વક્ર $3x^2 - y^2 - 2x + 4y = 0$ ની તમામ જીવાઓ જે ઉગમબિંદુ પર કાટખૂણો આંતરે છે,તે કયા બિંદુએ સંગામી છે?

ધારો કે વર્તુળ $x^2+y^2-16x-4y=0$ ના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી એક ચલ રેખા ધન યામ અક્ષોને બિંદુઓ $A$ અને $B$ માં મળે છે. તો $OA+OB$ ની ન્યૂનતમ કિંમત,જ્યાં $O$ ઉગમબિંદુ છે,તે કેટલી થાય?

એક ચલિત વર્તુળ અચળ બિંદુ $A(p, q)$ માંથી પસાર થાય છે અને $x$-અક્ષને સ્પર્શે છે. $A$ માંથી પસાર થતા વ્યાસના બીજા અંત્યબિંદુનો બિંદુપથ શોધો.

વર્તુળ $4x^2 + 4y^2 - 12x + 4y + 1 = 0$ ની જીવાઓ જે તેના કેન્દ્ર પર $\frac{2\pi}{3}$ નો ખૂણો આંતરે છે,તેના મધ્યબિંદુઓના બિંદુપથનું સમીકરણ શોધો.

વર્તુળ $C : x^2 + y^2 - 6x - 8y - 11 = 0$ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે વર્તુળ $C$ ની એક ચલ જીવા $AB$ ઉગમબિંદુ આગળ કાટખૂણો આંતરે છે. જો જીવા $AB$ પર ઉગમબિંદુમાંથી દોરેલા લંબના પાદનો બિંદુપથ વર્તુળ $x^2 + y^2 - \alpha x - \beta y - \gamma = 0$ હોય,તો $\alpha + \beta + 2\gamma$ ની કિંમત . . . . . . છે.

$6$ એકમ લંબાઈનો એક સળિયો તેના છેડાઓ યામ અક્ષો પર રહે તે રીતે સરકે છે. સળિયાના મધ્યબિંદુનો બિંદુપથ શોધો.