के सिरे $B(0, b)$ और $B'(0, -b)$ हैं।
नाभि $S_1$ से दीर्घ अक्ष के सिरे $A$ तक की दूरी $a - ae = 4 - \sqrt{7}$ है।
नाभि $S_1$ से लघु अक्ष के सिरे $B$ तक की दूरी $\sqrt{(ae)^2 + b^2} = 4$ है। चूंकि $b^2 = a^2(1 - e^2)$,हमारे पास $\sqrt{(ae)^2 + a^2 - a^2e^2} = 4$ है,जिसका अर्थ है $a = 4$।
$a = 4$ को $a(1 - e) = 4 - \sqrt{7}$ में रखने पर,$4(1 - e) = 4 - \sqrt{7}$ प्राप्त होता है,इसलिए $1 - e = 1 - \frac{\sqrt{7}}{4}$,जिससे $e = \frac{\sqrt{7}}{4}$ मिलता है।
तब $b^2 = a^2(1 - e^2) = 16(1 - \frac{7}{16}) = 16(\frac{9}{16}) = 9$,इसलिए $b = 3$।
दूरी $S_1S_2 = 2ae = 2(4)(\frac{\sqrt{7}}{4}) = 2\sqrt{7}$ है।
$\triangle BS_1S_2$ में,$BS_1 = BS_2 = 4$ और $S_1S_2 = 2\sqrt{7}$ है।
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$\cos \theta = \frac{BS_1^2 + BS_2^2 - S_1S_2^2}{2(BS_1)(BS_2)} = \frac{4^2 + 4^2 - (2\sqrt{7})^2}{2(4)(4)} = \frac{16 + 16 - 28}{32} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$।

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
चूंकि यह $(2,2)$ से गुजरता है,हमारे पास $\frac{4}{a^2} + \frac{4}{b^2} = 1$ है,जो सरल होकर $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{4}$ ... $(i)$ हो जाता है।
चूंकि यह $(3,1)$ से गुजरता है,हमारे पास $\frac{9}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 1$ ... $(ii)$ है।
$(ii)$ में से $(i)$ घटाने पर,हमें $\frac{8}{a^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$a^2 = \frac{32}{3}$,जिसका अर्थ है $3a^2 = 32$।
$a^2$ का मान $(ii)$ में रखने पर,$\frac{9}{32/3} + \frac{1}{b^2} = 1$,इसलिए $\frac{27}{32} + \frac{1}{b^2} = 1$।
इससे $\frac{1}{b^2} = 1 - \frac{27}{32} = \frac{5}{32}$ प्राप्त होता है,इसलिए $b^2 = \frac{32}{5}$,जिसका अर्थ है $5b^2 = 32$।
इसलिए,$3a^2 + 5b^2 = 32 + 32 = 64$।

(B) दी गई रेखा $x \cos \alpha + y \sin \alpha = 2 \sqrt{3}$ है और दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{8} = 1$ है।
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 16$ और $b^2 = 8$ प्राप्त होता है।
रेखा $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ के दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $p^2 = a^2 \cos^2 \alpha + b^2 \sin^2 \alpha$ है।
यहाँ $p = 2 \sqrt{3}$,इसलिए $p^2 = (2 \sqrt{3})^2 = 12$ है।
मान रखने पर: $12 = 16 \cos^2 \alpha + 8 \sin^2 \alpha$।
$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$ का उपयोग करने पर,$12 = 16(1 - \sin^2 \alpha) + 8 \sin^2 \alpha$ प्राप्त होता है।
$12 = 16 - 16 \sin^2 \alpha + 8 \sin^2 \alpha$।
$8 \sin^2 \alpha = 4$।
$\sin^2 \alpha = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$।
चूंकि $\alpha$ एक न्यून कोण है,इसलिए $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,$\alpha = \frac{\pi}{4}$।

(C) रेखा का समीकरण $y=mx+c$ है,जहाँ $m=4$ है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ है,जहाँ $a^2=4$ और $b^2=1$ है।
एक रेखा $y=mx+c$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ को स्पर्श करती है यदि $c^2=a^2m^2+b^2$ हो।
मान $a^2=4$,$b^2=1$,और $m=4$ प्रतिस्थापित करने पर:
$c^2 = 4(4)^2 + 1$
$c^2 = 4(16) + 1$
$c^2 = 64 + 1 = 65$
अतः,$c = \pm \sqrt{65}$।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{25} = 1$ है।
बिंदु $(-8, 3)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $\frac{x x_1}{a^2} + \frac{y y_1}{b^2} = 1$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\frac{x(-8)}{100} + \frac{y(3)}{25} = 1$।
समीकरण को सरल करने पर: $-\frac{2x}{25} + \frac{3y}{25} = 1$,जो $-2x + 3y = 25$ देता है।
वह बिंदु ज्ञात करने के लिए जहाँ कण $Y$-अक्ष को पार करता है,हम $x = 0$ रखते हैं।
स्पर्शरेखा के समीकरण में $x = 0$ रखने पर: $3y = 25$,जिससे $y = \frac{25}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु $\left(0, \frac{25}{3}\right)$ है।

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ के लिए,नाभिलंब के सिरे $(\pm ae, \pm \frac{b^2}{a})$ होते हैं।
दिया गया है $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$,अतः $a^2=9, b^2=5$.
$e^2 = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9} \Rightarrow e = \frac{2}{3}$.
नाभिलंब के सिरे $(\pm 2, \pm \frac{5}{3})$ हैं।
बिंदु $P(2, \frac{5}{3})$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{2x}{9} + \frac{y}{3} = 1$ है।
यह रेखा अक्षों को $A(\frac{9}{2}, 0)$ और $C(0, 3)$ पर काटती है।
प्रथम चतुर्थांश में बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \frac{9}{2} \times 3 = \frac{27}{4}$ है।
चूँकि नाभिलंब के चारों सिरों पर स्पर्श रेखाओं द्वारा ऐसे चार सममित त्रिभुज बनते हैं,इसलिए कुल क्षेत्रफल $4 \times \frac{27}{4} = 27$ वर्ग इकाई है।

(D) दीर्घवृत्त की दो नाभियों से किसी भी स्पर्श रेखा पर डाले गए लंब की लंबाइयों का गुणनफल अर्ध-लघु अक्ष के वर्ग के बराबर होता है।
दिए गए दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$ के लिए,$a^2 = 9$ और $b^2 = 25$ है। चूँकि $b^2 > a^2$,इसलिए अर्ध-लघु अक्ष $b = \sqrt{9} = 3$ है।
अतः,लंब की लंबाइयों का गुणनफल $b^2 = 3^2 = 9$ है।

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+2y^2=2$ है,जिसे $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a^2=2$ और $b^2=1$ है,इसलिए $a=\sqrt{2}$ और $b=1$ है।
बिंदु $P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ पर दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{a} + \frac{y \sin \theta}{b} = 1$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{x \cos \theta}{\sqrt{2}} + y \sin \theta = 1$ प्राप्त होता है।
$x$-अंतःखंड $(A)$ के लिए,$y=0$ रखें: $\frac{x \cos \theta}{\sqrt{2}} = 1 \Rightarrow x = \sqrt{2} \sec \theta$. अतः,$A = (\sqrt{2} \sec \theta, 0)$.
$y$-अंतःखंड $(B)$ के लिए,$x=0$ रखें: $y \sin \theta = 1 \Rightarrow y = \operatorname{cosec} \theta$. अतः,$B = (0, \operatorname{cosec} \theta)$.
माना $M(h, k)$ रेखा $AB$ का मध्य बिंदु है। तब:
$h = \frac{\sqrt{2} \sec \theta + 0}{2} = \frac{\sec \theta}{\sqrt{2}} \Rightarrow \sec \theta = \sqrt{2}h$
$k = \frac{0 + \operatorname{cosec} \theta}{2} = \frac{\operatorname{cosec} \theta}{2} \Rightarrow \operatorname{cosec} \theta = 2k$
हम जानते हैं कि $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,जिसका अर्थ है $\frac{1}{\sec^2 \theta} + \frac{1}{\operatorname{cosec}^2 \theta} = 1$.
$\sec \theta$ और $\operatorname{cosec} \theta$ के मान रखने पर:
$\frac{1}{(\sqrt{2}h)^2} + \frac{1}{(2k)^2} = 1$
$\frac{1}{2h^2} + \frac{1}{4k^2} = 1$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{4y^2} = 1$ प्राप्त होता है।

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $x^2+2y^2=2$ है,जिसे $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दीर्घवृत्त पर कोई बिंदु $P(\sqrt{2}\cos\theta, \sin\theta)$ है।
$P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x\cos\theta}{\sqrt{2}} + y\sin\theta = 1$ है।
निर्देशांक अक्षों पर स्पर्श रेखा द्वारा बनाए गए अंतःखंड $A\left(\frac{\sqrt{2}}{\cos\theta}, 0\right)$ और $B\left(0, \frac{1}{\sin\theta}\right)$ हैं।
माना $(h, k)$ $AB$ का मध्य-बिंदु है। तब $h = \frac{\sqrt{2}}{2\cos\theta}$ और $k = \frac{1}{2\sin\theta}$ है।
इसका अर्थ है $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}h}$ और $\sin\theta = \frac{1}{2k}$ है।
सर्वसमिका $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ का उपयोग करने पर,हमें $\left(\frac{1}{\sqrt{2}h}\right)^2 + \left(\frac{1}{2k}\right)^2 = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदुपथ $\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{4y^2} = 1$ है।

(D) रेखा का समीकरण $4x + 2y + n = 0$ है,जिसे $y = -2x - \frac{n}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$y = mx + c$ से तुलना करने पर,$m = -2$ और $c = -\frac{n}{2}$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{16} = 1$ है,इसलिए $a^2 = 36$ और $b^2 = 16$ है।
रेखा $y = mx + c$ के दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ का अभिलंब होने की शर्त $c^2 = \frac{(a^2 - b^2)^2 m^2}{a^2 + b^2 m^2}$ है।
मान रखने पर: $(-\frac{n}{2})^2 = \frac{(36 - 16)^2 (-2)^2}{36 + 16(-2)^2}$।
$\frac{n^2}{4} = \frac{(20)^2 \times 4}{36 + 64} = \frac{1600}{100} = 16$।
$n^2 = 64$,अतः $n = \pm 8$।

(C) दिए गए समीकरण $x = 1 + 2 \cos \theta$ और $y = 2 + \sin \theta$ हैं।
यह एक दीर्घवृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $(1, 2)$ है और $a = 2, b = 1$ है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y-2)^2}{1} = 1$ है।
$\theta = \pi/4$ पर बिंदु $P$ के निर्देशांक $(1 + \sqrt{2}, 2 + 1/\sqrt{2})$ हैं।
अभिलंब का समीकरण $2\sqrt{2}(x-1) - \sqrt{2}(y-2) = 3$ प्राप्त होता है।
मुख्य अक्ष $y = 2$ है,इसलिए प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए $y = 2$ रखने पर,$x = 1 + \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{4+3\sqrt{2}}{4}$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई स्पर्शरेखा $x+\sqrt{3} y=3$ ... $(i)$ और दीर्घवृत्त $2 x^2+3 y^2=k$ है।
बिंदु $P(x_1, y_1)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $2 x x_1+3 y y_1=k$ ... (ii) है।
$(i)$ और (ii) की तुलना करने पर,$\frac{2 x_1}{1} = \frac{3 y_1}{\sqrt{3}} = \frac{k}{3}$.
अतः,$x_1 = \frac{k}{6}$ और $y_1 = \frac{k}{3 \sqrt{3}}$.
चूंकि $P(x_1, y_1)$ दीर्घवृत्त पर स्थित है,$2(\frac{k}{6})^2 + 3(\frac{k}{3 \sqrt{3}})^2 = k$.
$\frac{k^2}{18} + \frac{k^2}{9} = k$ $\Rightarrow \frac{k^2}{6} = k$ $\Rightarrow k = 6$.
अतः,$x_1 = 1$ और $y_1 = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
स्पर्शरेखा की ढाल $m_t = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = \sqrt{3}$ है।
$P(1, \frac{2}{\sqrt{3}})$ पर अभिलंब का समीकरण $y - \frac{2}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}(x - 1)$ है।
$\sqrt{3} y - 2 = 3x - 3 \Rightarrow 3x - \sqrt{3} y = 1$.

(B) दी गई रेखा $2x + \sqrt{6}y = 2$ है,जिसे $2x + \sqrt{6}y - 2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतिपरवलय का समीकरण $x^2 - 2y^2 = 4$ है।
माना स्पर्श बिंदु $(x_1, y_1)$ है।
अतिपरवलय $x^2 - 2y^2 = 4$ के लिए $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_1 - 2yy_1 - 4 = 0$ होता है।
चूंकि यह रेखा और दी गई रेखा समान हैं,इसलिए गुणांक समानुपाती होंगे:
$\frac{x_1}{2} = \frac{-2y_1}{\sqrt{6}} = \frac{-4}{-2}$
$\frac{x_1}{2} = 2 \Rightarrow x_1 = 4$
$\frac{-2y_1}{\sqrt{6}} = 2$ $\Rightarrow -2y_1 = 2\sqrt{6}$ $\Rightarrow y_1 = -\sqrt{6}$
अतः,स्पर्श बिंदु $(4, -\sqrt{6})$ है।

(B) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ होता है।
दी गई स्पर्श रेखा $y = mx + 4$ है,इसलिए $c = 4$ है।
$c^2 = a^2m^2 - b^2$ की तुलना करने पर,$16 = 25m^2 - 9$ प्राप्त होता है।
$25m^2 = 25 \Rightarrow m^2 = 1$,इसलिए $m = 1$ है।
स्पर्श बिंदु $\left(\frac{a^2m}{c}, \frac{b^2}{c}\right)$ सूत्र का उपयोग करने पर:
स्पर्श बिंदु = $\left(\frac{25 \times 1}{4}, \frac{9}{4}\right) = \left(\frac{25}{4}, \frac{9}{4}\right)$.

(D) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ के लिए बिंदु $\theta$ पर अभिलंब का समीकरण $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2+b^2$ है।
बिंदु $P(\theta)$ के लिए,अभिलंब $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2+b^2$ है (समीकरण $1$)।
बिंदु $Q(\phi)$ के लिए,अभिलंब $ax \cos \phi + by \cot \phi = a^2+b^2$ है।
चूंकि $\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$,इसलिए $\cos \phi = \sin \theta$ और $\cot \phi = \tan \theta$ होता है।
अतः,$Q$ पर अभिलंब $ax \sin \theta + by \tan \theta = a^2+b^2$ है (समीकरण $2$)।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(h, k)$ ज्ञात करने के लिए $x$ या $y$ का विलोपन करने पर:
समीकरण $1$ से,$ax \cos \theta = a^2+b^2 - by \cot \theta$.
समीकरण $2$ से,$ax \sin \theta = a^2+b^2 - by \tan \theta$.
क्रेमर के नियम या प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करने पर,हमें $y$-निर्देशांक $k$ प्राप्त होता है:
$k = \frac{(a^2+b^2)a(\cos \theta - \sin \theta)}{ab(\sin \theta - \cos \theta)} = \frac{-(a^2+b^2)}{b}$.
अतः,$k = -\left(\frac{a^2+b^2}{b}\right)$।

(B) दी गई रेखा का समीकरण $x+y+n=0$ है,जिसे $y=-x-n$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे $y=mx+c$ से तुलना करने पर,हमें $m=-1$ और $c=-n$ प्राप्त होता है।
रेखा $y=mx+c$ के अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ का अभिलंब होने की शर्त $c^2 = \frac{(a^2+b^2)^2 m^2}{a^2-b^2 m^2}$ है।
यहाँ,$a^2=6$ और $b^2=2$ है।
मान रखने पर,हमें $(-n)^2 = \frac{(6+2)^2 (-1)^2}{6-2(-1)^2}$ प्राप्त होता है।
$n^2 = \frac{8^2 \times 1}{6-2} = \frac{64}{4} = 16$।
अतः,$n = \pm 4$।

(A) दिया गया अतिपरवलय $H: 9x^2 - 16y^2 + 72x - 32y - 16 = 0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाकर समीकरण को पुनः व्यवस्थित करने पर:
$9(x^2 + 8x) - 16(y^2 + 2y) = 16$
$9(x+4)^2 - 144 - 16(y+1)^2 + 16 = 16$
$9(x+4)^2 - 16(y+1)^2 = 144$
$144$ से भाग देने पर,$\frac{(x+4)^2}{16} - \frac{(y+1)^2}{9} = 1$ प्राप्त होता है।
संयुग्मी अतिपरवलय का समीकरण $\frac{(x+4)^2}{16} - \frac{(y+1)^2}{9} = -1$ होता है।
$144$ से गुणा करने पर: $9(x+4)^2 - 16(y+1)^2 = -144$.
$9(x^2 + 8x + 16) - 16(y^2 + 2y + 1) = -144$
$9x^2 + 72x + 144 - 16y^2 - 32y - 16 = -144$
$9x^2 - 16y^2 + 72x - 32y + 128 = -144$
$9x^2 - 16y^2 + 72x - 32y + 272 = 0$.

(D) अतिपरवलय के अनंतस्पर्शी के बीच का कोण $2 \sec^{-1}(e)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि कोण $30^{\circ}$ है,इसलिए:
$2 \sec^{-1}(e) = 30^{\circ}$
$\sec^{-1}(e) = 15^{\circ}$
$e = \sec(15^{\circ})$
चूंकि $\cos(15^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$ है,
अतः $e = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}+1} = \sqrt{6}-\sqrt{2}$।

(B) माना $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(3^{2x} - \sqrt{x+1}) \sin 5x}{1 - \cos 4x}$.
सर्वसमिका $1 - \cos 4x = 2 \sin^2 2x$ का उपयोग करने पर,$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(3^{2x} - \sqrt{x+1}) \sin 5x}{2 \sin^2 2x}$.
अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर और मानक सीमा $\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{ax} = 1$ का उपयोग करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{3^{2x} - \sqrt{x+1}}{x} \right) \cdot \left( \frac{\sin 5x}{x} \right) \cdot \left( \frac{x^2}{2 \sin^2 2x} \right) = \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{3^{2x} - 1 - (\sqrt{x+1} - 1)}{x} \right) \cdot 5 \cdot \frac{1}{2(2)^2}$.
$L = \frac{5}{8} \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{3^{2x} - 1}{x} - \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x} \right)$.
$\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$ और $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x} = \frac{1}{2}$ का उपयोग करने पर:
$L = \frac{5}{8} \left( 2 \ln 3 - \frac{1}{2} \right) = \frac{5}{16} (4 \ln 3 - 1) = \frac{5}{16} (\ln 81 - \ln e) = \frac{5}{16} \ln \left( \frac{81}{e} \right)$.

(A) प्रथम सीमा के लिए: $\lim_{x \rightarrow -2^{+}} [x] = -2$.
अतः,$\lim_{x \rightarrow -2^{+}} ([x]^2 - [x] - 2) = (-2)^2 - (-2) - 2 = 4 + 2 - 2 = 4$.
दूसरी सीमा के लिए: $\lim_{x \rightarrow -3^{-}} [x] = -4$.
अतः,$\lim_{x \rightarrow -3^{-}} ([x]^2 - 4[x] + 3) = (-4)^2 - 4(-4) + 3 = 16 + 16 + 3 = 35$.
दोनों परिणामों का योग: $4 + 35 = 39$.

(B) दिया गया सीमा: $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(2 x-3)(\sqrt{x}-1)}{2 x^2+x-3}$
हर का गुणनखंड करने पर: $2x^2+x-3 = (2x+3)(x-1)$
सीमा में मान रखने पर: $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(2 x-3)(\sqrt{x}-1)}{(2 x+3)(x-1)}$
अंश और हर को $(\sqrt{x}+1)$ से गुणा करने पर: $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(2 x-3)(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{(2 x+3)(x-1)(\sqrt{x}+1)}$
$(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1) = (x-1)$ का उपयोग करके सरल करने पर: $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(2 x-3)(x-1)}{(2 x+3)(x-1)(\sqrt{x}+1)}$
अंश और हर से $(x-1)$ को हटाने पर: $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 x-3}{(2 x+3)(\sqrt{x}+1)}$
$x=1$ रखकर सीमा का मान ज्ञात करने पर: $\frac{2(1)-3}{(2(1)+3)(\sqrt{1}+1)} = \frac{-1}{5(2)} = -\frac{1}{10}$

(B) चूंकि सीमा $\frac{0}{0}$ रूप में है,हम $L'H\hat{o}pital$ नियम लागू करते हैं:
$\lim _{x \rightarrow 9} \frac{\sqrt{f(x)}-3}{\sqrt{x}-3} = \lim _{x \rightarrow 9} \frac{\frac{d}{dx}(\sqrt{f(x)}-3)}{\frac{d}{dx}(\sqrt{x}-3)}$
$= \lim _{x \rightarrow 9} \frac{\frac{f^{\prime}(x)}{2\sqrt{f(x)}}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}}$
$= \lim _{x \rightarrow 9} \frac{f^{\prime}(x) \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{f(x)}}$
$f(9)=9$ और $f^{\prime}(9)=4$ का मान रखने पर:
$= \frac{f^{\prime}(9) \cdot \sqrt{9}}{\sqrt{f(9)}} = \frac{4 \cdot 3}{\sqrt{9}} = \frac{12}{3} = 4$.

(A) माना $L = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt[3]{6+x}-\sqrt[3]{10-x}}{x-2}$ है।
सर्वसमिका $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = \sqrt[3]{6+x}$ और $b = \sqrt[3]{10-x}$ है:
$L = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{(6+x) - (10-x)}{(x-2)((6+x)^{2/3} + (6+x)^{1/3}(10-x)^{1/3} + (10-x)^{2/3})}$
$L = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{2x - 4}{(x-2)((6+x)^{2/3} + (6+x)^{1/3}(10-x)^{1/3} + (10-x)^{2/3})}$
$L = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{2(x-2)}{(x-2)((6+x)^{2/3} + (6+x)^{1/3}(10-x)^{1/3} + (10-x)^{2/3})}$
$L = \frac{2}{8^{2/3} + (8 \times 8)^{1/3} + 8^{2/3}} = \frac{2}{4 + 4 + 4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.

(B) माना $h = 1-x$ है। जैसे $x \rightarrow 1$,$h \rightarrow 0$,इसलिए $x = 1-h$ है।
इसे सीमा में प्रतिस्थापित करने पर:
$\lim _{h \rightarrow 0} h \tan \left(\frac{\pi}{2}(1-h)\right) = \lim _{h \rightarrow 0} h \tan \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi h}{2}\right)$
चूँकि $\tan(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cot(\theta)$,हमें प्राप्त होता है:
$\lim _{h \rightarrow 0} h \cot \left(\frac{\pi h}{2}\right) = \lim _{h \rightarrow 0} h \frac{1}{\tan \left(\frac{\pi h}{2}\right)}$
$\frac{\pi}{2}$ से गुणा और भाग करने पर:
$\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h \cdot \frac{\pi}{2}}{\tan \left(\frac{\pi h}{2}\right)} \cdot \frac{2}{\pi} = 1 \cdot \frac{2}{\pi} = \frac{2}{\pi}$.

(C) हमारे पास सीमा है: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan ^4 x-\sin ^4 x}{x^6}$
$\sin ^4 x$ को बाहर निकालने पर: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^4 x(\sec ^4 x-1)}{x^6}$
सर्वसमिका $\sec ^4 x - 1 = (\sec ^2 x - 1)(\sec ^2 x + 1) = \tan ^2 x (\sec ^2 x + 1)$ का उपयोग करने पर:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^4 x \cdot \tan ^2 x (\sec ^2 x + 1)}{x^6}$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^4 \cdot \left( \frac{\tan x}{x} \right)^2 \cdot (\sec ^2 x + 1)$
चूँकि $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ और $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x}{x} = 1$:
$= (1)^4 \cdot (1)^2 \cdot (\sec ^2 0 + 1) = 1 \cdot 1 \cdot (1 + 1) = 2$

(A) सबसे पहले,हम $\ell$ का मूल्यांकन करते हैं:
$\ell = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta}{\theta} = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin(3\theta)}{\theta} = \lim_{\theta \rightarrow 0} 3 \left( \frac{\sin(3\theta)}{3\theta} \right) = 3(1) = 3$.
इसके बाद,हम $m$ का मूल्यांकन करते हैं:
$m = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{2 \tan \theta}{\theta(1 - \tan^2 \theta)} = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\tan(2\theta)}{\theta} = \lim_{\theta \rightarrow 0} 2 \left( \frac{\tan(2\theta)}{2\theta} \right) = 2(1) = 2$.
$\ell = 3$ और $m = 2$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $x^2 - (\ell + m)x + \ell m = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$x^2 - (3 + 2)x + (3 \times 2) = 0$
$x^2 - 5x + 6 = 0$.

(B) हमें $\lim_{x \rightarrow \pi/4} \frac{\cot^3 x - \tan x}{\cos(x + \pi/4)}$ का मान ज्ञात करना है।
माना $t = \tan x$। जैसे $x \rightarrow \pi/4$,$t \rightarrow 1$।
अंश $\frac{1}{t^3} - t = \frac{1 - t^4}{t^3} = \frac{(1 - t^2)(1 + t^2)}{t^3} = \frac{(1 - t)(1 + t)(1 + t^2)}{t^3}$ है।
हर $\cos(x + \pi/4) = \cos x \cos(\pi/4) - \sin x \sin(\pi/4) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\cos x - \sin x) = \frac{\cos x}{\sqrt{2}}(1 - \tan x) = \frac{\cos x}{\sqrt{2}}(1 - t)$ है।
इन मानों को सीमा में प्रतिस्थापित करने पर:
$\lim_{t \rightarrow 1} \frac{(1 - t)(1 + t)(1 + t^2)}{t^3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\cos x(1 - t)} = \lim_{t \rightarrow 1} \frac{\sqrt{2}(1 + t)(1 + t^2)}{t^3 \cos x}$।
जैसे $t \rightarrow 1$,$x \rightarrow \pi/4$,इसलिए $\cos x \rightarrow 1/\sqrt{2}$।
$= \frac{\sqrt{2}(1 + 1)(1 + 1^2)}{1^3 \cdot (1/\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{2} \cdot 2 \cdot 2}{1/\sqrt{2}} = 4 \cdot 2 = 8$।

(C) माना $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \tan x+\cos x-1+x}{\sqrt{4 \sin ^2 x+2 \tan x+1}-\sqrt{3 \tan ^2 x+\sin x+1}}$.
हर का परिमेयकरण करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(2 \tan x + \cos x - 1 + x)(\sqrt{4 \sin ^2 x + 2 \tan x + 1} + \sqrt{3 \tan ^2 x + \sin x + 1})}{(4 \sin ^2 x + 2 \tan x + 1) - (3 \tan ^2 x + \sin x + 1)}$.
जैसे $x \rightarrow 0$,पद $(\sqrt{4 \sin ^2 x + 2 \tan x + 1} + \sqrt{3 \tan ^2 x + \sin x + 1}) \rightarrow \sqrt{1} + \sqrt{1} = 2$.
अतः,$L = 2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \tan x + x + (\cos x - 1)}{4 \sin ^2 x - 3 \tan ^2 x + 2 \tan x - \sin x}$.
लघु कोण सन्निकटन $\tan x \approx x$,$\sin x \approx x$,$\cos x - 1 \approx -\frac{x^2}{2}$ का उपयोग करने पर:
$L = 2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2x + x - \frac{x^2}{2}}{4x^2 - 3x^2 + 2x - x} = 2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{3x - \frac{x^2}{2}}{x^2 + x} = 2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 - \frac{x}{2}}{x + 1} = 2 \times \frac{3}{1} = 6$.

(B) दिया गया है $\lim _{x \rightarrow \infty} x\left(a^{1 / x}+b^{1 / x}+c^{1 / x}-3 k^{1 / x}\right)=0$.
माना $y = \frac{1}{x}$. जैसे ही $x \rightarrow \infty$,$y \rightarrow 0$.
व्यंजक $\lim _{y \rightarrow 0} \frac{a^y+b^y+c^y-3 k^y}{y} = 0$ हो जाता है।
इसे $\lim _{y \rightarrow 0} \left[ \frac{a^y-1}{y} + \frac{b^y-1}{y} + \frac{c^y-1}{y} - 3 \frac{k^y-1}{y} \right] = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मानक सीमा $\lim _{y \rightarrow 0} \frac{a^y-1}{y} = \ln a$ का उपयोग करते हुए:
$\ln a + \ln b + \ln c - 3 \ln k = 0$.
$\ln (abc) = 3 \ln k$.
$\ln (abc) = \ln (k^3)$.
अतः,$k^3 = abc$,जिसका अर्थ है $k = (abc)^{1/3}$.

(C) दी गई सीमा: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n (k^2 x)$
चूँकि $x$,$k$ से स्वतंत्र है,हम लिख सकते हैं: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x}{n^3} \sum_{k=1}^n k^2$
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग का सूत्र उपयोग करने पर,$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
इस मान को व्यंजक में रखने पर: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x}{6} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{n^3}$
$= \frac{x}{6} \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^3(1 + \frac{1}{n})(2 + \frac{1}{n})}{n^3}$
$= \frac{x}{6} \cdot (1 \cdot 2) = \frac{2x}{6} = \frac{x}{3}$

(A) दिए गए प्रेक्षण: $2, 3, 5, 8, 12$
माध्य $\bar{x} = \frac{2+3+5+8+12}{5} = \frac{30}{5} = 6$
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{(2-6)^2 + (3-6)^2 + (5-6)^2 + (8-6)^2 + (12-6)^2}{5}$
$\sigma^2 = \frac{16 + 9 + 1 + 4 + 36}{5} = \frac{66}{5} = 13.2$
आँकड़ों $2, 3, 5, 8, 12$ की माध्यिका $m = 5$ है।
माध्यिका से माध्य विचलन $M = \frac{\sum |x_i - m|}{n} = \frac{|2-5| + |3-5| + |5-5| + |8-5| + |12-5|}{5}$
$M = \frac{3 + 2 + 0 + 3 + 7}{5} = \frac{15}{5} = 3$
अतः,$\sigma^2 - M = 13.2 - 3 = 10.2$.

(A) प्रथम $n$ विषम प्राकृतिक संख्याओं का योग $\sum_{i=1}^{n} (2i-1) = n^2$ है।
प्रथम $n$ विषम प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग $\sum_{i=1}^{n} (2i-1)^2 = \sum_{i=1}^{n} (4i^2 - 4i + 1) = 4 \sum i^2 - 4 \sum i + \sum 1$ है।
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर: $\sum i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum i = \frac{n(n+1)}{2}$।
योग $= 4 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] - 4 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right] + n = \frac{2n(n+1)(2n+1) - 6n(n+1) + 3n}{3} = \frac{n(4n^2-1)}{3}$।
अतः,कारण $(R)$ सही है।
प्रसरण का सूत्र $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \left( \frac{\sum x_i}{n} \right)^2$ है।
$\sigma^2 = \frac{n(4n^2-1)}{3n} - \left( \frac{n^2}{n} \right)^2 = \frac{4n^2-1}{3} - n^2 = \frac{4n^2-1-3n^2}{3} = \frac{n^2-1}{3}$।
अतः,कथन $(A)$ सही है और $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।

(D) मान लीजिए कि मूल प्रेक्षण $x_i$ हैं और उनका प्रसरण $\sigma^2 = 7$ है।
जब प्रत्येक प्रेक्षण को $y_i = ax + b$ में परिवर्तित किया जाता है,तो नया प्रसरण $\sigma^2(y) = a^2 \sigma^2(x)$ द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ,$a = 6$ और $b = -5$ है।
अचर $b$ का प्रसरण पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।
अतः,नया प्रसरण $\sigma^2_{new} = 6^2 \times 7 = 36 \times 7 = 252$ होगा।

(D) दिया गया है: $n = 100$,$\bar{x} = 40$,$\sigma = 5.1$.
हम जानते हैं कि $\text{प्रसरण} = \sigma^2 = (5.1)^2 = 26.01$.
प्रसरण का सूत्र $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ है।
मान रखने पर: $26.01 = \frac{\sum x_i^2}{100} - (40)^2$.
$26.01 = \frac{\sum x_i^2}{100} - 1600$.
$\frac{\sum x_i^2}{100} = 1626.01$.
$\sum x_i^2 = 162601$ (यह वर्गों का गलत योग है)।
वर्गों का सही योग ज्ञात करने के लिए,हम गलत प्रेक्षण के वर्ग को घटाएंगे और सही प्रेक्षण के वर्ग को जोड़ेंगे:
$\text{सही } \sum x_i^2 = 162601 - (50)^2 + (40)^2$.
$\text{सही } \sum x_i^2 = 162601 - 2500 + 1600$.
$\text{सही } \sum x_i^2 = 161701$.

(D) दिया गया डेटा $1, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23$ है। अवलोकनों की संख्या $n = 9$ है।
माध्य $\bar{x} = \frac{1+3+5+7+11+13+17+19+23}{9} = \frac{99}{9} = 11$.
माध्य से माध्य विचलन $M = \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{n} = \frac{|1-11| + |3-11| + |5-11| + |7-11| + |11-11| + |13-11| + |17-11| + |19-11| + |23-11|}{9} = \frac{10+8+6+4+0+2+6+8+12}{9} = \frac{56}{9}$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{(-10)^2 + (-8)^2 + (-6)^2 + (-4)^2 + 0^2 + 2^2 + 6^2 + 8^2 + 12^2}{9} = \frac{100 + 64 + 36 + 16 + 0 + 4 + 36 + 64 + 144}{9} = \frac{464}{9}$.
अब,$3(\sigma^2 - M) = 3 \left( \frac{464}{9} - \frac{56}{9} \right) = 3 \left( \frac{408}{9} \right) = \frac{408}{3} = 136$.

(D) माना परिवृत्त की त्रिज्या $R_c$ है। दिया गया है $R_c = PQ$। $\triangle PQR$ में,$PQ = PR$,इसलिए $\angle Q = \angle R$।
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{PQ}{\sin R} = 2R_c$।
$R_c = PQ$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{PQ}{\sin R} = 2PQ$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $\sin R = \frac{1}{2}$,इसलिए $R = 30^{\circ}$।
चूंकि $\angle Q = \angle R$,इसलिए $\angle Q = 30^{\circ}$।
$\triangle PQR$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle P + \angle Q + \angle R = 180^{\circ}$।
$\angle P + 30^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow \angle P = 120^{\circ}$।

(A) माना $X$ निकाले गए हुकुम के पत्तों की संख्या को दर्शाने वाला यादृच्छिक चर है। चूंकि पत्ते प्रतिस्थापन के साथ निकाले जाते हैं,इसलिए यह द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है,जहाँ $n = 2$ और $p = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ है।
सफलता की प्रायिकता (हुकुम का पत्ता प्राप्त करना) $p = \frac{1}{4}$ है और विफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{3}{4}$ है।
द्विपद वितरण का प्रसरण $Var(X) = npq$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $Var(X) = 2 \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.

(C) पॉइसन वितरण का प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई शर्त $3 P(X=2) = P(X=4)$ है।
सूत्र का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $3 \cdot \frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^4}{4!}$.
दोनों पक्षों से $e^{-\lambda}$ को हटाने और फैक्टोरियल को सरल करने पर: $\frac{3 \lambda^2}{2} = \frac{\lambda^4}{24}$.
दोनों पक्षों को $24$ से गुणा करने पर,हमें मिलता है $36 \lambda^2 = \lambda^4$.
चूंकि $\lambda > 0$,इसलिए $\lambda^2 = 36$,जिसका अर्थ है $\lambda = 6$.
अब,हमें $P(X=6) = \frac{e^{-6} \cdot 6^6}{6!}$ ज्ञात करना है।
मान की गणना करने पर: $P(X=6) = \frac{e^{-6} \cdot 46656}{720} = \frac{46656}{720 e^6} = \frac{324}{5 e^6}$.

(C) प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है:
$\Sigma P(X = x) = 0.15 + 0.23 + k + 0.10 + 0.20 + 0.08 + 0.07 + 0.05 = 1$
$0.88 + k = 1$
$k = 0.12$
घटना $E$ में $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ के बीच की अभाज्य संख्याएँ हैं,इसलिए $E = \{2, 3, 5, 7\}$.
घटना $F$ में $4$ से छोटी संख्याएँ हैं,इसलिए $F = \{1, 2, 3\}$.
अतः $E \cup F = \{1, 2, 3, 5, 7\}$.
प्रायिकता $P(E \cup F) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=5) + P(X=7)$
$P(E \cup F) = 0.15 + 0.23 + 0.12 + 0.20 + 0.07 = 0.77$.

(C) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$\sum P(X = x_{i}) = 0.1 + k + 0.2 + 2k + 3k + k = 1$
$7k + 0.3 = 1 \Rightarrow 7k = 0.7 \Rightarrow k = 0.1$.
अब,हम माध्य $\mu = E(X) = \sum x_{i} P(x_{i})$ की गणना करते हैं:
$\mu = (-2)(0.1) + (-1)(0.1) + (0)(0.2) + (1)(0.2) + (2)(0.3) + (3)(0.1)$
$\mu = -0.2 - 0.1 + 0 + 0.2 + 0.6 + 0.3 = 0.8$.
इसके बाद,हम $E(X^2) = \sum x_{i}^2 P(x_{i})$ की गणना करते हैं:
$E(X^2) = (-2)^2(0.1) + (-1)^2(0.1) + (0)^2(0.2) + (1)^2(0.2) + (2)^2(0.3) + (3)^2(0.1)$
$E(X^2) = 4(0.1) + 1(0.1) + 0 + 1(0.2) + 4(0.3) + 9(0.1)$
$E(X^2) = 0.4 + 0.1 + 0 + 0.2 + 1.2 + 0.9 = 2.8$.
प्रसरण $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ द्वारा दिया जाता है।
$Var(X) = 2.8 - (0.8)^2 = 2.8 - 0.64 = 2.16$.