List-I के फलनों को List-II में उनकी प्रकृति क | vedclass

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Question

(A-IV, B-III, C-II, D-I) $f: R \rightarrow R$,$f(x) = \cos(112x - 37)$। चूंकि $f(x)$ एक आवर्ती फलन है,यह बहु-एक है,इसलिए यह एकैकी नहीं है। इसका परिसर

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(A-IV, B-III, C-II, D-I) $f: R \rightarrow R$,$f(x) = \cos(112x - 37)$। चूंकि $f(x)$ एक आवर्ती फलन है,यह बहु-एक है,इसलिए यह एकैकी नहीं है। इसका परिसर $[-1, 1]$ है,जो सह-प्रांत $R$ का उचित उपसमुच्चय है,इसलिए यह आच्छादक नहीं है। अतः,$A \rightarrow IV$.$(B)$ $f: [-2, 2] \rightarrow [-4, 4]$,$f(x) = x|x|$। इसे $f(x) = \begin{cases} -x^2 & -2 \leq x $(C)$ $f: R \rightarrow R$,$f(x) = (x-2)(x-3)(x-5)$। चूंकि $f(2) = f(3) = f(5) = 0$,यह एकैकी नहीं है। चूंकि यह एक त्रिघात बहुपद है,इसका परिसर $R$ है,इसलिए यह आच्छादक है। अतः,$C \rightarrow II$.$(D)$ $f: N \rightarrow N$,$f(n) = n+1$। चूंकि $f(n_1) = f(n_2) \implies n_1+1 = n_2+1 \implies n_1 = n_2$,यह एकैकी है। इसका परिसर ${2, 3, 4, \dots}$ है,जो सह-प्रांत $N$ के बराबर नहीं है (क्योंकि $1$ परिसर में नहीं है),इसलिए यह आच्छादक नहीं है। अतः,$D \rightarrow I$.

$A$. $f: R \rightarrow R$,$f(x) = \cos(112x - 37)$ द्वारा परिभाषित	$I$. एकैकी (Injection) लेकिन आच्छादक (Surjection) नहीं
$B$. $f: A \rightarrow B$,$f(x) = x\|x\|$ द्वारा परिभाषित,जहाँ $A = [-2, 2]$ और $B = [-4, 4]$	$II$. आच्छादक लेकिन एकैकी नहीं
$C$. $f: R \rightarrow R$,$f(x) = (x-2)(x-3)(x-5)$ द्वारा परिभाषित	$III$. एकैकी और आच्छादक (Bijection)
$D$. $f: N \rightarrow N$,$f(n) = n+1$ द्वारा परिभाषित	$IV$. न तो एकैकी और न ही आच्छादक
	$V$. संयुक्त फलन

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यदि $f: Z \rightarrow Z$,$f(x) = \begin{cases} \frac{x}{2}, & \text{यदि } x \text{ सम है} \\ 0, & \text{यदि } x \text{ विषम है} \end{cases}$,तो $f$ है

मान लीजिए $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ है। तो $f: A \rightarrow A$ ऐसे आच्छादक (bijective) फलनों की संख्या,जिनके लिए $f(1) + f(2) = 3 - f(3)$ हो,$.....$ के बराबर है।

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