TS EAMCET 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया गया समीकरण: $z\bar{z}^3 + \bar{z}z^3 = 350$
$z\bar{z}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$z\bar{z}(\bar{z}^2 + z^2) = 350$
चूँकि $z\bar{z} = |z|^2 = x^2 + y^2$,हमारे पास है:
$|z|^2((x - iy)^2 + (x + iy)^2) = 350$
वर्गों का विस्तार करने पर:
$|z|^2(x^2 - y^2 - 2xyi + x^2 - y^2 + 2xyi) = 350$
$|z|^2(2x^2 - 2y^2) = 350$
$2|z|^2(x^2 - y^2) = 350$
$|z|^2(x^2 - y^2) = 175$
चूँकि $|z|^2 = x^2 + y^2$,हमारे पास $(x^2 + y^2)(x^2 - y^2) = 175$ है।
$x^4 - y^4 = 175$
$x$ और $y$ के लिए पूर्णांक मानों की जाँच करने पर:
यदि $x = 4, y = 3$ है,तो $4^4 - 3^4 = 256 - 81 = 175$
अतः,$|z|^2 = x^2 + y^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$
इसलिए,$|z| = \sqrt{25} = 5$.

(C) हमारे पास $(1+i)^2 = 1+i^2+2i = 1-1+2i = 2i$ है।
इसी प्रकार,$(1-i)^2 = 1+i^2-2i = 1-1-2i = -2i$ है।
अब,$(1+i)^{10} = ((1+i)^2)^5 = (2i)^5 = 2^5 \times i^5 = 32i$ है।
और $(1-i)^{10} = ((1-i)^2)^5 = (-2i)^5 = (-2)^5 \times i^5 = -32i$ है।
अतः,$(1+i)^{10} + (1-i)^{10} = 32i + (-32i) = 0$ है।

(C) दिया गया है $x_n = \cos \frac{\pi}{2^n} + i \sin \frac{\pi}{2^n} = e^{i \frac{\pi}{2^n}}$.
हमें गुणनफल $P = \prod_{n=1}^{\infty} x_n$ ज्ञात करना है।
$P = \prod_{n=1}^{\infty} e^{i \frac{\pi}{2^n}} = e^{i \pi \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}}$.
गुणोत्तर श्रेणी का योग $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} = \frac{1/2}{1 - 1/2} = 1$ है।
अतः,$P = e^{i \pi (1)} = e^{i \pi}$.
यूलर के सूत्र का उपयोग करते हुए,$e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi = -1 + 0i = -1$.

(C) माना $z = \frac{1+\sin \frac{2 \pi}{9}+i \cos \frac{2 \pi}{9}}{1+\sin \frac{2 \pi}{9}-i \cos \frac{2 \pi}{9}}$.
$\sin \theta = \cos(\frac{\pi}{2} - \theta)$ और $\cos \theta = \sin(\frac{\pi}{2} - \theta)$ का उपयोग करने पर,$\frac{\pi}{2} - \frac{2 \pi}{9} = \frac{5 \pi}{18}$ प्राप्त होता है।
अतः,$z = \frac{1+\cos \frac{5 \pi}{18}+i \sin \frac{5 \pi}{18}}{1+\cos \frac{5 \pi}{18}-i \sin \frac{5 \pi}{18}}$.
अर्ध-कोण सूत्रों $1+\cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}$ और $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$z = \frac{2 \cos^2 \frac{5 \pi}{36} + i 2 \sin \frac{5 \pi}{36} \cos \frac{5 \pi}{36}}{2 \cos^2 \frac{5 \pi}{36} - i 2 \sin \frac{5 \pi}{36} \cos \frac{5 \pi}{36}} = \frac{\cos \frac{5 \pi}{36} + i \sin \frac{5 \pi}{36}}{\cos \frac{5 \pi}{36} - i \sin \frac{5 \pi}{36}} = \frac{e^{i 5 \pi / 36}}{e^{-i 5 \pi / 36}} = e^{i 5 \pi / 18}$.
चूंकि $z^n = 1$ दिया गया है,$(e^{i 5 \pi / 18})^n = e^{i 5 n \pi / 18} = 1$.
इसका अर्थ है कि $\frac{5 n \pi}{18} = 2 k \pi$ किसी पूर्णांक $k$ के लिए।
$n = \frac{36 k}{5}$.
$n$ का न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक मान प्राप्त करने के लिए,$k=5$ रखने पर,$n = 36$ प्राप्त होता है।

(C) माना $Z = (\sqrt{3} - i)^{\frac{1}{6}}$,अतः $Z^6 = \sqrt{3} - i$.
$\sqrt{3} - i$ को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करने पर:
$Z^6 = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - i \frac{1}{2} \right) = 2 \left( \cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6}) \right) = 2 \operatorname{cis}(-\frac{\pi}{6})$.
व्यापक रूप का उपयोग करने पर,$Z^6 = 2 \operatorname{cis}(2K\pi - \frac{\pi}{6})$ जहाँ $K = 0, 1, 2, 3, 4, 5$.
$6^{th}$ मूल लेने पर,$Z = 2^{\frac{1}{6}} \operatorname{cis} \left( \frac{2K\pi - \frac{\pi}{6}}{6} \right) = 2^{\frac{1}{6}} \operatorname{cis} \left( \frac{K\pi}{3} - \frac{\pi}{36} \right)$.
$K = 5$ के लिए:
$Z = 2^{\frac{1}{6}} \operatorname{cis} \left( \frac{5\pi}{3} - \frac{\pi}{36} \right) = 2^{\frac{1}{6}} \operatorname{cis} \left( \frac{60\pi - \pi}{36} \right) = 2^{\frac{1}{6}} \operatorname{cis} \left( \frac{59\pi}{36} \right)$.

(D) माना $Z = (\sqrt{3}-i)^{\frac{2}{5}}$.
सबसे पहले,$\sqrt{3}-i$ को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करें: $\sqrt{3}-i = 2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6}))$.
तब,$Z = [2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6}))]^{\frac{2}{5}} = 2^{\frac{2}{5}}(\cos(-\frac{\pi}{15}) + i \sin(-\frac{\pi}{15}))$.
विकल्पों की जाँच करने पर,$2^{-\frac{3}{5}}(1+i\sqrt{3}) = 2^{-\frac{3}{5}} \cdot 2(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2^{\frac{2}{5}}(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})$ प्राप्त होता है।
यह व्यंजक का मुख्य मान है।

(B) माना $z = \frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}-i}$ है। अंश और हर को $\sqrt{3}+i$ से गुणा करने पर,हमें $z = \frac{(\sqrt{3}+i)^2}{3+1} = \frac{3-1+2i\sqrt{3}}{4} = \frac{2+2i\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = \operatorname{cis}\left(\frac{\pi}{3}\right)$ प्राप्त होता है।
अतः दिया गया व्यंजक $z^4 + (\bar{z})^4 = \operatorname{cis}\left(\frac{4\pi}{3}\right) + \operatorname{cis}\left(-\frac{4\pi}{3}\right) = 2 \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) = 2 \cos\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right) = -2 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -2 \times \frac{1}{2} = -1$ है।
इस प्रकार,$r \operatorname{cis} \theta = -1 = 1 \cdot \operatorname{cis}(\pi)$ है।
हमें $\sqrt{r \operatorname{cis} \theta} = \sqrt{-1} = \sqrt{\operatorname{cis}(\pi)}$ ज्ञात करना है।
$\operatorname{cis}(\pi)$ के वर्गमूल $k=0, 1$ के लिए $\operatorname{cis}\left(\frac{\pi + 2k\pi}{2}\right)$ हैं।
$k=0$ के लिए,हमें $\operatorname{cis}\left(\frac{\pi}{2}\right) = i$ प्राप्त होता है।
$k=1$ के लिए,हमें $\operatorname{cis}\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -i$ प्राप्त होता है।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$\operatorname{cis}\left(\frac{3\pi}{2}\right)$ सही उत्तर है।

(A) माना $z_1 = 1 + \sqrt{3} i = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}) = 2e^{i\pi/3}$ है।
अतः $z_1^{2022} = 2^{2022} e^{i(2022\pi/3)} = 2^{2022} e^{i(674\pi)} = 2^{2022} \times 1 = 2^{2022}$ है।
माना $z_2 = \sqrt{3} - i = 2(\cos \frac{\pi}{6} - i \sin \frac{\pi}{6}) = 2e^{-i\pi/6}$ है।
अतः $z_2^{2022} = 2^{2022} e^{-i(2022\pi/6)} = 2^{2022} e^{-i(337\pi)} = 2^{2022} \times (-1) = -2^{2022}$ है।
इसलिए,$z_1^{2022} - z_2^{2022} = 2^{2022} - (-2^{2022}) = 2^{2022} + 2^{2022} = 2 \times 2^{2022} = 2^{2023}$ है।

(B) दिया गया है $x=a+b$,$y=a \alpha+b \beta$,$z=a \beta+b \alpha$ जहाँ $\alpha=\omega$ और $\beta=\omega^2$ इकाई के सम्मिश्र घनमूल हैं।
चूँकि $1+\omega+\omega^2=0$,हमारे पास $x+y+z = (a+b) + (a\omega+b\omega^2) + (a\omega^2+b\omega) = a(1+\omega+\omega^2) + b(1+\omega+\omega^2) = 0$ है।
हम जानते हैं कि यदि $x+y+z=0$,तो $x^3+y^3+z^3=3xyz$ होता है।
$3xyz = 3(a+b)(a\omega+b\omega^2)(a\omega^2+b\omega)$
$= 3(a+b)(a^2\omega^3 + ab\omega^2 + ab\omega^4 + b^2\omega^3)$
$= 3(a+b)(a^2 + ab\omega^2 + ab\omega + b^2)$
$= 3(a+b)(a^2 + ab(\omega^2+\omega) + b^2)$
चूँकि $\omega^2+\omega = -1$,
$= 3(a+b)(a^2 - ab + b^2) = 3(a^3+b^3)$.

(D) प्रतिबंध $\operatorname{Arg}\left(\frac{z - z_1}{z - z_2}\right) = \frac{\pi}{2}$ एक अर्धवृत्ताकार चाप को दर्शाता है जो $z_1$ और $z_2$ को जोड़ता है। \\ यहाँ,$z_1 = 3$ और $z_2 = -2i$ है। \\ बिंदुपथ $(3, 0)$ और $(0, -2)$ से गुजरने वाला एक अर्धवृत्त है। \\ यह जांचने के लिए कि क्या मूल बिंदु $(0, 0)$ इस चाप पर स्थित है,हम $z = 0$ प्रतिस्थापित करते हैं: \\ $\operatorname{Arg}\left(\frac{0 - 3}{0 + 2i}\right) = \operatorname{Arg}\left(\frac{-3}{2i}\right) = \operatorname{Arg}\left(\frac{3i}{2}\right) = \frac{\pi}{2}$. \\ चूंकि $z = 0$ पर शर्त पूरी होती है,इसलिए बिंदुपथ मूल बिंदु को शामिल करने वाला एक अर्धवृत्ताकार चाप है।

(C) दिया गया है $z=x+iy$. समीकरण $|z-2|+|z-2i|=4$ है।
$z=x+iy$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $|(x-2)+iy|+|x+(y-2)i|=4$ प्राप्त होता है।
यह $\sqrt{(x-2)^2+y^2} + \sqrt{x^2+(y-2)^2} = 4$ को दर्शाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x-2)^2+y^2 = 16 + x^2+(y-2)^2 - 8\sqrt{x^2+(y-2)^2}$.
सरल करने पर: $x^2-4x+4+y^2 = 16+x^2+y^2-4y+4 - 8\sqrt{x^2+(y-2)^2}$.
$-4x+4y-16 = -8\sqrt{x^2+(y-2)^2}$.
$-4$ से विभाजित करने पर: $x-y+4 = 2\sqrt{x^2+(y-2)^2}$.
पुनः वर्ग करने पर: $(x-y+4)^2 = 4(x^2+y^2-4y+4)$.
$x^2+y^2+16-2xy+8x-8y = 4x^2+4y^2-16y+16$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $3x^2+3y^2+2xy-8x-8y=0$.

(A) दिया गया है $\left|\frac{z-i}{z+i}\right|=2$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\left|\frac{z-i}{z+i}\right|^2=4$ प्राप्त होता है।
$z=x+iy$ प्रतिस्थापित करने पर,$\left|\frac{x+i(y-1)}{x+i(y+1)}\right|^2=4$ प्राप्त होता है।
$\frac{x^2+(y-1)^2}{x^2+(y+1)^2}=4$.
$x^2+y^2-2y+1=4(x^2+y^2+2y+1)$.
$x^2+y^2-2y+1=4x^2+4y^2+8y+4$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $3x^2+3y^2+10y+3=0$.

(C) माना $z = x + iy$.
व्यंजक में $z$ का मान रखने पर:
$\frac{2z+1}{iz+1} = \frac{2(x+iy)+1}{i(x+iy)+1} = \frac{(2x+1) + i(2y)}{(1-y) + ix}$.
हर के संयुग्मी से गुणा करने पर:
$\frac{[(2x+1) + i(2y)][(1-y) - ix]}{(1-y)^2 + x^2} = \frac{(2x+1)(1-y) + 2xy + i[2y(1-y) - x(2x+1)]}{(1-y)^2 + x^2}$.
काल्पनिक भाग $-2$ दिया गया है:
$\frac{2y - 2y^2 - 2x^2 - x}{(1-y)^2 + x^2} = -2$.
$2y - 2y^2 - 2x^2 - x = -2(1 - 2y + y^2 + x^2)$.
$2y - 2y^2 - 2x^2 - x = -2 + 4y - 2y^2 - 2x^2$.
समीकरण को सरल करने पर:
$-x - 2y = -2$,या $x + 2y - 2 = 0$.
यह एक सीधी रेखा का समीकरण है।

(B) एक संख्या $4$ से विभाज्य होती है यदि उसके अंतिम दो अंकों से बनी संख्या $4$ से विभाज्य हो। उपलब्ध अंक ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ हैं।
$4$ से विभाज्य दो अंकों के संभावित जोड़े (दहाई,इकाई): $12, 16, 24, 32, 36, 52, 56, 64, 72, 76$ हैं।
ऐसे कुल $10$ जोड़े हैं।
प्रत्येक जोड़े के लिए,हमें शेष $5$ अंकों का उपयोग करके शेष $2$ स्थानों (हजार और सैकड़ा) को भरना है।
शेष $2$ स्थानों को भरने के तरीकों की संख्या $P(5, 2) = 5 \times 4 = 20$ है।
कुल संख्या $= 10 \times 20 = 200$।

(D) चार अंकों की संख्या में चार स्थान होते हैं: हजार,सैकड़ा,दहाई और इकाई।
$1$. हजार के स्थान पर $0$ नहीं आ सकता है। अतः,इसे $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ अंकों में से किसी से भी भरा जा सकता है। कुल $5$ विकल्प हैं।
$2$. सैकड़े के स्थान को शेष $5$ अंकों में से किसी से भी भरा जा सकता है ($0$ सहित,हजार के स्थान पर उपयोग किए गए अंक को छोड़कर)। कुल $5$ विकल्प हैं।
$3$. दहाई के स्थान को शेष $4$ अंकों में से किसी से भी भरा जा सकता है। कुल $4$ विकल्प हैं।
$4$. इकाई के स्थान को शेष $3$ अंकों में से किसी से भी भरा जा सकता है। कुल $3$ विकल्प हैं।
चार अंकों की कुल संख्या $= 5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300$.

(D) "$SUNITHA$" शब्द में $7$ अक्षर हैं: $S, U, N, I, T, H, A$।
स्वर $U, I, A$ ($3$ स्वर) हैं।
व्यंजन $S, N, T, H$ ($4$ व्यंजन) हैं।
कुल $7$ स्थान हैं। स्वरों को $1^{st}$,$4^{th}$ (मध्य) और $7^{th}$ (अंतिम) स्थानों पर होना चाहिए।
इन $3$ स्थानों पर $3$ स्वरों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ है।
शेष $4$ स्थानों पर $4$ व्यंजनों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ है।
कुल व्यवस्थाओं की संख्या = $3! \times 4! = 6 \times 24 = 144$।

(C) '$MOTHER$' शब्द के अक्षर वर्णमाला क्रम में $E, H, M, O, R, T$ हैं।
हमें '$THROEM$' का रैंक ज्ञात करना है।
$1$. $E$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$
$2$. $H$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$
$3$. $M$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$
$4$. $O$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$
$5$. $R$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$
$6$. $TE$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$
$7$. $THE$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$
$8$. $THM$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$
$9$. $THO$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$
$10$. $THRE$ से शुरू होने वाले शब्द: $2! = 2$
$11$. $THRM$ से शुरू होने वाले शब्द: $2! = 2$
$12$. अगला शब्द $THROEM$ है: $1$
कुल रैंक = $120 + 120 + 120 + 120 + 120 + 24 + 6 + 6 + 6 + 2 + 2 + 1 = 647$.

(A) माना $3$-अंकीय संख्या $abc$ है,जहाँ $a$ सैकड़े का अंक,$b$ दहाई का अंक और $c$ इकाई का अंक है।
दी गई शर्त $a + b + c = 10$ है,जहाँ $1 \leq a \leq 9$ और $0 \leq b, c \leq 9$ है।
माना $a' = a - 1$,तो $a = a' + 1$ है। समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(a' + 1) + b + c = 10 \Rightarrow a' + b + c = 9$,जहाँ $a', b, c \geq 0$ है।
अऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $^{n+r-1}C_{r-1}$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $n=9$ और $r=3$ है:
$^{9+3-1}C_{3-1} = ^{11}C_2 = \frac{11 \times 10}{2} = 55$ है।
हालाँकि,हमें उन स्थितियों को घटाना होगा जहाँ कोई भी अंक $9$ से अधिक हो।
चूँकि $a = a' + 1$ है,यदि $a' = 9$ है,तो $a = 10$ होगा,जो एक अंक के लिए संभव नहीं है।
यह हल $(a', b, c) = (9, 0, 0)$ के अनुरूप है,जो $a = 10, b = 0, c = 0$ देता है।
अतः,हम इस $1$ अमान्य स्थिति को घटाते हैं: $55 - 1 = 54$ है।
इसलिए,ऐसी $3$-अंकीय संख्याओं की कुल संख्या $54$ है।

(C) दिए गए अंकों का समुच्चय $S = \{1, 2, 3, 5, 6, 8\}$ है। कुल $6$ अंक हैं। हमें $5$ भिन्न अंकों का उपयोग करके $5$-अंकीय संख्या बनानी है।
सभी $6$ अंकों का योग $1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 8 = 25$ है।
$5$-अंकीय संख्या बनाने के लिए,हमें एक अंक को छोड़ना होगा। मान लीजिए छोड़ा गया अंक $x$ है। शेष $5$ अंकों का योग $25 - x$ होगा।
संख्या के $3$ से विभाज्य होने के लिए,उसके अंकों का योग $3$ से विभाज्य होना चाहिए।
यदि $x = 1$ है,तो योग $= 24$ ($3$ से विभाज्य)।
अतः,$5$ अंकों का एकमात्र समुच्चय जिसका योग $3$ से विभाज्य है,वह $\{2, 3, 5, 6, 8\}$ है।
इन $5$ अंकों का उपयोग करके बनने वाली $5$-अंकीय संख्याओं की कुल संख्या $5! = 120$ है।
संख्या के $6$ से विभाज्य होने के लिए,उसे सम होना चाहिए और $3$ से विभाज्य होना चाहिए।
चूँकि ये सभी संख्याएँ $3$ से विभाज्य हैं,हमें केवल उन संख्याओं को गिनना है जो विषम हैं (ताकि वे $6$ से विभाज्य न हों)।
समुच्चय $\{2, 3, 5, 6, 8\}$ में विषम अंक $\{3, 5\}$ हैं।
यदि अंतिम अंक $3$ है,तो शेष $4$ स्थानों को $4! = 24$ तरीकों से भरा जा सकता है।
यदि अंतिम अंक $5$ है,तो शेष $4$ स्थानों को $4! = 24$ तरीकों से भरा जा सकता है।
$3$ से विभाज्य लेकिन $6$ से विभाज्य न होने वाली कुल संख्याएँ $= 24 + 24 = 48$।

(D) छात्र को $13$ में से $10$ प्रश्नों का चयन करना है। पहले $5$ प्रश्न एक समूह में हैं और शेष $8$ प्रश्न दूसरे समूह में हैं।
उसे पहले $5$ प्रश्नों में से कम से कम $4$ प्रश्नों के उत्तर देने होंगे।
स्थिति $1$: वह पहले $5$ में से $4$ प्रश्न और शेष $8$ में से $6$ प्रश्न चुनता है।
तरीकों की संख्या = ${}^5C_4 \times {}^8C_6 = 5 \times 28 = 140$.
स्थिति $2$: वह पहले $5$ में से $5$ प्रश्न और शेष $8$ में से $5$ प्रश्न चुनता है।
तरीकों की संख्या = ${}^5C_5 \times {}^8C_5 = 1 \times 56 = 56$.
कुल तरीकों की संख्या = $140 + 56 = 196$.

(C) कुल बिंदु = $10$। संरेख बिंदु = $4$। असंरेख बिंदु = $10 - 4 = 6$।
कम से कम एक शीर्ष $4$ संरेख बिंदुओं में से हो,ऐसे त्रिभुज बनाने के लिए:
स्थिति $1$: $4$ संरेख बिंदुओं में से $1$ बिंदु और $6$ असंरेख बिंदुओं में से $2$ बिंदु चुनें।
तरीकों की संख्या = $\binom{4}{1} \times \binom{6}{2} = 4 \times 15 = 60$।
स्थिति $2$: $4$ संरेख बिंदुओं में से $2$ बिंदु और $6$ असंरेख बिंदुओं में से $1$ बिंदु चुनें।
तरीकों की संख्या = $\binom{4}{2} \times \binom{6}{1} = 6 \times 6 = 36$।
नोट: हम $4$ संरेख बिंदुओं में से $3$ बिंदु नहीं चुन सकते क्योंकि वे संरेख हैं और त्रिभुज नहीं बनाएंगे।
कुल त्रिभुजों की संख्या = $60 + 36 = 96$।

(B) $n$ शीर्षों वाले बहुभुज के विकर्णों की संख्या $\frac{n(n-1)}{2} - n = 35$ द्वारा दी जाती है।
$n$ के लिए हल करने पर:
$n^2 - n - 2n = 70$
$n^2 - 3n - 70 = 0$
$(n - 10)(n + 7) = 0$
चूंकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $n = 10$ है।
$AB$ को एक भुजा के रूप में लेकर त्रिभुज बनाने के लिए,हमें $A$,$B$ और शेष $n - 2$ शीर्षों में से एक अन्य शीर्ष चुनना होगा।
शेष शीर्षों की संख्या $= 10 - 2 = 8$ है।
अतः,ऐसे त्रिभुजों की संख्या $8$ है।

(A) माना तीन खंड $S_1, S_2, S_3$ हैं,जिनमें प्रत्येक में $4$ प्रश्न हैं। उम्मीदवार को $5$ प्रश्न चुनने हैं ताकि प्रत्येक खंड से कम से कम एक प्रश्न चुना जाए। संभावित वितरण $(1, 1, 3)$ या $(1, 2, 2)$ हैं।
स्थिति $1$: वितरण $(1, 1, 3)$।
खंड चुनने के तरीके $= \frac{3!}{2!} = 3$.
प्रश्न चुनने के तरीके $= ^4C_1 \times ^4C_1 \times ^4C_3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$.
कुल तरीके $= 3 \times 64 = 192$.
स्थिति $2$: वितरण $(1, 2, 2)$।
खंड चुनने के तरीके $= \frac{3!}{2!} = 3$.
प्रश्न चुनने के तरीके $= ^4C_1 \times ^4C_2 \times ^4C_2 = 4 \times 6 \times 6 = 144$.
कुल तरीके $= 3 \times 144 = 432$.
कुल तरीके $= 192 + 432 = 624$.

(B) हमें $\{0, 3, 6, 7, 8, 9\}$ अंकों का उपयोग करके $6,00,000$ से बड़ी $6$-अंकीय संख्याएँ बनानी हैं। संख्या के विषम होने के लिए,अंतिम अंक $3, 7,$ या $9$ होना चाहिए ($3$ विकल्प)।
संख्या के $6,00,000$ से बड़ा होने के लिए,पहला अंक $6, 7, 8,$ या $9$ होना चाहिए।
स्थिति $1$: पहला अंक $6$ या $8$ है ($2$ विकल्प)।
अंतिम अंक $3, 7,$ या $9$ है ($3$ विकल्प)।
शेष $4$ स्थानों को शेष $4$ अंकों द्वारा $4! = 24$ तरीकों से भरा जा सकता है।
कुल तरीके $= 2 \times 24 \times 3 = 144$।
स्थिति $2$: पहला अंक $7$ या $9$ है ($2$ विकल्प)।
अंतिम अंक शेष $2$ विषम अंकों में से एक होना चाहिए ($2$ विकल्प)।
शेष $4$ स्थानों को शेष $4$ अंकों द्वारा $4! = 24$ तरीकों से भरा जा सकता है।
कुल तरीके $= 2 \times 24 \times 2 = 96$।
विषम संख्याओं की कुल संख्या $= 144 + 96 = 240$।

(D) मान लीजिए $n$ लड़कों का समूह $B$ है और $n$ लड़कियों का समूह $G$ है।
चूंकि सभी लड़कों को एक साथ और सभी लड़कियों को एक साथ होना चाहिए,हम लड़कों के समूह को एक इकाई और लड़कियों के समूह को एक इकाई मानते हैं।
इन दो इकाइयों को व्यवस्थित करने के $2!$ तरीके हैं (या तो $BG$ या $GB$)।
लड़कों के समूह के भीतर,$n$ लड़कों को $n!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
लड़कियों के समूह के भीतर,$n$ लड़कियों को $n!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $2! \times n! \times n! = 2(n!)^2$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,कोई भी विकल्प $A, B,$ या $C$ इस मान से मेल नहीं खाता है।

(D) हमें $7$ भारतीयों $(I)$,$6$ अमेरिकियों $(A)$,$5$ रूसियों $(R)$ और $4$ ऑस्ट्रेलियाई $(AU)$ लोगों में से $5$ सदस्यों की समिति बनानी है ताकि प्रत्येक देश का कम से कम एक प्रतिनिधि हो।
चूंकि कुल सदस्य $5$ हैं और $4$ देश हैं,इसलिए एक देश के $2$ सदस्य होंगे और बाकी तीन देशों के $1-1$ सदस्य होंगे।
संभावित वितरण:
$1$. $2I, 1A, 1R, 1AU: {^7C_2} \times {^6C_1} \times {^5C_1} \times {^4C_1} = 2520$
$2$. $1I, 2A, 1R, 1AU: {^7C_1} \times {^6C_2} \times {^5C_1} \times {^4C_1} = 2100$
$3$. $1I, 1A, 2R, 1AU: {^7C_1} \times {^6C_1} \times {^5C_2} \times {^4C_1} = 1680$
$4$. $1I, 1A, 1R, 2AU: {^7C_1} \times {^6C_1} \times {^5C_1} \times {^4C_2} = 1260$
कुल तरीके $= 2520 + 2100 + 1680 + 1260 = 7560$.

(D) '$INDEED$' शब्द में अक्षर $D, D, E, E, I, N$ हैं। कुल व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{6!}{2!2!} = 180$ है।
'$NIDDEE$' का रैंक ज्ञात करने के लिए,हम शब्दों को शब्दकोश के क्रम में सूचीबद्ध करते हैं:
$1$. $D$ से शुरू होने वाले शब्द: $\frac{5!}{2!} = 60$
$2$. $E$ से शुरू होने वाले शब्द: $\frac{5!}{2!} = 60$
$3$. $I$ से शुरू होने वाले शब्द: $\frac{5!}{2!2!} = 30$
$4$. $ND$ से शुरू होने वाले शब्द: $\frac{4!}{2!} = 12$
$5$. $NE$ से शुरू होने वाले शब्द: $\frac{4!}{2!} = 12$
$6$. अगला शब्द '$NIDDEE$' है,जो $1$ला शब्द है।
कुल रैंक = $60 + 60 + 30 + 12 + 12 + 1 = 175$.

(B) कुल व्यक्ति $= 6 \text{ पुरुष} + 4 \text{ महिलाएँ} = 10 \text{ व्यक्ति}$.
सबसे पहले,$10$ व्यक्तियों को एक गोलाकार मेज के चारों ओर बैठाने के कुल तरीके $(10-1)! = 9!$ हैं।
अब,उन तरीकों की गणना करें जिनमें एक विशेष पुरुष और एक विशेष महिला एक-दूसरे के बगल में बैठते हैं।
विशेष पुरुष और महिला को एक इकाई के रूप में मानें। अब हमारे पास गोलाकार मेज के चारों ओर व्यवस्थित करने के लिए $9$ इकाइयाँ हैं,जिन्हें $(9-1)! = 8!$ तरीकों से किया जा सकता है।
इकाई के भीतर,पुरुष और महिला को $2! = 2$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,उनके साथ बैठने के तरीके $2 \times 8!$ हैं।
उनके कभी भी बगल में न बैठने के तरीके कुल तरीकों में से साथ बैठने के तरीकों को घटाने पर प्राप्त होते हैं:
$9! - (2 \times 8!) = (9 \times 8!) - (2 \times 8!) = (9 - 2) \times 8! = 7 \times 8!$.

(A) $12600$ का अभाज्य गुणनखंडन $12600 = 2^3 \times 3^2 \times 5^2 \times 7^1$ है।
$n_1$ के लिए ($3$ के गुणज वाले भाजक):
एक भाजक $3$ का गुणज तब होता है जब उसमें कम से कम एक $3$ का गुणनखंड हो।
$2$ के घातांक के लिए विकल्पों की संख्या $(3+1) = 4$ है।
$3$ के घातांक के लिए विकल्पों की संख्या $2$ है ($1$ या $2$)।
$5$ के घातांक के लिए विकल्पों की संख्या $(2+1) = 3$ है।
$7$ के घातांक के लिए विकल्पों की संख्या $(1+1) = 2$ है।
अतः,$n_1 = 4 \times 2 \times 3 \times 2 = 48$।
$n_2$ के लिए ($14$ के गुणज वाले भाजक):
एक भाजक $14 = 2^1 \times 7^1$ का गुणज तब होता है जब उसमें कम से कम एक $2$ और एक $7$ का गुणनखंड हो।
$2$ के घातांक के लिए विकल्पों की संख्या $3$ है ($1, 2,$ या $3$)।
$3$ के घातांक के लिए विकल्पों की संख्या $(2+1) = 3$ है।
$5$ के घातांक के लिए विकल्पों की संख्या $(2+1) = 3$ है।
$7$ के घातांक के लिए विकल्पों की संख्या $1$ है $(1)$।
अतः,$n_2 = 3 \times 3 \times 3 \times 1 = 27$।
इसलिए,$n_1 + n_2 = 48 + 27 = 75$।

(A) दी गई अभिव्यक्ति: $(1+x)^{101}(1-x+x^2)^{100}$
$= (1+x) \cdot (1+x)^{100} \cdot (1-x+x^2)^{100}$
$= (1+x) \cdot [(1+x)(1-x+x^2)]^{100}$
$= (1+x)(1+x^3)^{100}$
$= (1+x^3)^{100} + x(1+x^3)^{100}$
हमें $x^{50}$ का गुणांक ज्ञात करना है।
$(1+x^3)^{100}$ के विस्तार में,$x$ की घातें $3k$ के रूप में होती हैं,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
चूँकि $50$,$3$ का गुणज नहीं है,इसलिए $(1+x^3)^{100}$ में $x^{50}$ का गुणांक $0$ है।
इसी प्रकार,$x(1+x^3)^{100}$ के लिए,हमें $(1+x^3)^{100}$ में $x^{49}$ का गुणांक ज्ञात करना होगा।
चूँकि $49$,$3$ का गुणज नहीं है,इसलिए $(1+x^3)^{100}$ में $x^{49}$ का गुणांक $0$ है।
अतः,$x^{50}$ का गुणांक $0 + 0 = 0$ है।

(C) $(\sqrt[4]{5}+\sqrt[5]{4})^{100}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{100}C_r (5^{1/4})^{100-r} (4^{1/5})^r$ है।
यह $T_{r+1} = {}^{100}C_r (5)^{\frac{100-r}{4}} (2^2)^{\frac{r}{5}} = {}^{100}C_r (5)^{\frac{100-r}{4}} (2)^{\frac{2r}{5}}$ में सरल होता है।
पद के परिमेय होने के लिए,$5$ और $2$ के घातांक पूर्णांक होने चाहिए।
$\frac{100-r}{4}$ के पूर्णांक होने के लिए,$r$ को $4$ का गुणज होना चाहिए। चूंकि $0 \le r \le 100$,$r \in \{0, 4, 8, \dots, 100\}$।
$\frac{2r}{5}$ के पूर्णांक होने के लिए,$r$ को $5$ का गुणज होना चाहिए। चूंकि $0 \le r \le 100$,$r \in \{0, 5, 10, \dots, 100\}$।
अतः,$r$ को $4$ और $5$ दोनों का गुणज होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $r$ को $\text{lcm}(4, 5) = 20$ का गुणज होना चाहिए।
$r$ के संभावित मान $0, 20, 40, 60, 80, 100$ हैं।
ऐसे $6$ मान हैं,इसलिए परिमेय पदों की संख्या $6$ है।

(C) $\left(\sqrt{x}-\frac{k}{x^2}\right)^{10}$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = {}^{10}C_r (\sqrt{x})^{10-r} \left(-\frac{k}{x^2}\right)^r$
$T_{r+1} = {}^{10}C_r (-k)^r x^{\frac{10-r}{2}-2r} = {}^{10}C_r (-k)^r x^{\frac{10-5r}{2}}$
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$x$ का घातांक $0$ होना चाहिए:
$\frac{10-5r}{2} = 0 \implies r = 2$
अतः,$T_3 = {}^{10}C_2 (-k)^2 = 405$
$45 k^2 = 405$
$k^2 = 9 \implies k = \pm 3$

(B) $(x+y+z)^n$ के विस्तार में पदों की संख्या का सूत्र $\frac{(n+1)(n+2)}{2}$ या $^{n+k-1}C_{k-1}$ है,जहाँ $n=5$ और $k=3$ है।
पदों की कुल संख्या $p = {}^{5+3-1}C_{3-1} = {}^{7}C_{2} = \frac{7 \times 6}{2} = 21$.
अतः,$p = 21$.
मल्टीनोमियल प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(x-2y+3z)^5$ में $x^2 y^1 z^2$ का गुणांक $q = \frac{5!}{2!1!2!} (1)^2 (-2)^1 (3)^2$ है।
$q = \frac{120}{4} \times (-2) \times 9 = 30 \times (-18) = -540$.
इसलिए,$\frac{q}{p} = \frac{-540}{21} = -\frac{180}{7}$.

(D) दिया गया है $\sinh x = -\frac{4}{3}$.
हम जानते हैं कि $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$,जिसका अर्थ है $\cosh^2 x = 1 + \sinh^2 x$.
$\cosh^2 x = 1 + (-\frac{4}{3})^2 = 1 + \frac{16}{9} = \frac{25}{9}$.
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $\cosh x \geq 1$ होता है,इसलिए हम धनात्मक मान लेते हैं: $\cosh x = \frac{5}{3}$.
अब,$\sinh 2x + \cosh 2x = (2 \sinh x \cosh x) + (\cosh^2 x + \sinh^2 x)$.
मान रखने पर: $2(-\frac{4}{3})(\frac{5}{3}) + (\frac{25}{9} + \frac{16}{9})$.
$= -\frac{40}{9} + \frac{41}{9} = \frac{1}{9}$.

(D) दी गई अभिव्यक्ति का विस्तार करने पर $x^5$ का गुणांक $\frac{9}{8}$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई श्रेणी $3x = 1 + \frac{5}{8} + \frac{5 \times 9}{8 \times 16} + \dots$ है।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करने पर,$x=1$ प्राप्त होता है।
$x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x = (x+1)^4 - 1$।
$x=1$ रखने पर,$(1+1)^4 - 1 = 16 - 1 = 15$।
विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $1$ है।

(B) दिया गया विस्तार $(2x - 3y)^5$ है जहाँ $x = \frac{3}{2}$ और $y = \frac{2}{3}$ है।
माना $T_{r+1}$ $(r+1)$-वाँ पद है।
$T_{r+1} = \binom{5}{r} (2x)^{5-r} (-3y)^r$.
$x = \frac{3}{2}$ और $y = \frac{2}{3}$ रखने पर:
$T_{r+1} = \binom{5}{r} (3)^{5-r} (-2)^r$.
संख्यात्मक रूप से सबसे बड़ा पद ज्ञात करने के लिए,हम $|T_{r+1}| = \binom{5}{r} 3^{5-r} 2^r$ पर विचार करते हैं।
पदों की गणना:
$|T_1| = 243$,$|T_2| = 810$,$|T_3| = 1080$,$|T_4| = 720$,$|T_5| = 240$,$|T_6| = 32$.
अतः,संख्यात्मक रूप से सबसे बड़ा पद $1080$ है।

(B) व्यंजक $(1+x)(1-x)^n$ है।
$(1+x)(1-x)^n$ में $x^n$ का गुणांक,$(1-x)^n$ में $x^n$ के गुणांक और $(1-x)^n$ में $x^{n-1}$ के गुणांक का योग है।
द्विपद विस्तार $(1-x)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (-x)^k$ का उपयोग करते हुए,$x^k$ का गुणांक $\binom{n}{k}(-1)^k$ है।
अतः,$f(n) = \binom{n}{n}(-1)^n + \binom{n}{n-1}(-1)^{n-1}$.
$f(n) = 1 \cdot (-1)^n + n \cdot (-1)^{n-1}$.
$n = 2023$ के लिए:
$f(2023) = (-1)^{2023} + 2023 \cdot (-1)^{2022}$.
$f(2023) = -1 + 2023(1) = 2022$.

(B) हम जानते हैं कि $\frac{x}{(x-1)^2(x-2)} = x(x-1)^{-2}(x-2)^{-1}$.
$x^4$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,हमें $(x-1)^{-2}(x-2)^{-1}$ में $x^3$ का गुणांक ज्ञात करना होगा.
गणना करने पर,$m = -49$ और $n = 16$ प्राप्त होता है.
अतः,$\sqrt{|m+n|} = \sqrt{|-49+16|} = \sqrt{33}$.

(D) $(1-3x+2x^3)(\frac{3x^2}{2}-\frac{1}{3x})^9$ के विस्तार पर विचार करें।
$(\frac{3x^2}{2}-\frac{1}{3x})^9$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^9C_r (\frac{3}{2})^{9-r} (-\frac{1}{3})^r x^{18-3r}$ है।
$x$ से स्वतंत्र पद प्राप्त करने के लिए,हम $1$,$-3x$,और $2x^3$ के साथ गुणा करके $x^0$ प्राप्त करने वाले पदों को देखते हैं।
$1$ के लिए: $18-3r=0 \Rightarrow r=6$,पद $= {}^9C_6 (\frac{3}{2})^3 (-\frac{1}{3})^6 = \frac{7}{18}$.
$2x^3$ के लिए: $18-3r=-3 \Rightarrow r=7$,पद $= 2 \times {}^9C_7 (\frac{3}{2})^2 (-\frac{1}{3})^7 = -\frac{2}{27}$.
कुल अचर पद $= \frac{7}{18} - \frac{2}{27} = \frac{17}{54}$.

(B) हमें $3^{2023}$ को $16$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात करना है।
$3^{2023} = 3 \cdot (3^2)^{1011} = 3 \cdot (9)^{1011} = 3 \cdot (8+1)^{1011}$.
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2}x^2 + \dots + x^n$.
$3(1+8)^{1011} = 3 \left[ 1 + 1011 \cdot 8 + \binom{1011}{2} 8^2 + \dots + 8^{1011} \right]$.
चूंकि $8^2 = 64$,तीसरे पद से आगे के सभी पद $16$ से विभाज्य हैं।
$3^{2023} = 3(1 + 8088 + 16k)$ जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
$3^{2023} = 3(8089 + 16k) = 24267 + 48k$.
अब,$24267$ को $16$ से विभाजित करने पर:
$24267 = 16 \times 1516 + 11$.
अतः,शेषफल $11$ है।

(A) दिए गए आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{3x+2}{(x+1)(2x^2+3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{2x^2+3}$
अंशों की तुलना करने पर: $3x+2 = A(2x^2+3) + (x+1)(Bx+C)$
$3x+2 = 2Ax^2 + 3A + Bx^2 + Cx + Bx + C$
$3x+2 = (2A+B)x^2 + (B+C)x + (3A+C)$
गुणांकों की तुलना करने पर:
$2A+B = 0$ $(i)$
$B+C = 3$ (ii)
$3A+C = 2$ (iii)
$(i)$ से,$B = -2A$.
(ii) में प्रतिस्थापित करने पर: $-2A+C = 3$ (iv)
(iii) में से (iv) घटाने पर: $(3A+C) - (-2A+C) = 2 - 3 \implies 5A = -1 \implies A = -\frac{1}{5}$
तब $B = -2(-\frac{1}{5}) = \frac{2}{5}$
और $C = 3 - B = 3 - \frac{2}{5} = \frac{13}{5}$
अंत में,$A-B+C = -\frac{1}{5} - \frac{2}{5} + \frac{13}{5} = \frac{10}{5} = 2$

(A) $(2n+1)$ पुस्तकों में से अधिकतम $n$ पुस्तकें चुनने के तरीकों की संख्या इस प्रकार है:
${}^{2n+1}C_1 + {}^{2n+1}C_2 + \dots + {}^{2n+1}C_n = 255$ $(i)$
गुणधर्म ${}^mC_r = {}^mC_{m-r}$ का उपयोग करने पर:
${}^{2n+1}C_{2n} + {}^{2n+1}C_{2n-1} + \dots + {}^{2n+1}C_{n+1} = 255$ $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$({}^{2n+1}C_1 + {}^{2n+1}C_2 + \dots + {}^{2n+1}C_{2n}) = 510$
दोनों पक्षों में ${}^{2n+1}C_0$ और ${}^{2n+1}C_{2n+1}$ (दोनों $1$ हैं) जोड़ने पर:
${}^{2n+1}C_0 + {}^{2n+1}C_1 + \dots + {}^{2n+1}C_{2n+1} = 510 + 1 + 1 = 512$
चूंकि द्विपद गुणांकों का योग $\sum_{k=0}^{m} {}^mC_k = 2^m$ होता है,इसलिए:
$2^{2n+1} = 512 = 2^9$
घातांकों की तुलना करने पर:
$2n + 1 = 9$
$2n = 8$
$n = 4$

(C) दिया गया योग $S_{n+1} = \sum_{k=0}^{n} (3k+5) C_k$ है,जहाँ $C_k = \binom{n}{k}$ है।
$n=10$ के लिए,$S_{11} = \sum_{k=0}^{10} (3k+5) C_k$ है।
हम जानते हैं कि $\sum_{k=0}^{n} C_k = 2^n$ और $\sum_{k=0}^{n} k C_k = n 2^{n-1}$ होता है।
अतः,$S_{11} = 3 \sum_{k=0}^{10} k C_k + 5 \sum_{k=0}^{10} C_k$.
$n=10$ रखने पर: $S_{11} = 3(10 \cdot 2^9) + 5(2^{10})$.
$S_{11} = 30 \cdot 512 + 5 \cdot 1024 = 15360 + 5120 = 20480$.

(D) दिया गया व्यंजक: ${ }^{n} P_{r+1} + (r+1) { }^{n-1} P_{r} + r^2 { }^{n-1} P_{r-1} + r { }^{n-1} P_{r-1}$
$= { }^{n} P_{r+1} + (r+1) { }^{n-1} P_{r} + (r^2+r) { }^{n-1} P_{r-1}$
$= \frac{n!}{(n-r-1)!} + (r+1) \frac{(n-1)!}{(n-r-1)!} + r(r+1) \frac{(n-1)!}{(n-r)!}$
$= \frac{n!(n-r) + (r+1)(n-1)!(n-r) + r(r+1)(n-1)!}{(n-r)!}$
$= \frac{(n-1)! [n(n-r) + (r+1)(n-r) + r(r+1)]}{(n-r)!}$
$= \frac{(n-1)! [n^2 - nr + nr - r^2 + n - r + r^2 + r]}{(n-r)!}$
$= \frac{(n-1)! [n^2 + n]}{(n-r)!} = \frac{n(n+1)(n-1)!}{(n-r)!} = \frac{(n+1)!}{(n-r)!} = { }^{n+1} P_{r+1}$

(C) दिया गया द्विपद विस्तार: $(1+x)^n = C_0 + C_1 x + C_2 x^2 + \ldots + C_n x^n$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष $0$ से $1$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{0}^{1} (1+x)^n dx = \int_{0}^{1} (C_0 + C_1 x + C_2 x^2 + \ldots + C_n x^n) dx$।
बाएँ पक्ष का समाकलन करने पर:
$\left[ \frac{(1+x)^{n+1}}{n+1} \right]_{0}^{1} = \frac{(1+1)^{n+1}}{n+1} - \frac{(1+0)^{n+1}}{n+1} = \frac{2^{n+1}-1}{n+1}$।
दाएँ पक्ष का समाकलन करने पर:
$\left[ C_0 x + \frac{C_1 x^2}{2} + \frac{C_2 x^3}{3} + \ldots + \frac{C_n x^{n+1}}{n+1} \right]_{0}^{1} = C_0 + \frac{C_1}{2} + \frac{C_2}{3} + \ldots + \frac{C_n}{n+1}$।
दोनों पक्षों की तुलना करने पर:
$C_0 + \frac{C_1}{2} + \frac{C_2}{3} + \ldots + \frac{C_n}{n+1} = \frac{2^{n+1}-1}{n+1}$।

(B) दी गई श्रेणी $y = \frac{3}{4} + \frac{3 \times 5}{4 \times 8} + \frac{3 \times 5 \times 7}{4 \times 8 \times 12} + \ldots \infty$ है।
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर,$y + 1 = 1 + \frac{3}{4} + \frac{3 \times 5}{4 \times 8} + \frac{3 \times 5 \times 7}{4 \times 8 \times 12} + \ldots \infty$।
यह $(1 - x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \ldots$ के रूप में है।
यहाँ,$nx = \frac{3}{4}$ और $\frac{n(n+1)}{2!}x^2 = \frac{15}{32}$ है।
$n$ और $x$ के लिए हल करने पर,हमें $n = \frac{3}{2}$ और $x = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$y + 1 = (1 - \frac{1}{2})^{-\frac{3}{2}} = (\frac{1}{2})^{-\frac{3}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(y + 1)^2 = 2^3 = 8$।
$y^2 + 2y + 1 = 8 \Rightarrow y^2 + 2y - 7 = 0$।

(C) दी गई श्रेणी $x = \frac{2 \cdot 5}{2! \cdot 3} + \frac{2 \cdot 5 \cdot 7}{3! \cdot 3^2} + \frac{2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9}{4! \cdot 3^3} + \ldots$ है।
द्विपद प्रसार $(1-z)^{-n} = 1 + nz + \frac{n(n+1)}{2!} z^2 + \ldots$ का उपयोग करने पर,
$n = \frac{3}{2}$ और $z = \frac{2}{3}$ रखने पर,
$(1/3)^{-3/2} = 2 + x$ प्राप्त होता है।
अतः $3^{3/2} = 2 + x$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$27 = (2+x)^2 = 4 + x^2 + 4x$।
$x^2 + 4x = 23$।
इस प्रकार,$x^2 + 8x + 8 = 100$ प्राप्त होता है।

(C) हम जानते हैं कि ${}^{n}C_r + {}^{n}C_{r+1} = {}^{n+1}C_{r+1}$।
दिया गया योग $S = \sum_{r=0}^{20} {}^{20+r}C_r = {}^{20}C_0 + {}^{21}C_1 + {}^{22}C_2 + \dots + {}^{40}C_{20}$ है।
चूंकि ${}^{20}C_0 = 1 = {}^{21}C_0$,हम लिख सकते हैं $S = {}^{21}C_0 + {}^{21}C_1 + {}^{22}C_2 + \dots + {}^{40}C_{20}$।
सर्वसमिका ${}^{n}C_r + {}^{n}C_{r+1} = {}^{n+1}C_{r+1}$ का बार-बार उपयोग करने पर:
${}^{21}C_0 + {}^{21}C_1 = {}^{22}C_1$।
फिर ${}^{22}C_1 + {}^{22}C_2 = {}^{23}C_2$।
इस प्रक्रिया को जारी रखने पर,योग ${}^{40}C_{20} + {}^{40}C_{21} = {}^{41}C_{21}$ हो जाता है।
अब,${}^{41}C_{21} = \frac{41}{21} \times {}^{40}C_{20}$।
अतः,$\frac{p}{q} = \frac{41}{21}$,जिससे $p = 41$ और $q = 21$ प्राप्त होता है।
चूंकि $GCD(41, 21) = 1$,हम गणना करते हैं $p^2 - q^2 = 41^2 - 21^2 = (41 - 21)(41 + 21) = 20 \times 62 = 1240$।

(C) द्विपद विस्तार $(1+u)^n$ के लिए $n \notin N$ तब मान्य है यदि $|u| < 1$ हो।
यहाँ,$u = x+x^2$ है।
अतः,$(1+x+x^2)^{-3/2}$ का विस्तार तब मान्य है यदि $|x^2+x| < 1$ हो।
इसका अर्थ है $-1 < x^2+x < 1$।
$x^2+x < 1$ को हल करने पर:
$x^2+x-1 < 0$।
$x^2+x-1 = 0$ के मूल $x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ हैं।
अतः,$x^2+x-1 < 0$ के लिए $\frac{-1-\sqrt{5}}{2} < x < \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$।
साथ ही,$x^2+x > -1$ हमेशा सत्य है क्योंकि $x^2+x+1 = (x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} > 0$।
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $|x^2+x| < 1$ प्राप्त होता है,जो $\left|x+\frac{1}{2}\right| < \frac{\sqrt{5}}{2}$ के समतुल्य है।

(D) दिया गया है कि $f(x+y)=f(x)+f(y)$ और $f(1)=7$ है।
गणितीय आगमन द्वारा,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $r$ के लिए,$f(r) = r \cdot f(1)$ होता है।
चूँकि $f(1)=7$ है,इसलिए $f(r) = 7r$ होगा।
अब,हमें योग $\sum_{r=1}^n f(r)$ की गणना करनी है।
$\sum_{r=1}^n f(r) = \sum_{r=1}^n 7r = 7 \sum_{r=1}^n r$।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\sum_{r=1}^n r = \frac{n(n+1)}{2}$ होता है।
अतः,$\sum_{r=1}^n f(r) = 7 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{7n(n+1)}{2}$।

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{a x^{10} + b x^8 + c x^6 + d x^4 + e x^2 + 12 x + 15}{x}$.
प्रत्येक पद को $x$ से विभाजित करने पर:
$f(x) = a x^9 + b x^7 + c x^5 + d x^3 + e x + 12 + \frac{15}{x}$.
अब,$f(-x)$ पर विचार करें:
$f(-x) = a(-x)^9 + b(-x)^7 + c(-x)^5 + d(-x)^3 + e(-x) + 12 + \frac{15}{-x}$
$f(-x) = -(a x^9 + b x^7 + c x^5 + d x^3 + e x) + 12 - \frac{15}{x}$.
$f(x)$ और $f(-x)$ को जोड़ने पर:
$f(x) + f(-x) = 12 + 12 = 24$.
$x = 4$ के लिए:
$f(4) + f(-4) = 24$.
चूंकि $f(4) = -4$ दिया गया है:
$-4 + f(-4) = 24$
$f(-4) = 28$.

(C) दिया गया है $\tan y = \cot \left(\frac{\pi}{4} - x\right)$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\sec^2 y \frac{dy}{dx} = -\operatorname{cosec}^2 \left(\frac{\pi}{4} - x\right) \cdot (-1)$
$\sec^2 y \frac{dy}{dx} = \operatorname{cosec}^2 \left(\frac{\pi}{4} - x\right)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\operatorname{cosec}^2 \left(\frac{\pi}{4} - x\right)}{\sec^2 y}$
चूँकि $\sec^2 y = 1 + \tan^2 y$ और $\tan y = \cot \left(\frac{\pi}{4} - x\right)$ है:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\operatorname{cosec}^2 \left(\frac{\pi}{4} - x\right)}{1 + \tan^2 \left(\frac{\pi}{4} - x\right)}$

(C) दिया गया है $\sec (\log _2 y^2) = \operatorname{cosec} (\log _2 x^2)$.
गुणधर्म $\log a^b = b \log a$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sec (2 \log _2 y) = \operatorname{cosec} (2 \log _2 x)$.
हम जानते हैं कि $\operatorname{cosec} \theta = \sec (\frac{\pi}{2} - \theta)$,इसलिए $\sec (2 \log _2 y) = \sec (\frac{\pi}{2} - 2 \log _2 x)$.
इसका अर्थ है $2 \log _2 y = \pm (\frac{\pi}{2} - 2 \log _2 x) + 2n\pi$. मुख्य मान लेने पर,$2 \log _2 y + 2 \log _2 x = \frac{\pi}{2}$.
$2 \log _2 (xy) = \frac{\pi}{2} \Rightarrow \log _2 (xy) = \frac{\pi}{4}$.
$xy = 2^{\frac{\pi}{4}}$.
चूंकि $2^{\frac{\pi}{4}}$ एक स्थिरांक है,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$x \frac{dy}{dx} + y = 0$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{e^{2x} - e^{-2x}}{e^{3x} + e^{-3x}}$.
भागफल नियम $\left( \frac{u}{v} \right)^{\prime} = \frac{u^{\prime}v - uv^{\prime}}{v^2}$ का उपयोग करते हुए:
मान लीजिए $u = e^{2x} - e^{-2x}$ और $v = e^{3x} + e^{-3x}$.
तब $u^{\prime} = 2e^{2x} + 2e^{-2x}$ और $v^{\prime} = 3e^{3x} - 3e^{-3x}$.
$x = 0$ पर:
$u(0) = e^0 - e^0 = 1 - 1 = 0$.
$v(0) = e^0 + e^0 = 1 + 1 = 2$.
$u^{\prime}(0) = 2(1) + 2(1) = 4$.
$v^{\prime}(0) = 3(1) - 3(1) = 0$.
अब,$f^{\prime}(0) = \frac{u^{\prime}(0)v(0) - u(0)v^{\prime}(0)}{(v(0))^2}$.
$f^{\prime}(0) = \frac{(4)(2) - (0)(0)}{(2)^2} = \frac{8}{4} = 2$.

(C) दिया गया है $f(x)=e^x$।
$h(x)=(f \circ f)(x) = f(f(x)) = f(e^x) = e^{e^x}$।
अब,$h(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$h^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(e^{e^x}) = e^{e^x} \cdot \frac{d}{dx}(e^x) = e^{e^x} \cdot e^x$।
चूँकि $h(x) = e^{e^x}$,इसलिए $h^{\prime}(x) = h(x) \cdot e^x$।
अतः,$\frac{h^{\prime}(x)}{h(x)} = e^x$।
अब,$\log h(x) = \log(e^{e^x}) = e^x \cdot \log e = e^x$।
दोनों परिणामों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{h^{\prime}(x)}{h(x)} = \log h(x)$।

(D) दिया गया है कि $f(x) = \sqrt{x}$ और $g(x) = 1 + x^2$ है।
संयुक्त फलन $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = \sqrt{1 + x^2}$ है।
अवकलज $(f \circ g)^{\prime}(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करेंगे:
$(f \circ g)^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} (1 + x^2)^{1/2} = \frac{1}{2}(1 + x^2)^{-1/2} \cdot \frac{d}{dx}(1 + x^2)$.
$(f \circ g)^{\prime}(x) = \frac{1}{2\sqrt{1 + x^2}} \cdot (2x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$.
अब,अवकलज में $x = 1$ रखने पर:
$(f \circ g)^{\prime}(1) = \frac{1}{\sqrt{1 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) दिया गया समीकरण: $2x^2 + 3xy - y^2 + 4x - 5y + 6 = 0$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(2x^2) + \frac{d}{dx}(3xy) - \frac{d}{dx}(y^2) + \frac{d}{dx}(4x) - \frac{d}{dx}(5y) + \frac{d}{dx}(6) = 0$.
$4x + 3(x \frac{dy}{dx} + y) - 2y \frac{dy}{dx} + 4 - 5 \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{dy}{dx}$ वाले पदों को एक साथ रखने पर:
$(3x - 2y - 5) \frac{dy}{dx} = -(4x + 3y + 4)$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{4x + 3y + 4}{3x - 2y - 5}$.
$(x, y) = (1, -2)$ का मान रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{4(1) + 3(-2) + 4}{3(1) - 2(-2) - 5} = -\frac{4 - 6 + 4}{3 + 4 - 5} = -\frac{2}{2} = -1$.

(C) दिया गया है $y = x \sin x$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = x \cos x + \sin x$ प्राप्त होता है।
अब,व्यंजक $\frac{\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x}}{x \frac{dy}{dx} - y}$ पर विचार करें।
$\frac{dy}{dx} = x \cos x + \sin x$ और $y = x \sin x$ प्रतिस्थापित करने पर:
अंश: $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = (x \cos x + \sin x) - \frac{x \sin x}{x} = x \cos x + \sin x - \sin x = x \cos x$।
हर: $x \frac{dy}{dx} - y = x(x \cos x + \sin x) - x \sin x = x^2 \cos x + x \sin x - x \sin x = x^2 \cos x$।
इस प्रकार,व्यंजक $\frac{x \cos x}{x^2 \cos x} = \frac{1}{x}$ हो जाता है।
दिया गया है कि $x = \alpha$ पर यह व्यंजक $1$ है,इसलिए $\frac{1}{\alpha} = 1$,जिसका अर्थ है $\alpha = 1$।

(C) दिया गया है $x = 3 \sqrt{2} \cos^3 \theta$ और $y = 4 \tan^2 \theta$।
$x$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = 3 \sqrt{2} \cdot 3 \cos^2 \theta \cdot (-\sin \theta) = -9 \sqrt{2} \cos^2 \theta \sin \theta$।
$y$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{d\theta} = 4 \cdot 2 \tan \theta \cdot \sec^2 \theta = 8 \tan \theta \sec^2 \theta$।
अब,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{8 \tan \theta \sec^2 \theta}{-9 \sqrt{2} \cos^2 \theta \sin \theta}$।
$\theta = \frac{\pi}{4}$ पर,$\tan \frac{\pi}{4} = 1$,$\sec \frac{\pi}{4} = \sqrt{2}$,$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,और $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{\theta=\frac{\pi}{4}} = \frac{8(1)(\sqrt{2})^2}{-9 \sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 (\frac{1}{\sqrt{2}})} = \frac{8 \cdot 2}{-9 \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{16}{-9 \cdot \frac{1}{2}} = -\frac{32}{9}$।

(A) दिया गया है कि $x = \log p$ और $y = \frac{1}{p}$ है।
सबसे पहले,$y$ का $p$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dp} = \frac{d}{dp}(p^{-1}) = -p^{-2} = -\frac{1}{p^2}$।
इसके बाद,$x$ का $p$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dp} = \frac{d}{dp}(\log p) = \frac{1}{p}$।
प्राचलिक अवकलन के लिए श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dp}{dx/dp} = \frac{-1/p^2}{1/p} = -\frac{1}{p}$।
चूंकि $x = \log p$,इसलिए $p = e^x$ है।
$\frac{dy}{dx}$ के व्यंजक में $p = e^x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{e^x} = -e^{-x}$।

(A) दिया गया है $x = \cos^3 \theta - \sin^3 \theta$ और $y = (\cos \theta)^{1/3} - (\sin \theta)^{1/3}$.
$\theta$ के सापेक्ष $x$ का अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = 3\cos^2 \theta(-\sin \theta) - 3\sin^2 \theta(\cos \theta) = -3\sin \theta \cos \theta(\cos \theta + \sin \theta)$.
$\theta$ के सापेक्ष $y$ का अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{d\theta} = \frac{1}{3}(\cos \theta)^{-2/3}(-\sin \theta) - \frac{1}{3}(\sin \theta)^{-2/3}(\cos \theta) = -\frac{1}{3} \left( \frac{\sin \theta}{(\cos \theta)^{2/3}} + \frac{\cos \theta}{(\sin \theta)^{2/3}} \right)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{9} \sqrt[3]{2}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $\sin y = \sin 3t$ और $x = \sin t$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin 3t = 3\sin t - 4\sin^3 t$ का उपयोग करने पर:
$\sin y = 3\sin t - 4\sin^3 t$।
$x = \sin t$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin y = 3x - 4x^3$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(\sin y) = \frac{d}{dx}(3x - 4x^3)$।
$\cos y \cdot \frac{dy}{dx} = 3 - 12x^2$।
यहाँ $y = 3t$ लेने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3\cos 3t}{\cos t} = 3(4\cos^2 t - 3) = 3(4(1-x^2) - 3) = 3(1-4x^2)$।

(C) हमें $\theta = \frac{\pi}{3}$ पर $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ ज्ञात करना है।
$(i)$ $x = a(\theta - \sin \theta), y = a(1 - \cos \theta)$
$\frac{dx}{d\theta} = a(1 - \cos \theta) = 2a \sin^2(\frac{\theta}{2})$
$\frac{dy}{d\theta} = a \sin \theta = 2a \sin(\frac{\theta}{2}) \cos(\frac{\theta}{2})$
$\frac{dy}{dx} = \frac{2a \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)}{2a \sin^2(\theta/2)} = \cot(\frac{\theta}{2})$. $\theta = \frac{\pi}{3}$ पर,$\frac{dy}{dx} = \cot(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$. $(i)$ $\rightarrow$ $C$.
(ii) $x = 3\cos \theta - 2\cos^3 \theta, y = 3\sin \theta - 2\sin^3 \theta$
$\frac{dx}{d\theta} = -3\sin \theta + 6\cos^2 \theta \sin \theta = 3\sin \theta(2\cos^2 \theta - 1) = 3\sin \theta \cos(2\theta)$
$\frac{dy}{d\theta} = 3\cos \theta - 6\sin^2 \theta \cos \theta = 3\cos \theta(1 - 2\sin^2 \theta) = 3\cos \theta \cos(2\theta)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{3\cos \theta \cos(2\theta)}{3\sin \theta \cos(2\theta)} = \cot \theta$. $\theta = \frac{\pi}{3}$ पर,$\frac{dy}{dx} = \cot(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$. (ii) $\rightarrow$ $D$.
(iii) $x = 3\cos \theta - \cos^3 \theta, y = 3\sin \theta - \sin^3 \theta$
$\frac{dx}{d\theta} = -3\sin \theta + 3\cos^2 \theta \sin \theta = -3\sin \theta(1 - \cos^2 \theta) = -3\sin^3 \theta$
$\frac{dy}{d\theta} = 3\cos \theta - 3\sin^2 \theta \cos \theta = 3\cos \theta(1 - \sin^2 \theta) = 3\cos^3 \theta$
$\frac{dy}{dx} = \frac{3\cos^3 \theta}{-3\sin^3 \theta} = -\cot^3 \theta$. $\theta = \frac{\pi}{3}$ पर,$\frac{dy}{dx} = -(\cot(\frac{\pi}{3}))^3 = -(\frac{1}{\sqrt{3}})^3 = -\frac{1}{3\sqrt{3}}$. (iii) $\rightarrow$ $B$.
(iv) $x = a \log \sin \theta, y = a \tan \theta$
$\frac{dx}{d\theta} = a \cot \theta, \frac{dy}{d\theta} = a \sec^2 \theta$
$\frac{dy}{dx} = \frac{a \sec^2 \theta}{a \cot \theta} = \frac{1}{\cos^2 \theta} \cdot \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos^3 \theta} = \tan \theta \sec^2 \theta$. $\theta = \frac{\pi}{3}$ पर,$\frac{dy}{dx} = \tan(\frac{\pi}{3}) \sec^2(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} \cdot (2)^2 = 4\sqrt{3}$. (iv) $\rightarrow$ $A$.
अतः,$(i)$ $\rightarrow$ $C$,(ii) $\rightarrow$ $D$,(iii) $\rightarrow$ $B$,(iv) $\rightarrow$ $A$.

(A) माना $f(x) = f_1(x) + f_2(x)$,जहाँ $f_1(x) = x^{\tan x}$ और $f_2(x) = (\tan x)^x$ है।
$f_1(x) = x^{\tan x}$ के लिए,दोनों पक्षों का लॉग लेने पर: $\log f_1 = \tan x \cdot \log x$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{f_1} \frac{df_1}{dx} = \sec^2 x \cdot \log x + \tan x \cdot \frac{1}{x}$।
अतः,$\frac{df_1}{dx} = x^{\tan x} \left( \sec^2 x \cdot \log x + \frac{\tan x}{x} \right)$।
$f_2(x) = (\tan x)^x$ के लिए,दोनों पक्षों का लॉग लेने पर: $\log f_2 = x \cdot \log(\tan x)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{f_2} \frac{df_2}{dx} = 1 \cdot \log(\tan x) + x \cdot \frac{1}{\tan x} \cdot \sec^2 x$।
अतः,$\frac{df_2}{dx} = (\tan x)^x \left( \log(\tan x) + \frac{x \sec^2 x}{\tan x} \right)$।
अब,$f^{\prime}(x) = \frac{df_1}{dx} + \frac{df_2}{dx}$।
$x = \frac{\pi}{4}$ पर:
$f_1^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right) = \left(\frac{\pi}{4}\right)^1 \left( (\sqrt{2})^2 \log \frac{\pi}{4} + \frac{1}{\pi/4} \right) = \frac{\pi}{4} (2 \log \frac{\pi}{4} + \frac{4}{\pi}) = \frac{\pi}{2} \log \frac{\pi}{4} + 1$।
$f_2^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right) = (1)^{\pi/4} \left( \log 1 + \frac{\pi/4 \cdot 2}{1} \right) = 1 \cdot (0 + \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$।
अतः,$f^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{2} \log \frac{\pi}{4} + 1 + \frac{\pi}{2} = 1 + \frac{\pi}{2} (\log \frac{\pi}{4} + 1) = 1 + \frac{\pi}{2} \log \left( \frac{e \pi}{4} \right)$।

(D) दिया गया है $f(x) = \sqrt{\log(x^2+x+1) + \sqrt{\cosh(2x-3)}}$।
श्रृंखला नियम (chain rule) लागू करने पर,$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\log(x^2+x+1) + \sqrt{\cosh(2x-3)}}} \cdot \left( \frac{2x+1}{x^2+x+1} + \frac{2\sinh(2x-3)}{2\sqrt{\cosh(2x-3)}} \right)$।
$x=0$ पर,$f'(0) = \frac{1}{2\sqrt{\log(1) + \sqrt{\cosh(-3)}}} \cdot \left( \frac{1}{1} + \frac{\sinh(-3)}{\sqrt{\cosh(-3)}} \right)$।
चूंकि $\log(1) = 0$,$\cosh(-3) = \cosh(3)$,और $\sinh(-3) = -\sinh(3)$:
$f'(0) = \frac{1 - \frac{\sinh(3)}{\sqrt{\cosh(3)}}}{2\sqrt{\sqrt{\cosh(3)}}} = \frac{\sqrt{\cosh(3)} - \sinh(3)}{2(\cosh(3))^{1/2} \cdot (\cosh(3))^{1/4}} = \frac{\sqrt{\cosh(3)} - \sinh(3)}{2(\cosh(3))^{3/4}}$।

(B) माना $u = \frac{1-x^2}{1+x^2}$ और $v = \frac{2x}{1+x^2}$ है।
हमें $\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx}$ ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$\frac{du}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{du}{dx} = \frac{(1+x^2)(-2x) - (1-x^2)(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{-2x - 2x^3 - 2x + 2x^3}{(1+x^2)^2} = \frac{-4x}{(1+x^2)^2}$।
इसके बाद,$\frac{dv}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dv}{dx} = \frac{(1+x^2)(2) - (2x)(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{2 + 2x^2 - 4x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}$।
अब,$\frac{du}{dv}$ की गणना करें:
$\frac{du}{dv} = \frac{-4x}{(1+x^2)^2} \div \frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2} = \frac{-4x}{2(1-x^2)} = \frac{-2x}{1-x^2} = \frac{2x}{x^2-1}$।
$x=2$ पर:
$\frac{du}{dv} = \frac{2(2)}{2^2-1} = \frac{4}{4-1} = \frac{4}{3}$।

(B) दिया गया समीकरण: $2x^2 - 3xy + y^2 + x + 2y - 8 = 0$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(2x^2) - \frac{d}{dx}(3xy) + \frac{d}{dx}(y^2) + \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(2y) - \frac{d}{dx}(8) = 0$.
$4x - 3(x \frac{dy}{dx} + y) + 2y \frac{dy}{dx} + 1 + 2 \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{dy}{dx}$ वाले पदों को एक साथ लेने पर:
$\frac{dy}{dx}(2y - 3x + 2) + (4x - 3y + 1) = 0$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $(2y - 3x + 2) dy + (4x - 3y + 1) dx = 0$.
इसकी तुलना $f(x, y) dy - g(x, y) dx = 0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(x, y) = 2y - 3x + 2$ और $g(x, y) = -(4x - 3y + 1) = 3y - 4x - 1$.
अब,$g(2, 2) = 3(2) - 4(2) - 1 = 6 - 8 - 1 = -3$.
$f(1, 1) = 2(1) - 3(1) + 2 = 2 - 3 + 2 = 1$.
अतः,$\frac{g(2, 2)}{f(1, 1)} = \frac{-3}{1} = -3$.

(A) दिया गया है कि $e^x = y + \sqrt{y^2 - 1}$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $e^x - y = \sqrt{y^2 - 1}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(e^x - y)^2 = y^2 - 1$ प्राप्त होता है।
वर्ग का विस्तार करने पर: $e^{2x} + y^2 - 2ye^x = y^2 - 1$।
सरल करने पर,$e^{2x} + 1 = 2ye^x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $y = \frac{e^{2x} + 1}{2e^x} = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh x$।
अब,$y = \cosh x$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = \sinh x$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया वक्र $y = e^{a+bx^2}$ है।
स्पर्श रेखा का ढाल ज्ञात करने के लिए अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{a+bx^2}) = e^{a+bx^2} \cdot \frac{d}{dx}(a+bx^2) = e^{a+bx^2} \cdot (2bx) = 2bxy$.
बिंदु $P(1,1)$ पर ढाल $-2$ है:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(1,1)} = 2b(1)(1) = -2$.
$2b = -2 \implies b = -1$.
चूंकि बिंदु $P(1,1)$ वक्र पर स्थित है,यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$1 = e^{a+b(1)^2} \implies 1 = e^{a+b}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln(1) = a+b \implies 0 = a+b$.
$b = -1$ रखने पर:
$0 = a - 1 \implies a = 1$.
अंत में,$2a - 3b$ का मान ज्ञात करते हैं:
$2a - 3b = 2(1) - 3(-1) = 2 + 3 = 5$.

(C) दिया गया वक्र $y = \cos(x+y)$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\sin(x+y) \cdot (1 + \frac{dy}{dx})$
$\frac{dy}{dx} (1 + \sin(x+y)) = -\sin(x+y)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{-\sin(x+y)}{1 + \sin(x+y)}$
स्पर्श रेखा का समीकरण $x + 2y = k$ है,जिसे $y = -\frac{1}{2}x + \frac{k}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
स्पर्श रेखा की ढाल $m = -\frac{1}{2}$ है।
ढालों की तुलना करने पर: $\frac{-\sin(x+y)}{1 + \sin(x+y)} = -\frac{1}{2}$
$2\sin(x+y) = 1 + \sin(x+y)$
$\sin(x+y) = 1$
चूंकि $\sin(x+y) = 1$,इसलिए $y = \cos(x+y) = \cos(\frac{\pi}{2} + 2n\pi) = 0$।
$y = 0$ को $\sin(x+y) = 1$ में रखने पर,हमें $\sin(x) = 1$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = \frac{\pi}{2}$।
अब,$x = \frac{\pi}{2}$ और $y = 0$ को स्पर्श रेखा के समीकरण $x + 2y = k$ में रखने पर:
$\frac{\pi}{2} + 2(0) = k$
$k = \frac{\pi}{2}$।

(C) दिया गया वक्र $y = x^3 - 10x^2 + 31x - 30$ है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 20x + 31$.
अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$ द्वारा दी जाती है।
इसे $-\frac{1}{14}$ के बराबर रखने पर:
$-\frac{1}{3x^2 - 20x + 31} = -\frac{1}{14} \implies 3x^2 - 20x + 31 = 14$.
$3x^2 - 20x + 17 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(3x - 17)(x - 1) = 0$.
इससे $x = 1$ या $x = \frac{17}{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रश्न में $x$ एक पूर्णांक है,हम $x = 1$ लेते हैं।
$x = 1$ को वक्र के समीकरण में रखने पर: $y = (1)^3 - 10(1)^2 + 31(1) - 30 = 1 - 10 + 31 - 30 = -8$.
अतः,बिंदु $P$ $(1, -8)$ है।
$x = 1$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 3(1)^2 - 20(1) + 31 = 14$ है।
स्पर्शरेखा का समीकरण $y - (-8) = 14(x - 1) \implies y + 8 = 14x - 14 \implies y = 14x - 22$ है।
$x$-अंतःखंड के लिए,$y = 0$ रखें: $0 = 14x - 22 \implies 14x = 22 \implies x = \frac{22}{14} = \frac{11}{7}$.

(B) दिया गया है कि $\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 5$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$y = \int (3x^2 - 5) dx = x^3 - 5x + C$.
चूंकि $f(1) = 2$,हमारे पास $2 = 1^3 - 5(1) + C$ है,जिससे $2 = 1 - 5 + C$ प्राप्त होता है,अतः $C = 6$.
इस प्रकार,वक्र का समीकरण $y = x^3 - 5x + 6$ है।
$(1, 2)$ पर स्पर्श रेखा का ढाल $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(1, 2)} = 3(1)^2 - 5 = -2$ है।
$(1, 2)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 2 = -2(x - 1)$ है,जो सरल होकर $y = -2x + 4$ हो जाता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,वक्र के समीकरण को स्पर्श रेखा के समीकरण के बराबर रखें: $x^3 - 5x + 6 = -2x + 4$.
यह सरल होकर $x^3 - 3x + 2 = 0$ हो जाता है।
त्रिघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,हमें $(x - 1)^2(x + 2) = 0$ प्राप्त होता है।
मूल $x = 1$ और $x = -2$ हैं।
$x = 1$ के लिए,$y = 2$ (स्पर्श बिंदु)।
$x = -2$ के लिए,$y = -2(-2) + 4 = 8$.
अतः,स्पर्श रेखा वक्र को $(-2, 8)$ बिंदु पर काटती है।

(D) दिए गए वक्र $x^2 y - x^3 = 8$ $(1)$ और $y^3 - x y^2 = 32$ $(2)$ हैं।
$(1)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $x^2 \frac{dy}{dx} + 2xy - 3x^2 = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{3x^2 - 2xy}{x^2} = 3 - 2(\frac{y}{x}) = m_1$.
$(2)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $3y^2 \frac{dy}{dx} - (x \cdot 2y \frac{dy}{dx} + y^2) = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx}(3y^2 - 2xy) = y^2 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{3y^2 - 2xy} = \frac{y}{3y - 2x} = m_2$.
$(2)$ को $(1)$ से विभाजित करने पर: $\frac{y^2(y - x)}{x^2(y - x)} = \frac{32}{8} = 4 \Rightarrow \frac{y^2}{x^2} = 4 \Rightarrow y = 2x$ (चूंकि $h, k \in N$).
$y = 2x$ को $(1)$ में रखने पर: $x^2(2x) - x^3 = 8 \Rightarrow x^3 = 8 \Rightarrow x = 2$. अतः,$y = 4$.
$P(2, 4)$ पर,$m_1 = 3 - 2(\frac{4}{2}) = 3 - 4 = -1$.
$P(2, 4)$ पर,$m_2 = \frac{4}{3(4) - 2(2)} = \frac{4}{12 - 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = |\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}| = |\frac{1/2 - (-1)}{1 + (-1)(1/2)}| = |\frac{3/2}{1/2}| = 3$ द्वारा प्राप्त होता है।

(D) दिया गया वक्र $x = t^2 - 7t + 7$ और $y = t^2 - 4t - 10$ है।
सबसे पहले,अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dx}{dt} = 2t - 7$ और $\frac{dy}{dt} = 2t - 4$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{2t - 4}{2t - 7}$.
बिंदु $(1, 2)$ पर,$t^2 - 7t + 7 = 1 \implies t^2 - 7t + 6 = 0 \implies (t-1)(t-6) = 0$,इसलिए $t = 1$ या $t = 6$.
साथ ही,$t^2 - 4t - 10 = 2 \implies t^2 - 4t - 12 = 0 \implies (t-6)(t+2) = 0$,इसलिए $t = 6$ या $t = -2$.
उभयनिष्ठ मान $t = 6$ है।
$t = 6$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{2(6) - 4}{2(6) - 7} = \frac{8}{5}$ है।
अभिलंब की ढाल $m = -\frac{1}{8/5} = -\frac{5}{8}$ है।
$(1, 2)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 2 = -\frac{5}{8}(x - 1)$ है।
$8y - 16 = -5x + 5 \implies 5x + 8y - 21 = 0$.
यहाँ $a = 5, b = 8, c = -21$ है। $(5, 8, -21)$ का म.स.प. $1$ है।
अतः $a + b + c = 5 + 8 - 21 = -8$.
अंत में,$m(a + b + c) = (-\frac{5}{8})(-8) = 5$.

(D) दिया गया वक्र $y = x^4 - 6x^3 + 13x^2 - 10x + 5$ है।
स्पर्शरेखा की ढाल अवकलज $\frac{dy}{dx} = 4x^3 - 18x^2 + 26x - 10$ द्वारा दी जाती है।
चूँकि स्पर्शरेखा की ढाल $2$ है,हम $\frac{dy}{dx} = 2$ रखते हैं:
$4x^3 - 18x^2 + 26x - 10 = 2$
$4x^3 - 18x^2 + 26x - 12 = 0$
$2$ से विभाजित करने पर,$2x^3 - 9x^2 + 13x - 6 = 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर $(x-1)(x-2)(2x-3) = 0$ प्राप्त होता है।
हल $x = 1, x = 2, x = 1.5$ हैं।
चूँकि $x_1, x_2 \in \mathbb{N}$,हम $x_1 = 1$ और $x_2 = 2$ चुनते हैं।
$x_1 = 1$ के लिए,$y_1 = 1^4 - 6(1)^3 + 13(1)^2 - 10(1) + 5 = 3$।
$x_2 = 2$ के लिए,$y_2 = 2^4 - 6(2)^3 + 13(2)^2 - 10(2) + 5 = 5$।
अतः,$x_1x_2 - y_1y_2 = (1 \times 2) - (3 \times 5) = 2 - 15 = -13$।

(B) दिए गए वक्र $x^2-y^2=4$ और $x^2+y^2=4 \sqrt{2}$ हैं।
मान लीजिए $(x_0, y_0)$ प्रतिच्छेदन बिंदु है।
वक्रों के बीच का कोण प्रतिच्छेदन बिंदु पर उनकी स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण होता है।
पहले वक्र $x^2-y^2=4$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2x - 2y \frac{dy}{dx} = 0$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$। $(x_0, y_0)$ पर,$m_1 = \frac{x_0}{y_0}$।
दूसरे वक्र $x^2+y^2=4 \sqrt{2}$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$,अतः $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$। $(x_0, y_0)$ पर,$m_2 = -\frac{x_0}{y_0}$।
स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
ढाल के मान रखने पर: $\tan \theta = \left| \frac{\frac{x_0}{y_0} - (-\frac{x_0}{y_0})}{1 + (\frac{x_0}{y_0})(-\frac{x_0}{y_0})} \right| = \left| \frac{2 \frac{x_0}{y_0}}{1 - \frac{x_0^2}{y_0^2}} \right| = \left| \frac{2 x_0 y_0}{y_0^2 - x_0^2} \right|$.
चूंकि $x_0^2 - y_0^2 = 4$,इसलिए $y_0^2 - x_0^2 = -4$ है।
अतः,$\tan \theta = \left| \frac{2 x_0 y_0}{-4} \right| = \frac{|x_0 y_0|}{2}$।
समीकरणों $x_0^2 - y_0^2 = 4$ और $x_0^2 + y_0^2 = 4 \sqrt{2}$ को हल करने पर:
जोड़ने पर: $2x_0^2 = 4(1 + \sqrt{2}) \Rightarrow x_0^2 = 2(1 + \sqrt{2})$।
घटाने पर: $2y_0^2 = 4(\sqrt{2} - 1) \Rightarrow y_0^2 = 2(\sqrt{2} - 1)$।
अतः $x_0^2 y_0^2 = 4(1 + \sqrt{2})(\sqrt{2} - 1) = 4(2 - 1) = 4$।
इसलिए,$|x_0 y_0| = 2$।
इस मान को $\tan \theta$ में रखने पर: $\tan \theta = \frac{2}{2} = 1$।
अतः,$\theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$।

(B) दिया गया है कि $I \propto \tan \theta$,इसलिए $I = k \tan \theta$।
$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$dI = k \sec^2 \theta \, d\theta$ प्राप्त होता है।
सापेक्ष त्रुटि $\frac{dI}{I} = \frac{k \sec^2 \theta \, d\theta}{k \tan \theta} = \frac{\sec^2 \theta}{\tan \theta} d\theta$ द्वारा दी जाती है।
$\sec^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ और $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ का उपयोग करने पर,$\frac{dI}{I} = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} d\theta = \frac{2}{\sin(2\theta)} d\theta$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\theta = 45^{\circ} = \frac{\pi}{4}$ रेडियन है और $\theta$ में प्रतिशत त्रुटि $\frac{d\theta}{\theta} \times 100 = 1\%$ है,इसलिए $d\theta = \frac{1}{100} \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{400}$ रेडियन।
मान रखने पर: $\frac{dI}{I} \times 100 = \frac{2}{\sin(2 \times 45^{\circ})} \times d\theta \times 100 = \frac{2}{\sin(90^{\circ})} \times \frac{\pi}{400} \times 100 = 2 \times 1 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \%$.
अतः,धारा में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\pi}{2} \%$ है।

(B) हम जानते हैं कि $45^2 = 2025$ होता है।
चूंकि $2023 < 2025$,इसलिए $\sqrt{2023} < \sqrt{2025}$,जिसका अर्थ है कि $\sqrt{2023} < 45$।
रैखिक सन्निकटन सूत्र $\sqrt{x + \Delta x} \approx \sqrt{x} + \frac{\Delta x}{2\sqrt{x}}$ का उपयोग करते हुए,मान लें कि $x = 2025$ और $\Delta x = -2$ है।
अतः,$\sqrt{2023} = \sqrt{2025 - 2} \approx \sqrt{2025} + \frac{-2}{2\sqrt{2025}}$।
$\sqrt{2023} \approx 45 - \frac{2}{2(45)} = 45 - \frac{2}{90} = 45 - \frac{1}{45}$।
$\sqrt{2023} \approx 45 - 0.0222 = 44.9778$।
इस प्रकार,निकटतम अनुमानित मान $44.9778$ है।

(C) दिया गया व्यास $d = 42 \text{ cm}$,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = 21 \text{ cm}$ है।
व्यास में त्रुटि $\Delta d = \frac{1}{77} \text{ cm}$ है,इसलिए त्रिज्या में त्रुटि $\Delta r = \frac{\Delta d}{2} = \frac{1}{154} \text{ cm}$ होगी।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
आयतन में अनुमानित त्रुटि $\Delta V$,$\Delta V \approx \frac{dV}{dr} \times \Delta r$ द्वारा दी जाती है।
$\frac{dV}{dr} = \frac{d}{dr} \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right) = 4 \pi r^2$ है।
मान रखने पर: $\Delta V = 4 \times \frac{22}{7} \times (21)^2 \times \frac{1}{154}$.
$\Delta V = 4 \times \frac{22}{7} \times 441 \times \frac{1}{154}$.
$\Delta V = 4 \times 22 \times 63 \times \frac{1}{154} = \frac{5544}{154} = 36$.
अतः,आयतन में त्रुटि $36 \text{ cm}^3$ है।

(C) मान लीजिए कि निचला सिरा दीवार से $x$ दूरी पर है और ऊपरी सिरा जमीन से $y$ ऊंचाई पर है। सीढ़ी दीवार और जमीन के साथ एक समकोण त्रिभुज बनाती है,इसलिए $x^2 + y^2 = 13^2 = 169$ है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$ हो जाता है।
दिया गया है कि निचला सिरा दीवार से $\frac{dx}{dt} = 2 \ m/min$ की गति से दूर जा रहा है।
जब $x = 5 \ m$ है,तो $x^2 + y^2 = 169$ का उपयोग करके $y$ का मान ज्ञात करते हैं: $5^2 + y^2 = 169 \Rightarrow 25 + y^2 = 169 \Rightarrow y^2 = 144 \Rightarrow y = 12 \ m$।
इन मानों को अवकलित समीकरण में रखने पर: $5(2) + 12 \frac{dy}{dt} = 0$।
$10 + 12 \frac{dy}{dt} = 0 \Rightarrow 12 \frac{dy}{dt} = -10 \Rightarrow \frac{dy}{dt} = -\frac{10}{12} = -\frac{5}{6} \ m/min$।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि ऊपरी सिरा नीचे गिर रहा है। अतः,ऊपरी सिरा $\frac{5}{6} \ m/min$ की गति से नीचे गिर रहा है।

(B) दिया गया है कि विद्युत धारा $I \propto \tan \theta$ है।
$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $dI = k \sec^2 \theta \, d\theta$ प्राप्त होता है।
$I = k \tan \theta$ से भाग देने पर,$\frac{dI}{I} = \frac{\sec^2 \theta}{\tan \theta} d\theta = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} d\theta = \frac{2}{\sin(2\theta)} d\theta$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\theta = 45^{\circ} = \frac{\pi}{4}$ रेडियन है,और $\theta$ को पढ़ने में $1 \%$ की त्रुटि है,इसलिए $d\theta = \frac{1}{100} \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{400}$ रेडियन।
इन मानों को रखने पर: $\frac{dI}{I} = \frac{2}{\sin(90^{\circ})} \times \frac{\pi}{400} = 2 \times 1 \times \frac{\pi}{400} = \frac{\pi}{200}$।
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए: $\frac{dI}{I} \times 100 = \frac{\pi}{200} \times 100 = \frac{\pi}{2} \%$।
अतः,सही विकल्प $(b)$ है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x}{5} + \frac{5}{x}$ है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें $f'(x) = \frac{1}{5} - \frac{5}{x^2}$।
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें: $\frac{1}{5} = \frac{5}{x^2} \Rightarrow x^2 = 25 \Rightarrow x = \pm 5$।
द्वितीय अवकलज ज्ञात करें $f''(x) = \frac{10}{x^3}$।
$x = 5$ के लिए,$f''(5) = \frac{10}{125} > 0$,इसलिए $x = 5$ एक स्थानीय न्यूनतम है।
$x = -5$ के लिए,$f''(-5) = \frac{10}{-125} < 0$,इसलिए $x = -5$ एक स्थानीय अधिकतम है।
अतः,$a = -5$।
अब,$\sqrt{a^2 + 2a - 6} = \sqrt{(-5)^2 + 2(-5) - 6} = \sqrt{25 - 10 - 6} = \sqrt{9} = 3$।

(D) दिया गया है $2x + 3y = 50$। हमें $P = x^2 y^3$ को अधिकतम करना है।
प्रतिबंध से,$y = \frac{50 - 2x}{3}$।
$P$ में $y$ का मान रखने पर,$P = x^2 \left(\frac{50 - 2x}{3}\right)^3 = \frac{1}{27} x^2 (50 - 2x)^3$।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $P$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dP}{dx} = \frac{1}{27} [x^2 \cdot 3(50 - 2x)^2(-2) + 2x(50 - 2x)^3] = 0$।
$\Rightarrow 2x(50 - 2x)^2 [-3x + 50 - 2x] = 0$।
$\Rightarrow 2x(50 - 2x)^2 (50 - 5x) = 0$।
चूंकि $x, y$ धनात्मक पूर्णांक हैं,$x \neq 0$ और $x \neq 25$। अतः,$50 - 5x = 0 \Rightarrow x = 10$।
$x = 10$ के लिए,$y = \frac{50 - 2(10)}{3} = \frac{30}{3} = 10$।
इस प्रकार,$\alpha = 10$ और $\beta = 10$।
अंत में,$\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{5} = \frac{10}{2} + \frac{10}{5} = 5 + 2 = 7$।

(A) दिया गया फलन: $[0, 2]$ अंतराल पर $f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 3$ है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$।
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें:
$3x^2 - 3x - x + 1 = 0$
$3x(x - 1) - 1(x - 1) = 0$
$(3x - 1)(x - 1) = 0$
अतः,$x = \frac{1}{3}$ और $x = 1$ है।
दोनों क्रांतिक बिंदु $[0, 2]$ अंतराल के भीतर स्थित हैं।
अब,क्रांतिक बिंदुओं और अंत बिंदुओं पर फलन का मान ज्ञात करें:
$f(0) = 0^3 - 2(0)^2 + 0 - 3 = -3$
$f\left(\frac{1}{3}\right) = \left(\frac{1}{3}\right)^3 - 2\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \frac{1}{3} - 3 = \frac{1}{27} - \frac{2}{9} + \frac{1}{3} - 3 = \frac{1 - 6 + 9 - 81}{27} = \frac{-77}{27}$
$f(1) = 1^3 - 2(1)^2 + 1 - 3 = 1 - 2 + 1 - 3 = -3$
$f(2) = 2^3 - 2(2)^2 + 2 - 3 = 8 - 8 + 2 - 3 = -1$
इन मानों की तुलना करने पर: $\{-3, \frac{-77}{27}, -3, -1\}$।
निरपेक्ष अधिकतम मान $M = -1$ है।
निरपेक्ष न्यूनतम मान $m = -3$ है।
अतः,$M + m = -1 + (-3) = -4$।

(B) दिया गया फलन: $f(x) = x e^{-x}$.
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम पहले अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(1-x)$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,$e^{-x}(1-x) = 0$. चूँकि सभी $x \in R$ के लिए $e^{-x} \neq 0$,इसलिए $1-x = 0$,जिसका अर्थ है $x = 1$.
अब,उच्चिष्ठ (maxima) की जाँच करने के लिए हम द्वितीय अवकलज $f''(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f''(x) = \frac{d}{dx}[e^{-x} - x e^{-x}] = -e^{-x} - (e^{-x} - x e^{-x}) = e^{-x}(x-2)$.
$x = 1$ पर,$f''(1) = e^{-1}(1-2) = -e^{-1} = -\frac{1}{e} < 0$.
चूँकि $f''(1) < 0$,फलन $x = 1$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ मान प्राप्त करता है।
अतः,$\alpha = 1$.
अधिकतम मान $\beta = f(1) = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e}$.
इसलिए,$(\alpha, \beta) = \left(1, \frac{1}{e}\right)$.

(B) मान लीजिए कि $R = 12$ त्रिज्या वाले गोले में अंतर्निहित बेलन की त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है।
गोले की ज्यामिति से,हमारे पास संबंध $R^2 = r^2 + (h/2)^2$ है,जो $12^2 = r^2 + \frac{h^2}{4}$ देता है।
अतः,$r^2 = 144 - \frac{h^2}{4}$।
बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है।
$r^2$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V = \pi (144 - \frac{h^2}{4}) h = 144 \pi h - \frac{\pi}{4} h^3$ प्राप्त होता है।
अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए,हम $V$ का $h$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $\frac{dV}{dh} = 144 \pi - \frac{3 \pi}{4} h^2$।
$\frac{dV}{dh} = 0$ रखने पर,हमें $144 \pi = \frac{3 \pi}{4} h^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $h^2 = 144 \times \frac{4}{3} = 192$।
इसलिए,$h = \sqrt{192} = 8 \sqrt{3}$।
अब,$r^2 = 144 - \frac{192}{4} = 144 - 48 = 96$।
अधिकतम आयतन $V = \pi r^2 h = \pi \times 96 \times 8 \sqrt{3} = 768 \sqrt{3} \pi$ घन इकाई है।

(D) हमें $I_n = \int \frac{\sin nx}{\sin x} dx$ दिया गया है।
अंतर $I_n - I_{n-2}$ पर विचार करें:
$I_n - I_{n-2} = \int \frac{\sin nx - \sin(n-2)x}{\sin x} dx$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin A - \sin B = 2 \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \sin \left( \frac{A-B}{2} \right)$ का उपयोग करते हुए:
$\sin nx - \sin(n-2)x = 2 \cos \left( \frac{nx + nx - 2x}{2} \right) \sin \left( \frac{nx - nx + 2x}{2} \right) = 2 \cos((n-1)x) \sin x$.
इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I_n - I_{n-2} = \int \frac{2 \cos((n-1)x) \sin x}{\sin x} dx = 2 \int \cos((n-1)x) dx$.
समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है:
$I_n - I_{n-2} = \frac{2 \sin((n-1)x)}{n-1} + C$.
$I_{n+1} - I_{n-1}$ ज्ञात करने के लिए,हम $n$ को $n+1$ से प्रतिस्थापित करते हैं:
$I_{n+1} - I_{(n+1)-2} = I_{n+1} - I_{n-1} = \frac{2 \sin((n+1-1)x)}{n+1-1} = \frac{2 \sin nx}{n}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{\sin ^8 x-\cos ^8 x}{1-2 \sin ^2 x \cos ^2 x} d x$ है।
सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करके,हम अंश का गुणनखंड कर सकते हैं:
$\sin ^8 x - \cos ^8 x = (\sin ^4 x - \cos ^4 x)(\sin ^4 x + \cos ^4 x) = (\sin ^2 x - \cos ^2 x)(\sin ^2 x + \cos ^2 x)(\sin ^4 x + \cos ^4 x)$.
चूंकि $\sin ^2 x + \cos ^2 x = 1$,इसलिए अंश $(\sin ^2 x - \cos ^2 x)(\sin ^4 x + \cos ^4 x)$ हो जाता है।
अब,हर पर विचार करें: $1 - 2 \sin ^2 x \cos ^2 x$.
हम जानते हैं कि $1 = (\sin ^2 x + \cos ^2 x)^2 = \sin ^4 x + \cos ^4 x + 2 \sin ^2 x \cos ^2 x$.
इसलिए,$1 - 2 \sin ^2 x \cos ^2 x = \sin ^4 x + \cos ^4 x$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{(\sin ^2 x - \cos ^2 x)(\sin ^4 x + \cos ^4 x)}{\sin ^4 x + \cos ^4 x} d x = \int (\sin ^2 x - \cos ^2 x) d x$.
सर्वसमिका $\cos 2x = \cos ^2 x - \sin ^2 x$ का उपयोग करते हुए,हमें $\sin ^2 x - \cos ^2 x = -\cos 2x$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int -\cos 2x d x = -\frac{1}{2} \sin 2x + C$.

(A) $\text{दिया गया है } I = \int \frac{1}{\operatorname{cosec} x+\cos x} d x = \int \frac{\sin x}{1+\sin x \cos x} d x = \int \frac{2 \sin x}{2+\sin 2 x} d x$
$\text{हम } 2 \sin x = (\sin x + \cos x) - (\cos x - \sin x) \text{ लिख सकते हैं।}$
$\text{अतः, } I = \int \frac{\sin x + \cos x}{2 + \sin 2x} d x - \int \frac{\cos x - \sin x}{2 + \sin 2x} d x$
$\text{दिए गए समीकरण से तुलना करने पर, } \frac{1}{2 \sqrt{3}} \log |f(x)| = \int \frac{\sin x + \cos x}{2 + \sin 2x} d x$
$\text{ध्यान दें कि } 2 + \sin 2x = 3 - (1 - \sin 2x) = 3 - (\sin x - \cos x)^2$
$\text{माना } u = \sin x - \cos x, \text{ तो } du = (\cos x + \sin x) d x$
$\int \frac{du}{3 - u^2} = \frac{1}{2 \sqrt{3}} \log \left| \frac{\sqrt{3} + u}{\sqrt{3} - u} \right| + C$
$\text{इस प्रकार, } f(x) = \frac{\sqrt{3} + \sin x - \cos x}{\sqrt{3} - \sin x + \cos x}$
$\text{जब } x = \frac{\pi}{3}, \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ और } \cos x = \frac{1}{2}$
$|f(\frac{\pi}{3})| = \left| \frac{\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}}{\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}} \right| = \frac{\frac{3 \sqrt{3} - 1}{2}}{\frac{\sqrt{3} + 1}{2}} = \frac{3 \sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$

(A) $\int \frac{1+\sqrt{3} \cot x}{1-\sqrt{3} \cot x} d x = \int \frac{\tan x+\sqrt{3}}{\tan x-\sqrt{3}} d x = \int \frac{\sin x+\sqrt{3} \cos x}{\sin x-\sqrt{3} \cos x} d x$
माना $\sin x+\sqrt{3} \cos x = K_1(\cos x+\sqrt{3} \sin x) + K_2(\sin x-\sqrt{3} \cos x)$.
$\sin x$ और $\cos x$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$\sqrt{3} K_1 + K_2 = 1$ $(i)$
$K_1 - \sqrt{3} K_2 = \sqrt{3}$ (ii)
इन्हें हल करने पर,हमें $K_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $K_2 = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,समाकलन $\int \frac{K_1(\cos x+\sqrt{3} \sin x) + K_2(\sin x-\sqrt{3} \cos x)}{\sin x-\sqrt{3} \cos x} d x$ बन जाता है।
$= K_1 \int \frac{d(\sin x-\sqrt{3} \cos x)}{\sin x-\sqrt{3} \cos x} + K_2 \int 1 d x$
$= \frac{\sqrt{3}}{2} \ln |\sin x-\sqrt{3} \cos x| - \frac{1}{2} x + C$
चूंकि $\sin x-\sqrt{3} \cos x = 2(\frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x) = 2 \sin(x-\frac{\pi}{3})$,
अतः व्यंजक $-\frac{x}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \ln |2 \sin(x-\frac{\pi}{3})| + C = -\frac{x}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \ln |\sin(x-\frac{\pi}{3})| + C'$ हो जाता है।

(D) माना $u = x+a$,तब $du = dx$ और $x = u-a$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{u-a}{u^5} du = \int (u^{-4} - au^{-5}) du$
$= \frac{u^{-3}}{-3} - a \frac{u^{-4}}{-4} + C$
$= -\frac{1}{3u^3} + \frac{a}{4u^4} + C$
$= \frac{-4u + 3a}{12u^4} + C$
$= \frac{-4(x+a) + 3a}{12(x+a)^4} + C$
$= \frac{-4x - 4a + 3a}{12(x+a)^4} + C$
$= \frac{1}{12(x+a)^4}(-4x - a) + C$
इसे $\frac{1}{k(a+x)^4}(f(x)) + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = 12$ और $f(x) = -4x - a$ प्राप्त होता है।
अब,$f(-a) = -4(-a) - a = 4a - a = 3a$ की गणना करें।
अंत में,$\frac{f(-a)}{ak} = \frac{3a}{12a} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$।

(B) प्रत्येक समाकलन का मूल्यांकन करते हैं:
$(1) \int \frac{\sin^2 x}{\cos^4 x} dx = \int \tan^2 x \sec^2 x dx$. मान लीजिए $\tan x = t$,तब $\sec^2 x dx = dt$. समाकलन $\int t^2 dt = \frac{t^3}{3} + c = \frac{\tan^3 x}{3} + c$ हो जाता है। अतः,$1-C$.
$(2) \int \frac{\sin^4 x}{\cos^2 x} dx = \int \frac{(\sin^2 x)^2}{\cos^2 x} dx = \int \frac{(1-\cos^2 x)^2}{\cos^2 x} dx = \int \frac{1 - 2\cos^2 x + \cos^4 x}{\cos^2 x} dx = \int (\sec^2 x - 2 + \cos^2 x) dx = \tan x - 2x + \int \frac{1+\cos 2x}{2} dx = \tan x - 2x + \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + c = \tan x + \frac{\sin 2x}{4} - \frac{3x}{2} + c$ हो जाता है। अतः,$2-D$.
$(3) \int \frac{\sin^3 x}{\cos^2 x} dx = \int \frac{\sin x(1-\cos^2 x)}{\cos^2 x} dx$. मान लीजिए $\cos x = t$,तब $-\sin x dx = dt$. समाकलन $-\int \frac{1-t^2}{t^2} dt = -\int (t^{-2} - 1) dt = -(-t^{-1} - t) + c = \frac{1}{t} + t + c = \sec x + \cos x + c$ हो जाता है। अतः,$3-B$.
$(4) \int \frac{\sin^3 x}{\cos^3 x} dx = \int \tan^3 x dx = \int \tan x(\sec^2 x - 1) dx = \int \tan x \sec^2 x dx - \int \tan x dx = \frac{\tan^2 x}{2} - \ln|\sec x| + c = \frac{\tan^2 x}{2} + \ln|\cos x| + c$ हो जाता है। अतः,$4-A$.
सही मिलान $1-C, 2-D, 3-B, 4-A$ है।

(C) हम $\tan \frac{x}{2} = t$ प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैं,जिसका अर्थ है $dx = \frac{2 dt}{1 + t^2}$,$\cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$,और $\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$\int \frac{1}{3(\frac{1 - t^2}{1 + t^2}) - 4(\frac{2t}{1 + t^2}) + 5} \cdot \frac{2 dt}{1 + t^2}$
$= \int \frac{2 dt}{3(1 - t^2) - 8t + 5(1 + t^2)}$
$= \int \frac{2 dt}{3 - 3t^2 - 8t + 5 + 5t^2}$
$= \int \frac{2 dt}{2t^2 - 8t + 8} = \int \frac{dt}{t^2 - 4t + 4}$
$= \int \frac{dt}{(t - 2)^2} = -(t - 2)^{-1} + c$
$= \frac{-1}{t - 2} + c = \frac{1}{2 - t} + c$
$t = \tan \frac{x}{2}$ वापस रखने पर,हमें $\frac{1}{2 - \tan \frac{x}{2}} + c$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int \frac{\sec^2 x}{(\sec x + \tan x)^2} dx$.
माना $t = \sec x + \tan x$. तब $\frac{1}{t} = \sec x - \tan x$.
इन दोनों को जोड़ने पर,$2 \sec x = t + \frac{1}{t} \Rightarrow \sec x = \frac{1}{2}(t + \frac{1}{t})$.
$t = \sec x + \tan x$ का अवकलन करने पर,$dt = (\sec x \tan x + \sec^2 x) dx = \sec x(\tan x + \sec x) dx = \sec x \cdot t \cdot dx$.
अतः,$\sec x dx = \frac{dt}{t}$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{\sec x \cdot \sec x dx}{t^2} = \int \frac{\frac{1}{2}(t + \frac{1}{t}) \cdot \frac{dt}{t}}{t^2} = \frac{1}{2} \int \frac{t^2+1}{t^4} dt$.
$I = \frac{1}{2} \int (t^{-2} + t^{-4}) dt = \frac{1}{2} [\frac{t^{-1}}{-1} + \frac{t^{-3}}{-3}] + C$.
$I = -\frac{1}{2t} - \frac{1}{6t^3} + C = -\frac{3t^2 + 1}{6t^3} + C$.
$t = \sec x + \tan x$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $I = -\frac{1+3(\sec x+\tan x)^2}{6(\sec x+\tan x)^3} + C$.

(A) समाकलन $I = \int \frac{1}{16-7 \sin^2 x} dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करें:
$I = \int \frac{\sec^2 x}{16 \sec^2 x - 7 \tan^2 x} dx$
$\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ का उपयोग करते हुए:
$I = \int \frac{\sec^2 x}{16(1 + \tan^2 x) - 7 \tan^2 x} dx = \int \frac{\sec^2 x}{16 + 9 \tan^2 x} dx$
माना $\tan x = t$,तब $\sec^2 x dx = dt$:
$I = \int \frac{dt}{16 + 9t^2} = \frac{1}{9} \int \frac{dt}{\frac{16}{9} + t^2} = \frac{1}{9} \int \frac{dt}{(\frac{4}{3})^2 + t^2}$
सूत्र $\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करते हुए:
$I = \frac{1}{9} \times \frac{1}{4/3} \tan^{-1}\left(\frac{t}{4/3}\right) + C = \frac{1}{9} \times \frac{3}{4} \tan^{-1}\left(\frac{3t}{4}\right) + C$
$I = \frac{1}{12} \tan^{-1}\left(\frac{3 \tan x}{4}\right) + C$

(A) $\int \frac{2x+3}{\sqrt{3x^2-2x+1}} dx$ को हल करने के लिए,अंश को वर्गमूल के अंदर के द्विघात व्यंजक के अवकलज के गुणज के रूप में व्यक्त करें। $3x^2-2x+1$ का अवकलज $6x-2$ है।
हम $2x+3 = \frac{1}{3}(6x-2) + \frac{11}{3}$ लिख सकते हैं।
अतः,समाकलन इस प्रकार होगा:
$\int \frac{2x+3}{\sqrt{3x^2-2x+1}} dx = \frac{1}{3} \int \frac{6x-2}{\sqrt{3x^2-2x+1}} dx + \frac{11}{3} \int \frac{dx}{\sqrt{3(x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{3})}}$.
पहले भाग के लिए,$u = 3x^2-2x+1$ लेने पर,$du = (6x-2)dx$ प्राप्त होता है। समाकलन $\frac{1}{3} \int u^{-1/2} du = \frac{2}{3} \sqrt{3x^2-2x+1}$ होता है।
दूसरे भाग के लिए,पूर्ण वर्ग बनाने पर: $x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{3} = (x-\frac{1}{3})^2 + \frac{2}{9}$.
अतः,$\frac{11}{3\sqrt{3}} \int \frac{dx}{\sqrt{(x-\frac{1}{3})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{3})^2}} = \frac{11}{3\sqrt{3}} \sinh^{-1}\left(\frac{x-1/3}{\sqrt{2}/3}\right) = \frac{11}{3\sqrt{3}} \sinh^{-1}\left(\frac{3x-1}{\sqrt{2}}\right)$.
इस प्रकार,अंतिम उत्तर $\frac{2}{3} \sqrt{3x^2-2x+1} + \frac{11}{3\sqrt{3}} \sinh^{-1}\left(\frac{3x-1}{\sqrt{2}}\right) + C$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{2 \sin 2x - 3 \cos x}{2 \sin^2 x - 3 \sin x + 4} dx$ है।
सर्वसमिका $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करके,अंश को पुनः लिखने पर:
$I = \int \frac{4 \sin x \cos x - 3 \cos x}{2 \sin^2 x - 3 \sin x + 4} dx = \int \frac{(4 \sin x - 3) \cos x}{2 \sin^2 x - 3 \sin x + 4} dx$.
माना $\sin x = t$,तब $\cos x dx = dt$.
समाकलन $I = \int \frac{4t - 3}{2t^2 - 3t + 4} dt$ हो जाता है।
माना $u = 2t^2 - 3t + 4$,तब $du = (4t - 3) dt$.
अतः,$I = \int \frac{du}{u} = \ln |u| + c = \ln |2t^2 - 3t + 4| + c$.
$t = \sin x$ वापस रखने पर,हमें $f(x) = \ln |2 \sin^2 x - 3 \sin x + 4|$ प्राप्त होता है।
अब,$f\left(\frac{\pi}{2}\right) - f(0)$ की गणना करें:
$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \ln |2(1)^2 - 3(1) + 4| = \ln |2 - 3 + 4| = \ln 3$.
$f(0) = \ln |2(0)^2 - 3(0) + 4| = \ln 4$.
इसलिए,$f\left(\frac{\pi}{2}\right) - f(0) = \ln 3 - \ln 4 = \ln \left(\frac{3}{4}\right) = \log \left(\frac{3}{4}\right)$.

(B) हमारे पास $I = \int(\sqrt{1-\sin x} + \sqrt{1+\sin x}) \, dx$ है।
$1 \pm \sin x = \left(\cos \frac{x}{2} \pm \sin \frac{x}{2}\right)^2$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \left( \sqrt{(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2} + \sqrt{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2} \right) \, dx = \int \left( |\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}| + |\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}| \right) \, dx$.
दिया गया है कि $\frac{3 \pi}{2} < x < \frac{5 \pi}{2}$,इसलिए $\frac{3 \pi}{4} < \frac{x}{2} < \frac{5 \pi}{4}$ है।
इस अंतराल में,$\sin \frac{x}{2} > \cos \frac{x}{2}$ और $\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} < 0$ (क्योंकि $\frac{x}{2}$ तीसरे चतुर्थांश में है)।
अतः,$|\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}| = \sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}$ और $|\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}| = -(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})$.
$I = \int (\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}) \, dx = \int -2 \cos \frac{x}{2} \, dx = -4 \sin \frac{x}{2} + c$.
अतः,$f(x) = -4 \sin \frac{x}{2}$.
तब $f\left(\frac{\pi}{3}\right) - f(0) = -4 \sin \frac{\pi}{6} - (-4 \sin 0) = -4 \left(\frac{1}{2}\right) + 0 = -2$.

(A) माना $I = \int \frac{d x}{\left(x+\frac{2}{x}\right) \sqrt{x^4+4 x^2+3}}$.
अंश और हर को $x$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{x d x}{\left(x^2+2\right) \sqrt{x^4+4 x^2+3}}$.
वर्गमूल के अंदर के पद को फिर से लिखने पर: $x^4+4 x^2+3 = (x^2+2)^2 - 1$.
अतः,$I = \int \frac{x d x}{\left(x^2+2\right) \sqrt{(x^2+2)^2 - 1}}$.
माना $t = x^2+2$,तो $dt = 2x dx$,जिसका अर्थ है $x dx = \frac{1}{2} dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{t \sqrt{t^2-1}}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dt}{t \sqrt{t^2-1}} = \sec^{-1}(t) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2} \sec^{-1}(t) + C$.
$t = x^2+2$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{2} \sec^{-1}(x^2+2) + C$.