TS EAMCET 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) ધારો કે પ્રથમ સમીકરણ માટે રેખાઓ $y - mx = 0$ અને $y - m_1x = 0$ છે,અને બીજા સમીકરણ માટે $y - mx = 0$ અને $y - m_2x = 0$ છે,જ્યાં $y - mx = 0$ સામાન્ય રેખા છે.
$2x^2 + \alpha xy + 3y^2 = 0$ માટે,$3(y/x)^2 + \alpha(y/x) + 2 = 0$.
ધારો કે $m$ અને $m_1$ બીજ છે. તો $m + m_1 = -\alpha/3$ અને $m \cdot m_1 = 2/3$.
$2x^2 + \beta xy - 3y^2 = 0$ માટે,$3(y/x)^2 - \beta(y/x) - 2 = 0$.
ધારો કે $m$ અને $m_2$ બીજ છે. તો $m + m_2 = \beta/3$ અને $m \cdot m_2 = -2/3$.
આપેલ છે કે અન્ય બે રેખાઓ $y - m_1x = 0$ અને $y - m_2x = 0$ પરસ્પર લંબ છે,તેથી $m_1 \cdot m_2 = -1$.
$m \cdot m_1 = 2/3$ પરથી,$m_1 = 2/(3m)$.
$m \cdot m_2 = -2/3$ પરથી,$m_2 = -2/(3m)$.
$m_1 \cdot m_2 = -1$ માં મૂકતા: $(2/(3m)) \cdot (-2/(3m)) = -1$ $\Rightarrow -4/(9m^2) = -1$ $\Rightarrow m^2 = 4/9$ $\Rightarrow m = \pm 2/3$.
જો $m = 2/3$ હોય,તો $m_1 = 1$ અને $m_2 = -1$.
તેથી $\alpha = -3(m + m_1) = -5$ અને $\beta = 3(m + m_2) = -1$.
$|\alpha + \beta| = |-5 - 1| = 6$.

(B) આપેલ રેખા $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1$ છે,જેને $2x+3y=6$ અથવા $y=-\frac{2}{3}x+2$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $m_1=-\frac{2}{3}$ છે.
ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડી પરસ્પર લંબ હોવાથી અને આપેલ રેખા સાથે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ બનાવતી હોવાથી,તેઓ આપેલ રેખા સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
ધારો કે રેખાઓની જોડીના ઢાળ $m$ અને $-\frac{1}{m}$ છે.
રેખા $y=mx$ અને $y=-\frac{2}{3}x+2$ વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ છે.
$\tan 45^{\circ} = \left| \frac{m - (-2/3)}{1 + m(-2/3)} \right| = 1$
$1 = \left| \frac{3m+2}{3-2m} \right|$
$3m+2 = 3-2m$ અથવા $3m+2 = -(3-2m)$
$5m = 1 \Rightarrow m = \frac{1}{5}$ અથવા $m+5 = 0 \Rightarrow m = -5$.
રેખાઓ $y=\frac{1}{5}x$ અને $y=-5x$ છે,એટલે કે $x-5y=0$ અને $5x+y=0$.
તેમનું સંયુક્ત સમીકરણ $(x-5y)(5x+y) = 0$ છે.
$5x^2 + xy - 25xy - 5y^2 = 0$
$5x^2 - 24xy - 5y^2 = 0$
$5(x^2-y^2) - 24xy = 0$.

(B) આપેલ રેખાઓની જોડી $S \equiv 2x^2+3xy-2y^2-7x+y+3=0$ છે.
હોમોજીનિયસ ભાગનું અવયવીકરણ: $2x^2+3xy-2y^2 = (x+2y)(2x-y) = 0$.
ધારો કે રેખાઓ $(x+2y+c_1)(2x-y+c_2) = 2x^2+3xy-2y^2-7x+y+3$ છે.
$x$ અને $y$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $2c_1+c_2 = -7$ અને $2c_2-c_1 = 1$.
આને ઉકેલતા,આપણને $c_1 = -3$ અને $c_2 = -1$ મળે છે.
તેથી,રેખાઓ $x+2y-3=0$ અને $2x-y-1=0$ છે.
રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ આ રેખાઓને લંબ છે અને $(3,-4)$ માંથી પસાર થાય છે.
$x+2y-3=0$ ને લંબ રેખા $2x-y+k_1=0$ છે. $(3,-4)$ માંથી પસાર થતા: $2(3)-(-4)+k_1=0 \Rightarrow k_1=-10$. તેથી,$2x-y-10=0$.
$2x-y-1=0$ ને લંબ રેખા $x+2y+k_2=0$ છે. $(3,-4)$ માંથી પસાર થતા: $3+2(-4)+k_2=0 \Rightarrow k_2=5$. તેથી,$x+2y+5=0$.
આ ચાર રેખાઓ દ્વારા બનતા લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ એ સમાંતર જોડીઓ વચ્ચેના અંતરનો ગુણાકાર છે.
$x+2y-3=0$ અને $x+2y+5=0$ વચ્ચેનું અંતર $d_1 = \frac{|5-(-3)|}{\sqrt{1^2+2^2}} = \frac{8}{\sqrt{5}}$ છે.
$2x-y-1=0$ અને $2x-y-10=0$ વચ્ચેનું અંતર $d_2 = \frac{|-10-(-1)|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} = \frac{9}{\sqrt{5}}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= d_1 \times d_2 = \frac{8}{\sqrt{5}} \times \frac{9}{\sqrt{5}} = \frac{72}{5} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) યામ અક્ષો વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજકો $y = x$ અને $y = -x$ છે.
આ રેખાઓ $x^2+2axy+3y^2=0$ દ્વારા દર્શાવેલ રેખાઓની જોડીનો ભાગ હોવાથી,તેઓ સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
કિસ્સો $1$: સમીકરણમાં $y = x$ મૂકતા:
$x^2+2ax(x)+3x^2 = 0$
$4x^2+2ax^2 = 0$
$x^2(4+2a) = 0$
આ તમામ $x$ માટે સાચું હોવાથી,$4+2a = 0$,જે $a = -2$ આપે છે.
કિસ્સો $2$: સમીકરણમાં $y = -x$ મૂકતા:
$x^2+2ax(-x)+3(-x)^2 = 0$
$x^2-2ax^2+3x^2 = 0$
$4x^2-2ax^2 = 0$
$x^2(4-2a) = 0$
આ તમામ $x$ માટે સાચું હોવાથી,$4-2a = 0$,જે $a = 2$ આપે છે.
$a$ ના શક્ય મૂલ્યો $-2$ અને $2$ છે.
તેથી,$a$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો $(-2) + 2 = 0$ થાય.

(A) સીધી રેખાઓની જોડીનું આપેલ સમીકરણ $3y^2 - 8xy - 3x^2 - 29x + 3y - 18 = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $-3x^2 - 8xy + 3y^2 - 29x + 3y - 18 = 0$ મળે છે.
આને સીધી રેખાઓની જોડીના સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = -3$ અને $b = 3$ મળે છે.
કારણ કે $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો $a + b = -3 + 3 = 0$ છે,તેથી રેખાઓ એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,સીધી રેખાઓની જોડી વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.

(A) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $x^2 + 3y^2 + 4xy - 4x - 10y + 3 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $ax^2 + by^2 + 2hxy + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 1, b = 3, h = 2, g = -2, f = -5, c = 3$ મળે છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખાઓની જોડી પરના લંબની લંબાઈનો ગુણાકાર $\frac{|c|}{\sqrt{(a-b)^2 + (2h)^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{|3|}{\sqrt{(1-3)^2 + (2 \times 2)^2}} = \frac{3}{\sqrt{(-2)^2 + 4^2}} = \frac{3}{\sqrt{4 + 16}} = \frac{3}{\sqrt{20}}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $a x^2+2 h x y+b y^2+2 g x+2 f y+c=0$ છે.
વિકલ્પ $(A)$ માટે,જો બે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ હોય,તો $m_1+m_2 = -\frac{2h}{b}$ અને $m_1 m_2 = \frac{a}{b}$ થાય. જો $m_1 = -m_2$ હોય,તો $m_1+m_2 = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $-\frac{2h}{b} = 0$,તેથી $h = 0$. આમ,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.
વિકલ્પ $(B)$ માટે,જો રેખાઓ સમાંતર હોય,તો $h^2 = ab$ અને $bg^2 = af^2$ થાય. શરત $2f(gh+af) = 0$ એ સમાંતર રેખાઓ માટે સામાન્ય રીતે સાચી નથી.
વિકલ્પ $(C)$ માટે,જો રેખાઓ ઉગમબિંદુ પર છેદતી હોય,તો અચળ પદ $c$ શૂન્ય હોવું જોઈએ અને રેખીય પદો $2gx$ અને $2fy$ શૂન્ય હોવા જોઈએ,તેથી $g=f=c=0$. શરત $h^2=ab$ એ રેખાઓ સમાંતર હોવા માટે છે,ઉગમબિંદુ પર છેદવા માટે નહીં.
વિકલ્પ $(D)$ માટે,છેદબિંદુનો $x$-યામ $\frac{bg-hf}{h^2-ab}$ દ્વારા મળે છે. શરત $hf-bg > 0$ એ $bg-hf < 0$ ને સમાન છે,જે $x$-યામ ધન હોવાની ખાતરી આપતું નથી.

(D) વર્તુળ $x^2+y^2+2kx+4y-4=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (-k, -2)$ અને ત્રિજ્યા $R_1 = \sqrt{k^2+8}$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2+6x-2y+6=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (-3, 1)$ અને ત્રિજ્યા $R_2 = 2$ છે.
બંને વર્તુળો એકબીજાને સ્પર્શતા હોવાથી,$C_1C_2 = R_1 + R_2$.
$\sqrt{(-3+k)^2 + (1+2)^2} = \sqrt{k^2+8} + 2$.
$\sqrt{k^2-6k+18} = \sqrt{k^2+8} + 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $k^2-6k+18 = k^2+8 + 4 + 4\sqrt{k^2+8}$.
$6-6k = 4\sqrt{k^2+8} \Rightarrow 3(1-k) = 2\sqrt{k^2+8}$.
ફરીથી વર્ગ કરતા: $9(1-2k+k^2) = 4(k^2+8) \Rightarrow 5k^2-18k-23 = 0$.
$(k+1)(5k-23) = 0$,તેથી $k = -1$ અથવા $k = \frac{23}{5}$.
કેન્દ્ર $(-k, -2)$ એ $4^{\text{th}}$ ચરણમાં હોવાથી,$-k > 0$ એટલે કે $k < 0$.
તેથી,$k = -1$.

(D) બિંદુ $(x_1, y_1)$ વર્તુળ $S(x, y) = 0$ ની બહાર ન હોય તે માટે,તે વર્તુળની અંદર અથવા પર હોવું જોઈએ,એટલે કે $S(x_1, y_1) \leq 0$.
વર્તુળ $x^2+y^2-13=0$ માટે:
$(2)^2 + a^2 - 13 \leq 0$
$4 + a^2 - 13 \leq 0$
$a^2 - 9 \leq 0$
$(a+3)(a-3) \leq 0 \Rightarrow a \in [-3, 3] \quad (i)$
વર્તુળ $x^2+y^2+x-2y-14=0$ માટે:
$(2)^2 + a^2 + 2 - 2a - 14 \leq 0$
$4 + a^2 + 2 - 2a - 14 \leq 0$
$a^2 - 2a - 8 \leq 0$
$(a-4)(a+2) \leq 0 \Rightarrow a \in [-2, 4] \quad (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો છેદગણ લેતા:
$a \in [-3, 3] \cap [-2, 4] = [-2, 3]$.

(B) આપેલ વર્તુળોની સિસ્ટમ $x^2+y^2+2fy+\lambda(x^2+y^2+2gx+k)=0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $(1+\lambda)x^2+(1+\lambda)y^2+2g\lambda x+2fy+\lambda k=0$ મળે છે.
$(1+\lambda)$ વડે ભાગતા,આપણને $x^2+y^2+2\left(\frac{g\lambda}{1+\lambda}\right)x+2\left(\frac{f}{1+\lambda}\right)y+\frac{\lambda k}{1+\lambda}=0$ મળે છે.
બિંદુ વર્તુળ માટે,ત્રિજ્યા $r=0$ હોવી જોઈએ,તેથી $g'^2+f'^2-c'=0$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\left(\frac{g\lambda}{1+\lambda}\right)^2+\left(\frac{f}{1+\lambda}\right)^2-\frac{\lambda k}{1+\lambda}=0$ મળે છે.
$(1+\lambda)^2$ વડે ગુણતા,આપણને $g^2\lambda^2+f^2-\lambda k(1+\lambda)=0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $(g^2-k)\lambda^2-k\lambda+f^2=0$ થાય છે.
ધારો કે બીજ $\lambda_1$ અને $\lambda_2$ છે. બિંદુ વર્તુળોના કેન્દ્રો $A\left(\frac{-g\lambda_1}{1+\lambda_1}, \frac{-f}{1+\lambda_1}\right)$ અને $B\left(\frac{-g\lambda_2}{1+\lambda_2}, \frac{-f}{1+\lambda_2}\right)$ છે.
કારણ કે $\angle AOB = \frac{\pi}{2}$,ઢાળનો ગુણાકાર $m_1 m_2 = -1$ થાય.
$m_1 = \frac{-f/(1+\lambda_1)}{-g\lambda_1/(1+\lambda_1)} = \frac{f}{g\lambda_1}$.
તેથી,$\left(\frac{f}{g\lambda_1}\right)\left(\frac{f}{g\lambda_2}\right) = -1$ $\Rightarrow \frac{f^2}{g^2\lambda_1\lambda_2} = -1$.
દ્વિઘાત સમીકરણ પરથી,$\lambda_1\lambda_2 = \frac{f^2}{g^2-k}$.
આ કિંમત મૂકતા,$\frac{f^2}{g^2(f^2/(g^2-k))} = -1 \Rightarrow \frac{g^2-k}{g^2} = -1$.
$g^2-k = -g^2$ $\Rightarrow 2g^2 = k$ $\Rightarrow g^2 = \frac{k}{2}$.

(C) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$C_1: x^2+y^2+4x-6y-3=0$
$C_2: x^2+y^2+4x-2y+1=0$
સામાન્ય સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા:
$C_1$ માટે: $g=2, f=-3, c=-3$. કેન્દ્ર $O_1 = (-2, 3)$,ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{4+9+3} = \sqrt{16} = 4$.
$C_2$ માટે: $g=2, f=-1, c=1$. કેન્દ્ર $O_2 = (-2, 1)$,ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{4+1-1} = \sqrt{4} = 2$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $O_1O_2 = \sqrt{(-2 - (-2))^2 + (3-1)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2$.
અહીં $|r_1 - r_2| = |4 - 2| = 2$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $O_1O_2 = |r_1 - r_2|$ હોવાથી,બંને વર્તુળો એકબીજાને આંતરિક રીતે સ્પર્શે છે.
જ્યારે બે વર્તુળો આંતરિક રીતે સ્પર્શતા હોય,ત્યારે માત્ર $1$ સામાન્ય સ્પર્શક હોય છે.

(A) વર્તુળ $S: x^2 + y^2 - a^2 = 0$ અને રેખા $L: x \cos \alpha + y \sin \alpha - P = 0$ ના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $S + \lambda L = 0$ છે.
$x^2 + y^2 - a^2 + \lambda(x \cos \alpha + y \sin \alpha - P) = 0$
$x^2 + y^2 + \lambda x \cos \alpha + \lambda y \sin \alpha - a^2 - \lambda P = 0$ $(i)$
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $\left(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2}, -\frac{\lambda \sin \alpha}{2}\right)$ છે.
કારણ કે રેખા $x \cos \alpha + y \sin \alpha = P$ એ વ્યાસ $\overline{AB}$ છે,તેથી વર્તુળનું કેન્દ્ર આ રેખા પર હોવું જોઈએ.
કેન્દ્રને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\left(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2}\right) \cos \alpha + \left(-\frac{\lambda \sin \alpha}{2}\right) \sin \alpha = P$
$-\frac{\lambda}{2} (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = P$
$-\frac{\lambda}{2} = P \Rightarrow \lambda = -2P$
સમીકરણ $(i)$ માં $\lambda = -2P$ મૂકતા:
$x^2 + y^2 - 2Px \cos \alpha - 2Py \sin \alpha - a^2 - (-2P)P = 0$
$x^2 + y^2 - 2Px \cos \alpha - 2Py \sin \alpha + 2P^2 - a^2 = 0$

(A) સમીકરણ $x^2+2x-3=0$ માટે,બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે. વિએટાના સૂત્રો મુજબ,$\alpha+\beta = -2$ અને $\alpha\beta = -3$ થાય.
સમીકરણ $y^2-y-6=0$ માટે,બીજ $\gamma$ અને $\delta$ છે. વિએટાના સૂત્રો મુજબ,$\gamma+\delta = 1$ અને $\gamma\delta = -6$ થાય.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 + y^2 - (y_1+y_2)y + y_1y_2 = 0$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$x^2 - (-2)x + (-3) + y^2 - (1)y + (-6) = 0$ મળે.
આમ,સાદું રૂપ આપતા $x^2 + y^2 + 2x - y - 9 = 0$ મળે છે.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x+4y-2=0$ છે.
આપેલ છે કે બિંદુઓ $P(2,3)$ અને $Q(K,-2)$ વર્તુળની સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી છે,તેથી બિંદુ $P$ ની ધ્રુવીય રેખા (polar) બિંદુ $Q$ માંથી પસાર થાય છે.
વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ માટે બિંદુ $(x_1, y_1)$ ની ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ $xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0$ છે.
કિંમતો $x_1=2, y_1=3, g=-1, f=2, c=-2$ મૂકતા:
$x(2)+y(3)-1(x+2)+2(y+3)-2=0$
$2x+3y-x-2+2y+6-2=0$
$x+5y+2=0$.
ધ્રુવીય રેખા $Q(K,-2)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$x=K$ અને $y=-2$ મૂકતા:
$K+5(-2)+2=0$
$K-10+2=0$
$K-8=0$
$K=8$.

(A) વર્તુળ $x^2+y^2-4x-6y+12=0$ ના સંદર્ભમાં બિંદુ $(1,1)$ ની પોલર રેખાનું સમીકરણ $x(1) + y(1) - 2(x+1) - 3(y+1) + 12 = 0$ છે.
તેને સાદું રૂપ આપતા,$-x - 2y + 7 = 0$ અથવા $x + 2y - 7 = 0$ મળે છે.
પ્રતિવર્તી બિંદુ $(h, k)$ એ બિંદુ $(1,1)$ થી રેખા $x + 2y - 7 = 0$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે.
લંબપાદના સૂત્ર $\frac{h-x_1}{a} = \frac{k-y_1}{b} = -\frac{ax_1 + by_1 + c}{a^2 + b^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{h-1}{1} = \frac{k-1}{2} = -\frac{1(1) + 2(1) - 7}{1^2 + 2^2} = \frac{4}{5}$.
તેથી,$h = 1 + \frac{4}{5} = \frac{9}{5}$ અને $k = 1 + \frac{8}{5} = \frac{13}{5}$.
આમ,$h + k = \frac{9}{5} + \frac{13}{5} = \frac{22}{5}$.

(D) આપેલ સમીકરણ $9x^2-24xy+16y^2+\alpha x+\beta y+6=0$ છે. તેને $(3x-4y)^2+\alpha x+\beta y+6=0$ તરીકે લખી શકાય.
તે સમાંતર રેખાઓ દર્શાવતું હોવાથી,ધારો કે રેખાઓ $(3x-4y+k_1)=0$ અને $(3x-4y+k_2)=0$ છે.
તેમનો ગુણાકાર $(3x-4y+k_1)(3x-4y+k_2) = 9x^2-24xy+16y^2+3(k_1+k_2)x-4(k_1+k_2)y+k_1k_2=0$ થાય.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $\alpha = 3(k_1+k_2)$,$\beta = -4(k_1+k_2)$,અને $k_1k_2 = 6$.
તેથી,$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{3(k_1+k_2)}{-4(k_1+k_2)} = -\frac{3}{4}$.

(B) આપેલ સમાંતર સ્પર્શકોના સમીકરણો $3x - 4y + 4 = 0$ અને $6x - 8y - 7 = 0$ છે.
$x$ અને $y$ ના સહગુણકો સમાન કરવા માટે,પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા:
$6x - 8y + 8 = 0$ અને $6x - 8y - 7 = 0$.
બે સમાંતર રેખાઓ $Ax + By + C_1 = 0$ અને $Ax + By + C_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,સ્પર્શકો વચ્ચેનું અંતર એ વર્તુળનો વ્યાસ છે:
$d = \frac{|8 - (-7)|}{\sqrt{6^2 + (-8)^2}} = \frac{15}{\sqrt{36 + 64}} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.
વ્યાસ $\frac{3}{2}$ હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = \frac{3}{4}$ થાય.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^2 = \pi \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9\pi}{16}$ ચોરસ એકમ થાય.

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 16$ છે,જે $x^2 + y^2 = a^2$ સ્વરૂપમાં છે જ્યાં $a^2 = 16$.
આપણે જાણીએ છીએ કે રેખા $y = mx + C$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2$ નો સ્પર્શક હોય તો $C^2 = a^2(1 + m^2)$ થાય.
$a^2 = 16$ મૂકતા,$C^2 = 16(1 + m^2)$ મળે.
$16$ વડે ભાગતા,$\frac{C^2}{16} = 1 + m^2$ મળે.
$m^2$ માટે સાદું રૂપ આપતા,$m^2 = \frac{C^2}{16} - 1 = \frac{C^2 - 16}{16}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$m = \pm \frac{1}{4} \sqrt{C^2 - 16}$ મળે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) વર્તુળોના સમૂહનો ઉપયોગ કરતા,$S_1: x^2+y^2+13x-3y=0$ અને $S_2: 2x^2+2y^2+4x-7y-25=0$ ના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $S_2 + \lambda S_1 = 0$ છે.
સમીકરણો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$2x^2+2y^2+4x-7y-25 + \lambda(x^2+y^2+13x-3y) = 0$.
વર્તુળ $(1,1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=1$ અને $y=1$ મૂકતા:
$2(1)^2+2(1)^2+4(1)-7(1)-25 + \lambda(1^2+1^2+13(1)-3(1)) = 0$.
$-24 + 12\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 2$.
$\lambda = 2$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$2x^2+2y^2+4x-7y-25 + 2(x^2+y^2+13x-3y) = 0$.
$4x^2+4y^2+30x-13y-25 = 0$.

(C) આપેલ વર્તુળો:
$x^2+y^2-4x-6y+12=0 \dots(1)$
કેન્દ્ર $C_1 = (2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 1$.
$x^2+y^2+4x-2y-4=0 \dots(2)$
કેન્દ્ર $C_2 = (-2, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 3$.
આંતરિક સમાનતા કેન્દ્ર એ કેન્દ્રોને જોડતા રેખાખંડનું $r_1 : r_2 = 1 : 3$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ:
$C = \left(\frac{1(-2) + 3(2)}{1+3}, \frac{1(1) + 3(3)}{1+3}\right) = \left(1, \frac{5}{2}\right)$.

(B) આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2+y^2-2x-9=0$ અને $S_2: x^2+y^2-4y-1=0$ છે.
$S_1$ નું કેન્દ્ર $C_1$ અને ત્રિજ્યા $r_1$ અનુક્રમે $(1, 0)$ અને $\sqrt{10}$ છે.
$S_2$ નું કેન્દ્ર $C_2$ અને ત્રિજ્યા $r_2$ અનુક્રમે $(0, 2)$ અને $\sqrt{5}$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(1-0)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{5}$ છે.
વર્તુળો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{r_1^2 + r_2^2 - d^2}{2r_1r_2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\cos \theta = \frac{10 + 5 - 5}{2 \times \sqrt{10} \times \sqrt{5}} = \frac{10}{10\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{4}$.

(C) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
તે $(a, b)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $a^2+b^2+2ga+2fb+c=0$,જેનો અર્થ છે કે $c = -a^2-b^2-2ga-2fb$.
વર્તુળ $x^2+y^2-2x+4y-4=0$ ને લંબચ્છેદી રીતે છેદે છે,તેથી શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1+c_2$ મુજબ:
$2g(-1) + 2f(2) = c - 4$.
$c$ ની કિંમત મૂકતા:
$-2g + 4f = -a^2-b^2-2ga-2fb - 4$.
પદોને ગોઠવતા:
$g(2a-2) + f(2b+4) = -a^2-b^2-4$.
કેન્દ્ર $(x, y) = (-g, -f)$ હોવાથી,$g = -x$ અને $f = -y$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$-x(2a-2) - y(2b+4) = -a^2-b^2-4$.
$x(2a-2) + y(2b+4) = a^2+b^2+4$.
$2$ વડે ભાગતા:
$(a-1)x + (b+2)y = \frac{a^2+b^2+4}{2}$.

(A) વર્તુળ $S \equiv x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ માટે મધ્યબિંદુ $M(x_1, y_1)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T=S_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $x x_1 + y y_1 + g(x+x_1) + f(y+y_1) + c = x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c$ છે.
આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-2x=0$ માટે,$g=-1, f=0, c=0$ છે.
જીવા બિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે. સમીકરણ $T=S_1$ માં $(0,0)$ મૂકતા:
$0(x_1) + 0(y_1) - 1(0+x_1) + 0(0+y_1) + 0 = x_1^2 + y_1^2 - 2x_1$.
$-x_1 = x_1^2 + y_1^2 - 2x_1$.
$x_1^2 + y_1^2 - x_1 = 0$.
$(x_1, y_1)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^2+y^2-x=0$ મળે છે.

(A) વર્તુળ $x^2+y^2=1$ માટે:
કેન્દ્ર $C_1 = (0,0)$,ત્રિજ્યા $R_1 = 1$.
વર્તુળ $x^2+y^2-2x-6y+6=0$ માટે:
કેન્દ્ર $C_2 = (1,3)$,ત્રિજ્યા $R_2 = \sqrt{1^2+3^2-6} = \sqrt{4} = 2$.
કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(1-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$ છે.
અહીં $\sqrt{10} \approx 3.16$ અને $R_1+R_2 = 1+2 = 3$ હોવાથી,$d > R_1+R_2$ મળે છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર ત્રિજ્યાઓના સરવાળા કરતા વધારે હોવાથી,બંને વર્તુળો એકબીજાને છેદતા નથી અને બહારની તરફ આવેલા છે.
તેથી,કુલ $4$ સામાન્ય સ્પર્શકો દોરી શકાય.

(D) આપેલ વર્તુળો $S_1 \equiv x^2+y^2-2x+18y+78=0$ અને $S_2 \equiv x^2+y^2+8x-6y-200=0$ છે.
કેન્દ્ર $C_1 = (1, -9)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 2$.
કેન્દ્ર $C_2 = (-4, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 15$.
અંતર $C_1C_2 = 13$.
અહીં $r_2 - r_1 = 13 = C_1C_2$ હોવાથી,વર્તુળો એકબીજાને આંતરિક રીતે સ્પર્શે છે.
સામાન્ય સ્પર્શકનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ છે.
$-10x + 24y + 278 = 0$ અથવા $-5x + 12y + 139 = 0$.
વિકલ્પ $D$ ચકાસતા: $-5\left(\frac{-2}{5}\right) + 12\left(\frac{-47}{4}\right) + 139 = 2 - 141 + 139 = 0$.
તેથી,બિંદુ $\left(\frac{-2}{5}, \frac{-47}{4}\right)$ સામાન્ય સ્પર્શક પર આવેલું છે.

(A) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો $x^2+y^2-2x-2y-23=0 \dots (1)$ અને $x^2+y^2-4x-4y-1=0 \dots (2)$ છે.
વર્તુળ $(1)$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{1^2+1^2-(-23)} = \sqrt{25} = 5$.
વર્તુળ $(2)$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (2, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{2^2+2^2-(-1)} = \sqrt{9} = 3$.
કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(2-1)^2+(2-1)^2} = \sqrt{2} \approx 1.414$ છે.
આપણે $d$ ની સરખામણી ત્રિજ્યાઓના તફાવત $|r_1 - r_2| = |5 - 3| = 2$ સાથે કરીએ છીએ.
અહીં $d < |r_1 - r_2|$ (કારણ કે $\sqrt{2} < 2$) હોવાથી,નાનું વર્તુળ મોટા વર્તુળની અંદર સંપૂર્ણપણે આવેલું છે.
તેથી,દોરી શકાય તેવા સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા $0$ છે.

(D) બે વર્તુળોનો રેડિકલ અક્ષ એ એવા બિંદુઓનો બિંદુપથ છે જ્યાંથી બે વર્તુળો પર દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોય છે.
જ્યારે બે વર્તુળો એકબીજાને સ્પર્શે છે,ત્યારે તેમનો રેડિકલ અક્ષ એ સંપર્ક બિંદુ પરનો સામાન્ય સ્પર્શક હોય છે.
આથી,વર્તુળો $(0,0)$ પર સ્પર્શતા હોવાથી,તેમનો રેડિકલ અક્ષ $(0,0)$ પરનો સામાન્ય સ્પર્શક છે.

(A) આપેલ વર્તુળો $x^2+y^2+2hx+2ky=0$ અને $x^2+y^2+2px+2qy=0$ છે.
બંને વર્તુળો ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે.
બે વર્તુળો $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y=0$ ઉગમબિંદુ પર એકબીજાને સ્પર્શે જો તેમના કેન્દ્રો ઉગમબિંદુ સાથે સમરેખ હોય,જેનો અર્થ છે $\frac{g_1}{f_1} = \frac{g_2}{f_2}$,અથવા $g_1f_2 = g_2f_1$.
અહીં,$g_1=h, f_1=k, g_2=p, f_2=q$.
તેથી,ઉગમબિંદુ પર સ્પર્શવાની શરત $hq = pk$ છે,જેનો અર્થ છે $hq - pk = 0$.
વળી,$hq = pk$ હોવાથી અને $p, k \neq 0$,આપણને $\frac{hq}{pk} = 1$ મળે છે.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$hq - pk - \frac{hq}{pk} = 0 - 1 = -1$.

(B) બે વર્તુળો $S_1 = 0$ અને $S_2 = 0$ ની સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2+y^2+2x+3y+1=0$ અને $S_2: x^2+y^2+4x+3y+2=0$ છે.
$S_1$ માંથી $S_2$ બાદ કરતા,$(x^2+y^2+2x+3y+1) - (x^2+y^2+4x+3y+2) = 0$,જેનું સાદું રૂપ $-2x - 1 = 0$ એટલે કે $x = -\frac{1}{2}$ મળે છે.
$x = -\frac{1}{2}$ ને પ્રથમ વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $(-\frac{1}{2})^2 + y^2 + 2(-\frac{1}{2}) + 3y + 1 = 0$.
$\frac{1}{4} + y^2 - 1 + 3y + 1 = 0 \Rightarrow y^2 + 3y + \frac{1}{4} = 0$.
$4$ વડે ગુણતા,$4y^2 + 12y + 1 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$y = \frac{-12 \pm \sqrt{144 - 16}}{8} = \frac{-12 \pm 8\sqrt{2}}{8} = -\frac{3}{2} \pm \sqrt{2}$.
સામાન્ય જીવાના અંતિમ બિંદુઓ $(-\frac{1}{2}, -\frac{3}{2} + \sqrt{2})$ અને $(-\frac{1}{2}, -\frac{3}{2} - \sqrt{2})$ છે.
સામાન્ય જીવાની લંબાઈ આ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર છે: $\sqrt{(-\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}))^2 + ((-\frac{3}{2} + \sqrt{2}) - (-\frac{3}{2} - \sqrt{2}))^2} = \sqrt{0^2 + (2\sqrt{2})^2} = 2\sqrt{2}$ એકમ.

(A) પ્રથમ વર્તુળ $x^2+y^2-2x-6y+(10-r^2)=0$ છે. તેનું કેન્દ્ર $C_1 = (1, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{1^2+3^2-(10-r^2)} = |r|$ છે.
બીજું વર્તુળ $x^2+y^2-8x+2y+8=0$ છે. તેનું કેન્દ્ર $C_2 = (4, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{4^2+(-1)^2-8} = 3$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(4-1)^2+(-1-3)^2} = 5$ છે.
બે વર્તુળોને સામાન્ય જીવા હોય તે માટે,તેઓ બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદવા જોઈએ,જેની શરત $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $| |r| - 3 | < 5 < |r| + 3$.
આ ઉકેલતા આપણને $2 < |r| < 8$ મળે છે.

(B) પ્રથમ વર્તુળ $(x-2)^2+(y-3)^2=5^2$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 5$ છે.
બીજા વર્તુળ $25x^2+25y^2-40x-70y-160=0$ માટે,$25$ વડે ભાગતા $x^2+y^2-\frac{8}{5}x-\frac{14}{5}y-\frac{32}{5}=0$ મળે છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(x-\frac{4}{5})^2+(y-\frac{7}{5})^2 = \frac{32}{5} + \frac{16}{25} + \frac{49}{25} = 9 = 3^2$.
આમ,કેન્દ્ર $C_2 = (\frac{4}{5}, \frac{7}{5})$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 3$ છે.
વર્તુળો આંતરિક રીતે સ્પર્શતા હોવાથી,સ્પર્શબિંદુ $(\alpha, \beta)$ એ કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ ને જોડતા રેખાખંડનું $r_1 : r_2$ ગુણોત્તરમાં બહારની તરફ વિભાજન કરે છે.
$(\alpha, \beta) = \left(\frac{5(\frac{4}{5}) - 3(2)}{5-3}, \frac{5(\frac{7}{5}) - 3(3)}{5-3}\right) = (-1, -1)$.
તેથી,$\alpha + \beta = -1 + (-1) = -2$.

(B) બે વર્તુળો $S_1: x^2+y^2+2x-2y-2=0$ અને $S_2: x^2+y^2-2x+2y-7=0$ ના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળના સમૂહનું સમીકરણ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x^2+y^2+2x-2y-2) + \lambda(x^2+y^2-2x+2y-7) = 0$
$(1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 + 2(1-\lambda)x + 2(\lambda-1)y - (2+7\lambda) = 0$
$(1+\lambda)$ વડે ભાગતા,આપણને વર્તુળનું સમીકરણ મળે છે:
$x^2 + y^2 + 2\left(\frac{1-\lambda}{1+\lambda}\right)x + 2\left(\frac{\lambda-1}{1+\lambda}\right)y - \frac{2+7\lambda}{1+\lambda} = 0$
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $\left(-\frac{1-\lambda}{1+\lambda}, -\frac{\lambda-1}{1+\lambda}\right) = \left(\frac{\lambda-1}{\lambda+1}, \frac{1-\lambda}{\lambda+1}\right)$ છે.
કેન્દ્ર રેખા $x-y-1=0$ પર હોવાથી,આપણે યામો મૂકીએ:
$\frac{\lambda-1}{\lambda+1} - \frac{1-\lambda}{\lambda+1} - 1 = 0$
$\frac{\lambda-1 - 1 + \lambda - \lambda - 1}{\lambda+1} = 0$
$\lambda - 3 = 0 \Rightarrow \lambda = 3$.
કેન્દ્રના યામમાં $\lambda = 3$ મૂકતા:
$x = \frac{3-1}{3+1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$y = \frac{1-3}{3+1} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$
આમ,કેન્દ્ર $\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)$ છે.

(A) બે વર્તુળો $S_1=0$ અને $S_2=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણો મૂકતા:
$(x^2+y^2+2x+3y+1) + \lambda(x^2+y^2+4x+3y+2) = 0$.
વર્તુળ $(-1, 1)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = -1$ અને $y = 1$ મૂકતા:
$((-1)^2 + (1)^2 + 2(-1) + 3(1) + 1) + \lambda((-1)^2 + (1)^2 + 4(-1) + 3(1) + 2) = 0$.
$4 + 3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{4}{3}$.
$\lambda = -\frac{4}{3}$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$3(x^2+y^2+2x+3y+1) - 4(x^2+y^2+4x+3y+2) = 0$.
$x^2+y^2+10x+3y+5 = 0$.

(D) વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ માટે ધ્રુવ $(x_1, y_1)$ ના સાપેક્ષમાં ધ્રુવરેખા $xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0$ દ્વારા મળે છે.
$S_1 \equiv x^2+y^2+6y+7=0$ માટે $(-1, 2)$ ના સાપેક્ષમાં ધ્રુવરેખા:
$-x+2y+3(y+2)+7=0 \Rightarrow -x+5y+13=0$ (સમીકરણ $1$).
$S_2 \equiv x^2+y^2+6x+1=0$ માટે $(-1, 2)$ ના સાપેક્ષમાં ધ્રુવરેખા:
$-x+2y+3(x-1)+1=0$ $\Rightarrow 2x+2y-2=0$ $\Rightarrow x+y-1=0$ (સમીકરણ $2$).
છેદબિંદુ શોધવા માટે:
$-x+5y+13=0$
$x+y-1=0$
બંનેનો સરવાળો કરતા $6y+12=0$,તેથી $y=-2$.
$x+y-1=0$ માં $y=-2$ મુકતા $x=3$ મળે છે.
આમ,ધ્રુવરેખાઓ $(3, -2)$ બિંદુએ છેદે છે,જે શૂન્યતર બિંદુ છે.

(A) બિંદુ $P$ ના યામ $\left(-\frac{5}{2}, \frac{5 \sqrt{3}}{2}\right)$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $x - \sqrt{3}y + 10 = 0$ છે.
રેખા $y = 6$ સાથેનું છેદબિંદુ $Q = (6\sqrt{3} - 10, 6)$ છે.
રેખા $x = -6$ સાથેનું છેદબિંદુ $R = (-6, \frac{4}{\sqrt{3}})$ છે.
ત્રીજું શિરોબિંદુ $S = (-6, 6)$ છે.
ત્રિકોણ $RSQ$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{62 - 24\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ મળે છે.

(B) આપેલ વર્તુળો નીચે મુજબ છે:
$S_1 \equiv x^2+y^2-8x-2y+8=0$
$S_2 \equiv x^2+y^2+6x+8y-24=0$
$S_3 \equiv x^2+y^2-2x+2y+2=0$
$S_1$ અને $S_2$ ની રેડિકલ ધરી $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2+y^2-8x-2y+8) - (x^2+y^2+6x+8y-24) = 0$
$-14x - 10y + 32 = 0 \Rightarrow 7x + 5y = 16 \quad \dots(1)$
$S_2$ અને $S_3$ ની રેડિકલ ધરી $S_2 - S_3 = 0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2+y^2+6x+8y-24) - (x^2+y^2-2x+2y+2) = 0$
$8x + 6y - 26 = 0 \Rightarrow 4x + 3y = 13 \quad \dots(2)$
રેડિકલ કેન્દ્ર $(a, b)$ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણો $(1)$ અને $(2)$ નો ઉકેલ મેળવીએ:
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$y = \frac{13-4x}{3}$. આ કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$7x + 5(\frac{13-4x}{3}) = 16$
$21x + 65 - 20x = 48$
$x = -17$
$x = -17$ ની કિંમત $y$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = \frac{13 - 4(-17)}{3} = \frac{13 + 68}{3} = \frac{81}{3} = 27$
આમ,રેડિકલ કેન્દ્ર $(a, b) = (-17, 27)$ છે.
તેથી,$a+b = -17 + 27 = 10$.

(B) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ રેખાઓના છેદબિંદુઓ છે:
$x+y=6$ $(1)$,$2x+y=4$ $(2)$,અને $x+2y=5$ $(3)$.
$(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા: $x = -2, y = 8$. શિરોબિંદુ $A = (-2, 8)$.
$(2)$ અને $(3)$ ઉકેલતા: $x = 1, y = 2$. શિરોબિંદુ $B = (1, 2)$.
$(1)$ અને $(3)$ ઉકેલતા: $x = 7, y = -1$. શિરોબિંદુ $C = (7, -1)$.
ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(a, b)$ છે. કેન્દ્રથી દરેક શિરોબિંદુનું અંતર સમાન (ત્રિજ્યા $R$) હોય છે.
$(a+2)^2 + (b-8)^2 = (a-1)^2 + (b-2)^2 = (a-7)^2 + (b+1)^2$.
સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $2a - 4b = -21$ અને $4a - 2b = 15$ મળે છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,$a = \frac{17}{2}$ અને $b = \frac{19}{2}$ મળે છે.
તેથી,કેન્દ્ર $(a, b) = (\frac{17}{2}, \frac{19}{2})$ છે.

(C) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે.
વર્તુળ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $R$ માટે $R^2 = h^2 + k^2$ થાય.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = h^2 + k^2$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 2hx - 2ky = 0$ થાય છે.
વર્તુળ રેખા $x=1$ પર $2$ એકમ લંબાઈની જીવા કાપે છે. જીવાની લંબાઈ $2\sqrt{R^2 - d^2} = 2$ છે,જ્યાં $d$ એ કેન્દ્ર $(h, k)$ થી રેખા $x=1$ નું લંબ અંતર છે.
તેથી,$\sqrt{R^2 - d^2} = 1$,અથવા $R^2 - d^2 = 1$.
અહીં,$R^2 = h^2 + k^2$ અને $d = |h-1|$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $(h^2 + k^2) - (h-1)^2 = 1$ મળે છે.
$h^2 + k^2 - (h^2 - 2h + 1) = 1$
$h^2 + k^2 - h^2 + 2h - 1 = 1$
$k^2 + 2h - 1 = 1$
$k^2 = 2 - 2h$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $y^2 = 2(1-x)$ મળે છે,જે એક પરવલય દર્શાવે છે.

(D) પરવલય માટે,પરવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $P(x, y)$ થી નાભિ $S$ સુધીનું અંતર એ $P$ થી નિયામિકા $L$ સુધીના લંબ અંતર જેટલું હોય છે.
$PS = PN$
$\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y+3)^2} = \left|\frac{3x-2y+5}{\sqrt{3^2+(-2)^2}}\right|$
$\Rightarrow (x-2)^2+(y+3)^2 = \frac{(3x-2y+5)^2}{13}$
$\Rightarrow 13(x^2-4x+4+y^2+6y+9) = 9x^2+4y^2+25-12xy-20y+30x$
$\Rightarrow 13x^2-52x+52+13y^2+78y+117 = 9x^2+4y^2-12xy+30x-20y+25$
$\Rightarrow 4x^2+12xy+9y^2-82x+98y+144 = 0$
આ સમીકરણને આપેલ સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2-82x+98y+144=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=4, h=6, b=9$ મળે છે.
હવે,સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2=0$ એ $4x^2+12xy+9y^2=0$ બને છે.
જેને $(2x+3y)^2=0$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં વિવેચક $h^2-ab = 6^2-(4)(9) = 36-36=0$ હોવાથી,તે બે સંપાતી રેખાઓ દર્શાવે છે.

(B) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $(2 x - 3 y - 5)^2 = 20(3 x + 2 y + 1)$ છે.
આપણે આને $\left( \frac{2 x - 3 y - 5}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} \right)^2 = \frac{20}{13} \left( \frac{3 x + 2 y + 1}{\sqrt{3^2 + 2^2}} \right) \sqrt{13}$ સ્વરૂપમાં ફરીથી લખીએ.
ધારો કે $Y = \frac{2 x - 3 y - 5}{\sqrt{13}}$ અને $X = \frac{3 x + 2 y + 1}{\sqrt{13}}$.
સમીકરણ $Y^2 = \frac{20}{\sqrt{13}} X$ બને છે.
$Y^2 = 4 a X$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4 a = \frac{20}{\sqrt{13}}$ મળે છે,તેથી $a = \frac{5}{\sqrt{13}}$.
નિયામિકા $X = -a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $\frac{3 x + 2 y + 1}{\sqrt{13}} = -\frac{5}{\sqrt{13}}$ છે.
આમ,$3 x + 2 y + 1 = -5$,અથવા $3 x + 2 y + 6 = 0$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $y^2-4x-8y-12=0$
પદોને ગોઠવતા: $y^2-8y = 4x+12$
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $y^2-8y+16 = 4x+12+16$
$(y-4)^2 = 4x+28$
$(y-4)^2 = 4(x+7)$
ધારો કે $Y = y-4$ અને $X = x+7$. તેથી સમીકરણ $Y^2 = 4X$ બને છે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $Y^2 = 4aX$ સાથે સરખાવતા,$4a = 4$,તેથી $a = 1$.
$Y^2 = 4aX$ માટે પ્રાચલિત સમીકરણો $X = at^2$ અને $Y = 2at$ છે.
$a = 1$ મૂકતા: $X = t^2$ અને $Y = 2t$.
$X = x+7$ અને $Y = y-4$ પાછા મૂકતા:
$x+7 = t^2 \Rightarrow x = -7+t^2$
$y-4 = 2t \Rightarrow y = 4+2t$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) પરવલયનું સામાન્ય સમીકરણ $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ છે,જ્યાં $(h, k)$ શિરોબિંદુ છે.
આપેલ શિરોબિંદુ $(h, k) = (1, -2)$ અને નાભિ $(h + a, k) = \left(\frac{5}{4}, -2\right)$ છે.
$a$ ની ગણતરી કરતા: $h + a = \frac{5}{4}$ $\Rightarrow 1 + a = \frac{5}{4}$ $\Rightarrow a = \frac{1}{4}$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$(y + 2)^2 = 4 \times \frac{1}{4}(x - 1)$
$(y + 2)^2 = (x - 1)$.
હવે,આપેલા વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $(D)$ માટે,$(10, 1)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(1 + 2)^2 = 3^2 = 9$
$(10 - 1) = 9$.
તેથી,બિંદુ $(10, 1)$ પરવલય પર આવેલું છે.

(C) આપેલ પ્રચલ સમીકરણો $y=2+4t$ અને $x=-2+2t^2$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$t = \frac{y-2}{4}$.
આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $x = -2 + 2\left(\frac{y-2}{4}\right)^2 = -2 + 2\frac{(y-2)^2}{16} = -2 + \frac{(y-2)^2}{8}$.
તેથી $(y-2)^2 = 8(x+2)$ મળે.
આને $(y-k)^2 = 4a(x-h)$ સાથે સરખાવતા,$h=-2, k=2$ અને $4a=8$ મળે,તેથી $a=2$.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(h+a, k \pm 2a)$ પર હોય છે,જે $(-2+2, 2 \pm 4)$ એટલે કે $(0, 6)$ અને $(0, -2)$ છે.
$y=6$ માટે,$2+4t=6 \implies 4t=4 \implies t=1$.
$y=-2$ માટે,$2+4t=-2 \implies 4t=-4 \implies t=-1$.
આમ,$\alpha=1$ અને $\beta=-1$.
તેથી,$\alpha \beta = (1)(-1) = -1$.

(B) આડી ધરી ધરાવતા પરવલયનું સમીકરણ $x = ay^2 + by + c$ છે.
આપેલા બિંદુઓ $(-2, 1)$,$(1, 2)$ અને $(-1, 3)$ મૂકતા:
$1) -2 = a + b + c$
$2) 1 = 4a + 2b + c$
$3) -1 = 9a + 3b + c$
$(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા: $3a + b = 3$ $(4)$
$(3)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા: $5a + b = -2$ $(5)$
$(5)$ માંથી $(4)$ બાદ કરતા: $2a = -5 \Rightarrow a = -\frac{5}{2}$.
$a$ ની કિંમત $(4)$ માં મૂકતા: $3(-\frac{5}{2}) + b = 3 \Rightarrow b = 3 + \frac{15}{2} = \frac{21}{2}$.
$a$ અને $b$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા: $-\frac{5}{2} + \frac{21}{2} + c = -2$ $\Rightarrow 8 + c = -2$ $\Rightarrow c = -10$.
પરવલયનું સમીકરણ $x = -\frac{5}{2}y^2 + \frac{21}{2}y - 10$ છે.
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $x = -\frac{5}{2}(y - \frac{21}{10})^2 + \frac{41}{40}$.
ગોઠવતા: $(y - \frac{21}{10})^2 = -\frac{2}{5}(x - \frac{41}{40})$.
આ $(y - k)^2 = 4A(x - h)$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $k = \frac{21}{10}$.
તેથી નાભિનો $y$-યામ $k = \frac{21}{10}$ છે.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $x^2-8 x+12 y+15=0$ છે.
$x$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$x^2-8 x+16 = -12 y - 15 + 16$
$(x-4)^2 = -12 y + 1$
$(x-4)^2 = -12(y - \frac{1}{12})$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(x-h)^2 = -4a(y-k)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $h=4$,$k=\frac{1}{12}$,અને $4a=12$,એટલે કે $a=3$ મળે છે.
$(x-h)^2 = -4a(y-k)$ માટે પ્રચલ સમીકરણો $x = h + 2at$ અને $y = k - at^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x = 4 + 2(3)t = 4 + 6t$ અને $y = \frac{1}{12} - 3t^2$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $x^2=16y$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^2=4ay$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a=16$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a=4$.
પરવલયનું નાભિ $F(0, a) = (0, 4)$ છે.
નાભિલંબ એ $y=4$ રેખા છે.
પરવલયના સમીકરણ $x^2=16y$ માં $y=4$ મૂકતા,આપણને $x^2=16(4)=64$ મળે છે,તેથી $x=\pm 8$.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $P(8, 4)$ અને $Q(-8, 4)$ છે.
પરવલયનું શિરોબિંદુ $O(0, 0)$ છે.
ત્રિકોણ શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$P(8, 4)$,અને $Q(-8, 4)$ દ્વારા રચાય છે.
ત્રિકોણનો પાયો $PQ$ ની લંબાઈ $8 - (-8) = 16$ એકમ છે.
શિરોબિંદુ $O$ થી રેખા $PQ$ સુધીની ત્રિકોણની ઊંચાઈ એ નાભિલંબનો $y$-યામ છે,જે $4$ એકમ છે.
$\triangle OPQ$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 16 \times 4 = 32$ ચોરસ એકમ.

(D) . સમીકરણ $y^2-2y+1 = -4x-3+1 \implies (y-1)^2 = -4(x+\frac{1}{2})$ છે. શિરોબિંદુ $\left(-\frac{1}{2}, 1\right)$ છે,જે $(III)$ છે.
$(B)$. સમીકરણ $x^2+8x+16 = -12y-4+16 \implies (x+4)^2 = -12(y-1)$ છે. શિરોબિંદુ $(-4, 1)$ છે,જે $(V)$ છે.
$(C)$. સમીકરણ $y^2-2y+1 = x-2+1 \implies (y-1)^2 = 1(x-1)$ છે. અહીં $4a=1 \implies a=\frac{1}{4}$. નાભિ $(h+a, k) = (1+\frac{1}{4}, 1) = \left(\frac{5}{4}, 1\right)$ છે,જે $(I)$ છે.
$(D)$. સમીકરણ $x^2-2x+1 = 8y+23+1 \implies (x-1)^2 = 8(y+3)$ છે. અહીં $4a=8 \implies a=2$. નાભિ $(h, k+a) = (1, -3+2) = (1, -1)$ છે,જે $(IV)$ છે.
આમ,સાચી જોડ $A-III, B-V, C-I, D-IV$ છે.

(A) ધારો કે પરવલયનું સમીકરણ $y = ax^2 + bx + c$ છે ... $(i)$
પરવલય $(0, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $2 = a(0)^2 + b(0) + c$,એટલે કે $c = 2$.
તે $(1, -3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $-3 = a(1)^2 + b(1) + 2$,જે $a + b = -5$ આપે છે ... (ii)
તે $(-1, 5)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $5 = a(-1)^2 + b(-1) + 2$,જે $a - b = 3$ આપે છે ... (iii)
સમીકરણ (ii) અને (iii) નો સરવાળો કરતા,$2a = -2$ મળે,તેથી $a = -1$.
$a = -1$ ને સમીકરણ (ii) માં મુકતા,$-1 + b = -5$,તેથી $b = -4$.
આમ,પરવલયનું સમીકરણ $y = -x^2 - 4x + 2$ છે.
$(2, k)$ આ પરવલય પર હોવાથી,$x = 2$ મુકતા:
$k = -(2)^2 - 4(2) + 2 = -4 - 8 + 2 = -10$.

(D) આપેલ સમીકરણ $25[(x-2)^2+(y-3)^2]=(3x-4y+7)^2$ છે.
$25$ વડે ભાગતા,આપણને $(x-2)^2+(y-3)^2 = \left(\frac{3x-4y+7}{5}\right)^2$ મળે છે.
આ $SP^2 = PM^2$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $S(2,3)$ નાભિ છે અને $3x-4y+7=0$ નિયામિકા છે.
અહીં,નાભિથી નિયામિકાનું અંતર $a = \left|\frac{3(2)-4(3)+7}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}\right| = \left|\frac{6-12+7}{5}\right| = \frac{1}{5}$ છે.
પરવલયના નાભિલંબની લંબાઈ $4a$ છે.
તેથી,લંબાઈ $= 4 \times \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.

(C) ધારો કે $P(at^2, 2at)$ અને $Q(h, k)$ છે. આપેલ છે $A = (-1, 3)$.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ,$Q$ એ $AP$ ને $3:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે:
$h = \frac{3at^2 - 2}{5}$ અને $k = \frac{6at + 6}{5}$.
આના પરથી $5h+2 = 3at^2$ અને $5k-6 = 6at$ મળે.
વર્ગ કરતા અને સાદું રૂપ આપતા,$(5k-6)^2 = 12a(5h+2)$ મળે.
આ પરવલયનું સમીકરણ છે,જેનું નાભિ $(h, k) = \left(\frac{3a-2}{5}, \frac{6}{5}\right)$ થાય.
પ્રશ્નમાં $A(-2, 3)$ લેતા,જવાબ $\left(\frac{3a-4}{5}, \frac{6}{5}\right)$ મળે છે.

(B) ધારો કે ચાર બિંદુઓ $A(1, 1, 1)$,$B(-2, 3, 2)$,$C(x, -5, 3)$,અને $D(1, y, -1)$ છે.
બિંદુઓ સમતલીય હોવાથી,સદિશો $\vec{AB}$,$\vec{AC}$,અને $\vec{AD}$ સમતલીય હોવા જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$\vec{AB} = -3\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$
$\vec{AC} = (x-1)\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k}$
$\vec{AD} = 0\hat{i} + (y-1)\hat{j} - 2\hat{k}$
નિશ્ચાયકને શૂન્ય લેતા:
$\begin{vmatrix} -3 & 2 & 1 \\ x-1 & -6 & 2 \\ 0 & y-1 & -2 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$-3[12 - 2(y-1)] - (x-1)[-4 - (y-1)] = 0$
$-3[14 - 2y] - (x-1)[-y - 3] = 0$
$-42 + 6y + xy + 3x - y - 3 = 0$
$xy + 3x + 5y - 45 = 0$
બંને બાજુ $15$ ઉમેરતા:
$xy + 3x + 5y + 15 = 60$
$(x+5)(y+3) = 60$

(D) આપેલ બિંદુઓ $A(1, -2, -1)$,$B(4, 0, -3)$,$C(1, 2, -1)$ અને $D(2, -4, -5)$ છે.
સદિશો નીચે મુજબ છે:
$\vec{b} = \vec{AB} = (4-1)\hat{i} + (0-(-2))\hat{j} + (-3-(-1))\hat{k} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$
$\vec{c} = \vec{AC} = (1-1)\hat{i} + (2-(-2))\hat{j} + (-1-(-1))\hat{k} = 0\hat{i} + 4\hat{j} + 0\hat{k}$
$\vec{d} = \vec{AD} = (2-1)\hat{i} + (-4-(-2))\hat{j} + (-5-(-1))\hat{k} = 1\hat{i} - 2\hat{j} - 4\hat{k}$
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}] = \begin{vmatrix} 3 & 2 & -2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 1 & -2 & -4 \end{vmatrix} = 3(-16) - 2(0) - 2(-4) = -48 + 8 = -40$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $[\vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{d}, \vec{d} \times \vec{b}] = [\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}]^2 = (-40)^2 = 1600$.
તેમજ,$[\vec{b}+\vec{c}, \vec{c}+\vec{d}, \vec{d}+\vec{b}] = 2[\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}] = 2(-40) = -80$.
તેથી,જરૂરી કિંમત $\frac{1600}{-80} = -20$ છે.

(D) ધારો કે સ્થાન સદિશો $\vec{a} = P \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$,$\vec{b} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}$,અને $\vec{c} = 4 \hat{i} + 13 \hat{j} - 18 \hat{k}$ છે.
બિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ સમરેખ હોવાથી,સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{BC}$ સમાંતર હોવા જોઈએ.
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (2-P) \hat{i} + 5 \hat{j} - 7 \hat{k}$
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = 2 \hat{i} + 10 \hat{j} - 14 \hat{k}$
$\vec{AB} = k \vec{BC}$ લેતા,$(2-P) \hat{i} + 5 \hat{j} - 7 \hat{k} = k(2 \hat{i} + 10 \hat{j} - 14 \hat{k})$.
$\hat{j}$ ના સહગુણકો સરખાવતા,$5 = 10k \Rightarrow k = 0.5$.
$\hat{i}$ ના સહગુણકો સરખાવતા,$2-P = 2(0.5) = 1 \Rightarrow P = 1$.
તેથી,$\vec{AB} = \hat{i} + 5 \hat{j} - 7 \hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 5^2 + (-7)^2} = \sqrt{75} = 5 \sqrt{3}$.
$\vec{AB}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{u} = \frac{1}{5 \sqrt{3}} (\hat{i} + 5 \hat{j} - 7 \hat{k})$ છે.
$|P| = 1$ હોવાથી,માંગેલ સદિશ $\frac{1}{5 \sqrt{3}} (\hat{i} + 5 \hat{j} - 7 \hat{k})$ છે.

(B) આપેલ છે કે,$\vec{b}=2 \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$ અને $\vec{a}=3 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k}$.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર શોધો:
$\vec{b} \cdot \vec{b} = (2)^2 + (-1)^2 + (-1)^2 = 4 + 1 + 1 = 6$.
$\vec{b} \cdot \vec{a} = (2)(3) + (-1)(4) + (-1)(-5) = 6 - 4 + 5 = 7$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $\vec{b} \times(\vec{a} \times \vec{b})=(\vec{b} \cdot \vec{b}) \vec{a}-(\vec{b} \cdot \vec{a}) \vec{b}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{b} \times(\vec{a} \times \vec{b}) = 6 \vec{a} - 7 \vec{b}$.
આને $\frac{\vec{a} - (7/6) \vec{b}}{1/6}$ તરીકે લખી શકાય.
આપેલ સમીકરણ $\frac{\vec{a}-k \vec{b}}{l}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 7/6$ અને $l = 1/6$ મળે છે.
હવે,$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}$ શોધો.
અંતે,$\frac{k}{l|\vec{b}|} = \frac{7/6}{(1/6) \times \sqrt{6}} = \frac{7}{\sqrt{6}}$.
આ કિંમત $\vec{a}$ નો $\vec{b}$ પરનો અદિશ પ્રક્ષેપ દર્શાવે છે,જે $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{7}{\sqrt{6}}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $a, b, c$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|a| = |b| = |c| = 1$.
સદિશ ત્રિગુણન ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$.
આપેલ છે કે $a \times (b \times c) = \frac{1}{2}b$,તેથી:
$(a \cdot c)b - (a \cdot b)c = \frac{1}{2}b$.
સામાન્ય રીતે $b$ અને $c$ અસમરેખ હોવાથી,સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$a \cdot c = \frac{1}{2}$ અને $a \cdot b = 0$.
$a \cdot c = \frac{1}{2}$ માટે,$|a||c| \cos \theta_2 = \frac{1}{2} \Rightarrow (1)(1) \cos \theta_2 = \frac{1}{2} \Rightarrow \theta_2 = 60^{\circ}$.
$a \cdot b = 0$ માટે,$|a||b| \cos \theta_1 = 0 \Rightarrow (1)(1) \cos \theta_1 = 0 \Rightarrow \theta_1 = 90^{\circ}$.
તેથી,$\theta_1 + \theta_2 = 90^{\circ} + 60^{\circ} = 150^{\circ}$.

(D) ચતુષ્ફલકનું મધ્યકેન્દ્ર જેના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2), (x_3, y_3, z_3)$ અને $(x_4, y_4, z_4)$ હોય તેનું સૂત્ર $\left(\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}, \frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4}, \frac{z_1+z_2+z_3+z_4}{4}\right)$ છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $(a, 2, 1), (1, b, 4), (4, 0, c)$ અને $(1, 1, 7)$ છે.
તેથી,મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{a+1+4+1}{4}, \frac{2+b+0+1}{4}, \frac{1+4+c+7}{4}\right) = \left(\frac{a+6}{4}, \frac{b+3}{4}, \frac{c+12}{4}\right)$ થશે.
આને આપેલ મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{9}{4}, \frac{5}{4}, \frac{15}{4}\right)$ સાથે સરખાવતા:
$x$-યામ માટે: $\frac{a+6}{4} = \frac{9}{4} \Rightarrow a+6 = 9 \Rightarrow a = 3$.
$y$-યામ માટે: $\frac{b+3}{4} = \frac{5}{4} \Rightarrow b+3 = 5 \Rightarrow b = 2$.
$z$-યામ માટે: $\frac{c+12}{4} = \frac{15}{4} \Rightarrow c+12 = 15 \Rightarrow c = 3$.
આમ,$a=3, b=2, c=3$. આ કિંમતો સરખાવતા,આપણને $a=c=b+1$ મળે છે (કારણ કે $3=3=2+1$).

(D) ધારો કે $\vec{a} = \frac{-9}{2} \bar{i} - 6 \bar{j} + \frac{1}{2} \bar{k}$ સ્થાન સદિશ ધરાવતું બિંદુ $A$ એ રેખાખંડ $PQ$ નું $\lambda : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$A$ નો સ્થાન સદિશ:
$\vec{a} = \frac{\lambda \vec{q} + 1 \vec{p}}{\lambda + 1}$
આપેલા સદિશો $\vec{p} = -2 \bar{i} - 3 \bar{j} + \bar{k}$ અને $\vec{q} = 3 \bar{i} + 3 \bar{j} + 2 \bar{k}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{-9}{2} \bar{i} - 6 \bar{j} + \frac{1}{2} \bar{k} = \frac{\lambda(3 \bar{i} + 3 \bar{j} + 2 \bar{k}) + 1(-2 \bar{i} - 3 \bar{j} + \bar{k})}{\lambda + 1}$
$x$-યામની સરખામણી કરતા:
$\frac{-9}{2} = \frac{3 \lambda - 2}{\lambda + 1}$
$-9(\lambda + 1) = 2(3 \lambda - 2)$
$-9 \lambda - 9 = 6 \lambda - 4$
$-15 \lambda = 5$
$\lambda = -\frac{5}{15} = -\frac{1}{3}$
અહીં $\lambda$ ઋણ હોવાથી,બિંદુ $A$ એ રેખાખંડ $PQ$ નું $1 : 3$ ના ગુણોત્તરમાં બહારની તરફ (externally) વિભાજન કરે છે.

(A) બિંદુઓ $A(1, x, 3)$,$B(3, 4, 7)$,અને $C(y, -2, -5)$ સમરેખ હોવાથી,સદિશો $\overrightarrow{AB}$ અને $\overrightarrow{BC}$ સમાંતર હોવા જોઈએ.\\
$\overrightarrow{AB} = (3-1)\hat{i} + (4-x)\hat{j} + (7-3)\hat{k} = 2\hat{i} + (4-x)\hat{j} + 4\hat{k}$\\
$\overrightarrow{BC} = (y-3)\hat{i} + (-2-4)\hat{j} + (-5-7)\hat{k} = (y-3)\hat{i} - 6\hat{j} - 12\hat{k}$\\
કોઈ અદિશ $k$ માટે $\overrightarrow{AB} = k \overrightarrow{BC}$ હોવાથી:\\
$2 = k(y-3)$\\
$4-x = k(-6)$\\
$4 = k(-12)$\\
ત્રીજા સમીકરણ પરથી,$k = \frac{4}{-12} = -\frac{1}{3}$.\\
$k = -\frac{1}{3}$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $2 = -\frac{1}{3}(y-3) \Rightarrow -6 = y-3 \Rightarrow y = -3$.\\
$k = -\frac{1}{3}$ ને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $4-x = -\frac{1}{3}(-6) \Rightarrow 4-x = 2 \Rightarrow x = 2$.\\
તેથી,$x+y = 2 + (-3) = -1$.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A(2, 3, -1)$ અને $O(0, 0, 0)$ છે.
રેખા $OA$ ના દિક્ગુણોત્તર $(2-0, 3-0, -1-0) = (2, 3, -1)$ છે.
અંતર $OA = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$ છે.
દિક્કોસાઇન $(l, m, n)$ એ $\frac{a}{r}, \frac{b}{r}, \frac{c}{r}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $(a, b, c)$ દિક્ગુણોત્તર છે અને $r$ અંતર છે.
તેથી,$l = \frac{2}{\sqrt{14}}, m = \frac{3}{\sqrt{14}}, n = \frac{-1}{\sqrt{14}}$ થાય.
વૈકલ્પિક રીતે,રેખા $AO$ માટે,દિક્ગુણોત્તર $(0-2, 0-3, 0-(-1)) = (-2, -3, 1)$ છે.
તેથી દિક્કોસાઇન $\frac{-2}{\sqrt{14}}, \frac{-3}{\sqrt{14}}, \frac{1}{\sqrt{14}}$ મળે.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) ધારો કે $L_1$ અને $L_2$ બંનેને લંબ રેખાના દિકકોસાઈન $(l, m, n)$ છે.
રેખા $L_1$ ના દિકગુણોત્તરો $(1, -2, -2)$ હોવાથી,તે લંબ હોવાની શરત મુજબ:
$l - 2m - 2n = 0$ $(i)$
રેખા $L_2$ ના દિકગુણોત્તરો $(0, 2, 1)$ હોવાથી,તે લંબ હોવાની શરત મુજબ:
$0l + 2m + n = 0 \Rightarrow n = -2m$ $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$l - 2m - 2(-2m) = 0$
$l - 2m + 4m = 0$
$l + 2m = 0 \Rightarrow l = -2m$
આપણે જાણીએ છીએ કે દિકકોસાઈન માટે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ થાય.
$l = -2m$ અને $n = -2m$ મૂકતા:
$(-2m)^2 + m^2 + (-2m)^2 = 1$
$4m^2 + m^2 + 4m^2 = 1$
$9m^2 = 1 \Rightarrow m^2 = \frac{1}{9} \Rightarrow |m| = \frac{1}{3}$
$l = -2m$ હોવાથી,$|l| = |-2m| = 2|m| = 2(\frac{1}{3}) = \frac{2}{3}$.
$n = -2m$ હોવાથી,$|n| = |-2m| = 2|m| = 2(\frac{1}{3}) = \frac{2}{3}$.
તેથી,$|l| + |m| + |n| = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.

(C) આપેલ છે કે બે રેખાઓના દિકગુણોત્તરો $(a_1, b_1, c_1) = (2, -1, 2)$ અને $(a_2, b_2, c_2) = (K, -3, -5)$ છે,અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ છે.
બે રેખાઓના દિકગુણોત્તરો $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ વચ્ચેના ખૂણા માટેનું સૂત્ર:
$\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\cos 60^{\circ} = \frac{|2K + (-1)(-3) + 2(-5)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} \sqrt{K^2 + (-3)^2 + (-5)^2}}$
$\frac{1}{2} = \frac{|2K + 3 - 10|}{\sqrt{4 + 1 + 4} \sqrt{K^2 + 9 + 25}}$
$\frac{1}{2} = \frac{|2K - 7|}{3 \sqrt{K^2 + 34}}$
$3 \sqrt{K^2 + 34} = 2 |2K - 7|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$9(K^2 + 34) = 4(2K - 7)^2$
$9K^2 + 306 = 4(4K^2 - 28K + 49)$
$9K^2 + 306 = 16K^2 - 112K + 196$
$7K^2 - 112K - 110 = 0$

(C) રેખા $OP$ એ ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેના દિકગુણોત્તરો $3, -2, 6$ છે.
તેથી,આ રેખા પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ ના યામ કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે $(3\lambda, -2\lambda, 6\lambda)$ તરીકે લખી શકાય છે.
ઉગમબિંદુ $O$ થી બિંદુ $P$ નું અંતર $|OP| = \sqrt{(3\lambda)^2 + (-2\lambda)^2 + (6\lambda)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $|OP| = 63$,તેથી:
$\sqrt{9\lambda^2 + 4\lambda^2 + 36\lambda^2} = 63$
$\sqrt{49\lambda^2} = 63$
$7|\lambda| = 63$
$|\lambda| = 9$
જો $\lambda = 9$ લઈએ,તો $P$ ના યામ $(3(9), -2(9), 6(9)) = (27, -18, 54)$ મળે છે.
જો $\lambda = -9$ લઈએ,તો $P$ ના યામ $(-27, 18, -54)$ મળે છે.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચા યામ $(27, -18, 54)$ છે.

(A) ધારો કે સદિશ $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
તેના દિક્ગુણોત્તરો $(a, b, c) = (1, 1, -2)$ છે.
સદિશનું માન $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$ છે.
દિક્કોસાઇન $(l, m, n)$ એ $\left(\frac{a}{|\vec{a}|}, \frac{b}{|\vec{a}|}, \frac{c}{|\vec{a}|}\right)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\left(\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{-2}{\sqrt{6}}\right)$ મળે છે.

(C) સમતલ $AOB$ ના અભિલંબના દિશા ગુણોત્તરો કિરણો $OA$ અને $OB$ ને દર્શાવતા સદિશોના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે. ધારો કે $\vec{a} = \langle 1, 2, 3 \rangle$ અને $\vec{b} = \langle -1, 0, 1 \rangle$. અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ છે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-0) - \hat{j}(1+3) + \hat{k}(0+2) = 2\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}$.
આમ,અભિલંબના દિશા ગુણોત્તરો $\langle 2, -4, 2 \rangle$ છે,જેને $\langle 1, -2, 1 \rangle$ અથવા $\langle -1, 2, -1 \rangle$ તરીકે સરળ બનાવી શકાય છે.
સદિશ $\langle -1, 2, -1 \rangle$ નું માન $\sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$ છે.
તેથી,દિશા કોસાઇન $\frac{-1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{-1}{\sqrt{6}}$ છે.

(C) બે વિષમતલીય રેખાઓ $\vec{r}=\vec{a}_1+\lambda \vec{b}_1$ અને $\vec{r}=\vec{a}_2+\mu \vec{b}_2$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર: $d = \left| \frac{(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|} \right|$ છે.
આપેલ રેખાઓ $\vec{r}=(3 \hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k})+\lambda(-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})$ અને $\vec{r}=(\hat{i}-7 \hat{j}-2 \hat{k})+\mu(\hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k})$ છે.
અહીં,$\vec{a}_1 = 3 \hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k}$,$\vec{b}_1 = -\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{a}_2 = \hat{i}-7 \hat{j}-2 \hat{k}$,અને $\vec{b}_2 = \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}$ છે.
પ્રથમ,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (1-3)\hat{i} + (-7-4)\hat{j} + (-2-(-2))\hat{k} = -2\hat{i} - 11\hat{j}$ શોધો.
ત્યારબાદ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4-3) - \hat{j}(-2-1) + \hat{k}(-3-2) = \hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$ શોધો.
તેનું માન $|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{1^2 + 3^2 + (-5)^2} = \sqrt{1+9+25} = \sqrt{35}$ થાય.
હવે,અદિશ ગુણાકાર $(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) = (-2\hat{i} - 11\hat{j} + 0\hat{k}) \cdot (\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}) = (-2)(1) + (-11)(3) + (0)(-5) = -2 - 33 = -35$ થાય.
છેલ્લે,$d = \left| \frac{-35}{\sqrt{35}} \right| = \sqrt{35}$ મળે.

(C) બે રેખાઓ $\vec{r}=\vec{a}_1+t\vec{b}_1$ અને $\vec{r}=\vec{a}_2+s\vec{b}_2$ સમાંતર હોય જો $\vec{b}_1=m\vec{b}_2$ કોઈ અદિશ $m \in \mathbb{R}$ માટે.
તેઓ લંબ હોય જો $\vec{b}_1 \cdot \vec{b}_2 = 0$.
તેઓ છેદે જો તેમની વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $0$ હોય.
આપેલ છે $L_1: \vec{r}=(\hat{i}+5 \hat{j}+5 \hat{k})+t(4 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k})$ અને $L_2: \vec{r}=(2 \hat{i}+4 \hat{j}+5 \hat{k})+s(8 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k})$.
અહીં,$\vec{b}_1 = 4\hat{i}-4\hat{j}+5\hat{k}$ અને $\vec{b}_2 = 8\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}$.
કારણ કે $\vec{b}_1$ એ $\vec{b}_2$ નો અદિશ ગુણાંક નથી,રેખાઓ સમાંતર નથી.
લંબતા તપાસતા: $\vec{b}_1 \cdot \vec{b}_2 = (4)(8) + (-4)(-3) + (5)(1) = 32 + 12 + 5 = 49 \neq 0$. તેથી,તેઓ લંબ નથી.
તેઓ વિષમતલીય છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)|}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$ શોધીએ.
$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = \hat{i} - \hat{j}$.
$\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = 11\hat{i} + 36\hat{j} + 20\hat{k}$.
$(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) = 11 - 36 = -25 \neq 0$.
લઘુત્તમ અંતર શૂન્ય ન હોવાથી,રેખાઓ વિષમતલીય છે.

(A) બિંદુ $A(2, 1, 0)$ માંથી પસાર થતી અને સદિશ $\vec{v} = \hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k}$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{5} = \frac{z-0}{2} = t$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $R$ ને $R(t+2, 5t+1, 2t)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
ધારો કે $P(3, 5, 2)$ આપેલ બિંદુ છે. સદિશ $\vec{PR} = (t+2-3)\hat{i} + (5t+1-5)\hat{j} + (2t-2)\hat{k} = (t-1)\hat{i} + (5t-4)\hat{j} + (2t-2)\hat{k}$ છે.
કારણ કે $\vec{PR}$ રેખાને લંબ છે,તેથી તેનો દિશા સદિશ $\vec{v} = \hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k}$ સાથેનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$(t-1)(1) + (5t-4)(5) + (2t-2)(2) = 0$.
$t - 1 + 25t - 20 + 4t - 4 = 0$.
$30t - 25 = 0 \implies t = \frac{25}{30} = \frac{5}{6}$.
$t = \frac{5}{6}$ ને $R$ ના યામોમાં મૂકતા,આપણને $R = (\frac{17}{6}, \frac{31}{6}, \frac{10}{6})$ મળે છે.
લંબ અંતર $d$ એ સદિશ $\vec{PR}$ નું માન છે:
$d = \sqrt{(\frac{17}{6}-3)^2 + (\frac{31}{6}-5)^2 + (\frac{10}{6}-2)^2} = \sqrt{(-\frac{1}{6})^2 + (\frac{1}{6})^2 + (-\frac{2}{6})^2} = \sqrt{\frac{1}{36} + \frac{1}{36} + \frac{4}{36}} = \sqrt{\frac{6}{36}} = \frac{\sqrt{6}}{6} = \frac{1}{\sqrt{6}}$.

(D) આપેલ બે વિષમતલીય રેખાઓ $r = b + ta$ અને $r = d + sc$ છે.
બે વિષમતલીય રેખાઓ $r = a_1 + \lambda b_1$ અને $r = a_2 + \mu b_2$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર શોધવાનું સૂત્ર $d = \left| \frac{(a_2 - a_1) \cdot (b_1 \times b_2)}{|b_1 \times b_2|} \right|$ છે.
અહીં,$a_1 = b$,$b_1 = a$,$a_2 = d$,અને $b_2 = c$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,લઘુત્તમ અંતર $\left| \frac{(d - b) \cdot (a \times c)}{|a \times c|} \right|$ મળે છે.
કારણ કે $|x| = |-x|$,આ કિંમત $\left| \frac{(b - d) \cdot (a \times c)}{|a \times c|} \right|$ ને સમાન છે.
આ પદ સદિશ $(b - d)$ નો સદિશ $(a \times c)$ પરના લંબ પ્રક્ષેપનું માન દર્શાવે છે.

(D) સમતલો $2x-2y+z=0$ અને $x-y+2z=4$ ના અભિલંબ સદિશો અનુક્રમે $\vec{n_1} = (2, -2, 1)$ અને $\vec{n_2} = (1, -1, 2)$ છે.
સમતલ $ax+by+cz+1=0$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (a, b, c)$ છે.
સમતલ આપેલા બે સમતલોને લંબ હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\vec{n_1}$ અને $\vec{n_2}$ ના સદિશ ગુણાકારને સમાંતર હોવો જોઈએ.
$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4+1) - \hat{j}(4-1) + \hat{k}(-2+2) = -3\hat{i} - 3\hat{j} + 0\hat{k}$.
આમ,અભિલંબ સદિશ $(-3, -3, 0)$ ના પ્રમાણમાં છે,જેનું સાદું રૂપ $(1, 1, 0)$ થાય છે.
સમતલનું સમીકરણ $1(x-1) + 1(y+2) + 0(z-1) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x+y+1=0$ થાય છે.
આને $ax+by+cz+1=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, b=1, c=0$ મળે છે.
તેથી,$a+b-c = 1+1-0 = 2$.

(A) આપેલ છે કે,ઉગમબિંદુથી સમતલનું અંતર $d = 6$ એકમ છે.
અભિલંબ સદિશ $\vec{N} = 2 \hat{i} + 6 \hat{j} - 3 \hat{k}$ છે.
પ્રથમ,અભિલંબ સદિશનું માન શોધો: $|\vec{N}| = \sqrt{2^2 + 6^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7$.
એકમ અભિલંબ સદિશ $\hat{n} = \frac{\vec{N}}{|\vec{N}|} = \frac{2 \hat{i} + 6 \hat{j} - 3 \hat{k}}{7}$ છે.
સમતલનું અભિલંબ સ્વરૂપમાં સમીકરણ $\vec{r} \cdot \hat{n} = d$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\vec{r} \cdot \left( \frac{2 \hat{i} + 6 \hat{j} - 3 \hat{k}}{7} \right) = 6$ મળે છે.
$7$ વડે ગુણતા,આપણને $\vec{r} \cdot (2 \hat{i} + 6 \hat{j} - 3 \hat{k}) = 42$ મળે છે.
$\vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$ મૂકતા,આપણને $(x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} + 6 \hat{j} - 3 \hat{k}) = 42$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $2x + 6y - 3z = 42$ અથવા $2x + 6y - 3z - 42 = 0$ થાય છે.

(C) આપેલ સદિશો $\vec{a}=2 \hat{i}-2 \hat{j}+5 \hat{k}$ અને $\vec{b}=-2 \hat{i}+5 \hat{j}-3 \hat{k}$ છે.
સદિશોનો સરવાળો $\vec{s} = \vec{a} + \vec{b} = (2-2) \hat{i} + (-2+5) \hat{j} + (5-3) \hat{k} = 0 \hat{i} + 3 \hat{j} + 2 \hat{k} = 3 \hat{j} + 2 \hat{k}$ થાય.
પરિણામી સદિશ $\vec{s}$ નો $\hat{i}$ ઘટક $0$ હોવાથી,આ સદિશ $YZ$-સમતલમાં આવેલો છે.
જે સદિશ કોઈ સમતલમાં આવેલો હોય તે તે સમતલને સમાંતર હોય છે.
તેથી,આ સદિશ $YZ$-સમતલને સમાંતર છે.

(B) આપેલ સમતલ $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k})=1$ છે.
તેને કાર્તેઝિયન સ્વરૂપમાં ફેરવતા,આપણને $2 x+3 y-4 z=1$ મળે,અથવા $2 x+3 y-4 z-1=0$.
આ સમતલને સમાંતર કોઈપણ સમતલ $2 x+3 y-4 z+\lambda=0$ સ્વરૂપમાં હોય.
બે સમાંતર સમતલો $Ax+By+Cz+D_1=0$ અને $Ax+By+Cz+D_2=0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|D_1-D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$d=2$,$A=2$,$B=3$,$C=-4$,$D_1=-1$,અને $D_2=\lambda$ છે.
તેથી,$2 = \frac{|\lambda-(-1)|}{\sqrt{2^2+3^2+(-4)^2}} = \frac{|\lambda+1|}{\sqrt{4+9+16}} = \frac{|\lambda+1|}{\sqrt{29}}$.
આનો અર્થ એ છે કે $|\lambda+1| = 2 \sqrt{29}$,તેથી $\lambda+1 = \pm 2 \sqrt{29}$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = -1 \pm 2 \sqrt{29}$.
$\lambda$ ની કિંમત $2 x+3 y-4 z+\lambda=0$ માં મૂકતા,આપણને $2 x+3 y-4 z-1 \pm 2 \sqrt{29} = 0$ મળે,અથવા $2 x+3 y-4 z = 1 \mp 2 \sqrt{29}$.
વિકલ્પોમાં $1 \pm 2 \sqrt{29}$ આપેલ હોવાથી,સાચું સમીકરણ $2 x+3 y-4 z = 1 \pm 2 \sqrt{29}$ છે.

(B) બિંદુઓ $A(1, 2, 3)$,$B(2, 3, -4)$ અને $C(3, -4, 5)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા નીચે મુજબ મળે છે:
$\left|\begin{array}{ccc} x-1 & y-2 & z-3 \\ 2-1 & 3-2 & -4-3 \\ 3-1 & -4-2 & 5-3 \end{array}\right| = 0$
$\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc} x-1 & y-2 & z-3 \\ 1 & 1 & -7 \\ 2 & -6 & 2 \end{array}\right| = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$(x-1)(2 - 42) - (y-2)(2 - (-14)) + (z-3)(-6 - 2) = 0$
$(x-1)(-40) - (y-2)(16) + (z-3)(-8) = 0$
$-40x + 40 - 16y + 32 - 8z + 24 = 0$
$-40x - 16y - 8z + 96 = 0$
$-8$ વડે ભાગતા:
$5x + 2y + z - 12 = 0$
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$d = \frac{|-12|}{\sqrt{5^2 + 2^2 + 1^2}} = \frac{12}{\sqrt{25 + 4 + 1}} = \frac{12}{\sqrt{30}}$.

(A) ત્રણ બિંદુઓ $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$ અને $C(x_3, y_3, z_3)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા નીચે મુજબ મળે છે:
$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} = 0$
આપેલ બિંદુઓ $A(1,1,-1)$,$B(2,-1,0)$ અને $C(-1,0,2)$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\begin{vmatrix} x-1 & y-1 & z+1 \\ 2-1 & -1-1 & 0+1 \\ -1-1 & 0-1 & 2+1 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} x-1 & y-1 & z+1 \\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$(x-1)(-6+1) - (y-1)(3+2) + (z+1)(-1-4) = 0$
$-5(x-1) - 5(y-1) - 5(z+1) = 0$
$-5$ વડે ભાગતા:
$(x-1) + (y-1) + (z+1) = 0$
$x + y + z - 1 = 0$
હવે,વિકલ્પોને સમીકરણ $x + y + z - 1 = 0$ માં મૂકીને ચકાસતા:
$(1,2,-2)$ માટે: $1 + 2 - 2 - 1 = 0$. આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
તેથી,બિંદુ $(1,2,-2)$ સમતલ પર આવેલું છે.

(B) સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ બે સમાંતર સદિશો $\vec{v_1} = 2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{v_2} = -\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા મળે છે.
$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ -1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-9-2) - \hat{j}(-6+1) + \hat{k}(4+3) = -11\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$.
બિંદુ $(1, 2, 1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = -11\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ:
$-11(x-1) + 5(y-2) + 7(z-1) = 0$
$-11x + 11 + 5y - 10 + 7z - 7 = 0$
$-11x + 5y + 7z - 6 = 0$
$-11x + 5y + 7z = 6$
$6$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$-\frac{11}{6}x + \frac{5}{6}y + \frac{7}{6}z = 1$
આને $ax+by+cz=1$ સાથે સરખાવતા,$a = -\frac{11}{6}$,$b = \frac{5}{6}$,$c = \frac{7}{6}$ મળે છે.
તેથી,$18(a+b+c) = 18 \left(-\frac{11}{6} + \frac{5}{6} + \frac{7}{6}\right) = 18 \left(\frac{1}{6}\right) = 3$.

(A) બિંદુ $(2,-3,4)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (a, b, c)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-2) + b(y+3) + c(z-4) = 0$ છે,જે $ax + by + cz - 2a + 3b - 4c = 0$ ... $(i)$ તરીકે લખી શકાય.
આ સમતલ બંને સમતલો $2x-3y+5z=2$ અને $x+y+2z=3$ ને લંબ હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ આપેલા સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (2, -3, 5)$ અને $\vec{n_2} = (1, 1, 2)$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) ને સમાંતર હશે.
$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & 5 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6-5) - \hat{j}(4-5) + \hat{k}(2+3) = -11\hat{i} + 1\hat{j} + 5\hat{k}$.
આમ,$(a, b, c) = (-11, 1, 5)$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા: $-11x + y + 5z - 2(-11) + 3(1) - 4(5) = 0$
$-11x + y + 5z + 22 + 3 - 20 = 0$
$-11x + y + 5z + 5 = 0 \Rightarrow 11x - y - 5z = 5$
બંને બાજુ $11$ વડે ભાગતા,આપણને $x - \frac{1}{11}y - \frac{5}{11}z = \frac{5}{11}$ મળે છે.
$x + py + qz = r$ સાથે સરખાવતા,$r = \frac{5}{11}$ મળે છે.

(D) આપેલ સમતલનું સદિશ સમીકરણ: $\vec{r} = (2+\alpha-3\beta) \hat{i} + (\beta-3) \hat{j} + (2\alpha-5\beta-1) \hat{k}$.
ધારો કે $\vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$x = 2 + \alpha - 3\beta$ $(i)$
$y = \beta - 3 \implies \beta = y + 3$ (ii)
$z = 2\alpha - 5\beta - 1$ (iii)
$\beta = y + 3$ ને (iii) માં મૂકતા:
$z = 2\alpha - 5(y + 3) - 1$
$z = 2\alpha - 5y - 15 - 1$
$z = 2\alpha - 5y - 16$
$2\alpha = z + 5y + 16 \implies \alpha = \frac{z + 5y + 16}{2}$.
હવે,$\alpha$ અને $\beta$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$x = 2 + \left(\frac{z + 5y + 16}{2}\right) - 3(y + 3)$
$2$ વડે ગુણતા:
$2x = 4 + z + 5y + 16 - 6y - 18$
$2x = z - y + 2$
$2x + y - z = 2$.

(B) આપેલ મેટ્રિક્સ સમીકરણ: $\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ -5 \\ 10 \end{bmatrix}$
પ્રથમ બે મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરતા: $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \\ 2 & -2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ -5 \\ 10 \end{bmatrix}$
આનાથી સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ મળે છે:
$x - y + 2z = 5$
$-x + y - 2z = -5$
$2x - 2y + 4z = 10$
આ ત્રણેય સમીકરણો એક જ સમતલના સમીકરણ $x - y + 2z = 5$ ને સમાન છે.
કારણ કે $x, y, z$ ના સહગુણકો શૂન્ય નથી,તેથી આ સમતલ કોઈપણ યામ સમતલ $(XY, YZ, ZX)$ ને સમાંતર નથી.
આમ,ઉકેલો એવા સમતલ પર આવેલા છે જે કોઈપણ યામ સમતલને સમાંતર નથી.

(A) આપેલ રેખા $\vec{r}=\vec{a}+2 \vec{b}+p(\vec{a}-2 \vec{c}) \quad \dots(1)$ અને સમતલ $\vec{r}=3 \vec{a}-q(\vec{c}-\vec{b})+k(\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}) \quad \dots(2)$ છે.
$\vec{r}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\vec{a}+2 \vec{b}+p \vec{a}-2p \vec{c} = 3 \vec{a}-q \vec{c}+q \vec{b}+k \vec{a}-k \vec{b}+k \vec{c}$
$\vec{a}(1+p) + 2 \vec{b} - 2p \vec{c} = \vec{a}(3+k) + \vec{b}(q-k) + \vec{c}(k-q)$
$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ અસમતલીય હોવાથી,સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$1+p = 3+k \Rightarrow p-k = 2$
$2 = q-k \Rightarrow q-k = 2$
$-2p = k-q \Rightarrow q-k = 2p$
$q-k=2$ અને $q-k=2p$ પરથી,$2p=2 \Rightarrow p=1$ મળે.
$p=1$ ને $p-k=2$ માં મૂકતા,$1-k=2 \Rightarrow k=-1$ મળે.
$k=-1$ ને $q-k=2$ માં મૂકતા,$q-(-1)=2 \Rightarrow q=1$ મળે.
હવે,સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ શોધવા માટે $p=1$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$\vec{r} = \vec{a}+2 \vec{b}+1(\vec{a}-2 \vec{c}) = 2 \vec{a}+2 \vec{b}-2 \vec{c}$.
આને $\vec{r}=x \vec{a}+y \vec{b}+z \vec{c}$ સાથે સરખાવતા,$x=2, y=2, z=-2$ મળે.
તેથી,$x y z = 2 \times 2 \times (-2) = -8$.

(B) આપેલ છે કે $P(A / B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{3}{10} \implies P(A \cap B) = \frac{3}{10} P(B)$.
$P(B / A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{4}{5} \implies P(A) = \frac{5}{4} P(A \cap B) = \frac{5}{4} \times \frac{3}{10} P(B) = \frac{3}{8} P(B)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ છે કે $P(A \cup B) = K P(B)$,તેથી $K P(B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(B)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $K = \frac{P(A)}{P(B)} + 1 - \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
કિંમતો મૂકતા: $K = \frac{3}{8} + 1 - \frac{3}{10}$.
$K = \frac{15 + 40 - 12}{40} = \frac{43}{40}$.
તેથી,$\frac{1}{K} = \frac{40}{43}$.

(A) થેલી $B$ માં $4$ સફેદ દડા અને $2$ કાળા દડા છે. થેલી $B$ માં કુલ દડા $= 4 + 2 = 6$.
થેલી $B$ માંથી $1$ સફેદ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P_1 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ છે.
બીજી થેલી $C$ માં $3$ સફેદ દડા અને $5$ કાળા દડા છે. થેલી $C$ માં કુલ દડા $= 3 + 5 = 8$.
થેલી $C$ માંથી $1$ સફેદ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P_2 = \frac{3}{8}$ છે.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,બંને દડા સફેદ હોવાની સંભાવના $P = P_1 \times P_2 = \frac{2}{3} \times \frac{3}{8} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$ છે.

(C) ધારો કે $E$ એ વિજ્ઞાનનું પુસ્તક પસંદ કરવાની ઘટના છે.
ધારો કે $A$ એ જૂથ $A$ માંથી પુસ્તક પસંદ કરવાની ઘટના છે,અને $B$ એ જૂથ $B$ માંથી પુસ્તક પસંદ કરવાની ઘટના છે.
પાસા પર $2$ અથવા $5$ આવવાની સંભાવના $P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ છે.
$2$ અથવા $5$ ન આવવાની સંભાવના $P(B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ છે.
જૂથ $A$ માં $8$ વિજ્ઞાન અને $5$ એન્જિનિયરિંગના પુસ્તકો છે,કુલ $13$ પુસ્તકો છે. તેથી,$P(E|A) = \frac{8}{13}$.
જૂથ $B$ માં $6$ વિજ્ઞાન અને $7$ એન્જિનિયરિંગના પુસ્તકો છે,કુલ $13$ પુસ્તકો છે. તેથી,$P(E|B) = \frac{6}{13}$.
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(E) = P(A) \times P(E|A) + P(B) \times P(E|B)$
$P(E) = \frac{1}{3} \times \frac{8}{13} + \frac{2}{3} \times \frac{6}{13}$
$P(E) = \frac{8}{39} + \frac{12}{39} = \frac{20}{39}$

(A) ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે $A$ અને $B$ પાર્ટીમાં મળે છે,$E_2$ એ ઘટના છે કે $A$ અને $B$ સ્પોર્ટ્સ ક્લબમાં મળે છે,અને $D$ એ ઘટના છે કે $A$ અને $B$ સાથે જમે છે.
આપેલ છે કે $P(E_2) = \frac{4}{9}$,તેથી $P(E_1) = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.
શરતી સંભાવનાઓ $P(D|E_2) = \frac{2}{5}$ અને $P(D|E_1) = \frac{1}{3}$ છે.
કુલ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,તેઓ સાથે જમે તેની સંભાવના છે:
$P(D) = P(E_1) \cdot P(D|E_1) + P(E_2) \cdot P(D|E_2)$
$P(D) = \frac{5}{9} \times \frac{1}{3} + \frac{4}{9} \times \frac{2}{5} = \frac{5}{27} + \frac{8}{45} = \frac{25 + 24}{135} = \frac{49}{135}$.
તેઓ સાથે જમ્યા વગર છૂટા પડે તેની સંભાવના $P(D') = 1 - P(D) = 1 - \frac{49}{135} = \frac{86}{135}$ છે.

(B) ડેકમાં કુલ પત્તાંની સંખ્યા $52$ છે અને એક્કાની સંખ્યા $4$ છે.
જ્યારે પ્રથમ પત્તું ખેંચવામાં આવે,ત્યારે એક્કો મળવાની સંભાવના $P(A_1) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ છે.
પત્તું બદલ્યા વગર (without replacement) ખેંચવામાં આવતું હોવાથી,હવે ડેકમાં $51$ પત્તાં બાકી રહે છે,જેમાંથી $3$ એક્કા છે.
પ્રથમ પત્તું એક્કો હોવાની શરતે બીજા પત્તાંના એક્કા હોવાની સંભાવના $P(A_2|A_1) = \frac{3}{51} = \frac{1}{17}$ છે.
બંને પત્તાં એક્કા હોવાની સંભાવના $P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) \times P(A_2|A_1)$ છે.
$P(A_1 \cap A_2) = \frac{1}{13} \times \frac{1}{17} = \frac{1}{221}$.

(C) બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ હોય જો અને માત્ર જો $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ થાય.
આપણે વિકલ્પ $(C)$ ચકાસીએ:
$P(A^C \cap B^C) = P((A \cup B)^C)$ (ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ)
$= 1 - P(A \cup B)$
$= 1 - [P(A) + P(B) - P(A \cap B)]$
કારણ કે $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ છે,તેથી $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
$= 1 - P(A) - P(B) + P(A) \cdot P(B)$
$= (1 - P(A)) - P(B)(1 - P(A))$
$= (1 - P(A))(1 - P(B))$
આમ,જો $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ હોય,તો $P(A^C \cap B^C) = (1 - P(A))(1 - P(B))$ થાય.

(B) $n$ પ્રયત્નોમાં $k$ સફળતા મેળવવાની સંભાવના દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર $P(X=r) = {}^{n}C_r p^r q^{n-r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$n=15$,$p=1/2$ (ટેલ આવવાની સંભાવના),અને $q=1/2$ (હેડ આવવાની સંભાવના).
આપણે ઓછામાં ઓછી $3$ વખત ટેલ આવે તેની સંભાવના શોધવાની છે,એટલે કે $P(X \geq 3)$.
આની ગણતરી $P(X \geq 3) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$ તરીકે કરી શકાય છે.
$P(X=0) = {}^{15}C_0 (1/2)^0 (1/2)^{15} = 1 \times (1/2)^{15} = 1/2^{15}$.
$P(X=1) = {}^{15}C_1 (1/2)^1 (1/2)^{14} = 15 \times (1/2)^{15} = 15/2^{15}$.
$P(X=2) = {}^{15}C_2 (1/2)^2 (1/2)^{13} = \frac{15 \times 14}{2} \times (1/2)^{15} = 105/2^{15}$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો: $P(X < 3) = \frac{1 + 15 + 105}{2^{15}} = \frac{121}{2^{15}}$.
તેથી,$P(X \geq 3) = 1 - \frac{121}{2^{15}}$.

(A) આ પ્રશ્ન પોઈસન વિતરણને અનુસરે છે કારણ કે પ્રયત્નોની સંખ્યા $n = 2000$ મોટી છે અને સફળતાની સંભાવના $p = 0.001$ ખૂબ નાની છે.
પોઈસન વિતરણ માટે,પ્રાચલ $\lambda$ એ $\lambda = n \times p$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\lambda = 2000 \times 0.001 = 2$.
પોઈસન વિતરણ માટે સંભાવના દળ વિધેય $P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x}}{x!}$ છે.
આપણે બરાબર $x = 3$ વ્યક્તિઓ માટે સંભાવના શોધવાની છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $P(X = 3) = \frac{e^{-2} \times 2^{3}}{3!}$.
$P(X = 3) = \frac{e^{-2} \times 8}{6} = \frac{4}{3 e^{2}}$.

(C) મધ્યક '$m$' ધરાવતા પોઈસન વિતરણ માટે,સંભાવના દળ વિધેય $P(x = k) = \frac{m^k \cdot e^{-m}}{k!}$ છે,જ્યાં $k = 0, 1, 2, \dots$.
આપણે $P(x > 0)$ શોધવાનું છે.
પૂરક ઘટનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(x > 0) = 1 - P(x = 0)$.
સૂત્રમાં $k = 0$ મૂકતા,આપણને $P(x = 0) = \frac{m^0 \cdot e^{-m}}{0!} = \frac{1 \cdot e^{-m}}{1} = e^{-m}$ મળે છે.
તેથી,$P(x > 0) = 1 - e^{-m} = 1 - \frac{1}{e^m}$.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $P(x > 0) = \frac{e^m - 1}{e^m}$ મળે છે.

(C) યાદચ્છિક ચલ માટે તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 1$
$3c^3 + (4c - 10c^2) + (5c - 1) = 1$
$3c^3 - 10c^2 + 9c - 2 = 0$
ઘન સમીકરણના અવયવ પાડતા,આપણને $(c - 1)(c - 2)(3c - 1) = 0$ મળે છે.
કારણ કે $0 \le P(X) \le 1$,આપણે કિંમતો ચકાસીએ. જો $c = 1$ હોય,તો $P(X = 2) = 5(1) - 1 = 4$,જે અશક્ય છે. જો $c = 2$ હોય,તો $P(X = 2) = 5(2) - 1 = 9$,જે અશક્ય છે. તેથી,$c = \frac{1}{3}$.
હવે,$P(X = 0) = 3(\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{9}$,$P(X = 1) = 4(\frac{1}{3}) - 10(\frac{1}{3})^2 = \frac{4}{3} - \frac{10}{9} = \frac{2}{9}$,અને $P(X = 2) = 5(\frac{1}{3}) - 1 = \frac{2}{3}$.
આપણે $P(0 < X \le 2) = P(X = 1) + P(X = 2)$ શોધવાનું છે.
$P(0 < X \le 2) = \frac{2}{9} + \frac{2}{3} = \frac{2}{9} + \frac{6}{9} = \frac{8}{9}$.

(A) અસતત સંભાવના વિતરણ માટે,તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$\sum_{x=1}^{\infty} P(X = x) = 1$
$\sum_{x=1}^{\infty} 5r^x = 1$
$5(r + r^2 + r^3 + \dots) = 1$
આ એક અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = r$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે. અનંત શ્રેણીનો સરવાળો $|r| < 1$ માટે $\frac{a}{1-r}$ થાય છે.
$5 \left( \frac{r}{1 - r} \right) = 1$
$5r = 1 - r$
$6r = 1$
$r = \frac{1}{6}$

(D) કોઈપણ સંભાવના વિતરણ માટે,બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ.
$\sum_{x=0}^{7} P(x) = 1$
$\Rightarrow 0.01 + 0.10 + 0.26 + 0.33 + 0.18 + 0.06 + K + 0.04 = 1$
$\Rightarrow 0.98 + K = 1$
$\Rightarrow K = 1 - 0.98 = 0.02$
હવે,આપણે $P(X \geq 3) - P(X < 6)$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$P(X \geq 3) = P(3) + P(4) + P(5) + P(6) + P(7) = 0.33 + 0.18 + 0.06 + 0.02 + 0.04 = 0.63$
$P(X < 6) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) = 0.01 + 0.10 + 0.26 + 0.33 + 0.18 + 0.06 = 0.94$
તેથી,$P(X \geq 3) - P(X < 6) = 0.63 - 0.94 = -0.31$.

(A) માસ્ક ખામીયુક્ત હોવાની સંભાવના $p = \frac{1}{500} = 0.002$ છે.
$n = 100$ માસ્કના પેકેટમાં,ખામીયુક્ત માસ્કની અપેક્ષિત સંખ્યા $\lambda = np = 100 \times 0.002 = 0.2$ છે.
પોઈસન વિતરણનો ઉપયોગ કરતા,પેકેટમાં $r$ ખામીયુક્ત માસ્ક હોવાની સંભાવના $P(X = r) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^r}{r!}$ છે.
પેકેટમાં કોઈ ખામીયુક્ત માસ્ક ન હોય તે માટે,આપણે $r = 0$ લઈએ છીએ:
$P(X = 0) = \frac{e^{-0.2} (0.2)^0}{0!} = e^{-0.2}$.
$10,000$ પેકેટની કન્સાઇનમેન્ટમાં,ખામીયુક્ત માસ્ક વગરના પેકેટની સંખ્યા $10,000 \times P(X = 0) = 10,000 \times e^{-0.2} = \frac{10,000}{e^{0.2}}$ છે.

(D) સફળતાનું વિતરણ એ દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે જેના પ્રાચલો $n$ અને $p$ છે.
દ્વિપદી વિતરણનું વિચરણ શોધવાનું સૂત્ર $Var(X) = npq$ છે,જ્યાં $n$ એ પ્રયત્નોની સંખ્યા છે,$p$ એ સફળતાની સંભાવના છે અને $q = 1 - p$ એ નિષ્ફળતાની સંભાવના છે.
પાસાના એક ઉછાળમાં,શક્ય પરિણામો $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે. એકી સંખ્યાઓ $\{1, 3, 5\}$ છે.
તેથી,સફળતાની સંભાવના $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ છે.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ છે.
અહીં પાસાને $n = 5$ વખત ઉછાળવામાં આવે છે.
આ કિંમતોને વિચરણના સૂત્રમાં મૂકતા:
$Var(X) = n \times p \times q = 5 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$.

(D) આપેલ સંભાવના વિધેય $P(X=r) = K r^2$ છે,જ્યાં $r \in \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}$.
બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ,તેથી:
$\sum P(X=r) = 1$
$K((-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2) = 1$
$K(4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9) = 1$
$19K = 1 \Rightarrow K = \frac{1}{19}$
આપણે વિચરણ $\sigma^2$ અને મધ્યકના વર્ગ $\mu^2$ નો સરવાળો શોધવાનો છે. આપણે જાણીએ છીએ કે $\sigma^2 = E(X^2) - \mu^2$,તેથી $\sigma^2 + \mu^2 = E(X^2)$.
$E(X^2) = \sum r^2 P(X=r) = \sum r^2 (K r^2) = K \sum r^4$
$E(X^2) = K((-2)^4 + (-1)^4 + 0^4 + 1^4 + 2^4 + 3^4)$
$E(X^2) = K(16 + 1 + 0 + 1 + 16 + 81) = K(115)$
$K = \frac{1}{19}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$E(X^2) = \frac{115}{19}$
આમ,$\sigma^2 + \mu^2 = \frac{115}{19}$.

(B) પોઈસન વિતરણ માટે,સંભાવના દળ વિધેય $P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^x}{x!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $P(X = 2) = 2 \cdot P(X = 1)$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^2}{2!} = 2 \cdot \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^1}{1!}$.
બંને બાજુ $e^{-\lambda} \cdot \lambda$ વડે ભાગતા (ધારો કે $\lambda \neq 0$):
$\frac{\lambda}{2} = 2 \cdot 1$.
$\lambda = 4$.
પોઈસન વિતરણમાં,વિચરણ એ પ્રાચલ $\lambda$ જેટલું હોય છે,તેથી $\sigma^2 = \lambda = 4$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{\lambda} = \sqrt{4} = 2$ થાય.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે.
$\sum P(X = x) = 0 + k + 2k + 2k + 3k + k^2 + 2k^2 + 7k^2 + k = 1$
$10k^2 + 9k - 1 = 0$
$(10k - 1)(k + 1) = 0$
સંભાવના હંમેશા ધન હોવી જોઈએ,તેથી $k = \frac{1}{10}$.
આપણે $P(0 < X < 4) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)$ શોધવાનું છે.
$P(0 < X < 4) = k + 2k + 2k = 5k$.
$k = \frac{1}{10}$ મૂકતા,$P(0 < X < 4) = 5 \times \frac{1}{10} = \frac{1}{2}$.