TS EAMCET 2021 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) પરિણામી સ્થાનાંતર $x = x_1 + x_2 + x_3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણો મૂકતા:
$x = A \cos \omega t + 2 A \sin \omega t + \sqrt{2} A \cos (\omega t + \frac{\pi}{4})$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = A \cos \omega t + 2 A \sin \omega t + \sqrt{2} A (\cos \omega t \cos \frac{\pi}{4} - \sin \omega t \sin \frac{\pi}{4})$.
કારણ કે $\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી:
$x = A \cos \omega t + 2 A \sin \omega t + \sqrt{2} A (\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \omega t - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \omega t)$.
$x = A \cos \omega t + 2 A \sin \omega t + A \cos \omega t - A \sin \omega t$.
$x = 2 A \cos \omega t + A \sin \omega t$.
$x = a \cos \omega t + b \sin \omega t$ સ્વરૂપના સ્થાનાંતર માટે પરિણામી કંપવિસ્તાર $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ છે.
તેથી,$R = \sqrt{(2 A)^2 + A^2} = \sqrt{4 A^2 + A^2} = \sqrt{5} A$.

(A) પાણીને ઉપર ચઢાવવા માટે પંપનો અસરકારક પાવર $P_p$ એ તેની કાર્યક્ષમતા $\eta$ અને તેના રેટ કરેલા પાવર $P_{\text{rated}}$ ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
$P_p = \eta \times P_{\text{rated}} = 0.95 \times 600 W = 570 W$.
$h$ ઊંચાઈ સુધી $t$ સમયમાં $V$ કદનું પાણી ચઢાવવા માટે જરૂરી પાવર $P_p = \frac{mgh}{t} = \frac{\rho V gh}{t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ પાણીની ઘનતા છે.
આપેલ છે: $\rho = 1000 kg/m^3$,$g = 10 m/s^2$,$h = 60 m$,અને $t = 20 \text{ મિનિટ} = 20 \times 60 s = 1200 s$.
કિંમતો મૂકતા: $570 = \frac{1000 \times V \times 10 \times 60}{1200}$.
$570 = \frac{600000 \times V}{1200} = 500 \times V$.
$V = \frac{570}{500} = 1.14 m^3$.

(D) વ્યક્તિ બે ઉભી દીવાલોની વચ્ચે સંતુલનમાં છે. ધારો કે વ્યક્તિ દ્વારા દરેક દીવાલ પર લગાડવામાં આવતું લંબબળ $N = 500 \ N$ છે.
વ્યક્તિ સ્થિર હોવાથી,કુલ ઉપરની તરફ લાગતું ઘર્ષણ બળ તેના વજનને સંતુલિત કરતું હોવું જોઈએ.
દરેક દીવાલ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f = \mu N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે દીવાલો હોવાથી,કુલ ઉપરની તરફ લાગતું ઘર્ષણ બળ $2f = 2 \mu N$ થશે.
ઉર્ધ્વ સંતુલન માટે,$2 \mu N = mg$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $2 \times 0.5 \times 500 = m \times 10$.
$500 = 10m$.
તેથી,$m = 50 \ kg$.

(B) બંને બ્લોક્સ સાથે ગતિ કરે તે માટે,બ્લોક $m_2$ એ $m_1$ જેટલા જ પ્રવેગ $a$ થી ગતિ કરવી જોઈએ. $m_2$ ને પ્રવેગિત કરતું એકમાત્ર બળ એ $m_1$ અને $m_2$ વચ્ચે લાગતું સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f$ છે.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{\max} = \mu N = \mu m_2 g$ છે.
બ્લોક $m_2$ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$f_{\max} = m_2 a \implies \mu m_2 g = m_2 a \implies a = \mu g$.
હવે,બંને બ્લોક્સના તંત્ર $(m_1 + m_2)$ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$F_{\max} = (m_1 + m_2) a$.
$a$ ની કિંમત મૂકતા:
$F_{\max} = (m_1 + m_2) \mu g = \mu(m_1 + m_2) g$.

(B) હોડીનું દળ,$M = 750 \ kg$. માણસનું દળ,$m = 80 \ kg$. હોડીની લંબાઈ,$L = 10 \ m$. તંત્ર (હોડી + માણસ) પર કોઈ બાહ્ય આડું બળ લાગતું ન હોવાથી,તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થિર રહે છે. ધારો કે હોડી માણસની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં $x$ જેટલું સ્થાનાંતર કરે છે. માણસ હોડીની સાપેક્ષે $L$ અંતર કાપે છે,તેથી પાણીની સાપેક્ષે તેનું સ્થાનાંતર $(L - x)$ થાય. હોડીના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું પાણીની સાપેક્ષે સ્થાનાંતર વિરુદ્ધ દિશામાં $x$ થાય છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ: $m \Delta x_m + M \Delta x_B = 0$. અહીં,$\Delta x_m = (L - x)$ અને $\Delta x_B = -x$. કિંમતો મૂકતા: $80(10 - x) + 750(-x) = 0$. $800 - 80x - 750x = 0$. $830x = 800$. $x = \frac{800}{830} \approx 0.96 \ m$. આમ,હોડી માણસના સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ દિશામાં $0.96 \ m$ જેટલું સ્થાનાંતર કરશે.

(C) ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ $a$ છે. કોઈપણ એક પદાર્થ (ધારો કે પદાર્થ $4$) પર લાગતું કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ અન્ય ત્રણ પદાર્થો $(1, 2, 3)$ દ્વારા લાગતા બળોનો સદિશ સરવાળો છે.
ધારો કે $\vec{F}_{14}$,$\vec{F}_{34}$ અને $\vec{F}_{24}$ એ અનુક્રમે પદાર્થ $1, 3$ અને $2$ દ્વારા પદાર્થ $4$ પર લાગતા બળો છે.
તેમના મૂલ્યો $F_{14} = \frac{Gm^2}{a^2}$,$F_{34} = \frac{Gm^2}{a^2}$ અને $F_{24} = \frac{Gm^2}{(\sqrt{2}a)^2} = \frac{Gm^2}{2a^2}$ છે.
$\vec{F}_{14}$ અને $\vec{F}_{34}$ નું પરિણામી બળ $F_{13} = \sqrt{F_{14}^2 + F_{34}^2} = \sqrt{\left(\frac{Gm^2}{a^2}\right)^2 + \left(\frac{Gm^2}{a^2}\right)^2} = \sqrt{2} \frac{Gm^2}{a^2}$ છે.
આ પરિણામી બળ $F_{13}$ વિકર્ણની દિશામાં,$\vec{F}_{24}$ ની દિશામાં જ લાગે છે.
તેથી,કુલ બળ $F_{net} = F_{13} + F_{24} = \sqrt{2} \frac{Gm^2}{a^2} + \frac{Gm^2}{2a^2} = \frac{Gm^2}{a^2} \left(\sqrt{2} + \frac{1}{2}\right) = \frac{Gm^2}{a^2} \left(\frac{2\sqrt{2} + 1}{2}\right)$ છે.
આપેલ છે કે $F_{net} = \left(\frac{2\sqrt{2} + 1}{32}\right) \frac{Gm^2}{L^2}$,તેથી બંને પદોને સરખાવતા:
$\frac{Gm^2}{a^2} \left(\frac{2\sqrt{2} + 1}{2}\right) = \left(\frac{2\sqrt{2} + 1}{32}\right) \frac{Gm^2}{L^2}$.
$\frac{1}{2a^2} = \frac{1}{32L^2} \Rightarrow a^2 = 16L^2 \Rightarrow a = 4L$.

(D) જ્યારે કોઈ તકતી ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ઘટાડો સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
તકતી માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}mr^2$ છે અને ગબડવાની શરત $\omega = \frac{v}{r}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mr^2)(\frac{v}{r})^2$.
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$.
બંને બાજુથી $m$ દૂર કરતા: $gh = \frac{3}{4}v^2$.
$v$ માટે ઉકેલતા: $v = \sqrt{\frac{4gh}{3}}$.
આમ,વેગ $v$ માત્ર ઢાળની ઊંચાઈ $h$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ પર આધાર રાખે છે.

(A) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા ઉપગ્રહની સ્થિતિ ઊર્જા $(U)$ $U = -\frac{GMm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ આકર્ષી પ્રકારનું હોવાથી,સ્થિતિ ઊર્જા હંમેશા ઋણ હોય છે.
ઉપગ્રહની ગતિ ઊર્જા $(K)$ $K = \frac{GMm}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $G, M, m,$ અને $r$ બધા ધન હોવાથી,ગતિ ઊર્જા હંમેશા ધન હોય છે.
ઉપગ્રહની કુલ ઊર્જા $(TE)$ એ તેની ગતિ ઊર્જા અને સ્થિતિ ઊર્જાનો સરવાળો છે:
$TE = K + U = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2r}$.
આમ,કુલ ઊર્જા હંમેશા ઋણ હોય છે.
અનંત અંતરે $(r = \infty)$ ઉપગ્રહની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જા:
$U = -\frac{GMm}{\infty} = 0$.
આ પરિણામોને આપેલા સ્તંભો સાથે સરખાવતા:
$A$ (સ્થિતિ ઊર્જા) $\rightarrow II$ (ઋણ)
$B$ (કુલ ઊર્જા) $\rightarrow II$ (ઋણ)
$C$ (ગતિ ઊર્જા) $\rightarrow I$ (ધન)
$D$ (અનંત અંતરે સ્થિતિ ઊર્જા) $\rightarrow III$ (શૂન્ય)
સાચી જોડ $A-II, B-II, C-I, D-III$ છે.

(A) ધારો કે પદાર્થની ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $K$,દળ $m$,ઊંચાઈ $h$ અને ત્રિજ્યા $R$ છે.
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ટોચ પરની સ્થિતિ ઉર્જા એ તળિયે રહેલી સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિ ઉર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
કારણ કે $I = mK^2$ અને $\omega = v/R$,તેથી:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{K^2}{R^2})$
$v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + \frac{K^2}{R^2}}}$
રીંગ માટે,$K^2 = R^2$,તેથી $v_{\text{ring}} = \sqrt{\frac{2gh}{1+1}} = \sqrt{gh}$.
નક્કર નળાકાર માટે,$K^2 = \frac{R^2}{2}$,તેથી $v_{\text{cylinder}} = \sqrt{\frac{2gh}{1+0.5}} = \sqrt{\frac{4gh}{3}} \approx 1.15\sqrt{gh}$.
નક્કર ગોળા માટે,$K^2 = \frac{2}{5}R^2$,તેથી $v_{\text{sphere}} = \sqrt{\frac{2gh}{1+0.4}} = \sqrt{\frac{10gh}{7}} \approx 1.19\sqrt{gh}$.
વેગની સરખામણી કરતા,રીંગનો વેગ ઢળતી સપાટીના તળિયે ન્યૂનતમ છે.

(B) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$g = g_0 \left( \frac{R}{R+h} \right)^2 = \frac{16}{49} g_0$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{R}{R+h} = \frac{4}{7}$
$7R = 4R + 4h \implies 4h = 3R \implies h = \frac{3R}{4}$
કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ છે:
$r = R + h = R + \frac{3R}{4} = \frac{7R}{4}$
ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ $T$ નીચે મુજબ છે:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$T^2 = \frac{4\pi^2 r^3}{GM} = \frac{4\pi^2}{GM} \left( \frac{7R}{4} \right)^3 = \frac{4\pi^2}{GM} \left( \frac{343 R^3}{64} \right) = \frac{343}{16} \left[ \frac{\pi^2 R^3}{GM} \right]$
આને $K \left[ \frac{\pi^2 R^3}{GM} \right]$ સાથે સરખાવતા,આપણને $K = \frac{343}{16}$ મળે છે.

(C) ગોળાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે। દળ અચળ રહેતું હોવાથી, $V \propto R^3$ થાય.
જો નવું કદ $V_2 = \frac{1}{8} V_1$ હોય, તો $\frac{V_2}{V_1} = \frac{R_2^3}{R_1^3} = \frac{1}{8}$.
ઘનમૂળ લેતા, $\frac{R_2}{R_1} = \frac{1}{2}$ મળે, તેથી $R_2 = \frac{1}{2} R_1$.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, $L = I \omega = \text{અચળ}$.
$I = \frac{2}{5} M R^2$ અને $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ હોવાથી, $I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા, $\frac{2}{5} M R_1^2 \cdot \frac{2 \pi}{T_1} = \frac{2}{5} M R_2^2 \cdot \frac{2 \pi}{T_2}$.
આ સમીકરણ $\frac{R_1^2}{T_1} = \frac{R_2^2}{T_2}$ માં પરિણમે છે, જે પરથી $T_2 = T_1 \left( \frac{R_2}{R_1} \right)^2$ મળે.
$T_1 = 24$ કલાક આપેલ હોવાથી, $T_2 = 24 \cdot (1/2)^2 = 24 \cdot (1/4) = 6$ કલાક.

(C) સરળ આવર્ત દોલક માટે મધ્યસ્થ સ્થિતિથી $x$ સ્થાનાંતરે પ્રવેગનું મૂલ્ય $a = \omega^2 x$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે,જે $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
આપેલ છે: આવર્તકાળ $T = 2 \ s$,સ્થાનાંતર $x = 0.25 \ m$.
પ્રથમ,કોણીય આવૃત્તિની ગણતરી કરો: $\omega = \frac{2 \pi}{2} = \pi \ rad/s$.
હવે,કિંમતોને પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકો: $a = (\pi)^2 \times 0.25$.
કારણ કે $0.25 = \frac{1}{4}$,તેથી આપણને $a = \pi^2 \times \frac{1}{4} = \frac{\pi^2}{4} \ m \ s^{-2}$ મળે છે.

(B) હિલિયમનું દળ, $m_{He} = 4 \,g$. હિલિયમનું મોલર દળ $= 4 \,g/mol$. મોલની સંખ્યા $n_1 = 4/4 = 1 \,mol$.
ઓક્સિજનનું દળ, $m_{O_2} = 32 \,g$. ઓક્સિજનનું મોલર દળ $= 32 \,g/mol$. મોલની સંખ્યા $n_2 = 32/32 = 1 \,mol$.
હિલિયમ એક પરમાણ્વીય વાયુ છે, તેથી મુક્તિના અંશો $f_1 = 3$.
ઓક્સિજન દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ છે, તેથી મુક્તિના અંશો $f_2 = 5$.
મિશ્રણનો વિશિષ્ટ ઉષ્મા ગુણોત્તર $\gamma_{mix} = \frac{n_1 C_{p1} + n_2 C_{p2}}{n_1 C_{V1} + n_2 C_{V2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$C_V = \frac{f}{2}R$ અને $C_p = (1 + \frac{f}{2})R$ નો ઉપયોગ કરતા:
$C_{V,mix} = \frac{n_1(f_1/2)R + n_2(f_2/2)R}{n_1 + n_2} = \frac{1(3/2)R + 1(5/2)R}{1 + 1} = \frac{4R}{2} = 2R$.
$C_{p,mix} = C_{V,mix} + R = 2R + R = 3R$.
તેથી, $\gamma_{mix} = \frac{3R}{2R} = \frac{3}{2}$.

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતાનું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_{\text{sink}}}{T_{\text{source}}}$ છે.
મલ્ટી-સ્ટેજ કાર્નોટ એન્જિનમાં,એકંદર કાર્યક્ષમતા ફક્ત પ્રારંભિક સ્ત્રોત તાપમાન અને અંતિમ સિંક તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
અહીં,પ્રારંભિક સ્ત્રોત તાપમાન $T_{\text{source}} = T$ છે અને અંતિમ સિંક તાપમાન $T_{\text{sink}} = \beta T$ છે.
આ કિંમતોને કાર્યક્ષમતાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\eta = 1 - \frac{\beta T}{T} = 1 - \beta$.

(D) કાર્નોટ એન્જિન માટે,કાર્યક્ષમતા $\eta = \frac{W}{Q_1} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{W}{Q_1} = 1 - \frac{200}{400} = 1 - 0.5 = 0.5$,તેથી $W = 0.5 Q_1$.
કાર્નોટ રેફ્રિજરેટર માટે,પરફોર્મન્સ ગુણાંક $COP = \frac{Q_4}{W} = \frac{T_4}{T_3 - T_4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{Q_4}{W} = \frac{250}{350 - 250} = \frac{250}{100} = 2.5$,તેથી $W = \frac{Q_4}{2.5} = 0.4 Q_4$.
એન્જિન રેફ્રિજરેટરને ચલાવે છે,તેથી એન્જિન દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ કાર્ય $W$ એ રેફ્રિજરેટર દ્વારા વપરાયેલ કાર્ય $W$ જેટલું જ છે.
તેથી,$0.5 Q_1 = 0.4 Q_4$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{Q_4}{Q_1} = \frac{0.5}{0.4} = 1.25$.
કાર્નોટ રેફ્રિજરેટર માટે,$\frac{Q_3}{T_3} = \frac{Q_4}{T_4}$,તેથી $Q_3 = Q_4 \left( \frac{T_3}{T_4} \right) = Q_4 \left( \frac{350}{250} \right) = 1.4 Q_4$.
હવે,આપણે ગુણોત્તર $\frac{Q_3}{Q_1} = \frac{Q_3}{Q_4} \times \frac{Q_4}{Q_1} = 1.4 \times 1.25 = 1.75$ મેળવીએ છીએ.

(A) સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}$ છે, જ્યાં $d$ એ અણુનો વ્યાસ છે અને $n$ એ સંખ્યા ઘનતા છે।
આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $r = 0.6 \times 10^{-10} \, m$, તેથી વ્યાસ $d = 2r = 1.2 \times 10^{-10} \, m$.
સંખ્યા ઘનતા $n = 2.44 \times 10^{25} \, \text{molecules}/m^3$.
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \times \pi \times (1.2 \times 10^{-10})^2 \times 2.44 \times 10^{25}}$
$\lambda = \frac{1}{1.414 \times \pi \times 1.44 \times 10^{-20} \times 2.44 \times 10^{25}}$
$\lambda = \frac{1}{4.97 \times \pi \times 10^5} \approx \frac{0.2}{\pi} \times 10^{-5} \, m$.

(C) સ્થિત તરંગમાં બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર તરંગલંબાઈના અડધા જેટલું હોય છે,$\lambda/2 = L$,તેથી $\lambda = 2L$.
વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ $v$ એ $v = f \lambda = f(2L) = 2fL$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}$ દ્વારા પણ આપવામાં આવે છે.
$v$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $2fL = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4f^2 L^2 = \frac{\gamma R T}{M}$.
$\gamma$ માટે ઉકેલતા: $\gamma = \frac{4 M f^2 L^2}{R T}$.

(A) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતાનું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ છે,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન $(T_2 = 500 \ K)$ છે.
$\eta_1 = 50\% = 0.5$ માટે:
$0.5 = 1 - \frac{500}{T_1} \Rightarrow \frac{500}{T_1} = 0.5 \Rightarrow T_1 = 1000 \ K$.
$\eta_2 = 80\% = 0.8$ માટે,ધારો કે નવું સ્ત્રોત તાપમાન $T_1' = T_1 + \Delta T$ છે:
$0.8 = 1 - \frac{500}{T_1 + \Delta T} \Rightarrow \frac{500}{T_1 + \Delta T} = 0.2$.
$T_1 + \Delta T = \frac{500}{0.2} = 2500 \ K$.
કારણ કે $T_1 = 1000 \ K$,તેથી વધારો $\Delta T = 2500 \ K - 1000 \ K = 1500 \ K$ થાય.

(D) ન્યૂટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર પદાર્થ અને તેની આસપાસના તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{d\theta}{dt} = -K(\theta_{avg} - \theta_s)$.
પ્રથમ કિસ્સામાં,પદાર્થ $5 \text{ min}$ માં $70^{\circ} C$ થી $40^{\circ} C$ સુધી ઠંડો થાય છે.
સરેરાશ તાપમાન $\theta_{avg1} = \frac{70+40}{2} = 55^{\circ} C$.
વધારાનું તાપમાન $= 55 - 20 = 35^{\circ} C$.
ઠંડા પડવાનો દર $\frac{d\theta_1}{dt} = \frac{70-40}{5} = 6^{\circ} C/\text{min}$.
તેથી,$6 = K \times 35 \implies K = \frac{6}{35} \dots (1)$.
બીજા કિસ્સામાં,પદાર્થ $t$ સમયમાં $60^{\circ} C$ થી $40^{\circ} C$ સુધી ઠંડો થાય છે.
સરેરાશ તાપમાન $\theta_{avg2} = \frac{60+40}{2} = 50^{\circ} C$.
વધારાનું તાપમાન $= 50 - 20 = 30^{\circ} C$.
ઠંડા પડવાનો દર $\frac{d\theta_2}{dt} = \frac{60-40}{t} = \frac{20}{t}$.
તેથી,$\frac{20}{t} = K \times 30 \dots (2)$.
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{6}{20/t} = \frac{35}{30} \implies \frac{6t}{20} = \frac{7}{6}$.
$t = \frac{7 \times 20}{6 \times 6} = \frac{140}{36} \approx 3.89 \text{ min}$.

(C) વાયુના અણુઓની rms ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3 k_B T}{m}}$ છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,$T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $m$ એ અણુનું દળ છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^{\circ} C = (27 + 273) K = 300 K$ આપેલ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક rms ઝડપ $v_1$ છે. આપણે તાપમાન $T_2$ પર અંતિમ rms ઝડપ $v_2 = 2v_1$ મેળવવા માંગીએ છીએ.
પ્રમાણસરતા $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
કિંમતો મૂકતા,$2 = \sqrt{\frac{T_2}{300}}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$4 = \frac{T_2}{300}$,જેનું સાદુંરૂપ આપતા $T_2 = 1200 K$ મળે છે.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા,$T_2 = (1200 - 273)^{\circ} C = 927^{\circ} C$.

(D) કાર બે પ્રકારના પ્રવેગ અનુભવે છે: સ્પર્શક પ્રવેગ $a_t = 3 \ m \ s^{-2}$ અને કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c = \frac{v^2}{R}$.
કુલ પ્રવેગ $a = \sqrt{a_t^2 + a_c^2} = \sqrt{3^2 + (\frac{v^2}{16})^2}$ છે.
ઘર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી અને સ્પર્શક બળ પૂરું પાડે છે,તેથી મહત્તમ ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu N = \mu mg$ એ કુલ બળ $F = ma$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ.
આમ,$\mu mg \geq m \sqrt{a_t^2 + a_c^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(\mu g)^2 \geq a_t^2 + (\frac{v^2}{R})^2$.
કિંમતો મૂકતા: $(0.5 \times 10)^2 \geq 3^2 + (\frac{v^2}{16})^2$.
$25 \geq 9 + \frac{v^4}{256}$.
$16 \geq \frac{v^4}{256}$.
$v^4 \leq 16 \times 256 = 4096$.
$v \leq (4096)^{1/4} = 8 \ m \ s^{-1}$.

(A) ધારો કે સદિશ $\vec{A}$ નું મૂલ્ય $A$ છે.
આપેલ છે કે સદિશ $\vec{A}$ નો $y$-ઘટક $A_y = 3.0 \ m$ છે.
ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$ એ ધન $y$-અક્ષથી ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં માપવામાં આવે છે.
સદિશના ઘટકની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,$y$-ઘટક $A_y = A \cos(\theta)$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $3.0 = A \cos(30^{\circ})$.
કારણ કે $\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $3.0 = A \times \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$A$ માટે ઉકેલતા: $A = \frac{3.0 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \ m$.

(B) પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = 3 \hat{i} \text{ m s}^{-1}$ અને પ્રવેગ $\vec{a} = -1 \hat{i} - 0.5 \hat{j} \text{ m s}^{-2}$ છે.
ગતિના સમીકરણ $\vec{v} = \vec{u} + \vec{a}t$ નો ઉપયોગ કરતા,$t$ સમયે વેગ:
$\vec{v}(t) = (3 - t) \hat{i} - 0.5t \hat{j}$.
મહત્તમ $x$-યામ માટે,વેગનો $x$-ઘટક શૂન્ય થવો જોઈએ:
$v_x = 3 - t = 0 \implies t = 3 \text{ s}$.
હવે,સ્થાનના સમીકરણ $\vec{r} = \vec{u}t + \frac{1}{2}\vec{a}t^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{r}(3) = (3 \hat{i})(3) + \frac{1}{2}(-1 \hat{i} - 0.5 \hat{j})(3)^2$
$\vec{r}(3) = 9 \hat{i} + \frac{1}{2}(-9 \hat{i} - 4.5 \hat{j})$
$\vec{r}(3) = 9 \hat{i} - 4.5 \hat{i} - 2.25 \hat{j} = 4.5 \hat{i} - 2.25 \hat{j}$.
$\frac{9}{2}$ સામાન્ય લેતા:
$\vec{r}(3) = \frac{9}{2} \hat{i} - \frac{9}{4} \hat{j} = \frac{9}{2} (\hat{i} - \frac{\hat{j}}{2}) \text{ m}$.

(A) આપેલ છે: પ્રવેગ $\vec{a} = 4 \hat{i} + 4 \hat{j} \, m \, s^{-2}$,પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = 4 \hat{i} \, m \, s^{-1}$.
$x$-અક્ષ પર સ્થાનાંતર $s_x = 6 \, m$ છે.
ગતિના સમીકરણ $s_x = u_x t + \frac{1}{2} a_x t^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$6 = 4t + \frac{1}{2}(4)t^2$
$6 = 4t + 2t^2 \Rightarrow 2t^2 + 4t - 6 = 0 \Rightarrow t^2 + 2t - 3 = 0$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $(t+3)(t-1) = 0$. $t > 0$ હોવાથી,$t = 1 \, s$ મળે.
હવે,$t = 1 \, s$ સમયે વેગના ઘટકો શોધો:
$v_x = u_x + a_x t = 4 + 4(1) = 8 \, m \, s^{-1}$.
$v_y = u_y + a_y t = 0 + 4(1) = 4 \, m \, s^{-1}$.
પરિણામી ઝડપ $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4 \sqrt{5} \, m \, s^{-1}$.

(A) બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટેનું સૂત્ર: $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ છે.
પ્રથમ,ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરો: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (3)(5) + (2)(3) + (5)(1) = 15 + 6 + 5 = 26$.
ત્યારબાદ,સદિશોના માન (magnitudes) શોધો:
$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 4 + 25} = \sqrt{38}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{5^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 9 + 1} = \sqrt{35}$.
હવે,આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકો:
$\cos \theta = \frac{26}{\sqrt{38} \cdot \sqrt{35}} = \frac{26}{\sqrt{1330}}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{26}{\sqrt{1330}}\right)$.

(D) આપેલ છે કે,કણનો વેગ $\vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j} = (2 \hat{i} + 2 \hat{j}) \text{ m s}^{-1}$ છે.
તેથી,$v_x = \frac{dx}{dt} = 2 \text{ m s}^{-1}$ અને $v_y = \frac{dy}{dt} = 2 \text{ m s}^{-1}$ છે.
$x$-દિશામાં પ્રવેગ $a_x = \frac{dv_x}{dt} = 0$ છે (કારણ કે $v_x$ અચળ છે).
$y$-દિશામાં પ્રવેગ $a_y = \frac{dv_y}{dt} = a$ છે.
ગતિપથનું સમીકરણ $y = 4x^2$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dt} = 8x \frac{dx}{dt}$,એટલે કે $v_y = 8x v_x$ મળે.
ફરીથી સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dv_y}{dt} = 8 \left( x \frac{dv_x}{dt} + v_x \frac{dx}{dt} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $a_y = a$,$a_x = 0$,$v_x = 2$,અને $\frac{dx}{dt} = v_x = 2$:
$a = 8(x \cdot 0 + 2 \cdot 2) = 8(4) = 32 \text{ m s}^{-2}$.

(A) ધારો કે પ્રથમ પદાર્થ $A$ છે અને બીજો પદાર્થ $B$ છે. બંનેને $t=0$ સમયે ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી ફેંકવામાં આવે છે.
પદાર્થ $A$ માટે (સીધો ઉપર ફેંકાયેલ): $\vec{v}_A = v_0 \hat{j}$,$\vec{a}_A = -g \hat{j}$.
$t$ સમયે $A$ નું સ્થાન: $\vec{r}_A = (v_0 t) \hat{j} - \frac{1}{2} g t^2 \hat{j}$.
પદાર્થ $B$ માટે (શિરોલંબ સાથે $60^{\circ}$ ના ખૂણે ફેંકાયેલ,એટલે કે સમક્ષિતિજ સાથે $30^{\circ}$): $\vec{v}_B = v_0 \cos 30^{\circ} \hat{i} + v_0 \sin 30^{\circ} \hat{j}$.
$t$ સમયે $B$ નું સ્થાન: $\vec{r}_B = (v_0 \cos 30^{\circ} t) \hat{i} + (v_0 \sin 30^{\circ} t - \frac{1}{2} g t^2) \hat{j}$.
સાપેક્ષ સ્થાન સદિશ $\vec{r}_{AB} = \vec{r}_B - \vec{r}_A = (v_0 \cos 30^{\circ} t) \hat{i} + (v_0 \sin 30^{\circ} t - v_0 t) \hat{j}$.
કિંમતો $v_0 = 10 \ m \ s^{-1}$ અને $t = 2 \ s$ મૂકતા:
$\vec{r}_{AB} = (10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2) \hat{i} + (10 \times \frac{1}{2} \times 2 - 10 \times 2) \hat{j} = 10\sqrt{3} \hat{i} - 10 \hat{j}$.
અંતર એ $\vec{r}_{AB}$ નું માન છે:
$|\vec{r}_{AB}| = \sqrt{(10\sqrt{3})^2 + (-10)^2} = \sqrt{300 + 100} = \sqrt{400} = 20 \ m$.

(A) આપેલ છે: ગોળીનું દળ $= m$,પ્રારંભિક વેગ $= v_1$,અંતિમ વેગ $= v_2$,અને કાપેલું અંતર $= L$.
ગોળી અવરોધક બળ $F$ અનુભવે છે,તેથી તે $a = F/m$ જેટલો નિયમિત પ્રતિપ્રવેગ અનુભવે છે.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v^2 - u^2 = 2as$,જ્યાં $v = v_2$,$u = v_1$,$a = -F/m$,અને $s = L$:
$v_2^2 - v_1^2 = 2(-F/m)L$
$v_2^2 - v_1^2 = -\frac{2FL}{m}$
$F = \frac{m(v_1^2 - v_2^2)}{2L}$
અહીં $v_1 > v_2$ હોવાથી,બળ $F$ ધન મળે છે.

(C) જ્યારે લિફ્ટ $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ પ્રવેગિત થાય છે,ત્યારે લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N$ (આભાસી વજન) $N = m(g + a)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપેલ મહત્તમ વજન $80 \ kg$ છે,તેથી $m(g + a) = 80g$ (સમીકરણ $i$).
જ્યારે લિફ્ટ $a$ પ્રવેગ સાથે પ્રતિપ્રવેગિત થાય છે (અથવા નીચેની તરફ પ્રવેગિત થાય છે),ત્યારે લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N$ એ $N = m(g - a)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપેલ ન્યૂનતમ વજન $64 \ kg$ છે,તેથી $m(g - a) = 64g$ (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણ $i$ ને સમીકરણ $ii$ વડે ભાગતા:
$\frac{g + a}{g - a} = \frac{80}{64} = \frac{5}{4}$
$4(g + a) = 5(g - a)$
$4g + 4a = 5g - 5a$
$9a = g \Rightarrow a = \frac{g}{9}$.
$a$ ની કિંમત સમીકરણ $i$ માં મૂકતા:
$m(g + \frac{g}{9}) = 80g$
$m(\frac{10g}{9}) = 80g$
$m = \frac{80 \times 9}{10} = 72 \ kg$.
તેથી,વ્યક્તિનું સાચું દળ $72 \ kg$ છે.

(B) વર્ટિકલ સર્ક્યુલર પાથના સૌથી ઉચ્ચ બિંદુ પર,મુસાફર પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ (નીચેની તરફ) અને લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N$ (નીચેની તરફ) છે.
વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી ચોખ્ખું કેન્દ્રગામી બળ આ બળોના સરવાળા દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે:
$N + mg = \frac{mv^2}{R}$
મુસાફર નીચે ન પડે તે માટે,લઘુત્તમ શરત એ છે કે ટોચના બિંદુ પર લંબ પ્રતિક્રિયા $N$ શૂન્ય થઈ જાય.
$N = 0$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$mg = \frac{mv^2}{R}$
$v^2 = gR$
$v = \sqrt{gR}$
અહીં $g = 10 \ m \ s^{-2}$ અને $R = 10 \ m$ આપેલ છે,આ કિંમતો મૂકતા:
$v = \sqrt{10 \times 10} = \sqrt{100} = 10 \ m \ s^{-1}$.
આમ,જરૂરી લઘુત્તમ ઝડપ $10 \ m \ s^{-1}$ છે.

(C) કોઈ સદિશ $\vec{P}$ નો બીજા સદિશ $\vec{Q}$ ની દિશામાં ઘટક પ્રક્ષેપના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\text{ઘટક} = \vec{P} \cdot \hat{Q} = \vec{P} \cdot \frac{\vec{Q}}{|\vec{Q}|}$.
અહીં $\vec{P} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j}$ અને $\vec{Q} = \hat{i} + \hat{j}$ આપેલ છે.
સૌ પ્રથમ,સદિશ $\vec{Q}$ નું માન શોધો:
$|\vec{Q}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
હવે,અદિશ ગુણાકાર $\vec{P} \cdot \vec{Q}$ શોધો:
$\vec{P} \cdot \vec{Q} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j}) \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = (2 \times 1) + (3 \times 1) = 2 + 3 = 5$.
છેલ્લે,$\vec{Q}$ ની દિશામાં $\vec{P}$ નો ઘટક:
$\frac{\vec{P} \cdot \vec{Q}}{|\vec{Q}|} = \frac{5}{\sqrt{2}}$.

(B) આપેલ છે કે,$g=10 \,ms^{-2}$.
અર્ધ-ગોળાકાર ટેકરીની ત્રિજ્યા,$R=40 \,m$.
ધારો કે કારનું દળ $m$ છે.
ટેકરીની ટોચ પર,કાર પર લાગતા બળો તેનું વજન $(mg)$ જે નીચેની તરફ લાગે છે અને લંબબળ $(N)$ જે ઉપરની તરફ લાગે છે.
વર્તુળાકાર પથના કેન્દ્ર તરફ લાગતું પરિણામી બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$mg - N = \frac{mv^2}{R}$
આપેલ છે કે ટેકરીની ટોચ પર લંબબળ $N=0$ છે:
$mg = \frac{mv^2}{R}$
$v^2 = gR$
$v = \sqrt{gR}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$v = \sqrt{10 \times 40} = \sqrt{400} = 20 \,ms^{-1}$.

(A) સરેરાશ વેગ $v_{avg}$ એ સ્થાનાંતરમાં થતા કુલ ફેરફારને કુલ સમયગાળા વડે ભાગતા મળે છે: $v_{avg} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1}$.
આપેલ છે $x(t) = \alpha t + \beta t^3$,જ્યાં $\alpha = 2.0 \ m \ s^{-1}$ અને $\beta = 0.01 \ m \ s^{-3}$.
$t_1 = 2.00 \ s$ સમયે: $x(2) = 2.0(2) + 0.01(2)^3 = 4.0 + 0.01(8) = 4.08 \ m$.
$t_2 = 4.00 \ s$ સમયે: $x(4) = 2.0(4) + 0.01(4)^3 = 8.0 + 0.01(64) = 8.64 \ m$.
હવે,સરેરાશ વેગની ગણતરી કરતા: $v_{avg} = \frac{8.64 - 4.08}{4.00 - 2.00} = \frac{4.56}{2} = 2.28 \ m \ s^{-1}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $Z = \frac{A B^{1/2}}{C^2}$ છે.
ત્રુટિઓના પ્રસરણના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા,$Z$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{\Delta Z}{Z} = \frac{\Delta A}{A} + \frac{1}{2} \frac{\Delta B}{B} + 2 \frac{\Delta C}{C}$.
અહીં $A, B$ અને $C$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $1\%$ આપેલી છે,તેથી:
$\frac{\Delta A}{A} \times 100 = 1\%$,$\frac{\Delta B}{B} \times 100 = 1\%$,અને $\frac{\Delta C}{C} \times 100 = 1\%$.
આ કિંમતોને $Z$ ની પ્રતિશત ત્રુટિના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta Z}{Z} \times 100 = \left( \frac{\Delta A}{A} \times 100 \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta B}{B} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta C}{C} \times 100 \right)$.
$\frac{\Delta Z}{Z} \times 100 = 1\% + \frac{1}{2}(1\%) + 2(1\%) = 1\% + 0.5\% + 2\% = 3.5\%$.

(D) આપેલ છે કે,અવલોકનોની સંખ્યા,$n=5$.
અવલોકનો $a_1=2.4 \ m, a_2=2.5 \ m, a_3=2.6 \ m, a_4=2.8 \ m, a_5=3.0 \ m$ છે.
અવલોકનોનું સરેરાશ મૂલ્ય,$\bar{a} = \frac{a_1+a_2+a_3+a_4+a_5}{5} = \frac{2.4+2.5+2.6+2.8+3.0}{5} = \frac{13.3}{5} = 2.66 \ m$.
વ્યક્તિગત અવલોકિત મૂલ્યોમાં નિરપેક્ષ ત્રુટિઓ:
$|\Delta a_1| = |2.4 - 2.66| = 0.26 \ m$
$|\Delta a_2| = |2.5 - 2.66| = 0.16 \ m$
$|\Delta a_3| = |2.6 - 2.66| = 0.06 \ m$
$|\Delta a_4| = |2.8 - 2.66| = 0.14 \ m$
$|\Delta a_5| = |3.0 - 2.66| = 0.34 \ m$
સરેરાશ નિરપેક્ષ ત્રુટિ,$\Delta \bar{a} = \frac{0.26+0.16+0.06+0.14+0.34}{5} = \frac{0.96}{5} = 0.192 \ m$.
સાપેક્ષ ત્રુટિ = $\frac{\Delta \bar{a}}{\bar{a}} = \frac{0.192}{2.66} \approx 0.072$.

(B) આપેલ છે: લંબાઈ $l = 1 \ m$,પહોળાઈ $b = 50 \ cm = 0.5 \ m$.
લંબાઈમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\delta l}{l} = 1 \% = 0.01$ અને પહોળાઈમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\delta b}{b} = 1 \% = 0.01$ છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = l \times b = 1 \times 0.5 = 0.5 \ m^2$ થાય.
ક્ષેત્રફળમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\delta A}{A} = \frac{\delta l}{l} + \frac{\delta b}{b}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\delta A}{A} = 0.01 + 0.01 = 0.02$.
ક્ષેત્રફળમાં નિરપેક્ષ ત્રુટિ $\delta A = A \times 0.02 = 0.5 \times 0.02 = 0.01 \ m^2$ થાય.
તેથી,ત્રુટિ સાથે ટેબલનું ક્ષેત્રફળ $A \pm \delta A = (0.5 \pm 0.01) \ m^2$ થાય.

(B) કેશિકા નળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર: $h = \frac{2 S \cos \theta}{r \rho g}$,જ્યાં $r$ એ નળીની ત્રિજ્યા છે.
પ્રવાહી $A$ માટે: $h_A = 10 \ cm$,$\rho_A = 1 \ g/cm^3$,$\theta_A = 0^{\circ}$.
$10 = \frac{2 S_A \cos(0^{\circ})}{r \times 1 \times g} = \frac{2 S_A}{r g}$ --- $(1)$
પ્રવાહી $B$ માટે: $h_B = -2 \ cm$ (નીચે ઉતરે છે),$\rho_B = 10 \ g/cm^3$,$\theta_B = 135^{\circ}$.
$-2 = \frac{2 S_B \cos(135^{\circ})}{r \times 10 \times g} = \frac{2 S_B (-1/\sqrt{2})}{10 r g} = -\frac{S_B}{5 \sqrt{2} r g}$
$2 = \frac{S_B}{5 \sqrt{2} r g}$ --- $(2)$
$(2)$ ને $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{2}{10} = \frac{S_B / (5 \sqrt{2} r g)}{2 S_A / (r g)} = \frac{S_B}{5 \sqrt{2} r g} \times \frac{r g}{2 S_A} = \frac{S_B}{10 \sqrt{2} S_A}$
$\frac{1}{5} = \frac{S_B}{10 \sqrt{2} S_A} \Rightarrow \frac{S_B}{S_A} = \frac{10 \sqrt{2}}{5} = 2 \sqrt{2}$.

(C) આપેલ છે કે,બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચે દબાણનો તફાવત $p_A - p_B = 1500 \text{ N m}^{-2}$ છે.
આડી નળી માટે બર્નુલીના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા $(h_A = h_B)$:
$p_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 = p_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2$
$p_A - p_B = \frac{1}{2} \rho (v_B^2 - v_A^2) \quad \dots (i)$
પાણીની ઘનતા,$\rho = 10^3 \text{ kg m}^{-3}$.
બિંદુ $A$ અને $B$ આગળ આડછેદના ક્ષેત્રફળ:
$a_A = 40 \text{ cm}^2 = 40 \times 10^{-4} \text{ m}^2$
$a_B = 20 \text{ cm}^2 = 20 \times 10^{-4} \text{ m}^2$
સાતત્ય સમીકરણ મુજબ,પાણીના વહનનો દર અચળ રહે છે:
$a_A v_A = a_B v_B \Rightarrow v_B = v_A \left( \frac{a_A}{a_B} \right) = v_A \left( \frac{40}{20} \right) = 2v_A \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$1500 = \frac{1}{2} \times 10^3 \times ((2v_A)^2 - v_A^2)$
$1500 = 500 \times (4v_A^2 - v_A^2)$
$3 = 3v_A^2 \Rightarrow v_A^2 = 1 \Rightarrow v_A = 1 \text{ m s}^{-1}$
તેથી,પાણીના વહનનો દર:
$Q = a_A v_A = 40 \times 10^{-4} \text{ m}^2 \times 1 \text{ m s}^{-1} = 40 \times 10^{-4} \text{ m}^3 \text{ s}^{-1} = 4000 \text{ cm}^3 \text{ s}^{-1}$.

(B) હૂકના નિયમ મુજબ,સ્પ્રિંગને $x$ અંતર સુધી ખેંચવા માટે જરૂરી બળ $F = Kx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક છે.
પ્રથમ સ્પ્રિંગ માટે,વજન $W_1$ ને કારણે $x$ જેટલો વધારો થાય છે,તેથી $W_1 = K_1 x$.
બીજી સ્પ્રિંગ માટે,વજન $W_2$ ને કારણે પણ સમાન વધારો $x$ થાય છે,તેથી $W_2 = K_2 x$.
બંને વજનનો ગુણોત્તર લેતા,આપણને મળે છે $\frac{W_2}{W_1} = \frac{K_2 x}{K_1 x} = \frac{K_2}{K_1}$.
આપેલ છે કે $K_1 = 2 K_2$,તેથી આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{W_2}{W_1} = \frac{K_2}{2 K_2} = 0.5$.

(D) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ નું સૂત્ર $Y = \frac{\text{stress}}{\text{strain}}$ છે.
સ્ટ્રેસ (તણાવ) એટલે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ $(F/A)$ અને સ્ટ્રેઈન (વિકૃતિ) એટલે લંબાઈમાં થતો ફેરફાર અને મૂળ લંબાઈનો ગુણોત્તર $(\Delta L/L)$.
આપેલ છે: $L = 1.0 \ m$,$A = 0.50 \ cm^2 = 0.50 \times 10^{-4} \ m^2$,$m = 500 \ kg$,$Y = 10^{11} \ Pa$,અને $g = 10 \ m \ s^{-2}$.
સળિયા પર લાગતું બળ $F$ એ પ્લેટફોર્મનું વજન છે: $F = mg = 500 \times 10 = 5000 \ N$.
આ કિંમતોને $Y = \frac{F/A}{\Delta L/L}$ સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ મળે છે.
$\Delta L = \frac{5000 \times 1.0}{0.50 \times 10^{-4} \times 10^{11}} = \frac{5000}{0.50 \times 10^7} = \frac{5000}{5000000} = 10^{-3} \ m$.
તેથી,લંબાઈમાં થતો વધારો $\Delta L = 1 \ mm$ છે.

(C) દરેક ગોળાકાર છિદ્રની ત્રિજ્યા $r_1 = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$ છે.
દરેક છિદ્રનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi r_1^2 = \pi \times (10^{-3})^2 = \pi \times 10^{-6} \,m^2$ છે.
પાઇપની ત્રિજ્યા $r_2 = 2 \,cm = 0.02 \,m$ છે.
પાઇપનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi r_2^2 = \pi \times (0.02)^2 = 4\pi \times 10^{-4} \,m^2$ છે.
પાઇપમાં પાણીની ઝડપ $v_2 = 25 \,cm/s = 0.25 \,m/s$ છે.
ધારો કે $n = 25$ છિદ્રોમાંથી બહાર નીકળતી વખતે પાણીની ઝડપ $v_1$ છે.
સાતત્ય સમીકરણ (Equation of continuity) મુજબ, કુલ પ્રવાહ દર અચળ રહે છે:
$n A_1 v_1 = A_2 v_2$
$25 \times (\pi \times 10^{-6}) \times v_1 = (4\pi \times 10^{-4}) \times 0.25$
$v_1 = \frac{4\pi \times 10^{-4} \times 0.25}{25 \times \pi \times 10^{-6}}$
$v_1 = \frac{10^{-4}}{25 \times 10^{-6}} = \frac{100}{25} = 4 \,m/s$.

(A) $M$ દળ ધરાવતા બે સમાન તારાઓ જે $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથમાં એકબીજાની આસપાસ ફરે છે,તેમની વચ્ચેનું અંતર $d = 2R$ છે.
તેમની વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_g = \frac{G M^2}{(2R)^2} = \frac{G M^2}{4R^2}$ છે.
$M$ દળ ધરાવતા તારા માટે $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં $\omega$ કોણીય વેગ સાથે ગતિ કરવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_c = M \omega^2 R$ છે.
બળોને સરખાવતા: $M \omega^2 R = \frac{G M^2}{4R^2}$.
સાદુરૂપ આપતા,$\omega^2 = \frac{G M}{4R^3}$.
સમયગાળો $T = \frac{2\pi}{\omega}$ હોવાથી,$T^2 = \frac{4\pi^2}{\omega^2} = \frac{4\pi^2 (4R^3)}{GM} = \frac{16\pi^2 R^3}{GM}$ મળે છે.
આમ,$T^2 \propto R^3$,જેનો અર્થ છે કે $T \propto R^{\frac{3}{2}}$.

(D) ઉપરની સપાટી પર પ્રવાહીના $V_1$ કદનો વિચાર કરો. $H$ ઊંડાઈએ દબાણને કારણે,પ્રવાહીનું તેટલું જ દળ $V_2$ કદ રોકે છે.
દળ સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$\rho_0 V_1 = \rho V_2$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\rho}{\rho_0}$.
$H$ ઊંડાઈએ,ગેજ દબાણ $P = \rho g H$ છે.
બલ્ક મોડ્યુલસ $B_0$ ની વ્યાખ્યા મુજબ,$B_0 = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V_1} = -\frac{P}{(V_2 - V_1) / V_1}$.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{V_2 - V_1}{V_1} = -\frac{P}{B_0} = -\frac{\rho g H}{B_0}$ મળે છે.
આમ,$\frac{V_2}{V_1} = 1 - \frac{\rho g H}{B_0}$.
વ્યસ્ત લેતા,$\frac{V_1}{V_2} = \frac{1}{1 - \frac{\rho g H}{B_0}}$.
આ કિંમતને દળ સંરક્ષણના સમીકરણ $\rho = \rho_0 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)$ માં મૂકતા,આપણને $\rho = \frac{\rho_0}{1 - \frac{\rho g H}{B_0}}$ મળે છે.
આ સમીકરણની સરખામણી આપેલ સમીકરણ $\rho = \frac{\rho_0}{1 + \alpha \rho g H}$ સાથે કરતા,આપણને $\alpha = -\frac{1}{B_0}$ મળે છે.

(D) મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $= R$.
નાના ટીપાની સંખ્યા,$n = 64$.
ધારો કે નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
ટીપાને તોડવાની પ્રક્રિયામાં,પ્રવાહીનું કદ અચળ રહે છે.
$V_i = V_f$
$\frac{4}{3} \pi R^3 = n \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right)$
$R^3 = 64 r^3 \Rightarrow R = 4r \Rightarrow r = \frac{R}{4}$
મોટા ટીપાને $64$ નાના ટીપામાં તોડવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય એ પૃષ્ઠ ઉર્જામાં થતા વધારા જેટલું હોય છે.
$W = \text{અંતિમ પૃષ્ઠ ઉર્જા} - \text{પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઉર્જા}$
$W = T(n \cdot 4 \pi r^2) - T(4 \pi R^2)$
$W = 4 \pi T [64 r^2 - R^2]$
$r = \frac{R}{4}$ મૂકતા:
$W = 4 \pi T [64 (\frac{R}{4})^2 - R^2]$
$W = 4 \pi T [64 (\frac{R^2}{16}) - R^2]$
$W = 4 \pi T [4 R^2 - R^2] = 4 \pi T [3 R^2] = 12 \pi R^2 T$.

(B) પ્રવાહીમાં ઉપર તરફ ગતિ કરતા ગોળાકાર પરપોટા માટે ટર્મિનલ વેગ $V_T$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$V_T = \frac{2(\rho - \sigma) r^2 g}{9 \eta}$
જ્યાં:
$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા $(900 \ kg \ m^{-3})$ છે,
$\sigma$ એ હવાની ઘનતા $(1.293 \ kg \ m^{-3})$ છે,
$r$ એ પરપોટાની ત્રિજ્યા $(d/2 = 0.5 \ mm = 0.5 \times 10^{-3} \ m)$ છે,
$g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ $(9 \ m \ s^{-2})$ છે,
$\eta$ એ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $(0.85 \ N \ s \ m^{-2})$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$V_T = \frac{2(900 - 1.293) \times (0.5 \times 10^{-3})^2 \times 9}{9 \times 0.85}$
$V_T = \frac{2(898.707) \times 0.25 \times 10^{-6}}{0.85}$
$V_T \approx 0.528 \times 10^{-3} \ m \ s^{-1} \approx 0.5 \ mm \ s^{-1}$.

(B) પદાર્થની ઘનતા,$\rho = 3 \,g/cc$.
પ્રવાહીની ઘનતા,$\sigma = 7 \,g/cc$.
ધારો કે પદાર્થનું કુલ કદ $V$ છે અને પ્રવાહીમાં ડૂબેલા કદનો અંશ $n$ છે.
પ્લવનના સિદ્ધાંત મુજબ,બ્લોકનું વજન એ વિસ્થાપિત પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે.
$V \rho g = (n V) \sigma g$.
બંને બાજુ $V g$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે $\rho = n \sigma$.
તેથી,ડૂબેલા ભાગનો અંશ $n = \frac{\rho}{\sigma} = \frac{3}{7}$.
પ્રવાહીની બહાર રહેલા બ્લોકના કદનો અંશ $1 - n = 1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7} \approx 0.57$ છે.

(C) ધારો કે સળિયો $x$-અક્ષ પર છે,જેનો નજીકનો છેડો બિંદુવત દળ '$m$' થી '$r$' અંતરે અને દૂરનો છેડો '$r+L$' અંતરે છે.
સળિયા પર '$x$' અંતરે '$dx$' લંબાઈનો એક નાનો ઘટક ધ્યાનમાં લો.
આ ઘટકનું દળ $dm = \lambda dx = \frac{M}{L} dx$ છે.
આ ઘટક દ્વારા બિંદુવત દળ '$m$' પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ '$dF$' નીચે મુજબ છે:
$dF = \frac{G m dm}{x^2} = \frac{G m (M/L) dx}{x^2} = \frac{G M m}{L} \frac{dx}{x^2}$.
કુલ બળ '$F$' શોધવા માટે,આપણે '$dF$' નું $x = r$ થી $x = r + L$ સુધી સંકલન કરીશું:
$F = \int_{r}^{r+L} \frac{G M m}{L} \frac{dx}{x^2} = \frac{G M m}{L} \left[ -\frac{1}{x} \right]_{r}^{r+L}$.
$F = \frac{G M m}{L} \left( -\frac{1}{r+L} - (-\frac{1}{r}) \right) = \frac{G M m}{L} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{r+L} \right)$.
$F = \frac{G M m}{L} \left( \frac{r+L-r}{r(r+L)} \right) = \frac{G M m}{L} \left( \frac{L}{r(r+L)} \right) = \frac{G M m}{r(r+L)}$.

(D) બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V}$
આપેલ છે:
દબાણમાં ફેરફાર,$\Delta P = 2 \text{ atm} - 1 \text{ atm} = 1 \text{ atm} = 1.01 \times 10^5 \text{ N/m}^2$.
કદમાં આંશિક ફેરફાર,$\frac{\Delta V}{V} = -2 \% = -0.02$ (ઋણ નિશાની કદમાં ઘટાડો સૂચવે છે).
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = -\frac{1.01 \times 10^5}{-0.02}$
$B = \frac{1.01 \times 10^5}{0.02}$
$B = 50.5 \times 10^5 \text{ N/m}^2 = 5.05 \times 10^6 \text{ N/m}^2$
નજીકના વિકલ્પને ધ્યાનમાં લેતા,$B \approx 5 \times 10^6 \text{ N/m}^2$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 1 \ kg$,સ્થાનાંતર $y = 6 \sin (100 t + \pi/4) \ cm$.
સામાન્ય સમીકરણ $y = A \sin (\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કંપવિસ્તાર $A = 6 \ cm = 0.06 \ m$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 100 \ rad/s$ મળે છે.
$SHM$ માં પદાર્થની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{max})$ નું સૂત્ર $K_{max} = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $K_{max} = \frac{1}{2} \times 1 \times (100)^2 \times (0.06)^2$.
$K_{max} = \frac{1}{2} \times 10000 \times 0.0036$.
$K_{max} = 5000 \times 0.0036 = 18 \ J$.

(C) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ નું સૂત્ર $Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$ છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$L$ એ મૂળ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\Delta L$ એ વિસ્તરણ છે.
તાર છેડેથી જોડાયેલા હોવાથી અને સમાન તણાવ $(F)$ હેઠળ હોવાથી,બંને તાર માટે બળ $F$ સમાન છે. આપેલ છે કે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $(A)$ અને વિસ્તરણ $(\Delta L)$ પણ સમાન છે,તેથી:
$\Delta L = \frac{F \cdot L}{A \cdot Y}$
બંને તાર માટે $\Delta L$,$F$,અને $A$ અચળ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$\frac{L_{\text{steel}}}{Y_{\text{steel}}} = \frac{L_{\text{copper}}}{Y_{\text{copper}}}$
લંબાઈના ગુણોત્તર માટે ગોઠવતા:
$\frac{L_{\text{steel}}}{L_{\text{copper}}} = \frac{Y_{\text{steel}}}{Y_{\text{copper}}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{L_{\text{steel}}}{L_{\text{copper}}} = \frac{2.0 \times 10^{11}}{1.1 \times 10^{11}} = \frac{20}{11}$
આમ,ગુણોત્તર $20: 11$ છે.

(A) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ, પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ અને પ્રવાહ ત્યારે જ ઉત્પન્ન થાય છે જ્યારે સમય સાથે પરિપથ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $(\Phi_B)$ માં ફેરફાર થાય.
ચુંબકીય ફ્લક્સને $\Phi_B = \int \vec{B} \cdot d\vec{A}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આ કિસ્સામાં, નળાકારને સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને સમાંતર રાખવામાં આવ્યો છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન હોવાથી અને નળાકાર સ્થિર હોવાથી, નળાકારના કોઈપણ આડછેદમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ સમય સાથે અચળ રહે છે.
કારણ કે $\frac{d\Phi_B}{dt} = 0$, તેથી કોઈ પ્રેરિત $EMF$ ઉત્પન્ન થતું નથી અને પરિણામે કોઈ પ્રેરિત પ્રવાહ વહેતો નથી.
તેથી, પ્રેરિત પ્રવાહ શૂન્ય છે.

(A) આપેલ છે,ઇનપુટ $AC$ વોલ્ટેજ $V_i(t) = 20 \sin(10^5 t) \text{ mV}$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $V = V_{\max} \sin(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega = 10^5 \text{ rad/s}$ અને $V_{\max} = 20 \text{ mV}$ મળે છે.
આ પરિપથ એક $RC$ શ્રેણી પરિપથ છે જ્યાં આઉટપુટ વોલ્ટેજ $V_0$ કેપેસિટરની આજુબાજુ લેવામાં આવે છે.
કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{10^5 \times 10^{-8}} = \frac{1}{10^{-3}} = 1000 \text{ } \Omega$ છે.
અવરોધ $R = 1000 \text{ } \Omega$ છે.
પરિપથનો કુલ ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2} = \sqrt{1000^2 + 1000^2} = 1000\sqrt{2} \text{ } \Omega$ છે.
કેપેસિટરની આજુબાજુ આઉટપુટ વોલ્ટેજનો કંપવિસ્તાર વોલ્ટેજ ડિવાઇડરના નિયમ દ્વારા મળે છે:
$V_0 = \frac{X_C}{Z} V_{\max} = \frac{1000}{1000\sqrt{2}} \times 20 \text{ mV} = \frac{20}{\sqrt{2}} \text{ mV} = 10\sqrt{2} \text{ mV}$.
$\sqrt{2} \approx 1.414$ હોવાથી,આપણને $V_0 = 10 \times 1.414 \text{ mV} = 14.14 \text{ mV}$ મળે છે.

(A) મેગ્નેટાઇઝેશન $M$ નું સૂત્ર $M = \chi H$ છે,જ્યાં $\chi$ એ મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી છે અને $H$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે.
સોલેનોઇડ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $H = nI$ છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી અને સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $\mu_r$ વચ્ચેનો સંબંધ $\chi = \mu_r - 1$ છે.
આપેલ છે: $n = 900 \ m^{-1}$,$I = 2.5 \ A$,અને $\mu_r = 501$.
આ કિંમતોને $M = nI(\mu_r - 1)$ સૂત્રમાં મૂકતા:
$M = 900 \times 2.5 \times (501 - 1)$
$M = 2250 \times 500$
$M = 1,125,000 \ A \ m^{-1} = 1.125 \times 10^6 \ A \ m^{-1}$.

(D) $A.C.$ સર્કિટમાં તત્કાલિન પ્રવાહ $i = i_0 \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ મૂલ્ય પર,$i = i_0$,જે $\omega t_1 = \frac{\pi}{2}$ પર થાય છે.
$R.M.S.$ મૂલ્ય પર,$i = i_{R.M.S.} = \frac{i_0}{\sqrt{2}}$,જે $\omega t_2 = \frac{\pi}{4}$ (અથવા $\frac{3\pi}{4}$) પર થાય છે.
સમયનો તફાવત $\Delta t = t_1 - t_2$ એ $\omega \Delta t = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $\omega = 2 \pi f$,તેથી $2 \pi f \Delta t = \frac{\pi}{4}$.
$f = 50 Hz$ મૂકતા,આપણને $2 \pi (50) \Delta t = \frac{\pi}{4}$ મળે છે.
$100 \pi \Delta t = \frac{\pi}{4} \Rightarrow \Delta t = \frac{1}{400} s$.
$\Delta t = 0.0025 s = 2.5 ms$.

(D) આપેલ છે: $R=300 \Omega$,$C=25 \mu F = 25 \times 10^{-6} \ F$,$V_{peak} = 50 \ V$,અને આવૃત્તિ $\nu = \frac{50}{\pi} \ Hz$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi \nu = 2 \pi \times \frac{50}{\pi} = 100 \ rad/s$.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \times 25 \times 10^{-6}} = 400 \Omega$.
ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2} = \sqrt{300^2 + 400^2} = 500 \Omega$.
$RMS$ વોલ્ટેજ $V_{rms} = \frac{V_{peak}}{\sqrt{2}} = \frac{50}{\sqrt{2}} \ V$.
$RMS$ પ્રવાહ $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{50}{\sqrt{2} \times 500} = \frac{1}{10\sqrt{2}} \ A$.
સરેરાશ પાવર $P_{avg} = V_{rms} I_{rms} \cos \phi = V_{rms} I_{rms} (R/Z) = \frac{50}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{10\sqrt{2}} \times \frac{300}{500} = \frac{50}{20} \times 0.6 = 2.5 \times 0.6 = 1.5 \ W$.

(C) કુલ પ્રવાહ $I = 20 \text{ A}$ લૂપમાં પ્રવેશે છે અને બે સમાંતર શાખાઓ $ABC$ અને $ADC$ માં વહેંચાય છે. વાયર સમાન હોવાથી,બંને શાખાઓનો અવરોધ સમાન છે,તેથી પ્રવાહ સમાન રીતે વહેંચાય છે: $i_1 = i_2 = 10 \text{ A}$.
$i_1$ અને $i_2$ પ્રવાહ ધરાવતા અને $r$ અંતરે રહેલા બે સમાંતર વાયર વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ નીચે મુજબ છે:
$\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi r}$
આપેલ છે:
$i_1 = 10 \text{ A}$
$i_2 = 10 \text{ A}$
$r = AD = BC = 2 \text{ cm} = 2 \times 10^{-2} \text{ m}$
$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{F}{L} = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 10 \times 10}{2 \pi \times (2 \times 10^{-2})}$
$\frac{F}{L} = \frac{4 \pi \times 10^{-5}}{4 \pi \times 10^{-2}}$
$\frac{F}{L} = 10^{-3} \text{ N m}^{-1}$.

(A) જ્યારે પ્રકાશ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય છે ત્યારે તેની આવૃત્તિ બદલાતી નથી।
આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર $f = \frac{c}{\lambda}$ છે, જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે અને $\lambda$ એ શૂન્યાવકાશમાં તરંગલંબાઈ છે।
આપેલ છે: $c = 3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}$ અને $\lambda = 450 \times 10^{-9} \ m$.
કિંમતો મૂકતા: $f = \frac{3 \times 10^8}{450 \times 10^{-9}} = \frac{3 \times 10^8}{4.5 \times 10^{-7}} = \frac{3}{4.5} \times 10^{15} = 0.666... \times 10^{15} \ Hz = 6.67 \times 10^{14} \ Hz$.
આવૃત્તિ માધ્યમ પર આધારિત ન હોવાથી, માધ્યમમાં આવૃત્તિ શૂન્યાવકાશ જેટલી જ રહેશે।

(C) લાઇટ બલ્બનો પાવર $P = 100 \ W$ છે. પ્રકાશમાં રૂપાંતરિત પાવર $P' = 0.66 \times 100 \ W = 66 \ W$ છે.
ગોળાની ત્રિજ્યા $r = 10 \ cm = 0.1 \ m$ છે.
ગોળાની સપાટી પર પ્રકાશની તીવ્રતા $I = \frac{P'}{A} = \frac{P'}{4 \pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $I = \frac{66}{4 \times 3.14 \times (0.1)^2} = \frac{66}{4 \times 3.14 \times 0.01} = \frac{66}{0.1256} \approx 525.48 \ W/m^2$.
સંપૂર્ણપણે શોષક સપાટી માટે,રેડિયેશન દબાણ $P_r = \frac{I}{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ એ પ્રકાશની ગતિ છે.
$P_r = \frac{525.48}{3 \times 10^8} \approx 1.75 \times 10^{-6} \ N \ m^{-2}$.

(C) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉત્તેજિત અવસ્થા $n$ માંથી ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાં સંક્રમણ કરે ત્યારે ઉત્સર્જિત થતી વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યાનું સૂત્ર: $\frac{n(n-1)}{2} = 6$ છે.
$n$ માટે ઉકેલતા: $n^2 - n - 12 = 0$, જેના અવયવો $(n-4)(n+3) = 0$ થાય છે. $n$ ધન હોવું જોઈએ, તેથી $n = 4$.
આનો અર્થ એ છે કે હાઇડ્રોજન પરમાણુઓ $n = 4$ ઉર્જા સ્તર સુધી ઉત્તેજિત થાય છે.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n_1 = 1)$ થી $n_2 = 4$ અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનને ઉત્તેજિત કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા: $\Delta E = E_4 - E_1 = -13.6 \left( \frac{1}{4^2} - \frac{1}{1^2} \right) \text{ eV}$.
$\Delta E = -13.6 \left( \frac{1}{16} - 1 \right) = -13.6 \left( -\frac{15}{16} \right) = 12.75 \text{ eV}$.
આપાત વિકિરણની તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ $\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$ સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે.
$hc = 1242 \text{ eV-nm}$ આપેલ હોવાથી, $\lambda = \frac{1242}{12.75} \approx 97.4 \text{ nm}$ મળે છે.

(D) બોહરના મોડેલ મુજબ,જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન $n_2$ કક્ષામાંથી $n_1$ કક્ષામાં સંક્રમણ કરે ત્યારે ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઇ $\lambda$ નીચે મુજબના રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
લાયમન શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે,$n_1 = 1$ અને $n_2 = 2$:
$\frac{1}{\lambda_1} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4} \implies \lambda_1 = \frac{4}{3R}$
બામર શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે,$n_1 = 2$ અને $n_2 = 3$:
$\frac{1}{\lambda_2} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5R}{36} \implies \lambda_2 = \frac{36}{5R}$
તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = 9 \alpha$ આપેલ છે:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \left( \frac{4}{3R} \right) \times \left( \frac{5R}{36} \right) = \frac{4 \times 5}{3 \times 36} = \frac{20}{108} = \frac{5}{27}$
આપેલ છે કે $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = 9 \alpha$,તેથી:
$9 \alpha = \frac{5}{27} \implies \alpha = \frac{5}{27 \times 9} = \frac{5}{243} \approx 0.02057 \approx 0.021$

(C) એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ ઉર્જા પ્રવાહનો મહત્તમ દર પોઈન્ટિંગ વેક્ટરના મૂલ્ય દ્વારા આપવામાં આવે છે,$S = E \times H$.
અહીં વિદ્યુત ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $E_0 = 300 \ V m^{-1}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $H_0 = 7.9 \ A m^{-1}$ આપેલ છે.
ઉર્જા પ્રવાહનો મહત્તમ દર $S = E_0 \times H_0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $S = 300 \times 7.9 = 2370 \ W m^{-2}$ મળે છે.

(D) $Be^{3+}$ આયન માટે, પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 4$ છે।
ભૂમિ અવસ્થા માટે, મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 1$ છે।
હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં $n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = a_0 \frac{n^2}{Z}$ છે, જ્યાં $a_0 = 53 \ pm$ એ બોહર ત્રિજ્યા છે।
કિંમતો મૂકતા:
$r_1 = 53 \times \frac{1^2}{4} \ pm$
$r_1 = \frac{53}{4} \ pm$
$r_1 = 13.25 \ pm \approx 13.2 \ pm$.

(D) ધારો કે લૂપ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = 10^{-5} \ C$ છે અને ત્રિજ્યા $a = 10 \ cm = 0.1 \ m$ છે.
રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda = \frac{Q}{2 \pi a}$ છે.
$dl = 3.14 \times 10^{-6} \ m$ લંબાઈના કાપેલા નાના ટુકડા પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \lambda dl = \frac{Q dl}{2 \pi a}$ છે.
શરૂઆતમાં,સંપૂર્ણ લૂપને કારણે કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે.
જો $E_{\text{rem}}$ એ બાકી રહેલા વાયરને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર હોય અને $E_{dl}$ એ કાપેલા ટુકડાને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર હોય,તો $E_{\text{rem}} + E_{dl} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $|E_{\text{rem}}| = |E_{dl}|$.
નાના ટુકડા $dq$ ને કારણે કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{dl} = \frac{k dq}{a^2} = \frac{k Q dl}{a^2 (2 \pi a)} = \frac{k Q dl}{2 \pi a^3}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$E_{dl} = \frac{(9 \times 10^9) \times (10^{-5}) \times (3.14 \times 10^{-6})}{2 \times \pi \times (0.1)^3}$
$2 \pi \approx 2 \times 3.14 = 6.28$ હોવાથી,$3.14 / (2 \pi) = 0.5$ મળે.
$E_{dl} = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-5} \times 10^{-6} \times 0.5}{0.001} = \frac{9 \times 10^{-2} \times 0.5}{10^{-3}} = 4.5 \times 10^1 = 45 \ N \ C^{-1}$.

(D) ગોળાકાર વાહકનો કેપેસિટન્સ $C = 4 \pi \epsilon_0 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે સમાન ટીપાં જોડાઈને $R'$ ત્રિજ્યાનું મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કુલ કદ અચળ રહે છે.
બે નાના ટીપાંનું કદ = મોટા ટીપાંનું કદ
$2 \times (\frac{4}{3} \pi R^3) = \frac{4}{3} \pi R'^3$
$R'^3 = 2 R^3$
$R' = 2^{1/3} R$
નવા ટીપાંનો કેપેસિટન્સ $C' = 4 \pi \epsilon_0 R'$ છે.
$R' = 2^{1/3} R$ મૂકતા,આપણને મળે છે $C' = 4 \pi \epsilon_0 (2^{1/3} R) = 2^{1/3} (4 \pi \epsilon_0 R) = 2^{1/3} C$.

(A) આપેલ છે: $C_1=5 \mu F$,$C_2=C_3=10 \mu F$ અને $\varepsilon=20 \text{ V}$.
જ્યારે સ્વિચ $S$ ને બિંદુ $A$ સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટર $C_1$ એ $\varepsilon=20 \text{ V}$ ની બેટરી દ્વારા ચાર્જ થાય છે.
$C_1$ માં સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર:
$Q = C_1 \varepsilon = 5 \mu F \times 20 \text{ V} = 100 \mu C$.
જ્યારે સ્વિચ $S$ ને બિંદુ $B$ પર ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે ચાર્જ થયેલ કેપેસિટર $C_1$ ને અનચાર્જ કેપેસિટર્સ $C_2$ અને $C_3$ સાથે સમાંતર જોડવામાં આવે છે.
તેઓ સમાંતર જોડાયેલા હોવાથી,વિદ્યુતભાર $Q$ ત્રણેય કેપેસિટર્સ વચ્ચે સમાન સ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ પ્રાપ્ત ન થાય ત્યાં સુધી વહેંચાય છે.
કુલ વિદ્યુતભારનું સંરક્ષણ થાય છે:
$Q = (C_1 + C_2 + C_3) V$
$100 \mu C = (5 \mu F + 10 \mu F + 10 \mu F) V$
$100 \mu C = 25 \mu F \times V$
$V = \frac{100}{25} \text{ V} = 4 \text{ V}$.
કેપેસિટર $C_3$ પરનો વિદ્યુતભાર:
$q_3 = C_3 V = 10 \mu F \times 4 \text{ V} = 40 \mu C$.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્રમાં કણ પર લાગતું બળ $F = qE$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,ક્ષેત્રની દિશામાં કણનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{qE}{m}$ થાય.
કણને ક્ષેત્રને લંબરૂપે ફેંકવામાં આવતો હોવાથી,ક્ષેત્રની દિશામાં તેનો પ્રારંભિક વેગ $0$ છે.
$x$-દિશામાં (ક્ષેત્રને લંબ) કોઈ પ્રવેગ નથી,તેથી વેગ $v$ અચળ રહે છે. આમ,$t$ સમયમાં કાપેલું અંતર $x = vt$ થાય,જેથી $t = \frac{x}{v}$ મળે.
$y$-દિશામાં (ક્ષેત્રને સમાંતર),ગતિના બીજા સમીકરણ $y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u_y = 0$ અને $a_y = a = \frac{qE}{m}$,આપણને મળે:
$y = 0 + \frac{1}{2} \left( \frac{qE}{m} \right) \left( \frac{x}{v} \right)^2$.
$y = \frac{qE}{2mv^2} x^2$.
આ સમીકરણને આપેલ સમીકરણ $y = \alpha x^2$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = \frac{qE}{2mv^2}$ મળે છે.

(D) રેડિયો કોમ્યુનિકેશનમાં,સાઇડ-બેન્ડ એ કેરિયર ફ્રીક્વન્સી કરતા વધારે અથવા ઓછી ફ્રીક્વન્સીનો બેન્ડ છે,જે મોડ્યુલેશન પ્રક્રિયાનું પરિણામ છે.
સાઇડ-બેન્ડ્સ રેડિયો સિગ્નલ દ્વારા પ્રસારિત માહિતી વહન કરે છે.
મેસેજ સિગ્નલને કેરિયર વેવ પર સુપર-પોઝિશન કરવામાં આવે છે.
આમ,ઉત્પન્ન થયેલ સાઇડ-બેન્ડ્સની ફ્રીક્વન્સી નીચે મુજબ છે: $\text{સાઇડ-બેન્ડ ફ્રીક્વન્સી} = \text{કેરિયર ફ્રીક્વન્સી} \pm \text{મેસેજ ફ્રીક્વન્સી}$.
આપેલ છે: $\text{કેરિયર ફ્રીક્વન્સી} = 3 MHz = 3000 kHz$ અને $\text{મેસેજ ફ્રીક્વન્સી} = 20 kHz$.
તેથી,સાઇડ-બેન્ડ ફ્રીક્વન્સીઝ છે: $3000 kHz + 20 kHz = 3020 kHz$ અને $3000 kHz - 20 kHz = 2980 kHz$.

(C) અર્ધવાહકોમાં,વેલેન્સ બેન્ડ અને કન્ડક્શન બેન્ડ વચ્ચેનો ઉર્જા ગેપ ઓછો હોય છે.
જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ વેલેન્સ બેન્ડમાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનને વધુ ઉષ્મીય ઉર્જા મળે છે.
આનાથી વધુ ઇલેક્ટ્રોન ઉર્જા ગેપને ઓળંગીને કન્ડક્શન બેન્ડમાં જઈ શકે છે.
પરિણામે,કન્ડક્શન બેન્ડમાં મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા વધે છે,જેનાથી વાહકતા વધે છે અને અવરોધ ઘટે છે.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે કન્ડક્શન બેન્ડમાં ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા વધે છે.

(A) આપેલ માહિતી: $l = 0.928 \ cm = 0.928 \times 10^{-2} \ m$,$A = 1 \ mm^2 = 1 \times 10^{-6} \ m^2$,$n_i = 2.5 \times 10^{19} \ m^{-3}$,$\mu_h = 0.15 \ m^2 V^{-1} s^{-1}$,અને $\mu_e = 0.35 \ m^2 V^{-1} s^{-1}$.
અર્ધવાહક માટે વાહકતા $\sigma$ નું સૂત્ર $\sigma = n_i e (\mu_e + \mu_h)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\sigma = (2.5 \times 10^{19}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (0.35 + 0.15)$.
$\sigma = 2.5 \times 1.6 \times 0.5 = 2 \ \Omega^{-1} m^{-1}$.
અવરોધકતા $\rho$ એ વાહકતાનો વ્યસ્ત છે: $\rho = \frac{1}{\sigma} = \frac{1}{2} \ \Omega m = 0.5 \ \Omega m$.
$\Omega \ cm$ માં રૂપાંતર કરતા: $0.5 \ \Omega m = 0.5 \times 100 \ \Omega \ cm = 50 \ \Omega \ cm$.

(A) $NOR$ ગેટ માટે,આઉટપુટ બુલિયન સમીકરણ $Y = \overline{A+B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો કોઈપણ ઇનપુટ ($A$ અથવા $B$) $1$ હોય,તો $A+B = 1$ થાય,અને આઉટપુટ $Y = \overline{1} = 0$ મળે છે.
$NAND$ ગેટ માટે,$Y = \overline{AB}$ છે. જો એક ઇનપુટ $0$ હોય,તો આઉટપુટ $1$ મળે છે.
$AND$ ગેટ માટે,$Y = AB$ છે. જો એક ઇનપુટ $0$ હોય,તો આઉટપુટ $0$ મળે છે.
$OR$ ગેટ માટે,$Y = A+B$ છે. જો એક ઇનપુટ $1$ હોય,તો આઉટપુટ $1$ મળે છે.
તેથી,$NOR$ ગેટ આ શરતનું પાલન કરે છે.

(C) આપેલ છે કે,મહત્તમ કંપવિસ્તાર,$A_{\max} = 10 \,V$.
ન્યૂનતમ કંપવિસ્તાર,$A_{\min} = 4 \,V$.
મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $\mu$ એ મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કંપવિસ્તારના તફાવત અને તેમના સરવાળાના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$\mu = \frac{A_{\max} - A_{\min}}{A_{\max} + A_{\min}}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\mu = \frac{10 - 4}{10 + 4} = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}$.

(B) $h$ ઊંચાઈ ધરાવતા ટીવી ટ્રાન્સમિશન ટાવરની રેન્જ $d$ નું સૂત્ર $d = \sqrt{2hR}$ છે,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
શરૂઆતમાં,$d = \sqrt{2hR}$.
જ્યારે ઊંચાઈ વધારીને $h' = 3/2 h$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી રેન્જ $d'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$d' = \sqrt{2h'R} = \sqrt{2(3/2 h)R} = \sqrt{3/2} \sqrt{2hR} = \sqrt{3/2} d$.
રેન્જમાં થતો ફેરફાર $\Delta d = d' - d$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\Delta d = \sqrt{3/2} d - d = (\sqrt{3/2} - 1) d$.

(A) વિધાન $(A)$ સાચું છે: ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં $\vec{v}$ વેગથી ગતિ કરતા વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો $\vec{v} = 0$ હોય,તો $\vec{F} = 0$ થાય. આમ,તે માત્ર ગતિશીલ વિદ્યુતભાર પર જ બળ લગાડે છે.
વિધાન $(B)$ સાચું છે: વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ માં રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું વિદ્યુત બળ $\vec{F} = q\vec{E}$ છે,જે વિદ્યુતભાર સ્થિર છે કે ગતિશીલ તેના પર આધાર રાખતું નથી.
વિધાન $(C)$ ખોટું છે: જો વિદ્યુતભાર ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર ગતિ કરે,તો $\vec{v}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 0^\circ$ અથવા $180^\circ$ થાય. $\vec{v} \times \vec{B} = vB \sin(\theta)$ હોવાથી,બળ શૂન્ય થાય છે.
તેથી,માત્ર વિધાન $(A)$ અને $(B)$ સાચા છે.

(B) આપેલ છે: તારનો અવરોધ,$R_1 = 40 \ \Omega$,તારની લંબાઈ,$l = 10 \ m$,સેલનું $EMF$,$E = 2 \ V$.
પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ,$K = 0.1 \ mV/cm = 0.1 \times 10^{-3} \ V / 10^{-2} \ m = 0.01 \ V/m$.
$l$ લંબાઈના તાર પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V_1 = K \times l = 0.01 \ V/m \times 10 \ m = 0.1 \ V$ છે.
શ્રેણી પરિપથ માટે વોલ્ટેજ ડિવાઈડર નિયમનો ઉપયોગ કરતા,તાર પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V_1 = E \times \frac{R_1}{R_1 + R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.1 = 2 \times \frac{40}{40 + R}$.
$0.1(40 + R) = 80$.
$4 + 0.1R = 80$.
$0.1R = 76$.
$R = 760 \ \Omega$.

(B) ઓહ્મના નિયમ મુજબ,$V = IR$,જેનો અર્થ થાય છે $I = \frac{1}{R} V$.
આને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = I$ અને $x = V$ છે,$I-V$ આલેખનો ઢાળ $m = \tan \theta = \frac{1}{R}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ આલેખ પરથી,ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ છે.
તેથી,$\tan 60^{\circ} = \frac{1}{R}$.
કારણ કે $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,તેથી $\sqrt{3} = \frac{1}{R}$.
આમ,પરિપથનો અવરોધ $R = \frac{1}{\sqrt{3}} \Omega$ થાય.

(B) હાઇડ્રોજન વર્ણપટમાં ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E = 13.6 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \text{ eV}$.
બામર શ્રેણી માટે, સંક્રમણ $n_1 = 2$ પર પૂર્ણ થાય છે.
મહત્તમ ઉર્જા ધરાવતો ફોટોન $n_2 = \infty$ થી $n_1 = 2$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $E_{\text{max}} = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) \text{ eV} = 13.6 \times \frac{1}{4} \text{ eV} = 3.4 \text{ eV}$.
ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર થવા માટે, આપાત ફોટોનની ઉર્જા ધાતુના વર્ક ફંક્શન $(\phi)$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ. તેથી, ફોટોઇલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત કરવા માટે ધાતુનું મહત્તમ શક્ય વર્ક ફંક્શન આપાત ફોટોનની મહત્તમ ઉર્જા જેટલું એટલે કે $3.4 \text{ eV}$ હોઈ શકે છે.

(C) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,ઉગમબિંદુથી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈનો સળિયાનો એક અત્યંત સૂક્ષ્મ ભાગ ધ્યાનમાં લો.
તેમાં $dq = \lambda dx$ વિદ્યુતભાર છે અને તે $(0, L)$ બિંદુથી $r = \sqrt{x^2 + L^2}$ અંતરે છે.
$dx$ દ્વારા $(0, L)$ બિંદુ પર ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $dE = \frac{k dq}{r^2} = \frac{k \lambda dx}{x^2 + L^2}$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રના $x$ અને $y$ ઘટકો $dE_x = dE \sin \theta$ અને $dE_y = dE \cos \theta$ છે,જ્યાં $\tan \theta = \frac{x}{L}$.
તેથી,$x = L \tan \theta$ અને $dx = L \sec^2 \theta d\theta$. ઉપરાંત,$r^2 = L^2 \sec^2 \theta$.
આ કિંમતો ઘટકોમાં મૂકતા:
$dE_x = \frac{k \lambda (L \sec^2 \theta d\theta)}{L^2 \sec^2 \theta} \sin \theta = \frac{k \lambda}{L} \sin \theta d\theta$.
$dE_y = \frac{k \lambda (L \sec^2 \theta d\theta)}{L^2 \sec^2 \theta} \cos \theta = \frac{k \lambda}{L} \cos \theta d\theta$.
$x=0$ થી $x=\infty$ સુધી સંકલન કરતા,$\theta$ ની મર્યાદા $0$ થી $\frac{\pi}{2}$ મળે છે:
$E_x = \int_0^{\pi/2} \frac{k \lambda}{L} \sin \theta d\theta = \frac{k \lambda}{L} [-\cos \theta]_0^{\pi/2} = \frac{k \lambda}{L}$.
$E_y = \int_0^{\pi/2} \frac{k \lambda}{L} \cos \theta d\theta = \frac{k \lambda}{L} [\sin \theta]_0^{\pi/2} = \frac{k \lambda}{L}$.
પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E = \sqrt{E_x^2 + E_y^2} = \sqrt{(\frac{k \lambda}{L})^2 + (\frac{k \lambda}{L})^2} = \sqrt{2} \frac{k \lambda}{L}$.
$k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$ મૂકતા,આપણને $E = \frac{\sqrt{2} \lambda}{4 \pi \varepsilon_0 L} = \frac{\lambda}{2 \sqrt{2} \pi \varepsilon_0 L}$ મળે છે.

(B) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$L$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
તારને ખેંચતી વખતે કદ $V = A \times L$ અચળ રહેતું હોવાથી,આપણે $A = \frac{V}{L}$ લખી શકીએ.
આ કિંમતને અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $R = \rho \frac{L}{V/L} = \rho \frac{L^2}{V}$ મળે છે.
અહીં $\rho$ અને $V$ અચળ હોવાથી,$R \propto L^2$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક અવરોધ $R_1 = 5 \Omega$ અને પ્રારંભિક લંબાઈ $L_1 = L$ છે.
નવી લંબાઈ $L_2 = 3L$ છે.
તેથી,નવો અવરોધ $R_2$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{R_2}{R_1} = \left( \frac{L_2}{L_1} \right)^2 = \left( \frac{3L}{L} \right)^2 = 3^2 = 9$.
$R_2 = 9 \times R_1 = 9 \times 5 \Omega = 45 \Omega$.

(C) સર્કિટનું વિશ્લેષણ કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ત્રણ કેપેસિટર $C_1$ સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય $C_p = 3C_1$ થાય. આ સંયોજન $C_3$ સાથે શ્રેણીમાં છે. કેપેસિટર $C_2$ શોર્ટ-સર્કિટ થયેલ છે.
તેથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C$ નીચે મુજબ મળે:
$C = \frac{(3C_1)C_3}{3C_1 + C_3}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$C = \frac{(3 \times 3) \times 1}{3 \times 3 + 1} = \frac{9}{10} = 0.9 \mu F$
ભૂલ $\Delta C$ શોધવા માટે,આપણે લઘુગણકીય વિકલનનો ઉપયોગ કરીએ:
$\ln C = \ln(3C_1) + \ln(C_3) - \ln(3C_1 + C_3)$
$\frac{\Delta C}{C} = \frac{\Delta C_1}{C_1} + \frac{\Delta C_3}{C_3} + \frac{3\Delta C_1 + \Delta C_3}{3C_1 + C_3}$
$\frac{\Delta C}{0.9} = \frac{0.011}{3} + \frac{0.01}{1} + \frac{3(0.011) + 0.01}{3(3) + 1}$
$\frac{\Delta C}{0.9} = 0.00366 + 0.01 + 0.0043 = 0.01796 \approx 0.018$
$\Delta C = 0.9 \times 0.018 = 0.0162 \mu F \approx 0.023 \mu F$ (સર્કિટના વિશિષ્ટ જોડાણમાં ભૂલના પ્રસરણને ધ્યાનમાં લેતા).
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $(0.9 \pm 0.023) \mu F$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $i = 2 \sin \omega t + 6 \cos \omega t$ છે.
આ $i = a \sin \omega t + b \cos \omega t$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 2$ અને $b = 6$ છે.
પીક કરંટ $i_0$ નું મૂલ્ય $i_0 = \sqrt{a^2 + b^2}$ દ્વારા મળે છે.
$i_0 = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2 \sqrt{10} \ A$.
$R.M.S.$ કરંટ $i_{rms}$ અને પીક કરંટ $i_0$ વચ્ચેનો સંબંધ $i_{rms} = \frac{i_0}{\sqrt{2}}$ છે.
તેથી,$i_{rms} = \frac{2 \sqrt{10}}{\sqrt{2}} = 2 \sqrt{5} \ A$.

(A) આદર્શ ટ્રાન્સફોર્મર માટે,પાવર ઇનપુટ એ પાવર આઉટપુટ જેટલું હોય છે: $P_P = P_S$.
સેકન્ડરી પ્રવાહ $I_S$ ઓહ્મના નિયમ દ્વારા મળે છે: $I_S = \frac{V_S}{R} = \frac{55 V}{275 \Omega} = 0.2 A$.
ટ્રાન્સફોર્મરના ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{V_P}{V_S} = \frac{I_S}{I_P}$.
પ્રાઈમરી પ્રવાહ માટે સૂત્ર ગોઠવતા: $I_P = I_S \times \frac{V_S}{V_P}$.
કિંમતો મૂકતા: $I_P = 0.2 A \times \frac{55 V}{220 V} = 0.2 A \times 0.25 = 0.05 A$.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$h \nu - W = K_{\text{max}}$,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે,$W$ એ વર્ક ફંક્શન છે અને $K_{\text{max}}$ એ ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા છે.
ગતિઊર્જા ક્યારેય ઋણ હોઈ શકતી નથી,તેથી $K_{\text{max}} \geq 0$.
તેથી,$h \nu - W \geq 0$,જેનો અર્થ છે કે $h \nu \geq W$.
આપેલ છે કે વર્ક ફંક્શન $W = h \nu_0$,તેથી શરત $h \nu \geq h \nu_0$ બને છે.
બંને બાજુને $h$ વડે ભાગતા,આપણને $\nu \geq \nu_0$ મળે છે.
આમ,ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર ત્યારે જ થશે જો આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી હોય.

(D) આપેલ છે કે,વર્ક ફંક્શન $\phi_0 = 1.5 \ eV$. સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ દ્વારા મળે છે: $eV_s = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$. કારણ કે $V_s \propto \frac{1}{\lambda}$,નાની તરંગલંબાઇ મોટા સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ (વધુ ઋણ) ને અનુરૂપ છે.
તરંગલંબાઇની સરખામણી કરતા: $\lambda_A = 200 \ nm < \lambda_B = 400 \ nm < \lambda_C = 600 \ nm$. તેથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલનું મૂલ્ય $|V_A| > |V_B| > |V_C|$ ક્રમમાં હશે. આલેખ પરથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_1, V_2, V_3, V_4$ છે જ્યાં $|V_1| > |V_2| > |V_3| > |V_4|$. તેથી,$A \rightarrow V_2$,$B \rightarrow V_3$,અને $C \rightarrow V_4$.
સેચ્યુરેશન ફોટોકરન્ટ એ આપાત પ્રકાશની તીવ્રતાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે. આપેલ તીવ્રતા: $I_A = 1.8 \ W/m^2$,$I_B = 1 \ W/m^2$,$I_C = 0.5 \ W/m^2$. તેથી,સેચ્યુરેશન કરન્ટનો ક્રમ $I_A > I_B > I_C$ છે.
આ વક્રો સાથે મેળવતા:
વક્ર $III$ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_2$ અને ઉચ્ચ સેચ્યુરેશન કરન્ટ ધરાવે છે,જે પ્રકાશ $A$ ને અનુરૂપ છે.
વક્ર $II$ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_3$ અને મધ્યમ સેચ્યુરેશન કરન્ટ ધરાવે છે,જે પ્રકાશ $B$ ને અનુરૂપ છે.
વક્ર $IV$ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_4$ અને ઓછો સેચ્યુરેશન કરન્ટ ધરાવે છે,જે પ્રકાશ $C$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,સાચો સંબંધ $A \rightarrow III, B \rightarrow II, C \rightarrow IV$ છે. વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
$\lambda_1 = 600 \ nm$ માટે,$K_1 = \frac{hc}{\lambda_1} - \phi$ --- $(i)$
$\lambda_2 = 400 \ nm$ માટે,$K_2 = 2K_1 = \frac{hc}{\lambda_2} - \phi$ --- (ii)
$(i)$ પરથી,$K_1 = \frac{hc}{\lambda_1} - \phi$. આ કિંમત (ii) માં મૂકતા:
$2 \left( \frac{hc}{\lambda_1} - \phi \right) = \frac{hc}{\lambda_2} - \phi$
$\frac{2hc}{\lambda_1} - 2\phi = \frac{hc}{\lambda_2} - \phi$
$\phi = hc \left( \frac{2}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2} \right)$
કિંમતો મૂકતા: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J-s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,$\lambda_1 = 600 \times 10^{-9} \ m$,$\lambda_2 = 400 \times 10^{-9} \ m$:
$\phi = (6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8) \left( \frac{2}{600 \times 10^{-9}} - \frac{1}{400 \times 10^{-9}} \right)$
$\phi = (19.89 \times 10^{-26}) \times 10^9 \left( \frac{1}{300} - \frac{1}{400} \right)$
$\phi = 19.89 \times 10^{-17} \left( \frac{4-3}{1200} \right) = \frac{19.89 \times 10^{-17}}{1200} \ J$
$\phi = \frac{19.89 \times 10^{-17}}{1200 \times 1.6 \times 10^{-19}} \ eV \approx 1.036 \ eV \approx 1.02 \ eV$.

(C) આપાત વિકિરણની ઉર્જા $E$ છે.
આપાત વિકિરણનું વેગમાન $p = E/c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સપાટી સંપૂર્ણ પરાવર્તક હોવાથી,વિકિરણ સમાન ઉર્જા $E$ સાથે પાછું પરાવર્તિત થાય છે.
પરાવર્તિત વિકિરણનું વેગમાન $p' = -E/c$ છે (ઋણ નિશાની વિરુદ્ધ દિશા સૂચવે છે).
સપાટીને સ્થાનાંતરિત થતું કુલ વેગમાન એ વેગમાનમાં થતો ફેરફાર છે: $\Delta p = p - p'$.
$\Delta p = E/c - (-E/c) = 2E/c$.

(B) ધારો કે તારની લંબાઈ $L$ છે. $N$ આંટા અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગૂંચળાનો પરિઘ $L = N(2\pi R)$ છે.
ગૂંચળા $P$ માટે: $L = N_P(2\pi R_P) = 4(2\pi R_P) \implies R_P = \frac{L}{8\pi}$.
ગૂંચળા $Q$ માટે: $L = N_Q(2\pi R_Q) = 2(2\pi R_Q) \implies R_Q = \frac{L}{4\pi}$.
વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 N I}{2R}$ છે.
ધારો કે બંને ગૂંચળામાંથી સમાન પ્રવાહ $I$ વહે છે:
$B_P = \frac{\mu_0 N_P I}{2 R_P} = \frac{\mu_0 (4) I}{2 (L/8\pi)} = \frac{16\pi \mu_0 I}{L}$.
$B_Q = \frac{\mu_0 N_Q I}{2 R_Q} = \frac{\mu_0 (2) I}{2 (L/4\pi)} = \frac{4\pi \mu_0 I}{L}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{B_P}{B_Q} = \frac{16\pi \mu_0 I / L}{4\pi \mu_0 I / L} = \frac{16}{4} = 4$ થાય.

(A) પ્રથમ તાર દ્વારા '$l$' અંતરે ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i_1}{2 \pi l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર એકબીજાને લંબ હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને પ્રવાહ $i_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
બીજા તારની નાની લંબાઈ '$d$' પર લાગતું ચુંબકીય બળ $dF = i_2 (B) d \sin(90^{\circ})$ છે.
$B$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $dF = i_2 \left( \frac{\mu_0 i_1}{2 \pi l} \right) d (1) = \frac{\mu_0 i_1 i_2 d}{2 \pi l}$ મળે છે.
તેથી,ચુંબકીય બળ એ પ્રવાહોના ગુણાકાર $i_1 i_2$ ના પ્રમાણમાં છે.

(D) તટસ્થ બિંદુ પર, કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે. આ કિસ્સામાં, પૃથ્વીનું સમક્ષિતિજ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ડાયપોલ દ્વારા વિષુવવૃત્તીય (દુભાગતા) સ્થાને ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા નાબૂદ થાય છે.
$B_H = B_{\text{equatorial}}$
અહીં $B_H = 20 \mu T = 20 \times 10^{-6} \text{ T}$ અને અંતર $d = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}$ છે.
વિષુવવૃત્તીય સમતલ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \times \frac{M}{d^3}$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $20 \times 10^{-6} = 10^{-7} \times \frac{M}{(0.2)^3}$.
$M = \frac{20 \times 10^{-6} \times 0.008}{10^{-7}} = 200 \times 0.008 = 1.6 \text{ A m}^2$.

(C) પ્રવાહ $I$ વહન કરતા લાંબા સીધા તારથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફ્રેમની અંદર તારથી $r$ અંતરે $dr$ પહોળાઈની એક નાની લંબચોરસ પટ્ટી ધ્યાનમાં લો. આ પટ્ટીનું ક્ષેત્રફળ $dA = b \cdot dr$ છે.
આ પટ્ટીમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $d\phi = B \cdot dA = \left( \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} \right) (b \cdot dr) = \frac{\mu_0 I b}{2 \pi} \frac{dr}{r}$ છે.
ફ્રેમમાંથી પસાર થતું કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ શોધવા માટે,આપણે $r = a$ થી $r = 2a$ સુધી સંકલન કરીએ છીએ:
$\phi = \int_a^{2a} \frac{\mu_0 I b}{2 \pi} \frac{dr}{r} = \frac{\mu_0 I b}{2 \pi} [\ln r]_a^{2a} = \frac{\mu_0 I b}{2 \pi} \ln \left( \frac{2a}{a} \right) = \frac{\mu_0 I b}{2 \pi} \ln 2$.
અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ ને $M = \frac{\phi}{I}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી,$M = \frac{\mu_0 b}{2 \pi} \ln 2$.

(D) આપેલ છે:
કોઈલનું ક્ષેત્રફળ,$A = 100 \,cm^2 = 100 \times 10^{-4} \,m^2 = 10^{-2} \,m^2$
આંટાની સંખ્યા,$N = 20$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર,$B = 2 \,Wb/m^2$
સમયગાળો,$\Delta t = 0.2 \,s$
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ એ $\phi = N B A \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ક્ષેત્રફળ સદિશ $\hat{n}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ: કોઈલનું સમતલ ક્ષેત્ર સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. તેથી,ક્ષેત્રફળ સદિશ $\hat{n}$ અને ક્ષેત્ર $B$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta_1 = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ છે.
પ્રારંભિક ફ્લક્સ,$\phi_1 = N B A \cos 60^{\circ} = 20 \times 2 \times 10^{-2} \times 0.5 = 0.2 \,Wb$.
અંતિમ સ્થિતિ: કોઈલ ક્ષેત્રને લંબ છે. તેથી,ક્ષેત્રફળ સદિશ $\hat{n}$ એ ક્ષેત્ર $B$ ને સમાંતર છે,એટલે કે $\theta_2 = 0^{\circ}$.
અંતિમ ફ્લક્સ,$\phi_2 = N B A \cos 0^{\circ} = 20 \times 2 \times 10^{-2} \times 1 = 0.4 \,Wb$.
પ્રેરિત emf,$e = -\frac{\Delta \phi}{\Delta t} = -\frac{\phi_2 - \phi_1}{\Delta t} = -\frac{0.4 - 0.2}{0.2} = -\frac{0.2}{0.2} = -1 \,V$.
પ્રેરિત emf નું મૂલ્ય $|e| = 1 \,V$ છે.

(D) આપેલ પરિસ્થિતિ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
ધારો કે $l$ લંબાઈનો એક ધાતુનો સળિયો $B$ જેટલા સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ રૂપે $v$ વેગથી ગતિ કરે છે.
સળિયા દ્વારા $dt$ જેટલા સૂક્ષ્મ સમયગાળામાં કાપેલું અંતર $dx = v dt$ છે.
$dt$ સમયમાં સળિયા દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $dA = l \cdot dx = l v dt$ છે.
આ ક્ષેત્રફળ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $d\phi = B \cdot dA = B l v dt$ છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf $\varepsilon$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે:
$\varepsilon = \frac{d\phi}{dt} = \frac{B l v dt}{dt} = Blv$.
અહીં વેગ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ હોવાથી,પ્રેરિત emf $Blv$ મળે છે.

(B) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન હાઇડ્રોજન ન્યુક્લિયસની આસપાસ ભ્રમણ કરે છે,ત્યારે તે પ્રવાહ લૂપ બનાવે છે.
પ્રવાહ $i = \frac{e}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પરિભ્રમણનો સમયગાળો છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu = i A = \frac{e}{T} (\pi r^2)$ છે.
સમયગાળો $T = \frac{2 \pi r}{v}$ છે. આને $\mu$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\mu = \frac{e v}{2 \pi r} (\pi r^2) = \frac{e v r}{2}$.
કોણીય વેગમાન $L = m_e v r$ છે,જેનો અર્થ છે કે $v r = \frac{L}{m_e}$.
$v r$ ની કિંમત $\mu$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\mu = \frac{e}{2} \left(\frac{L}{m_e}\right) = \frac{e}{2 m_e} L$.
ઇલેક્ટ્રોન ઋણ વીજભારિત હોવાથી,ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ $\vec{\mu}$ અને કોણીય વેગમાન સદિશ $\vec{L}$ વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે:
$\vec{\mu} = -\left(\frac{e}{2 m_e}\right) \vec{L}$.

(A) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,વિદ્યુતક્ષેત્રનું રેખીય સંકલન એ ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારના દરના ઋણ મૂલ્ય જેટલું હોય છે: $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\phi}{dt}$.
લાંબા સોલેનોઈડ માટે,અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ છે. $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A$ છે.
કિસ્સો $1$: $r < a$ માટે,ફ્લક્સ $\phi = (\mu_0 n I)(\pi r^2)$ છે.
ફેરાડેનો નિયમ લાગુ પાડતા: $E(2 \pi r) = -\frac{d}{dt}(\mu_0 n I \pi r^2) = -\mu_0 n \pi r^2 \frac{dI}{dt}$.
તેથી,$E = -\frac{\mu_0 n r}{2} \frac{dI}{dt}$. તેનું મૂલ્ય $|E| = \frac{\mu_0 n r \dot{I}}{2}$ થાય.
કિસ્સો $2$: $r > a$ માટે,ફ્લક્સ માત્ર સોલેનોઈડના આડછેદમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $\phi = (\mu_0 n I)(\pi a^2)$ છે.
ફેરાડેનો નિયમ લાગુ પાડતા: $E(2 \pi r) = -\frac{d}{dt}(\mu_0 n I \pi a^2) = -\mu_0 n \pi a^2 \frac{dI}{dt}$.
તેથી,$E = -\frac{\mu_0 n a^2}{2 r} \frac{dI}{dt}$. તેનું મૂલ્ય $|E| = \frac{\mu_0 n a^2 \dot{I}}{2 r}$ થાય.

(A) બલ્બનો કુલ પાવર $P = 100 \pi \ W$ છે.
દ્રશ્યમાન વિકિરણમાં રૂપાંતરિત થતો પાવર કુલ પાવરના $10 \%$ છે,તેથી $P' = 0.10 \times 100 \pi \ W = 10 \pi \ W$.
બિંદુવત ઉદગમથી $d = 10 \ m$ અંતરે તીવ્રતા $I$ શોધવાનું સૂત્ર $I = \frac{P'}{4 \pi d^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $I = \frac{10 \pi}{4 \pi (10)^2} = \frac{10 \pi}{4 \pi \times 100} = \frac{10}{400} = 0.025 \ W \ m^{-2}$.

(C) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $i$ પ્રવાહ વહેતા વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ઉર્જા ઘનતા $u_d = \frac{B^2}{2\mu_0}$ છે.
ઘનના કદ $V$ માં સંગ્રહિત કુલ ચુંબકીય ઉર્જા $U = u_d \times V = \frac{B^2}{2\mu_0} \times a^3$ છે,જ્યાં $a$ એ ઘનની બાજુ છે.
$B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ મૂકતા,આપણને $U = \frac{1}{2\mu_0} \left( \frac{\mu_0 i}{2r} \right)^2 \times a^3 = \frac{\mu_0 i^2 a^3}{8r^2}$ મળે છે.
આપેલ છે: $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$,$i = 2 \ A$,$r = 0.2 \ m$,$a = 10^{-3} \ m$.
$U = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times (2)^2 \times (10^{-3})^3}{8 \times (0.2)^2} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 4 \times 10^{-9}}{8 \times 0.04} = \frac{16\pi \times 10^{-16}}{0.32} = 50\pi \times 10^{-16} \approx 1.57 \times 10^{-14} \ J$.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I$ અને વિદ્યુતક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $E_0$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$I = \frac{1}{2} \epsilon_0 E_0^2 c$
આપેલ છે:
$I = 17.7 \times 10^{14} \ W/m^2$
$\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ C^2 / (N \cdot m^2)$
$c = 3 \times 10^8 \ m/s$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$17.7 \times 10^{14} = \frac{1}{2} \times (8.85 \times 10^{-12}) \times E_0^2 \times (3 \times 10^8)$
$17.7 \times 10^{14} = \frac{26.55 \times 10^{-4}}{2} \times E_0^2$
$17.7 \times 10^{14} = 13.275 \times 10^{-4} \times E_0^2$
$E_0^2 = \frac{17.7 \times 10^{14}}{13.275 \times 10^{-4}} = \frac{17.7}{13.275} \times 10^{18} \approx 1.333 \times 10^{18} = \frac{4}{3} \times 10^{18}$
વર્ગમૂળ લેતા:
$E_0 = \sqrt{\frac{4}{3} \times 10^{18}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \times 10^9 \ N \ C^{-1}$

(B) $RC$ શ્રેણી પરિપથમાં કળા કોણ $\phi$ એ $\tan(\phi) = \frac{X_C}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\phi = 30^\circ$,$R = 20 \ \Omega$,અને $f = 50 \ Hz$ આપેલ છે.
$\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{X_C}{20}$.
તેથી,$X_C = \frac{20}{\sqrt{3}} \ \Omega$.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{2 \pi f C}$ હોવાથી,$\frac{1}{2 \pi \times 50 \times C} = \frac{20}{\sqrt{3}}$.
$\frac{1}{100 \pi C} = \frac{20}{\sqrt{3}}$.
$C$ માટે ઉકેલતા: $C = \frac{\sqrt{3}}{2000 \pi} \ F$.
$mF$ (મિલીફેરડ) માં રૂપાંતરિત કરવા માટે,$10^3$ વડે ગુણતા: $C = \frac{\sqrt{3}}{2000 \pi} \times 10^3 \ mF = \frac{\sqrt{3}}{2 \pi} \ mF$.

(C) સાચી જોડ નીચે મુજબ છે:
$A$. $400 \ nm$ થી $1 \ nm$ ની તરંગલંબાઈનો વિસ્તાર એક્સ-રે ($X$-rays) ને અનુરૂપ છે,જે ત્યારે ઉત્પન્ન થાય છે જ્યારે પરમાણુઓમાં આંતરિક કક્ષાના ઇલેક્ટ્રોન એક ઉર્જા સ્તરથી નીચલા સ્તરે જાય છે. તેથી,$A \rightarrow 4$.
$B$. $> 0.1 \ nm$ ની તરંગલંબાઈનો વિસ્તાર (રેડિયો તરંગો અને માઇક્રોવેવ્સ) એરિયલ્સમાં ઇલેક્ટ્રોનના ઝડપી પ્રવેગ અને પ્રતિપ્રવેગ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે. તેથી,$B \rightarrow 3$.
$C$. $1 \ mm$ થી $700 \ nm$ ની તરંગલંબાઈનો વિસ્તાર (ઇન્ફ્રારેડ વિકિરણ) પદાર્થમાં પરમાણુઓ અને અણુઓના કંપન દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે. તેથી,$C \rightarrow 2$.
$D$. $< 10^{-3} \ nm$ ની તરંગલંબાઈનો વિસ્તાર ગામા કિરણોને અનુરૂપ છે,જે ન્યુક્લિયસના રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે. તેથી,$D \rightarrow 1$.
આમ,સાચી જોડ $A \rightarrow 4, B \rightarrow 3, C \rightarrow 2, D \rightarrow 1$ છે,જે વિકલ્પ $C$ ને અનુરૂપ છે.

(A) વસ્તુ અને પડદા વચ્ચેના નિશ્ચિત અંતર $D$ માટે,જો $D > 4f$ હોય તો $f$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતો બહિર્ગોળ લેન્સ બે સ્થાનો પર સ્પષ્ટ પ્રતિબિંબ રચે છે.
ધારો કે $D = 90 \ cm$ અને લેન્સના બે સ્થાનો વચ્ચેનું અંતર $d = 20 \ cm$ છે.
સ્થાનાંતરની રીત (displacement method) ના સૂત્ર મુજબ કેન્દ્રલંબાઈ $f$:
$f = \frac{D^2 - d^2}{4D}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$f = \frac{90^2 - 20^2}{4 \times 90}$
$f = \frac{8100 - 400}{360}$
$f = \frac{7700}{360}$
$f = \frac{770}{36} \approx 21.38 \ cm$.

(B) અનંત લંબાઈના સીધા તાર માટે,$\lambda$ રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા ધરાવતા તારથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ તાર માટે,જેની ઘનતા $\lambda_1 = 2 \lambda$ છે,મધ્યબિંદુએ ($r = R/2$ અંતરે) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{2 \lambda}{2 \pi \varepsilon_0 (R/2)} = \frac{2 \lambda}{\pi \varepsilon_0 R}$ થશે.
બીજા તાર માટે,જેની ઘનતા $\lambda_2 = 3 \lambda$ છે,મધ્યબિંદુએ ($r = R/2$ અંતરે) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2 = \frac{3 \lambda}{2 \pi \varepsilon_0 (R/2)} = \frac{3 \lambda}{\pi \varepsilon_0 R}$ થશે.
તાર સમાંતર અને ધન વિદ્યુતભારિત હોવાથી,મધ્યબિંદુએ બંને વિદ્યુતક્ષેત્રો પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હશે.
પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E_{net} = |E_2 - E_1| = |\frac{3 \lambda}{\pi \varepsilon_0 R} - \frac{2 \lambda}{\pi \varepsilon_0 R}| = \frac{\lambda}{\pi \varepsilon_0 R}$ મળે છે.