मान लीजिए कि f और g वास्तविक मान वाले फलन हैं | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=1$,$\lim _{x \rightarrow 0} g(x)=\alpha$ और $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 f(x)-g(x)}{(f(x)+7)^{2 /

Vedclass · Accepted Answer

$\left[0, \frac{\pi}{5}\right]$ पर सतत है

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है कि $\lim _{x ightarrow 0} f(x)=1$,$\lim _{x ightarrow 0} g(x)=\alpha$ और $\lim _{x ightarrow 0} \frac{2 f(x)-g(x)}{(f(x)+7)^{2 / 3}}=\frac{7}{4}$.सीमाओं का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{2(1)-\alpha}{(1+7)^{2 / 3}}=\frac{7}{4}$.$\Rightarrow \frac{2-\alpha}{8^{2 / 3}}=\frac{7}{4} \Rightarrow \frac{2-\alpha}{4}=\frac{7}{4} \Rightarrow 2-\alpha=7 \Rightarrow \alpha=-5$.अब,$h(x)= \begin{cases} \sin (-5x), & 0 \leq x \leq \frac{\pi}{10} \ \cos (-10x), & \frac{\pi}{10} चूंकि $\sin (-5x)$ और $\cos (-10x)$ सतत फलन हैं,हमें केवल $x=\frac{\pi}{10}$ पर सांतत्य की जांच करने की आवश्यकता है।$LHL = \lim _{x ightarrow \frac{\pi}{10}^-} \sin (-5x) = \sin \left(-\frac{5\pi}{10}ight) = \sin \left(-\frac{\pi}{2}ight) = -1$.$h\left(\frac{\pi}{10}ight) = \sin \left(-\frac{5\pi}{10}ight) = -1$.$RHL = \lim _{x ightarrow \frac{\pi}{10}^+} \cos (-10x) = \cos \left(-\frac{10\pi}{10}ight) = \cos (-\pi) = -1$.चूंकि $LHL = RHL = h\left(\frac{\pi}{10}ight)$,फलन $h(x)$ बिंदु $x=\frac{\pi}{10}$ पर सतत है।अतः,$h(x)$ अंतराल $\left[0, \frac{\pi}{5}ight]$ पर सतत है।

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मान लीजिए $S_n = 1 + 3x + 9x^2 + 27x^3 + \ldots$ ($n$ पद) और $-\frac{1}{3} < x < \frac{1}{3}$ है। यदि $\lim_{n \rightarrow \infty} S_n = f(x)$ है,तो $f(x)$ बिंदु $x =$ पर असंतत है।

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