TS EAMCET 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) हमारे पास $\frac{1}{\sqrt{4-x}(2+x)^3} = (4-x)^{-1/2} (2+x)^{-3}$ है।
$= 4^{-1/2} \left(1-\frac{x}{4}\right)^{-1/2} \cdot 2^{-3} \left(1+\frac{x}{2}\right)^{-3}$
$= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} \left(1 - \frac{1}{2}\left(-\frac{x}{4}\right) + \frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})}{2} \left(-\frac{x}{4}\right)^2\right) \left(1 + (-3)\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{(-3)(-4)}{2} \left(\frac{x}{2}\right)^2\right)$
$= \frac{1}{16} \left(1 + \frac{x}{8} + \frac{3}{128} x^2\right) \left(1 - \frac{3x}{2} + \frac{3x^2}{2}\right)$
$= \frac{1}{16} \left(1 - \frac{3x}{2} + \frac{3x^2}{2} + \frac{x}{8} - \frac{3x^2}{16} + \frac{3x^2}{128}\right)$
$= \frac{1}{16} \left(1 - \frac{11x}{8} + \frac{171x^2}{128}\right)$.

(D) $(a+bx)^n$ का द्विपद विस्तार तब मान्य होता है जब $|bx/a| < 1$ हो।
दी गई अभिव्यक्ति: $(7-5x)^{-2/3} = 7^{-2/3} (1 - \frac{5x}{7})^{-2/3}$।
विस्तार के मान्य होने के लिए,हमें आवश्यकता है:
$|\frac{5x}{7}| < 1$
$|x| < \frac{7}{5}$
अतः,$x \in (-\frac{7}{5}, \frac{7}{5})$।
इसे दिए गए अंतराल $(-c, c)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $c = \frac{7}{5}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$5c + 7 = 5(\frac{7}{5}) + 7 = 7 + 7 = 14$।

(B) माना शीर्ष $A, B, C$ हैं ताकि $\angle A = 90^{\circ}$ और $AB = AC = a$ हो। माना $D, AC$ का मध्य बिंदु है। तब $AD = DC = \frac{a}{2}$ होगा।
$\triangle ADB$ में,$\angle DAB = 90^{\circ}$ है। माना $\angle ABD = \alpha$ है। तब $\cot \alpha = \frac{AB}{AD} = \frac{a}{a/2} = 2$ होगा।
माना $\angle DBC = \beta$ है। चूंकि $\angle ABC = 45^{\circ}$ है,इसलिए $\alpha + \beta = 45^{\circ}$ होगा।
सूत्र $\cot(\alpha + \beta) = \frac{\cot \alpha \cot \beta - 1}{\cot \alpha + \cot \beta}$ का उपयोग करने पर,हमें $\cot 45^{\circ} = 1$ प्राप्त होता है।
$\frac{2 \cot \beta - 1}{2 + \cot \beta} = 1$ $\Rightarrow 2 \cot \beta - 1 = 2 + \cot \beta$ $\Rightarrow \cot \beta = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,दो कोणों के कोटैंजेंट $2$ और $3$ हैं।

(B) दिया गया है $\sin \alpha + \cos \alpha = m$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = m^2$.
$1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha = m^2 \Rightarrow 2 \sin \alpha \cos \alpha = m^2 - 1$.
अब,$\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = (\sin^2 \alpha)^3 + (\cos^2 \alpha)^3$.
सर्वसमिका $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ का उपयोग करने पर:
$= (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)(\sin^4 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha)$.
चूंकि $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$,यह सरल होकर प्राप्त होता है:
$= (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 3 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$.
$= 1 - 3(\sin \alpha \cos \alpha)^2$.
$= 1 - 3(\frac{m^2-1}{2})^2$.
$= 1 - \frac{3(m^2-1)^2}{4} = \frac{4 - 3(m^2-1)^2}{4}$.

(A) दिया गया है $\sinh(\log x) = -2$।
माना $\log x = y$,तब $x = e^y$।
परिभाषा $\sinh y = \frac{e^y - e^{-y}}{2} = -2$ का उपयोग करने पर।
$e^y - e^{-y} = -4$।
$e^y$ से गुणा करने पर: $(e^y)^2 - 1 = -4e^y$।
$(e^y)^2 + 4e^y - 1 = 0$।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर $e^y = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{20}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}$।
चूंकि $x = e^y$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $e^y = \sqrt{5} - 2$।
अतः,$x = \sqrt{5} - 2$।

(A) दिया गया है $81^{\sin ^2 x}+81^{\cos ^2 x}=30$।
चूंकि $\cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x$,हमारे पास $81^{\sin ^2 x}+81^{1-\sin ^2 x}=30$ है।
$81^{\sin ^2 x}+\frac{81}{81^{\sin ^2 x}}=30$।
माना $t = 81^{\sin ^2 x}$। तब $t + \frac{81}{t} = 30$,जिसका अर्थ है $t^2 - 30t + 81 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(t-3)(t-27) = 0$,अतः $t = 3$ या $t = 27$।
स्थिति $1$: $81^{\sin ^2 x} = 3$ $\Rightarrow 3^{4 \sin ^2 x} = 3^1$ $\Rightarrow 4 \sin ^2 x = 1$ $\Rightarrow \sin ^2 x = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow \sin x = \frac{1}{2}$ ($x \in [0, \pi]$ के लिए)।
अतः,$x = \frac{\pi}{6}$ या $x = \frac{5\pi}{6}$।
स्थिति $2$: $81^{\sin ^2 x} = 27$ $\Rightarrow 3^{4 \sin ^2 x} = 3^3$ $\Rightarrow 4 \sin ^2 x = 3$ $\Rightarrow \sin ^2 x = \frac{3}{4}$ $\Rightarrow \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
अतः,$x = \frac{\pi}{3}$ या $x = \frac{2\pi}{3}$।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$x = \frac{\pi}{6}$ सही विकल्प है।

(C) दिया गया है $540^{\circ} < \theta < 630^{\circ}$,जिसका अर्थ है कि $\theta$ $3^{rd}$ चतुर्थांश में है।
चूंकि $\tan \theta = \frac{5}{12}$,हमारे पास $\sin \theta = -\frac{5}{13}$ और $\cos \theta = -\frac{12}{13}$ है।
$\frac{\theta}{2}$ के लिए,$270^{\circ} < \frac{\theta}{2} < 315^{\circ}$ है,जो $4^{th}$ चतुर्थांश है।
$4^{th}$ चतुर्थांश में,$\cos \frac{\theta}{2} > 0$ और $\sin \frac{\theta}{2} < 0$ होता है।
$\cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - 1$ का उपयोग करने पर,$-\frac{12}{13} = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - 1$,जिससे $2 \cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1}{13}$ प्राप्त होता है,अतः $\cos \frac{\theta}{2} = \frac{1}{\sqrt{26}}$।
तब $\sin \frac{\theta}{2} = -\frac{5}{\sqrt{26}}$ होगा।
हर $\sqrt{-(12 \sec \theta + 5 \operatorname{cosec} \theta)} = \sqrt{26}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,व्यंजक $\frac{\frac{1}{\sqrt{26}} - 5(-\frac{5}{\sqrt{26}})}{\sqrt{26}} = \frac{26}{26} = 1$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $\cot \theta = -\frac{2}{3}$.
चूँकि $\cot \theta < 0$ है और $\theta$ चतुर्थ चतुर्थांश में नहीं है,इसलिए $\theta$ द्वितीय चतुर्थांश में स्थित होना चाहिए।
द्वितीय चतुर्थांश में,$\sin \theta > 0$ और $\cos \theta < 0$ होता है।
$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = -\frac{2}{3}$ का उपयोग करते हुए,$\cos \theta = -2k$ और $\sin \theta = 3k$ लें।
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ होने के कारण,$(3k)^2 + (-2k)^2 = 1 \implies 13k^2 = 1 \implies k = \frac{1}{\sqrt{13}}$.
अतः,$\sin \theta = \frac{3}{\sqrt{13}}$,$\cos \theta = -\frac{2}{\sqrt{13}}$,और $\tan \theta = -\frac{3}{2}$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{(5 \sin \theta + \cos \theta)^2}{\tan \theta + \cot \theta} = \frac{(\frac{15}{\sqrt{13}} - \frac{2}{\sqrt{13}})^2}{-\frac{3}{2} - \frac{2}{3}} = \frac{(\frac{13}{\sqrt{13}})^2}{-\frac{9+4}{6}} = \frac{13}{-\frac{13}{6}} = -6$.

(B) दिया है $\tan \alpha = \frac{-12}{5}$. चूँकि $\alpha$ दूसरे चतुर्थांश में नहीं है,इसलिए $\alpha$ चौथे चतुर्थांश में है। अतः,$\frac{\alpha}{2} \in (135^{\circ}, 180^{\circ})$.
$\tan \alpha = \frac{2 \tan \frac{\alpha}{2}}{1 - \tan^2 \frac{\alpha}{2}}$ का उपयोग करने पर,$\frac{-12}{5} = \frac{2 \tan \frac{\alpha}{2}}{1 - \tan^2 \frac{\alpha}{2}}$ प्राप्त होता है।
$6 \tan^2 \frac{\alpha}{2} - 5 \tan \frac{\alpha}{2} - 6 = 0$ को हल करने पर,$\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{-2}{3}$ प्राप्त होता है। चूँकि $\frac{\alpha}{2}$ दूसरे चतुर्थांश में है,$\sin \frac{\alpha}{2} = \frac{2}{\sqrt{13}}$.
दिया है $\cot \beta = \frac{7}{24}$. चूँकि $\beta$ पहले चतुर्थांश में नहीं है,इसलिए $\beta$ तीसरे चतुर्थांश में है। अतः,$\cos \beta = \frac{-7}{25}$.
$\cos \beta = 2 \cos^2 \frac{\beta}{2} - 1$ का उपयोग करने पर,$\frac{-7}{25} = 2 \cos^2 \frac{\beta}{2} - 1$,जिससे $\cos^2 \frac{\beta}{2} = \frac{9}{25}$ प्राप्त होता है। चूँकि $\frac{\beta}{2}$ दूसरे चतुर्थांश में है,$\cos \frac{\beta}{2} = \frac{-3}{5}$ और $\sin \frac{\beta}{2} = \frac{4}{5}$,अतः $\cot \frac{\beta}{2} = \frac{-3}{4}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\sqrt{13} (\frac{2}{\sqrt{13}}) + (\frac{-3}{5}) + (\frac{-2}{3})(\frac{-3}{4}) = 2 - \frac{3}{5} + \frac{1}{2} = \frac{20 - 6 + 5}{10} = \frac{19}{10}$.

(A) दिया गया है $\frac{\sin^4 x}{2} + \frac{\cos^4 x}{3} = \frac{1}{5}$.
$6$ से गुणा करने पर,$3 \sin^4 x + 2 \cos^4 x = \frac{6}{5}$ प्राप्त होता है।
$15 \sin^4 x + 10 \cos^4 x = 6$.
चूंकि $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$,इसलिए $15 \sin^4 x + 10(1 - \sin^2 x)^2 = 6$.
$15 \sin^4 x + 10(1 - 2 \sin^2 x + \sin^4 x) = 6$.
$15 \sin^4 x + 10 - 20 \sin^2 x + 10 \sin^4 x = 6$.
$25 \sin^4 x - 20 \sin^2 x + 4 = 0$.
$(5 \sin^2 x - 2)^2 = 0$,जिसका अर्थ है $\sin^2 x = \frac{2}{5}$.
अतः $\cos^2 x = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$.
इस प्रकार,$\sec^2 x = \frac{5}{3}$ और $\operatorname{cosec}^2 x = \frac{5}{2}$.
अब,$27 \sec^6 x + 8 \operatorname{cosec}^6 x = 27(\frac{5}{3})^3 + 8(\frac{5}{2})^3$.
$= 27 \times \frac{125}{27} + 8 \times \frac{125}{8} = 125 + 125 = 250$.

(D) हम जानते हैं कि $\tan(90^\circ - \theta) = \cot \theta$ होता है।
दिया गया व्यंजक $E = \tan 1^\circ \tan 2^\circ \tan 3^\circ \dots \tan 44^\circ \tan 45^\circ \tan 46^\circ \dots \tan 88^\circ \tan 89^\circ$ है।
हम पदों को इस प्रकार जोड़ सकते हैं:
$(\tan 1^\circ \tan 89^\circ) \times (\tan 2^\circ \tan 88^\circ) \times \dots \times (\tan 44^\circ \tan 46^\circ) \times \tan 45^\circ$।
चूंकि $\tan 89^\circ = \tan(90^\circ - 1^\circ) = \cot 1^\circ$,इसलिए $\tan 1^\circ \tan 89^\circ = \tan 1^\circ \cot 1^\circ = 1$।
इसी प्रकार,$1$ से $44$ तक के प्रत्येक $k$ के लिए $\tan k^\circ \tan(90^\circ - k^\circ) = 1$ होता है।
अतः,$E = 1 \times 1 \times \dots \times 1 \times \tan 45^\circ = 1 \times 1 = 1$।

(B) हम जानते हैं कि $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$.
माना $x = \log(3+\sqrt{8})$.
तब $e^x = 3+\sqrt{8} = 3+2\sqrt{2} = (\sqrt{2}+1)^2$.
साथ ही,$e^{-x} = \frac{1}{e^x} = \frac{1}{(\sqrt{2}+1)^2} = (\sqrt{2}-1)^2$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\sinh(x) = \frac{(\sqrt{2}+1)^2 - (\sqrt{2}-1)^2}{2}$.
वर्गों का विस्तार करने पर:
$(\sqrt{2}+1)^2 = 3+2\sqrt{2}$.
$(\sqrt{2}-1)^2 = 3-2\sqrt{2}$.
$\sinh(x) = \frac{(3+2\sqrt{2}) - (3-2\sqrt{2})}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.
चूंकि $2\sqrt{2} = 2^{3/2}$,इसलिए सही विकल्प $B$ है.

(A) हम सर्वसमिका $\cos^3 \alpha + \cos^3 \left(\alpha + \frac{2\pi}{3}\right) + \cos^3 \left(\alpha + \frac{4\pi}{3}\right) = \frac{3}{4} \cos(3\alpha)$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया है $f(\theta) = \cos^3 \theta + \cos^3 \left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right) + \cos^3 \left(\theta - \frac{2\pi}{3}\right)$।
चूंकि $\cos \left(\theta - \frac{2\pi}{3}\right) = \cos \left(\theta + \frac{4\pi}{3}\right)$,इसलिए $f(\theta) = \frac{3}{4} \cos(3\theta)$ हो जाता है।
$\theta = \frac{\pi}{5}$ प्रतिस्थापित करने पर,$f\left(\frac{\pi}{5}\right) = \frac{3}{4} \cos \left(\frac{3\pi}{5}\right)$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $\cos \left(\frac{3\pi}{5}\right) = \frac{1-\sqrt{5}}{4}$।
अतः,$f\left(\frac{\pi}{5}\right) = \frac{3}{4} \left(\frac{1-\sqrt{5}}{4}\right) = \frac{3(1-\sqrt{5})}{16}$।

(C) माना $P = \sin \frac{\pi}{14} \sin \frac{3 \pi}{14} \sin \frac{5 \pi}{14} \sin \frac{7 \pi}{14} \sin \frac{9 \pi}{14} \sin \frac{11 \pi}{14} \sin \frac{13 \pi}{14}$ है।
चूंकि $\sin \frac{13 \pi}{14} = \sin \frac{\pi}{14}$,$\sin \frac{11 \pi}{14} = \sin \frac{3 \pi}{14}$,$\sin \frac{9 \pi}{14} = \sin \frac{5 \pi}{14}$ और $\sin \frac{7 \pi}{14} = 1$ है,इसलिए:
$P = (\sin \frac{\pi}{14} \sin \frac{3 \pi}{14} \sin \frac{5 \pi}{14})^2 \times 1$.
$\sin \theta = \cos (\frac{\pi}{2} - \theta)$ का उपयोग करने पर:
$P = (\cos \frac{3 \pi}{7} \cos \frac{2 \pi}{7} \cos \frac{\pi}{7})^2$.
दिए गए सर्वसमिका के अनुसार,$\cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{2 \pi}{7} \cos \frac{4 \pi}{7} = -\frac{1}{8}$ है।
अतः,$P = (-\frac{1}{8})^2 = \frac{1}{64}$।

(C) माना $P = \cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{2 \pi}{7} \cos \frac{3 \pi}{7} \cos \frac{\pi}{14} \cos \frac{3 \pi}{14} \cos \frac{5 \pi}{14}$.
सर्वसमिका $\cos \theta = \sin(\frac{\pi}{2} - \theta)$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $\cos \frac{\pi}{14} = \sin \frac{3 \pi}{7}$,$\cos \frac{3 \pi}{14} = \sin \frac{2 \pi}{7}$,और $\cos \frac{5 \pi}{14} = \sin \frac{\pi}{7}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$P = \cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{2 \pi}{7} \cos \frac{3 \pi}{7} \sin \frac{\pi}{7} \sin \frac{2 \pi}{7} \sin \frac{3 \pi}{7}$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$P = (\sin \frac{\pi}{7} \cos \frac{\pi}{7}) (\sin \frac{2 \pi}{7} \cos \frac{2 \pi}{7}) (\sin \frac{3 \pi}{7} \cos \frac{3 \pi}{7})$.
$2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2 \theta$ का उपयोग करते हुए,$P = \frac{1}{8} (\sin \frac{2 \pi}{7} \sin \frac{4 \pi}{7} \sin \frac{6 \pi}{7})$.
चूंकि $\sin \frac{6 \pi}{7} = \sin \frac{\pi}{7}$ और $\sin \frac{4 \pi}{7} = \sin \frac{3 \pi}{7}$,इसलिए $P = \frac{1}{8} \sin \frac{\pi}{7} \sin \frac{2 \pi}{7} \sin \frac{3 \pi}{7}$.
$2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ का उपयोग करते हुए,सरल करने पर उत्तर $\frac{1}{32} [\sin \frac{2 \pi}{7} + \sin \frac{3 \pi}{7} - \sin \frac{\pi}{7}]$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया व्यंजक: $E = \sin 6^{\circ} + \sin 54^{\circ} + \sin 126^{\circ} + \cos 156^{\circ}$
सर्वसमिका $\sin(180^{\circ} - \theta) = \sin \theta$ और $\cos(180^{\circ} - \theta) = -\cos \theta$ का उपयोग करते हुए:
$\sin 126^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 54^{\circ}) = \sin 54^{\circ}$
$\cos 156^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 24^{\circ}) = -\cos 24^{\circ}$
अतः,$E = \sin 6^{\circ} + 2 \sin 54^{\circ} - \cos 24^{\circ}$
$\sin 54^{\circ} = \cos 36^{\circ}$ और $\cos 24^{\circ} = \sin 66^{\circ}$ का उपयोग करते हुए:
$E = \sin 6^{\circ} - \sin 66^{\circ} + 2 \cos 36^{\circ}$
$\sin C - \sin D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$E = 2 \cos 36^{\circ} \sin(-30^{\circ}) + 2 \cos 36^{\circ}$
$E = 2 \cos 36^{\circ} \times (-\frac{1}{2}) + 2 \cos 36^{\circ}$
$E = -\cos 36^{\circ} + 2 \cos 36^{\circ} = \cos 36^{\circ}$
चूंकि $\cos 36^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$,इसलिए उत्तर $\frac{\sqrt{5}+1}{4}$ है।

(C) दिया गया है $\cos \theta = \frac{-3}{5}$ और $\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}$।
चूंकि $\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}$,इसलिए $\frac{\pi}{2} < \frac{\theta}{2} < \frac{3\pi}{4}$,जो $2^{nd}$ चतुर्थांश में स्थित है।
$2^{nd}$ चतुर्थांश में,$\sin \frac{\theta}{2} > 0$,$\cos \frac{\theta}{2} < 0$,और $\tan \frac{\theta}{2} < 0$ होता है।
अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\cos \theta = 1 - 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ $\Rightarrow \frac{-3}{5} = 1 - 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ $\Rightarrow 2 \sin^2 \frac{\theta}{2} = \frac{8}{5}$ $\Rightarrow \sin^2 \frac{\theta}{2} = \frac{4}{5}$.
चूंकि $\sin \frac{\theta}{2} > 0$,इसलिए $\sin \frac{\theta}{2} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
$\cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - 1$ $\Rightarrow \frac{-3}{5} = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - 1$ $\Rightarrow 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{2}{5}$ $\Rightarrow \cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1}{5}$.
चूंकि $\cos \frac{\theta}{2} < 0$,इसलिए $\cos \frac{\theta}{2} = -\frac{1}{\sqrt{5}}$.
तब $\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2}} = \frac{2/\sqrt{5}}{-1/\sqrt{5}} = -2$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\tan \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2} + 2 \cos \frac{\theta}{2} = -2 + \frac{2}{\sqrt{5}} + 2 \left( -\frac{1}{\sqrt{5}} \right) = -2 + \frac{2}{\sqrt{5}} - \frac{2}{\sqrt{5}} = -2$.

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$\cos A + \cos B + \cos C = 0$ $(i)$
$\sin A + \sin B + \sin C = 0$ $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(\cos A + \cos B + \cos C)^2 + (\sin A + \sin B + \sin C)^2 = 0$
$(\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C + 2\cos A \cos B + 2\cos B \cos C + 2\cos C \cos A) + (\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C + 2\sin A \sin B + 2\sin B \sin C + 2\sin C \sin A) = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(\cos^2 A + \sin^2 A) + (\cos^2 B + \sin^2 B) + (\cos^2 C + \sin^2 C) + 2(\cos A \cos B + \sin A \sin B) + 2(\cos B \cos C + \sin B \sin C) + 2(\cos C \cos A + \sin C \sin A) = 0$
सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ और $\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$ का उपयोग करने पर:
$1 + 1 + 1 + 2[\cos(A-B) + \cos(B-C) + \cos(C-A)] = 0$
$3 + 2[\cos(A-B) + \cos(B-C) + \cos(C-A)] = 0$
$\cos(A-B) + \cos(B-C) + \cos(C-A) = -\frac{3}{2}$

(A) दिया गया है $\tan \beta = \frac{n \sin \alpha \cos \alpha}{1 - n \cos^2 \alpha}$.
अंश और हर को $\cos^2 \alpha$ से विभाजित करने पर,$\tan \beta = \frac{n \tan \alpha}{\sec^2 \alpha - n} = \frac{n \tan \alpha}{1 + \tan^2 \alpha - n} = \frac{n \tan \alpha}{(1 - n) + \tan^2 \alpha}$.
अब,$\tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$.
$\tan \beta$ का मान रखने पर:
$\tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \frac{n \tan \alpha}{(1 - n) + \tan^2 \alpha}}{1 - \tan \alpha \left( \frac{n \tan \alpha}{(1 - n) + \tan^2 \alpha} \right)}$
$= \frac{\tan \alpha ((1 - n) + \tan^2 \alpha + n)}{(1 - n) + \tan^2 \alpha - n \tan^2 \alpha} = \frac{\tan \alpha (1 + \tan^2 \alpha)}{(1 - n)(1 + \tan^2 \alpha)} = \frac{\tan \alpha}{1 - n}$.
अतः,$\tan (\alpha + \beta) \cdot \cot \alpha = \left( \frac{\tan \alpha}{1 - n} \right) \cdot \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{1 - n} = \frac{-1}{n - 1}$.

(A) दिया गया है $y = \frac{2 \sin \theta}{1+\cos \theta+\sin \theta}$.
अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करते हुए:
$y = \frac{2(2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2})}{2 \cos^2 \frac{\theta}{2} + 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}} = \frac{2 \sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2}}$.
अब,व्यंजक $E = \frac{1-\cos \theta+\sin \theta}{1+\sin \theta}$ पर विचार करें।
$1-\cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ और $1+\sin \theta = (\sin \frac{\theta}{2} + \cos \frac{\theta}{2})^2$ का उपयोग करते हुए:
$E = \frac{2 \sin^2 \frac{\theta}{2} + 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{(\sin \frac{\theta}{2} + \cos \frac{\theta}{2})^2} = \frac{2 \sin \frac{\theta}{2}(\sin \frac{\theta}{2} + \cos \frac{\theta}{2})}{(\sin \frac{\theta}{2} + \cos \frac{\theta}{2})^2} = \frac{2 \sin \frac{\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2} + \cos \frac{\theta}{2}} = y$.

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 + ax - c = 0$ है।
चूंकि $\sin 2\theta$ और $\cos 2\theta$ समीकरण के मूल हैं,इसलिए:
मूलों का योग: $\sin 2\theta + \cos 2\theta = -a$
मूलों का गुणनफल: $\sin 2\theta \cdot \cos 2\theta = -c$
मूलों के योग का वर्ग करने पर:
$(\sin 2\theta + \cos 2\theta)^2 = (-a)^2$
$\sin^2 2\theta + \cos^2 2\theta + 2 \sin 2\theta \cos 2\theta = a^2$
सर्वसमिका $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ का उपयोग करने पर:
$1 + 2(\sin 2\theta \cos 2\theta) = a^2$
मूलों के गुणनफल $-c$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$1 + 2(-c) = a^2$
$1 - 2c = a^2$
$a^2 + 2c - 1 = 0$

(A) दिया गया है $\cosh x = \frac{4}{3}$।
हम जानते हैं कि $\cosh 2x = 2 \cosh^2 x - 1$।
$\cosh 2x = 2 \left(\frac{4}{3}\right)^2 - 1 = 2 \left(\frac{16}{9}\right) - 1 = \frac{32}{9} - 1 = \frac{23}{9}$।
हम जानते हैं कि $\cosh 3x = 4 \cosh^3 x - 3 \cosh x$।
$\cosh 3x = 4 \left(\frac{4}{3}\right)^3 - 3 \left(\frac{4}{3}\right) = 4 \left(\frac{64}{27}\right) - 4 = \frac{256}{27} - 4 = \frac{256 - 108}{27} = \frac{148}{27}$।
अब,इन मानों को व्यंजक $3 \cosh x + 9 \cosh 2x + 27 \cosh 3x$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$= 3 \left(\frac{4}{3}\right) + 9 \left(\frac{23}{9}\right) + 27 \left(\frac{148}{27}\right)$
$= 4 + 23 + 148 = 175$।

(C) दिया गया है $A+B+C+D=2 \pi$.
हम जानते हैं कि $\cos A - \cos B + \cos C - \cos D = (\cos A - \cos B) + (\cos C - \cos D)$.
सूत्र $\cos X - \cos Y = -2 \sin \frac{X+Y}{2} \sin \frac{X-Y}{2}$ का उपयोग करने पर:
$= -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} - 2 \sin \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$.
चूंकि $A+B+C+D=2 \pi$,इसलिए $\frac{C+D}{2} = \pi - \frac{A+B}{2}$,जिससे $\sin \frac{C+D}{2} = \sin \frac{A+B}{2}$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर अंतिम परिणाम है:
$-4 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A+C}{2} \sin \frac{A+D}{2}$.

(B) दिया है: $\sin x \cdot \cosh y = \cos \theta$ $(i)$
$\cos x \cdot \sinh y = \sin \theta$ $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(\sin x \cdot \cosh y)^2 + (\cos x \cdot \sinh y)^2 = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta$
$\sin^2 x \cosh^2 y + \cos^2 x \sinh^2 y = 1$
$\cosh^2 y = 1 + \sinh^2 y$ और $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ का उपयोग करने पर:
$\sin^2 x (1 + \sinh^2 y) + (1 - \sin^2 x) \sinh^2 y = 1$
$\sin^2 x + \sin^2 x \sinh^2 y + \sinh^2 y - \sin^2 x \sinh^2 y = 1$
$\sin^2 x + \sinh^2 y = 1$
चूँकि $\cosh^2 y = 1 + \sinh^2 y$,इसलिए $\sinh^2 y = \cosh^2 y - 1$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\sin^2 x + (\cosh^2 y - 1) = 1$
$\sin^2 x + \cosh^2 y = 2$

(D) सामान्य द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है।
यहाँ,$a = \sqrt{3}$,$2h = \sqrt{3}-1$,और $b = -1$ है।
$xy$ पद को हटाने के लिए,अक्षों को $\theta$ कोण से घुमाया जाना चाहिए,जिसका सूत्र है:
$\tan 2\theta = \frac{2h}{a-b}$
मान रखने पर:
$\tan 2\theta = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-(-1)} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$
अंश और हर को $(\sqrt{3}-1)$ से गुणा करने पर:
$\tan 2\theta = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{3-1} = \frac{3+1-2\sqrt{3}}{2} = \frac{4-2\sqrt{3}}{2} = 2-\sqrt{3}$
हम जानते हैं कि $\tan 15^{\circ} = 2-\sqrt{3}$ है।
अतः,$\tan 2\theta = \tan 15^{\circ}$।
$2\theta = 15^{\circ} \implies \theta = 7.5^{\circ}$।

(A) माना $\triangle OAB$ का केंद्रक $(x, y)$ है।
चूंकि $O = (0, 0)$,$A = (a \sec t, b \tan t)$,और $B = (-a \tan t, b \sec t)$,केंद्रक के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$x = \frac{0 + a \sec t - a \tan t}{3} \Rightarrow 3x = a(\sec t - \tan t) \dots (i)$
$y = \frac{0 + b \tan t + b \sec t}{3} \Rightarrow 3y = b(\tan t + \sec t) \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ का गुणा करने पर:
$(3x)(3y) = a(\sec t - \tan t) \cdot b(\sec t + \tan t)$
$9xy = ab(\sec^2 t - \tan^2 t)$
चूंकि $\sec^2 t - \tan^2 t = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$9xy = ab$.

(D) लंब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु परिकेंद्र $O$ है। $x-3y-5=0$ और $x+5y-9=0$ को हल करने पर $O(\frac{13}{2}, \frac{1}{2})$ प्राप्त होता है।
चूंकि $O$ परिकेंद्र है,इसलिए $OA=OB=OC$ है।
$OA^2 = (\frac{13}{2}-1)^2 + (\frac{1}{2}-2)^2 = \frac{65}{2}$ है।
$B(x_1, y_1)$ रेखा $x-3y-5=0$ पर $A$ का प्रतिबिंब है,जिससे $B(3,-4)$ प्राप्त होता है।
$C(x_2, y_2)$ रेखा $x+5y-9=0$ पर $B$ का प्रतिबिंब है,जिससे $C(5,6)$ प्राप्त होता है।
$AC = \sqrt{(5-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.

(B) माना रेखाएँ $L_1: x+y+10=0$,$L_2: x-y-2=0$,और $L_3: 2x+y-7=0$ हैं।
सबसे पहले,रेखाओं की ढाल (slopes) की जाँच करें:
$L_1$ की ढाल $m_1 = -1$ है।
$L_2$ की ढाल $m_2 = 1$ है।
चूँकि $m_1 \times m_2 = (-1) \times (1) = -1$,रेखाएँ $L_1$ और $L_2$ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
समकोण त्रिभुज में,लंबकेंद्र वह शीर्ष होता है जहाँ समकोण बनता है।
इसलिए,लंबकेंद्र $L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
$x+y+10=0$ और $x-y-2=0$ को हल करने पर:
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(x+y+10) + (x-y-2) = 0 \implies 2x + 8 = 0 \implies x = -4$.
$x = -4$ को $x-y-2=0$ में रखने पर: $-4 - y - 2 = 0 \implies y = -6$.
अतः,लंबकेंद्र $(-4, -6)$ है।

(B) माना $O(1, 1)$ परिकेंद्र है। $AC$ का लंब समद्विभाजक $O(1, 1)$ और मध्यबिंदु $P(a, \frac{b+3}{2})$ से होकर गुजरता है। $AC$ की ढाल $\frac{b-3}{a-a}$ है,जो अपरिभाषित है (ऊर्ध्वाधर रेखा)। अतः,लंब समद्विभाजक क्षैतिज है: $y = \frac{b+3}{2} = 1$ $\Rightarrow b+3=2$ $\Rightarrow b=-1$.
चित्र से,$OP$ की ढाल $\frac{\frac{b+3}{2}-1}{a-1} = -\frac{a-a}{b-3} = 0$ है। यह दर्शाता है कि $\frac{b+3}{2} = 1$,इसलिए $b=-1$.
$OQ \perp AB$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $Q$,$AB$ का मध्यबिंदु $(\frac{a+b}{2}, 4)$ है,$AB$ की ढाल $\frac{5-3}{b-a} = \frac{2}{b-a}$ है। $OQ$ की ढाल $\frac{4-1}{\frac{a+b}{2}-1} = \frac{6}{a+b-2}$ है।
चूंकि $OQ \perp AB$,$(\frac{2}{b-a}) \times (\frac{6}{a+b-2}) = -1 \Rightarrow 12 = (a-b)(a+b-2)$.
$b=-1$ रखने पर: $12 = (a+1)(a-3) = a^2 - 2a - 3$ $\Rightarrow a^2 - 2a - 15 = 0$ $\Rightarrow (a-5)(a+3) = 0$. अतः $a=5$ या $a=-3$.
$C(a, b)$ के निर्देशांक $(5, -1)$ और $(-3, -1)$ हैं।
भिन्न निर्देशांक $5, -3, -1$ हैं। उनके निरपेक्ष मानों का योग $|5| + |-3| + |-1| = 5 + 3 + 1 = 9$ है।

(D) माना मूल बिंदु को बिंदु $P(h, k)$ पर स्थानांतरित किया गया है।
रूपांतरण समीकरण $x = X+h$ और $y = Y+k$ हैं।
इन मानों को $2x^2+y^2-4x+4y=0$ में रखने पर:
$2(X+h)^2 + (Y+k)^2 - 4(X+h) + 4(Y+k) = 0$
$2X^2 + Y^2 + (4h-4)X + (2k+4)Y + (2h^2+k^2-4h+4k) = 0$.
इस समीकरण की तुलना $2X^2+Y^2-8X+8Y+18=0$ से करने पर:
$4h-4 = -8 \Rightarrow h = -1$.
$2k+4 = 8 \Rightarrow k = 2$.
अतः,मूल बिंदु $P(-1, 2)$ पर स्थानांतरित हुआ है।
रेखा $x+2y+2=0$ के लिए,नए निर्देशांक $x = X-1$ और $y = Y+2$ हैं।
रेखा के समीकरण में इन मानों को रखने पर:
$(X-1) + 2(Y+2) + 2 = 0$
$X+2Y+5 = 0$.

(C) $(2, -1)$ और $(5, -3)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण: $y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$.
बिंदुओं $(2, -1)$ और $(5, -3)$ को रखने पर:
$y + 1 = \frac{-3 + 1}{5 - 2}(x - 2)$
$y + 1 = \frac{-2}{3}(x - 2)$
$3y + 3 = -2x + 4$
$2x + 3y = 1$ (रेखा $L$)
चूंकि $(a, 4)$,$L$ पर स्थित है:
$2a + 12 = 1$ $\Rightarrow 2a = -11$ $\Rightarrow a = -\frac{11}{2}$.
चूंकि $(-2, b)$,$L$ पर स्थित है:
$-4 + 3b = 1$ $\Rightarrow 3b = 5$ $\Rightarrow b = \frac{5}{3}$.
बिंदु $(a, b) = (-\frac{11}{2}, \frac{5}{3})$ रेखा $2x + 6y + 1 = 0$ पर स्थित है।

(B) दिया गया ढाल $m = \tan \theta = \frac{3}{4}$ है।
चूंकि $\tan \theta = \frac{3}{4}$,इसलिए $\sin \theta = \frac{3}{5}$ और $\cos \theta = \frac{4}{5}$ होगा।
$A(x_1, y_1) = (3, 2)$ से $r = 5$ की दूरी पर स्थित बिंदुओं के निर्देशांक $(x_1 \pm r \cos \theta, y_1 \pm r \sin \theta)$ द्वारा दिए जाते हैं।
पहले बिंदु $P$ के लिए:
$x = 3 + 5 \times \frac{4}{5} = 7$
$y = 2 + 5 \times \frac{3}{5} = 5$
अतः $P = (7, 5)$।
दूसरे बिंदु $Q$ के लिए:
$x = 3 - 5 \times \frac{4}{5} = -1$
$y = 2 - 5 \times \frac{3}{5} = -1$
अतः $Q = (-1, -1)$।
इस प्रकार,अभीष्ट बिंदु $(7, 5)$ और $(-1, -1)$ हैं।

(A) माना दो रेखाएं $L_1$ और $L_2$ मूल बिंदु $O(0,0)$ से गुजरती हैं। चूंकि वे रेखा $2x + 3y = 6$ के साथ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज बनाती हैं,माना शीर्ष $O(0,0)$,$A$ और $B$ हैं जहाँ $OA = OB = r$ और $\angle AOB = 90^\circ$ है।
$A$ के निर्देशांक $(r \cos \theta, r \sin \theta)$ लें। $\angle AOB = 90^\circ$ होने के कारण,$B$ के निर्देशांक $(-r \sin \theta, r \cos \theta)$ होंगे।
चूंकि $A$ और $B$ रेखा $2x + 3y = 6$ पर स्थित हैं:
$2(r \cos \theta) + 3(r \sin \theta) = 6$ --- $(1)$
$2(-r \sin \theta) + 3(r \cos \theta) = 6$ --- $(2)$
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$2r \cos \theta + 3r \sin \theta = 3r \cos \theta - 2r \sin \theta$
$5r \sin \theta = r \cos \theta \Rightarrow \tan \theta = \frac{1}{5}$
अतः $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{26}}$ और $\cos \theta = \frac{5}{\sqrt{26}}$.
$(1)$ में मान रखने पर:
$r \left(\frac{13}{\sqrt{26}}\right) = 6 \Rightarrow r = \frac{6 \sqrt{26}}{13}$
त्रिभुज $OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} r^2 = \frac{1}{2} \left(\frac{6 \sqrt{26}}{13}\right)^2 = \frac{36}{13}$ वर्ग इकाई।

(C) माना बिंदु $P(1, 2)$ से गुजरने वाली रेखा धनात्मक $X$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाती है। रेखा का प्राचलिक रूप $x = 1 + r \cos \theta$ और $y = 2 + r \sin \theta$ है,जहाँ $r = \frac{\sqrt{6}}{3}$ है।
चूँकि बिंदु $(x, y)$ रेखा $x + y = 4$ पर स्थित है,हम प्राचलिक निर्देशांक प्रतिस्थापित करते हैं:
$(1 + r \cos \theta) + (2 + r \sin \theta) = 4$
$3 + r(\cos \theta + \sin \theta) = 4$
$r(\cos \theta + \sin \theta) = 1$
$r = \frac{\sqrt{6}}{3}$ रखने पर:
$\frac{\sqrt{6}}{3}(\cos \theta + \sin \theta) = 1$
$\cos \theta + \sin \theta = \frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\cos \theta + \sin \theta)^2 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
$1 + \sin 2\theta = \frac{3}{2}$
$\sin 2\theta = \frac{1}{2}$
अतः,$2\theta = \frac{\pi}{6}$ या $2\theta = \frac{5\pi}{6}$।
इसलिए,$\theta = \frac{\pi}{12}$ या $\theta = \frac{5\pi}{12}$।

(B) चूंकि $P(a, 2)$ और $Q(1, b)$ रेखा $2x - 3y + 1 = 0$ के विपरीत ओर स्थित हैं,इसलिए बिंदुओं को रेखा के समीकरण में रखने पर प्राप्त मानों का गुणनफल ऋणात्मक होना चाहिए:
$(2a - 3(2) + 1)(2(1) - 3b + 1) < 0$
$(2a - 5)(3 - 3b) < 0$
$(2a - 5)(1 - b) < 0$
चूंकि $P(a, 2)$,$4x + 3y + k = 0$ और $3x + 4y + k = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है:
$4a + 3(2) + k = 0 \Rightarrow 4a + 6 + k = 0$
$3a + 4(2) + k = 0 \Rightarrow 3a + 8 + k = 0$
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(4a + 6 + k) - (3a + 8 + k) = 0$ $\Rightarrow a - 2 = 0$ $\Rightarrow a = 2$.
$a = 2$ को असमिका में रखने पर:
$(2(2) - 5)(1 - b) < 0$
$(4 - 5)(1 - b) < 0$
$-(1 - b) < 0$
$b - 1 < 0 \Rightarrow b < 1$.
अतः,$b \in (-\infty, 1)$.

(B) दी गई रेखा $\sqrt{3} x + y = 1$ है,जिसका ढाल $m_1 = -\sqrt{3}$ है।
माना अभीष्ट रेखा का ढाल $m_2$ है। दोनों रेखाओं के बीच का कोण $60^{\circ}$ है।
सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ का उपयोग करने पर:
$\tan 60^{\circ} = \left| \frac{-\sqrt{3} - m_2}{1 - \sqrt{3} m_2} \right|$
$\sqrt{3} = \left| \frac{-\sqrt{3} - m_2}{1 - \sqrt{3} m_2} \right|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$3(1 - \sqrt{3} m_2)^2 = (\sqrt{3} + m_2)^2$
$3(1 + 3m_2^2 - 2\sqrt{3} m_2) = 3 + m_2^2 + 2\sqrt{3} m_2$
$8m_2^2 - 8\sqrt{3} m_2 = 0$
$m_2 = 0$ या $m_2 = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
$m_2 = \sqrt{3}$ के लिए,$(3, 2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण:
$y - 2 = \sqrt{3}(x - 3)$
$\sqrt{3} x - y + (2 - 3\sqrt{3}) = 0$.

(D) रेखा का समीकरण $3x - 4y + 5 = 0$ है,जिसे $3x - 4y = -5$ के रूप में लिखा जा सकता है। $-5$ से विभाजित करने पर,हमें $-\frac{3}{5}x + \frac{4}{5}y = 1$ प्राप्त होता है।
इसे अभिलंब रूप $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ के साथ तुलना करने पर,$\cos \alpha = -\frac{3}{5}$ और $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{4/5}{-3/5} = -\frac{4}{3}$।
रेखा $ax + by = 1$ बिंदु $(1, -1)$ से गुजरती है और इसकी ढाल $m = \tan \alpha = -\frac{4}{3}$ है।
रेखा का समीकरण $y - (-1) = -\frac{4}{3}(x - 1)$ है।
$3(y + 1) = -4(x - 1)$ $\Rightarrow 3y + 3 = -4x + 4$ $\Rightarrow 4x + 3y = 1$।
$4x + 3y = 1$ की तुलना $ax + by = 1$ से करने पर,$a = 4$ और $b = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$a + ab + b = 4 + (4 \times 3) + 3 = 4 + 12 + 3 = 19$।

(D) रेखा का समीकरण $2x - 3y = 1$ है।
वक्र के समीकरण $x^2 + 2xy + 5y^2 + 2x + 3y - 1 = 0$ को रेखा के समीकरण का उपयोग करके समघात बनाने पर:
$x^2 + 2xy + 5y^2 + (2x + 3y)(1) - (1)^2 = 0$
$1 = 2x - 3y$ रखने पर:
$x^2 + 2xy + 5y^2 + (2x + 3y)(2x - 3y) - (2x - 3y)^2 = 0$
$x^2 + 2xy + 5y^2 + (4x^2 - 9y^2) - (4x^2 - 12xy + 9y^2) = 0$
$x^2 + 14xy - 13y^2 = 0$
यह रेखाओं $OA$ और $OB$ के युग्म को दर्शाता है। $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के साथ तुलना करने पर,$a = 1$,$h = 7$,और $b = -13$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{|a + b|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \theta = \frac{2\sqrt{49 + 13}}{12} = \frac{\sqrt{62}}{6}$।
$\cos \theta = \frac{3\sqrt{2}}{7}$ प्राप्त होता है।

(C) रेखाओं $x-2y+3=0$ और $kx-y+2=0$ की ढाल क्रमशः $m_1 = \frac{1}{2}$ और $m_2 = k$ हैं।
दिया गया कोण $\theta = 45^{\circ}$ है,इसलिए हम सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ का उपयोग करते हैं।
$\tan 45^{\circ} = \left| \frac{\frac{1}{2} - k}{1 + \frac{k}{2}} \right| = 1$.
$|1 - 2k| = |2 + k|$.
स्थिति $1$: $1 - 2k = 2 + k$ $\Rightarrow 3k = -1$ $\Rightarrow k = -\frac{1}{3}$.
स्थिति $2$: $1 - 2k = -(2 + k)$ $\Rightarrow 1 - 2k = -2 - k$ $\Rightarrow k = 3$.
चूंकि $k_1 > k_2$,इसलिए $k_1 = 3$ और $k_2 = -\frac{1}{3}$ है।
अतः $k_1 - 2 = 3 - 2 = 1$.
विकल्पों की जाँच करने पर: $-3k_2 = -3(-\frac{1}{3}) = 1$.
इस प्रकार,$k_1 - 2 = -3k_2$.

(D) दो रेखाओं $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के लंबवत होने के लिए,उनकी प्रवणताओं (slopes) का गुणनफल $-1$ होना चाहिए,या $a_1a_2 + b_1b_2 = 0$.
यहाँ,$a_1 = 2, b_1 = (3 - 2k)$ और $a_2 = k, b_2 = (k - 1)$.
प्रतिबंध $a_1a_2 + b_1b_2 = 0$ लागू करने पर:
$2(k) + (3 - 2k)(k - 1) = 0$
$2k + (3k - 3 - 2k^2 + 2k) = 0$
$-2k^2 + 7k - 3 = 0$
$2k^2 - 7k + 3 = 0$
$(2k - 1)(k - 3) = 0$
अतः,$k = 3$ या $k = \frac{1}{2}$.
दिया गया है कि $\alpha > \beta$,इसलिए $\alpha = 3$ और $\beta = \frac{1}{2}$.
अतः,$\alpha^2 + 2\beta = (3)^2 + 2(\frac{1}{2}) = 9 + 1 = 10$.

(D) माना $P(x_0, y_0)$ वृत्त $x^2+y^2=1$ पर एक बिंदु है। माना $P'(h, k)$ रेखा $x+y-1=0$ में इसका प्रतिबिंब है।
रेखा $ax+by+c=0$ में बिंदु $(x_0, y_0)$ के प्रतिबिंब के सूत्र के अनुसार:
$\frac{h-x_0}{a} = \frac{k-y_0}{b} = -2 \frac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}$
यहाँ,$a=1, b=1, c=-1$ है। अतः,
$\frac{h-x_0}{1} = \frac{k-y_0}{1} = -2 \frac{x_0+y_0-1}{1^2+1^2} = -(x_0+y_0-1) = 1-x_0-y_0$
इससे,$h = 1-y_0$ और $k = 1-x_0$ प्राप्त होता है।
अतः,$x_0 = 1-k$ और $y_0 = 1-h$ है।
चूंकि $(x_0, y_0)$ वृत्त $x^2+y^2=1$ पर स्थित है,इसलिए:
$(1-k)^2 + (1-h)^2 = 1$
$1 - 2k + k^2 + 1 - 2h + h^2 = 1$
$h^2 + k^2 - 2h - 2k + 1 = 0$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदु पथ $x^2+y^2-2x-2y+1=0$ प्राप्त होता है।

(C) दो समांतर रेखाओं $\sqrt{3}x + y - 6 = 0$ और $\sqrt{3}x + y + 9 = 0$ के बीच की दूरी $d$ इस प्रकार है:
$d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{|9 - (-6)|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}} = \frac{15}{\sqrt{3 + 1}} = \frac{15}{2}$.
$d$ ऊँचाई वाले समबाहु त्रिभुज के लिए,भुजा की लंबाई $s$ का मान $d = s \sin 60^{\circ} = s \frac{\sqrt{3}}{2}$ होता है,इसलिए $s = \frac{2d}{\sqrt{3}}$.
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} s^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \frac{2d}{\sqrt{3}} \right)^2 = \frac{d^2}{\sqrt{3}}$ है।
$d = \frac{15}{2}$ रखने पर,क्षेत्रफल $\left( \frac{15}{2} \right)^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{225}{4 \sqrt{3}}$ वर्ग इकाई प्राप्त होता है।

(A) रेखा $3x - 4y + k = 0$ की ढाल $m = \frac{3}{4}$ है।
चूंकि $L_1$ इस रेखा के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m_1 = -\frac{4}{3}$ होगी।
बिंदु $P(4, -3)$ से गुजरने वाली रेखा $L_1$ का समीकरण $y - (-3) = -\frac{4}{3}(x - 4)$ है,जो $4x + 3y = 7$ में सरल हो जाता है।
हमें $L_1$ के अनुदिश $P(4, -3)$ की रेखा $L: 5x - 3y - 2 = 0$ से दूरी ज्ञात करनी है। यह $P(4, -3)$ और $L_1$ तथा $L$ के प्रतिच्छेदन बिंदु के बीच की दूरी है।
समीकरणों को हल करने पर:
$4x + 3y = 7$
$5x - 3y = 2$
दोनों को जोड़ने पर: $9x = 9 \Rightarrow x = 1$।
$x = 1$ को $4x + 3y = 7$ में रखने पर: $4(1) + 3y = 7$ $\Rightarrow 3y = 3$ $\Rightarrow y = 1$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 1)$ है।
$P(4, -3)$ और $(1, 1)$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(4 - 1)^2 + (-3 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$।

(A) रेखा $ax + by + c = 0$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1)$ के प्रतिबिंब $(h, k)$ का सूत्र $\frac{h - x_1}{a} = \frac{k - y_1}{b} = \frac{-2(ax_1 + by_1 + c)}{a^2 + b^2}$ है।
बिंदु $(3, -4)$ और रेखा $2x - 3y - 5 = 0$ के लिए:
$\frac{h - 3}{2} = \frac{k - (-4)}{-3} = \frac{-2(2(3) - 3(-4) - 5)}{2^2 + (-3)^2} = \frac{-2(6 + 12 - 5)}{4 + 9} = \frac{-2(13)}{13} = -2$.
अतः,$h - 3 = -4 \implies h = -1$ और $k + 4 = 6 \implies k = 2$.
प्रतिबिंब बिंदु $(-1, 2)$ है।
अब,$(-1, 2)$ से रेखा $3x + 2y + 12 = 0$ पर लंब के पाद $(\ell, m)$ को $\frac{\ell - x_1}{a} = \frac{m - y_1}{b} = \frac{-(ax_1 + by_1 + c)}{a^2 + b^2}$ का उपयोग करके ज्ञात करें:
$\frac{\ell - (-1)}{3} = \frac{m - 2}{2} = \frac{-(3(-1) + 2(2) + 12)}{3^2 + 2^2} = \frac{-(-3 + 4 + 12)}{9 + 4} = \frac{-13}{13} = -1$.
इसलिए,$\ell + 1 = -3 \implies \ell = -4$ और $m - 2 = -2 \implies m = 0$.
लंब का पाद $(-4, 0)$ है।
अंत में,$\ell h + mk + 1 = (-4)(-1) + (0)(2) + 1 = 4 + 0 + 1 = 5$।

(D) दिया गया है $k = \frac{a+b}{ab} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$.
हम बिंदु $\left(\frac{1}{k}, \frac{1}{k}\right)$ को समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ में जाँचते हैं:
$x = \frac{1}{k}$ और $y = \frac{1}{k}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{ka} + \frac{1}{kb} = \frac{1}{k} \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)$.
चूँकि $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = k$,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{k} \cdot k = 1$.
अतः,बिंदु $\left(\frac{1}{k}, \frac{1}{k}\right)$ रेखा के समीकरण को संतुष्ट करता है.

(D) रेखाओं के संगामी होने के लिए,उनके गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 4 & 3 & -k \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & k \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$4(k - 6) - 3(2k - 9) - k(4 - 3) = 0$
$4k - 24 - 6k + 27 - k = 0$
$-3k + 3 = 0 \Rightarrow k = 1$
$k = 1$ को समीकरणों में रखने पर:
$L_1: 4x + 3y - 1 = 0$
$L_2: 2x + y + 3 = 0$
इन दो समीकरणों को हल करने पर:
$L_1 - 2 \times L_2$ $\Rightarrow (4x + 3y - 1) - (4x + 2y + 6) = 0$ $\Rightarrow y - 7 = 0$ $\Rightarrow y = 7$
$y = 7$ को $L_2$ में रखने पर: $2x + 7 + 3 = 0$ $\Rightarrow 2x = -10$ $\Rightarrow x = -5$
संगामी बिंदु $(-5, 7)$ है।
$(-5, 7)$ से $3x + 4y + 2 = 0$ की लंबवत दूरी $d$:
$d = \left| \frac{3(-5) + 4(7) + 2}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \right| = \left| \frac{-15 + 28 + 2}{5} \right| = \left| \frac{15}{5} \right| = 3$.

(A) रेखा $ax + 2y = k$,रेखा $2x - 3y + 7 = 0$ के लंबवत है।
$ax + 2y = k$ की ढाल $m_1 = -a/2$ है।
$2x - 3y + 7 = 0$ की ढाल $m_2 = 2/3$ है।
लंबवत होने के कारण,$m_1 \times m_2 = -1$।
$(-a/2) \times (2/3) = -1 \implies -a/3 = -1 \implies a = 3$।
रेखा का समीकरण $3x + 2y = k$ है।
अंतःखंड रूप में: $\frac{x}{k/3} + \frac{y}{k/2} = 1$।
निर्देशांक अक्षों के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times |\frac{k}{3}| \times |\frac{k}{2}| = 3$ है।
$\frac{|k^2|}{12} = 3 \implies |k^2| = 36 \implies k^2 = 36 \implies k = \pm 6$।
$k$ के सभी संभावित मानों का गुणनफल $6 \times (-6) = -36$ है।

(C) रेखा $y=\sqrt{3}x$ की ढाल $m=\sqrt{3}$ है। चूंकि अभीष्ट रेखा इसके समांतर है,इसलिए इसकी ढाल भी $\sqrt{3}$ होगी।
अतः,$\tan \theta = \sqrt{3}$,जिसका अर्थ है $\theta = 60^{\circ}$।
माना दूरी $PQ = r$ है। $Q(2,3)$ से गुजरने वाली रेखा पर $r$ दूरी पर स्थित बिंदु $P$ के निर्देशांक $(2+r \cos 60^{\circ}, 3+r \sin 60^{\circ}) = (2+\frac{r}{2}, 3+\frac{r\sqrt{3}}{2})$ होंगे।
चूंकि $P$,रेखा $2x+4y-27=0$ पर स्थित है,इसलिए इन निर्देशांकों को समीकरण में रखने पर:
$2(2+\frac{r}{2}) + 4(3+\frac{r\sqrt{3}}{2}) - 27 = 0$
$4 + r + 12 + 2\sqrt{3}r - 27 = 0$
$r(1+2\sqrt{3}) - 11 = 0$
$r = \frac{11}{2\sqrt{3}+1}$
हर का परिमेयकरण करने पर:
$r = \frac{11(2\sqrt{3}-1)}{(2\sqrt{3}+1)(2\sqrt{3}-1)} = \frac{11(2\sqrt{3}-1)}{12-1} = 2\sqrt{3}-1$.
अतः,रेखाखंड $PQ$ की लंबाई $2\sqrt{3}-1$ है।

(C) रेखाओं के संगामी होने के लिए,उनके गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ k & 2 & 1 \\ 4 & 2k & 7\end{array}\right|=0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(14 - 2k) - 1(7k - 4) - 1(2k^2 - 8) = 0$
$14 - 2k - 7k + 4 - 2k^2 + 8 = 0$
$-2k^2 - 9k + 26 = 0$
$2k^2 + 9k - 26 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$2k^2 + 13k - 4k - 26 = 0$
$k(2k + 13) - 2(2k + 13) = 0$
$(2k + 13)(k - 2) = 0$
अतः,$k = 2$ या $k = -\frac{13}{2}$.
यदि $k = 2$ है,तो रेखाएँ $x+y-1=0$,$2x+2y+1=0$ और $4x+4y+7=0$ होंगी। पहली दो रेखाएँ समांतर हैं,इसलिए वे संगामी नहीं हो सकतीं।
अतः,केवल सही मान $k = -\frac{13}{2}$ है।

(A) माना $I = \int \frac{d x}{(x-1)^{\frac{3}{4}}(x+2)^{\frac{5}{4}}}$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \frac{1}{(x-1)^{\frac{3}{4}}(x+2)^{\frac{3}{4}}(x+2)^{\frac{2}{4}}} d x = \int \left(\frac{x-1}{x+2}\right)^{-\frac{3}{4}} \cdot \frac{1}{(x+2)^2} d x$.
माना $t = \frac{x-1}{x+2}$.
तब,$dt = \frac{(x+2)(1) - (x-1)(1)}{(x+2)^2} d x = \frac{3}{(x+2)^2} d x$.
अतः,$\frac{1}{(x+2)^2} d x = \frac{dt}{3}$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int t^{-\frac{3}{4}} \cdot \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \int t^{-\frac{3}{4}} dt$.
$I = \frac{1}{3} \cdot \frac{t^{\frac{1}{4}}}{\frac{1}{4}} + C = \frac{4}{3} t^{\frac{1}{4}} + C$.
$t = \frac{x-1}{x+2}$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{4}{3} \left(\frac{x-1}{x+2}\right)^{\frac{1}{4}} + C$.

(D) माना $I = \int \frac{x^{49} \tan ^{-1}(x^{50})}{1+x^{100}} d x$.
$t = \tan ^{-1}(x^{50})$ प्रतिस्थापित करने पर।
अब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{1+(x^{50})^2} \cdot 50x^{49} = \frac{50x^{49}}{1+x^{100}}$.
अतः,$\frac{x^{49}}{1+x^{100}} dx = \frac{1}{50} dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int t \cdot \frac{1}{50} dt = \frac{1}{50} \int t dt = \frac{1}{50} \cdot \frac{t^2}{2} + C = \frac{1}{100} t^2 + C$.
$t$ का मान वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \frac{1}{100} (\tan ^{-1}(x^{50}))^2 + C$.
दिए गए व्यंजक $k(\tan ^{-1}(x^{50}))^2 + c$ के साथ तुलना करने पर,$k = \frac{1}{100}$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int \frac{x^{9/2}}{\sqrt{1+x^{11}}} dx$.
$t = x^{11/2}$ प्रतिस्थापित करने पर।
अतः,$dt = \frac{11}{2} x^{9/2} dx$,जिसका अर्थ है कि $x^{9/2} dx = \frac{2}{11} dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{\frac{2}{11} dt}{\sqrt{1+t^2}} = \frac{2}{11} \int \frac{dt}{\sqrt{1+t^2}}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}} = \log(x + \sqrt{1+x^2}) + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{2}{11} \log(t + \sqrt{1+t^2}) + c$.
$t = x^{11/2}$ वापस रखने पर:
$I = \frac{2}{11} \log(x^{11/2} + \sqrt{1+x^{11}}) + c$.

(C) माना $I = \int \frac{\tan x}{\sec ^2 x(1+\sec ^6 x)^{2/3}} dx$ है।
समाकल्य को इस प्रकार लिखें:
$I = \int \frac{\tan x}{\sec ^2 x \cdot (\sec^6 x)^{2/3} (\frac{1}{\sec^6 x} + 1)^{2/3}} dx$
$I = \int \frac{\tan x}{\sec ^2 x \cdot \sec^4 x (\cos^6 x + 1)^{2/3}} dx$
$I = \int \frac{\tan x}{\sec^6 x (1 + \cos^6 x)^{2/3}} dx$
$I = \int \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos^6 x (1 + \cos^6 x)^{-2/3} dx$
$I = \int \sin x \cos^5 x (1 + \cos^6 x)^{-2/3} dx$
माना $u = 1 + \cos^6 x$ है। तब $du = 6 \cos^5 x (-\sin x) dx$,जिसका अर्थ है कि $\sin x \cos^5 x dx = -\frac{1}{6} du$ है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int -\frac{1}{6} u^{-2/3} du$
$I = -\frac{1}{6} \cdot \frac{u^{1/3}}{1/3} + C$
$I = -\frac{1}{2} u^{1/3} + C$
$I = -\frac{1}{2} (1 + \cos^6 x)^{1/3} + C$।

(B) दिया गया समाकलन $I = \int e^x(\sin^2 2x - 8 \cos 4x) dx$ है।
सर्वसमिका $\sin^2 2x = \frac{1 - \cos 4x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int e^x(\frac{1 - \cos 4x}{2} - 8 \cos 4x) dx = \int e^x(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 4x - 8 \cos 4x) dx = \int e^x(\frac{1}{2} - \frac{17}{2} \cos 4x) dx$.
अतः $I = \frac{1}{2} \int e^x dx - \frac{17}{2} \int e^x \cos 4x dx$.
मानक सूत्र $\int e^{ax} \cos(bx) dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} (a \cos bx + b \sin bx)$ का उपयोग करने पर,$\int e^x \cos 4x dx = \frac{e^x}{1^2 + 4^2} (\cos 4x + 4 \sin 4x) = \frac{e^x}{17} (\cos 4x + 4 \sin 4x)$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर:
$I = \frac{1}{2} e^x - \frac{17}{2} \cdot \frac{e^x}{17} (\cos 4x + 4 \sin 4x) + c = e^x (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 4x - 2 \sin 4x) + c$.
अतः $f(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 4x - 2 \sin 4x$.
$x = \frac{\pi}{4}$ पर मान ज्ञात करने पर:
$f(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos(\pi) - 2 \sin(\pi) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}(-1) - 2(0) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

(A) हमें समाकलन $I = \int \sin (101 x)(\sin x)^{99} d x$ दिया गया है।
सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर,$\sin(100x + x) = \sin(100x)\cos x + \cos(100x)\sin x$ प्राप्त होता है।
इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int (\sin(100x)\cos x + \cos(100x)\sin x)(\sin x)^{99} d x$
$I = \int \sin(100x) \cos x (\sin x)^{99} d x + \int \cos(100x) (\sin x)^{100} d x$.
प्रथम समाकलन $\int \sin(100x) \cdot (\cos x (\sin x)^{99}) d x$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर:
मान लीजिए $u = \sin(100x)$ और $dv = \cos x (\sin x)^{99} d x$ है।
तब $du = 100 \cos(100x) d x$ और $v = \frac{(\sin x)^{100}}{100}$ प्राप्त होता है।
$\int u dv = uv - \int v du$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$I = \sin(100x) \cdot \frac{(\sin x)^{100}}{100} - \int \frac{(\sin x)^{100}}{100} \cdot 100 \cos(100x) d x + \int \cos(100x) (\sin x)^{100} d x$.
$I = \frac{\sin(100x)(\sin x)^{100}}{100} - \int \cos(100x)(\sin x)^{100} d x + \int \cos(100x)(\sin x)^{100} d x + C$.
$I = \frac{\sin(100x)(\sin x)^{100}}{100} + C$.
इसकी तुलना दिए गए रूप $\frac{\sin (100 x)(\sin x)^\lambda}{\mu}+c$ से करने पर,हमें $\lambda = 100$ और $\mu = 100$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{\lambda}{\mu} = \frac{100}{100} = 1$.

(A) माना $I = \int \frac{x^2(x \sec^2 x + \tan x)}{(x \tan x + 1)^2} dx$.
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = x^2$ और $dv = \frac{x \sec^2 x + \tan x}{(x \tan x + 1)^2} dx$ लें।
सबसे पहले,$v = \int \frac{x \sec^2 x + \tan x}{(x \tan x + 1)^2} dx$ ज्ञात करें।
माना $t = x \tan x + 1$,तो $dt = (x \sec^2 x + \tan x) dx$।
अतः,$v = \int \frac{1}{t^2} dt = -\frac{1}{t} = -\frac{1}{x \tan x + 1}$।
अब,खंडशः समाकलन का सूत्र $\int u dv = uv - \int v du$ लागू करने पर:
$I = x^2 \left( -\frac{1}{x \tan x + 1} \right) - \int \left( -\frac{1}{x \tan x + 1} \right) (2x) dx$।
$I = -\frac{x^2}{x \tan x + 1} + \int \frac{2x}{x \tan x + 1} dx$।
$I = -\frac{x^2}{x \tan x + 1} + \int \frac{2x \cos x}{x \sin x + \cos x} dx$।
दिए गए व्यंजक के साथ तुलना करने पर,$f(x) = \int \frac{2x \cos x}{x \sin x + \cos x} dx$।
माना $u = x \sin x + \cos x$,तो $du = (x \cos x + \sin x - \sin x) dx = x \cos x dx$।
अतः,$f(x) = \int \frac{2}{u} du = 2 \log |u| + c = 2 \log |x \sin x + \cos x| + c$।

(C) हम खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हैं: $\int u v dx = u \int v dx - \int (u' \int v dx) dx$. मान लीजिए $u = (\log x)^3$ और $v = x^5$.
$\int (\log x)^3 x^5 dx = (\log x)^3 \frac{x^6}{6} - \int 3(\log x)^2 \frac{1}{x} \frac{x^6}{6} dx = \frac{x^6}{6}(\log x)^3 - \frac{1}{2} \int x^5 (\log x)^2 dx$.
पुनः खंडशः समाकलन लागू करने पर:
$= \frac{x^6}{6}(\log x)^3 - \frac{1}{2} [(\log x)^2 \frac{x^6}{6} - \int 2(\log x) \frac{1}{x} \frac{x^6}{6} dx] = \frac{x^6}{6}(\log x)^3 - \frac{x^6}{12}(\log x)^2 + \frac{1}{6} \int x^5 \log x dx$.
एक बार और खंडशः समाकलन लागू करने पर:
$= \frac{x^6}{6}(\log x)^3 - \frac{x^6}{12}(\log x)^2 + \frac{1}{6} [(\log x) \frac{x^6}{6} - \int \frac{1}{x} \frac{x^6}{6} dx] = \frac{x^6}{6}(\log x)^3 - \frac{x^6}{12}(\log x)^2 + \frac{x^6}{36}\log x - \frac{1}{36} \int x^5 dx$.
$= \frac{x^6}{6}(\log x)^3 - \frac{x^6}{12}(\log x)^2 + \frac{x^6}{36}\log x - \frac{x^6}{216} + k$.
$\frac{x^6}{216}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$= \frac{x^6}{216} [36(\log x)^3 - 18(\log x)^2 + 6(\log x) - 1] + k$.
दिए गए रूप से तुलना करने पर,$A = 216, B = 36, C = -18, D = 6$.
अतः,$A - (B + C + D) = 216 - (36 - 18 + 6) = 216 - 24 = 192$.

(D) समाकलन $\int \frac{1}{(x-2)(x^2+1)} dx$ को हल करने के लिए,हम आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हैं:
$\frac{1}{(x-2)(x^2+1)} = \frac{A}{x-2} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$
$1 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x-2)$
$x=2$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $1 = A(4+1) \Rightarrow 5A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{5}$.
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $A+B = 0 \Rightarrow B = -A = -\frac{1}{5}$.
अचर पदों की तुलना करने पर: $A - 2C = 1 \Rightarrow \frac{1}{5} - 2C = 1 \Rightarrow -2C = \frac{4}{5} \Rightarrow C = -\frac{2}{5}$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$\int \left( \frac{1/5}{x-2} + \frac{-1/5x - 2/5}{x^2+1} \right) dx = \frac{1}{5} \int \frac{1}{x-2} dx - \frac{1}{5} \int \frac{x}{x^2+1} dx - \frac{2}{5} \int \frac{1}{x^2+1} dx$
$= \frac{1}{5} \log |x-2| - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} \log(x^2+1) - \frac{2}{5} \tan^{-1} x + C$
$= \frac{1}{5} \left[ \log |x-2| - \frac{1}{2} \log(x^2+1) - 2 \tan^{-1} x \right] + C$
$= \frac{1}{5} \left[ \log \frac{|x-2|}{\sqrt{x^2+1}} - 2 \tan^{-1} x \right] + C$.

(D) समाकलन $I = \int \frac{dx}{(x^2+1)(x^2+4)}$ को हल करने के लिए,हम आंशिक भिन्नों (partial fractions) का उपयोग करते हैं। मान लीजिए $x^2 = t$. तब $\frac{1}{(t+1)(t+4)} = \frac{A}{t+1} + \frac{B}{t+4}$.
आंशिक भिन्न अपघटन द्वारा,$1 = A(t+4) + B(t+1)$.
$t = -1$ रखने पर,हमें $1 = 3A \implies A = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
$t = -4$ रखने पर,हमें $1 = -3B \implies B = -\frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{1}{(x^2+1)(x^2+4)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{x^2+1} - \frac{1}{x^2+4} \right)$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$I = \frac{1}{3} \int \frac{dx}{x^2+1} - \frac{1}{3} \int \frac{dx}{x^2+2^2}$.
मानक सूत्र $\int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{1}{3} \tan^{-1} x - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{x}{2}) + C$.
$I = \frac{1}{3} \tan^{-1} x - \frac{1}{6} \tan^{-1}(\frac{x}{2}) + C$.

(A) खंडशः समाकलन (integration by parts) $\int u v dx = u \int v dx - \int (u' \int v dx) dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = (\log x)^3$ और $v = x^4$:
$\int x^4(\log x)^3 dx = \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \int 3(\log x)^2 \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{x^5}{5} dx = \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \frac{3}{5} \int x^4(\log x)^2 dx$
पुनः खंडशः समाकलन करने पर:
$= \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \frac{3}{5} [\frac{x^5}{5}(\log x)^2 - \int 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{x^5}{5} dx] = \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \frac{3}{25}x^5(\log x)^2 + \frac{6}{25} \int x^4 \log x dx$
पुनः खंडशः समाकलन करने पर:
$= \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \frac{3}{25}x^5(\log x)^2 + \frac{6}{25} [\frac{x^5}{5} \log x - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^5}{5} dx] = \frac{x^5}{5}(\log x)^3 - \frac{3}{25}x^5(\log x)^2 + \frac{6}{125}x^5 \log x - \frac{6}{125} \int x^4 dx$
$= x^5 [\frac{1}{5}(\log x)^3 - \frac{3}{25}(\log x)^2 + \frac{6}{125} \log x - \frac{6}{625}] + k$
गुणांकों की तुलना करने पर: $A = \frac{1}{5}, B = -\frac{3}{25}, C = \frac{6}{125}, D = -\frac{6}{625}$
$A + B + C + 5D = \frac{1}{5} - \frac{3}{25} + \frac{6}{125} + 5(-\frac{6}{625}) = \frac{25 - 15 + 6 - 6}{125} = \frac{10}{125} = \frac{2}{25}$

(C) माना $I = \int_2^5 \sqrt{\frac{5-x}{x-2}} \, dx$. $x = 2 \cos^2 \theta + 5 \sin^2 \theta = 2 + 3 \sin^2 \theta$ रखने पर।
तब $dx = 6 \sin \theta \cos \theta \, d\theta$।
जब $x=2, \theta=0$। जब $x=5, \theta=\frac{\pi}{2}$।
$I = \int_0^{\pi/2} \sqrt{\frac{5-(2+3\sin^2 \theta)}{(2+3\sin^2 \theta)-2}} \cdot 6 \sin \theta \cos \theta \, d\theta$
$I = \int_0^{\pi/2} \sqrt{\frac{3-3\sin^2 \theta}{3\sin^2 \theta}} \cdot 6 \sin \theta \cos \theta \, d\theta$
$I = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \cdot 6 \sin \theta \cos \theta \, d\theta = 6 \int_0^{\pi/2} \cos^2 \theta \, d\theta$
$I = 6 \int_0^{\pi/2} \frac{1+\cos 2\theta}{2} \, d\theta = 3 \left[ \theta + \frac{\sin 2\theta}{2} \right]_0^{\pi/2} = 3 \left( \frac{\pi}{2} + 0 - 0 \right) = \frac{3\pi}{2}$.

(A) माना $I = \int_0^{\pi / 4} \frac{\sec x}{1+2 \sin ^2 x} d x$.
अंश और हर को $\cos x$ से गुणा करने पर:
$I = \int_0^{\pi / 4} \frac{\cos x}{\cos ^2 x(1+2 \sin ^2 x)} d x = \int_0^{\pi / 4} \frac{\cos x}{(1-\sin ^2 x)(1+2 \sin ^2 x)} d x$.
माना $\sin x = t$,तब $\cos x d x = d t$.
जब $x = 0, t = 0$. जब $x = \frac{\pi}{4}, t = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$I = \int_0^{1 / \sqrt{2}} \frac{d t}{(1-t^2)(1+2 t^2)}$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{1}{(1-t^2)(1+2 t^2)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{1-t^2} + \frac{2}{1+2 t^2} \right)$.
$I = \frac{1}{3} \int_0^{1 / \sqrt{2}} \left( \frac{1}{1-t^2} + \frac{2}{1+2 t^2} \right) d t$.
$I = \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{2} \log \left| \frac{1+t}{1-t} \right| + \frac{2}{\sqrt{2}} \tan ^{-1} (\sqrt{2} t) \right]_0^{1 / \sqrt{2}}$.
$I = \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{2} \log \left( \frac{1+1/\sqrt{2}}{1-1/\sqrt{2}} \right) + \sqrt{2} \tan ^{-1} (1) \right]$.
$I = \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{2} \log \left( \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} \right) + \sqrt{2} \cdot \frac{\pi}{4} \right]$.
चूंकि $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} = (\sqrt{2}+1)^2$,इसलिए $\log (\sqrt{2}+1)^2 = 2 \log (\sqrt{2}+1)$.
$I = \frac{1}{3} \left[ \log (\sqrt{2}+1) + \frac{\pi \sqrt{2}}{4} \right] = \frac{1}{3} \log (\sqrt{2}+1) + \frac{\pi \sqrt{2}}{12}$.

(C) माना $I = \int_0^2 x^{5/2} \sqrt{2-x} \, dx$ है।
$x = 2 \sin^2 \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 4 \sin \theta \cos \theta \, d\theta$ प्राप्त होता है।
जब $x=0, \theta=0$ और जब $x=2, \theta=\pi/2$ होता है।
$I = \int_0^{\pi/2} (2 \sin^2 \theta)^{5/2} \sqrt{2 - 2 \sin^2 \theta} \cdot (4 \sin \theta \cos \theta) \, d\theta$
$I = \int_0^{\pi/2} (2^{5/2} \sin^5 \theta) (\sqrt{2} \cos \theta) (4 \sin \theta \cos \theta) \, d\theta$
$I = \int_0^{\pi/2} (2^{5/2} \cdot 2^{1/2} \cdot 4) \sin^6 \theta \cos^2 \theta \, d\theta$
$I = 32 \int_0^{\pi/2} \sin^6 \theta \cos^2 \theta \, d\theta$
वालिस के सूत्र का उपयोग करने पर:
$I = 32 \cdot \frac{(5 \cdot 3 \cdot 1) \cdot (1)}{(8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2)} \cdot \frac{\pi}{2}$
$I = 32 \cdot \frac{15}{384} \cdot \frac{\pi}{2} = 32 \cdot \frac{5}{128} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{5 \pi}{8}$.

(D) माना $I = \int_0^2 x^3(2-x)^4 \, dx$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^2 (2-x)^3(2-(2-x))^4 \, dx = \int_0^2 (2-x)^3 x^4 \, dx$.
पदों का विस्तार करने पर:
$I = \int_0^2 (8 - 12x + 6x^2 - x^3) x^4 \, dx = \int_0^2 (8x^4 - 12x^5 + 6x^6 - x^7) \, dx$.
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$I = \left[ \frac{8x^5}{5} - \frac{12x^6}{6} + \frac{6x^7}{7} - \frac{x^8}{8} \right]_0^2$.
$I = \left[ \frac{8(32)}{5} - 2(64) + \frac{6(128)}{7} - \frac{256}{8} \right]$.
$I = \frac{256}{5} - 128 + \frac{768}{7} - 32 = \frac{256}{5} + \frac{768}{7} - 160$.
$I = \frac{1792 + 3840 - 5600}{35} = \frac{32}{35}$.

(C) माना $I = \int_0^2 \frac{x}{(2-x)^{3/4}} dx$.
$t = 2-x$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = -dt$ प्राप्त होता है।
जब $x=0, t=2$ और जब $x=2, t=0$.
$I = \int_2^0 \frac{2-t}{t^{3/4}} (-dt) = \int_0^2 \frac{2-t}{t^{3/4}} dt$.
$I = \int_0^2 (2t^{-3/4} - t^{1/4}) dt$.
$I = [2 \cdot \frac{t^{1/4}}{1/4} - \frac{t^{5/4}}{5/4}]_0^2$.
$I = [8t^{1/4} - \frac{4}{5}t^{5/4}]_0^2$.
$I = 8(2^{1/4}) - \frac{4}{5}(2^{5/4}) = 8(2^{1/4}) - \frac{4}{5}(2 \cdot 2^{1/4})$.
$I = 2^{1/4} (8 - \frac{8}{5}) = 2^{1/4} (\frac{40-8}{5}) = \frac{32}{5} 2^{1/4}$.

(A) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{x \tan x \sec^2 x}{\tan^4 x + 1} dx$ ...$(i)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\frac{\pi}{2} - x) \tan(\frac{\pi}{2} - x) \sec^2(\frac{\pi}{2} - x)}{\tan^4(\frac{\pi}{2} - x) + 1} dx$
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\frac{\pi}{2} - x) \cot x \csc^2 x}{\cot^4 x + 1} dx$
चूँकि $\cot x = \frac{1}{\tan x}$ और $\csc^2 x = \frac{\sec^2 x}{\tan^2 x}$,व्यंजक इस प्रकार बनता है:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\frac{\pi}{2} - x) \tan x \sec^2 x}{1 + \tan^4 x} dx$ ...(ii)
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\frac{\pi}{2} \tan x \sec^2 x}{\tan^4 x + 1} dx$
$I = \frac{\pi}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\tan x \sec^2 x}{\tan^4 x + 1} dx$
माना $u = \tan^2 x$,तो $du = 2 \tan x \sec^2 x dx$,इसलिए $\tan x \sec^2 x dx = \frac{du}{2}$.
$I = \frac{\pi}{4} \int_0^{\infty} \frac{1}{u^2 + 1} \cdot \frac{du}{2} = \frac{\pi}{8} [\tan^{-1} u]_0^{\infty} = \frac{\pi}{8} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{16}$

(D) माना $I = \int_{-23}^{23} \frac{dx}{3+f(x)} \dots (i)$
गुणधर्म $\int_{a}^{b} g(x) dx = \int_{a}^{b} g(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = -23$ और $b = 23$,हमें $a+b = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int_{-23}^{23} \frac{dx}{3+f(-x)}$.
दिया गया है कि $f(x)f(-x) = 9$,इसलिए $f(-x) = \frac{9}{f(x)}$.
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_{-23}^{23} \frac{dx}{3 + \frac{9}{f(x)}} = \int_{-23}^{23} \frac{f(x) dx}{3f(x) + 9} = \int_{-23}^{23} \frac{f(x) dx}{3(f(x) + 3)} \dots (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{-23}^{23} \left( \frac{1}{3+f(x)} + \frac{f(x)}{3(f(x)+3)} \right) dx$
$2I = \int_{-23}^{23} \frac{3 + f(x)}{3(3+f(x))} dx = \int_{-23}^{23} \frac{1}{3} dx$
$2I = \frac{1}{3} [x]_{-23}^{23} = \frac{1}{3} (23 - (-23)) = \frac{46}{3}$
$I = \frac{46}{6}$

(B) हम समाकलन $I = \int_{1/2}^2 |\log_{10} x| dx$ का मूल्यांकन करते हैं।
चूंकि $x \in [1/2, 1)$ के लिए $\log_{10} x < 0$ और $x \in [1, 2]$ के लिए $\log_{10} x \ge 0$ है,हम समाकलन को विभाजित करते हैं:
$I = -\int_{1/2}^1 \log_{10} x dx + \int_1^2 \log_{10} x dx$.
आधार परिवर्तन सूत्र $\log_{10} x = \frac{\ln x}{\ln 10}$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{\ln 10} \left[ -\int_{1/2}^1 \ln x dx + \int_1^2 \ln x dx \right]$.
सूत्र $\int \ln x dx = x \ln x - x$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{\ln 10} \left[ -(x \ln x - x)|_{1/2}^1 + (x \ln x - x)|_1^2 \right]$.
सीमाओं का मान रखने पर:
$I = \frac{1}{\ln 10} \left[ -((1 \ln 1 - 1) - (\frac{1}{2} \ln \frac{1}{2} - \frac{1}{2})) + ((2 \ln 2 - 2) - (1 \ln 1 - 1)) \right]$.
$I = \frac{1}{\ln 10} \left[ -(-1 - \frac{1}{2} \ln \frac{1}{2} + \frac{1}{2}) + (2 \ln 2 - 2 + 1) \right]$.
$I = \frac{1}{\ln 10} \left[ (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \ln \frac{1}{2}) + (2 \ln 2 - 1) \right] = \frac{1}{\ln 10} [\frac{3}{2} \ln 2 - \frac{1}{2}] = \frac{1}{2} \log_{10} (\frac{8}{e})$.

(B) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{8092}}^{\frac{\pi}{8092}} \frac{\sec (2023 x)}{1+(2023)^{(2023 x)}} d x$ है।
गुणधर्म $\int_{-a}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} [f(x) + f(-x)] d x$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \frac{\sec (2023 x)}{1+(2023)^{(2023 x)}}$
$f(-x) = \frac{\sec (-2023 x)}{1+(2023)^{(-2023 x)}} = \frac{\sec (2023 x)}{1+\frac{1}{(2023)^{(2023 x)}}} = \frac{(2023)^{(2023 x)} \sec (2023 x)}{(2023)^{(2023 x)}+1}$
$f(x)$ और $f(-x)$ को जोड़ने पर:
$f(x) + f(-x) = \frac{\sec (2023 x) [1 + (2023)^{(2023 x)}]}{1+(2023)^{(2023 x)}} = \sec (2023 x)$
अतः,$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{8092}} \sec (2023 x) d x$
$= \left[ \frac{1}{2023} \log |\sec (2023 x) + \tan (2023 x)| \right]_{0}^{\frac{\pi}{8092}}$
$= \frac{1}{2023} [\log |\sec(\frac{\pi}{4}) + \tan(\frac{\pi}{4})| - \log |\sec(0) + \tan(0)|]$
$= \frac{1}{2023} [\log (\sqrt{2} + 1) - \log (1 + 0)]$
$= \frac{\log (\sqrt{2} + 1)}{2023}$

(A) हमें समाकलन $I = \int_0^3 |x^2 - 3x + 2| dx$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करें: $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$।
व्यंजक $(x - 1)(x - 2)$,$x \in [0, 1] \cup [2, 3]$ के लिए गैर-ऋणात्मक है और $x \in (1, 2)$ के लिए ऋणात्मक है।
अतः,समाकलन को इस प्रकार विभाजित किया जा सकता है:
$I = \int_0^1 (x^2 - 3x + 2) dx - \int_1^2 (x^2 - 3x + 2) dx + \int_2^3 (x^2 - 3x + 2) dx$।
प्रत्येक समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$\int (x^2 - 3x + 2) dx = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x$।
पहले भाग के लिए: $[\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x]_0^1 = (\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2) - 0 = \frac{2 - 9 + 12}{6} = \frac{5}{6}$।
दूसरे भाग के लिए: $-[\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x]_1^2 = -[(\frac{8}{3} - 6 + 4) - (\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2)] = -[(\frac{2}{3}) - (\frac{5}{6})] = -[\frac{4-5}{6}] = \frac{1}{6}$।
तीसरे भाग के लिए: $[\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x]_2^3 = (\frac{27}{3} - \frac{27}{2} + 6) - (\frac{8}{3} - 6 + 4) = (9 - 13.5 + 6) - (\frac{2}{3}) = 1.5 - \frac{2}{3} = \frac{3}{2} - \frac{2}{3} = \frac{9-4}{6} = \frac{5}{6}$।
इन मानों को जोड़ने पर: $I = \frac{5}{6} + \frac{1}{6} + \frac{5}{6} = \frac{11}{6}$।

(A) माना $I = \int_0^\pi \frac{x \cos^2 x}{1+\sin x} dx$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \cos^2(\pi-x)}{1+\sin(\pi-x)} dx = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \cos^2 x}{1+\sin x} dx$.
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^\pi \frac{\pi \cos^2 x}{1+\sin x} dx = \pi \int_0^\pi \frac{1-\sin^2 x}{1+\sin x} dx$.
चूंकि $1-\sin^2 x = (1-\sin x)(1+\sin x)$,इसलिए:
$2I = \pi \int_0^\pi (1-\sin x) dx$.
$2I = \pi [x + \cos x]_0^\pi$.
$2I = \pi [(\pi + \cos \pi) - (0 + \cos 0)] = \pi [(\pi - 1) - (1)] = \pi(\pi - 2)$.
अतः,$I = \frac{\pi(\pi-2)}{2}$.

(D) सबसे पहले,हम निश्चित समाकल का मान ज्ञात करते हैं: $\int_0^3 (3x^2 - 4x + 2) dx = [x^3 - 2x^2 + 2x]_0^3$.
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $(3^3 - 2(3^2) + 2(3)) - (0) = 27 - 18 + 6 = 15$.
अतः,$k = 15$.
अब,$k = 15$ को समीकरण $3x^2 - 4x + 2 = \frac{3k}{5}$ में रखने पर:
$3x^2 - 4x + 2 = \frac{3(15)}{5} = 9$.
समीकरण को व्यवस्थित करने पर: $3x^2 - 4x + 2 - 9 = 0$,जो $3x^2 - 4x - 7 = 0$ में बदल जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x + 1)(3x - 7) = 0$.
मूल $x = -1$ और $x = \frac{7}{3}$ प्राप्त होते हैं।
अतः,पूर्णांक मूल $-1$ है।

(C) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^2 x(\sin x + \cos x) dx$ ...$(i)$
गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a = -\frac{\pi}{2}$ और $b = \frac{\pi}{2}$,अतः $a+b = 0$.
$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(-x) \cos^2(-x)(\sin(-x) + \cos(-x)) dx$
$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^2 x(-\sin x + \cos x) dx$ ...(ii)
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^2 x(\sin x + \cos x - \sin x + \cos x) dx$
$2I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^2 x(2 \cos x) dx$
$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^3 x dx$
चूंकि $\sin^2 x \cos^3 x$ एक सम फलन है,इसलिए $I = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^3 x dx$.
माना $\sin x = t$,तब $\cos x dx = dt$. जब $x=0, t=0$; जब $x=\frac{\pi}{2}, t=1$.
$I = 2 \int_0^1 t^2 (1-t^2) dt = 2 \int_0^1 (t^2 - t^4) dt$
$I = 2 \left[ \frac{t^3}{3} - \frac{t^5}{5} \right]_0^1 = 2 \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) = 2 \left( \frac{2}{15} \right) = \frac{4}{15}$.

(C) फलन $f(x) = x|x|$ एक विषम (odd) फलन है क्योंकि $f(-x) = (-x)|-x| = -x|x| = -f(x)$ है।
एक विषम फलन के लिए,सममित अंतराल $[-a, a]$ पर निश्चित समाकलन हमेशा शून्य होता है।
वैकल्पिक रूप से,हम इसे इस प्रकार हल कर सकते हैं:
$\int_{-1}^1 x|x| \, dx = \int_{-1}^0 x(-x) \, dx + \int_0^1 x(x) \, dx$
$= -\int_{-1}^0 x^2 \, dx + \int_0^1 x^2 \, dx$
$= -\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^0 + \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1$
$= -\left(0 - \left(-\frac{1}{3}\right)\right) + \left(\frac{1}{3} - 0\right)$
$= -\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 0$

(B) माना $I = \int_3^6 \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{9-x}+\sqrt{x}} d x$ ...$(i)$
गुणधर्म $\int_a^b f(x) d x = \int_a^b f(a+b-x) d x$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a=3$ और $b=6$ है,अतः $a+b-x = 9-x$ होगा।
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_3^6 \frac{\sqrt{9-x}}{\sqrt{9-(9-x)}+\sqrt{9-x}} d x$
$I = \int_3^6 \frac{\sqrt{9-x}}{\sqrt{x}+\sqrt{9-x}} d x$ ...(ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2I = \int_3^6 \frac{\sqrt{x}+\sqrt{9-x}}{\sqrt{x}+\sqrt{9-x}} d x$
$2I = \int_3^6 1 d x$
$2I = [x]_3^6 = 6 - 3 = 3$
$I = \frac{3}{2}$

(D) दी गई अभिव्यक्ति $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n^2} \sec ^2 \frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2} \sec ^2 \frac{4}{n^2}+\ldots+\frac{n}{n^2} \sec ^2 \frac{n^2}{n^2}\right]$ है।
इसे $\int_0^1 x \sec^2(x^2) dx$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $x^2 = t$,तब $2x dx = dt$,अर्थात $x dx = \frac{1}{2} dt$.
जब $x=0, t=0$ और जब $x=1, t=1$.
समाकलन $\frac{1}{2} \int_0^1 \sec^2 t dt = \frac{1}{2} [\tan t]_0^1 = \frac{1}{2} \tan(1)$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^6 x \cos^4 x \, dx$ है।
वालिस के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^m x \cos^n x \, dx = \frac{(m-1)(m-3)\dots(1) \times (n-1)(n-3)\dots(1)}{(m+n)(m+n-2)\dots(2)} \times \frac{\pi}{2}$ (यदि $m$ और $n$ दोनों सम संख्याएँ हैं)।
यहाँ,$m = 6$ और $n = 4$ है।
$I = \frac{(6-1)(6-3)(6-5) \times (4-1)(4-3)}{(6+4)(6+4-2)(6+4-4)(6+4-6)(6+4-8)} \times \frac{\pi}{2}$
$I = \frac{5 \times 3 \times 1 \times 3 \times 1}{10 \times 8 \times 6 \times 4 \times 2} \times \frac{\pi}{2}$
$I = \frac{45}{3840} \times \frac{\pi}{2} = \frac{3}{256} \times \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{512}$।

(D) माना $f(x) = |\sin x| + |\cos x|$ है।
हम जानते हैं कि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $|\sin x| \geq \sin^2 x$ और $|\cos x| \geq \cos^2 x$ होता है।
इनको जोड़ने पर,हमें $|\sin x| + |\cos x| \geq \sin^2 x + \cos^2 x = 1$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$|\sin x| + |\cos x|$ का अधिकतम मान $x = \frac{\pi}{4}$ पर प्राप्त होता है,जहाँ $|\sin \frac{\pi}{4}| + |\cos \frac{\pi}{4}| = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \approx 1.414$ होता है।
चूँकि $1 \leq |\sin x| + |\cos x| \leq \sqrt{2}$ है,इसलिए सभी $x \in [0, 2\pi]$ के लिए महत्तम पूर्णांक फलन $[|\sin x| + |\cos x|]$ का मान हमेशा $1$ होगा।
अतः,$\int_0^{2 \pi} [|\sin x| + |\cos x|] \, dx = \int_0^{2 \pi} 1 \, dx = [x]_0^{2 \pi} = 2\pi - 0 = 2\pi$।

(B) $I = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^2 x}{\sin x + \cos x} dx \quad ... (i)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करते हुए:
$I = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos^2 x}{\cos x + \sin x} dx \quad ... (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x + \cos x} dx = \int_0^{\pi/2} \frac{1}{\sin x + \cos x} dx$
$2I = \frac{1}{\sqrt{2}} \int_0^{\pi/2} \frac{1}{\sin(x + \pi/4)} dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \int_0^{\pi/2} \operatorname{cosec}(x + \pi/4) dx$
$2I = \frac{1}{\sqrt{2}} [\log|\operatorname{cosec}(x + \pi/4) - \cot(x + \pi/4)|]_0^{\pi/2}$
$2I = \frac{1}{\sqrt{2}} [\log|\operatorname{cosec}(3\pi/4) - \cot(3\pi/4)| - \log|\operatorname{cosec}(\pi/4) - \cot(\pi/4)|]$
$2I = \frac{1}{\sqrt{2}} [\log(\sqrt{2} + 1) - \log(\sqrt{2} - 1)] = \frac{1}{\sqrt{2}} \log\left(\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}\right)$
चूंकि $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} = (\sqrt{2} + 1)^2$,इसलिए $2I = \frac{1}{\sqrt{2}} \log(\sqrt{2} + 1)^2 = \frac{2}{\sqrt{2}} \log(\sqrt{2} + 1)$
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \log(\sqrt{2} + 1)$

(B) माना $I = \int_{-2}^2 [2-x] \, dx$.
हम समाकलन को उन अंतरालों के आधार पर विभाजित करते हैं जहाँ $[2-x]$ स्थिर है:
$I = \int_{-2}^{-1} [2-x] \, dx + \int_{-1}^0 [2-x] \, dx + \int_0^1 [2-x] \, dx + \int_1^2 [2-x] \, dx$.
$x \in [-2, -1)$ के लिए,$2-x \in (3, 4]$,इसलिए $[2-x] = 3$.
$x \in [-1, 0)$ के लिए,$2-x \in (2, 3]$,इसलिए $[2-x] = 2$.
$x \in [0, 1)$ के लिए,$2-x \in (1, 2]$,इसलिए $[2-x] = 1$.
$x \in [1, 2)$ के लिए,$2-x \in (0, 1]$,इसलिए $[2-x] = 0$.
अतः,$I = \int_{-2}^{-1} 3 \, dx + \int_{-1}^0 2 \, dx + \int_0^1 1 \, dx + \int_1^2 0 \, dx$.
$I = 3[x]_{-2}^{-1} + 2[x]_{-1}^0 + 1[x]_0^1 + 0$.
$I = 3(-1 - (-2)) + 2(0 - (-1)) + 1(1 - 0) = 3(1) + 2(1) + 1(1) = 3 + 2 + 1 = 6$.

(C) $X$-अक्ष पर अक्ष वाले परवलयों के कुल का समीकरण $y^2 = 4a(x - b)$ है,जहाँ $a$ और $b$ स्वेच्छ अचर हैं।
इन दो अचरों को हटाने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$2y \frac{dy}{dx} = 4a \implies y \frac{dy}{dx} = 2a$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y \frac{d^2y}{dx^2} + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 0$.
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $1$ है,इसलिए घात $1$ है।
अतः,घात और कोटि क्रमशः $1$ और $2$ हैं।

(C) दिया गया वक्रों का कुल: $y^2=4a(x+a)$
चरण $1$: $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = 4a$
$\implies a = \frac{y}{2} \frac{dy}{dx}$
चरण $2$: $a$ का मान मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$y^2 = 4 \left( \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} \right) \left( x + \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} \right)$
$y^2 = 2y \frac{dy}{dx} \left( x + \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} \right)$
$y^2 = 2xy \frac{dy}{dx} + y^2 \left( \frac{dy}{dx} \right)^2$
चरण $3$: कोटि और घात की पहचान करना:
उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,इसलिए कोटि $m = 1$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की उच्चतम घात $2$ है,इसलिए घात $n = 2$ है।
चरण $4$: $m+n^2$ की गणना करना:
$m+n^2 = 1 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.

(A) दिया गया है $y=A e^x+B \sin 2 x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x}=A e^x+2 B \cos 2 x$ ...$(1)$
पुनः अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 y}{d x^2}=A e^x-4 B \sin 2 x$ ...$(2)$
$(1)$ से,$A e^x = \frac{d y}{d x} - 2 B \cos 2 x$. इस मान को $(2)$ में रखने पर:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{d y}{d x} - 2 B \cos 2 x - 4 B \sin 2 x$.
विकल्पों की जाँच करने या अचर $A$ और $B$ को विलुप्त करने पर,हमें अवकल समीकरण $(\cos 2 x-\sin 2 x) \frac{d^2 y}{d x^2}+4 \sin 2 x \frac{d y}{d x}-4(\sin 2 x+\cos 2 x) y=0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण: $y=x[a \cos (\log x)+b \sin (\log x)]$.
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = [a \cos (\log x) + b \sin (\log x)] + x [-a \sin (\log x) \cdot \frac{1}{x} + b \cos (\log x) \cdot \frac{1}{x}]$
$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - a \sin (\log x) + b \cos (\log x)$.
$x$ से गुणा करने पर: $x \frac{d y}{d x} = y - ax \sin (\log x) + bx \cos (\log x)$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$x \frac{d^2 y}{d x^2} + \frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d x} - [a \sin (\log x) + ax \cos (\log x) \cdot \frac{1}{x}] + [b \cos (\log x) - bx \sin (\log x) \cdot \frac{1}{x}]$
$x \frac{d^2 y}{d x^2} = -a \sin (\log x) - a \cos (\log x) + b \cos (\log x) - b \sin (\log x)$.
$x$ से गुणा करने पर: $x^2 \frac{d^2 y}{d x^2} = -ax \sin (\log x) - ax \cos (\log x) + bx \cos (\log x) - bx \sin (\log x)$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^2 \frac{d^2 y}{d x^2} = -[ax \cos (\log x) + bx \sin (\log x)] - [ax \sin (\log x) - bx \cos (\log x)]$.
$y = ax \cos (\log x) + bx \sin (\log x)$ और $x \frac{d y}{d x} - y = -ax \sin (\log x) + bx \cos (\log x)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^2 \frac{d^2 y}{d x^2} = -y - (x \frac{d y}{d x} - y) = -x \frac{d y}{d x} + 2y$ (सही गणना के अनुसार)।
अंतिम समीकरण: $x^2 \frac{d^2 y}{d x^2} - x \frac{d y}{d x} + 2y = 0$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(3x-4y)(dx-3dy)+(6dx-4dy)=0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(3x-4y+6)dx - (3(3x-4y)+4)dy = 0$
$\frac{dy}{dx} = \frac{3x-4y+6}{3(3x-4y)+4}$
माना $t = 3x-4y$,तो $\frac{dt}{dx} = 3-4\frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4}(3-\frac{dt}{dx})$
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{4}(3-\frac{dt}{dx}) = \frac{t+6}{3t+4}$
$3-\frac{dt}{dx} = \frac{4t+24}{3t+4} \Rightarrow \frac{dt}{dx} = 3 - \frac{4t+24}{3t+4} = \frac{9t+12-4t-24}{3t+4} = \frac{5t-12}{3t+4}$
चरों को अलग करने पर: $dx = \frac{3t+4}{5t-12}dt$
$dx = (\frac{3}{5} + \frac{56/5}{5t-12})dt$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $x = \frac{3}{5}t + \frac{56}{25}\log|5t-12| + C$
$t = 3x-4y$ रखने पर: $x = \frac{3}{5}(3x-4y) + \frac{56}{25}\log|5(3x-4y)-12| + C$
$x = \frac{9x-12y}{5} + \frac{56}{25}\log|15x-20y-12| + C$
$25x = 45x-60y + 56\log|15x-20y-12| + 25C$
$60y-20x = 56\log|15x-20y-12| + C'$
$4$ से विभाजित करने पर: $15y-5x = 14\log|15x-20y-12| + C''$
$5x-15y+14\log|15x-20y-12|=C$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(x^2+2) dy + 2xy dx = e^x(x^2+2) dx$
$(x^2+2) dx$ से विभाजित करने पर:
$\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{x^2+2} y = e^x$
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{2x}{x^2+2}$ और $Q(x) = e^x$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ = $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2x}{x^2+2} dx} = e^{\ln(x^2+2)} = x^2+2$।
व्यापक हल $y \cdot (IF) = \int Q(x) \cdot (IF) dx + C$ है।
$y(x^2+2) = \int e^x(x^2+2) dx + C$।
$\int e^x(x^2+2) dx$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
$y(x^2+2) = (x^2+2)e^x - \int 2x e^x dx + C$।
$y(x^2+2) = (x^2+2)e^x - 2[x e^x - \int e^x dx] + C$।
$y(x^2+2) = (x^2+2)e^x - 2x e^x + 2e^x + C$।
$y(x^2+2) = e^x(x^2+2 - 2x + 2) + C$।
$y(x^2+2) = e^x(x^2-2x+4) + C$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\left(x \sin \frac{y}{x}\right) dy = \left(y \sin \frac{y}{x} - x\right) dx$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{y \sin \frac{y}{x} - x}{x \sin \frac{y}{x}} = \frac{y}{x} - \frac{1}{\sin(y/x)} = \frac{y}{x} - \text{cosec}\left(\frac{y}{x}\right)$
माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v - \text{cosec}(v)$
$x \frac{dv}{dx} = -\text{cosec}(v)$
चरों को अलग करने पर: $\sin(v) dv = -\frac{1}{x} dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \sin(v) dv = -\int \frac{1}{x} dx$
$-\cos(v) = -\log |x| + C$
$\cos(v) = \log |x| + C'$
$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर: $\cos\left(\frac{y}{x}\right) = \log |x| + C$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{2x+3y}{3x-2y}$.
यह एक समघात अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{2x + 3vx}{3x - 2vx} = \frac{2+3v}{3-2v}$.
$x \frac{dv}{dx} = \frac{2+3v}{3-2v} - v = \frac{2+3v - 3v + 2v^2}{3-2v} = \frac{2v^2+2}{3-2v}$.
चरों को पृथक करने पर:
$\frac{3-2v}{2(v^2+1)} dv = \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\frac{3}{2} \int \frac{dv}{v^2+1} - \int \frac{v}{v^2+1} dv = \int \frac{dx}{x}$.
$\frac{3}{2} \tan^{-1}(v) - \frac{1}{2} \ln(v^2+1) = \ln|x| + C$.
$\frac{3}{2} \tan^{-1}(v) = \ln|x| + \frac{1}{2} \ln(v^2+1) + C = \ln|x \sqrt{v^2+1}| + C = \ln \sqrt{x^2+y^2} + C$.
$\tan^{-1}(\frac{y}{x}) = \frac{1}{3} \ln(x^2+y^2) + C'$.
$\frac{y}{x} = \tan(\frac{1}{3} \ln(x^2+y^2) + C')$.
$y = x \tan(f(x)) + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $f(x) = \frac{1}{3} \log(x^2+y^2)$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $y^2 dx + (x^2 - xy - y^2) dy = 0$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $\frac{dx}{dy} = \frac{-(x^2 - xy - y^2)}{y^2} = \frac{-x^2 + xy + y^2}{y^2} = -(\frac{x}{y})^2 + (\frac{x}{y}) + 1$.
माना $x = vy$,तो $\frac{dx}{dy} = v + y \frac{dv}{dy}$.
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + y \frac{dv}{dy} = -v^2 + v + 1$.
$y \frac{dv}{dy} = 1 - v^2$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{dv}{1 - v^2} = \frac{dy}{y}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\frac{1}{2} \ln |\frac{1 + v}{1 - v}| = \ln |y| + C$.
$v = \frac{x}{y}$ रखने पर: $\frac{1}{2} \ln |\frac{1 + x/y}{1 - x/y}| = \ln |y| + C \Rightarrow \frac{1}{2} \ln |\frac{y + x}{y - x}| = \ln |y| + C$.
बिंदु $(2, 1)$ पर: $\frac{1}{2} \ln |\frac{1 + 2}{1 - 2}| = \ln |1| + C \Rightarrow \frac{1}{2} \ln |3| = C$.
अतः,$\frac{1}{2} \ln |\frac{y + x}{y - x}| = \ln |y| + \frac{1}{2} \ln 3$.
$2$ से गुणा करने पर: $\ln |\frac{y + x}{y - x}| = 2 \ln |y| + \ln 3 = \ln |3y^2|$.
घातांकीय लेने पर: $\frac{y + x}{y - x} = 3y^2$ या $\frac{y + x}{x - y} = -3y^2$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y + x = 3y^2(x - y) = 3(xy^2 - y^3)$.
$x + y = k(xy^2 - y^3)$ से तुलना करने पर,हमें $k = 3$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y f^{\prime}(x) = f(x) f^{\prime}(x)$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = f^{\prime}(x)$ और $Q(x) = f(x) f^{\prime}(x)$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int f^{\prime}(x) dx} = e^{f(x)}$ है।
व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$y \cdot e^{f(x)} = \int f(x) f^{\prime}(x) e^{f(x)} dx + C$ प्राप्त होता है।
माना $u = f(x)$,तो $du = f^{\prime}(x) dx\text{।}$ समाकलन $\int u e^u du$ बन जाता है।
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int u e^u du = u e^u - e^u$ होता है।
अतः,$y \cdot e^{f(x)} = f(x) e^{f(x)} - e^{f(x)} + C$ है।
$e^{f(x)}$ से भाग देने पर,$y = f(x) - 1 + C e^{-f(x)}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(2x - 10y^3) dy + y dx = 0$
$x$ में रैखिक अवकल समीकरण बनाने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$y dx = (10y^3 - 2x) dy$
$\frac{dx}{dy} = 10y^2 - \frac{2x}{y}$
$\frac{dx}{dy} + \frac{2}{y} x = 10y^2$
यह $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{2}{y}$ और $Q = 10y^2$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ इस प्रकार है:
$IF = e^{\int P dy} = e^{\int \frac{2}{y} dy} = e^{2 \ln y} = y^2$
व्यापक हल $x \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dy + C$ है:
$x \cdot y^2 = \int (10y^2) \cdot y^2 dy + C$
$x y^2 = \int 10y^4 dy + C$
$x y^2 = 10 \cdot \frac{y^5}{5} + C$
$x y^2 = 2y^5 + C$
अतः,व्यापक हल $x y^2 - 2y^5 = C$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $x^2 dy - (xy - y^2) dx = 0$
$\Rightarrow x^2 dy = (xy - y^2) dx$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{xy - y^2}{x^2}$
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x(vx) - (vx)^2}{x^2} = \frac{vx^2 - v^2x^2}{x^2} = v - v^2$
$x \frac{dv}{dx} = v - v^2 - v = -v^2$
चरों को पृथक करने पर:
$\frac{dv}{-v^2} = \frac{dx}{x}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int -v^{-2} dv = \int \frac{1}{x} dx$
$\frac{1}{v} = \ln|x| + C$
चूंकि $v = \frac{y}{x}$,इसलिए:
$\frac{x}{y} = \ln|x| + C$
$x = y \ln|x| + Cy$
$y \log x = x + Cy$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(\sec x + \tan x) \frac{dy}{dx} + (\sec^2 x + \sec x \tan x) y = 1$
$(\sec x + \tan x)$ से भाग देने पर:
$\frac{dy}{dx} + \sec x \cdot y = \frac{1}{\sec x + \tan x}$
चूंकि $\frac{1}{\sec x + \tan x} = \sec x - \tan x$,समीकरण इस प्रकार होगा:
$\frac{dy}{dx} + (\sec x) y = \sec x - \tan x$
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \sec x$ और $Q = \sec x - \tan x$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $= e^{\int P dx} = e^{\int \sec x dx} = e^{\ln|\sec x + \tan x|} = \sec x + \tan x$।
व्यापक हल $y \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dx + c$ है।
$y(\sec x + \tan x) = \int (\sec x - \tan x)(\sec x + \tan x) dx + c$
$y(\sec x + \tan x) = \int (\sec^2 x - \tan^2 x) dx + c$
चूंकि $\sec^2 x - \tan^2 x = 1$:
$y(\sec x + \tan x) = \int 1 dx + c$
$y(\sec x + \tan x) = x + c$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = x^2$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x}$ और $Q = x^2$ है।
सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(IF)$ ज्ञात करते हैं:
$IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$.
व्यापक हल $y \cdot IF = \int (Q \cdot IF) dx + C$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$y \cdot x = \int (x^2 \cdot x) dx + C$.
$xy = \int x^3 dx + C$.
$x^3$ का समाकलन करने पर,हमें $xy = \frac{x^4}{4} + C$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \sin(x-y) + \cos(x-y)$.
माना $x-y = v$. तब $1 - \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dv}{dx}$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $1 - \frac{dv}{dx} = \sin v + \cos v$.
अतः $\frac{dv}{dx} = 1 - (\sin v + \cos v)$,यानी $\frac{dv}{1 - (\sin v + \cos v)} = dx$.
अर्ध-कोण सूत्रों $\sin v = \frac{2 \tan(v/2)}{1 + \tan^2(v/2)}$ और $\cos v = \frac{1 - \tan^2(v/2)}{1 + \tan^2(v/2)}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dv}{1 - \left(\frac{2 \tan(v/2) + 1 - \tan^2(v/2)}{1 + \tan^2(v/2)}\right)} = dx$.
हर को सरल करने पर: $\frac{(1 + \tan^2(v/2)) dv}{1 + \tan^2(v/2) - 2 \tan(v/2) - 1 + \tan^2(v/2)} = dx$.
यह $\frac{\sec^2(v/2) dv}{2 \tan^2(v/2) - 2 \tan(v/2)} = dx$ में सरल हो जाता है।
माना $u = \tan(v/2)$,तो $du = \frac{1}{2} \sec^2(v/2) dv$,इसलिए $\sec^2(v/2) dv = 2 du$.
प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{2 du}{2(u^2 - u)} = dx \Rightarrow \frac{du}{u(u-1)} = dx$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\int (\frac{1}{u-1} - \frac{1}{u}) du = \int dx$.
समाकलन करने पर: $\log|u-1| - \log|u| = x + C$.
$u = \tan(\frac{x-y}{2})$ रखने पर: $\log \left| \frac{\tan(\frac{x-y}{2}) - 1}{\tan(\frac{x-y}{2})} \right| = x + C$.

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{1}{e^x + 2e^{-x}}$।
$e^x$ और $2e^{-x}$ के लिए $AM$-$GM$ असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{e^x + 2e^{-x}}{2} \geq \sqrt{e^x \cdot 2e^{-x}} = \sqrt{2}$।
अतः,$e^x + 2e^{-x} \geq 2\sqrt{2}$।
इसलिए,$f(x) = \frac{1}{e^x + 2e^{-x}} \leq \frac{1}{2\sqrt{2}}$।
चूंकि $e^x + 2e^{-x} > 0$,इसलिए $0 < f(x) \leq \frac{1}{2\sqrt{2}}$।
अतः,कारण $(R)$ सत्य है।
चूंकि $\frac{1}{2\sqrt{2}} \approx 0.3535$ और $\frac{1}{3} \approx 0.3333$,इसलिए $\frac{1}{3} < \frac{1}{2\sqrt{2}}$।
फलन के सतत होने के कारण,मध्यवर्ती मान प्रमेय (Intermediate Value Theorem) के अनुसार,किसी $c \in R$ के लिए $f(c) = \frac{1}{3}$ होगा।
अतः,अभिकथन $(A)$ सत्य है और $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।

(A) दिया गया है कि बिंदु $C$ का स्थिति सदिश $\vec{OC} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$ है।
मान लीजिए $D$,$OA$ पर एक ऐसा बिंदु है कि $\vec{OD} = \frac{1}{2}\vec{a}$ है। चूँकि $0 < \frac{1}{2} < 1$,इसलिए $D$,रेखाखंड $OA$ पर स्थित है।
मान लीजिए $E$,$OB$ पर एक ऐसा बिंदु है कि $\vec{OE} = \frac{1}{3}\vec{b}$ है। चूँकि $0 < \frac{1}{3} < 1$,इसलिए $E$,रेखाखंड $OB$ पर स्थित है।
सदिश योग के समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार,$\vec{OC} = \vec{OD} + \vec{OE}$ समांतर चतुर्भुज $ODCE$ के विकर्ण को दर्शाता है।
चूँकि $D$,$OA$ पर स्थित है और $E$,$OB$ पर स्थित है,इसलिए पूरा समांतर चतुर्भुज $ODCE$,त्रिभुज $OAB$ के भीतर स्थित है।
अतः,बिंदु $C$,$\triangle OAB$ के अंदर स्थित है।

(B) दिए गए स्थिति सदिश $\overrightarrow{OP} = \hat{i}+2 \hat{j}-7 \hat{k}$ और $\overrightarrow{OQ} = 5 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,हम सदिश $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP}$ ज्ञात करते हैं।
$\overrightarrow{PQ} = (5 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}) - (\hat{i}+2 \hat{j}-7 \hat{k}) = 4 \hat{i}-5 \hat{j}+11 \hat{k}$.
$z$-अक्ष का दिशा सदिश $\hat{k} = 0 \hat{i} + 0 \hat{j} + 1 \hat{k}$ है।
माना $\theta$,$\overrightarrow{PQ}$ और $z$-अक्ष के बीच का कोण है। कोण का कोसाइन $\cos \theta = \frac{\overrightarrow{PQ} \cdot \hat{k}}{|\overrightarrow{PQ}| |\hat{k}|}$ द्वारा दिया जाता है।
डॉट प्रोडक्ट की गणना करने पर: $\overrightarrow{PQ} \cdot \hat{k} = (4)(0) + (-5)(0) + (11)(1) = 11$.
$\overrightarrow{PQ}$ के परिमाण की गणना करने पर: $|\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{4^2 + (-5)^2 + 11^2} = \sqrt{16 + 25 + 121} = \sqrt{162}$.
चूंकि $|\hat{k}| = 1$,इसलिए $\cos \theta = \frac{11}{\sqrt{162} \times 1} = \frac{11}{\sqrt{162}}$.

(B) दो सदिश $\vec{u} = x_1 \vec{a} + y_1 \vec{b}$ और $\vec{v} = x_2 \vec{a} + y_2 \vec{b}$ संरेख होते हैं यदि और केवल यदि उनके गुणांक समानुपाती हों,अर्थात $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$,जहाँ $\vec{a}$ और $\vec{b}$ असंरेख हैं।
दिए गए सदिश $(\lambda-1) \vec{a} + 2 \vec{b}$ और $3 \vec{a} + \lambda \vec{b}$ हैं।
$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के गुणांकों के अनुपात की तुलना करने पर:
$\frac{\lambda-1}{3} = \frac{2}{\lambda}$
$\lambda(\lambda-1) = 6$
$\lambda^2 - \lambda - 6 = 0$
$(\lambda - 3)(\lambda + 2) = 0$
अतः,$\lambda$ के संभावित मान $\lambda = 3$ और $\lambda = -2$ हैं।
इसलिए,$\lambda$ के सभी संभावित मानों का समुच्चय $\{-2, 3\}$ है।