TS EAMCET 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપેલ છે,$a:b:c = 4:5:6$. ધારો કે $a=4x, b=5x, c=6x$.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{4x+5x+6x}{2} = \frac{15x}{2}$.
ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{15x}{2} \cdot \frac{7x}{2} \cdot \frac{5x}{2} \cdot \frac{3x}{2}} = \frac{15x^2\sqrt{7}}{4}$.
પરિવૃત ત્રિજ્યા $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{4x \cdot 5x \cdot 6x}{4 \cdot \frac{15x^2\sqrt{7}}{4}} = \frac{8x}{\sqrt{7}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1+r_2+r_3 = 4R+r$. વળી,$r = \frac{\Delta}{s} = \frac{15x^2\sqrt{7}/4}{15x/2} = \frac{\sqrt{7}x}{2}$.
તેથી,$r_1+r_2+r_3 = 4R + \frac{\sqrt{7}x}{2} = 4(\frac{8x}{\sqrt{7}}) + \frac{\sqrt{7}x}{2} = \frac{32x}{\sqrt{7}} + \frac{\sqrt{7}x}{2} = \frac{64x+7x}{2\sqrt{7}} = \frac{71x}{2\sqrt{7}}$.
અંતે,$\frac{1}{4R}[r_1+r_2+r_3] = \frac{1}{4(8x/\sqrt{7})} \cdot \frac{71x}{2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{32x} \cdot \frac{71x}{2\sqrt{7}} = \frac{71}{64}$.

(B) આપેલ છે: $r_1=12, r_2=6, r_3=4$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}, r_2 = \frac{\Delta}{s-b}, r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
તેથી,$s-a = \frac{\Delta}{12}, s-b = \frac{\Delta}{6}, s-c = \frac{\Delta}{4}$.
આનો સરવાળો કરતા,$(s-a)+(s-b)+(s-c) = 3s-(a+b+c) = s = \Delta(\frac{1}{12} + \frac{1}{6} + \frac{1}{4}) = \Delta(\frac{1+2+3}{12}) = \frac{6\Delta}{12} = \frac{\Delta}{2}$.
તેથી,$\Delta = 2s$.
હવે,$s-a = \frac{2s}{12} = \frac{s}{6} \Rightarrow a = s - \frac{s}{6} = \frac{5s}{6}$.
$s-b = \frac{2s}{6} = \frac{s}{3} \Rightarrow b = s - \frac{s}{3} = \frac{2s}{3}$.
$s-c = \frac{2s}{4} = \frac{s}{2} \Rightarrow c = s - \frac{s}{2} = \frac{s}{2}$.
$\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$ નો ઉપયોગ કરતા,$(2s)^2 = s(\frac{s}{6})(\frac{s}{3})(\frac{s}{2})$.
$4s^2 = \frac{s^4}{36}$ $\Rightarrow s^2 = 144$ $\Rightarrow s = 12$.
તેથી $a = \frac{5 \times 12}{6} = 10, b = \frac{2 \times 12}{3} = 8, c = \frac{12}{2} = 6$.
તેથી,$a+2b+3c = 10 + 2(8) + 3(6) = 10 + 16 + 18 = 44$.

(A) સમબાજુ ત્રિકોણમાં,ધારો કે બાજુની લંબાઈ $a$ છે.
તેથી,અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{3a}{2}$ અને ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ છે.
અંતઃત્રિજ્યા $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.
પરિત્રિજ્યા $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
બહિર ત્રિજ્યા $r_1 = \frac{\Delta}{s-a} = \frac{\sqrt{3}}{2} a$.
હવે,ગુણોત્તર $r : R : r_1 = \frac{a}{2\sqrt{3}} : \frac{a}{\sqrt{3}} : \frac{\sqrt{3}a}{2} = 1 : 2 : 3$.

(A) આપેલ છે: $(a-b)(s-c)=(b-c)(s-a)$
$\Rightarrow \frac{s-c}{b-c}=\frac{s-a}{a-b}$
$\Rightarrow \frac{s-c}{(s-c)-(s-b)}=\frac{s-a}{(s-b)-(s-a)}$
કારણ કે $r_1=\frac{\Delta}{s-a}, r_2=\frac{\Delta}{s-b}, r_3=\frac{\Delta}{s-c}$,જ્યાં $\Delta$ એ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે.
$\Rightarrow \frac{\frac{\Delta}{r_3}}{\frac{\Delta}{r_3}-\frac{\Delta}{r_2}}=\frac{\frac{\Delta}{r_1}}{\frac{\Delta}{r_2}-\frac{\Delta}{r_1}}$
$\Rightarrow \frac{r_2}{r_2-r_3}=\frac{r_2}{r_1-r_2}$
$\Rightarrow r_1-r_2=r_2-r_3$
$\Rightarrow r_1+r_3=2r_2$
તેથી,$r_1, r_2, r_3$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.

(B) સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$b = 2R \sin B$ અને $c = 2R \sin C$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$b^2 \sin 2C + c^2 \sin 2B = (2R \sin B)^2 (2 \sin C \cos C) + (2R \sin C)^2 (2 \sin B \cos B)$
$= 8R^2 \sin^2 B \sin C \cos C + 8R^2 \sin^2 C \sin B \cos B$
$= 8R^2 \sin B \sin C (\sin B \cos C + \cos B \sin C)$
$= 8R^2 \sin B \sin C \sin (B + C)$
$A + B + C = \pi$ હોવાથી,$\sin (B + C) = \sin (\pi - A) = \sin A$.
$= 8R^2 \sin A \sin B \sin C$
$= 2(2R \sin B)(2R \sin C) \sin A$
$= 2bc \sin A$
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} bc \sin A$ હોવાથી,$bc \sin A = 2\Delta$.
તેથી,$2bc \sin A = 2(2\Delta) = 4\Delta$.

(C) ત્રિકોણની પરિત્રિજ્યા એ ત્રિકોણના તમામ શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ ત્રિકોણની બાજુઓ $3$,$4$ અને $5$ છે.
અહીં $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ હોવાથી,આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ માટે,પરિત્રિજ્યા $R$ એ કર્ણની અડધી હોય છે.
અહીં કર્ણ સૌથી મોટી બાજુ $5$ છે.
તેથી,પરિત્રિજ્યા $R = \frac{\text{કર્ણ}}{2} = \frac{5}{2}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} a p_1 = \frac{1}{2} b p_2 = \frac{1}{2} c p_3$ છે.
તેથી,$\frac{1}{p_1} = \frac{a}{2\Delta}$,$\frac{1}{p_2} = \frac{b}{2\Delta}$,અને $\frac{1}{p_3} = \frac{c}{2\Delta}$ થાય.
તેથી,$\left(\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+\frac{1}{p_3}\right) = \frac{a+b+c}{2\Delta} = \frac{2s}{2\Delta} = \frac{s}{\Delta} = \frac{1}{r}$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\left(\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+\frac{1}{p_3}\right)^2 = \frac{1}{r^2}$ મળે છે.
આપણે એ પણ જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{r}$ થાય.
તેથી,$\frac{1}{r^2} = \frac{1}{r} \left(\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3}\right)$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપણે વ્યસ્ત હાયપરબોલિક વિધેયોની લઘુગણકીય વ્યાખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $|x| < 1$ માટે $\tanh^{-1}(x) = \frac{1}{2} \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ અને $|x| > 1$ માટે $\coth^{-1}(x) = \frac{1}{2} \log \left(\frac{x+1}{x-1}\right)$.
$\tanh^{-1}(x)$ માં $x = \frac{1}{3}$ મૂકતા: $\tanh^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{2} \log \left(\frac{1 + 1/3}{1 - 1/3}\right) = \frac{1}{2} \log \left(\frac{4/3}{2/3}\right) = \frac{1}{2} \log(2)$.
$\coth^{-1}(x)$ માં $x = 2$ મૂકતા: $\coth^{-1}(2) = \frac{1}{2} \log \left(\frac{2+1}{2-1}\right) = \frac{1}{2} \log(3)$.
આ પરિણામોનો સરવાળો કરતા: $\frac{1}{2} \log(2) + \frac{1}{2} \log(3) = \frac{1}{2} \log(2 \times 3) = \frac{1}{2} \log(6) = \log(6^{1/2}) = \log \sqrt{6}$.

(D) ધારો કે $y = \frac{(x+2)(x+5)}{x+6}$.
$xy + 6y = x^2 + 7x + 10$
$x^2 + (7-y)x + (10-6y) = 0$
$x$ વાસ્તવિક હોય તે માટે,વિવેચક $\Delta \geq 0$.
$(7-y)^2 - 4(10-6y) \geq 0$
$y^2 - 14y + 49 - 40 + 24y \geq 0$
$y^2 + 10y + 9 \geq 0$
$(y+1)(y+9) \geq 0$
આમ,$y \in (-\infty, -9] \cup [-1, \infty)$.
$y$ ની જે કિંમતો વિસ્તારમાં નથી તે $(-9, -1)$ અંતરાલમાં છે.

(A) ધારો કે $X$-અક્ષ પરનું બિંદુ $S = (x, 0)$ છે અને આપેલ બિંદુ $P = (3, 4)$ છે.
$S$ અને $P$ વચ્ચેનું અંતર $d$ છે,તેથી $d^2 = (x - 3)^2 + (0 - 4)^2$.
$d^2 = (x - 3)^2 + 16$.
$(x - 3)^2 = d^2 - 16$.
જો $d < 4$ હોય,તો $d^2 < 16$,જેનો અર્થ છે કે $d^2 - 16 < 0$.
વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી $d < 4$ માટે $x$ ની કોઈ વાસ્તવિક કિંમત નથી.
તેથી,જો $d < 4$ હોય તો $S$ ખાલી ગણ છે.

(C) આપેલ છે $g(x) = 3x^2 + 4x + 7$. $x=2$ ની આસપાસ ટેલર વિસ્તરણ દ્વારા,આપણી પાસે $g(x) = g(2) + g^{\prime}(2)(x-2) + \frac{g^{\prime \prime}(2)}{2!}(x-2)^2$ છે.
સમીકરણ $\frac{3x^2+4x+7}{(x-2)^3} = \frac{A}{(x-2)^3} + \frac{B}{(x-2)^2} + \frac{C}{(x-2)}$ સૂચવે છે કે $3x^2+4x+7 = A + B(x-2) + C(x-2)^2$.
આને ટેલર વિસ્તરણ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = g(2)$,$B = g^{\prime}(2)$,અને $C = \frac{g^{\prime \prime}(2)}{2!}$ મળે છે.
કિંમતોની ગણતરી કરતા: $g(2) = 3(4)+4(2)+7 = 27$,$g^{\prime}(x) = 6x+4 \Rightarrow g^{\prime}(2) = 16$,$g^{\prime \prime}(x) = 6 \Rightarrow \frac{g^{\prime \prime}(2)}{2!} = \frac{6}{2} = 3$.
આમ,$A=27, B=16, C=3$.
$A+B+C = 27+16+3 = 46$.
વિકલ્પો તપાસતા: $g(2)+g^{\prime}(2)+\frac{g^{\prime \prime}(2)}{2!} = 27+16+3 = 46$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો $2x^2 + y^2 = 20$ $(1)$ અને $4y^2 - x^2 = 8$ $(2)$ છે.
$(2)$ પરથી,$x^2 = 4y^2 - 8$. આ કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$2(4y^2 - 8) + y^2 = 20$
$8y^2 - 16 + y^2 = 20$
$9y^2 = 36 \Rightarrow y^2 = 4 \Rightarrow y = \pm 2$.
છેદનબિંદુ $4^{th}$ ચરણમાં હોવાથી,$y = -2$ લેતા.
$y = -2$ ને $x^2 = 4y^2 - 8$ માં મૂકતા:
$x^2 = 4(4) - 8 = 8 \Rightarrow x = \pm 2\sqrt{2}$.
$4^{th}$ ચરણમાં $x > 0$ હોવાથી,$x = 2\sqrt{2}$. બિંદુ $(2\sqrt{2}, -2)$ છે.
$(2)$ નું વિકલન કરતા: $8y \frac{dy}{dx} - 2x = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x}{4y}$.
$(2\sqrt{2}, -2)$ પર,$m_1 = \frac{2\sqrt{2}}{4(-2)} = -\frac{\sqrt{2}}{4} = -\frac{1}{2\sqrt{2}}$.
$(1)$ નું વિકલન કરતા: $4x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{y}$.
$(2\sqrt{2}, -2)$ પર,$m_2 = -\frac{2(2\sqrt{2})}{-2} = 2\sqrt{2}$.
અહીં $m_1 \times m_2 = (-\frac{1}{2\sqrt{2}}) \times (2\sqrt{2}) = -1$ હોવાથી,વક્રો લંબ છે.
તેથી,વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(D) આપેલ વક્રો $\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{8}=1$ $(i)$ અને $x^2-y^2=5$ (ii) છે.
(ii) પરથી,$x^2 = 5+y^2$. $(i)$ માં મૂકતા:
$\frac{5+y^2}{18} + \frac{y^2}{8} = 1 \Rightarrow \frac{20+4y^2+9y^2}{72} = 1 \Rightarrow 13y^2 = 52 \Rightarrow y^2 = 4 \Rightarrow y = \pm 2$.
જો $y = 2$,તો $x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$. જો $y = -2$,તો $x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$.
છેદબિંદુઓ: $A(3, 2), B(-3, 2), C(-3, -2), D(3, -2)$.
$(i)$ નું વિકલન કરતા: $\frac{2x}{18} + \frac{2yy'}{8} = 0 \Rightarrow y' = -\frac{4x}{9y}$.
(ii) નું વિકલન કરતા: $2x - 2yy' = 0 \Rightarrow y' = \frac{x}{y}$.
$A(3, 2)$ પર: $m_1 = -\frac{4(3)}{9(2)} = -\frac{2}{3}$,$m_2 = \frac{3}{2}$.
$\tan \theta_1 = |\frac{3/2 - (-2/3)}{1 + (3/2)(-2/3)}| = |\frac{13/6}{0}| \to \infty \Rightarrow \theta_1 = 90^\circ$.
બંને અક્ષોની સાપેક્ષે વક્રોની સમપ્રમાણતાને કારણે,ચારેય બિંદુઓ પર છેદનકોણ સમાન રહેશે.
તેથી,$\theta_1 = \theta_2 = \theta_3 = \theta_4$.

(A) આપેલ વક્રો છે:
$x^2+y^2=2020 \sqrt{2} \quad (i)$
$x^2-y^2=2020 \quad (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2x^2 = 2020(\sqrt{2}+1) \implies x^2 = 1010(\sqrt{2}+1)$
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$2y^2 = 2020(\sqrt{2}-1) \implies y^2 = 1010(\sqrt{2}-1)$
વક્ર $(i)$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x + 2yy' = 0 \implies y' = -\frac{x}{y} = m_1$
વક્ર $(ii)$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x - 2yy' = 0 \implies y' = \frac{x}{y} = m_2$
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{-\frac{x}{y} - \frac{x}{y}}{1 + (-\frac{x}{y})(\frac{x}{y})} \right| = \left| \frac{-\frac{2x}{y}}{1 - \frac{x^2}{y^2}} \right| = \left| \frac{-2xy}{y^2 - x^2} \right|$
$(ii)$ પરથી,$y^2 - x^2 = -2020$. તેમજ $x^2y^2 = (1010)^2(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1) = (1010)^2$,તેથી $xy = \pm 1010$.
$\tan \theta = \left| \frac{-2(\pm 1010)}{-2020} \right| = |\pm 1| = 1$
$\theta$ લઘુકોણ હોવાથી,$\theta = \frac{\pi}{4}$.
તેથી,$\frac{\sin \theta + \cos \theta}{\tan \theta} = \frac{\sin(\pi/4) + \cos(\pi/4)}{\tan(\pi/4)} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}}{1} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cosh y = \frac{e^y + e^{-y}}{2}$.
ધારો કે $u = \cosh y = \frac{e^y + e^{-y}}{2}$.
$u$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $\cosh y$ વિધેયનું વિશ્લેષણ કરીએ.
$\cosh y$ એ એક પ્રમાણિત હાયપરબોલિક વિધેય છે જે $\cosh y = \frac{e^y + e^{-y}}{2}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $y$ માટે,$e^y > 0$ અને $e^{-y} > 0$ થાય.
એરિથમેટિક મીન-જ્યોમેટ્રિક મીન ($AM$-$GM$) અસમતા મુજબ,$\frac{e^y + e^{-y}}{2} \ge \sqrt{e^y \cdot e^{-y}} = \sqrt{e^0} = 1$.
સમાનતા ત્યારે મળે છે જ્યારે $e^y = e^{-y}$ થાય,જેનો અર્થ છે $e^{2y} = 1$,તેથી $y = 0$.
કારણ કે $y = \log_2 \sin x$,આપણે તપાસીએ કે શું $y=0$ શક્ય છે. $y=0 \implies \log_2 \sin x = 0 \implies \sin x = 2^0 = 1$.
કારણ કે $x = \frac{\pi}{2}$ માટે $\sin x = 1$ શક્ય છે,તેથી $y=0$ કિંમત મેળવી શકાય છે.
તેથી,$\cosh y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $1$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\frac{1}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3}$.
$(x-1)(x-2)(x-3)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $1=A(x-2)(x-3)+B(x-1)(x-3)+C(x-1)(x-2)$.
$x=1$ માટે,$1=A(1-2)(1-3) \Rightarrow A=\frac{1}{2}$.
$x=2$ માટે,$1=B(2-1)(2-3) \Rightarrow B=-1$.
$x=3$ માટે,$1=C(3-1)(3-2) \Rightarrow C=\frac{1}{2}$.
તેથી,$A+2B+3C = \frac{1}{2} + 2(-1) + 3(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 2 + \frac{3}{2} = 0$.
હવે,$\frac{x}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\frac{P}{x-1}+\frac{Q}{x-2}+\frac{R}{x-3}$ માટે,આપણને મળે $x=P(x-2)(x-3)+Q(x-1)(x-3)+R(x-1)(x-2)$.
$x=1$ માટે,$1=P(1-2)(1-3) \Rightarrow P=\frac{1}{2}$.
$x=2$ માટે,$2=Q(2-1)(2-3) \Rightarrow Q=-2$.
$x=3$ માટે,$3=R(3-1)(3-2) \Rightarrow R=\frac{3}{2}$.
$P+Q+R = \frac{1}{2} - 2 + \frac{3}{2} = 0$ ની ગણતરી કરતા.
બંને પદાવલિઓ $0$ હોવાથી,$A+2B+3C = P+Q+R$.

(D) $\frac{px+q}{(x+a)(x^2+b^2)}$ માટે આંશિક અપૂર્ણાંકનું સ્વરૂપ $\frac{A}{x+a}+\frac{Bx+C}{x^2+b^2}$ છે.
$\frac{9x-7}{(x+3)(x^2+1)} = \frac{A}{x+3} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$ લો.
બંને બાજુ $(x+3)(x^2+1)$ વડે ગુણતા,આપણને $9x-7 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x+3)$ મળે છે.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $9x-7 = Ax^2 + A + Bx^2 + 3Bx + Cx + 3C = (A+B)x^2 + (3B+C)x + (A+3C)$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$A+B = 0 \implies B = -A$
$3B+C = 9$
$A+3C = -7$
બીજા સમીકરણમાં $B = -A$ મૂકતા: $3(-A) + C = 9 \implies -3A + C = 9 \implies C = 9 + 3A$.
ત્રીજા સમીકરણમાં $C$ ની કિંમત મૂકતા: $A + 3(9 + 3A) = -7 \implies A + 27 + 9A = -7 \implies 10A = -34 \implies A = -\frac{34}{10} = -\frac{17}{5}$.
તેથી $B = -A = \frac{17}{5}$ અને $C = 9 + 3(-\frac{17}{5}) = \frac{45-51}{5} = -\frac{6}{5}$.
આ કિંમતો પાછી મૂકતા,આપણને $\frac{-17}{5(x+3)} + \frac{\frac{17}{5}x - \frac{6}{5}}{x^2+1} = \frac{-17}{5(x+3)} + \frac{17x-6}{5(x^2+1)}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે,$\frac{9x-7}{(x+3)(x^2+1)} = \frac{A}{x+3} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$
અંશને સરખાવતા:
$9x-7 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x+3)$
$9x-7 = (A+B)x^2 + (3B+C)x + (A+3C)$
બંને બાજુ સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$A+B = 0$
$3B+C = 9$
$A+3C = -7$
સમીકરણો ઉકેલતા,$A = -\frac{17}{5}, B = \frac{17}{5}, C = -\frac{6}{5}$
તેથી,$A+B+C = -\frac{17}{5} + \frac{17}{5} - \frac{6}{5} = -\frac{6}{5}$

(A) આપેલ અસમતાઓ $x^2 < 4x + 77$ અને $x^2 > 4$ છે.
પ્રથમ,$x^2 - 4x < 77$ ઉકેલો.
બંને બાજુ $4$ ઉમેરતા,$x^2 - 4x + 4 < 77 + 4$,જે $(x - 2)^2 < 81$ થાય છે.
વર્ગમૂળ લેતા,$-9 < x - 2 < 9$,જે $-7 < x < 11$ આપે છે.
આગળ,$x^2 > 4$ ઉકેલો,જેનો અર્થ છે $x^2 - 4 > 0$,એટલે કે $(x - 2)(x + 2) > 0$.
આ શરત $x > 2$ અથવા $x < -2$ માટે સાચી છે.
બંને શરતોને જોડતા,આપણને $(-7 < x < 11)$ અને $(x > 2 \text{ અથવા } x < -2)$ મળે છે.
છેદગણ $(-7, -2) \cup (2, 11)$ છે.
આ ગણમાં રહેલા ઋણ પૂર્ણાંકો $\{-6, -5, -4, -3\}$ છે.
આ ગણમાં સૌથી નાનો ઋણ પૂર્ણાંક $-6$ છે.

(B) ધારો કે આપેલા બિંદુઓ $A(2,-1,3), B(4,-2,1), C(4,5,-7)$ અને $D(2,6,-5)$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ ના મધ્યબિંદુઓ શોધીએ:
$AC$ નું મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{2+4}{2}, \frac{-1+5}{2}, \frac{3-7}{2}\right) = (3, 2, -2)$.
$BD$ નું મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{4+2}{2}, \frac{-2+6}{2}, \frac{1-5}{2}\right) = (3, 2, -2)$.
વિકર્ણોના મધ્યબિંદુઓ સમાન હોવાથી,ચતુષ્કોણ $ABCD$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
હવે,બાજુઓની લંબાઈ તપાસીએ:
$AB = \sqrt{(4-2)^2 + (-2 - (-1))^2 + (1-3)^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3$.
$BC = \sqrt{(4-4)^2 + (5 - (-2))^2 + (-7-1)^2} = \sqrt{0^2 + 7^2 + (-8)^2} = \sqrt{0+49+64} = \sqrt{113}$.
$AB \neq BC$ હોવાથી,તે ચોરસ કે સમબાજુ ચતુષ્કોણ નથી.
હવે,પાસપાસેની બાજુઓનો ડોટ ગુણાકાર કરીને તે લંબચોરસ છે કે નહીં તે તપાસીએ:
$\vec{AB} = 2\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$.
$\vec{BC} = 0\hat{i} + 7\hat{j} - 8\hat{k}$.
$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = (2)(0) + (-1)(7) + (-2)(-8) = 0 - 7 + 16 = 9 \neq 0$.
ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય નથી,તેથી બાજુઓ પરસ્પર લંબ નથી.
તેથી,$ABCD$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(A) ધારો કે $\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$ અને $C(x_3, y_3, z_3)$ છે.
આપેલ છે કે $D, E, F$ એ અનુક્રમે $AB, BC, CA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે:
$D = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}, \frac{z_1+z_2}{2}\right) = (1, 2, -3) \Rightarrow x_1+x_2=2, y_1+y_2=4, z_1+z_2=-6$
$E = \left(\frac{x_2+x_3}{2}, \frac{y_2+y_3}{2}, \frac{z_2+z_3}{2}\right) = (3, 0, 1) \Rightarrow x_2+x_3=6, y_2+y_3=0, z_2+z_3=2$
$F = \left(\frac{x_1+x_3}{2}, \frac{y_1+y_3}{2}, \frac{z_1+z_3}{2}\right) = (-1, 1, -4) \Rightarrow x_1+x_3=-2, y_1+y_3=2, z_1+z_3=-8$
$x_1, x_2, x_3$ માટે ઉકેલતા: $(x_1+x_2)+(x_2+x_3)+(x_1+x_3) = 2+6-2 = 6 \Rightarrow 2(x_1+x_2+x_3)=6 \Rightarrow x_1+x_2+x_3=3$. તેથી $x_3=3-2=1, x_1=3-6=-3, x_2=3-(-2)=5$.
તે જ રીતે $y$ માટે: $y_1+y_2+y_3 = \frac{4+0+2}{2} = 3$. તેથી $y_3=3-4=-1, y_1=3-0=3, y_2=3-2=1$.
તે જ રીતે $z$ માટે: $z_1+z_2+z_3 = \frac{-6+2-8}{2} = -6$. તેથી $z_3=-6-(-6)=0, z_1=-6-2=-8, z_2=-6-(-8)=2$.
તેથી,$A(-3, 3, -8)$,$D(1, 2, -3)$,અને $F(-1, 1, -4)$.
$\triangle ADF$ નું મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{-3+1-1}{3}, \frac{3+2+1}{3}, \frac{-8-3-4}{3}\right) = \left(\frac{-3}{3}, \frac{6}{3}, \frac{-15}{3}\right) = (-1, 2, -5)$ થાય.

(A) $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$ અને $C(x_3, y_3, z_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $(G)$ શોધવાનું સૂત્ર $G = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3} \right)$ છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(3,4,5)$,$B(6,7,2)$ અને $C(x, y, z)$ છે અને મધ્યકેન્દ્ર $(3,2,3)$ છે.
યામોને સરખાવતા:
$3 = \frac{3+6+x}{3} \implies 9 = 9+x \implies x = 0$.
$2 = \frac{4+7+y}{3} \implies 6 = 11+y \implies y = -5$.
$3 = \frac{5+2+z}{3} \implies 9 = 7+z \implies z = 2$.
તેથી,$x+y+z = 0 + (-5) + 2 = -3$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ધારો કે બિંદુ $B$ એ રેખાખંડ $AC$ નું $k: 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$B$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$B = \left( \frac{k(9) + 1(3)}{k+1}, \frac{k(8) + 1(2)}{k+1}, \frac{k(10) + 1(4)}{k+1} \right)$
આપેલ છે કે $B = \left( \frac{33}{5}, \frac{28}{5}, \frac{38}{5} \right)$,તેથી $x$-યામને સરખાવતા:
$\frac{9k + 3}{k + 1} = \frac{33}{5}$
$5(9k + 3) = 33(k + 1)$
$45k + 15 = 33k + 33$
$45k - 33k = 33 - 15$
$12k = 18$
$k = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$
આમ,ગુણોત્તર $k: 1$ એ $3: 2$ છે.

(D) ધારો કે $B$ એ રેખાખંડ $\overline{AC}$ ને $k: 1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$B$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$B = \left( \frac{k(9) + 1(3)}{k+1}, \frac{k(8) + 1(2)}{k+1}, \frac{k(10) + 1(4)}{k+1} \right)$
$x$-યામને સરખાવતા:
$\frac{9k + 3}{k+1} = \frac{33}{5}$
$5(9k + 3) = 33(k + 1)$
$45k + 15 = 33k + 33$
$12k = 18$
$k = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$
આમ,ગુણોત્તર $k: 1$ એ $\frac{3}{2}: 1$ એટલે કે $3: 2$ છે.

(A) ધારો કે $P(A)$ એ વિદ્યાર્થી $A$ દ્વારા પ્રશ્ન ઉકેલવાની સંભાવના છે અને $P(B)$ એ વિદ્યાર્થી $B$ દ્વારા પ્રશ્ન ઉકેલવાની સંભાવના છે.
આપેલ છે કે $P(A) = \frac{2}{5}$ અને $P(B) = \frac{3}{4}$.
પ્રશ્ન ત્યારે ઉકેલાય છે જો તેમાંથી ઓછામાં ઓછો એક વિદ્યાર્થી તેને ઉકેલે.
$P(\text{પ્રશ્ન ઉકેલાય}) = 1 - P(\text{પ્રશ્ન ન ઉકેલાય})$.
$A$ અને $B$ સ્વતંત્ર રીતે પ્રયાસ કરતા હોવાથી,બંનેમાંથી કોઈ પણ પ્રશ્ન ન ઉકેલે તેની સંભાવના $P(\bar{A}) \times P(\bar{B})$ છે.
$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$.
$P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
$P(\text{પ્રશ્ન ઉકેલાય}) = 1 - (\frac{3}{5} \times \frac{1}{4}) = 1 - \frac{3}{20} = \frac{17}{20}$.

(C) $3n$ ક્રમિક પૂર્ણાંકોને $3$ વડે ભાગતા મળતી શેષના આધારે ત્રણ ગણમાં વિભાજિત કરો:
$G_1 = \{x, x+3, \dots, x+3(n-1)\}$
$G_2 = \{x+1, x+4, \dots, x+3(n-1)+1\}$
$G_3 = \{x+2, x+5, \dots, x+3(n-1)+2\}$
દરેક ગણમાં $n$ પૂર્ણાંકો છે.
ત્રણ પૂર્ણાંકોનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય હોય તે માટે,કાં તો ત્રણેય એક જ ગણમાંથી હોવા જોઈએ અથવા ત્રણેય ગણમાંથી એક-એક પૂર્ણાંક લેવો જોઈએ.
એક જ ગણમાંથી $3$ પસંદ કરવાની રીતો: $3 \times \binom{n}{3} = \frac{n(n-1)(n-2)}{2}$.
દરેક ગણમાંથી એક પસંદ કરવાની રીતો: $\binom{n}{1} \times \binom{n}{1} \times \binom{n}{1} = n^3$.
કુલ સાનુકૂળ રીતો: $\frac{n(n-1)(n-2)}{2} + n^3 = \frac{3n^3-3n^2+2n}{2}$.
કુલ નિદર્શાવકાશ: $\binom{3n}{3} = \frac{n(3n-1)(3n-2)}{2}$.
સંભાવના: $\frac{3n^2-3n+2}{(3n-1)(3n-2)}$.

(A) કુલ દડાની સંખ્યા $= 8 + 3 + 9 = 20$.
$20$ દડામાંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની રીતો $n(S) = {}^{20}C_3 = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140$.
$8$ લાલ દડામાંથી $2$ અને $3$ સફેદ દડામાંથી $1$ દડો પસંદ કરવાની રીતો $n(E) = {}^{8}C_2 \times {}^{3}C_1 = 28 \times 3 = 84$.
સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{84}{1140} = \frac{7}{95}$.

(A) ધારો કે $M$ એ ગણિતનો વર્ગ ભરતા વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે અને $P$ એ ભૌતિકવિજ્ઞાનનો વર્ગ ભરતા વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે. આપેલ છે: $P(M) = 40 \%$,$P(P) = 30 \%$,અને $P(M \cap P) = 20 \%$.
માત્ર ગણિતનો વર્ગ ભરતા વિદ્યાર્થીઓની સંભાવના $P(M) - P(M \cap P) = 40 \% - 20 \% = 20 \%$ છે.
માત્ર ભૌતિકવિજ્ઞાનનો વર્ગ ભરતા વિદ્યાર્થીઓની સંભાવના $P(P) - P(M \cap P) = 30 \% - 20 \% = 10 \%$ છે.
વિદ્યાર્થી ફક્ત એક જ વર્ગ ભરે તેની સંભાવના એ માત્ર ગણિત અને માત્ર ભૌતિકવિજ્ઞાનના વર્ગ ભરતા વિદ્યાર્થીઓની સંભાવનાનો સરવાળો છે: $20 \% + 10 \% = 30 \%$.
અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા,$30 \% = \frac{30}{100} = \frac{3}{10}$.

(B) પૂર્ણાંકોનો ગણ $S = \{x \in Z \mid -25 \leq x \leq 25, x \neq 0\}$ છે. કુલ ઘટકોની સંખ્યા $50$ છે.
અસમતા $x + 6 \leq \frac{135}{x}$ ને ઉકેલતા,આપણને $\frac{x^2 + 6x - 135}{x} \leq 0$ મળે છે.
અંશના અવયવ પાડતા,$\frac{(x + 15)(x - 9)}{x} \leq 0$ મળે છે.
ચિહ્ન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,અસમતાનો ઉકેલ $x \in (-\infty, -15] \cup (0, 9]$ છે.
આને આપેલ ગણ $S$ સાથે છેદતા,આપણને $x \in [-25, -15] \cup \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ મળે છે.
$[-25, -15]$ માં પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $11$ છે અને $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ માં પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $9$ છે.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 11 + 9 = 20$.
સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{20}{50} = \frac{2}{5}$.

(A) $2520$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $2^3 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1$ છે.
કુલ ભાજકોની સંખ્યા $(3+1)(2+1)(1+1)(1+1) = 48$ છે.
યોગ્ય ભાજકોની સંખ્યા $48 - 2 = 46$ છે.
એકી ભાજકોની સંખ્યા $(2+1)(1+1)(1+1) = 12$ છે.
આ $12$ ભાજકોમાં $1$ નો સમાવેશ થાય છે,જે યોગ્ય ભાજકોમાં ગણાય છે.
તેથી,સંભાવના $= \frac{12-1}{46} = \frac{11}{46}$ છે.

(D) આપેલ છે કે,$P(A \cup B)=0.8$ અને $P(A \cap B)=0.3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
તેથી,$P(A) + P(B) = P(A \cup B) + P(A \cap B) = 0.8 + 0.3 = 1.1$.
આપણે $P(A^C) + P(B^C)$ શોધવાનું છે.
ગુણધર્મ $P(E^C) = 1 - P(E)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(A^C) + P(B^C) = (1 - P(A)) + (1 - P(B)) = 2 - (P(A) + P(B))$.
$P(A) + P(B)$ ની કિંમત મૂકતા:
$P(A^C) + P(B^C) = 2 - 1.1 = 0.9$.

(C) ધારો કે $P(A), P(B), P(C)$ એ અનુક્રમે $A, B, C$ દ્વારા ફુગ્ગાને નિશાન લગાવવાની સંભાવનાઓ છે.
$P(A) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$,તેથી $P(\bar{A}) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
$P(B) = \frac{3}{5}$,તેથી $P(\bar{B}) = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$.
$P(C) = \frac{2}{3}$,તેથી $P(\bar{C}) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
ઓછામાં ઓછા બે વ્યક્તિ નિશાન લગાવે તેનો અર્થ છે કે બરાબર બે વ્યક્તિ નિશાન લગાવે અથવા ત્રણેય નિશાન લગાવે.
સંભાવના (બરાબર બે નિશાન લગાવે) = $P(A)P(B)P(\bar{C}) + P(A)P(\bar{B})P(C) + P(\bar{A})P(B)P(C)$
$= (\frac{2}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{1}{3}) + (\frac{2}{3} \times \frac{2}{5} \times \frac{2}{3}) + (\frac{1}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{3})$
$= \frac{6}{45} + \frac{8}{45} + \frac{6}{45} = \frac{20}{45} = \frac{4}{9}$.
સંભાવના (ત્રણેય નિશાન લગાવે) = $P(A)P(B)P(C) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{12}{45} = \frac{4}{15}$.
કુલ સંભાવના = $\frac{20}{45} + \frac{12}{45} = \frac{32}{45}$.

(B) $40$ પૂર્ણાંકોમાંથી $2$ પૂર્ણાંકો પસંદ કરવાની કુલ રીતો સંચયના સૂત્ર ${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
કુલ પરિણામો $= {}^{40}C_{2} = \frac{40 \times 39}{2 \times 1} = 20 \times 39 = 780$.
બે પૂર્ણાંકોનો સરવાળો અયુગ્મ (એકી) થાય તે માટે એક સંખ્યા યુગ્મ (બેકી) અને બીજી સંખ્યા અયુગ્મ (એકી) હોવી જોઈએ.
$40$ ક્રમિક પૂર્ણાંકોમાં $20$ યુગ્મ અને $20$ અયુગ્મ પૂર્ણાંકો હોય છે.
$20$ માંથી એક યુગ્મ પૂર્ણાંક પસંદ કરવાની રીતો $= {}^{20}C_{1} = 20$.
$20$ માંથી એક અયુગ્મ પૂર્ણાંક પસંદ કરવાની રીતો $= {}^{20}C_{1} = 20$.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 20 \times 20 = 400$.
સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{400}{780}$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{40}{78} = \frac{20}{39}$ મળે છે.

(C) ધારો કે $G$ એ છોકરી અને $B$ એ છોકરો દર્શાવે છે. દરેક જૂથ માટેની સંભાવનાઓ નીચે મુજબ છે:
જૂથ $A$: $P(G_A) = \frac{3}{4}$,$P(B_A) = \frac{1}{4}$
જૂથ $B$: $P(G_B) = \frac{2}{4}$,$P(B_B) = \frac{2}{4}$
જૂથ $C$: $P(G_C) = \frac{1}{4}$,$P(B_C) = \frac{3}{4}$
આપણે $1$ છોકરી અને $2$ છોકરાઓ પસંદ કરવાના છે. શક્ય કિસ્સાઓ નીચે મુજબ છે:

કિસ્સો	$A, B, C$ માંથી પસંદગી	સંભાવના
$1$	$G, B, B$	$\frac{3}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{18}{64}$
$2$	$B, G, B$	$\frac{1}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{64}$
$3$	$B, B, G$	$\frac{1}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{64}$

કુલ સંભાવના $= \frac{18}{64} + \frac{6}{64} + \frac{2}{64} = \frac{26}{64} = \frac{13}{32}$.

(A) ધારો કે બોક્સ $Q$ માંથી પસંદ કરેલી ચિઠ્ઠી પરનો નંબર $x$ છે અને બોક્સ $P$ માંથી પસંદ કરેલી ચિઠ્ઠી પરનો નંબર $y$ છે. $x$ અને $y$ બંને પૂર્ણાંકો છે જેથી $1 \leq x, y \leq 100$.
આપણને શરત આપવામાં આવી છે કે $y = x^2$.
કારણ કે $y \leq 100$,તેથી $x^2 \leq 100$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $x \leq 10$.
આમ,શક્ય જોડીઓ $(x, y)$ નીચે મુજબ છે: $(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16), (5, 25), (6, 36), (7, 49), (8, 64), (9, 81), (10, 100)$.
આવા $10$ સાનુકૂળ પરિણામો છે.
દરેક બોક્સમાંથી એક ચિઠ્ઠી પસંદ કરતી વખતે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $100 \times 100 = 10000$ છે.
સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{10}{10000} = \frac{1}{1000}$.
આને ટકાવારીમાં ફેરવતા: $\frac{1}{1000} \times 100\% = 0.1\%$.

(D) જ્યારે પાસાને $3$ વાર ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 \times 6 = 216$ છે.
આપેલ શરત $\omega^{\beta_1} + \omega^{\beta_2} = -\omega^{\beta_3}$ ને $\omega^{\beta_1} + \omega^{\beta_2} + \omega^{\beta_3} = 0$ તરીકે લખી શકાય.
$\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ હોવાથી,$\omega^n$ ની કિંમત $n \equiv 1, 2, 0 \pmod{3}$ મુજબ $\omega, \omega^2, 1$ હોઈ શકે.
સરવાળો શૂન્ય થાય તે માટે,${\omega^{\beta_1}, \omega^{\beta_2}, \omega^{\beta_3}}$ એ ${1, \omega, \omega^2}$ નો ક્રમચય હોવો જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ માંથી એક $3k$ સ્વરૂપની,એક $3k+1$ સ્વરૂપની અને એક $3k+2$ સ્વરૂપની હોવી જોઈએ.
ગણ ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ માં દરેક પ્રકારની બે સંખ્યાઓ છે:
પ્રકાર $0$ $(n \equiv 0 \pmod{3})$: ${3, 6}$
પ્રકાર $1$ $(n \equiv 1 \pmod{3})$: ${1, 4}$
પ્રકાર $2$ $(n \equiv 2 \pmod{3})$: ${2, 5}$
દરેક ગણમાંથી એક સંખ્યા પસંદ કરવાની રીતો $2 \times 2 \times 2 = 8$ છે.
$\beta_1, \beta_2, \beta_3$ નો ક્રમ મહત્વનો હોવાથી,આપણે $3! = 6$ વડે ગુણીશું.
સાનુકૂળ પરિણામો $= 8 \times 6 = 48$.
સંભાવના $= \frac{48}{216} = \frac{2}{9}$.

(A) આવૃત્તિ વિતરણ $f_i = 2i$ છે,જ્યાં $x_i = i$ અને $i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

$x_i$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$f_i$	$2$	$4$	$6$	$8$	$10$	$12$

કુલ આવૃત્તિ $N = \sum f_i = 2(1+2+3+4+5+6) = 2(21) = 42$.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{2(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2)}{42} = \frac{2(91)}{42} = \frac{182}{42} = \frac{13}{3}$.
મધ્યકથી સરેરાશ વિચલન $MD = \frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{N}$.
$MD = \frac{2|1-\frac{13}{3}| + 4|2-\frac{13}{3}| + 6|3-\frac{13}{3}| + 8|4-\frac{13}{3}| + 10|5-\frac{13}{3}| + 12|6-\frac{13}{3}|}{42}$.
$MD = \frac{2(\frac{10}{3}) + 4(\frac{7}{3}) + 6(\frac{4}{3}) + 8(\frac{1}{3}) + 10(\frac{2}{3}) + 12(\frac{5}{3})}{42}$.
$MD = \frac{20 + 28 + 24 + 8 + 20 + 60}{3 \times 42} = \frac{160}{126} = \frac{80}{63}$.