TS EAMCET 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $P(x, y)$ થી નાભિ $S(0, 0)$ સુધીનું અંતર એ નિયામિકા $x = 4$ સુધીના અંતરના $e$ ગણું હોય છે.
$SP^2 = e^2 \times (\text{નિયામિકાથી અંતર})^2$
$x^2 + y^2 = (\frac{1}{2})^2 (x - 4)^2$
$x^2 + y^2 = \frac{1}{4} (x^2 - 8x + 16)$
$4x^2 + 4y^2 = x^2 - 8x + 16$
$3x^2 + 8x + 4y^2 = 16$
$x$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે $3$ વડે ગુણતા:
$9x^2 + 24x + 12y^2 = 48$
$(3x + 4)^2 - 16 + 12y^2 = 48$
$(3x + 4)^2 + 12y^2 = 64$

(A) આપેલ સમીકરણ $4(x-2y+1)^2 + 9(2x+y+2)^2 = 25$ છે.
$25$ વડે ભાગતા: $\frac{(x-2y+1)^2}{25/4} + \frac{(2x+y+2)^2}{25/9} = 1$.
ધારો કે $X = \frac{x-2y+1}{\sqrt{5}}$ અને $Y = \frac{2x+y+2}{\sqrt{5}}$.
સમીકરણ $\frac{X^2}{5/4} + \frac{Y^2}{5/9} = 1$ બને છે.
અહીં $a^2 = 5/4$ અને $b^2 = 5/9$,તેથી $a = \sqrt{5}/2$ અને $b = \sqrt{5}/3$.
પ્રધાન અક્ષ $X=0$ એટલે કે $x-2y+1=0$ છે.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - 4/9} = \sqrt{5}/3$.
પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $2a = \sqrt{5}$ છે.
કેન્દ્ર $(-4/5, -2/5)$ છે.

(B) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ માટે,અંતર્ગત લંબચોરસના શિરોબિંદુઓના યામ $(\pm a \cos \theta, \pm b \sin \theta)$ છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = (2a \cos \theta)(2b \sin \theta) = 2ab \sin 2\theta$.
ક્ષેત્રફળ મહત્તમ હોવા માટે,$\sin 2\theta = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{4}$.
આપેલ લંબાઈ $L = 2a \cos \theta = 2a \cos(\frac{\pi}{4}) = a\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$,તેથી $a = 8$.
આપેલ પહોળાઈ $B = 2b \sin \theta = 2b \sin(\frac{\pi}{4}) = b\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$,તેથી $b = 4$.
આમ,$\frac{b}{a} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(C) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $b > a$ છે.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2a^2}{b}$ છે અને ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2a$ છે.
આપેલ છે કે નાભિલંબની લંબાઈ એ ગૌણ અક્ષની લંબાઈના $\frac{2}{3}$ ગણી છે:
$\frac{2a^2}{b} = \frac{2}{3}(2a)$
$\frac{a^2}{b} = \frac{2a}{3}$
$\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$
$\frac{a^2}{b^2} = \frac{4}{9}$
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2}}$
$e = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $(i)$ અને પરવલયનું સમીકરણ $y^2=8ax$ $(ii)$ છે.
$(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{2x}{a^2}+\frac{2yy'}{b^2}=0 \Rightarrow y'=-\frac{b^2x}{a^2y}$ મળે.
$(ii)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2yy'=8a \Rightarrow y'=\frac{4a}{y}$ મળે.
વક્રો લંબછેદી હોવાથી,તેમના સ્પર્શકોના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય.
$\left(-\frac{b^2x}{a^2y}\right) \times \left(\frac{4a}{y}\right) = -1$
$\Rightarrow \frac{4b^2x}{a^2y^2} = 1$ $\Rightarrow 4b^2x = a^2y^2$.
$y^2=8ax$ ને આ સમીકરણમાં મૂકતા:
$4b^2x = a^2(8ax)$ $\Rightarrow 4b^2 = 8a^2$ $\Rightarrow \frac{b^2}{a^2} = 2$ $\Rightarrow \frac{a^2}{b^2} = \frac{1}{2}$.
ઉપવલય માટે $e^2 = 1 - \frac{a^2}{b^2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$e^4 = (e^2)^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

(A) આપેલ છે,ઉપવલયનું સમીકરણ $16 x^2+25 y^2=400$ $\Rightarrow \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$.
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ સાથે સરખાવતા,$a=5$ અને $b=4$ મળે છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \frac{3}{5}$.
ધારો કે $P(5 \cos \theta, 4 \sin \theta)$ ઉપવલય પરનું કોઈ બિંદુ છે.
નાભિ અંતર $P F_1 = 5 - 3 \cos \theta$ અને $P F_2 = 5 + 3 \cos \theta$ છે.
હવે,ગુણાકાર $P F_1 \cdot P F_2 = (5 - 3 \cos \theta)(5 + 3 \cos \theta) = 25 - 9 \cos^2 \theta$.
$0 \leq \cos^2 \theta \leq 1$ હોવાથી,
$25 - 9(1) \leq 25 - 9 \cos^2 \theta \leq 25 - 9(0)$
$16 \leq P F_1 \cdot P F_2 \leq 25$.
આમ,કિંમત $[16, 25]$ અંતરાલમાં છે.

(D) ઉપવલયનું આપેલ સમીકરણ $9x^2+4y^2=36$ છે.
બંને બાજુ $36$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ મળે છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$ (કારણ કે $9 > 4$) સાથે સરખાવતા,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$ મળે છે,તેથી $a = 3$ અને $b = 2$ થાય.
ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ માટે,તેના નાભિ અંતરોનો સરવાળો $PF_1 + PF_2$ એ મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a$ જેટલો હોય છે.
અહીં,મુખ્ય અક્ષ $y$-અક્ષ પર છે કારણ કે $a > b$.
તેથી,નાભિ અંતરોનો સરવાળો $2a = 2 \times 3 = 6$ થાય છે.

(D) ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$ માટે,$a^2=9$ અને $b^2=5$. ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1-\frac{5}{9}} = \frac{2}{3}$. નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 2, 0)$ છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{9}=1$ માટે,$a^2=9$ અને $b^2=5$ ($y$-અક્ષ પર મુખ્ય અક્ષ). ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1-\frac{5}{9}} = \frac{2}{3}$. નાભિઓ $(0, \pm ae) = (0, \pm 2)$ છે.
ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ $(2, 0), (0, 2), (-2, 0),$ અને $(0, -2)$ છે.
આ ચતુષ્કોણ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેના વિકર્ણોની લંબાઈ $d_1 = 4$ અને $d_2 = 4$ છે.
ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$ ચોરસ એકમ છે.

(D) આપેલ ઉપવલય $E: 4x^2 + 9y^2 - 36 = 0$ અને વર્તુળ $C: x^2 + y^2 - 9 = 0$.
બિંદુ $A(1, 2)$ માટે:
$E(1, 2) = 4(1)^2 + 9(2)^2 - 36 = 4 + 36 - 36 = 4 > 0$,તેથી $A$ એ $E$ ની બહાર છે.
$C(1, 2) = (1)^2 + (2)^2 - 9 = 1 + 4 - 9 = -4 < 0$,તેથી $A$ એ $C$ ની અંદર છે.
બિંદુ $B(2, 1)$ માટે:
$E(2, 1) = 4(2)^2 + 9(1)^2 - 36 = 16 + 9 - 36 = -11 < 0$,તેથી $B$ એ $E$ ની અંદર છે.
$C(2, 1) = (2)^2 + (1)^2 - 9 = 4 + 1 - 9 = -4 < 0$,તેથી $B$ એ $C$ ની અંદર છે.
આમ,$A$ એ $C$ ની અંદર છે પણ $E$ ની બહાર છે તે વિધાન સાચું છે.

(B) નાભિઓ $(-2,0)$ અને $(8,0)$ છે.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 8 - (-2) = 10$ છે.
$\Rightarrow ae = 5$.
આપેલ છે કે $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $a \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 5 \Rightarrow a = 5\sqrt{2}$.
હવે,$b^2 = a^2(1 - e^2) = (5\sqrt{2})^2 \left(1 - \frac{1}{2}\right) = 50 \left(\frac{1}{2}\right) = 25$.
તેથી,$b = 5$.
ઉપવલયનું કેન્દ્ર એ બે નાભિઓને જોડતી રેખાનું મધ્યબિંદુ છે: $\left(\frac{-2+8}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (3,0)$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{(x-3)^2}{a^2} + \frac{(y-0)^2}{b^2} = 1$ છે,જે $\frac{(x-3)^2}{50} + \frac{y^2}{25} = 1$ થાય.
પ્રચલિત યામ $(x, y) = (h + a \cos \theta, k + b \sin \theta)$ છે,જ્યાં $(h, k)$ કેન્દ્ર છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $(3 + 5\sqrt{2} \cos \theta, 5 \sin \theta)$ મળે છે.

(A) આપેલ વર્તુળ $(x-1)^2+y^2=r^2 \dots (i)$ છે.
અહીં,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(1,0)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
આપેલ ઉપવલય $x^2+4y^2=16$ છે,જેને $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$ તરીકે લખી શકાય.
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ સાથે સરખાવતા,$a=4$ અને $b=2$ મળે છે.
વર્તુળ ઉપવલયને અંદરની તરફ સ્પર્શતું હોવાથી,સ્પર્શબિંદુ $P$ આગળનો અભિલંબ વર્તુળના કેન્દ્ર $(1,0)$ માંથી પસાર થશે.
ધારો કે સ્પર્શબિંદુ $P(4\cos\theta, 2\sin\theta)$ છે.
ઉપવલયના અભિલંબનું સમીકરણ $ax\sec\theta - by\operatorname{cosec}\theta = a^2-b^2$ છે.
$a=4, b=2$ અને $a^2-b^2 = 12$ મૂકતા,$4x\sec\theta - 2y\operatorname{cosec\theta} = 12$ મળે.
આ અભિલંબ $(1,0)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$4(1)\sec\theta - 2(0)\operatorname{cosec\theta} = 12$,એટલે કે $4\sec\theta = 12$,તેથી $\sec\theta = 3$.
આમ,$\cos\theta = \frac{1}{3}$ અને $\sin\theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
બિંદુ $P$ એ $\left(\frac{4}{3}, \frac{4\sqrt{2}}{3}\right)$ છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(1,0)$ અને બિંદુ $P\left(\frac{4}{3}, \frac{4\sqrt{2}}{3}\right)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
$r^2 = \left(\frac{4}{3}-1\right)^2 + \left(\frac{4\sqrt{2}}{3}-0\right)^2 = \frac{1}{9} + \frac{32}{9} = \frac{33}{9} = \frac{11}{3}$.
તેથી,$r = \sqrt{\frac{11}{3}}$.

(B) આપેલ શાંકવનું સમીકરણ:
$a^2 x^2 + b^2 y^2 = a^2(a^2 + b^2 - y^2)$
$\Rightarrow a^2 x^2 + y^2(a^2 + b^2) = a^2(a^2 + b^2)$
$\frac{x^2}{a^2 + b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$
આ એક ઉપવલય છે જેની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{a^2}{a^2 + b^2}} = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ છે.
શાંકવની વ્યાખ્યા મુજબ,$SP = e \cdot PM$ થાય.
તેથી,$PM = \frac{1}{e} SP$.
આમ,$K = \frac{1}{e} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{b}$.

(B) અતિવલયનું સમીકરણ $S = 4x^2 - 3y^2 - 1 = 0$ છે.
અતિવલયના અંદરના ભાગમાં બિંદુ $(\alpha, \beta)$ હોવા માટેની શરત $S_1 < 0$ છે.
બિંદુ $(\alpha, -1)$ ને $S < 0$ માં મૂકતા:
$4\alpha^2 - 3(-1)^2 - 1 < 0$
$4\alpha^2 - 3 - 1 < 0$
$4\alpha^2 - 4 < 0$
$\alpha^2 < 1$
$-1 < \alpha < 1$
તેથી,$\alpha \in (-1, 1)$.

(D) સમીકરણ $\frac{x^2}{\alpha+3} + \frac{y^2}{2-\alpha} = 1$ અતિવલય દર્શાવે તે માટે $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકો વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોવા જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે તેમનો ગુણાકાર ઋણ હોવો જોઈએ:
$(\alpha+3)(2-\alpha) < 0$
બંને બાજુ $-1$ વડે ગુણતા અસમતાનું ચિહ્ન બદલાશે:
$(\alpha+3)(\alpha-2) > 0$
આ અસમતા ઉકેલતા,આપણને બીજ $\alpha = -3$ અને $\alpha = 2$ મળે છે.
આ પદાવલિ બીજની વચ્ચેના અંતરાલની બહાર ધન છે.
તેથી,$\alpha \in (-\infty, -3) \cup (2, \infty)$.

(D) અતિવલયના નાભિઓ $S(ae, 0)$ અને $S'(-ae, 0)$ છે.
$S$ માંથી પસાર થતા નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $A(ae, \frac{b^2}{a})$ અને $B(ae, -\frac{b^2}{a})$ છે.
$AB$ દ્વારા $S'$ આગળ આંતરેલો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.
ત્રિકોણ $\triangle AS'B$ સમદ્વિબાજુ હોવાથી,રેખા $S'S$ એ $\angle AS'B$ નો દ્વિભાજક છે,તેથી $\angle AS'S = 30^{\circ}$.
$S'A$ નો ઢાળ $\tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
તેથી,$\frac{b^2/a}{ae - (-ae)} = \frac{b^2}{2a^2e} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આનાથી $\frac{b^2}{a^2} = \frac{2e}{\sqrt{3}}$ મળે છે.
સંબંધ $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{b^2}{a^2} = e^2 - 1$ મળે.
બંને પદોને સરખાવતા: $e^2 - 1 = \frac{2e}{\sqrt{3}}$,જેનું સાદુરૂપ $\sqrt{3}e^2 - 2e - \sqrt{3} = 0$ થાય છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(\sqrt{3}e + 1)(e - \sqrt{3}) = 0$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e > 1$ હોવાથી,$e = \sqrt{3}$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $5x^2 - 6y^2 - 10x - 24y - 34 = 0$
પદોને ગોઠવતા: $5(x^2 - 2x) - 6(y^2 + 4y) = 34$
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $5(x^2 - 2x + 1) - 6(y^2 + 4y + 4) = 34 + 5 - 24$
$5(x - 1)^2 - 6(y + 2)^2 = 15$
$15$ વડે ભાગતા: $\frac{(x - 1)^2}{3} - \frac{(y + 2)^2}{2.5} = 1$
અહીં,$a^2 = 3$ અને $b^2 = 2.5 = \frac{5}{2}$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{5/2}{3}} = \sqrt{1 + \frac{5}{6}} = \sqrt{\frac{11}{6}}$.
નાભિઓ $(h \pm ae, k)$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $(h, k) = (1, -2)$.
$ae = \sqrt{3} \times \sqrt{\frac{11}{6}} = \sqrt{\frac{33}{6}} = \sqrt{\frac{11}{2}}$.
તેથી,નાભિઓ $\left(1 \pm \sqrt{\frac{11}{2}}, -2\right)$ છે.

(C) અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ છે.
આપેલ છે કે $e = \frac{5}{4}$,તેથી $1 + \frac{b^2}{a^2} = \left(\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{25}{16}$.
આમ,$\frac{b^2}{a^2} = \frac{25}{16} - 1 = \frac{9}{16}$,જેનો અર્થ છે કે $b^2 = \frac{9}{16} a^2$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = 9$ છે.
$b^2 = \frac{9}{16} a^2$ ને નાભિલંબના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{2}{a} \left(\frac{9}{16} a^2\right) = 9$
$\frac{9}{8} a = 9 \Rightarrow a = 8$.
હવે,$b^2 = \frac{9}{16} (8)^2 = \frac{9}{16} \times 64 = 36$,તેથી $b = 6$.
તેથી,$ab = 8 \times 6 = 48$.

(C) રેખા $x \cos \alpha + y \sin \alpha = P$ અને અતિવલય $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{36} = 1$ ના છેદબિંદુઓને ઉગમબિંદુ સાથે જોડતી રેખાઓનું સમીકરણ અતિવલયના સમીકરણને સમઘાત બનાવીને મેળવી શકાય છે: $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{36} = (\frac{x \cos \alpha + y \sin \alpha}{P})^2$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^2(\frac{1}{9} - \frac{\cos^2 \alpha}{P^2}) + y^2(-\frac{1}{36} - \frac{\sin^2 \alpha}{P^2}) - \frac{2xy \cos \alpha \sin \alpha}{P^2} = 0$ મળે છે.
રેખાઓ ઉગમબિંદુ આગળ કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ: $(\frac{1}{9} - \frac{\cos^2 \alpha}{P^2}) + (-\frac{1}{36} - \frac{\sin^2 \alpha}{P^2}) = 0$.
આ સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{12} - \frac{1}{P^2} = 0$ મળે,તેથી $P^2 = 12$.
અતિવલય $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{36} = 1$ માટે બિંદુ $(h, k)$ નો ધ્રુવ $\frac{xh}{9} - \frac{yk}{36} = 1$ છે.
આને $x \cos \alpha + y \sin \alpha = P$ સાથે સરખાવતા,$\frac{h/9}{\cos \alpha} = \frac{-k/36}{\sin \alpha} = \frac{1}{P}$ મળે.
તેથી,$\cos \alpha = \frac{Ph}{9}$ અને $\sin \alpha = -\frac{Pk}{36}$.
$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{P^2 h^2}{81} + \frac{P^2 k^2}{1296} = 1$ મળે છે.
$P^2 = 12$ મૂકતા,$\frac{12h^2}{81} + \frac{12k^2}{1296} = 1$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{4h^2}{27} + \frac{k^2}{108} = 1$ થાય છે.
$108$ વડે ગુણતા,$16h^2 + k^2 = 108$ મળે છે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $16x^2 + y^2 = 108$ છે.

(B) આપેલ લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\log x}{1-x}$ છે.
$x = 1$ મૂકતા,આપણને $\frac{\log 1}{1-1} = \frac{0}{0}$ સ્વરૂપ મળે છે.
$L'\text{Hospital's Rule}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\frac{d}{dx}(\log x)}{\frac{d}{dx}(1-x)} = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\frac{1}{x}}{-1}$.
$x \rightarrow 1$ લેતા:
$\frac{\frac{1}{1}}{-1} = -1$.

(D) આપેલ છે $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{3 x^2-a x+5 b}{x-2}=17$.
સીમા અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને છેદ $x \rightarrow 2$ તરીકે $0$ થાય છે,તેથી અંશ પણ $x=2$ આગળ $0$ થવો જોઈએ.
$3(2)^2 - a(2) + 5b = 0$ $\Rightarrow 12 - 2a + 5b = 0$ $\Rightarrow 2a - 5b = 12$.
એલ-હોસ્પિટલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\lim _{x \rightarrow 2} \frac{d}{dx}(3x^2 - ax + 5b) / \frac{d}{dx}(x-2) = 17$.
$\lim _{x}$ ${\rightarrow 2} (6x - a) = 17$ $\Rightarrow 6(2) - a = 17$ $\Rightarrow 12 - a = 17$ $\Rightarrow a = -5$.
$a = -5$ ને $2a - 5b = 12$ માં મૂકતા:
$2(-5) - 5b = 12$ $\Rightarrow -10 - 5b = 12$ $\Rightarrow -5b = 22$ $\Rightarrow b = -\frac{22}{5}$.
તેથી,$ab = (-5) \times (-\frac{22}{5}) = 22$.

(C) આપેલ છે $f(x) = -(\sin^2 x + \cos^5 x)$.
શોધવાનું છે: $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f'(x)}{x}$.
$f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f'(x) = -[2 \sin x \cos x + 5 \cos^4 x(-\sin x)]$
$f'(x) = -\sin x (2 \cos x - 5 \cos^4 x)$
હવે,લક્ષની કિંમત મેળવો:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f'(x)}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-\sin x (2 \cos x - 5 \cos^4 x)}{x}$
$= -(\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}) \times (\lim_{x \rightarrow 0} (2 \cos x - 5 \cos^4 x))$
$= -1 \times (2(1) - 5(1)^4)$
$= -1 \times (2 - 5) = -1 \times (-3) = 3$.
આમ,લક્ષનું અસ્તિત્વ છે અને તે $3$ છે.

(D) આપેલ લક્ષ: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2(2^x - \sin x - 1)}{3^x(1 - \cos x) - (1 - \cos x)}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2(2^x - \sin x - 1)}{(3^x - 1)(1 - \cos x)}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2^x - \sin x - 1}{(3^x - 1) \frac{(1 - \cos x)}{x^2}}$
કારણ કે $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$,પદ આ મુજબ બને છે:
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2(2^x - \sin x - 1)}{3^x - 1}$
એલ-હોસ્પિટલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2(2^x \ln 2 - \cos x)}{3^x \ln 3}$
$= \frac{2(\ln 2 - 1)}{\ln 3}$
$= \frac{2}{\log 3}(\log 2 - 1)$

(D) આપેલ લક્ષ: $\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{3|x|^3-x^2+2|x|-5}{-5|x|^3+3 x^2-2|x|+7}$
જ્યારે $x \rightarrow -\infty$,ત્યારે $|x| = -x$ થાય. ધારો કે $x = -t$,જ્યાં $t \rightarrow \infty$. તેથી $|x| = t$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$= \lim _{t \rightarrow \infty} \frac{3t^3 - (-t)^2 + 2t - 5}{-5t^3 + 3(-t)^2 - 2t + 7}$
$= \lim _{t \rightarrow \infty} \frac{3t^3 - t^2 + 2t - 5}{-5t^3 + 3t^2 - 2t + 7}$
અંશ અને છેદને $t^3$ વડે ભાગતા:
$= \lim _{t}$ ${\rightarrow \infty} \frac{3 - \frac{1}{t} + \frac{2}{t^2} - \frac{5}{t^3}}{-5 + \frac{3}{t} - \frac{2}{t^2} + \frac{7}{t^3}}$
જેમ $t \rightarrow \infty$,તેમ છેદમાં $t$ વાળા તમામ પદો $0$ ને અનુલક્ષે છે.
$= \frac{3 - 0 + 0 - 0}{-5 + 0 - 0 + 0} = -\frac{3}{5}$

(B) આપેલ છે,$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos 2 x}{x \tan 2 x+\frac{2 x}{3} \tan 3 x}$
નિત્યસમ $1-\cos 2x = 2 \sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin^2 x}{x \tan 2 x + \frac{2 x}{3} \tan 3 x}$
અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા:
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 (\frac{\sin x}{x})^2}{\frac{\tan 2 x}{x} + \frac{2}{3} \frac{\tan 3 x}{x}}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 (\frac{\sin x}{x})^2}{2 (\frac{\tan 2 x}{2 x}) + 2 (\frac{\tan 3 x}{3 x})}$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ અને $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan kx}{kx} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{2(1)^2}{2(1) + 2(1)} = \frac{2}{2+2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

(B) આપણે $\lim_{x \to 0^-} f(x)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$x \in (-1, 0)$ માટે,મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $[x] = -1$ થાય.
તેથી,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin[x]}{[x]}$.
$[x] = -1$ મૂકતા,આપણને $\frac{\sin(-1)}{-1}$ મળે.
$\sin(-\theta) = -\sin\theta$ હોવાથી,આપણને $\frac{-\sin 1}{-1} = \sin 1$ મળે છે.

(A) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin x - \sin 2x}{x^3}$ (જે $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં છે).
$L$-Hospital નિયમ લાગુ પાડતા:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \cos x - 2 \cos 2x}{3x^2}$ (જે $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં છે).
ફરીથી $L$-Hospital નિયમ લાગુ પાડતા:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{-2 \sin x + 4 \sin 2x}{6x}$ (જે $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં છે).
ફરીથી $L$-Hospital નિયમ લાગુ પાડતા:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{-2 \cos x + 8 \cos 2x}{6}$.
$x = 0$ મૂકતા:
$L = \frac{-2 \cos(0) + 8 \cos(0)}{6} = \frac{-2(1) + 8(1)}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

(B) આપેલ લક્ષ $L = \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\sqrt{\frac{1}{2}(1-\cos ^2 x)}}{x}$ છે.
નિત્યસમ $1-\cos ^2 x = \sin ^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\sqrt{\frac{1}{2} \sin ^2 x}}{x} = \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} |\sin x|}{x}$.
અહીં $x \rightarrow 0^{-}$,તેથી $x < 0$,જેનો અર્થ છે કે $\sin x < 0$. તેથી,$|\sin x| = -\sin x$.
$L = \frac{1}{\sqrt{2}} \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{-\sin x}{x} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\sin x}{x}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$,તેથી $L = -\frac{1}{\sqrt{2}} \times 1 = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.

(D) ધારો કે $f(x) = px^2 + qx + r$. $a$ અને $b$ એ બીજ હોવાથી,$f(x) = p(x - a)(x - b)$ થાય.
આપણે $L = \lim_{x \rightarrow b} \frac{1 - \cos 2(f(x))}{2(px - pb)^2}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$1 - \cos 2(f(x)) = 2 \sin^2(f(x))$ મળે.
તેથી,$L = \lim_{x \rightarrow b} \frac{2 \sin^2(f(x))}{2 p^2(x - b)^2} = \frac{1}{p^2} \lim_{x \rightarrow b} \left( \frac{\sin(f(x))}{x - b} \right)^2$.
$f(x) = p(x - a)(x - b)$ હોવાથી,$\frac{f(x)}{x - b} = p(x - a)$ થાય.
જ્યારે $x \rightarrow b$,ત્યારે $p(x - a) \rightarrow p(b - a)$ થાય.
આમ,$L = \frac{1}{p^2} \lim_{x \rightarrow b} \left( \frac{\sin(p(x - a)(x - b))}{p(x - a)(x - b)} \cdot p(x - a) \right)^2$.
$\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ હોવાથી,$L = \frac{1}{p^2} \cdot (p(b - a))^2 = \frac{p^2(b - a)^2}{p^2} = (b - a)^2$ મળે.
નોંધ: આપેલા વિકલ્પોમાં ભૂલ જણાય છે. $(b - a)^2$ એ $a^2 - 2ab + b^2$ ની બરાબર છે,જે વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ધારો કે $y = \lim _{n \rightarrow \infty} P\left(1+\frac{r}{100 n}\right)^{t n}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રમાણિત લક્ષનું સૂત્ર $\lim _{k \rightarrow \infty} (1+\frac{x}{k})^k = e^x$ છે.
અહીં,$k = n$ લેતા,પદાવલિ $P \left[ \lim _{n \rightarrow \infty} (1+\frac{r/100}{n})^n \right]^t$ બને છે.
લક્ષના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\lim _{n \rightarrow \infty} (1+\frac{r/100}{n})^n = e^{r/100}$.
તેથી,$y = P \left( e^{r/100} \right)^t = P e^{\frac{rt}{100}}$.

(B) આપેલ $10$ અવલોકનોનો મધ્યક $\bar{x} = 10$ છે:
$\frac{2+3+5+18+17+15+13+x+9+7}{10} = 10$
$\Rightarrow 89 + x = 100$
$\Rightarrow x = 11$
માહિતીનો સમૂહ ${2, 3, 5, 18, 17, 15, 13, 11, 9, 7}$ છે.
મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $\frac{1}{n} \sum |x_i - \bar{x}|$ તરીકે ગણવામાં આવે છે:

$x_i$	$|x_i - 10|$
$2$	$8$
$3$	$7$
$5$	$5$
$18$	$8$
$17$	$7$
$15$	$5$
$13$	$3$
$11$	$1$
$9$	$1$
$7$	$3$

નિરપેક્ષ વિચલનોનો સરવાળો $= 8+7+5+8+7+5+3+1+1+3 = 48$.
સરેરાશ વિચલન $= \frac{48}{10} = 4.8$.

(C) આપેલ માહિતી $50, 70, 60, B, 20, 40$ છે. વિસ્તાર એટલે મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમત વચ્ચેનો તફાવત,જે $65$ આપેલ છે.
કિસ્સો $1$: જો $B$ મહત્તમ કિંમત હોય,તો $B - 20 = 65$,જેનો અર્થ છે કે $B = 85$.
કિસ્સો $2$: જો $B$ ન્યૂનતમ કિંમત હોય,તો $70 - B = 65$,જેનો અર્થ છે કે $B = 5$.
$B$ માટે શક્ય કિંમતો $85$ અને $5$ છે.
આ કિંમતોનો તફાવત $|85 - 5| = 80$ થાય.

(B) પ્રથમ પાંચ એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $1, 3, 5, 7, 9$ છે. તેમનો મધ્યક $\bar{x} = \frac{1+3+5+7+9}{5} = \frac{25}{5} = 5$ છે.
સરેરાશ વિચલન $O = \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{5} = \frac{|1-5| + |3-5| + |5-5| + |7-5| + |9-5|}{5} = \frac{4+2+0+2+4}{5} = \frac{12}{5} = 2.4$ છે.
પ્રથમ પાંચ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $2, 3, 5, 7, 11$ છે. તેમનો મધ્યક $\bar{y} = \frac{2+3+5+7+11}{5} = \frac{28}{5} = 5.6$ છે.
સરેરાશ વિચલન $P = \frac{\sum |y_i - \bar{y}|}{5} = \frac{|2-5.6| + |3-5.6| + |5-5.6| + |7-5.6| + |11-5.6|}{5} = \frac{3.6 + 2.6 + 0.6 + 1.4 + 5.4}{5} = \frac{13.6}{5} = 2.72$ છે.
તેથી,$P - O = 2.72 - 2.4 = 0.32$.

(B) પ્રથમ $15$ બેકી પૂર્ણાંકો $2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{2+4+6+\dots+30}{15} = 16$.
મધ્યસ્થ $\tilde{x} = \left(\frac{15+1}{2}\right)^{\text{મું}}$ પદ $= 8^{\text{મું}}$ પદ $= 16$.
$M_1 = \text{મધ્યકથી સરેરાશ વિચલન} = \frac{\sum_{i=1}^{15} |x_i - \bar{x}|}{15} = \frac{112}{15}$.
મધ્યક અને મધ્યસ્થ સમાન હોવાથી,$M_2 = \text{મધ્યસ્થથી સરેરાશ વિચલન} = M_1 = \frac{112}{15}$.
તેથી,$M_1 + M_2 = \frac{112}{15} + \frac{112}{15} = \frac{224}{15}$.

(A) આપેલ માહિતીને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવતા: $4, 4, 7, 12, 14, 15, 15, 23$.
અહીં,પદોની સંખ્યા $n = 8$ છે,જે બેકી સંખ્યા છે.
તેથી,મધ્યસ્થ એ $4$ થા અને $5$ થા પદની સરેરાશ થશે.
મધ્યસ્થ $= \frac{12 + 14}{2} = \frac{26}{2} = 13$.
હવે,મધ્યસ્થની સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલનનું સૂત્ર $\frac{\sum |x_i - \text{Median}|}{n}$ નો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરીએ.

$x_i$	$|x_i - 13|$
$4$	$9$
$4$	$9$
$7$	$6$
$12$	$1$
$14$	$1$
$15$	$2$
$15$	$2$
$23$	$10$

નિપેક્ષ વિચલનોનો સરવાળો $\sum |d_i| = 9 + 9 + 6 + 1 + 1 + 2 + 2 + 10 = 40$.
મધ્યસ્થની સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $= \frac{40}{8} = 5$.

(D) આપેલ છે,$\angle B = \frac{\pi}{4}$,$\angle C = \frac{\pi}{3}$.
$\triangle ABC$ માં,$\angle A = \pi - (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}) = \frac{5\pi}{12} = 75^{\circ}$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,$c = 2R \sin C$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = 2R^2 \sin A \sin B \sin C = 18(3 + \sqrt{3})$.
કિંમતો મૂકતા,$R^2 \frac{3 + \sqrt{3}}{4} = 18(3 + \sqrt{3})$ $\Rightarrow R^2 = 72$ $\Rightarrow R = 6\sqrt{2}$.
તેથી,$a = 2R \sin A = 2(6\sqrt{2}) \sin 75^{\circ} = 6(\sqrt{3} + 1)$.

(A) આપણે $\frac{\cos^2 \left( \frac{B - C}{2} \right)}{(b + c)^2} + \frac{\sin^2 \left( \frac{B - C}{2} \right)}{(b - c)^2}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$b = 2R \sin B$ અને $c = 2R \sin C$,જ્યાં $R$ એ પરિત્રિજ્યા છે.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\cos^2 \left( \frac{B - C}{2} \right)}{(2R(\sin B + \sin C))^2} + \frac{\sin^2 \left( \frac{B - C}{2} \right)}{(2R(\sin B - \sin C))^2}$
$= \frac{1}{4R^2} \left[ \frac{\cos^2 \left( \frac{B - C}{2} \right)}{(2 \sin \frac{B+C}{2} \cos \frac{B-C}{2})^2} + \frac{\sin^2 \left( \frac{B - C}{2} \right)}{(2 \cos \frac{B+C}{2} \sin \frac{B-C}{2})^2} \right]$
$= \frac{1}{4R^2} \left[ \frac{1}{4 \sin^2 \frac{B+C}{2}} + \frac{1}{4 \cos^2 \frac{B+C}{2}} \right]$
$= \frac{1}{16R^2} \left[ \frac{\cos^2 \frac{B+C}{2} + \sin^2 \frac{B+C}{2}}{\sin^2 \frac{B+C}{2} \cos^2 \frac{B+C}{2}} \right]$
$= \frac{1}{16R^2} \left[ \frac{1}{\sin^2 \frac{B+C}{2} \cos^2 \frac{B+C}{2}} \right] = \frac{1}{4R^2} \left[ \frac{1}{\sin^2 (B+C)} \right]$
કારણ કે $A+B+C = \pi$,તેથી $\sin(B+C) = \sin(\pi - A) = \sin A$.
આમ,પદાવલિ $\frac{1}{4R^2 \sin^2 A} = \frac{1}{(2R \sin A)^2} = \frac{1}{a^2}$ થાય છે.

(D) આપેલ પદ $\frac{1+\cos(A-B) \cdot \cos C}{1+\cos(A-C) \cdot \cos B}$ છે.
$A+B+C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$C = 180^{\circ} - (A+B)$ અને $B = 180^{\circ} - (A+C)$ થાય.
તેથી,$\cos C = -\cos(A+B)$ અને $\cos B = -\cos(A+C)$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{1 - \cos(A-B)\cos(A+B)}{1 - \cos(A-C)\cos(A+C)}$
નિત્યસમ $\cos(x-y)\cos(x+y) = \cos^2 x - \sin^2 y$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1 - (\cos^2 A - \sin^2 B)}{1 - (\cos^2 A - \sin^2 C)}$
$= \frac{1 - \cos^2 A + \sin^2 B}{1 - \cos^2 A + \sin^2 C}$
$= \frac{\sin^2 A + \sin^2 B}{\sin^2 A + \sin^2 C}$
સાઇનના નિયમ $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$ મુજબ,$\sin A = \frac{a}{k}, \sin B = \frac{b}{k}, \sin C = \frac{c}{k}$ થાય.
$= \frac{(a/k)^2 + (b/k)^2}{(a/k)^2 + (c/k)^2} = \frac{a^2+b^2}{a^2+c^2}$.

(A) આપેલ છે કે $a, b, c$ ત્રણ ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે જ્યાં $a < b < c$,તેથી $a = b - 1$ અને $c = b + 1$.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$(\cos A + \cos B + \cos C) 2abc = a(b^2 + c^2 - a^2) + b(a^2 + c^2 - b^2) + c(a^2 + b^2 - c^2)$.
$a = b - 1$ અને $c = b + 1$ મૂકતા:
$= (b - 1)(b^2 + (b + 1)^2 - (b - 1)^2) + b((b - 1)^2 + (b + 1)^2 - b^2) + (b + 1)((b - 1)^2 + b^2 - (b + 1)^2)$
$= (b - 1)(b^2 + 4b) + b(b^2 + 2) + (b + 1)(b^2 - 4b)$
$= 3b^3 - 6b = 3b(b^2 - 2)$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\left(1+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{b}-\frac{a}{b}\right) = \left(\frac{c+a+b}{c}\right)\left(\frac{b+c-a}{b}\right)$
$= \frac{(b+c)^2-a^2}{bc} = \frac{b^2+c^2-a^2+2bc}{bc}$
$= \frac{b^2+c^2-a^2}{bc} + 2 = 2\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right) + 2$
$= 2\cos A + 2$
કારણ કે $A+B+C = 180^{\circ}$ અને $B+C = 72^{\circ}$,તેથી $A = 180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ}$.
તેથી,પદાવલિ $2\cos 108^{\circ} + 2 = 2\cos(90^{\circ} + 18^{\circ}) + 2$
$= -2\sin 18^{\circ} + 2 = -2\left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right) + 2$
$= \frac{1-\sqrt{5}}{2} + 2 = \frac{1-\sqrt{5}+4}{2} = \frac{5-\sqrt{5}}{2}$.

(A) આપેલ છે,$a \cos^2 \frac{C}{2} + c \cos^2 \frac{A}{2} = \frac{3b}{2}$
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a \left( \frac{1 + \cos C}{2} \right) + c \left( \frac{1 + \cos A}{2} \right) = \frac{3b}{2}$
$2$ વડે ગુણતા:
$a(1 + \cos C) + c(1 + \cos A) = 3b$
$a + a \cos C + c + c \cos A = 3b$
$(a + c) + (a \cos C + c \cos A) = 3b$
પ્રક્ષેપના નિયમ મુજબ,$a \cos C + c \cos A = b$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(a + c) + b = 3b$
$a + c = 2b$

(B) પ્રોજેક્શન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $b = c \cos A + a \cos C$ અને $c = b \cos A + a \cos B$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મુકતા:
$\frac{b - c \cos A}{c - b \cos A} = \frac{(c \cos A + a \cos C) - c \cos A}{(b \cos A + a \cos B) - b \cos A}$
$= \frac{a \cos C}{a \cos B}$
$= \frac{\cos C}{\cos B}$

(B) ધારો કે $\triangle ABC$ ના ખૂણાઓ $(A-d), A, (A+d)$ છે.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી:
$(A-d) + A + (A+d) = 180^{\circ}$
$3A = 180^{\circ} \Rightarrow A = 60^{\circ}$.
ખૂણા $A$ માટે કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$
$\cos 60^{\circ} = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$
$\frac{1}{2} = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$
$bc = b^2+c^2-a^2$
$a^2 = b^2+c^2-bc$.
આમ,સાચો સંબંધ $a^2 = b^2+c^2-bc$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{1}{a+b} + \frac{1}{c+a} = \frac{3}{a+b+c}$
બંને બાજુ $(a+b+c)$ વડે ગુણતા:
$\frac{a+b+c}{a+b} + \frac{a+b+c}{c+a} = 3$
$1 + \frac{c}{a+b} + 1 + \frac{b}{c+a} = 3$
$\frac{c}{a+b} + \frac{b}{c+a} = 1$
$c(c+a) + b(a+b) = (a+b)(c+a)$
$c^2 + ac + ab + b^2 = ac + a^2 + bc + ab$
$b^2 + c^2 - a^2 = bc$
કોસાઇન નિયમ મુજબ: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$
$\cos A = \frac{bc}{2bc} = \frac{1}{2}$
તેથી,$A = 60^{\circ}$
આમ,$\sin A = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(A) ધારો કે ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુઓ $a, b, c$ એકમ છે અને અનુરૂપ વેધની લંબાઈ $h_1, h_2, h_3$ છે.
પરિમિતિ $a + b + c = 2S$ અને ક્ષેત્રફળ $P = \frac{1}{2}(ah_1) = \frac{1}{2}(bh_2) = \frac{1}{2}(ch_3)$ છે.
તેથી $h_1 = \frac{2P}{a}, h_2 = \frac{2P}{b}, h_3 = \frac{2P}{c}$ મળે.
હવે,$P^2 \left[ \frac{(h_1 h_2 + h_2 h_3 + h_3 h_1)^2}{h_1^2 h_2^2 h_3^2} - 2 \right]$ માં કિંમતો મૂકતા:
$= P^2 \left[ \frac{(\frac{4P^2}{ab} + \frac{4P^2}{bc} + \frac{4P^2}{ca})^2}{(\frac{8P^3}{abc})^2} - 2 \right]$
$= P^2 \left[ \frac{16P^4 (\frac{2S}{abc})^2}{\frac{64P^6}{a^2b^2c^2}} - 2 \right] = S^2 - 2P^2$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}$ અને $\cot \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)}}$.
તેમનો ગુણાકાર કરતા,$\cot \frac{A}{2} \cot \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s^2}{(s-c)^2}} = \frac{s}{s-c} = K$.
અહીં $K = 1 + \frac{c}{s-c} = 1 + \frac{2c}{a+b-c}$.
ત્રિકોણની અસમતા મુજબ $a+b > c$ હોવાથી $a+b-c > 0$,તેથી $K > 1$.
જ્યારે $C \to 180^{\circ}$,ત્યારે $K \to \infty$.
તેથી,$K$ નો વિસ્તાર $(1, \infty)$ છે.

(D) આપેલ છે,$4 \Delta = c^2 - (a - b)^2$.
નિત્યસમ $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$4 \Delta = (c - a + b)(c + a - b)$.
$4$ વડે ભાગતા:
$\Delta = \left(\frac{b + c - a}{2}\right) \left(\frac{a + c - b}{2}\right) = (s - a)(s - b)$,જ્યાં $s$ એ અર્ધ-પરિમિતિ છે.
હેરોનના સૂત્ર મુજબ,$\Delta = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$.
તેથી,$\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = (s - a)(s - b)$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $s(s - a)(s - b)(s - c) = (s - a)^2(s - b)^2$.
$\frac{s(s - c)}{(s - a)(s - b)} = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan^2\left(\frac{C}{2}\right) = \frac{(s - a)(s - b)}{s(s - c)}$.
તેથી,$\tan^2\left(\frac{C}{2}\right) = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\tan\left(\frac{C}{2}\right) = 1$.
$\frac{C}{2} = \frac{\pi}{4} \Rightarrow C = \frac{\pi}{2}$.
આમ,$\sin C = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}}$ અને $\tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}$.
તેમનો ગુણાકાર કરતા,$\tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)} \cdot \frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}} = \sqrt{\frac{(s-a)^2}{s^2}} = \frac{s-a}{s}$.
$s = \frac{a+b+c}{2}$ મૂકતા,$\frac{s-a}{s} = \frac{\frac{a+b+c}{2} - a}{\frac{a+b+c}{2}} = \frac{b+c-a}{b+c+a}$.
આપેલ છે કે $b+c = 4a$,તેથી:
$\frac{4a-a}{4a+a} = \frac{3a}{5a} = \frac{3}{5}$.

(A) આપેલ છે કે $r r_2 = r_1 r_3$.
સૂત્રો $r = \frac{\Delta}{s}$,$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left(\frac{\Delta}{s}\right) \left(\frac{\Delta}{s-b}\right) = \left(\frac{\Delta}{s-a}\right) \left(\frac{\Delta}{s-c}\right)$
$\Rightarrow s(s-b) = (s-a)(s-c)$
આ સમીકરણ ઉકેલતા આપણને $B = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
તેથી,$\cos 2B = \cos \pi = -1$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}$ અને $\cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}$.
તેમનો ગુણાકાર કરતા,$\cot \frac{A}{2} \cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s^2}{(s-b)^2}} = \frac{s}{s-b}$.
$s = \frac{a+b+c}{2}$ હોવાથી,$2s = a+b+c$.
તેથી,$\frac{s}{s-b} = \frac{2s}{2s-2b} = \frac{a+b+c}{a+b+c-2b} = \frac{(a+c)+b}{(a+c)-b}$.
આપેલ છે કે $a+c=5b$,તેથી $\frac{5b+b}{5b-b} = \frac{6b}{4b} = \frac{3}{2}$.

(B) આપેલ ત્રિકોણની બાજુઓ $a=12, b=16, c=20$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{12+16+20}{2} = 24$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{24(12)(8)(4)} = 96$.
બહિઃત્રિજ્યાઓ $r_A = \frac{\Delta}{s-a}, r_B = \frac{\Delta}{s-b}, r_C = \frac{\Delta}{s-c}$ છે.
$r_C = \frac{96}{4} = 24, r_B = \frac{96}{8} = 12, r_A = \frac{96}{12} = 8$.
ગુણોત્તર $r_C : r_B : r_A = 24 : 12 : 8 = 6 : 3 : 2$.