એક વર્તુળ S = x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + 4 = 0 એ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) બે વર્તુળો $x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ અને $x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ લંબચ્છેદી હોય તો શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ છે

Vedclass · Accepted Answer

$4$

Vedclass · Answer

(A) બે વર્તુળો $x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ અને $x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ લંબચ્છેદી હોય તો શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ છે. આપેલ $S: x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + 4 = 0$ અને $C_1: x^2 + y^2 - 4x - 4y - 4 = 0$. શરત લાગુ પાડતા: $2g(-2) + 2f(-2) = 4 - 4$ $\Rightarrow -4g - 4f = 0$ $\Rightarrow g + f = 0$. ધારો કે $r_1$ એ $S$ ની ત્રિજ્યા છે,તેથી $r_1^2 = g^2 + f^2 - 4$. આપેલ છે કે $S$ એ $C_2: x^2 + y^2 + 4x + 4y + 4 = 0$ સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. કેન્દ્રો $O_1 = (-g, -f)$ અને $O_2 = (-2, -2)$ છે. અંતર $d^2 = (-g + 2)^2 + (-f + 2)^2 = (g - 2)^2 + (f - 2)^2$. $C_2$ ની ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{2^2 + 2^2 - 4} = 2$ છે. વર્તુળો વચ્ચેનો ખૂણો $	heta$ માટે $\cos 	heta = \frac{r_1^2 + r_2^2 - d^2}{2r_1r_2}$. $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} = \frac{r_1^2 + 4 - ((g - 2)^2 + (f - 2)^2)}{2r_1(2)}$. $2r_1 = r_1^2 + 4 - (g^2 - 4g + 4 + f^2 - 4f + 4) = r_1^2 + 4 - (g^2 + f^2 - 4(g + f) + 8)$. $g + f = 0$ અને $g^2 + f^2 = r_1^2 + 4$ હોવાથી,$2r_1 = r_1^2 + 4 - (r_1^2 + 4 - 0 + 8) = r_1^2 + 4 - r_1^2 - 12 = -8$. માનાંક લેતા,$2r_1 = 8$,તેથી $r_1 = 4$.

Similar Questions

જો બિંદુ $P$ માંથી વર્તુળો $x^2+y^2-8x+40=0$,$5x^2+5y^2-25x+80=0$ અને $x^2+y^2-8x+16y+160=0$ પર દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોય,તો બિંદુ $P$ ના યામ શોધો.

$x^2 + y^2 + 13x - 3y = 0$ અને $2x^2 + 2y^2 + 4x - 7y - 25 = 0$ વર્તુળોના છેદબિંદુઓ અને $(1, 1)$ બિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ શોધો.

જો વર્તુળો $x^2+y^2-6x-8y-12=0$ અને $x^2+y^2-4x+6y+k=0$ એકબીજાને લંબ હોય,તો '$k$' ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module