TS EAMCET 2019 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) माना मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरने वाले चर वृत्त $S=0$ का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy=0$ है।
चूंकि वृत्त रेखा $x-y=0$ को स्पर्श करता है,केंद्र $(-g, -f)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $\sqrt{g^2+f^2}$ के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{|-g+f|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \sqrt{g^2+f^2} \Rightarrow \frac{(g-f)^2}{2} = g^2+f^2$.
$g^2+f^2-2gf = 2g^2+2f^2$ $\Rightarrow g^2+f^2+2gf = 0$ $\Rightarrow (g+f)^2 = 0$ $\Rightarrow f = -g$.
$f = -g$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर,$S = x^2+y^2+2gx-2gy = 0$ प्राप्त होता है।
$S=0$ और $x^2+y^2+6x+8y-7=0$ की उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x^2+y^2+2gx-2gy) - (x^2+y^2+6x+8y-7) = 0$.
$(2g-6)x - (2g+8)y + 7 = 0$.
$2g(x-y) - (6x+8y-7) = 0$.
यह रेखाओं का एक परिवार है जो $x-y=0$ और $6x+8y-7=0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरता है।
इन समीकरणों को हल करने पर: $x=y$,अतः $6x+8x-7=0$ $\Rightarrow 14x=7$ $\Rightarrow x=\frac{1}{2}$.
अतः,स्थिर बिंदु $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ है।

(A) दिया गया वृत्त $S^{\prime} \equiv x^2+y^2-2x+2y-7=0$ है।
केंद्र $C_1(1, -1)$ और त्रिज्या $r_1 = 3$ है।
रेखाएँ $5x^2-xy-5x+y=0$ अर्थात $(x-1)(5x-y)=0$ हैं।
अतः,$S=0$ का केंद्र $C_2(1, 5)$ है।
बाह्य रूप से स्पर्श करने के कारण,$C_1C_2 = r_1 + r_2$ $\Rightarrow 6 = 3 + r_2$ $\Rightarrow r_2 = 3$।
$S=0$ का समीकरण: $(x-1)^2 + (y-5)^2 = 9 \Rightarrow x^2 + y^2 - 2x - 10y + 17 = 0$।
$C_1(1, -1)$ के लिए स्पर्श जीवा का समीकरण $T=0$ है।
$x(1) + y(-1) - 1(x+1) - 5(y-1) + 17 = 0$।
$-6y + 21 = 0 \Rightarrow 2y-7=0$।

(D) दिया गया वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-4x+2y+3=0$ है।
तुलना करने पर,केंद्र $(2, -1)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{4+1-3} = \sqrt{2}$ प्राप्त होती है।
यदि स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है,तो $P$ का बिंदुपथ निर्देशक वृत्त (director circle) होता है।
निर्देशक वृत्त का समीकरण $(x-h)^2+(y-k)^2 = 2r^2$ है।
मान रखने पर: $(x-2)^2+(y+1)^2 = 2(\sqrt{2})^2 = 4$.
सरल करने पर: $x^2+y^2-4x+2y+1 = 0$.
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(C) कथन $I$ के लिए: $x = ly^2 + my + n \Rightarrow x - n = l(y^2 + \frac{m}{l}y) \Rightarrow x - n + \frac{m^2}{4l} = l(y + \frac{m}{2l})^2 \Rightarrow (y + \frac{m}{2l})^2 = \frac{1}{l}(x - (n - \frac{m^2}{4l}))$. शीर्ष $(n - \frac{m^2}{4l}, -\frac{m}{2l})$ है। अतः,कथन $I$ सत्य है।
कथन $II$ के लिए: $y = lx^2 + mx + n \Rightarrow y - n = l(x^2 + \frac{m}{l}x) \Rightarrow y - n + \frac{m^2}{4l} = l(x + \frac{m}{2l})^2 \Rightarrow (x + \frac{m}{2l})^2 = \frac{1}{l}(y - (n - \frac{m^2}{4l}))$. यहाँ $4a = \frac{1}{l} \Rightarrow a = \frac{1}{4l}$. नाभि $(h, k+a) = (-\frac{m}{2l}, n - \frac{m^2-1}{4l})$ है। प्रश्न में दी गई नाभि गलत है। अतः,कथन $II$ असत्य है।
कथन $III$ के लिए: परवलय $x^2 = 4ay$ के सापेक्ष रेखा $lx + my + n = 0$ का ध्रुव $(-\frac{2al}{m}, -\frac{n}{m})$ होता है। अतः कथन $III$ भी असत्य है।

(A) के लिए: माना $x = \frac{p}{2}\left(t+\frac{1}{t}\right)$ और $y = \frac{q}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)$.
$\Rightarrow \frac{2x}{p} = t+\frac{1}{t}$ और $\frac{2y}{q} = t-\frac{1}{t}$.
वर्ग करके घटाने पर: $\left(\frac{2x}{p}\right)^2 - \left(\frac{2y}{q}\right)^2 = \left(t+\frac{1}{t}\right)^2 - \left(t-\frac{1}{t}\right)^2 = 4$.
$\Rightarrow \frac{x^2}{p^2} - \frac{y^2}{q^2} = 1$,जो एक अतिपरवलय को दर्शाता है। अतः,$(A \rightarrow IV)$.
$(B)$ के लिए: माना $x = p+q \cos \theta$ और $y = r+q \sin \theta$.
$\Rightarrow (x-p) = q \cos \theta$ और $(y-r) = q \sin \theta$.
वर्ग करके जोड़ने पर: $(x-p)^2 + (y-r)^2 = q^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = q^2$.
यह एक वृत्त को दर्शाता है। अतः,$(B \rightarrow II)$.
$(C)$ के लिए: माना $x = p+\lambda^2$ और $y = q-\lambda$.
$\Rightarrow \lambda = q-y$.
$x$ में $\lambda$ का मान रखने पर: $x = p + (q-y)^2$.
$\Rightarrow (y-q)^2 = x-p$,जो एक परवलय को दर्शाता है। अतः,$(C \rightarrow I)$.
अतः,सही मिलान $(A$ $\rightarrow IV, B$ $\rightarrow II, C$ $\rightarrow I)$ है।

(A) परवलय का समीकरण $y^2=4ax$ है,जहाँ $4a=4$,इसलिए $a=1$ है।
रेखा $y=mx+c$ के परवलय $y^2=4ax$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c = \frac{a}{m}$ है।
दी गई रेखा $y=mx+1$ के लिए,$c=1$ है।
मान रखने पर,हमें $1 = \frac{1}{m}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $m=1$।

(B) दिए गए परवलय का समीकरण $y^2=4ax$ है,जिसका शीर्ष $V(0,0)$ है।
परवलय पर एक बिंदु $P(at^2, 2at)$ मान लीजिए।
$V(0,0)$ और $P(at^2, 2at)$ को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $\frac{2at-0}{at^2-0} = \tan \theta$ है।
सरल करने पर,$\frac{2}{t} = \tan \theta$,जिसका अर्थ है $t = 2 \cot \theta$।
रेखाखंड $VP$ की लंबाई $\sqrt{(at^2)^2 + (2at)^2} = a|t|\sqrt{t^2+4}$ है।
$t = 2 \cot \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$VP = 2a \cot \theta \cdot 2 \sqrt{\cot^2 \theta + 1} = 4a \cot \theta \operatorname{cosec} \theta = \frac{4a \cos \theta}{\sin^2 \theta}$।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) दिया गया है: $C_1: y^2=4x$,जहाँ $a=1$ है।
$C_2: x^2+y^2-6x+1=0$,जिसका केंद्र $(3,0)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{3^2+0^2-1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ है।
$C_1$ के लिए स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{1}{m}$ या $m^2x - my + 1 = 0$ है।
चूंकि यह $C_2$ की भी स्पर्श रेखा है,केंद्र $(3,0)$ से इस रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $2\sqrt{2}$ के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{|3m^2+1|}{\sqrt{m^4+m^2}} = 2\sqrt{2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(3m^2+1)^2 = 8(m^4+m^2)$
$m^4 - 2m^2 + 1 = 0$ $\Rightarrow (m^2-1)^2 = 0$ $\Rightarrow m = \pm 1$।
$m=1$ के लिए स्पर्श रेखा $x - y + 1 = 0$ और $m=-1$ के लिए $x + y + 1 = 0$ प्राप्त होती है।
ढाल का गुणनफल $1 \cdot (-1) = -1$ है,इसलिए स्पर्श रेखाएँ लंबवत हैं।
अतः,कथन और कारण दोनों सत्य हैं और कारण,कथन की सही व्याख्या है।

(A) परवलय का समीकरण $y^2 = 12x$ है,जो $y^2 = 4ax$ के रूप में है,इसलिए $a = 3$ है।
बिंदु $P(3, 6)$ के लिए $at^2 = 3$ और $2at = 6$ है। $a = 3$ रखने पर,$3t^2 = 3 \implies t = 1$ प्राप्त होता है।
$t$ पर अभिलंब जीवा की लंबाई $l_1 = 2a(t^2+2) \sqrt{t^2+1}$ है। $t = 1$ के लिए,$l_1 = 2(3)(1+2) \sqrt{1+1} = 18 \sqrt{2}$ है।
$P(at^2, 2at)$ से गुजरने वाली नाभीय जीवा की लंबाई $l_2 = a(t + \frac{1}{t})^2$ है। $t = 1$ के लिए,$l_2 = 3(1 + 1)^2 = 12$ है।
अतः,$\frac{l_1}{l_2} = \frac{18 \sqrt{2}}{12} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$.

(B) दिए गए परवलय $y^2=16x$ के लिए, $4a=16$ है, अतः $a=4$ है।
नाभिलंब के सिरे $(4, 8)$ और $(4, -8)$ हैं।
बिंदु $(4, 8)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = 1$ है, इसलिए अभिलंब की ढाल $m_n = -1$ है।
बिंदु $(4, 8)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 8 = -1(x - 4) \implies y = -x + 12$ है।
यह अभिलंब $X$-अक्ष को बिंदु $P(12, 0)$ पर काटता है।
जीवा बिंदु $P(12, 0)$ से होकर गुजरती है और अभिलंब के लंबवत है, इसलिए जीवा की ढाल $1$ है।
जीवा का समीकरण $y = x - 12$ है।
$y = x - 12$ को $y^2 = 16x$ में रखने पर, $(x - 12)^2 = 16x \implies x^2 - 40x + 144 = 0$ प्राप्त होता है।
हल करने पर $x = 4$ और $x = 36$ प्राप्त होते हैं।
अतः बिंदु $(4, -8)$ और $(36, 24)$ हैं।
जीवा की लंबाई $\sqrt{(36 - 4)^2 + (24 - (-8))^2} = \sqrt{32^2 + 32^2} = 32 \sqrt{2}$ है।

(D) परवलय का समीकरण $y^2 = 16x$ है। इसे $y^2 = 4ax$ से तुलना करने पर,$a = 4$ प्राप्त होता है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए $m$ ढाल वाले अभिलंब का समीकरण $y = mx - 2am - am^3$ होता है।
$a = 4$ रखने पर,अभिलंब का समीकरण $y = mx - 8m - 4m^3$ प्राप्त होता है।
दी गई रेखा $y = -x + k$ अभिलंब है,अतः ढाल की तुलना करने पर $m = -1$ प्राप्त होता है।
$m = -1$ को अभिलंब के समीकरण में रखने पर:
$y = (-1)x - 8(-1) - 4(-1)^3$
$y = -x + 8 + 4$
$y = -x + 12$
इसकी तुलना $y = -x + k$ से करने पर,$k = 12$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया परवलय $y^2=4x$ है,जो $y^2=4ax$ के रूप में है। तुलना करने पर,हमें $a=1$ प्राप्त होता है।
परवलय $y^2=4ax$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y=mx+\frac{a}{m}$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा $(1,4)$ से गुजरती है,इसलिए $4=m(1)+\frac{1}{m}$ है।
$m$ से गुणा करने पर,हमें $m^2-4m+1=0$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $m_1$ और $m_2$ दो स्पर्श रेखाओं की ढाल हैं। अतः $m_1+m_2=4$ और $m_1m_2=1$ है।
स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
सर्वसमिका $|m_1-m_2| = \sqrt{(m_1+m_2)^2-4m_1m_2}$ का उपयोग करने पर,$\tan \theta = \frac{\sqrt{4^2-4(1)}}{1+1} = \frac{\sqrt{12}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$।

(D) माना $P(t_1^2, 2t_1)$ और $Q(t_2^2, 2t_2)$ जीवा के अंतिम बिंदु हैं।
माना बिंदु $R(h, k)$ जीवा $PQ$ को $1:3$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$h = \frac{1 \cdot t_2^2 + 3 \cdot t_1^2}{1+3} = \frac{t_2^2 + 3t_1^2}{4}$
$k = \frac{1 \cdot 2t_2 + 3 \cdot 2t_1}{1+3} = \frac{2t_2 + 6t_1}{4} = \frac{t_2 + 3t_1}{2}$
जीवा $PQ$ की ढाल $2$ दी गई है:
$\frac{2t_2 - 2t_1}{t_2^2 - t_1^2} = 2$
$\frac{2(t_2 - t_1)}{(t_2 - t_1)(t_2 + t_1)} = 2$
$\frac{2}{t_2 + t_1} = 2 \Rightarrow t_1 + t_2 = 1 \Rightarrow t_2 = 1 - t_1$
$t_2 = 1 - t_1$ का मान $h$ और $k$ में रखने पर:
$k = \frac{(1 - t_1) + 3t_1}{2} = \frac{2t_1 + 1}{2} = t_1 + \frac{1}{2} \Rightarrow t_1 = k - \frac{1}{2}$
$4h = 3t_1^2 + (1 - t_1)^2 = 3t_1^2 + 1 - 2t_1 + t_1^2 = 4t_1^2 - 2t_1 + 1$
$t_1 = k - \frac{1}{2}$ का मान $4h$ के समीकरण में रखने पर:
$4h = 4(k - \frac{1}{2})^2 - 2(k - \frac{1}{2}) + 1$
$4h = 4(k^2 - k + \frac{1}{4}) - 2k + 1 + 1$
$4h = 4k^2 - 4k + 1 - 2k + 2 = 4k^2 - 6k + 3$
$h = k^2 - \frac{3}{2}k + \frac{3}{4}$
$k^2 - \frac{3}{2}k = h - \frac{3}{4}$
$(k - \frac{3}{4})^2 = h - \frac{3}{4} + \frac{9}{16} = h - \frac{3}{16}$
$(y - k_0)^2 = 4a(x - h_0)$ से तुलना करने पर,शीर्ष $\left(\frac{3}{16}, \frac{3}{4}\right)$ प्राप्त होता है।

(C) दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार,बिंदु $P(x, y)$ की नाभि $S(1, -2)$ से दूरी,नियता $x+y-2=0$ से दूरी की $e$ गुना होती है।
$(x-1)^2 + (y+2)^2 = e^2 \frac{(x+y-2)^2}{1^2+1^2}$
$2(x^2 - 2x + 1 + y^2 + 4y + 4) = e^2(x^2 + y^2 + 4 + 2xy - 4x - 4y)$
$(2-e^2)x^2 - 2e^2xy + (2-e^2)y^2 + (4e^2-4)x + (8+4e^2)y + (10-4e^2) = 0$
इस समीकरण की तुलना दिए गए समीकरण $17x^2 - 2xy + 17y^2 - 32x + 76y + 86 = 0$ से करने पर:
$\frac{2-e^2}{17} = \frac{-2e^2}{-2} = \frac{4e^2-4}{-32}$
$\frac{2-e^2}{17} = e^2$ लेने पर:
$2 - e^2 = 17e^2$ $\Rightarrow 18e^2 = 2$ $\Rightarrow e^2 = \frac{1}{9}$ $\Rightarrow e = \frac{1}{3}$.

(C) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
नाभियों के निर्देशांक $A(-ae, 0)$ और $B(ae, 0)$ हैं और अर्ध-लघु अक्ष का अंतिम बिंदु $T(0, b)$ है।
$AT$ की ढाल $m_1 = \frac{b}{ae}$ है और $BT$ की ढाल $m_2 = -\frac{b}{ae}$ है।
चूँकि $\angle ATB = 90^{\circ}$ है,इसलिए ढालों का गुणनफल $-1$ होगा:
$\left(\frac{b}{ae}\right) \left(-\frac{b}{ae}\right) = -1$.
$\Rightarrow \frac{b^2}{a^2 e^2} = 1$ $\Rightarrow b^2 = a^2 e^2$.
हम जानते हैं कि दीर्घवृत्त के लिए,$b^2 = a^2(1 - e^2)$ होता है।
$b^2 = a^2 e^2$ को समीकरण में रखने पर:
$a^2 e^2 = a^2(1 - e^2)$.
$e^2 = 1 - e^2
$ $\Rightarrow 2e^2 = 1
$ $\Rightarrow e^2 = \frac{1}{2}
$ $\Rightarrow e = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) माना आयत $ABCD$ की विमाएँ $2a$ और $2b$ हैं। दीर्घवृत्त का केंद्र मूल बिंदु $O(0,0)$ है।
विकर्णों के बीच का कोण $2\theta$ है। आयत की ज्यामिति से,$\tan \theta = \frac{b}{a}$ है।
विकर्णों के बीच का कोण $\tan(2\theta) = 4\sqrt{3}$ दिया गया है।
सूत्र $\tan(2\theta) = \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर:
$4\sqrt{3} = \frac{2(b/a)}{1-(b/a)^2}$
$2\sqrt{3} = \frac{b/a}{1-(b/a)^2}$
माना $k = b/a$ है। तब $2\sqrt{3}k^2 + k - 2\sqrt{3} = 0$ प्राप्त होता है।
इस द्विघात समीकरण को हल करने पर,$k = \frac{\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - k^2}$ है।
$e = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{2}$ है।
अतः,विकल्प $(b)$ सही है।

(B) $X$-अक्ष के लंबवत रेखा $x = 3 \cos \alpha$ लें। वृत्त $x^2+y^2=9$ पर बिंदु $A$ $(3 \cos \alpha, 3 \sin \alpha)$ है। $A$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $x \cos \alpha + y \sin \alpha = 3$ है। ढाल $m_1 = -\cot \alpha$ है।
दीर्घवृत्त $4x^2+9y^2=36$ पर बिंदु $B$ $(3 \cos \alpha, 2 \sin \alpha)$ है। $B$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $2x \cos \alpha + 3y \sin \alpha = 6$ है। ढाल $m_2 = -\frac{2}{3} \cot \alpha$ है।
स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \frac{\cot \alpha}{3 + 2 \cot^2 \alpha}$ प्राप्त होता है।
$f(u) = \frac{u}{3 + 2u^2}$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,$u = \sqrt{\frac{3}{2}}$ रखने पर,$\tan \theta = \frac{1}{2 \sqrt{6}}$ प्राप्त होता है।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $x^2+3y^2=3$ है,जिसे $\frac{x^2}{3}+y^2=1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a^2=3$ और $b^2=1$ है।
$lx+my+n=0$ के $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ का अभिलंब होने की शर्त $\frac{a^2}{l^2}+\frac{b^2}{m^2}=\frac{(a^2-b^2)^2}{n^2}$ है।
$l=1, m=1, a^2=3, b^2=1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{3}{1^2}+\frac{1}{1^2}=\frac{(3-1)^2}{n^2} \Rightarrow 4=\frac{4}{n^2} \Rightarrow n^2=1$ प्राप्त होता है।
चूँकि $n > 0$,$n=1$ है। अभिलंब $x+y+1=0$ है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $x^2+5y^2=5$ है,या $\frac{x^2}{5}+y^2=1$ है।
$lx+my+n=0$ के $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $n^2=a^2l^2+b^2m^2$ है।
$l=1, n=3, a^2=5, b^2=1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $3^2=5(1)^2+1(m)^2 \Rightarrow 9=5+m^2 \Rightarrow m^2=4$ प्राप्त होता है।
चूँकि $m<0$,$m=-2$ है। स्पर्श रेखा $x-2y+3=0$ है।
$x+y+1=0$ और $x-2y+3=0$ को हल करने पर: समीकरणों को घटाने पर $3y-2=0 \Rightarrow y=\frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
तब $x=-1-y=-1-\frac{2}{3}=-\frac{5}{3}$ है।
विकल्पों में बिंदु $(-\frac{5}{3}, \frac{2}{3})$ की जाँच करने पर: $x-5y+5=0$ के लिए,हमें $-\frac{5}{3}-5(\frac{2}{3})+5 = \frac{-5-10+15}{3} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु $x-5y+5=0$ को संतुष्ट करता है।

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{27}+\frac{y^2}{1}=1$ पर बिंदु $(3 \sqrt{3} \cos \theta, \sin \theta)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x(3 \sqrt{3} \cos \theta)}{27} + \frac{y \sin \theta}{1} = 1$ है,जो $\frac{x \cos \theta}{3 \sqrt{3}} + y \sin \theta = 1$ में सरल हो जाता है।
$x$-अंतःखंड $a = 3 \sqrt{3} \sec \theta$ है और $y$-अंतःखंड $b = \operatorname{cosec} \theta$ है।
अंतःखंडों का योग $L(\theta) = 3 \sqrt{3} \sec \theta + \operatorname{cosec} \theta$ है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $\frac{dL}{d\theta} = 3 \sqrt{3} \sec \theta \tan \theta - \operatorname{cosec} \theta \cot \theta$.
$\frac{dL}{d\theta} = 0$ रखने पर,हमें $3 \sqrt{3} \frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\tan^3 \theta = \frac{1}{3 \sqrt{3}} = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^3$.
अतः,$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$,जिससे $\theta = \frac{\pi}{6}$ प्राप्त होता है।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ है,अतः $a^2 = 16$ और $b^2 = 9$ है।
$P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{a} + \frac{y \sin \theta}{b} = 1$ है। यह मुख्य अक्ष $(y=0)$ को $Q(\frac{a}{\cos \theta}, 0)$ पर काटती है।
$P$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{ax}{\cos \theta} - \frac{by}{\sin \theta} = a^2 - b^2$ है। यह मुख्य अक्ष को $R(\frac{(a^2 - b^2) \cos \theta}{a}, 0)$ पर काटता है।
दूरी $QR = \left| \frac{a}{\cos \theta} - \frac{(a^2 - b^2) \cos \theta}{a} \right| = \left| \frac{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}{a \cos \theta} \right|$ है।
अतः,कारण $(R)$ सत्य है।
$a=4, b=3, \theta = \frac{\pi}{3}$ के लिए,$QR = \frac{57}{8}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,कथन $(A)$ भी सत्य है और $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।

(A) दिए गए दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{4}=1$ है।
दीर्घवृत्त पर एक प्राचलिक बिंदु $P(8 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ मानिए।
बिंदु $P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{8}+\frac{y \sin \theta}{2}=1$ है।
इसे $\frac{x}{8/\cos \theta} + \frac{y}{2/\sin \theta} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
निर्देशांक अक्षों के बीच बने अंतःखंड की लंबाई $l = \sqrt{(\frac{8}{\cos \theta})^2 + (\frac{2}{\sin \theta})^2} = \sqrt{64 \sec^2 \theta + 4 \operatorname{cosec}^2 \theta}$ है।
$\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ और $\operatorname{cosec}^2 \theta = 1 + \cot^2 \theta$ का उपयोग करने पर,$l = \sqrt{68 + 64 \tan^2 \theta + 4 \cot^2 \theta}$ प्राप्त होता है।
$AM-GM$ असमिका के अनुसार,$64 \tan^2 \theta + 4 \cot^2 \theta \geq 2 \sqrt{64 \tan^2 \theta \cdot 4 \cot^2 \theta} = 32$ है।
अतः,$l$ का न्यूनतम मान $\sqrt{68 + 32} = 10$ है।
इसलिए,विकल्प $A$ सही है।

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{7} = 1$ है,जहाँ $a^2 = 9$ और $b^2 = 7$ है।
दिया गया बिंदु $(x_1, y_1) = \left(\frac{3}{\sqrt{2}}, \sqrt{\frac{7}{2}}\right)$ है।
अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2 x}{x_1} - \frac{b^2 y}{y_1} = a^2 - b^2$ है।
मान रखने पर: $\frac{9x}{3/\sqrt{2}} - \frac{7y}{\sqrt{7/2}} = 2$।
यह $3\sqrt{2}x - \sqrt{14}y = 2$ में सरल हो जाता है।
मुख्य अक्ष ($x$-अक्ष) पर प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $y = 0$ रखें:
$3\sqrt{2}x = 2 \implies x = \sqrt{\frac{2}{9}}$।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $\left(\sqrt{\frac{2}{9}}, 0\right)$ है।

(C) दिया गया दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=1$ है,जहाँ $a^2=2$ और $b^2=1$ है।
किसी बिंदु $(\sqrt{2}\cos \theta, \sin \theta)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{\sqrt{2}} + y \sin \theta = 1$ है।
स्पर्श रेखा $x$-अक्ष को बिंदु $A$ पर काटती है जहाँ $y=0$,अतः $A = (\frac{\sqrt{2}}{\cos \theta}, 0)$।
स्पर्श रेखा $y$-अक्ष को बिंदु $B$ पर काटती है जहाँ $x=0$,अतः $B = (0, \frac{1}{\sin \theta})$।
माना $(h, k)$ रेखाखंड $AB$ का मध्य बिंदु है। तब $h = \frac{\sqrt{2}}{2 \cos \theta}$ और $k = \frac{1}{2 \sin \theta}$ प्राप्त होता है।
इससे,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}h}$ और $\sin \theta = \frac{1}{2k}$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,$(\frac{1}{2k})^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}h})^2 = 1$ मिलता है।
इसका सरल रूप $\frac{1}{4k^2} + \frac{1}{2h^2} = 1$ है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,अभीष्ट बिंदुपथ $\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{4y^2} = 1$ है।

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1$ के लिए,$a^2=16$ और $b^2=25$ है। चूँकि $b^2 > a^2$,उत्केंद्रता $e_1 = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \frac{3}{5}$ है।
$e_1 e_2 = 1$ दिया गया है,इसलिए $\frac{3}{5} e_2 = 1 \Rightarrow e_2 = \frac{5}{3}$ है।
दीर्घवृत्त की नाभियाँ $(0, \pm 3)$ हैं।
अतिपरवलय $(0, \pm 3)$ से गुजरता है,इसलिए इसका समीकरण $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ के रूप का है।
$(0, 3)$ से गुजरने के कारण,$b^2 = 9$ है।
अतिपरवलय के लिए,$e_2^2 = 1 + \frac{a^2}{b^2}$ $\Rightarrow (\frac{5}{3})^2 = 1 + \frac{a^2}{9}$ $\Rightarrow \frac{25}{9} = 1 + \frac{a^2}{9}$ $\Rightarrow a^2 = 16$ है।
अतः,अतिपरवलय का समीकरण $\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{16} = 1$ है।

(B) रेखा $2x + y = 1$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्शरेखा है।
नियता का समीकरण $x = \frac{a}{e}$ है।
रेखा बिंदु $(\frac{a}{e}, 0)$ से गुजरती है,इसलिए $2(\frac{a}{e}) + 0 = 1$,जिससे $2a = e$ प्राप्त होता है।
रेखा $y = mx + c$ के अतिपरवलय की स्पर्शरेखा होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 - b^2$ है।
यहाँ,$y = -2x + 1$,इसलिए $m = -2$ और $c = 1$ है।
अतः,$1^2 = a^2(-2)^2 - b^2$,जो $4a^2 - b^2 = 1$ में सरल हो जाता है।
हम जानते हैं कि अतिपरवलय के लिए,$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ होता है।
स्पर्शरेखा की शर्त में $b^2$ का मान रखने पर: $4a^2 - a^2(e^2 - 1) = 1$।
चूंकि $e = 2a$,हमारे पास $a = \frac{e}{2}$ है,इसलिए $a^2 = \frac{e^2}{4}$।
$a^2$ का मान रखने पर: $4(\frac{e^2}{4}) - \frac{e^2}{4}(e^2 - 1) = 1$।
$e^2 - \frac{e^4}{4} + \frac{e^2}{4} = 1$।
$4$ से गुणा करने पर: $4e^2 - e^4 + e^2 = 4$।
$e^4 - 5e^2 + 4 = 0$।
$(e^2 - 4)(e^2 - 1) = 0$।
अतिपरवलय के लिए $e > 1$ होता है,इसलिए $e^2 = 4$,अतः $e = 2$।

(B) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{20} - \frac{y^2}{4/3} = 1$ है,जहाँ $a^2 = 20$ और $b^2 = \frac{4}{3}$ है।
दी गई रेखा $x + 3y = 7$ की ढाल $m = -\frac{1}{3}$ है।
अतिपरवलय की स्पर्श रेखा का ढाल रूप $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ होता है।
मान रखने पर: $y = -\frac{1}{3}x \pm \sqrt{20(-\frac{1}{3})^2 - \frac{4}{3}} = -\frac{1}{3}x \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{1}{3}x \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$।
अतः दो समांतर स्पर्श रेखाएँ $x + 3y - 2\sqrt{2} = 0$ और $x + 3y + 2\sqrt{2} = 0$ हैं।
दो समांतर रेखाओं के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ सूत्र से ज्ञात की जाती है।
$d = \frac{|2\sqrt{2} - (-2\sqrt{2})|}{\sqrt{1^2 + 3^2}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{10}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$।

(C) माना $(h, k)$ अतिपरवलय $x^2 - y^2 = 8$ पर स्थित कोई बिंदु है।
अतः,$h^2 - k^2 = 8$ है।
अतिपरवलय $x^2 - y^2 = 8$ के अनंतस्पर्शी $x + y = 0$ और $x - y = 0$ हैं।
बिंदु $(h, k)$ से रेखा $x + y = 0$ पर लंब की दूरी $d_1 = \frac{|h + k|}{\sqrt{2}}$ है।
बिंदु $(h, k)$ से रेखा $x - y = 0$ पर लंब की दूरी $d_2 = \frac{|h - k|}{\sqrt{2}}$ है।
लंबों की लंबाइयों का गुणनफल $d_1 d_2 = \frac{|h + k|}{\sqrt{2}} \times \frac{|h - k|}{\sqrt{2}} = \frac{|h^2 - k^2|}{2}$ है।
$h^2 - k^2 = 8$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $d_1 d_2 = \frac{8}{2} = 4$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए अतिपरवलय का समीकरण $9x^2-4y^2+36x+8y-4=0$ है।
वर्ग पूरा करके समीकरण को फिर से लिखने पर:
$9(x^2+4x+4) - 4(y^2-2y+1) = 36$.
$9(x+2)^2 - 4(y-1)^2 = 36$.
अनंतस्पर्शी का संयुक्त समीकरण अचर पद को शून्य करके प्राप्त किया जा सकता है:
$9(x+2)^2 - 4(y-1)^2 = 0$.
इसका अर्थ है $3(x+2) = \pm 2(y-1)$.
अतः,दो अनंतस्पर्शी $L_1: 3x - 2y + 8 = 0$ और $L_2: 3x + 2y + 4 = 0$ हैं।
बिंदु $(1,1)$ से $L_1$ की लंबवत दूरी $d_1 = \frac{|3(1) - 2(1) + 8|}{\sqrt{13}} = \frac{9}{\sqrt{13}}$ है।
बिंदु $(1,1)$ से $L_2$ की लंबवत दूरी $d_2 = \frac{|3(1) + 2(1) + 4|}{\sqrt{13}} = \frac{9}{\sqrt{13}}$ है।
दूरियों का गुणनफल $d_1 \times d_2 = \frac{9}{\sqrt{13}} \times \frac{9}{\sqrt{13}} = \frac{81}{13}$ है।

(C) दिया गया है कि $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है।
हमें सीमा $\lim _{x \rightarrow 2^{+}}\left(\frac{[x]^3}{3}-\left[\frac{x}{3}\right]^3\right)$ का मूल्यांकन करना है।
माना $x = 2 + h$,जहाँ $h \rightarrow 0^{+}$।
जैसे $x \rightarrow 2^{+}$,हमारे पास $2 < x < 3$ है,जिसका अर्थ है $[x] = 2$।
साथ ही,$2 < x < 3$ के लिए,$\frac{2}{3} < \frac{x}{3} < 1$ है।
चूंकि $\frac{2}{3} < \frac{x}{3} < 1$,इसलिए महत्तम पूर्णांक मान $\left[\frac{x}{3}\right] = 0$ है।
इन मानों को सीमा में प्रतिस्थापित करने पर:
$L = \lim _{h}$ ${\rightarrow 0^{+}}\left(\frac{[2+h]^3}{3}-\left[\frac{2+h}{3}\right]^3\right) = \frac{2^3}{3} - 0^3 = \frac{8}{3}$।

(C) सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x^2+100}-10}{x^2}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम अंश का परिमेयकरण करते हैं:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x^2+100}-10}{x^2} \times \frac{\sqrt{x^2+100}+10}{\sqrt{x^2+100}+10}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(x^2+100)-100}{x^2(\sqrt{x^2+100}+10)}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2}{x^2(\sqrt{x^2+100}+10)}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{x^2+100}+10}$
$x = 0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{1}{\sqrt{0+100}+10} = \frac{1}{10+10} = \frac{1}{20} = 0.05$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) माना $L = \lim _{x \rightarrow \infty} \left(\frac{2 x^2+3 x+4}{x^2-3 x+5}\right)^{\frac{3|x|+1}{2|x|-1}}$.
जब $x \rightarrow \infty$,तब $|x| = x$.
अतः,$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow \infty} \left(\frac{2 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x^2}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{5}{x^2}}\right)^{\frac{3 + \frac{1}{x}}{2 - \frac{1}{x}}}$.
सीमा का मान रखने पर,$\frac{1}{x}$ और $\frac{1}{x^2}$ पद $0$ की ओर अग्रसर होते हैं।
इस प्रकार,$L = \left(\frac{2+0+0}{1-0+0}\right)^{\frac{3+0}{2-0}} = (2)^{\frac{3}{2}}$.
$L = 2^{\frac{3}{2}} = 2^1 \times 2^{\frac{1}{2}} = 2 \sqrt{2}$.

(C) माना $L = \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sinh 2 x}{2 x}\right)^{\frac{1}{x^2}}$.
$\sinh(u)$ के लिए टेलर श्रेणी का उपयोग करने पर,$\sinh(2x) = 2x + \frac{4x^3}{3} + O(x^5)$.
अतः,$\frac{\sinh 2x}{2x} = 1 + \frac{2x^2}{3} + O(x^4)$.
अब,$L = \lim _{x \rightarrow 0} \left(1 + \frac{2x^2}{3} + O(x^4)\right)^{\frac{1}{x^2}}$.
मानक सीमा $\lim _{u \rightarrow 0} (1+u)^{1/u} = e$ का उपयोग करने पर,$L = e^{2/3}$ प्राप्त होता है।

(C) हमें सीमा दी गई है: $\lim _{x \rightarrow \infty} x\left(\log \left(1+\frac{x}{2}\right)-\log \frac{x}{2}\right)$.
गुणधर्म $\log a - \log b = \log \left(\frac{a}{b}\right)$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास है:
$\lim _{x \rightarrow \infty} x \log \left(\frac{1+\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right) = \lim _{x \rightarrow \infty} x \log \left(\frac{2}{x} + 1\right)$.
माना $t = \frac{1}{x}$. जैसे $x \rightarrow \infty$,वैसे $t \rightarrow 0$. व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\log (1+2t)}{t}$.
मानक सीमा $\lim _{u \rightarrow 0} \frac{\log (1+u)}{u} = 1$ का उपयोग करते हुए,हम $2$ से गुणा और भाग करते हैं:
$\lim _{t \rightarrow 0} 2 \cdot \frac{\log (1+2t)}{2t} = 2 \cdot 1 = 2$.

(B) दिया गया है,\\ विचरण गुणांक $= 7.2$ \\ प्रसरण $\sigma^2 = 3.24$ \\ मानक विचलन $\sigma = \sqrt{3.24} = 1.8$ \\ विचरण गुणांक का सूत्र है: \\ $\text{विचरण गुणांक} = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$ \\ मान रखने पर: \\ $7.2 = \frac{1.8}{\bar{x}} \times 100$ \\ $\bar{x} = \frac{1.8 \times 100}{7.2} = \frac{180}{7.2} = 25$ \\ अतः,माध्य $25$ है.

(A) दिया गया है,$\sum_{i=1}^{15} x_i^2 = 3600$ और $\sum_{i=1}^{15} x_i = 175$,जहाँ $n = 15$ है।
जब गलत अवलोकन $20$ को सही मान $40$ से बदला जाता है,तो नए योग हैं:
$\sum x_i = 175 - 20 + 40 = 195$
$\sum x_i^2 = 3600 - (20)^2 + (40)^2 = 3600 - 400 + 1600 = 4800$
प्रसरण का सूत्र $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \left(\frac{\sum x_i}{n}\right)^2$ है।
सही मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\sigma^2 = \frac{4800}{15} - \left(\frac{195}{15}\right)^2$
$\sigma^2 = 320 - (13)^2$
$\sigma^2 = 320 - 169 = 151$.

(D) सबसे पहले,हम वर्ग अंतराल के मध्य-बिंदु $(y_i)$ ज्ञात करते हैं:

$y_i$	$1$	$3$	$5$	$7$	$9$
$f_i$	$1$	$2$	$3$	$2$	$1$

माध्य $\bar{y}$ की गणना इस प्रकार है:
$\bar{y} = \frac{\sum f_i y_i}{\sum f_i} = \frac{(1 \times 1) + (2 \times 3) + (3 \times 5) + (2 \times 7) + (1 \times 9)}{1+2+3+2+1} = \frac{1+6+15+14+9}{9} = \frac{45}{9} = 5$
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन इस प्रकार है:
$\text{माध्य विचलन} = \frac{\sum f_i |y_i - \bar{y}|}{\sum f_i} = \frac{1|1-5| + 2|3-5| + 3|5-5| + 2|7-5| + 1|9-5|}{9}$
$= \frac{1(4) + 2(2) + 3(0) + 2(2) + 1(4)}{9} = \frac{4+4+0+4+4}{9} = \frac{16}{9} \approx 1.78$

(D) दिए गए आंकड़े: $2, 3, 5, 11, 13, 17, 19$,जहाँ $n = 7$ है।
सबसे पहले,माध्य $(\bar{x})$ की गणना करें:
$\bar{x} = \frac{2 + 3 + 5 + 11 + 13 + 17 + 19}{7} = \frac{70}{7} = 10$।
हम प्रसरण $(\sigma^2)$ का सूत्र जानते हैं:
$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$।
आंकड़ों के वर्गों का योग ज्ञात करें:
$\sum x_i^2 = 2^2 + 3^2 + 5^2 + 11^2 + 13^2 + 17^2 + 19^2 = 4 + 9 + 25 + 121 + 169 + 289 + 361 = 978$।
अब,मानों को प्रसरण के सूत्र में रखें:
$\sigma^2 = \frac{978}{7} - (10)^2 = 139.714 - 100 = 39.714$।
अतः,प्रसरण लगभग $39.71$ है।

(A) प्रसरण ज्ञात करने के लिए,हम पहले मध्य-मान $(x_i)$ की गणना करते हैं और पद-विचलन विधि का उपयोग करते हैं।
यहाँ,कल्पित माध्य $A = 10$ और वर्ग अंतराल की चौड़ाई $h = 4$ है।
सारणी इस प्रकार है:

वर्ग अंतराल	$x_i$	$f_i$	$d_i = \frac{x_i - A}{h}$	$f_i d_i$	$f_i d_i^2$
$0$-$4$	$2$	$2$	-$2$	-$4$	$8$
$4$-$8$	$6$	$4$	-$1$	-$4$	$4$
$8$-$12$	$10$	$6$	$0$	$0$	$0$
$12$-$16$	$14$	$3$	$1$	$3$	$3$
$16$-$20$	$18$	$1$	$2$	$2$	$4$
कुल		$\Sigma f_i = 16$		$\Sigma f_i d_i = -3$	$\Sigma f_i d_i^2 = 19$

प्रसरण का सूत्र $\sigma^2 = h^2 \left( \frac{\Sigma f_i d_i^2}{\Sigma f_i} - \left( \frac{\Sigma f_i d_i}{\Sigma f_i} \right)^2 \right)$ है।
मान रखने पर:
$\sigma^2 = 4^2 \left( \frac{19}{16} - \left( \frac{-3}{16} \right)^2 \right)$
$\sigma^2 = 16 \left( \frac{19}{16} - \frac{9}{256} \right)$
$\sigma^2 = 16 \left( \frac{304 - 9}{256} \right)$
$\sigma^2 = 16 \left( \frac{295}{256} \right) = \frac{295}{16}$.

(C) दिए गए आंकड़े: $16, 22, 3, 14, 5, 10, 8, 6, 11, 4$।
आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर: $3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 14, 16, 22$।
प्रेक्षणों की संख्या $n = 10$ है।
चूंकि $n$ सम है,माध्यिका $5^{\text{th}}$ और $6^{\text{th}}$ प्रेक्षणों का औसत है:
$\text{माध्यिका} = \frac{8 + 10}{2} = 9$।
माध्यिका से माध्य विचलन $\frac{1}{n} \sum |x_i - \text{माध्यिका}|$ द्वारा दिया जाता है:
$\text{माध्य विचलन} = \frac{|3-9| + |4-9| + |5-9| + |6-9| + |8-9| + |10-9| + |11-9| + |14-9| + |16-9| + |22-9|}{10}$
$= \frac{6 + 5 + 4 + 3 + 1 + 1 + 2 + 5 + 7 + 13}{10}$
$= \frac{47}{10} = 4.7$।

(B) मान लीजिए $n_1 = 50$,$\bar{x}_1 = 10$,और $\sigma_1 = 2$ पहले समूह के पैरामीटर हैं। मान लीजिए $n_2 = 50$,$\bar{x}_2$,और $\sigma_2$ दूसरे समूह के पैरामीटर हैं। कुल प्रेक्षणों की संख्या $N = 100$ है,जिसका माध्य $\bar{x} = 8$ और मानक विचलन $\sigma = \sqrt{10.5}$ है।
सबसे पहले,दूसरे समूह का माध्य ज्ञात करें:
$\bar{x} = \frac{n_1\bar{x}_1 + n_2\bar{x}_2}{n_1 + n_2} \implies 8 = \frac{50(10) + 50(\bar{x}_2)}{100} \implies 800 = 500 + 50\bar{x}_2 \implies \bar{x}_2 = 6$.
इसके बाद,संयुक्त प्रसरण (variance) के सूत्र का उपयोग करें:
$\sigma^2 = \frac{n_1(\sigma_1^2 + d_1^2) + n_2(\sigma_2^2 + d_2^2)}{n_1 + n_2}$,जहाँ $d_1 = \bar{x}_1 - \bar{x} = 10 - 8 = 2$ और $d_2 = \bar{x}_2 - \bar{x} = 6 - 8 = -2$.
$10.5 = \frac{50(2^2 + 2^2) + 50(\sigma_2^2 + (-2)^2)}{100}$
$10.5 = \frac{50(8) + 50(\sigma_2^2 + 4)}{100} = \frac{400 + 50\sigma_2^2 + 200}{100}$
$1050 = 600 + 50\sigma_2^2$
$50\sigma_2^2 = 450 \implies \sigma_2^2 = 9 \implies \sigma_2 = 3$.

(A) माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात करने के लिए,हम पहले संचयी आवृत्ति $(c.f.)$ की गणना करते हैं:

$x$	$f$	$c.f.$	$|x_i - \text{Median}|$	$f_i |x_i - \text{Median}|$
$6$	$4$	$4$	$18$	$72$
$12$	$7$	$11$	$12$	$84$
$18$	$9$	$20$	$6$	$54$
$24$	$18$	$38$	$0$	$0$
$30$	$15$	$53$	$6$	$90$
$36$	$10$	$63$	$12$	$120$
$42$	$5$	$68$	$18$	$90$

कुल आवृत्ति $N = \Sigma f_i = 68$.
माध्यिका $(\frac{N}{2})^{th} = 34^{th}$ प्रेक्षण के संगत मान है। $c.f.$ कॉलम से,$34^{th}$ प्रेक्षण उस वर्ग में आता है जहाँ $x = 24$ है।
अतः,$\text{Median} = 24$.
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन इस प्रकार है:
$\text{M.D.}(\text{Median}) = \frac{\Sigma f_i |x_i - \text{Median}|}{\Sigma f_i} = \frac{72 + 84 + 54 + 0 + 90 + 120 + 90}{68} = \frac{510}{68} = 7.5$.

(B) माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{3(5) + 2(7) + 1(9) + 2(11)}{3+2+1+2} = \frac{15+14+9+22}{8} = \frac{60}{8} = 7.5$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum f_i x_i^2}{\sum f_i} - (\bar{x})^2 = \frac{3(25) + 2(49) + 1(81) + 2(121)}{8} - (7.5)^2 = \frac{75+98+81+242}{8} - 56.25 = \frac{496}{8} - 56.25 = 62 - 56.25 = 5.75$.
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{5.75} = \sqrt{\frac{575}{100}} = \frac{\sqrt{23 \times 25}}{10} = \frac{5\sqrt{23}}{10} = \frac{\sqrt{23}}{2}$.
विचरण गुणांक ($C$.$V$.) $= \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 = \frac{\sqrt{23}/2}{7.5} \times 100 = \frac{\sqrt{23}}{15} \times 100 = \frac{20\sqrt{23}}{3}$.

(B) दिए गए आँकड़े: $1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 6$।
माध्य $= \frac{1+2+2+3+3+3+4+6}{8} = \frac{24}{8} = 3$।
माध्यिका $4^{th}$ और $5^{th}$ पदों का औसत है: $\frac{3+3}{2} = 3$।
बहुलक वह मान है जिसकी आवृत्ति सबसे अधिक है,जो $3$ है।
चूंकि माध्य $=$ माध्यिका $=$ बहुलक $= 3$ है,इसलिए इन केंद्रीय प्रवृत्तियों के सापेक्ष माध्य विचलन समान होंगे।
अतः,$\alpha = \beta = \gamma$।
इसलिए,विकल्प $(B)$ सही है।

(C) दिया गया समीकरण: $a^2-b^2-c^2=bc(\lambda^2-2\lambda-1)$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $b^2+c^2-a^2 = -bc(\lambda^2-2\lambda-1)$
दोनों पक्षों को $2bc$ से विभाजित करने पर: $\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = -\frac{1}{2}(\lambda^2-2\lambda-1)$
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$,अतः: $\cos A = -\frac{1}{2}(\lambda^2-2\lambda-1)$
चूँकि $-1 \leq \cos A \leq 1$,इसलिए: $-1 \leq -\frac{1}{2}(\lambda^2-2\lambda-1) \leq 1$
$-2$ से गुणा करने पर (और असमानता को उलटने पर): $-2 \leq \lambda^2-2\lambda-1 \leq 2$
सभी भागों में $1$ जोड़ने पर: $-1 \leq \lambda^2-2\lambda \leq 3$
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $-1 \leq (\lambda-1)^2-1 \leq 3$
सभी भागों में $1$ जोड़ने पर: $0 \leq (\lambda-1)^2 \leq 4$
वर्गमूल लेने पर: $0 \leq |\lambda-1| \leq 2$
इसका अर्थ है $-2 \leq \lambda-1 \leq 2$,जो सरल होकर मिलता है: $-1 \leq \lambda \leq 3$

(B) दी गई व्यंजक: $b \cos^2 \frac{C}{2} + c \cos^2 \frac{B}{2}$
सर्वसमिका $2 \cos^2 \theta = 1 + \cos(2\theta)$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{2} [b(1 + \cos C) + c(1 + \cos B)]$
$= \frac{1}{2} [b + c + b \cos C + c \cos B]$
प्रक्षेप नियम (projection rule) के अनुसार,$a = b \cos C + c \cos B$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$= \frac{1}{2} [b + c + a] = \frac{1}{2} (a + b + c)$
चूंकि परिमाप $a + b + c = 50 \text{ cm}$ है:
$= \frac{50}{2} = 25 \text{ cm}$.
अतः,विकल्प $B$ सही है.

(C) मान लीजिए त्रिभुज की भुजाएँ $a, b, c$ हैं। दिया गया है $a = 17 \text{ cm}$ और परिमाप $P = a + b + c = 40 \text{ cm}$।
दो भुजाओं का योग $a + b = 35 \text{ cm}$ है।
$a = 17$ रखने पर, $17 + b = 35$, जिससे $b = 18 \text{ cm}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a + b + c = 40$, इसलिए $17 + 18 + c = 40$, जिससे $c = 5 \text{ cm}$ प्राप्त होता है।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{40}{2} = 20 \text{ cm}$ है।
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए, क्षेत्रफल $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$।
$A = \sqrt{20(20-17)(20-18)(20-5)} = \sqrt{20 \times 3 \times 2 \times 15}$।
$A = \sqrt{1800} = 30 \sqrt{2} \text{ cm}^2$।
अतः, सही विकल्प $C$ है।

(D) हम जानते हैं कि $\frac{1}{r_1} = \frac{s-a}{\Delta}, \frac{1}{r_2} = \frac{s-b}{\Delta}, \frac{1}{r_3} = \frac{s-c}{\Delta}$ और $\frac{1}{r} = \frac{s}{\Delta}$.
अब,$\frac{1}{r_1^2} + \frac{1}{r_2^2} + \frac{1}{r_3^2} + \frac{1}{r^2} = \frac{1}{\Delta^2} [(s-a)^2 + (s-b)^2 + (s-c)^2 + s^2]$.
$= \frac{1}{\Delta^2} [4s^2 - 2s(a+b+c) + a^2 + b^2 + c^2]$.
चूंकि $a+b+c = 2s$,इसलिए $4s^2 - 2s(2s) + a^2 + b^2 + c^2 = a^2 + b^2 + c^2$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यंजक $\frac{a^2 + b^2 + c^2}{\Delta^2}$ के बराबर है।
साथ ही,$\Delta = \frac{1}{2} a p_1 = \frac{1}{2} b p_2 = \frac{1}{2} c p_3$,जिसका अर्थ है $a = \frac{2\Delta}{p_1}, b = \frac{2\Delta}{p_2}, c = \frac{2\Delta}{p_3}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $4(\frac{1}{p_1^2} + \frac{1}{p_2^2} + \frac{1}{p_3^2})$ प्राप्त होता है।

(C) दिया है,$a^2+2bc-(b^2+c^2) = ab \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}$
कोसाइन नियम $b^2+c^2-a^2 = 2bc \cos A$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $a^2-(b^2+c^2) = -2bc \cos A$.
अतः,$2bc - 2bc \cos A = ab \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}$
$2bc(1-\cos A) = ab \cdot \frac{1}{2} \sin C$
$4bc \sin^2 \frac{A}{2} = ab \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}$
$\sin C = 2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $\tan \frac{A}{2} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
तब $\tan A = \frac{2 \tan(A/2)}{1-\tan^2(A/2)} = \frac{2(1/4)}{1-1/16} = \frac{8}{15}$.
चूंकि $A+B+C = \pi$,इसलिए $B+C = \pi-A$.
अतः,$\cot(B+C) = \cot(\pi-A) = -\cot A = -\frac{15}{8}$.

(C) हम जानते हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} a p_1 = \frac{1}{2} b p_2 = \frac{1}{2} c p_3$ है।
इससे हमें $\frac{1}{p_1} = \frac{a}{2\Delta}$,$\frac{1}{p_2} = \frac{b}{2\Delta}$,और $\frac{1}{p_3} = \frac{c}{2\Delta}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} - \frac{1}{p_3} = \frac{a}{2\Delta} + \frac{b}{2\Delta} - \frac{c}{2\Delta} = \frac{a+b-c}{2\Delta}$.
चूंकि $2s = a+b+c$,इसलिए $a+b = 2s-c$ होता है।
अतः,$\frac{a+b-c}{2\Delta} = \frac{(2s-c)-c}{2\Delta} = \frac{2s-2c}{2\Delta} = \frac{s-c}{\Delta}$।

(D) दिया है,$r_1 = 2r_2 = 3r_3$.
सूत्र $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\Delta}{s-a} = \frac{2\Delta}{s-b} = \frac{3\Delta}{s-c}$.
$\Delta$ से विभाजित करने पर,$\frac{1}{s-a} = \frac{2}{s-b} = \frac{3}{s-c} = k$ (माना).
तब $s-a = \frac{1}{k}$,$s-b = \frac{2}{k}$,और $s-c = \frac{3}{k}$.
इनका योग करने पर,$(s-a) + (s-b) + (s-c) = 3s - (a+b+c) = 3s - 2s = s$.
अतः,$s = \frac{1+2+3}{k} = \frac{6}{k}$,जिसका अर्थ है $k = \frac{6}{s}$.
अब,$s-a = \frac{1}{6/s} = \frac{s}{6}$ $\Rightarrow 6s - 6a = s$ $\Rightarrow 5s = 6a$ $\Rightarrow a = \frac{5s}{6}$.
और $s-b = \frac{2}{6/s} = \frac{2s}{6} = \frac{s}{3}$ $\Rightarrow 3s - 3b = s$ $\Rightarrow 2s = 3b$ $\Rightarrow b = \frac{2s}{3} = \frac{4s}{6}$.
इसलिए,$a : b = \frac{5s}{6} : \frac{4s}{6} = 5 : 4$.

(C) दी गई रेखाएँ $r = a_1 + r b_1$ और $r = a_2 + k b_2$ हैं।
यहाँ,$a_1 = -2 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,$b_1 = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}$ है।
और $a_2 = \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}$,$b_2 = -\hat{i} + 2 \hat{j} + 4 \hat{k}$ है।
सबसे पहले,$a_2 - a_1 = (1 - (-2)) \hat{i} + (-1 - 1) \hat{j} + (2 - (-1)) \hat{k} = 3 \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ की गणना करें।
इसके बाद,क्रॉस प्रोडक्ट $b_1 \times b_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(12 - (-2)) - \hat{j}(8 - 1) + \hat{k}(4 - (-3)) = 14 \hat{i} - 7 \hat{j} + 7 \hat{k}$ की गणना करें।
इसका परिमाण $|b_1 \times b_2| = \sqrt{14^2 + (-7)^2 + 7^2} = \sqrt{196 + 49 + 49} = \sqrt{294} = 7 \sqrt{6}$ है।
न्यूनतम दूरी का सूत्र $d = \frac{|(a_2 - a_1) \cdot (b_1 \times b_2)|}{|b_1 \times b_2|}$ है।
$d = \frac{|(3 \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) \cdot (14 \hat{i} - 7 \hat{j} + 7 \hat{k})|}{7 \sqrt{6}} = \frac{|42 + 14 + 21|}{7 \sqrt{6}} = \frac{77}{7 \sqrt{6}} = \frac{11}{\sqrt{6}}$।

(B) रेखा $L_1$ बिंदु $5 \hat{i}+8 \hat{j}+11 \hat{k}$ से गुजरती है और $2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}$ के समांतर है।
अतः,$L_1: \vec{r} = (5 \hat{i}+8 \hat{j}+11 \hat{k}) + \lambda(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})$.
रेखा $L_2$ बिंदु $4 \hat{i}+6 \hat{j}+8 \hat{k}$ से गुजरती है और $3 \hat{i}+4 \hat{j}+5 \hat{k}$ के समांतर है।
अतः,$L_2: \vec{r} = (4 \hat{i}+6 \hat{j}+8 \hat{k}) + \mu(3 \hat{i}+4 \hat{j}+5 \hat{k})$.
प्रतिच्छेदन के लिए,दोनों रेखाओं को बराबर करने पर:
$(5+2\lambda) \hat{i} + (8+3\lambda) \hat{j} + (11+4\lambda) \hat{k} = (4+3\mu) \hat{i} + (6+4\mu) \hat{j} + (8+5\mu) \hat{k}$.
घटकों की तुलना करने पर:
$5+2\lambda = 4+3\mu \Rightarrow 2\lambda - 3\mu = -1$ $(i)$
$8+3\lambda = 6+4\mu \Rightarrow 3\lambda - 4\mu = -2$ (ii)
$(i)$ और (ii) को हल करने पर: $(i)$ को $3$ से और (ii) को $2$ से गुणा करने पर:
$6\lambda - 9\mu = -3$
$6\lambda - 8\mu = -4$
घटाने पर $\mu = -1$ प्राप्त होता है। $\mu = -1$ को $(i)$ में रखने पर: $2\lambda - 3(-1) = -1 \Rightarrow 2\lambda = -4 \Rightarrow \lambda = -2$.
$\lambda = -2$ को $L_1$ में रखने पर: $\vec{r} = (5-4) \hat{i} + (8-6) \hat{j} + (11-8) \hat{k} = \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$.

(A) बिंदु $A(\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})$ से गुजरने वाली और सदिश $\vec{v} = \sqrt{2} \hat{i}-5 \hat{j}+3 \hat{k}$ के समानांतर रेखा $L$ का समीकरण $\vec{r} = (\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}) + \lambda(\sqrt{2} \hat{i}-5 \hat{j}+3 \hat{k})$ है।
रेखा $L$ पर किसी भी बिंदु $P$ को $P = (\sqrt{2} \lambda+1, -5 \lambda+2, 3 \lambda-3)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
दूरी $AP = 18$ इकाई दी गई है।
$AP^2 = (\sqrt{2} \lambda+1-1)^2 + (-5 \lambda+2-2)^2 + (3 \lambda-3+3)^2 = 18^2$.
$2 \lambda^2 + 25 \lambda^2 + 9 \lambda^2 = 324$.
$36 \lambda^2 = 324$.
$\lambda^2 = 9$,जिससे $\lambda = \pm 3$ प्राप्त होता है।
$\lambda = 3$ के लिए,$P = (3\sqrt{2}+1)\hat{i} - 13\hat{j} + 6\hat{k}$.
$\lambda = -3$ के लिए,$P = (1-3\sqrt{2})\hat{i} + 17\hat{j} - 12\hat{k}$.
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही स्थिति सदिश $(1-3 \sqrt{2}) \hat{i}+17 \hat{j}-12 \hat{k}$ है।

(B) माना सदिश $a = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$ है।
चूंकि सदिश $v = 19 \hat{i} + 22 \hat{j} + 5 \hat{k}$,$a$ और $b = 6 \hat{i} + 8 \hat{j}$ के बीच के कोण को समद्विभाजित करता है,इसलिए यह उनके इकाई सदिशों के योग के समानुपाती होना चाहिए:
$\lambda \left( \frac{a}{|a|} + \frac{b}{|b|} \right) = v$
यहाँ $|b| = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$,इसलिए $\frac{b}{|b|} = \frac{6 \hat{i} + 8 \hat{j}}{10} = \frac{3}{5} \hat{i} + \frac{4}{5} \hat{j}$ है।
अतः,$\frac{a}{|a|} = \frac{19 \hat{i} + 22 \hat{j} + 5 \hat{k}}{\lambda} - (\frac{3}{5} \hat{i} + \frac{4}{5} \hat{j}) = (\frac{19}{\lambda} - \frac{3}{5}) \hat{i} + (\frac{22}{\lambda} - \frac{4}{5}) \hat{j} + \frac{5}{\lambda} \hat{k}$ है।
चूंकि $\frac{a}{|a|}$ एक इकाई सदिश है,इसका परिमाण $1$ होगा:
$(\frac{19}{\lambda} - \frac{3}{5})^2 + (\frac{22}{\lambda} - \frac{4}{5})^2 + (\frac{5}{\lambda})^2 = 1$.
इसका विस्तार करने पर: $\frac{361}{\lambda^2} - \frac{114}{5\lambda} + \frac{9}{25} + \frac{484}{\lambda^2} - \frac{176}{5\lambda} + \frac{16}{25} + \frac{25}{\lambda^2} = 1$.
$\frac{870}{\lambda^2} - \frac{290}{5\lambda} + 1 = 1 \Rightarrow \frac{870}{\lambda^2} = \frac{58}{\lambda} \Rightarrow \lambda = \frac{870}{58} = 15$.
$\lambda = 15$ रखने पर,$\frac{a}{|a|} = (\frac{19}{15} - \frac{9}{15}) \hat{i} + (\frac{22}{15} - \frac{12}{15}) \hat{j} + \frac{5}{15} \hat{k} = \frac{10}{15} \hat{i} + \frac{10}{15} \hat{j} + \frac{5}{15} \hat{k} = \frac{1}{3}(2 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k})$ है।
अतः,सही विकल्प $(b)$ है।

(A) माना समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है।
दिया गया है कि मूल बिंदु से दूरी $6$ इकाई है।
समतल की मूल बिंदु से दूरी के सूत्र का उपयोग करने पर,$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}} = 6$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{36} \quad (i)$।
$A, B$ और $C$ के निर्देशांक क्रमशः $(a, 0, 0), (0, b, 0)$ और $(0, 0, c)$ हैं।
$\triangle ABC$ का केंद्रक $(x, y, z)$ इस प्रकार है: $x = \frac{a}{3}, y = \frac{b}{3}, z = \frac{c}{3}$।
अतः,$a = 3x, b = 3y, c = 3z$।
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर,$\frac{1}{(3x)^2} + \frac{1}{(3y)^2} + \frac{1}{(3z)^2} = \frac{1}{36}$।
$\frac{1}{9x^2} + \frac{1}{9y^2} + \frac{1}{9z^2} = \frac{1}{36}$।
$9$ से गुणा करने पर,$\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$।

(B) माना समतल $P$ का समीकरण $a(x-1) + by + cz = 0$ है,जिसे $ax + by + cz = a$ के रूप में लिखा जा सकता है। चूंकि यह $(0,1,0)$ से गुजरता है,इसलिए $b = a$ प्राप्त होता है। अतः,समीकरण $ax + ay + cz = a$ या $x + y + \frac{c}{a}z = 1$ है। माना $k = \frac{c}{a}$ है। अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (1, 1, k)$ है।
समतल $x + y = 3$ का अभिलंब $\vec{n_2} = (1, 1, 0)$ है।
दो समतलों के बीच का कोण $\frac{\pi}{4}$ है,इसलिए $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$।
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|1+1+0|}{\sqrt{1^2+1^2+k^2} \sqrt{1^2+1^2+0^2}} = \frac{2}{\sqrt{2+k^2} \sqrt{2}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{2} = \frac{4}{2(2+k^2)} \Rightarrow 2+k^2 = 4 \Rightarrow k^2 = 2 \Rightarrow k = \sqrt{2}$।
अतः,दिक अनुपात $(1, 1, \sqrt{2})$ हैं।

(C) दो समतलों के बीच का कोण उनके अभिलंब सदिशों के बीच के कोण के बराबर होता है।
सबसे पहले,हम समतल $\pi_1$ का अभिलंब सदिश $\overrightarrow{n_1}$ ज्ञात करते हैं। चूँकि $\pi_1$ समतलों $x+2y+3z-6=0$ और $x+2y+2z-5=0$ के लंबवत है,इसका अभिलंब $\overrightarrow{n_1}$ इन दो समतलों के अभिलंबों $\overrightarrow{n_A} = (1, 2, 3)$ और $\overrightarrow{n_B} = (1, 2, 2)$ के सदिश गुणनफल के समांतर होगा।
$\overrightarrow{n_1} = \overrightarrow{n_A} \times \overrightarrow{n_B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4-6) - \hat{j}(2-3) + \hat{k}(2-2) = -2\hat{i} + \hat{j} + 0\hat{k}$.
अब,हम समतल $\pi_2$ का अभिलंब सदिश $\overrightarrow{n_2}$ ज्ञात करते हैं। अभिलंब सदिश बिंदु $(1, 3, 2)$ और उसके लंब के पाद $(-1, 2, -3)$ को जोड़ने वाला सदिश है।
$\overrightarrow{n_2} = (-1-1)\hat{i} + (2-3)\hat{j} + (-3-2)\hat{k} = -2\hat{i} - \hat{j} - 5\hat{k}$.
समतलों के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}| |\overrightarrow{n_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} = (-2)(-2) + (1)(-1) + (0)(-5) = 4 - 1 + 0 = 3$.
$|\overrightarrow{n_1}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{5}$.
$|\overrightarrow{n_2}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{4+1+25} = \sqrt{30}$.
$\cos \theta = \frac{3}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{30}} = \frac{3}{\sqrt{150}} = \frac{3}{5\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{10}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{6}}{10}\right)$.

(A) मान लीजिए $\vec{N_1}$ और $\vec{N_2}$ क्रमशः समतलों $P_1$ और $P_2$ के अभिलंब सदिश हैं।
चूंकि $P_1$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ द्वारा निर्धारित है,इसलिए इसका अभिलंब $\vec{N_1} = \vec{a} \times \vec{b}$ है।
चूंकि $P_2$,$\vec{c}$ और $\vec{d}$ द्वारा निर्धारित है,इसलिए इसका अभिलंब $\vec{N_2} = \vec{c} \times \vec{d}$ है।
दिया गया है कि $(\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{c} \times \vec{d}) = \vec{0}$,अतः $\vec{N_1} \times \vec{N_2} = \vec{0}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि अभिलंब सदिश $\vec{N_1}$ और $\vec{N_2}$ एक-दूसरे के समांतर हैं।
जब अभिलंब सदिश समांतर होते हैं,तो समतल $P_1$ और $P_2$ भी समांतर होते हैं।
अतः,समतलों $P_1$ और $P_2$ के बीच का कोण $0$ है।

(A) मूल बिंदु से $d$ दूरी पर और अभिलंब सदिश $\vec{n}$ वाले समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot \hat{n} = d$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\hat{n}$ इकाई अभिलंब सदिश है।
दिया गया अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$ है,जिसका परिमाण $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29}$ है।
अतः,इकाई अभिलंब सदिश $\hat{n} = \frac{2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}}{\sqrt{29}}$ है।
मूल बिंदु से दूरी $d = \frac{6}{\sqrt{29}}$ है।
समीकरण $\vec{r} \cdot \hat{n} = d$ में मान रखने पर:
$(x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}) \cdot \left( \frac{2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}}{\sqrt{29}} \right) = \frac{6}{\sqrt{29}}$.
दोनों पक्षों को $\sqrt{29}$ से गुणा करने पर,हमें $2x - 3y + 4z = 6$ प्राप्त होता है।

(C) माना समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है।
चूंकि समतल निर्देशांक अक्षों को $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$ और $C(0, 0, c)$ पर काटता है,इसलिए $\triangle ABC$ का केंद्रक $\left(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3}\right)$ होगा।
दिया गया है कि केंद्रक $(6, 6, 3)$ है,इसलिए:
$\frac{a}{3} = 6 \implies a = 18$
$\frac{b}{3} = 6 \implies b = 18$
$\frac{c}{3} = 3 \implies c = 9$
इन मानों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x}{18} + \frac{y}{18} + \frac{z}{9} = 1$
पूरे समीकरण को $18$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x + y + 2z = 18$.

(A) समतल $\pi_1$ का अभिलंब सदिश $\vec{n_1}$,मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से $P(1, -2, 5)$ तक का सदिश है,जो $\vec{n_1} = (1, -2, 5)$ है।
समतल $\pi_2$ का अभिलंब सदिश $\vec{n_2}$,$(1, 2, -1)$ से $P(1, -2, 5)$ तक का सदिश है,जो $\vec{n_2} = (1-1, -2-2, 5-(-1)) = (0, -4, 6)$ है।
दो समतलों के बीच का न्यून कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
अदिश गुणनफल की गणना: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(0) + (-2)(-4) + (5)(6) = 0 + 8 + 30 = 38$.
परिमाण की गणना: $|\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 4 + 25} = \sqrt{30}$.
$|\vec{n_2}| = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + 6^2} = \sqrt{0 + 16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$.
अतः,$\cos \theta = \frac{38}{\sqrt{30} \cdot 2\sqrt{13}} = \frac{19}{\sqrt{390}}$.
इसलिए,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{19}{\sqrt{390}}\right)$.

(B) मूल बिंदु से गुजरने वाली और सदिश $\vec{v} = 6 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ के समांतर रेखा का समीकरण $\frac{x}{6} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3} = k$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $P$,$(6k, 2k, 3k)$ के रूप में है।
चूंकि यह बिंदु $P$ समतल $3x + 4y - 12z = 7$ पर स्थित है,इसलिए हम $P$ के निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$3(6k) + 4(2k) - 12(3k) = 7$
$18k + 8k - 36k = 7$
$-10k = 7 \Rightarrow k = -\frac{7}{10}$.
बिंदु $P$ के निर्देशांक $(6(-\frac{7}{10}), 2(-\frac{7}{10}), 3(-\frac{7}{10})) = (-\frac{42}{10}, -\frac{14}{10}, -\frac{21}{10})$ हैं।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से बिंदु $P$ तक की दूरी,दूरी सूत्र द्वारा प्राप्त की जाती है:
$d = \sqrt{(-\frac{42}{10})^2 + (-\frac{14}{10})^2 + (-\frac{21}{10})^2}$
$d = \frac{1}{10} \sqrt{42^2 + 14^2 + 21^2} = \frac{1}{10} \sqrt{1764 + 196 + 441} = \frac{1}{10} \sqrt{2401} = \frac{49}{10}$.

(B) बिंदुओं $(1, 1, 1)$,$(2, 0, -1)$ और मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$\begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$x(-1 - 0) - y(-1 - 2) + z(0 - 2) = 0$
$-x + 3y - 2z = 0$ या $x - 3y + 2z = 0$ (समीकरण $i$)।
बिंदुओं $(1, 3, -2)$ और $(1, -1, 3)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण:
$\frac{x-1}{1-1} = \frac{y-3}{-1-3} = \frac{z-(-2)}{3-(-2)} = r$
$\frac{x-1}{0} = \frac{y-3}{-4} = \frac{z+2}{5} = r$
अतः,रेखा पर कोई भी बिंदु $(1, -4r+3, 5r-2)$ है।
इस बिंदु को समतल के समीकरण $x - 3y + 2z = 0$ में रखने पर:
$1 - 3(-4r+3) + 2(5r-2) = 0$
$1 + 12r - 9 + 10r - 4 = 0$
$22r - 12 = 0 \Rightarrow r = \frac{12}{22} = \frac{6}{11}$।
$r = \frac{6}{11}$ को बिंदु के निर्देशांक में रखने पर:
$x = 1$,$y = -4(\frac{6}{11}) + 3 = \frac{-24+33}{11} = \frac{9}{11}$,$z = 5(\frac{6}{11}) - 2 = \frac{30-22}{11} = \frac{8}{11}$।
बिंदु $A$ $(1, \frac{9}{11}, \frac{8}{11})$ है,जो सदिश रूप में $\frac{1}{11}(11\hat{i} + 9\hat{j} + 8\hat{k})$ है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(C) दो समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n}_1 = 2\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ और $\vec{n}_2 = 3\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$ हैं।
इन दो समतलों की प्रतिच्छेदन रेखा का दिशा सदिश $\vec{v}_1$,$\vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{v}_1 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 2 & -3 \\ 3 & 3 & -5 \end{vmatrix} = \hat{i}(-10 + 9) - \hat{j}(-10 + 9) + \hat{k}(6 - 6) = -\hat{i} + \hat{j} + 0\hat{k}$.
दी गई रेखा $r = 3\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k} + t(5\hat{i} + 5\hat{j} - 7\hat{k})$ का दिशा सदिश $\vec{v}_2 = 5\hat{i} + 5\hat{j} - 7\hat{k}$ है।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2|}{|\vec{v}_1| |\vec{v}_2|}$ द्वारा दिया जाता है।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = (-1)(5) + (1)(5) + (0)(-7) = -5 + 5 + 0 = 0$.
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए कोण $\theta = \cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$ है।

(D) यदि बिंदु $P = xa + yb + zc$ असंरेख बिंदुओं $a, b$ और $c$ वाले समतल में स्थित है,तो गुणांकों का योग $1$ होना चाहिए।
यहाँ,$x = k, y = 2, z = 3$ है।
अतः,$k + 2 + 3 = 1$.
$k + 5 = 1$.
$k = 1 - 5 = -4$.

(C) माना $n = 5$ पासे फेंके जाते हैं।
किसी विशिष्ट अंक के लिए,एक पासे पर वह अंक आने की प्रायिकता $p = \frac{1}{6}$ है और न आने की प्रायिकता $q = \frac{5}{6}$ है।
चूंकि $6$ संभावित अंक हैं,इसलिए कम से कम $3$ पासों पर समान अंक आने की प्रायिकता $6 \times P(X \geq 3)$ है,जहाँ $X$ द्विपद बंटन $B(5, \frac{1}{6})$ का पालन करता है।
$P(X \geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)$.
$P(X = 3) = \binom{5}{3} (\frac{1}{6})^3 (\frac{5}{6})^2 = \frac{250}{6^5}$.
$P(X = 4) = \binom{5}{4} (\frac{1}{6})^4 (\frac{5}{6})^1 = \frac{25}{6^5}$.
$P(X = 5) = \binom{5}{5} (\frac{1}{6})^5 = \frac{1}{6^5}$.
कुल प्रायिकता $= 6 \times (\frac{250 + 25 + 1}{6^5}) = \frac{276}{6^4}$.

(B) मान लीजिए $A$ वह घटना है कि दो पासों पर आने वाली संख्याओं का योग $6$ है। $A$ के लिए संभावित परिणाम हैं: $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$।
अतः,$A$ में परिणामों की संख्या $n(A) = 5$ है।
मान लीजिए $B$ वह घटना है कि संख्या $1$ कम से कम एक बार आती है।
हम सप्रतिबंध प्रायिकता $P(B|A)$ ज्ञात कर रहे हैं,जिसे $P(B|A) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
सर्वनिष्ठ $A \cap B$ उन परिणामों को दर्शाता है जहाँ योग $6$ है और संख्या $1$ कम से कम एक बार आती है। ये परिणाम हैं: $(1, 5)$ और $(5, 1)$।
अतः,$n(A \cap B) = 2$ है।
इसलिए,अभीष्ट प्रायिकता $P(B|A) = \frac{2}{5}$ है।

(A) द्विपद प्रायिकता वितरण के अनुसार,मान लीजिए कि सिक्के को $n$ बार उछाला जाता है।
$5$ चित आने की प्रायिकता $P(X=5) = {}^{n}C_{5} (\frac{1}{2})^{n}$ है।
$7$ चित आने की प्रायिकता $P(X=7) = {}^{n}C_{7} (\frac{1}{2})^{n}$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार,${}^{n}C_{5} = {}^{n}C_{7}$ है,इसलिए $n = 5+7 = 12$ प्राप्त होता है।
अब,$4$ चित आने की प्रायिकता $P(X=4) = {}^{12}C_{4} (\frac{1}{2})^{12}$ है।
$P(X=4) = \frac{495}{4096}$।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(D) माना $E_1$ संख्या $5$ प्राप्त करने की घटना है और $E_2$ संख्या $5$ न प्राप्त करने की घटना है। माना $A$ वह घटना है कि लड़का बताता है कि संख्या $5$ है।
दिया गया है: $P(E_1) = \frac{1}{6}$,$P(E_2) = \frac{5}{6}$.
लड़का $\frac{3}{5}$ प्रायिकता के साथ सच बोलता है,इसलिए वह $\frac{2}{5}$ प्रायिकता के साथ झूठ बोलता है।
$P(A|E_1) = \frac{3}{5}$
$P(A|E_2) = \frac{2}{5}$
बेयस प्रमेय का उपयोग करने पर:
$P(E_1|A) = \frac{P(E_1) \cdot P(A|E_1)}{P(E_1) \cdot P(A|E_1) + P(E_2) \cdot P(A|E_2)} = \frac{3}{13}$.
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(D) कुल आम $= 10$. अच्छे आम $= 6$. खराब आम $= 4$.
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि कम से कम एक आम अच्छा है,और $F$ वह घटना है कि दोनों आम अच्छे हैं।
$10$ में से $2$ आम चुनने के तरीकों की संख्या $^{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2} = 45$ है।
$2$ खराब आम चुनने के तरीकों की संख्या $^4C_2 = \frac{4 \times 3}{2} = 6$ है।
कम से कम एक अच्छा आम चुनने के तरीकों की संख्या $45 - 6 = 39$ है। अतः,$P(E) = \frac{39}{45}$.
$2$ अच्छे आम चुनने के तरीकों की संख्या $^6C_2 = \frac{6 \times 5}{2} = 15$ है। अतः,$P(F) = \frac{15}{45}$.
चूंकि $F \subset E$,$P(E \cap F) = P(F) = \frac{15}{45}$.
यह ज्ञात होने पर कि एक आम अच्छा है,दूसरे के भी अच्छे होने की सप्रतिबंध प्रायिकता $P(F|E) = \frac{P(F \cap E)}{P(E)} = \frac{15/45}{39/45} = \frac{15}{39} = \frac{5}{13}$ है।

(A) मान लीजिए $X$ वह घटना है कि दोनों पासों पर संख्याओं का योग $9$ से अधिक है।
मान लीजिए $Y$ वह घटना है कि पासे $B$ पर संख्या $5$ है।
घटना $Y$ के लिए प्रतिदर्श समष्टि $\{(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5)\}$ है। अतः,$n(Y) = 6$.
घटना $X \cap Y$ उन परिणामों को दर्शाती है जहाँ पासे $B$ पर संख्या $5$ है और योग $9$ से अधिक है।
$X \cap Y$ के लिए संभावित परिणाम $\{(5,5), (6,5)\}$ हैं। अतः,$n(X \cap Y) = 2$.
सप्रतिबंध प्रायिकता $P(X|Y) = \frac{n(X \cap Y)}{n(Y)}$ द्वारा दी जाती है।
$P(X|Y) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

(B) मान लीजिए $U_1$ और $U_2$ क्रमशः थैली $I$ और थैली $II$ के चयन की घटनाएँ हैं।
चूंकि थैलियों को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,इसलिए $P(U_1) = P(U_2) = \frac{1}{2}$ है।
मान लीजिए $R$ लाल गेंद निकालने की घटना है।
थैली $I$ से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $P(R|U_1) = \frac{3}{3+4} = \frac{3}{7}$ है।
थैली $II$ से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $P(R|U_2) = \frac{5}{5+6} = \frac{5}{11}$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यदि गेंद लाल है तो उसके थैली $II$ से निकाले जाने की प्रायिकता:
$P(U_2|R) = \frac{P(U_2) \times P(R|U_2)}{P(U_1) \times P(R|U_1) + P(U_2) \times P(R|U_2)}$.
मान रखने पर:
$P(U_2|R) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{5}{11}}{\frac{1}{2} \times \frac{3}{7} + \frac{1}{2} \times \frac{5}{11}} = \frac{\frac{5}{22}}{\frac{3}{14} + \frac{5}{22}} = \frac{\frac{5}{22}}{\frac{33+35}{154}} = \frac{5}{22} \times \frac{154}{68} = \frac{5 \times 7}{68} = \frac{35}{68}$.

(C) दिया गया है $P(\bar{A})=0.3$,इसलिए $P(A)=1-0.3=0.7$.
दिया गया है $P(B)=0.4$,इसलिए $P(\bar{B})=1-0.4=0.6$.
हम जानते हैं कि $P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B) = 0.5$.
$P(A)=0.7$ रखने पर,हमें $0.7 - P(A \cap B) = 0.5$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $P(A \cap B) = 0.2$.
अब,हमें $P(B \mid A \cup \bar{B}) = \frac{P(B \cap (A \cup \bar{B}))}{P(A \cup \bar{B})}$ ज्ञात करना है।
सबसे पहले,हर की गणना करें: $P(A \cup \bar{B}) = P(A) + P(\bar{B}) - P(A \cap \bar{B}) = 0.7 + 0.6 - 0.5 = 0.8$.
अगला,अंश की गणना करें: $P(B \cap (A \cup \bar{B})) = P((B \cap A) \cup (B \cap \bar{B})) = P((B \cap A) \cup \emptyset) = P(A \cap B) = 0.2$.
अतः,$P(B \mid A \cup \bar{B}) = \frac{0.2}{0.8} = 0.25$.

(A) माना $A$ वह घटना है कि उड़ान समय पर रवाना होती है और $B$ वह घटना है कि उड़ान समय पर पहुँचती है।
दी गई प्रायिकताएँ हैं:
$P(A) = 80 \% = 0.80$
$P(B) = 70 \% = 0.70$
$P(A \cap B) = 65 \% = 0.65$
हमें वह सप्रतिबंध प्रायिकता ज्ञात करनी है कि उड़ान समय पर पहुँचती है,यह देखते हुए कि वह समय पर रवाना हुई है,जो $P(B|A)$ है।
सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
मान रखने पर:
$P(B|A) = \frac{0.65}{0.80} = \frac{65}{80} = \frac{13}{16}$
अतः,प्रायिकता $\frac{13}{16}$ है।

(D) मान लीजिए $E_1$ वह घटना है कि मॉड्यूल $X$ में त्रुटि है और $E_2$ वह घटना है कि मॉड्यूल $Y$ में त्रुटि है। दिया गया है कि $P(E_1) = 0.1$ और $P(E_2) = 0.3$ है।
चूंकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं,$P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \times P(E_2) = 0.1 \times 0.3 = 0.03$ है।
हम त्रुटियों के लिए परस्पर अनन्य स्थितियों को परिभाषित करते हैं:
$1$. केवल $X$ में त्रुटि: $P(E_1 \cap E_2^c) = P(E_1) - P(E_1 \cap E_2) = 0.1 - 0.03 = 0.07$ है।
$2$. केवल $Y$ में त्रुटि: $P(E_1^c \cap E_2) = P(E_2) - P(E_1 \cap E_2) = 0.3 - 0.03 = 0.27$ है।
$3$. $X$ और $Y$ दोनों में त्रुटि: $P(E_1 \cap E_2) = 0.03$ है।
मान लीजिए $C$ वह घटना है कि प्रोग्राम क्रैश हो जाता है। सशर्त संभावनाएँ $P(C|X \text{ केवल}) = 0.5$,$P(C|Y \text{ केवल}) = 0.7$,और $P(C|X \cap Y) = 0.8$ दी गई हैं।
कुल संभावना के नियम का उपयोग करते हुए:
$P(C) = P(C|X \text{ केवल})P(X \text{ केवल}) + P(C|Y \text{ केवल})P(Y \text{ केवल}) + P(C|X \cap Y)P(X \cap Y)$
$P(C) = (0.5 \times 0.07) + (0.7 \times 0.27) + (0.8 \times 0.03)$
$P(C) = 0.035 + 0.189 + 0.024 = 0.248$
$P(C) = \frac{248}{1000} = \frac{31}{125}$.

(A) मान लीजिए $E_1$,$E_2$ और $E_3$ वे घटनाएं हैं कि चयनित परीक्षार्थी क्रमशः स्नातक,स्नातकोत्तर और डॉक्टरेट धारक है।
कुल परीक्षार्थी = $5000 + 2000 + 1000 = 8000$.
$P(E_1) = \frac{5000}{8000} = \frac{5}{8}$,$P(E_2) = \frac{2000}{8000} = \frac{1}{4}$,$P(E_3) = \frac{1000}{8000} = \frac{1}{8}$.
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि परीक्षार्थी परीक्षा उत्तीर्ण करता है।
$P(A|E_1) = \frac{2}{3}$,$P(A|E_2) = \frac{3}{4}$,$P(A|E_3) = \frac{4}{5}$.
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यदि परीक्षार्थी उत्तीर्ण हुआ है तो उसके स्नातकोत्तर होने की प्रायिकता:
$P(E_2|A) = \frac{P(E_2) \times P(A|E_2)}{P(E_1) \times P(A|E_1) + P(E_2) \times P(A|E_2) + P(E_3) \times P(A|E_3)}$
$P(E_2|A) = \frac{\frac{2}{8} \times \frac{3}{4}}{\frac{5}{8} \times \frac{2}{3} + \frac{2}{8} \times \frac{3}{4} + \frac{1}{8} \times \frac{4}{5}}$
$P(E_2|A) = \frac{45}{169}$.

(C) माना $n=10$ प्रयासों की संख्या है,$p$ सफलता की प्रायिकता (चित आना) $= \frac{1}{2}$ है,और $q$ असफलता की प्रायिकता (पट आना) $= \frac{1}{2}$ है।
माना $X$ सफलताओं की संख्या है। हमें असफलताओं की संख्या सफलताओं से अधिक होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है। इसका अर्थ है $10-X > X$,अर्थात $2X < 10$,या $X < 5$।
अतः,हमें $P(X \leq 4) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)$ की गणना करनी है।
चूंकि वितरण सममित है,$P(X \leq 4) = P(X \geq 6)$ होगा।
$P(X \geq 6) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) + P(X=9) + P(X=10)$।
$P(X \geq 6) = \sum_{r=6}^{10} {}^{10}C_r (\frac{1}{2})^{10} = \frac{1}{2^{10}} ({}^{10}C_6 + {}^{10}C_7 + {}^{10}C_8 + {}^{10}C_9 + {}^{10}C_{10})$।
$= \frac{1}{2^{10}} (210 + 120 + 45 + 10 + 1) = \frac{386}{2^{10}} = \frac{193}{2^9}$।

(B) मान लीजिए $E_1$ वह घटना है कि योग $7$ है और $E_2$ वह घटना है कि योग $11$ है।
दो पासों को उछालने पर कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ है।
योग $7$ के लिए परिणाम $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ हैं,इसलिए $P(E_1) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ है।
योग $11$ के लिए परिणाम $(5,6), (6,5)$ हैं,इसलिए $P(E_2) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$ है।
हमें उस घटना में रुचि है कि $E_2$ से पहले $E_1$ घटित हो। इसका मतलब है कि किसी भी प्रयास में,हम उन परिणामों को अनदेखा करते हैं जहाँ योग न तो $7$ है और न ही $11$ है।
$7$ या $11$ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) = \frac{6}{36} + \frac{2}{36} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$ है।
यह देखते हुए कि योग $7$ या $11$ है,योग $7$ होने की सशर्त प्रायिकता $P(E_1 | E_1 \cup E_2) = \frac{P(E_1)}{P(E_1) + P(E_2)} = \frac{6/36}{8/36} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ है।
अतः,$11$ से पहले $7$ आने की प्रायिकता $\frac{3}{4}$ है।

(A) यहाँ कुल संदेशों की संख्या $n = 500$ है और संदेश के सही ढंग से प्रसारित होने की प्रायिकता $0.98$ है।
इसलिए,संदेश के गलत तरीके से प्रसारित होने की प्रायिकता $p = 1 - 0.98 = 0.02$ है।
चूँकि $n$ बड़ा है और $p$ छोटा है,हम पॉइसन वितरण का उपयोग करेंगे जहाँ पैरामीटर $\lambda = np = 500 \times 0.02 = 10$ है।
गलत तरीके से प्रसारित संदेशों $X$ के लिए प्रायिकता $P(X=r) = \frac{\lambda^r e^{-\lambda}}{r!}$ द्वारा दी जाती है।
हमें अधिकतम एक संदेश के गलत तरीके से प्रसारित होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,अर्थात $P(X \leq 1) = P(X=0) + P(X=1)$।
$P(X=0) = \frac{10^0 e^{-10}}{0!} = e^{-10}$।
$P(X=1) = \frac{10^1 e^{-10}}{1!} = 10 e^{-10}$।
अतः,$P(X \leq 1) = e^{-10} + 10 e^{-10} = 11 e^{-10} = \frac{11}{e^{10}}$।

(B) द्विपद प्रायिकता वितरण पर विचार करें जहाँ $n = 5$ और $p = 0.2 = \frac{1}{5}$ है।
सफलता की प्रायिकता $p = \frac{1}{5}$,इसलिए विफलता की प्रायिकता $q = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ है।
हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है कि कम से कम दो ग्राहकों को प्रचार मिले,जो $P(X \geq 2)$ है।
इसकी गणना $P(X \geq 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]$ के रूप में की जा सकती है।
$P(X = 0) = { }^5 C_0 \left(\frac{1}{5}\right)^0 \left(\frac{4}{5}\right)^5 = 1 \times 1 \times \frac{1024}{3125} = \frac{1024}{3125}$.
$P(X = 1) = { }^5 C_1 \left(\frac{1}{5}\right)^1 \left(\frac{4}{5}\right)^4 = 5 \times \frac{1}{5} \times \frac{256}{625} = \frac{256}{625} = \frac{1280}{3125}$.
अतः,$P(X \geq 2) = 1 - \left(\frac{1024 + 1280}{3125}\right) = 1 - \frac{2304}{3125} = \frac{3125 - 2304}{3125} = \frac{821}{3125}$.

(B) दिया गया है कि $\lim _{t \rightarrow 0}(1+5t)^{\frac{1}{t}} = K$.
मानक सीमा $\lim _{t \rightarrow 0}(1+at)^{\frac{1}{t}} = e^a$ का उपयोग करने पर,हमें $K = e^5$ प्राप्त होता है।
यादृच्छिक चर $X$ के लिए जो $n = 100$ स्वतंत्र परीक्षणों में सफलताओं की संख्या को दर्शाता है और सफलता की प्रायिकता $p = 0.05$ है,यह द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है।
यहाँ $n$ बड़ा है और $p$ छोटा है,इसलिए हम पॉइसन वितरण का उपयोग करके $\lambda = np = 100 \times 0.05 = 5$ प्राप्त कर सकते हैं।
कम से कम एक सफलता प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ है।
पॉइसन सूत्र $P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ का उपयोग करने पर,$P(X = 0) = e^{-5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$P(X \geq 1) = 1 - e^{-5} = 1 - \frac{1}{e^5} = 1 - \frac{1}{K} = \frac{K-1}{K}$.

(D) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है। मान लीजिए $X$ दोनों पासों पर आने वाली संख्याओं का निरपेक्ष अंतर है। $X$ के संभावित मान $0, 1, 2, 3, 4, 5$ हैं। प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:
| $X$ | $P(X)$ | $P_i X_i$ |
|---|---|---|
| $0$ | $6/36$ | $0$ |
| $1$ | $10/36$ | $10/36$ |
| $2$ | $8/36$ | $16/36$ |
| $3$ | $6/36$ | $18/36$ |
| $4$ | $4/36$ | $16/36$ |
| $5$ | $2/36$ | $10/36$ |
माध्य $\mu$ का मान $\sum P_i X_i$ द्वारा दिया जाता है:
$\mu = 0 + \frac{10}{36} + \frac{16}{36} + \frac{18}{36} + \frac{16}{36} + \frac{10}{36}$
$\mu = \frac{10 + 16 + 18 + 16 + 10}{36} = \frac{70}{36} = \frac{35}{18}$.

(C) दिया गया है,$n = 50$. मान लीजिए $p$ एक परीक्षण में सफलता की प्रायिकता है। तब पॉइसन वितरण का प्राचल $\lambda = np = 50p$ है।
पॉइसन चर के लिए प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ है।
दिया गया समीकरण: $2 P(X=1) = 5 P(X=5) + 2 P(X=3)$.
सूत्र प्रतिस्थापित करने पर: $2 \frac{e^{-\lambda} \lambda^1}{1!} = 5 \frac{e^{-\lambda} \lambda^5}{5!} + 2 \frac{e^{-\lambda} \lambda^3}{3!}$.
दोनों पक्षों को $e^{-\lambda}$ से विभाजित करने पर $(e^{-\lambda} \neq 0)$: $2 \lambda = 5 \frac{\lambda^5}{120} + 2 \frac{\lambda^3}{6}$.
$2 \lambda = \frac{\lambda^5}{24} + \frac{\lambda^3}{3}$.
$24$ से गुणा करने पर: $48 \lambda = \lambda^5 + 8 \lambda^3$.
चूंकि $\lambda \neq 0$,$\lambda$ से विभाजित करने पर: $\lambda^4 + 8 \lambda^2 - 48 = 0$.
मान लीजिए $u = \lambda^2$,तो $u^2 + 8u - 48 = 0$.
$(u + 12)(u - 4) = 0$.
अतः,$\lambda^2 = 4$ या $\lambda^2 = -12$. चूंकि $\lambda^2$ धनात्मक होना चाहिए,$\lambda^2 = 4$,जिससे $\lambda = 2$ प्राप्त होता है।
अंत में,$p = \frac{\lambda}{n} = \frac{2}{50} = 0.04$.

(C) सबसे पहले,हम दिए गए वितरण का उपयोग करके $E(X)$ और $E(X^2)$ की गणना करते हैं:
$E(X) = \Sigma x P(X=x) = (-1)(\frac{1}{3}) + (0)(\frac{1}{6}) + (1)(\frac{1}{6}) + (2)(\frac{1}{3}) = -\frac{1}{3} + 0 + \frac{1}{6} + \frac{2}{3} = \frac{-2+0+1+4}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$E(X^2) = \Sigma x^2 P(X=x) = (-1)^2(\frac{1}{3}) + (0)^2(\frac{1}{6}) + (1)^2(\frac{1}{6}) + (2)^2(\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + 0 + \frac{1}{6} + \frac{4}{3} = \frac{2+0+1+8}{6} = \frac{11}{6}$
अब,हम $\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{11}{6} - (\frac{1}{2})^2 = \frac{11}{6} - \frac{1}{4} = \frac{22-3}{12} = \frac{19}{12}$ ज्ञात करते हैं।
अंत में,हम $6 E(X^2) - \operatorname{Var}(X)$ की गणना करते हैं:
$6 E(X^2) - \operatorname{Var}(X) = 6(\frac{11}{6}) - \frac{19}{12} = 11 - \frac{19}{12} = \frac{132-19}{12} = \frac{113}{12}$

(A) मान लीजिए $N$ पासे पर आने वाली संख्या है। $N$ के लिए संभावित मान $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ हैं।
यदि $N$ सम है $(N \in \{2, 4, 6\})$,तो चॉकलेट की संख्या $X = N + 2$ है।
$N = 2$ के लिए,$X = 2 + 2 = 4$ है।
$N = 4$ के लिए,$X = 4 + 2 = 6$ है।
$N = 6$ के लिए,$X = 6 + 2 = 8$ है।
यदि $N$ विषम है $(N \in \{1, 3, 5\})$,तो चॉकलेट की संख्या $X = N + 3$ है।
$N = 1$ के लिए,$X = 1 + 3 = 4$ है।
$N = 3$ के लिए,$X = 3 + 3 = 6$ है।
$N = 5$ के लिए,$X = 5 + 3 = 8$ है।
इस प्रकार,$X$ के सभी संभावित मानों का समुच्चय $\{4, 6, 8\}$ है।
अतः,$X$ का परिसर $\{4, 6, 8\}$ है।

(A) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो योग $X$,$2$ से $12$ तक के मान ले सकता है। प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:
$X: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12$
$P(X): \frac{1}{36}, \frac{2}{36}, \frac{3}{36}, \frac{4}{36}, \frac{5}{36}, \frac{6}{36}, \frac{5}{36}, \frac{4}{36}, \frac{3}{36}, \frac{2}{36}, \frac{1}{36}$
माध्य $\mu = E(X) = \sum X_i P(X_i) = \frac{2(1)+3(2)+4(3)+5(4)+6(5)+7(6)+8(5)+9(4)+10(3)+11(2)+12(1)}{36} = \frac{252}{36} = 7$.
अब,प्रायिकताओं की गणना करते हैं:
$P(X < 5) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = \frac{1+2+3}{36} = \frac{6}{36}$.
$P(X > 9) = P(X=10) + P(X=11) + P(X=12) = \frac{3+2+1}{36} = \frac{6}{36}$.
$P(X = 7) = \frac{6}{36}$.
इन मानों को व्यंजक $\mu + P(X < 5) + P(X > 9) + P(X = 7)$ में रखने पर:
$= 7 + \frac{6}{36} + \frac{6}{36} + \frac{6}{36} = 7 + \frac{18}{36} = 7 + \frac{1}{2} = \frac{15}{2}$.

(B) पॉइसन वितरण के लिए,प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $P(X=2) = P(X=3)$,इसलिए:
$\frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!} = \frac{\lambda^3 e^{-\lambda}}{3!}$
$\frac{\lambda^2}{2} = \frac{\lambda^3}{6}$
चूंकि $\lambda > 0$,हम $\lambda^2$ से विभाजित कर सकते हैं:
$\frac{1}{2} = \frac{\lambda}{6} \Rightarrow \lambda = 3$.
अब,हम $P(X=5)$ की गणना करते हैं:
$P(X=5) = \frac{3^5 e^{-3}}{5!} = \frac{243 e^{-3}}{120} = \frac{81 e^{-3}}{40} = \frac{81}{40 e^3}$.
अतः,विकल्प $B$ सही है।