TS EAMCET 2019 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दो समांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ होती है।
माना रेखाएं $L_1: 3x + 4y + 5 = 0$ और $L_2: 3x + 4y - 5 = 0$ हैं।
रेखा $L: 3x + 4y + \lambda = 0$,$L_1$ और $L_2$ के बीच की दूरी को $3:7$ के अनुपात में विभाजित करती है।
$L$ और $L_1$ के बीच की दूरी $d_1 = \frac{|\lambda - 5|}{5}$ है।
$L$ और $L_2$ के बीच की दूरी $d_2 = \frac{|\lambda + 5|}{5}$ है।
दिया गया है कि $\frac{d_1}{d_2} = \frac{3}{7}$,इसलिए $\frac{|\lambda - 5|}{|\lambda + 5|} = \frac{3}{7}$।
$-5 < \lambda < 5$ मानते हुए,$\frac{5 - \lambda}{\lambda + 5} = \frac{3}{7}$ प्राप्त होता है।
$7(5 - \lambda) = 3(\lambda + 5) \Rightarrow 35 - 7\lambda = 3\lambda + 15$।
$10\lambda = 20 \Rightarrow \lambda = 2$।

(B) रेखा $y=x$ के सापेक्ष बिंदु $P(1,4)$ का परावर्तन $A(4,1)$ है।
अब,$X$-अक्ष की धनात्मक दिशा में $1$ इकाई की दूरी के स्थानांतरण के बाद,बिंदु $A(4,1)$ के नए निर्देशांक $B(5,1)$ हैं।
अब,मूल बिंदु के परितः वामावर्त दिशा में $\theta = \frac{\pi}{4}$ कोण पर बिंदु $B(5,1)$ के घूर्णन के बाद,नए निर्देशांक $(x', y')$ इस प्रकार हैं:
$x' = x \cos \theta - y \sin \theta = 5 \cos \frac{\pi}{4} - 1 \sin \frac{\pi}{4} = \frac{5}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$.
$y' = x \sin \theta + y \cos \theta = 5 \sin \frac{\pi}{4} + 1 \cos \frac{\pi}{4} = \frac{5}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$.
अतः,$C$ के निर्देशांक $(2\sqrt{2}, 3\sqrt{2})$ हैं।
इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(C) $(1, 2)$ और $(3, 4)$ बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा का ढाल $m = \frac{4-2}{3-1} = 1$ है।
माना अभीष्ट रेखाओं के ढाल $m_1$ और $m_2$ हैं। दी गई रेखा के साथ कोण $30^{\circ}$ है।
सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m - 1}{1 + m} \right|$ का उपयोग करने पर,$\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \left| \frac{m - 1}{m + 1} \right|$।
इस समीकरण को हल करने पर $m = 2 \pm \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $m_1 > m_2$,इसलिए $m_1 = 2 + \sqrt{3}$ और $m_2 = 2 - \sqrt{3}$।
अतः,$\frac{m_1}{m_2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = 7 + 4\sqrt{3}$।

(D) माना रेखा की ढाल $m$ है। बिंदु $(-5, 4)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y-4=m(x+5)$ है,जिसे $mx-y+5m+4=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
समांतर रेखाओं $x+2y+1=0$ और $x+2y-1=0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|1 - (-1)|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ है।
चूंकि इन दो समांतर रेखाओं के बीच रेखा द्वारा बनाया गया अंतःखंड उनके बीच की दूरी के बराबर है,इसलिए रेखा को दी गई समांतर रेखाओं के लंबवत होना चाहिए।
रेखाओं $x+2y+1=0$ और $x+2y-1=0$ की ढाल $m_1 = -\frac{1}{2}$ है।
अतः,अभीष्ट रेखा की ढाल $m = -\frac{1}{m_1} = 2$ होगी।
$m=2$ को समीकरण $y-4=m(x+5)$ में रखने पर,हमें $y-4=2(x+5)$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $2x-y+14=0$ प्राप्त होता है।

(D) रेखा का दिया गया समीकरण $x + \sqrt{3} y = -4$ है।
$X$-अंतःखंड $a$ ज्ञात करने के लिए,$y = 0$ रखें: $x = -4$,अतः $a = -4$।
$Y$-अंतःखंड $b$ ज्ञात करने के लिए,$x = 0$ रखें: $\sqrt{3} y = -4$,अतः $b = -\frac{4}{\sqrt{3}}$।
अभिलंब रूप $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ है।
$x + \sqrt{3} y = -4$ की तुलना $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ से करने पर,अचर पद को धनात्मक बनाने के लिए: $-x - \sqrt{3} y = 4$।
$\sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = 2$ से भाग देने पर,$-\frac{1}{2} x - \frac{\sqrt{3}}{2} y = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\cos \alpha = -\frac{1}{2}$ और $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$,जिससे $\alpha = \frac{4 \pi}{3}$ और $p = 2$ प्राप्त होता है।
अब,$\sqrt{3} \pi b p - 3 a \alpha$ की गणना करने पर:
$\sqrt{3} \pi \left( -\frac{4}{\sqrt{3}} \right) (2) - 3 (-4) \left( \frac{4 \pi}{3} \right) = -8 \pi + 16 \pi = 8 \pi$।

(B) रेखा $X$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ $120^{\circ}$ का कोण बनाती है। रेखा की ढाल $m = \tan(120^{\circ}) = -\sqrt{3}$ है।
मान लीजिए कि रेखा पर अभिलंब $X$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ $\alpha$ कोण बनाता है। अभिलंब रेखा के लंबवत है,इसलिए अभिलंब का कोण $\alpha = 120^{\circ} - 90^{\circ} = 30^{\circ}$ है।
मूल बिंदु से रेखा पर लंब की लंबाई $p = 4$ दी गई है।
रेखा के अभिलंब रूप का समीकरण $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ है।
मान रखने पर,$x \cos(30^{\circ}) + y \sin(30^{\circ}) = 4$.
$x(\frac{\sqrt{3}}{2}) + y(\frac{1}{2}) = 4$.
$2$ से गुणा करने पर,$\sqrt{3}x + y = 8$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई रेखाओं का युग्म $2x^2 + 5xy + 2y^2 = 0$ है।
गुणनखंड करने पर: $2x^2 + 4xy + xy + 2y^2 = 0$ $\Rightarrow 2x(x + 2y) + y(x + 2y) = 0$ $\Rightarrow (2x + y)(x + 2y) = 0$.
रेखाएँ $L_1: 2x + y = 0$ और $L_2: x + 2y = 0$ हैं।
इनकी ढाल $m_1 = -2$ और $m_2 = -\frac{1}{2}$ है।
तीसरी रेखा $L_3: x - 2y + 1 = 0$ की ढाल $m_3 = \frac{1}{2}$ है।
चूंकि $m_1 \times m_3 = (-2) \times (\frac{1}{2}) = -1$,इसलिए रेखाएँ $L_1$ और $L_3$ परस्पर लंब हैं। अतः,वे एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं। कथन $(A)$ सही है।
समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के लिए परस्पर लंब रेखाओं की शर्त $a + b = 0$ है। कारण $(R)$ सही है।
हालाँकि,$(R)$ द्विघात समीकरण द्वारा निरूपित रेखाओं के परस्पर लंब होने की शर्त है,न कि तीसरी रेखा के साथ समकोण त्रिभुज बनाने की शर्त। इसलिए,$(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या नहीं है।

(C) रेखा का समीकरण $2x + 7y + 6 = 0$ है।
रेखा की ढाल $m = -\frac{2}{7}$ है।
मूल बिंदु से रेखा पर खींचा गया अभिलंब रेखा के लंबवत होता है।
माना अभिलंब की ढाल $m'$ है। चूँकि अभिलंब रेखा के लंबवत है,$m \times m' = -1$ होगा।
$(-\frac{2}{7}) \times m' = -1 \Rightarrow m' = \frac{7}{2}$।
माना $\alpha$ वह कोण है जो अभिलंब धनात्मक $X$-अक्ष के साथ बनाता है। तब $\tan \alpha = m' = \frac{7}{2}$,इसलिए $\alpha = \tan^{-1} \frac{7}{2}$।
चित्र से,अभिलंब तीसरे चतुर्थांश में स्थित है,इसलिए धनात्मक $X$-अक्ष के साथ कोण $\theta = \pi + \alpha$ होगा।
अतः,$\theta = \pi + \tan^{-1} \frac{7}{2}$।

(C) माना $A$ के निर्देशांक $(a, 0)$ और $B$ के निर्देशांक $(0, b)$ हैं। $\triangle OAB$ का परिवृत्त $(0, 0)$,$(a, 0)$ और $(0, b)$ से होकर गुजरता है।
वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - ax - by = 0$ है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ पर इस वृत्त की स्पर्श रेखा $-ax - by = 0$ अर्थात $ax + by = 0$ है।
$A(a, 0)$ से रेखा $ax + by = 0$ की लंबवत दूरी $m = \frac{|a(a) + b(0)|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{a^2}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ है।
$B(0, b)$ से रेखा $ax + by = 0$ की लंबवत दूरी $n = \frac{|a(0) + b(b)|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{b^2}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ है।
इन दूरियों को जोड़ने पर,$m + n = \frac{a^2 + b^2}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \sqrt{a^2 + b^2}$ प्राप्त होता है।
वृत्त $x^2 + y^2 - ax - by = 0$ का व्यास $\sqrt{a^2 + b^2}$ है।
अतः,व्यास $m + n$ है।

(D) माना $(0, 2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y-2 = mx$ है,अर्थात $mx - y + 2 = 0$ है।
बिंदु $(4, 4)$ से इस रेखा की लंबवत दूरी $2$ इकाई है।
$\frac{|m(4) - 4 + 2|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 2$
$\frac{|4m - 2|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2$
$|2m - 1| = \sqrt{m^2 + 1}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$4m^2 - 4m + 1 = m^2 + 1$
$3m^2 - 4m = 0$
$m(3m - 4) = 0$
अतः,$m = 0$ या $m = \frac{4}{3}$ है।
स्थिति $1$: $m = 0$. रेखा $y = 2$ है। $(4, 4)$ से $y = 2$ पर लंब का पाद $D(4, 2)$ है।
स्थिति $2$: $m = \frac{4}{3}$. रेखा $y - 2 = \frac{4}{3}x$ है,अर्थात $4x - 3y + 6 = 0$ है। $(4, 4)$ से लंब का पाद $(x_1, y_1)$ के लिए $\frac{x_1 - 4}{4} = \frac{y_1 - 4}{-3} = -\frac{4(4) - 3(4) + 6}{4^2 + (-3)^2} = -\frac{10}{25} = -\frac{2}{5}$ है।
$x_1 = 4 - \frac{8}{5} = \frac{12}{5}$,$y_1 = 4 + \frac{6}{5} = \frac{26}{5}$ है। अतः $C(\frac{12}{5}, \frac{26}{5})$ है।
$D(4, 2)$ और $C(\frac{12}{5}, \frac{26}{5})$ को मिलाने वाली रेखा की ढाल $\frac{\frac{26}{5} - 2}{\frac{12}{5} - 4} = \frac{16/5}{-8/5} = -2$ है।
समीकरण $y - 2 = -2(x - 4)$ है,जो सरल होकर $y + 2x = 10$ हो जाता है।

(B) सामान्य द्विघात समीकरण $ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0$ में $xy$ पद को हटाने के लिए,अक्षों को $\theta$ कोण से घुमाया जाना चाहिए ताकि $\tan 2\theta = \frac{b}{a-c}$ हो।
$A_1$ के लिए: $a=3, b=5, c=3$. $\tan 2\theta_1 = \frac{5}{3-3} = \infty$ $\Rightarrow 2\theta_1 = \frac{\pi}{2}$ $\Rightarrow \theta_1 = \frac{\pi}{4}$.
$A_2$ के लिए: $a=5, b=2\sqrt{3}, c=3$. $\tan 2\theta_2 = \frac{2\sqrt{3}}{5-3} = \sqrt{3}$ $\Rightarrow 2\theta_2 = \frac{\pi}{3}$ $\Rightarrow \theta_2 = \frac{\pi}{6}$.
$A_3$ के लिए: $a=4, b=\sqrt{3}, c=5$. $\tan 2\theta_3 = \frac{\sqrt{3}}{4-5} = -\sqrt{3}$ $\Rightarrow 2\theta_3 = \frac{2\pi}{3}$ $\Rightarrow \theta_3 = \frac{\pi}{3}$.
कोणों की तुलना करने पर: $\frac{\pi}{3} > \frac{\pi}{4} > \frac{\pi}{6}$,जिसका अर्थ है कि $\theta_3 > \theta_1 > \theta_2$।

(C) तीन रेखाएँ त्रिभुज नहीं बनाती हैं यदि वे संगामी हों या उनमें से कोई भी दो रेखाएँ समांतर हों।
पहली दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$x+3y=5$ $(i)$
$5x+2y=12$ (ii)
$(i)$ को $5$ से गुणा करने पर: $5x+15y=25$ (iii)
(iii) में से (ii) घटाने पर: $13y=13 \Rightarrow y=1$.
$y=1$ को $(i)$ में रखने पर: $x+3(1)=5 \Rightarrow x=2$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 1)$ है।
रेखाओं के संगामी होने के लिए,यह बिंदु तीसरी रेखा $3x-ky-1=0$ को संतुष्ट करना चाहिए:
$3(2)-k(1)-1=0$ $\Rightarrow 6-k-1=0$ $\Rightarrow k=5$.
हालाँकि,विकल्पों की जाँच करने पर,हमें उस स्थिति पर भी विचार करना चाहिए जहाँ रेखाएँ समांतर हों।
यदि $3x-ky-1=0$,$5x+2y-12=0$ के समांतर है,तो $\frac{3}{5} = \frac{-k}{2} \Rightarrow k=-\frac{6}{5}$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही मान $k=-\frac{6}{5}$ है।

(A) माना बिंदु $(x_1, y_1)$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - y_1 - m(x - x_1) = 0$ है,जिसे $mx - y + (y_1 - mx_1) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
बिंदु $(x_0, y_0)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ पर लंबवत दूरी $\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ होती है। लंबों की लंबाइयों का बीजगणितीय योग लेने पर,हम चिन्हित दूरी $\frac{mx_0 - y_0 + y_1 - mx_1}{\sqrt{m^2 + 1}}$ का उपयोग करते हैं।
$(2, 0)$,$(0, 2)$ और $(1, 1)$ से लंबों का योग:
$\frac{(2m - 0 + y_1 - mx_1) + (0m - 2 + y_1 - mx_1) + (1m - 1 + y_1 - mx_1)}{\sqrt{m^2 + 1}} = 0$
अंश को सरल करने पर:
$(2m + y_1 - mx_1) + (y_1 - 2 - mx_1) + (m - 1 + y_1 - mx_1) = 0$
$m(2 + 1 - 3x_1) + (3y_1 - 3) = 0$
$m(3 - 3x_1) + 3(y_1 - 1) = 0$
चूंकि यह समीकरण किसी भी ढाल $m$ के लिए सत्य है,इसलिए $m$ के गुणांक और अचर पद को स्वतंत्र रूप से शून्य होना चाहिए:
$3 - 3x_1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1$
$3(y_1 - 1) = 0 \Rightarrow y_1 = 1$
अतः,$(x_1, y_1) = (1, 1)$।
इसलिए,विकल्प $(A)$ सही है।

(B) माना तीसरा शीर्ष $C(x, y)$ है। $A(1, -2)$,$B(-5, 3)$ और $C(x, y)$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल:
$\Delta = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 15$
$\frac{1}{2} |1(3 - y) + (-5)(y + 2) + x(-2 - 3)| = 15$
$|3 - y - 5y - 10 - 5x| = 30$
$|-5x - 6y - 7| = 30$
$|5x + 6y + 7| = 30$
इसका अर्थ है $5x + 6y + 7 = 30$ या $5x + 6y + 7 = -30$.
अतः,$5x + 6y - 23 = 0$ या $5x + 6y + 37 = 0$.
बिंदुओं का बिंदुपथ इन दो रेखाओं का संघ है,जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$(5x + 6y - 23)(5x + 6y + 37) = 0$.

(A) मान लीजिए $(x, y)$ कोई ऐसा बिंदु है जिसकी $(-3, 0)$ से दूरी $2$ इकाई से अधिक है।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए,शर्त $\sqrt{(x - (-3))^2 + (y - 0)^2} > 2$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $(x + 3)^2 + y^2 > 2^2$ प्राप्त होता है।
व्यंजक का विस्तार करने पर,$x^2 + 6x + 9 + y^2 > 4$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$x^2 + y^2 + 6x + 9 - 4 > 0$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदुपथ $x^2 + y^2 + 6x + 5 > 0$ है।

(B) माना $C(x, y)$ चर बिंदु है। माना $\angle CAB = \beta$ और $\angle CBA = \gamma$.
$AC$ की ढाल $m_1 = \frac{y}{x+a} = \tan \beta$ है।
$BC$ की ढाल $m_2 = \frac{y}{x-a}$ है। $\angle CBA = \gamma$ होने के कारण,$BC$ की ढाल $-\tan \gamma$ है।
अतः,$\tan \gamma = \frac{y}{a-x}$.
दिया है $\beta - \gamma = \alpha$,इसलिए $\tan(\beta - \gamma) = \tan \alpha$.
सूत्र $\tan(\beta - \gamma) = \frac{\tan \beta - \tan \gamma}{1 + \tan \beta \tan \gamma}$ का उपयोग करने पर:
$\tan \alpha = \frac{\frac{y}{x+a} - \frac{y}{a-x}}{1 + (\frac{y}{x+a})(\frac{y}{a-x})} = \frac{-2xy}{a^2-x^2+y^2}$.
अतः,$\tan \alpha = \frac{-2xy}{a^2-x^2+y^2}$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(a^2-x^2+y^2) \tan \alpha = -2xy$.
$\cot \alpha$ से गुणा करने पर: $a^2-x^2+y^2+2xy \cot \alpha = 0$.

(D) दिया गया है,मूल बिंदु $(h, k) = (1, -2)$ पर स्थानांतरित किया गया है।
मान लीजिए मूल निर्देशांक $(x, y) = (3, -2)$ हैं।
स्थानांतरण के बाद नए निर्देशांक $(\alpha, \beta)$,$\alpha = x - h$ और $\beta = y - k$ द्वारा प्राप्त होते हैं।
$\alpha = 3 - 1 = 2$ और $\beta = -2 - (-2) = 0$.
अतः,$(\alpha, \beta) = (2, 0)$.
अब,अक्षों को मूल बिंदु के चारों ओर $\theta = 45^{\circ}$ के कोण पर घुमाया जाता है।
घूर्णन के बाद नए निर्देशांक $(x', y')$ इस प्रकार हैं:
$x' = \alpha \cos \theta + \beta \sin \theta = 2 \cos 45^{\circ} + 0 \sin 45^{\circ} = \sqrt{2}$.
$y' = -\alpha \sin \theta + \beta \cos \theta = -2 \sin 45^{\circ} + 0 \cos 45^{\circ} = -\sqrt{2}$.
अतः,रूपांतरित निर्देशांक $(\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ हैं।

(D) माना परस्पर लंबवत रेखाएं निर्देशांक अक्ष हैं। छड़ के सिरे $(a, 0)$ और $(0, b)$ हैं। चूंकि छड़ की लंबाई $l$ है,इसलिए $a^2+b^2=l^2$ है।
माना बिंदु $(h, k)$ छड़ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$h = \frac{1 \cdot 0 + 2 \cdot a}{1+2} = \frac{2a}{3} \Rightarrow a = \frac{3h}{2}$
$k = \frac{1 \cdot b + 2 \cdot 0}{1+2} = \frac{b}{3} \Rightarrow b = 3k$
इन मानों को $a^2+b^2=l^2$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{3h}{2})^2 + (3k)^2 = l^2$
$\frac{9h^2}{4} + 9k^2 = l^2$
$9h^2 + 36k^2 = 4l^2$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदु पथ $9x^2+36y^2=4l^2$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $(d)$ सही है।

(B) रेखाओं के दिए गए युग्म हैं:
$(i)$ $xy+4x-5y-20=0 \Rightarrow (x-5)(y+4)=0$. यह रेखाओं $x=5$ और $y=-4$ को दर्शाता है।
(ii) $xy-5x+4y-20=0 \Rightarrow (x+4)(y-5)=0$. यह रेखाओं $x=-4$ और $y=5$ को दर्शाता है।
ये चार रेखाएँ शीर्षों $A(-4,-4)$,$B(5,-4)$,$C(5,5)$,और $D(-4,5)$ वाला एक वर्ग बनाती हैं।
विकर्ण $AC$ और $BD$ हैं।
$(-4,-4)$ और $(5,5)$ से गुजरने वाले विकर्ण $AC$ का समीकरण $y-(-4) = \frac{5-(-4)}{5-(-4)}(x-(-4))$ $\Rightarrow y+4 = x+4$ $\Rightarrow x-y=0$ है।
$(5,-4)$ और $(-4,5)$ से गुजरने वाले विकर्ण $BD$ का समीकरण $y-(-4) = \frac{5-(-4)}{-4-5}(x-5)$ $\Rightarrow y+4 = -1(x-5)$ $\Rightarrow x+y-1=0$ है।
विकर्णों का संयुक्त समीकरण $(x-y)(x+y-1)=0$ है।
$x^2+xy-x-xy-y^2+y=0 \Rightarrow x^2-y^2-x+y=0$.
इसे $x^2-y^2-kx+ly=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k=1$ और $l=1$ प्राप्त होता है।
अतः,$k+l = 1+1 = 2$।

(A) रेखाओं के युग्मों के दिए गए समीकरण हैं:
$xy+6y-4x-24=0$ $\Rightarrow (x+6)(y-4)=0$ $\Rightarrow x+6=0$ और $y-4=0$.
$xy+6x-4y-24=0$ $\Rightarrow (x-4)(y+6)=0$ $\Rightarrow x-4=0$ और $y+6=0$.
अतः,वर्ग के शीर्ष $A(4,4)$,$B(4,-6)$,$C(-6,-6)$,और $D(-6,4)$ हैं।
विकर्ण $AC$,$(4,4)$ और $(-6,-6)$ को जोड़ता है। इसकी ढाल $m = \frac{-6-4}{-6-4} = 1$ है। समीकरण $y-4 = 1(x-4) \Rightarrow x-y=0$ है।
विकर्ण $BD$,$(4,-6)$ और $(-6,4)$ को जोड़ता है। इसकी ढाल $m = \frac{4-(-6)}{-6-4} = -1$ है। समीकरण $y-4 = -1(x+6) \Rightarrow x+y+2=0$ है।
विकर्णों का संयुक्त समीकरण $(x-y)(x+y+2)=0$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2+xy+2x-xy-y^2-2y=0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2-y^2+2x-2y=0$ हो जाता है।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(A) माना मूल बिंदु से गुजरने वाली दो रेखाओं की प्रवणता (slopes) $m_1$ और $m_2$ हैं। चूँकि रेखाएँ लंबवत हैं,$m_1 m_2 = -1$,या $m_2 = -\frac{1}{m_1}$।
दिया गया है कि रेखाएँ रेखा $2x + 3y = 6$ के साथ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज बनाती हैं,इसलिए रेखाएँ आधार रेखा के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाती हैं।
रेखा $2x + 3y = 6$ की प्रवणता $m = -\frac{2}{3}$ है।
सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m}{1 + m_1 m} \right|$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\theta = 45^{\circ}$:
$1 = \left| \frac{m_1 - (-2/3)}{1 + m_1(-2/3)} \right| = \left| \frac{3m_1 + 2}{3 - 2m_1} \right|$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(3 - 2m_1)^2 = (3m_1 + 2)^2$।
$9 - 12m_1 + 4m_1^2 = 9m_1^2 + 12m_1 + 4$।
$5m_1^2 + 24m_1 - 5 = 0$।
यह द्विघात समीकरण दो रेखाओं की प्रवणता $m_1$ और $m_2$ देता है।
मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं $y = m_1x$ और $y = m_2x$ का संयुक्त समीकरण $(y - m_1x)(y - m_2x) = 0$ है,जो $y^2 - (m_1 + m_2)xy + m_1m_2x^2 = 0$ होता है।
द्विघात समीकरण $5m^2 + 24m - 5 = 0$ से,हमारे पास $m_1 + m_2 = -\frac{24}{5}$ और $m_1m_2 = -1$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $y^2 - (-\frac{24}{5})xy + (-1)x^2 = 0$।
$5y^2 + 24xy - 5x^2 = 0$,जो सरल होकर $5x^2 - 24xy - 5y^2 = 0$ हो जाता है।

(C) धनात्मक निर्देशांक अक्षों (प्रथम चतुर्थांश) के कोण का समद्विभाजक रेखा $y = x$ है।
चूंकि यह रेखा $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ समीकरण द्वारा निरूपित रेखाओं में से एक है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगी।
समीकरण में $y = x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$ax^2 + 2h(x)(x) + b(x)^2 = 0$
$ax^2 + 2hx^2 + bx^2 = 0$
$(a + 2h + b)x^2 = 0$
सभी $x$ के लिए यह सत्य होने हेतु,$a + 2h + b = 0$ होना चाहिए।
अतः,$a + b = -2h$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(a + b)^2 = (-2h)^2$,जो सरल होकर $(a + b)^2 = 4h^2$ हो जाता है।

(C) वक्र का समीकरण $2x^2 + 3y^2 = 6$ है,जिसे $2x^2 + 3y^2 - 6(1)^2 = 0$ लिखा जा सकता है।
रेखा के समीकरण $x + y = 1$ का उपयोग करते हुए,मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के युग्म का समीकरण:
$2x^2 + 3y^2 - 6(x + y)^2 = 0$
$2x^2 + 3y^2 - 6(x^2 + y^2 + 2xy) = 0$
$-4x^2 - 3y^2 - 12xy = 0$
$4x^2 + 12xy + 3y^2 = 0$.
इसे $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,$a = 4$,$2h = 12$ (अतः $h = 6$),और $b = 3$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$।
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{6^2 - 4(3)}}{4 + 3} \right| = \left| \frac{2\sqrt{36 - 12}}{7} \right| = \frac{2\sqrt{24}}{7} = \frac{4\sqrt{6}}{7}$।
$\tan \theta = \frac{4\sqrt{6}}{7}$ होने पर,कर्ण $\sqrt{(4\sqrt{6})^2 + 7^2} = \sqrt{145}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sin \theta = \frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{145}} = \sqrt{\frac{96}{145}}$।

(A) रेखाओं के युग्म का समीकरण $x^2+2 \sqrt{2} x y+k y^2=0$ है।
$ax^2+2hxy+by^2=0$ से तुलना करने पर,$a=1, h=\sqrt{2}, b=k$ है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}$ द्वारा दिया जाता है।
$\theta = 45^{\circ}$ दिया गया है,अतः $\tan 45^{\circ} = 1 = \frac{2\sqrt{2-k}}{1+k}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(1+k)^2 = 4(2-k)$ $\Rightarrow k^2+2k+1 = 8-4k$ $\Rightarrow k^2+6k-7=0$।
गुणनखंड करने पर $(k+7)(k-1)=0$ प्राप्त होता है। चूँकि $k>0$,इसलिए $k=1$ है।
रेखाओं के युग्म का समीकरण $x^2+2\sqrt{2}xy+y^2=0$ हो जाता है।
कोण समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$ $\Rightarrow \frac{x^2-y^2}{1-1} = \frac{xy}{\sqrt{2}}$ $\Rightarrow x^2-y^2=0$ है।
यह दो रेखाओं को दर्शाता है: $x-y=0$ और $x+y=0$।
तीसरी रेखा $x+2y+1=0$ है।
त्रिभुज के शीर्ष इन तीन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं:
$1$) $x-y=0$ और $x+y=0 \Rightarrow (0,0)$।
$2$) $x-y=0$ और $x+2y+1=0 \Rightarrow y=-1/3, x=-1/3$।
$3$) $x+y=0$ और $x+2y+1=0 \Rightarrow y=-1, x=1$।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$ सूत्र से प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0 + 1/3 + 1/3| = \frac{1}{3}$।

(C) दी गई सरल रेखाओं का युग्म: $3x^2+7xy+2y^2+5x+5y+2=0$.
गुणनखंड करने पर,$(3x+y+2)(x+2y+1)=0$ प्राप्त होता है।
रेखाएँ $L_1: 3x+y+2=0$ और $L_2: x+2y+1=0$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(-3/5, -1/5)$ है।
कोण समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{5x+3}{\sqrt{10}} = \pm \frac{5y+1}{\sqrt{5}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$7(5x+3)^2-2(5x+3)(5y+1)-7(5y+1)^2=0$ प्राप्त होता है।

(A) माना रेखाओं के युग्म का समीकरण $f(x, y) = 2x^2 - 13xy - 7y^2 + x + 23y - 6 = 0$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $\frac{\partial f}{\partial x} = 4x - 13y + 1 = 0$ और $\frac{\partial f}{\partial y} = -13x - 14y + 23 = 0$ को हल करते हैं।
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें प्रतिच्छेदन बिंदु $P(\frac{19}{15}, \frac{7}{15})$ प्राप्त होता है।
रेखा $L: x+y-1=0$,$O(0,0)$ और $P(\frac{19}{15}, \frac{7}{15})$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करती है।
अनुपात $-\frac{L(O)}{L(P)} = -\frac{0+0-1}{\frac{19}{15} + \frac{7}{15} - 1} = \frac{15}{11}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $15:11$ है।

(A) दिया गया समीकरण $x^2+4xy+ky^2-4x-10y+3=0$ रेखाओं का एक युग्म निरूपित करता है। इसके लिए सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -2 \\ 2 & k & -5 \\ -2 & -5 & 3 \end{array}\right| = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर: $1(3k-25) - 2(6-10) - 2(-10+2k) = 0$
$3k-25+8+20-4k = 0 \implies k = 3$.
समीकरण $x^2+4xy+3y^2-4x-10y+3=0$ बन जाता है।
गुणनखंड करने पर: $(x+y-3)(x+3y-1) = 0$.
रेखाएँ $x+y-3=0$ और $x+3y-1=0$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने पर: $x+y=3$ और $x+3y=1$. घटाने पर $2y = -2 \implies y = -1$,अतः $x = 4$. प्रतिच्छेदन बिंदु $(4, -1)$ है।
मूल बिंदु $(0,0)$ से $(4,-1)$ तक की दूरी $d = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{17}$,अतः $d^2 = 17$.
मूल बिंदु से रेखाओं $x+y-3=0$ और $x+3y-1=0$ पर लंबवत दूरियाँ $d_1 = \frac{|-3|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ और $d_2 = \frac{|-1|}{\sqrt{1^2+3^2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$ हैं।
गुणनफल $p = d_1 \times d_2 = \frac{3}{\sqrt{2} \times \sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{20}} = \frac{3}{2\sqrt{5}}$.
इस प्रकार,$p^2 = \frac{9}{20}$.
अंत में,$d^2 - 20p^2 = 17 - 20 \times \frac{9}{20} = 17 - 9 = 8$.

(D) दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2+4x+4y-10=0$ और $S_2: x^2+y^2-6x-6y+10=0$ हैं।
$S_1$ के लिए,केंद्र $C_1 = (-2, -2)$ और त्रिज्या $r_1 = 3\sqrt{2}$ है।
$S_2$ के लिए,केंद्र $C_2 = (3, 3)$ और त्रिज्या $r_2 = 2\sqrt{2}$ है।
स्पर्श बिंदु $P$,रेखाखंड $C_1C_2$ को $3:2$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
$P = (1, 1)$.
बाह्य समरूपता केंद्र $Q$,रेखाखंड $C_1C_2$ को $3:2$ के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है।
$Q = (13, 13)$.
$P(1, 1)$ और $Q(13, 13)$ को व्यास के सिरों के रूप में लेने वाले वृत्त का समीकरण $(x-1)(x-13) + (y-1)(y-13) = 0$ है।
$x^2 + y^2 - 14x - 14y + 26 = 0$.

(D) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-2x-6y+6=0$ है।
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $g=-1, f=-3, c=6$ प्राप्त होता है।
इस वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (1, 3)$ है और इसकी त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{1+9-6} = \sqrt{4} = 2$ है।
इस वृत्त का एक व्यास $O(2, 1)$ केंद्र वाले बड़े वृत्त की जीवा है।
इस जीवा की लंबाई छोटे वृत्त के व्यास के बराबर है,जो $2r = 2(2) = 4$ है।
माना $A(1, 3)$ छोटे वृत्त का केंद्र है और $B$ छोटे वृत्त की परिधि पर एक बिंदु है ताकि $AB$ त्रिज्या $r=2$ हो।
केंद्रों $(2, 1)$ और $(1, 3)$ के बीच की दूरी $OA = \sqrt{(2-1)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$ है।
बड़े वृत्त के केंद्र $O$,छोटे वृत्त के केंद्र $A$ और जीवा पर स्थित बिंदु $B$ द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,हमारे पास $R^2 = OA^2 + r^2$ है,जहाँ $R$ बड़े वृत्त की त्रिज्या है।
$R^2 = (\sqrt{5})^2 + 2^2 = 5 + 4 = 9$.
अतः,$R = \sqrt{9} = 3$.

(B) दिया गया है,चाप की लंबाई $l = 44 \text{ cm}$ है।
वृत्त की त्रिज्या $r = 12 \text{ cm}$ है।
केंद्र पर चाप द्वारा अंतरित कोण $\theta$ रेडियन में $\theta = \frac{l}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
$\theta = \frac{44}{12} = \frac{11}{3} \text{ रेडियन}$।
कोण को रेडियन से डिग्री में बदलने के लिए,हम $\frac{180}{\pi}$ से गुणा करते हैं।
$\theta_{\text{deg}} = \frac{11}{3} \times \frac{180}{\pi} = \frac{11 \times 60}{\pi} = \left(\frac{660}{\pi}\right)^{\circ}$।

(A) दिया गया परवलय $(y - 1)^2 = 8(x - 1)$ है।
इसका शीर्ष $(1, 1)$ है,जो वृत्त का केंद्र है।
वृत्त का समीकरण $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = r^2$ है।
परवलय का नाभिलंब $x = 3$ पर है,जिसके सिरे $(3, 5)$ और $(3, -3)$ हैं।
चूंकि ये बिंदु वृत्त पर स्थित हैं,$(3 - 1)^2 + (5 - 1)^2 = r^2 \Rightarrow 4 + 16 = 20 = r^2$।
अतः,वृत्त का समीकरण $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 20$ अर्थात $x^2 + y^2 - 2x - 2y - 18 = 0$ है।

(A) माना वृत्त का केंद्र $C(h, k)$ है।
चूंकि वृत्त $Y-$अक्ष को मूलबिंदु से $4$ इकाई की दूरी पर स्पर्श करता है,केंद्र $C(\pm r, 4)$ है,जहाँ $r$ त्रिज्या है।
अतः,वृत्त का समीकरण $(x \mp r)^2 + (y - 4)^2 = r^2$ है।
यह वृत्त $X-$अक्ष पर $6$ इकाई का अंतःखंड काटता है। $X-$अक्ष पर अंतःखंड की लंबाई $2\sqrt{r^2 - k^2}$ है,जहाँ $k=4$ है।
दिया है $2\sqrt{r^2 - 4^2} = 6$,इसलिए $\sqrt{r^2 - 16} = 3$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$r^2 - 16 = 9$,जिससे $r^2 = 25$ प्राप्त होता है,अतः $r = 5$ है।
केंद्र $C(\pm 5, 4)$ है।
समीकरण $(x \mp 5)^2 + (y - 4)^2 = 25$ है।
इसका विस्तार करने पर,$x^2 \mp 10x + 25 + y^2 - 8y + 16 = 25$ प्राप्त होता है।
$x^2 + y^2 \mp 10x - 8y + 16 = 0$।

(A) दिया गया वृत्त: $x^2+y^2-6x+12y+15=0$.
केंद्र $(3, -6)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{30}$ है।
दिए गए वृत्त का क्षेत्रफल $A = 30\pi$ है।
नए वृत्त का क्षेत्रफल $60\pi$ है,इसलिए $R^2 = 60$ है।
नए वृत्त का समीकरण: $(x-3)^2 + (y+6)^2 = 60$.
$x^2+y^2-6x+12y-15=0$.

(D) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-2x-4y-20=0$ है।
इसका केंद्र $(1, 2)$ है।
माना अभीष्ट वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है और इसकी त्रिज्या $r=5$ है।
चूंकि वृत्त $(5, 5)$ पर स्पर्श करते हैं,इसलिए $(5, 5)$ केंद्रों $(h, k)$ और $(1, 2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्यबिंदु है।
अतः,$\frac{h+1}{2} = 5 \Rightarrow h = 9$।
और $\frac{k+2}{2} = 5 \Rightarrow k = 8$।
अतः,अभीष्ट वृत्त का समीकरण $(x-9)^2 + (y-8)^2 = 5^2$ होगा।
इसे हल करने पर $x^2 + y^2 - 18x - 16y + 120 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) वक्र $y=x^2$ के लिए $(2,4)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{y+4}{2} = 2x$ है,जो $4x - y - 4 = 0$ हो जाता है।
$(2,4)$ पर स्पर्श करने वाले और $4x - y - 4 = 0$ स्पर्श रेखा वाले वृत्त का समीकरण $(x-2)^2 + (y-4)^2 + \lambda(4x - y - 4) = 0$ है।
वृत्त $(0,1)$ से गुजरता है,इसलिए $(0-2)^2 + (1-4)^2 + \lambda(0-1-4) = 0$।
इससे $4 + 9 - 5\lambda = 0$,अर्थात $\lambda = \frac{13}{5}$ प्राप्त होता है।
$\lambda$ का मान रखने पर,वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + x(\frac{52}{5} - 4) - y(8 + \frac{13}{5}) + (20 - \frac{52}{5}) = 0$ मिलता है।
वृत्त का केंद्र $(-\frac{1}{2}(\frac{52}{5} - 4), \frac{1}{2}(8 + \frac{13}{5})) = (-\frac{16}{5}, \frac{53}{10})$ है।

(B) दिए गए प्राचलिक समीकरण:
$x = \frac{2at}{1+t^2}$
$y = \frac{a(1-t^2)}{1+t^2}$
$t = \tan \theta$ रखने पर:
$x = a \sin 2\theta$
$y = a \cos 2\theta$
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$x^2 + y^2 = a^2 \sin^2 2\theta + a^2 \cos^2 2\theta$
$x^2 + y^2 = a^2(\sin^2 2\theta + \cos^2 2\theta)$
$x^2 + y^2 = a^2$
यह $a$ त्रिज्या वाले वृत्त का समीकरण है।
अतः,$a$ वृत्त की त्रिज्या है।

(D) कथन $I$: यदि बिंदु $P$ की ध्रुवीय रेखा बिंदु $Q$ से होकर गुजरती है,तो दो बिंदु $P(x_1, y_1)$ और $Q(x_2, y_2)$ वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के सापेक्ष संयुग्मी होते हैं। अतः,$I$ सत्य है।
कथन $II$: वृत्त $x^2+y^2=9$ के लिए रेखा $x+y+1=0$ का ध्रुव $(-9, -9)$ प्राप्त होता है। इसलिए,$II$ असत्य है।

(D) माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
चूंकि वृत्त $(1,1)$ से गुजरता है,$1+1+2g+2f+c=0$,जो $2g+2f+c+2=0$ $(i)$ में सरल होता है।
वृत्त $x^2+y^2+3x-5y+7=0$ के लंबकोणीय होने के कारण,$2g(3/2) + 2f(-5/2) = c+7$,जो $3g-5f-c-7=0$ (ii) में सरल होता है।
वृत्त $x^2+y^2-6x-10y+9=0$ के लंबकोणीय होने के कारण,$2g(-3) + 2f(-5) = c+9$,जो $6g+10f+c+9=0$ (iii) में सरल होता है।
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर: $5g-3f-5=0$ (iv)।
$(i)$ से $c = -2g-2f-2$ को (iii) में प्रतिस्थापित करने पर: $4g+8f+7=0$ $(v)$।
(iv) और $(v)$ को हल करने पर,$g = 19/52$ और $f = -55/52$ प्राप्त होता है।
अतः केंद्र $(-g, -f) = (-19/52, 55/52)$ है।
इसलिए,विकल्प $(d)$ सही है।

(D) माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
चूंकि यह $(1,-1)$ से गुजरता है,$1+1+2g-2f+c=0$,अर्थात $2g-2f+c=-2$ $(i)$।
$(1,-1)$ पर अभिलंब,स्पर्श रेखा $2x+3y+1=0$ के लंबवत है। स्पर्श रेखा की ढाल $-2/3$ है,इसलिए अभिलंब की ढाल $3/2$ है।
अभिलंब का समीकरण $y-(-1) = \frac{3}{2}(x-1)$,अर्थात $3x-2y-5=0$ है।
केंद्र $(-g, -f)$ अभिलंब पर स्थित है,इसलिए $-3g+2f=5$ (ii)।
वृत्त,व्यास के अंत बिंदुओं $(0,-1)$ और $(-2,3)$ वाले वृत्त $x^2+y^2+2x-2y-3=0$ के लंबकोणीय है।
लंबकोणीयता की शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1+c_2$ से $2g(1) + 2f(-1) = c-3$,अर्थात $2g-2f-c=-3$ (iii)।
$(i)$ और (iii) को जोड़ने पर $4g-4f=-5$ प्राप्त होता है।
समीकरणों को हल करने पर $g=-5/2, f=-5/4, c=1/2$ प्राप्त होता है।
इन मानों को रखने पर वृत्त का समीकरण $2x^2+2y^2-10x-5y+1=0$ प्राप्त होता है।

(A) रेखा $ax+by-1=0$ वृत्त $x^2+y^2-r^2=0$ की स्पर्शरेखा है,जिसका केंद्र $(0,0)$ और त्रिज्या $r$ है।
केंद्र $(0,0)$ से रेखा $ax+by-1=0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$\frac{|a(0)+b(0)-1|}{\sqrt{a^2+b^2}} = r$.
$\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}} = r$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\frac{1}{a^2+b^2} = r^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a^2+b^2 = \frac{1}{r^2}$.
यदि $r=1$ है,तो $a^2+b^2 = 1$,जिसका अर्थ है कि बिंदु $(a,b)$ वृत्त $x^2+y^2=1$ पर स्थित है,अर्थात $S_1=0$।

(C) रेखा $3x-y+k=0$ वृत्त $x^2+y^2+4x-6y+3=0$ को स्पर्श करती है।
वृत्त का केंद्र $(-2, 3)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 - 3} = \sqrt{10}$ है।
चूंकि रेखा वृत्त को स्पर्श करती है,केंद्र $(-2, 3)$ से रेखा $3x-y+k=0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होगी।
$\frac{|3(-2) - (3) + k|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \sqrt{10}$
$|k-9| = 10$
$k = 19$ या $k = -1$ प्राप्त होता है।
$k_1 < k_2$ होने के कारण,$k_1 = -1$ और $k_2 = 19$ है।
बिंदु $(-1, 19)$ के लिए स्पर्श जीवा का समीकरण:
$-x + 19y + 2(x-1) - 3(y+19) + 3 = 0$
$x + 16y - 56 = 0$.

(C) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+x+3y=0$ है।
माना $A$ और $B$ पर स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $P(h, k)$ है।
स्पर्श जीवा $AB$ का समीकरण $T=0$ द्वारा दिया जाता है:
$xh + yk + \frac{x+h}{2} + 3\left(\frac{y+k}{2}\right) = 0$
$x\left(h+\frac{1}{2}\right) + y\left(k+\frac{3}{2}\right) + \frac{h+3k}{2} = 0$.
इसे दी गई रेखा $x+y+1=0$ के साथ तुलना करने पर:
$\frac{h+1/2}{1} = \frac{k+3/2}{1} = \frac{(h+3k)/2}{1}$.
$h+1/2 = k+3/2$ से,हमें $h-k=1$ प्राप्त होता है।
$h+1/2 = (h+3k)/2$ से,हमें $2h+1 = h+3k$ प्राप्त होता है,यानी $h-3k = -1$.
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $k=1$ और $h=2$ प्राप्त होता है। अतः $P=(2, 1)$ है।
$A$ और $B$ से गुजरने वाले वृत्तों का परिवार $x^2+y^2+x+3y + \lambda(x+y+1) = 0$ है।
चूंकि यह वृत्त $P(2, 1)$ से गुजरता है,इसलिए $4+1+2+3 + \lambda(2+1+1) = 0$,जो $10 + 4\lambda = 0$ देता है,अतः $\lambda = -5/2$.
वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+x+3y - \frac{5}{2}(x+y+1) = 0$ है,जिसे सरल करने पर $x^2+y^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}y - \frac{5}{2} = 0$ प्राप्त होता है।
इस वृत्त का केंद्र $\left(-\frac{-3/2}{2}, -\frac{1/2}{2}\right) = \left(\frac{3}{4}, -\frac{1}{4}\right)$ है।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2gx-2hy+g^2+h^2-c^2=0$ है।
माना जीवा का मध्य बिंदु $P(x_1, x_1)$ रेखा $y=x$ पर है। मध्य बिंदु $(x_1, y_1)$ वाली जीवा का समीकरण $T=S_1$ है।
$(x_1, x_1)$ प्रतिस्थापित करने पर:
$xx_1 + yx_1 - g(x+x_1) - h(y+x_1) + g^2+h^2-c^2 = x_1^2+x_1^2-2gx_1-2hx_1+g^2+h^2-c^2$.
सरल करने पर,$x(x_1-g) + y(x_1-h) = 2x_1^2 - gx_1 - hx_1$.
चूँकि जीवा $(g, h+c)$ से गुजरती है:
$g(x_1-g) + (h+c)(x_1-h) = 2x_1^2 - gx_1 - hx_1$.
$gx_1 - g^2 + hx_1 - h^2 + cx_1 - ch = 2x_1^2 - gx_1 - hx_1$.
$2x_1^2 - (2g+2h+c)x_1 + (g^2+h^2+ch) = 0$.
दो अलग-अलग जीवाएँ होने के कारण,विविक्तकर $D > 0$:
$(2g+2h+c)^2 - 8(g^2+h^2+ch) > 0$.
$4g^2+4h^2+c^2+8gh+4gc+4hc - 8g^2 - 8h^2 - 8hc > 0$.
$-4g^2-4h^2+8gh-4hc+4gc+c^2 > 0$.
$-1$ से गुणा करने पर,$4g^2+4h^2-8gh+4hc-4gc-c^2 < 0$ प्राप्त होता है।

(A) माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+k=0$ है। चूंकि वृत्त $(2,0)$ और $(-2,0)$ से गुजरता है,हमारे पास $4+4g+k=0$ और $4-4g+k=0$ है। इन्हें हल करने पर $g=0$ और $k=-4$ प्राप्त होता है। अतः,वृत्त $x^2+y^2+2fy-4=0$ के रूप के हैं। माना दो वृत्त $C_1: x^2+y^2+2f_1y-4=0$ और $C_2: x^2+y^2+2f_2y-4=0$ हैं। चूंकि वे लंबकोणीय हैं,$2g_1g_2 + 2f_1f_2 = k_1+k_2$। यहाँ $g_1=g_2=0$ है,इसलिए $2f_1f_2 = -4-4 = -8$,जिसका अर्थ है $f_1f_2 = -4$। रेखा $y=mx+c$,$x^2+y^2+2fy-4=0$ की स्पर्शरेखा है,इसलिए केंद्र $(0,-f)$ से रेखा $mx-y+c=0$ की दूरी त्रिज्या $\sqrt{f^2+4}$ के बराबर है। इस प्रकार,$|-f-c|/\sqrt{m^2+1} = \sqrt{f^2+4}$,जो सरल होकर $(f+c)^2 = (m^2+1)(f^2+4)$ बन जाता है। विस्तार करने पर $f^2+2cf+c^2 = m^2f^2+4m^2+f^2+4$,या $m^2f^2-2cf+4m^2+4-c^2=0$ प्राप्त होता है। चूंकि $f_1$ और $f_2$ इस द्विघात समीकरण के मूल हैं,उनका गुणनफल $f_1f_2 = (4m^2+4-c^2)/m^2$ है। इसे $-4$ के बराबर रखने पर,$(4m^2+4-c^2)/m^2 = -4$,इसलिए $4m^2+4-c^2 = -4m^2$,जो सरल होकर $c^2 = 8m^2+4 = 4(1+2m^2)$ प्राप्त होता है।

(D) माना अभीष्ट वृत्त $S_3: x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2-4x-6y+4=0$ और $S_2: x^2+y^2+6x-4y+15=0$ हैं।
चूंकि $S_3, S_1$ को लंबकोणीय काटता है,$2g(-2) + 2f(-3) = c + 4 \implies 4g + 6f + c = -4 \dots(1)$.
चूंकि $S_3, S_2$ को लंबकोणीय काटता है,$2g(3) + 2f(-2) = c + 15 \implies 6g - 4f - c = 15 \dots(2)$.
चूंकि $S_3, (1,1)$ से गुजरता है,$2g + 2f + c = -2 \dots(3)$.
समीकरणों को हल करने पर,$g=\frac{4}{3}, f=-\frac{7}{6}, c=-\frac{7}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$5g + 2f + c = 5(\frac{4}{3}) + 2(-\frac{7}{6}) - \frac{7}{3} = 2$.

(C) दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2+ax+4=0$ और $S_2: x^2+y^2+by+4=0$ हैं।
केंद्र $C_1 = (\frac{-a}{2}, 0)$ और $C_2 = (0, \frac{-b}{2})$ हैं।
त्रिज्याएँ $r_1 = \frac{\sqrt{a^2-16}}{2}$ और $r_2 = \frac{\sqrt{b^2-16}}{2}$ हैं।
वृत्तों के एक-दूसरे को स्पर्श करने के लिए,केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2 = r_1 + r_2$ होनी चाहिए।
$\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{a^2-16} + \sqrt{b^2-16}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $a^2+b^2 = a^2-16 + b^2-16 + 2\sqrt{(a^2-16)(b^2-16)}$.
$32 = 2\sqrt{(a^2-16)(b^2-16)} \Rightarrow 16 = \sqrt{(a^2-16)(b^2-16)}$.
पुनः वर्ग करने पर: $256 = a^2b^2 - 16a^2 - 16b^2 + 256$.
$a^2b^2 = 16(a^2+b^2)$.
$16a^2b^2$ से भाग देने पर: $\frac{1}{16} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{a^2}$.

(A-IV, B-I, C-III, D-II) दिए गए वृत्त $S_\alpha: x^2+y^2+2\alpha x+k=0$ और $S_\beta: x^2+y^2+2\beta y-k=0$ हैं,जहाँ $k>0$ है।
$(A)$ $S_\alpha=0$ के लिए,त्रिज्या $r = \sqrt{\alpha^2-k}$ है। बिंदु वृत्त के लिए,$r=0$,अतः $\alpha^2-k=0 \Rightarrow \alpha = \pm \sqrt{k}$। केंद्र $(-\alpha, 0) = (\mp \sqrt{k}, 0)$ है। अतः,बिंदु वृत्त $(\pm \sqrt{k}, 0)$ हैं। यह (iv) से मेल खाता है।
$(B)$ $S_\beta=0$ के लिए,त्रिज्या $r = \sqrt{\beta^2-(-k)} = \sqrt{\beta^2+k}$ है। चूंकि $k>0$,सभी वास्तविक $\beta$ के लिए $\beta^2+k > 0$ है। अतः,$r$ कभी भी $0$ नहीं हो सकता। बिंदु वृत्त अस्तित्व में नहीं हैं। यह $(i)$ से मेल खाता है।
$(C)$ $S_\alpha=0$ के लिए,त्रिज्या $r = \sqrt{\alpha^2-k}$ है। यदि $\alpha^2 < k$ है,तो त्रिज्या काल्पनिक है,जिसका अर्थ है कि वृत्त अस्तित्व में नहीं हैं। यदि $\alpha^2 > k$ है,तो वृत्त वास्तविक और गैर-प्रतिच्छेदी हैं। यह (iii) से मेल खाता है।
$(D)$ $S_\beta=0$ के लिए,त्रिज्या $r = \sqrt{\beta^2+k}$ है। ये $y$-अक्ष पर केंद्र वाले वृत्तों का एक परिवार है। विभिन्न $\beta$ के लिए उनकी त्रिज्या अलग-अलग होने के कारण,वे प्रतिच्छेदी हैं। यह (ii) से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $A-(iv), B-(i), C-(iii), D-(ii)$ है।

(B) दिए गए वृत्तों के समीकरण:
$x^2+y^2-2x+4y-4=0$
$x^2+y^2+4x-4y+\alpha=0$
पहले वृत्त के लिए,केंद्र $C_1 = (1, -2)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{1^2 + (-2)^2 - (-4)} = 3$.
दूसरे वृत्त के लिए,केंद्र $C_2 = (-2, 2)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 - \alpha} = \sqrt{8-\alpha}$.
दो वृत्तों में $4$ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएं होने के लिए,उनके केंद्रों के बीच की दूरी $d = C_1C_2$ उनकी त्रिज्याओं के योग से अधिक होनी चाहिए:
$d > r_1 + r_2$
$d = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5$.
अतः,$5 > 3 + \sqrt{8-\alpha}$
$2 > \sqrt{8-\alpha}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$4 > 8 - \alpha$
$\alpha > 4$.
$\alpha$ का $4$ से बड़ा न्यूनतम पूर्णांक मान $5$ है।

(D) दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2-3x+y-10=0$ और $S_2: x^2+y^2-x+2y-20=0$ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ अर्थात $2x+y-10=0$ है।
वृत्तों के परिवार का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ है।
इस वृत्त का केंद्र $(\frac{3+\lambda}{2(1+\lambda)}, \frac{-(1+2\lambda)}{2(1+\lambda)})$ है।
केंद्र $2x+y-10=0$ पर स्थित है,जिससे $\lambda = -\frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
$\lambda$ का मान रखने पर,$x^2+y^2-9x-2y+20=0$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए वृत्तों के समीकरणों को घटाने पर उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण प्राप्त होता है: $(x^2+y^2-6x-4y+9) - (x^2+y^2-8x-6y+23) = 0$
यह $2x + 2y - 14 = 0$ या $x + y - 7 = 0$ में सरल हो जाता है।
वृत्त $x^2+y^2-6x-4y+9=0$ के लिए,केंद्र $(3, 2)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{3^2 + 2^2 - 9} = 2$ है।
केंद्र $(3, 2)$ से रेखा $x + y - 7 = 0$ पर लंबवत दूरी $d = \frac{|3 + 2 - 7|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ है।
उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{2^2 - (\sqrt{2})^2} = 2\sqrt{4 - 2} = 2\sqrt{2}$ है।

(A) माना $I = \int_{\pi/4}^{\pi/2} \cot^9 x \, dx$.
$t = \sin x$ प्रतिस्थापन करने पर,$dt = \cos x \, dx$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cot^9 x = \frac{\cos^9 x}{\sin^9 x} = \frac{(\cos^2 x)^4 \cos x}{\sin^9 x} = \frac{(1-t^2)^4}{t^9}$,इसलिए:
$I = \int_{1/\sqrt{2}}^{1} \frac{(1-t^2)^4}{t^9} \, dt$.
$(1-t^2)^4 = 1 - 4t^2 + 6t^4 - 4t^6 + t^8$ का विस्तार करने पर:
$I = \int_{1/\sqrt{2}}^{1} (t^{-9} - 4t^{-7} + 6t^{-5} - 4t^{-3} + t^{-1}) \, dt$.
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$I = \left[ \frac{t^{-8}}{-8} - 4\frac{t^{-6}}{-6} + 6\frac{t^{-4}}{-4} - 4\frac{t^{-2}}{-2} + \log|t| \right]_{1/\sqrt{2}}^{1}$.
$I = \left[ -\frac{1}{8t^8} + \frac{2}{3t^6} - \frac{3}{2t^4} + \frac{2}{t^2} + \log t \right]_{1/\sqrt{2}}^{1}$.
सीमाओं का मान रखने पर:
$t=1$ पर: $-\frac{1}{8} + \frac{2}{3} - \frac{3}{2} + 2 + \log 1 = \frac{25}{24}$.
$t=1/\sqrt{2}$ पर: $-2 + \frac{16}{3} - 6 + 4 - \frac{1}{2} \log 2 = \frac{32}{24} - \frac{1}{2} \log 2$.
$I = \frac{25}{24} - (\frac{32}{24} - \frac{1}{2} \log 2) = -\frac{7}{24} + \frac{1}{2} \log 2$.

(A) माना $I = \int_{\frac{1}{3}}^3 \frac{1}{x} \sin \left(\frac{1}{x}-x\right) d x$.
$x = \frac{1}{t}$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = -\frac{1}{t^2} dt$ प्राप्त होता है।
जब $x = \frac{1}{3}$ तब $t = 3$ और जब $x = 3$ तब $t = \frac{1}{3}$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int_3^{\frac{1}{3}} t \sin \left(t - \frac{1}{t}\right) \left(-\frac{1}{t^2}\right) dt$
$I = \int_3^{\frac{1}{3}} -\frac{1}{t} \sin \left(t - \frac{1}{t}\right) dt$
गुणधर्म $\sin(- \theta) = -\sin(\theta)$ का उपयोग करने पर,$\sin(t - \frac{1}{t}) = -\sin(\frac{1}{t} - t)$ प्राप्त होता है।
$I = \int_3^{\frac{1}{3}} \frac{1}{t} \sin \left(\frac{1}{t} - t\right) dt$
समाकलन की सीमाओं को बदलने पर चिह्न बदल जाता है:
$I = -\int_{\frac{1}{3}}^3 \frac{1}{t} \sin \left(\frac{1}{t} - t\right) dt$
चूंकि समाकलन का चर एक डमी चर है,हम $t$ को $x$ से बदल सकते हैं:
$I = -\int_{\frac{1}{3}}^3 \frac{1}{x} \sin \left(\frac{1}{x} - x\right) dx$
$I = -I$
$2I = 0 \implies I = 0$.

(C) माना $I = \int_0^{\pi / 4} \frac{\cos ^2 x}{\cos ^2 x+4 \sin ^2 x} d x$.
अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^{\pi / 4} \frac{1}{1+4 \tan ^2 x} d x$.
माना $\tan x = t$,तब $\sec^2 x dx = dt$,जिसका अर्थ है $dx = \frac{dt}{1+t^2}$.
जब $x=0, t=0$ और जब $x=\frac{\pi}{4}, t=1$.
अतः,$I = \int_0^1 \frac{1}{(1+t^2)(1+4t^2)} dt$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{(1+t^2)(1+4t^2)} = \frac{1}{3} \left( \frac{4}{1+4t^2} - \frac{1}{1+t^2} \right)$.
$I = \frac{1}{3} \int_0^1 \left( \frac{4}{1+4t^2} - \frac{1}{1+t^2} \right) dt$.
$I = \frac{1}{3} \left[ 2 \tan^{-1}(2t) - \tan^{-1}(t) \right]_0^1$.
$I = \frac{1}{3} \left[ (2 \tan^{-1}(2) - \tan^{-1}(1)) - (0 - 0) \right]$.
$I = \frac{1}{3} \left[ 2 \tan^{-1}(2) - \frac{\pi}{4} \right] = \frac{2}{3} \tan^{-1}(2) - \frac{\pi}{12}$.

(C) दिया गया समाकलन $I = \int_{-1}^{1} [x+2[x+2[x]]] dx$ है।
किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए $[x+n] = [x]+n$ गुणधर्म का उपयोग करके,हम समाकलन के अंदर के व्यंजक को सरल करते हैं:
$[x+2[x+2[x]]] = [x] + 2[x+2[x]] = [x] + 2([x] + 2[x]) = [x] + 2[x] + 4[x] = 7[x]$.
अब,इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_{-1}^{1} 7[x] dx = 7 \int_{-1}^{1} [x] dx$.
समाकलन को अंतरालों में विभाजित करने पर:
$I = 7 \left( \int_{-1}^{0} [x] dx + \int_{0}^{1} [x] dx \right)$.
$x \in [-1, 0)$ के लिए,$[x] = -1$. $x \in [0, 1)$ के लिए,$[x] = 0$.
$I = 7 \left( \int_{-1}^{0} (-1) dx + \int_{0}^{1} (0) dx \right) = 7 ([-x]_{-1}^{0} + 0) = 7(-1) = -7$.

(B) दिया गया है कि $f(x)$ एक सम फलन है जिसका आवर्तकाल $2$ है।
चूंकि $f(x)$ का आवर्तकाल $2$ है,इसलिए किसी भी $a$ के लिए $\int_0^2 f(t) dt = \int_a^{a+2} f(t) dt$ होता है।
साथ ही,एक सम फलन के लिए $\int_{-a}^a f(t) dt = 2 \int_0^a f(t) dt$ होता है।
विशेष रूप से,$\int_{-1}^1 f(t) dt = 2 \int_0^1 f(t) dt$।
आवर्तकाल $2$ होने के कारण,$\int_0^2 f(t) dt = \int_{-1}^1 f(t) dt = 2 \int_0^1 f(t) dt$ होता है।
अब,$g(x+2) = \int_0^{x+2} f(t) dt = \int_0^2 f(t) dt + \int_2^{x+2} f(t) dt$।
आवर्तकाल के गुणधर्म का उपयोग करने पर $\int_2^{x+2} f(t) dt = \int_0^x f(t) dt = g(x)$ प्राप्त होता है।
अतः,$g(x+2) = g(2) + g(x)$।

(D) माना $I = \int_{-1}^{3/2} |x \sin(\pi x)| dx$.
चूँकि $x \in [-1, 0]$ और $x \in [1, 3/2]$ के लिए $x \sin(\pi x) \ge 0$ है,और $x \in [0, 1]$ के लिए $x \sin(\pi x) \le 0$ है,हम समाकलन को विभाजित करते हैं:
$I = \int_{-1}^{0} -x \sin(\pi x) dx + \int_{0}^{1} x \sin(\pi x) dx + \int_{1}^{3/2} -x \sin(\pi x) dx$.
सम फलन के लिए $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए,ध्यान दें कि $f(x) = x \sin(\pi x)$ एक सम फलन है।
अतः,$I = 2 \int_{0}^{1} x \sin(\pi x) dx - \int_{1}^{3/2} x \sin(\pi x) dx$.
खंडशः समाकलन $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करते हुए:
$\int x \sin(\pi x) dx = -\frac{x \cos(\pi x)}{\pi} + \frac{\sin(\pi x)}{\pi^2}$.
पहले भाग का मूल्यांकन: $2 \left[ -\frac{x \cos(\pi x)}{\pi} + \frac{\sin(\pi x)}{\pi^2} \right]_{0}^{1} = 2 \left[ (\frac{1}{\pi} + 0) - (0 + 0) \right] = \frac{2}{\pi}$.
दूसरे भाग का मूल्यांकन: $-\left[ -\frac{x \cos(\pi x)}{\pi} + \frac{\sin(\pi x)}{\pi^2} \right]_{1}^{3/2} = -\left[ (0 - \frac{1}{\pi^2}) - (\frac{1}{\pi} + 0) \right] = \frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{\pi}$.
दोनों को जोड़ने पर: $I = \frac{2}{\pi} + \frac{1}{\pi} + \frac{1}{\pi^2} = \frac{3}{\pi} + \frac{1}{\pi^2}$.

(A) दिया गया है $f(x) = \int_x^{x+1} e^{-t^2} dt$।
समाकलन चिह्न के अंतर्गत अवकलन के लिए लीबनिज नियम का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f'(x) = e^{-(x+1)^2} \cdot \frac{d}{dx}(x+1) - e^{-x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x)$
$f'(x) = e^{-(x+1)^2} - e^{-x^2}$
$f(x)$ के ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) < 0$ होना चाहिए।
$e^{-(x+1)^2} - e^{-x^2} < 0$
$e^{-(x+1)^2} < e^{-x^2}$
चूंकि घातांकीय फलन $e^u$ निरंतर वर्धमान है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$-(x+1)^2 < -x^2$
$-1$ से गुणा करने पर असमिका बदल जाएगी:
$(x+1)^2 > x^2$
$x^2 + 2x + 1 > x^2$
$2x + 1 > 0$
$2x > -1$
$x > -\frac{1}{2}$
अतः,वह अंतराल जिसमें $f(x)$ ह्रासमान है,वह $\left(-\frac{1}{2}, \infty\right)$ है।

(A) हमारे पास है,
$I = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+k^2} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{k/n}{1+(k/n)^2}$
योगफल की सीमा के रूप में निश्चित समाकलन की परिभाषा के अनुसार,हम $\frac{k}{n}$ को $x$ से और $\frac{1}{n}$ को $dx$ से प्रतिस्थापित करते हैं,जहाँ समाकलन की सीमा $0$ से $1$ है।
$I = \int_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx$
मान लीजिए $u = 1+x^2$,तो $du = 2x dx$,जिसका अर्थ है $x dx = \frac{1}{2} du$.
जब $x=0, u=1$ और जब $x=1, u=2$.
$I = \frac{1}{2} \int_1^2 \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} [\log |u|]_1^2 = \frac{1}{2} (\log 2 - \log 1) = \frac{1}{2} \log 2$.

(A) माना कि $S_n = \sum_{r=1}^n \frac{n}{n^2+r^2}$.
हम व्यंजक को $S_n = \sum_{r=1}^n \frac{n}{n^2(1 + \frac{r^2}{n^2})} = \sum_{r=1}^n \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + (\frac{r}{n})^2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
जब $n \rightarrow \infty$ हो,तब सीमा लेने पर,हम निश्चित समाकलन की परिभाषा का उपयोग करते हैं:
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n f(\frac{r}{n}) = \int_0^1 f(x) dx$.
यहाँ,$f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ है।
अतः,$S = \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx$.
समाकलन का मान ज्ञात करने पर,हमें $S = [\tan^{-1} x]_0^1 = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int_0^{10} (5 - \sqrt{10x - x^2}) \, dx$.
सबसे पहले,वर्गमूल के अंदर पूर्ण वर्ग बनाएं: $10x - x^2 = -(x^2 - 10x) = -(x^2 - 10x + 25 - 25) = 25 - (x - 5)^2$.
अतः,$I = \int_0^{10} 5 \, dx - \int_0^{10} \sqrt{5^2 - (x - 5)^2} \, dx$.
पहला भाग $\int_0^{10} 5 \, dx = [5x]_0^{10} = 50$ है।
दूसरे भाग के लिए,सूत्र $\int \sqrt{a^2 - u^2} \, du = \frac{u}{2}\sqrt{a^2 - u^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{u}{a})$ का उपयोग करें।
यहाँ $u = x - 5$,इसलिए $du = dx$. जब $x=0, u=-5$; जब $x=10, u=5$.
$\int_{-5}^5 \sqrt{5^2 - u^2} \, du = [\frac{u}{2}\sqrt{25 - u^2} + \frac{25}{2}\sin^{-1}(\frac{u}{5})]_{-5}^5$.
$= (0 + \frac{25}{2}\sin^{-1}(1)) - (0 + \frac{25}{2}\sin^{-1}(-1)) = \frac{25}{2}(\frac{\pi}{2}) - \frac{25}{2}(-\frac{\pi}{2}) = \frac{25\pi}{4} + \frac{25\pi}{4} = \frac{25\pi}{2}$.
इस प्रकार,$I = 50 - \frac{25\pi}{2} = \frac{100 - 25\pi}{2} = \frac{1}{2}(100 - 25\pi)$.

(C) अवकल समीकरण $\frac{d^2 y}{d x^2}-2\left(\frac{d y}{d x}\right)^3+\sin \left(\frac{d y}{d x}\right)+y=0$ की कोटि $l=2$ है।
$\left(1+\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{\frac{2}{3}}=\left[2-\left(\frac{d y}{d x}\right)^3\right]^{\frac{3}{2}}$ की घात ज्ञात करने के लिए,दोनों पक्षों का घन करने पर: $\left(1+\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2 = \left[2-\left(\frac{d y}{d x}\right)^3\right]^{\frac{9}{2}}$। भिन्नात्मक घातों को हटाने के लिए पुनः वर्ग करने पर,उच्चतम अवकलज $\frac{d^2 y}{d x^2}$ की घात $2 \times 2 = 4$ होगी। अतः,$m=4$ है।
दिया गया है $y=A x^2+B e^{4 x}$।
$y^{\prime}=2 A x+4 B e^{4 x}$
$y^{\prime \prime}=2 A+16 B e^{4 x}$
$A$ और $B$ को विलुप्त करने पर,हमें अवकल समीकरण $\left(2 x^2-x\right) y^{\prime \prime}-\left(8 x^2-1\right) y^{\prime}+(16 x-4) y=0$ प्राप्त होता है।

(C) मूल बिंदु $(0,0)$ पर फोकस और $X$-अक्ष को अपनी अक्ष मानने वाले परवलयों के परिवार का समीकरण $(y-0)^2 = -4a(x-a)$ है,जहाँ $a$ एक प्राचल है।
$y^2 = -4ax + 4a^2$ $(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y y' = -4a$
$a = -\frac{y y'}{2}$
$a$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$y^2 = -4\left(-\frac{y y'}{2}\right)x + 4\left(-\frac{y y'}{2}\right)^2$
$y^2 = 2x y y' + 4\left(\frac{y^2 y'^2}{4}\right)$
$y^2 = 2x y y' + y^2 y'^2$
$y$ से भाग देने पर ($y \neq 0$ मानते हुए):
$y = 2x y' + y y'^2$
$y\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + 2x\left(\frac{dy}{dx}\right) - y = 0$
इस अवकल समीकरण की कोटि $m = 1$ है और घात $n = 2$ है।
अतः,$mn - m + n = (1)(2) - 1 + 2 = 2 - 1 + 2 = 3$.

(C) $r$ स्थिर त्रिज्या और केंद्र $(a, b)$ वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2(x-a) + 2(y-b)y' = 0 \Rightarrow x-a = -(y-b)y'$।
इसे वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(y-b)^2 (y')^2 + (y-b)^2 = r^2 \Rightarrow (y-b)^2 [1 + (y')^2] = r^2 \Rightarrow y-b = \frac{\pm r}{\sqrt{1+(y')^2}}$।
$x-a = -(y-b)y'$ का पुनः अवकलन करने पर: $1 = -[y'' (y-b) + (y')^2]$।
$y-b$ का मान रखने पर: $1 + (y')^2 = -y'' \left( \frac{\pm r}{\sqrt{1+(y')^2}} \right)$।
सरल करने पर: $1 + (y')^2 = \mp \frac{r y''}{\sqrt{1+(y')^2}} \Rightarrow (1+(y')^2)^{3/2} = \mp r y''$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(1+(y')^2)^3 = r^2 (y'')^2$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $y dx - x dy + 3x^2 y^2 e^{x^3} dx = 0$.
पूरे समीकरण को $y^2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{y dx - x dy}{y^2} + 3x^2 e^{x^3} dx = 0$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $d(\frac{x}{y}) + d(e^{x^3}) = 0$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{x}{y} + e^{x^3} = C$,जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।
दिया गया है कि जब $x = 1$ है तब $y = 1$,इसलिए मान रखने पर: $\frac{1}{1} + e^{1^3} = C \Rightarrow C = 1 + e$.
$C$ का मान समीकरण में रखने पर: $\frac{x}{y} + e^{x^3} = 1 + e$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{x}{y} = 1 + e - e^{x^3} \Rightarrow x = y(1 + e - e^{x^3}) \Rightarrow x + y(e^{x^3} - (1 + e)) = 0$.

(C) अचर त्रिज्या $r$ और केंद्र $(a, b)$ वाले वृत्तों के परिवार का सामान्य समीकरण $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ है।
चूंकि इसमें दो स्वेच्छ अचर $a$ और $b$ हैं,इसलिए अवकल समीकरण की कोटि $k = 2$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2(x-a) + 2(y-b)y' = 0 \Rightarrow (x-a) + (y-b)y' = 0$.
पुनः अवकलन करने पर: $1 + (y')^2 + (y-b)y'' = 0 \Rightarrow (y-b) = -\frac{1+(y')^2}{y''}$.
इस मान को प्रथम अवकलज समीकरण में रखने पर: $(x-a) = -y' \left(-\frac{1+(y')^2}{y''}\right) = \frac{y'(1+(y')^2)}{y''}$.
$(x-a)$ और $(y-b)$ के मानों को मूल समीकरण में रखने पर: $\left(\frac{y'(1+(y')^2)}{y''}\right)^2 + \left(-\frac{1+(y')^2}{y''}\right)^2 = r^2$.
सरल करने पर: $\frac{(1+(y')^2)^2}{(y'')^2} ( (y')^2 + 1 ) = r^2 \Rightarrow (1+(y')^2)^3 = r^2(y'')^2$.
उच्चतम कोटि का अवकलज $y''$ है,अतः कोटि $k = 2$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $2$ है,अतः घात $l = 2$ है।
अतः,$k^2 + l^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $y^{\prime} = \frac{y}{2x}$
चरों को पृथक करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{y} = \frac{dx}{2x}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{y} dy = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x} dx$
$\ln|y| = \frac{1}{2} \ln|x| + C$
$\ln|y| = \ln|x^{1/2}| + C$
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $y = k \sqrt{x}$,जहाँ $k = e^C$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $y^2 = k^2 x$
मान लीजिए $k^2 = c$,तो $y^2 = cx$
यह समीकरण $x$-अक्ष पर खुलने वाले परवलयों के एक परिवार को दर्शाता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(2x - 3y + 5)dx + (9y - 6x - 7)dy = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{2x - 3y + 5}{3(2x - 3y) + 7}$
माना $2x - 3y = z$. तब $2 - 3\frac{dy}{dx} = \frac{dz}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}(2 - \frac{dz}{dx})$.
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{3}(2 - \frac{dz}{dx}) = \frac{z + 5}{3z + 7}$
$2 - \frac{dz}{dx} = \frac{3z + 15}{3z + 7}$
$\frac{dz}{dx} = 2 - \frac{3z + 15}{3z + 7} = \frac{6z + 14 - 3z - 15}{3z + 7} = \frac{3z - 1}{3z + 7}$
चरों को अलग करने पर: $\frac{3z + 7}{3z - 1} dz = dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (1 + \frac{8}{3z - 1}) dz = \int dx$
$z + \frac{8}{3} \log |3z - 1| = x + c$
$3$ से गुणा करने पर: $3z + 8 \log |3z - 1| = 3x + c'$
$z = 2x - 3y$ रखने पर: $3(2x - 3y) + 8 \log |3(2x - 3y) - 1| = 3x + c'$
$6x - 9y + 8 \log |6x - 9y - 1| = 3x + c'$
$3x - 9y + 8 \log |6x - 9y - 1| = c$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(y \sin x + y) \frac{dy}{dx} - \cos^2 x = 0$
चरों को पृथक करने पर: $y(1 + \sin x) \frac{dy}{dx} = \cos^2 x$
$y \, dy = \frac{\cos^2 x}{1 + \sin x} dx$
सर्वसमिका $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = (1 - \sin x)(1 + \sin x)$ का उपयोग करने पर:
$y \, dy = \frac{(1 - \sin x)(1 + \sin x)}{1 + \sin x} dx$
$y \, dy = (1 - \sin x) dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int y \, dy = \int (1 - \sin x) dx$
$\frac{y^2}{2} = x - (-\cos x) + c$
$\frac{y^2}{2} = x + \cos x + c$
$y^2 = 2x + 2 \cos x + c$

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = 1 - \cos(y-x) \cot(y-x)$.
माना $v = y - x$. तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dv}{dx} = \frac{dy}{dx} - 1$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = 1 + \frac{dv}{dx}$.
इन मानों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$1 + \frac{dv}{dx} = 1 - \cos v \cot v$
$\frac{dv}{dx} = -\cos v \left( \frac{\cos v}{\sin v} \right) = -\frac{\cos^2 v}{\sin v}$.
चरों को पृथक करने पर:
$-\int \frac{\sin v}{\cos^2 v} dv = \int dx$.
$u = \cos v$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर,$du = -\sin v dv$,अतः समाकलन इस प्रकार होगा:
$\int \frac{du}{u^2} = x + c$
$-\frac{1}{u} = x + c$
$-\frac{1}{\cos v} = x + c$
$-\sec v = x + c$
$x + \sec(y-x) = c$.

(C) हमें दिया गया है,$\frac{dy}{dx} = (4x + y + 1)^2$.
माना $v = 4x + y + 1$.
तब,$\frac{dv}{dx} = 4 + \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 4$.
इस मान को अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dv}{dx} - 4 = v^2$,या $\frac{dv}{dx} = v^2 + 4$.
चरों को अलग करने पर,$\frac{dv}{v^2 + 4} = dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dv}{v^2 + 2^2} = \int dx$.
इससे हमें $\frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{v}{2}) = x + c$ प्राप्त होता है।
$v = 4x + y + 1$ रखने पर,$\frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{4x + y + 1}{2}) = x + c$.
चूंकि $y(0) = 1$ दिया गया है,$x = 0$ और $y = 1$ रखने पर: $\frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{0 + 1 + 1}{2}) = 0 + c$,अतः $c = \frac{1}{2} \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{8}$.
इस प्रकार,$\frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{4x + y + 1}{2}) = x + \frac{\pi}{8}$.
$2$ से गुणा करने पर,$\tan^{-1}(\frac{4x + y + 1}{2}) = 2x + \frac{\pi}{4}$.
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर,$\frac{4x + y + 1}{2} = \tan(2x + \frac{\pi}{4})$.
अतः,$y = 2 \tan(2x + \frac{\pi}{4}) - 4x - 1$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\sqrt{1-y^2} dx + (x - \sin^{-1} y) dy = 0$ है।
$dy$ और $\sqrt{1-y^2}$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{\sqrt{1-y^2}} = \frac{\sin^{-1} y}{\sqrt{1-y^2}}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}$ और $Q(y) = \frac{\sin^{-1} y}{\sqrt{1-y^2}}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{\sqrt{1-y^2}} dy} = e^{\sin^{-1} y}$ है।
हल $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + c$ है।
$x e^{\sin^{-1} y} = \int \frac{\sin^{-1} y}{\sqrt{1-y^2}} e^{\sin^{-1} y} dy + c$.
माना $t = \sin^{-1} y$,तब $dt = \frac{1}{\sqrt{1-y^2}} dy$.
$x e^{\sin^{-1} y} = \int t e^t dt + c = (t e^t - e^t) + c = e^t(t - 1) + c$.
$t = \sin^{-1} y$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x e^{\sin^{-1} y} = e^{\sin^{-1} y}(\sin^{-1} y - 1) + c$ प्राप्त होता है।
$e^{\sin^{-1} y}$ से भाग देने पर,$x = \sin^{-1} y - 1 + c e^{-\sin^{-1} y}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+y^2)+(x-e^{\tan ^{-1} y}) \frac{dy}{dx}=0$.
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(x-e^{\tan ^{-1} y}) \frac{dy}{dx} = -(1+y^2)$.
$\frac{dy}{dx}$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dx}{dy} = -\frac{x-e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^2} = -\frac{x}{1+y^2} + \frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^2}$.
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{1}{1+y^2}$ और $Q(y) = \frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^2}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{\tan ^{-1} y}$ है।
सामान्य हल $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + c$ है।
$x e^{\tan ^{-1} y} = \int \frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^2} \cdot e^{\tan ^{-1} y} dy + c = \int \frac{e^{2 \tan ^{-1} y}}{1+y^2} dy + c$.
माना $u = \tan ^{-1} y$,तो $du = \frac{1}{1+y^2} dy$।
$x e^{\tan ^{-1} y} = \int e^{2u} du + c = \frac{1}{2} e^{2u} + c = \frac{1}{2} e^{2 \tan ^{-1} y} + c$.
$2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $2x e^{\tan ^{-1} y} = e^{2 \tan ^{-1} y} + 2c$.
चूँकि $2c$ एक स्थिरांक है,इसलिए हल को $2x e^{\tan ^{-1} y} - e^{2 \tan ^{-1} y} = C$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(x+2y^3) \frac{dy}{dx} = y$
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y \frac{dx}{dy} = x + 2y^3$
$y$ से भाग देने पर: $\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y}x = 2y^2$
यह $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -\frac{1}{y}$ और $Q = 2y^2$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ इस प्रकार है: $IF = e^{\int P dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln|y|} = \frac{1}{y}$
हल इस प्रकार दिया गया है: $x \cdot (IF) = \int (Q \cdot IF) dy + c$
मान रखने पर: $x \cdot \frac{1}{y} = \int (2y^2 \cdot \frac{1}{y}) dy + c$
$\frac{x}{y} = \int 2y dy + c$
$\frac{x}{y} = y^2 + c$
अतः,$x = y^3 + cy$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} + \frac{x(x^2+y^2-1)}{y(2(x^2+y^2)+1)} = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $y(2(x^2+y^2)+1) dy + x(x^2+y^2-1) dx = 0$
$2y(x^2+y^2) dy + y dy + x(x^2+y^2) dx - x dx = 0$
$(x^2+y^2)(2y dy + x dx) + y dy - x dx = 0$
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(x^2+y^2+2)(2y dy + x dx) - 3x dx = 0$
$(x^2+y^2+2)(2y dy + x dx) = 3x dx + 3y dy$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $x^2 + 2y^2 - 3 \log(x^2+y^2+2) = c$.

(D) दिया गया है,$a = 3\hat{j} + 4\hat{k}$ और $b = \hat{i} + \hat{j}$।
चूंकि $a = a_1 + a_2$ और $a_1$,$b$ के समांतर है,हम $a_1 = \lambda b = \lambda(\hat{i} + \hat{j})$ लिख सकते हैं,जहाँ $\lambda$ एक अदिश है।
चूंकि $a_2$,$b$ के लंबवत है,इसलिए $a_2 \cdot b = 0$ होगा।
$a_2 = a - a_1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(a - a_1) \cdot b = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a \cdot b = a_1 \cdot b$।
$a \cdot b = (3\hat{j} + 4\hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = 3$ की गणना करने पर।
$a_1 \cdot b = \lambda(\hat{i} + \hat{j}) \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = \lambda(1^2 + 1^2) = 2\lambda$ की गणना करने पर।
दोनों को बराबर करने पर,$2\lambda = 3$,इसलिए $\lambda = \frac{3}{2}$।
अतः,$a_1 = \frac{3}{2}(\hat{i} + \hat{j})$।

(D) मान लीजिए $D$ भुजा $AC$ का मध्य-बिंदु है। $D$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$D = \left( \frac{\alpha + 1}{2}, \frac{5 + 0}{2}, \frac{\beta - 3}{2} \right) = \left( \frac{\alpha + 1}{2}, \frac{5}{2}, \frac{\beta - 3}{2} \right)$
सदिश $\vec{BD}$ इस प्रकार है:
$\vec{BD} = \left( \frac{\alpha + 1}{2} - (-2) \right) \hat{i} + \left( \frac{5}{2} - 1 \right) \hat{j} + \left( \frac{\beta - 3}{2} - 6 \right) \hat{k}$
$\vec{BD} = \left( \frac{\alpha + 5}{2} \right) \hat{i} + \left( \frac{3}{2} \right) \hat{j} + \left( \frac{\beta - 15}{2} \right) \hat{k}$
चूंकि माध्यिका $\vec{BD}$ निर्देशांक अक्षों के साथ समान झुकाव पर है,इसलिए इसके दिक-अनुपात परिमाण में समान होने चाहिए:
$\left| \frac{\alpha + 5}{2} \right| = \left| \frac{3}{2} \right| = \left| \frac{\beta - 15}{2} \right|$
दिक-अनुपातों के लिए धनात्मक मान लेने पर:
$\frac{\alpha + 5}{2} = \frac{3}{2} \implies \alpha + 5 = 3 \implies \alpha = -2$
$\frac{\beta - 15}{2} = \frac{3}{2} \implies \beta - 15 = 3 \implies \beta = 18$
अतः,$\alpha + \beta = -2 + 18 = 16$.

(B) माना $u = -\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ और $v = 3\hat{i} + 4\hat{j}$ है।
$|u| = 3$ और $|v| = 5$ है।
इकाई सदिश $\hat{u} = \frac{-\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}}{3}$ और $\hat{v} = \frac{3\hat{i} + 4\hat{j}}{5}$ हैं।
आंतरिक समद्विभाजक $a = \lambda(\hat{u} + \hat{v})$ और बाह्य समद्विभाजक $b = \mu(\hat{u} - \hat{v})$ है।
गणना करने पर,$a = \frac{4\hat{i} + 22\hat{j} - 10\hat{k}}{15}$ और $b = \frac{-14\hat{i} - 2\hat{j} - 10\hat{k}}{15}$ प्राप्त होता है।
अतः,$a - b$ का एक संभावित मान विकल्प $B$ के अनुसार $\frac{2}{3}(-\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k})$ है।

(A) मान लीजिए कि दो रेखाओं के अनुदिश सदिश $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{b} = \sqrt{3}\hat{i} - \sqrt{3}\hat{j} + 0\hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,सदिशों के परिमाण की गणना करें:
$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{3 + 3 + 0} = \sqrt{6}$.
चूंकि परिमाण समान हैं $(|\vec{a}| = |\vec{b}|)$,कोण समद्विभाजक के दिक अनुपात सदिश $\vec{a} + \vec{b}$ या $\vec{a} - \vec{b}$ के घटकों द्वारा दिए जाते हैं।
$\vec{a} + \vec{b} = (1 + \sqrt{3})\hat{i} + (1 - \sqrt{3})\hat{j} + (2 + 0)\hat{k}$ की गणना करने पर।
अतः,दिक अनुपात $(1 + \sqrt{3}, 1 - \sqrt{3}, 2)$ हैं।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $A$ सही है।

(A) रेखा का समीकरण $r = a + \lambda b$ है,जहाँ $b = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}$ है।
समतल का समीकरण $r \cdot n = d$ है,जहाँ $n = 10\hat{i} + 2\hat{j} - 11\hat{k}$ है।
रेखा और समतल के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र $\sin \theta = \frac{|b \cdot n|}{|b||n|}$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $b \cdot n = (2)(10) + (3)(2) + (6)(-11) = 20 + 6 - 66 = -40$ प्राप्त करें।
अब,परिमाण $|b| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$ है।
और $|n| = \sqrt{10^2 + 2^2 + (-11)^2} = \sqrt{100 + 4 + 121} = \sqrt{225} = 15$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\sin \theta = \frac{|-40|}{7 \times 15} = \frac{40}{105} = \frac{8}{21}$.
अतः,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{8}{21}\right)$।

(C) दिया गया है,$x = \hat{i} + \hat{j}$ और $y = 3\hat{i} - 2\hat{k}$।
शर्तें $r \times x = y \times x$ और $r \times y = x \times y$ हैं।
$r \times x = y \times x$ से,$(r - y) \times x = 0$,जिसका अर्थ है कि $(r - y)$,$x$ के समानांतर है।
अतः,$r - y = \lambda x$,या $r = y + \lambda x$।
सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर: $r = (3\hat{i} - 2\hat{k}) + \lambda(\hat{i} + \hat{j}) = (3 + \lambda)\hat{i} + \lambda\hat{j} - 2\hat{k}$।
परिमाण $|r| = \sqrt{21}$ दिया गया है,इसलिए $|r|^2 = 21$।
$(3 + \lambda)^2 + \lambda^2 + (-2)^2 = 21$।
$9 + 6\lambda + \lambda^2 + \lambda^2 + 4 = 21$।
$2\lambda^2 + 6\lambda + 13 = 21 \Rightarrow 2\lambda^2 + 6\lambda - 8 = 0$।
$2$ से विभाजित करने पर: $\lambda^2 + 3\lambda - 4 = 0$।
$(\lambda + 4)(\lambda - 1) = 0$,इसलिए $\lambda = 1$ या $\lambda = -4$।
$\lambda = 1$ के लिए,$r = (3 + 1)\hat{i} + 1\hat{j} - 2\hat{k} = 4\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$।
दूसरी शर्त $r \times y = x \times y$ की जाँच करने पर: $(r - x) \times y = 0$,इसलिए $r - x$ को $y$ के समानांतर होना चाहिए।
$r = 4\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ के लिए,$r - x = (4\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) - (\hat{i} + \hat{j}) = 3\hat{i} - 2\hat{k} = y$। चूँकि $y$,$y$ के समानांतर है,यह सही है।

(A) माना बिंदु $A(3, 4, 5)$,$B(4, 6, 3)$,$C(-1, 2, 4)$ और $D(1, 0, 5)$ हैं।
सबसे पहले,हम $A$ और $B$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का सदिश $\overrightarrow{AB}$ ज्ञात करते हैं:
$\overrightarrow{AB} = (4-3)\hat{i} + (6-4)\hat{j} + (3-5)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$.
इसके बाद,$C$ और $D$ को जोड़ने वाली रेखा का सदिश $\overrightarrow{CD}$ ज्ञात करते हैं:
$\overrightarrow{CD} = (1 - (-1))\hat{i} + (0-2)\hat{j} + (5-4)\hat{k} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
सदिश $\overrightarrow{AB}$ का सदिश $\overrightarrow{CD}$ पर प्रक्षेप की लंबाई का सूत्र $\left| \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{CD}|} \right|$ है।
अदिश गुणनफल $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (1)(2) + (2)(-2) + (-2)(1) = 2 - 4 - 2 = -4$.
$\overrightarrow{CD}$ का परिमाण $|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
अतः,प्रक्षेप की लंबाई $\left| \frac{-4}{3} \right| = \frac{4}{3}$ है।

(A) मान लीजिए $\vec{a}$,$Z$-अक्ष के साथ $\alpha$ कोण बनाता है और $\vec{b}$,$X$-अक्ष के साथ $\beta$ कोण बनाता है। दिक कोज्या के गुण $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ का उपयोग करते हुए:
सदिश $\vec{a}$ के लिए: $\cos^2 60^{\circ} + \cos^2 60^{\circ} + \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow \cos^2 \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$\vec{a} = 2(\cos 60^{\circ} \hat{i} + \cos 60^{\circ} \hat{j} + \cos \alpha \hat{k}) = 2(\frac{1}{2} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j} \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{k}) = \hat{i} + \hat{j} \pm \sqrt{2} \hat{k}$.
सदिश $\vec{b}$ के लिए: $\cos^2 \beta + \cos^2 45^{\circ} + \cos^2 45^{\circ} = 1 \Rightarrow \cos^2 \beta + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \Rightarrow \cos \beta = 0$.
अतः,$\vec{b} = \sqrt{2}(0 \hat{i} + \cos 45^{\circ} \hat{j} + \cos 45^{\circ} \hat{k}) = \sqrt{2}(0 \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{k}) = \hat{j} + \hat{k}$.
अब,$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & \pm \sqrt{2} \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - (\pm \sqrt{2})) - \hat{j}(1 - 0) + \hat{k}(1 - 0) = (1 \mp \sqrt{2}) \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
धनात्मक चिह्न लेने पर,हमें $(1 - \sqrt{2}) \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ प्राप्त होता है।

(A) माना $C$ रेखा पर एक बिंदु है ताकि $\overrightarrow{BC}$,$\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}$ के समांतर हो और $|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{189}$ हो।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{v} = \overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}$ की गणना करें:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-0) - \hat{j}(1-12) + \hat{k}(0-8) = 2\hat{i} + 11\hat{j} - 8\hat{k}$.
चूंकि $\overrightarrow{BC}$,$\vec{v}$ के समांतर है,इसलिए $\overrightarrow{BC} = \lambda(2\hat{i} + 11\hat{j} - 8\hat{k})$.
इसका परिमाण $|\overrightarrow{BC}| = |\lambda| \sqrt{2^2 + 11^2 + (-8)^2} = |\lambda| \sqrt{4 + 121 + 64} = |\lambda| \sqrt{189}$ है।
$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{189}$ दिया गया है,इसलिए $|\lambda| = 1$,अर्थात $\lambda = \pm 1$.
$C$ का स्थिति सदिश $\vec{OC} = \vec{OB} + \overrightarrow{BC} = (4\hat{i} + \hat{k}) + \lambda(2\hat{i} + 11\hat{j} - 8\hat{k})$ है।
$\lambda = 1$ के लिए,$\vec{OC} = (4+2)\hat{i} + (0+11)\hat{j} + (1-8)\hat{k} = 6\hat{i} + 11\hat{j} - 7\hat{k}$.

(A) दिया गया है $a = 4 \hat{i} + 3 \hat{j}$। चूँकि $a \cdot b = 0$ और $b$,$XOY$ समतल में है,$b$ का रूप $k(3 \hat{i} - 4 \hat{j})$ होगा। मान लीजिए $b = 3 \hat{i} - 4 \hat{j}$।
मान लीजिए $c = x \hat{i} + y \hat{j}$।
$a$ पर $c$ का प्रक्षेप $\frac{a \cdot c}{|a|} = 1 \implies \frac{4x + 3y}{5} = 1 \implies 4x + 3y = 5$ $(i)$।
$b$ पर $c$ का प्रक्षेप $\frac{b \cdot c}{|b|} = 2 \implies \frac{3x - 4y}{5} = 2 \implies 3x - 4y = 10$ (ii)।
समीकरण $(i)$ को $4$ से और (ii) को $3$ से गुणा करने पर: $16x + 12y = 20$ और $9x - 12y = 30$।
दोनों को जोड़ने पर,$25x = 50 \implies x = 2$।
$x = 2$ को $(i)$ में रखने पर: $4(2) + 3y = 5 \implies 8 + 3y = 5 \implies 3y = -3 \implies y = -1$।
अतः,$c = 2 \hat{i} - \hat{j}$।

(D) दिए गए स्थिति सदिश हैं:
$A = \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$
$B = 2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$
$C = \frac{7}{4} \hat{i}+\frac{15}{4} \hat{j}+\frac{15}{4} \hat{k}$
$D = \frac{7}{3} \hat{i}+\frac{2}{3} \hat{j}+\frac{5+3a}{3} \hat{k}$
सदिश $\vec{AC} = C - A = (\frac{7}{4}-1) \hat{i} + (\frac{15}{4}-2) \hat{j} + (\frac{15}{4}-3) \hat{k} = \frac{3}{4} \hat{i} + \frac{7}{4} \hat{j} + \frac{3}{4} \hat{k}$.
सदिश $\vec{BD} = D - B = (\frac{7}{3}-2) \hat{i} + (\frac{2}{3}-(-1)) \hat{j} + (\frac{5+3a}{3}-2) \hat{k} = \frac{1}{3} \hat{i} + \frac{5}{3} \hat{j} + \frac{3a-1}{3} \hat{k}$.
दिया गया है $|AC| = |BD|$,इसलिए $|AC|^2 = |BD|^2$:
$(\frac{3}{4})^2 + (\frac{7}{4})^2 + (\frac{3}{4})^2 = (\frac{1}{3})^2 + (\frac{5}{3})^2 + (\frac{3a-1}{3})^2$
$\frac{9+49+9}{16} = \frac{1+25+(3a-1)^2}{9}$
$\frac{67}{16} = \frac{26+(3a-1)^2}{9}$
$603 = 16(26 + (3a-1)^2)$
$603 = 416 + 16(3a-1)^2$
$16(3a-1)^2 = 603 - 416 = 187$.

(C) दिए गए सदिश $a=\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ और $b=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,हम सदिश गुणनफल $a \times b$ की गणना करते हैं:
$a \times b = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - (-1)) - \hat{j}(1 - (-1)) + \hat{k}(1 - 2) = 3\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$.
अदिश त्रिक गुणनफल को $[a b p] = p \cdot (a \times b)$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
चूंकि $p$ एक इकाई सदिश है,$|p| = 1$ है। मान लीजिए $p$ और $(a \times b)$ के बीच का कोण $\theta$ है।
तब $[a b p] = |p| |a \times b| \cos \theta = |a \times b| \cos \theta$ होगा।
यह व्यंजक तब अधिकतम होता है जब $\cos \theta = 1$ हो,जिसका अर्थ है कि $p$ को $(a \times b)$ की दिशा में होना चाहिए।
अतः,$p = \frac{a \times b}{|a \times b|} = \frac{3\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{3^2 + (-2)^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{14}}(3\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k})$.

(B) माना दो सदिश $\vec{a} = 2 \alpha^2 \hat{i} + 4 \alpha \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = 7 \hat{i} - 2 \hat{j} + \alpha \hat{k}$ हैं।
चूंकि सदिशों के बीच का कोण $\theta$ अधिक कोण है,इसलिए $\cos \theta < 0$ होगा।
हम जानते हैं कि $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$। चूंकि सदिशों के परिमाण $|\vec{a}|$ और $|\vec{b}|$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होते हैं,इसलिए $\cos \theta < 0$ की शर्त का अर्थ है कि अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ होगा।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2 \alpha^2)(7) + (4 \alpha)(-2) + (1)(\alpha) < 0$
$14 \alpha^2 - 8 \alpha + \alpha < 0$
$14 \alpha^2 - 7 \alpha < 0$
$7 \alpha (2 \alpha - 1) < 0$
इस असमिका को हल करने के लिए,हम क्रांतिक बिंदु $\alpha = 0$ और $\alpha = \frac{1}{2}$ प्राप्त करते हैं।
व्यंजक $7 \alpha (2 \alpha - 1)$ मूलों के बीच ऋणात्मक होता है।
अतः,$0 < \alpha < \frac{1}{2}$।

(D) माना सदिश $b=b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k}$ है।
दिया है $a \cdot b = b_1+b_2+b_3 = 1$ $(i)$
साथ ही,$a \times b = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = (b_3-b_2) \hat{i} + (b_1-b_3) \hat{j} + (b_2-b_1) \hat{k}$.
दिया है $a \times b = \hat{j}-\hat{k}$,घटकों की तुलना करने पर:
$b_3-b_2 = 0 \Rightarrow b_2 = b_3$
$b_1-b_3 = 1 \Rightarrow b_1 = b_3+1$
$b_2-b_1 = -1 \Rightarrow b_2 = b_1-1$
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$(b_3+1) + b_3 + b_3 = 1$
$3b_3 + 1 = 1 \Rightarrow 3b_3 = 0 \Rightarrow b_3 = 0$.
अतः,$b_2 = 0$ और $b_1 = 0+1 = 1$.
इसलिए,$b = 1 \hat{i} + 0 \hat{j} + 0 \hat{k} = \hat{i}$.
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(A) दिए गए समीकरण $p=a-2b$ और $q=2a+b$ हैं।
$a$ के लिए हल करने हेतु,दूसरे समीकरण को $2$ से गुणा करें: $2q=4a+2b$.
इसे पहले समीकरण में जोड़ने पर: $p+2q = (a-2b) + (4a+2b) = 5a$.
$5a = (\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}) + 2(2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) = 5\hat{i}+\hat{k}$.
अतः,$a = \hat{i} + \frac{1}{5}\hat{k}$.
$b$ के लिए हल करने हेतु,$q=2a+b$ में $a$ का मान रखें: $b = q-2a$.
$b = (2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) - 2(\hat{i} + \frac{1}{5}\hat{k}) = -\hat{j} + \frac{3}{5}\hat{k}$.
अदिश गुणनफल $a \cdot b = (1)(0) + (0)(-1) + (\frac{1}{5})(\frac{3}{5}) = \frac{3}{25}$.
परिमाण $|a| = \sqrt{1^2 + (\frac{1}{5})^2} = \sqrt{\frac{26}{25}} = \frac{\sqrt{26}}{5}$ और $|b| = \sqrt{(-1)^2 + (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{\frac{34}{25}} = \frac{\sqrt{34}}{5}$.
कोण $\theta$ के लिए $\cos \theta = \frac{a \cdot b}{|a||b|} = \frac{3/25}{(\sqrt{26}/5)(\sqrt{34}/5)} = \frac{3}{\sqrt{26 \times 34}} = \frac{3}{\sqrt{884}} = \frac{3}{2\sqrt{221}}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{3}{2\sqrt{221}}\right)$.

(A) दिए गए स्थिति सदिश इस प्रकार हैं:
$\vec{OP} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$
$\vec{OQ} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$
$\vec{OR} = 2\hat{i} - 3\hat{k}$
$\vec{OS} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$
अब,सदिश $\vec{PQ}$ और $\vec{RS}$ की गणना करें:
$\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = (2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}) - (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = \hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$
$\vec{RS} = \vec{OS} - \vec{OR} = (3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) - (2\hat{i} - 3\hat{k}) = \hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$
चूंकि $\vec{PQ} = \vec{RS}$,इसलिए सदिश समांतर हैं।
दो समांतर सदिशों के बीच का कोण $0$ होता है।

(C) सदिश त्रिक गुणन सूत्र $\vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C}) = (\vec{A} \cdot \vec{C})\vec{B} - (\vec{A} \cdot \vec{B})\vec{C}$ का उपयोग करते हुए:
$\vec{x} = \hat{i} \times (\vec{a} \times \hat{i}) = (\hat{i} \cdot \hat{i})\vec{a} - (\hat{i} \cdot \vec{a})\hat{i} = \vec{a} - (\hat{i} \cdot \vec{a})\hat{i}$
$\vec{y} = \hat{j} \times (\vec{a} \times \hat{j}) - \vec{a} = ((\hat{j} \cdot \hat{j})\vec{a} - (\hat{j} \cdot \vec{a})\hat{j}) - \vec{a} = \vec{a} - (\hat{j} \cdot \vec{a})\hat{j} - \vec{a} = -(\hat{j} \cdot \vec{a})\hat{j}$
$\vec{z} = \hat{k} \times (\vec{a} \times \hat{k}) - \vec{a} = ((\hat{k} \cdot \hat{k})\vec{a} - (\hat{k} \cdot \vec{a})\hat{k}) - \vec{a} = \vec{a} - (\hat{k} \cdot \vec{a})\hat{k} - \vec{a} = -(\hat{k} \cdot \vec{a})\hat{k}$
मान लीजिए $\vec{a} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$ है। तब:
$\vec{x} = (a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}) - a_1\hat{i} = a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$
$\vec{y} = -a_2\hat{j}$
$\vec{z} = -a_3\hat{k}$
अदिश त्रिक गुणन $\left[\begin{array}{lll}\vec{x} & \vec{y} & \vec{z}\end{array}\right] = \vec{x} \cdot (\vec{y} \times \vec{z})$ है।
$\vec{y} \times \vec{z} = (-a_2\hat{j}) \times (-a_3\hat{k}) = a_2 a_3 (\hat{j} \times \hat{k}) = a_2 a_3 \hat{i}$।
$\left[\begin{array}{lll}\vec{x} & \vec{y} & \vec{z}\end{array}\right] = (a_2\hat{j} + a_3\hat{k}) \cdot (a_2 a_3 \hat{i}) = 0$ (क्योंकि $\hat{j} \cdot \hat{i} = 0$ और $\hat{k} \cdot \hat{i} = 0$)।

(D) सह-अंतस्थ किनारों $\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}$ वाले समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $|\vec{OA} \cdot (\vec{OB} \times \vec{OC})|$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,हम अदिश त्रिक गुणनफल की गणना करते हैं:
$\vec{OA} \cdot (\vec{OB} \times \vec{OC}) = \begin{vmatrix} 6 & 3 & -4 \\ 0 & 2 & 1 \\ 5 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 6(4 - (-1)) - 3(0 - 5) - 4(0 - 10) = 6(5) - 3(-5) - 4(-10) = 30 + 15 + 40 = 85$.
$\vec{OB}$ और $\vec{OC}$ द्वारा निर्मित आधार का क्षेत्रफल $|\vec{OB} \times \vec{OC}|$ है।
$\vec{OB} \times \vec{OC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 2 & 1 \\ 5 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - (-1)) - \hat{j}(0 - 5) + \hat{k}(0 - 10) = 5 \hat{i} + 5 \hat{j} - 10 \hat{k}$.
आधार के क्षेत्रफल का परिमाण $|\vec{OB} \times \vec{OC}| = \sqrt{5^2 + 5^2 + (-10)^2} = \sqrt{25 + 25 + 100} = \sqrt{150} = 5 \sqrt{6}$ है।
शीर्ष $A$ से समांतर षट्फलक की ऊँचाई $h = \frac{|\text{आयतन}|}{\text{आधार का क्षेत्रफल}} = \frac{85}{5 \sqrt{6}} = \frac{17}{\sqrt{6}}$ है।

(D) दिए गए समतल का समीकरण $2x + y + z = K$ है।
$K$ से विभाजित करने पर,हमें अंतःखंड रूप प्राप्त होता है: $\frac{x}{K/2} + \frac{y}{K} + \frac{z}{K} = 1$.
समतल और निर्देशांक समतलों द्वारा निर्मित चतुष्फलक के शीर्ष $O(0, 0, 0)$,$A(K/2, 0, 0)$,$B(0, K, 0)$ और $C(0, 0, K)$ हैं।
चतुष्फलक $OABC$ का आयतन सूत्र $V_{tet} = \frac{1}{6} |x_A y_B z_C| = \frac{1}{6} \times \frac{K}{2} \times K \times K = \frac{K^3}{12}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि आयतन $\frac{2V^3}{3}$ है,इसलिए हम दोनों व्यंजकों को बराबर करते हैं:
$\frac{K^3}{12} = \frac{2V^3}{3}$.
दोनों पक्षों को $12$ से गुणा करने पर,हमें $K^3 = 8V^3$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,हमें $K = 2V$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{K}{V} = \frac{2}{1}$.
अतः,$K:V = 2:1$.
इसलिए,विकल्प $D$ सही है।

(D) दिया गया है,$\vec{r} \times \vec{a}=\vec{b}$.
दोनों पक्षों में $\vec{a}$ के साथ क्रॉस गुणन करने पर: $(\vec{r} \times \vec{a}) \times \vec{a}=\vec{b} \times \vec{a}$.
सदिश त्रिक गुणन सूत्र $(\vec{A} \times \vec{B}) \times \vec{C} = (\vec{A} \cdot \vec{C})\vec{B} - (\vec{B} \cdot \vec{C})\vec{A}$ का उपयोग करने पर:
$(\vec{r} \cdot \vec{a})\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{r} = \vec{b} \times \vec{a}$.
चूँकि $|\vec{a}|=2$,हमारे पास $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = 4$ है।
अतः,$4\vec{r} = (\vec{r} \cdot \vec{a})\vec{a} - (\vec{b} \times \vec{a})$.
अब,$|\vec{r} \times \vec{a}| = |\vec{b}| \Rightarrow |\vec{r}||\vec{a}|\sin \theta = \sqrt{3}$.
$1 \times 2 \sin \theta = \sqrt{3} \Rightarrow \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{3}$.
तब,$\vec{r} \cdot \vec{a} = |\vec{r}||\vec{a}|\cos \theta = 1 \times 2 \times \cos \frac{\pi}{3} = 2 \times \frac{1}{2} = 1$.
समीकरण $4\vec{r} = (\vec{r} \cdot \vec{a})\vec{a} - (\vec{b} \times \vec{a})$ में $\vec{r} \cdot \vec{a} = 1$ रखने पर:
$4\vec{r} = \vec{a} - (\vec{b} \times \vec{a}) \Rightarrow \vec{r} = \frac{1}{4}[\vec{a} - (\vec{b} \times \vec{a})]$.

(C) दिए गए सदिश $a=2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$,$b=\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$,और $c=2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ हैं।
सदिश त्रिक गुणन सूत्र $(a \times b) \times c = (a \cdot c)b - (b \cdot c)a$ का उपयोग करने पर:
$a \cdot c = (2)(2) + (-3)(1) + (1)(1) = 4 - 3 + 1 = 2$
$b \cdot c = (1)(2) + (-1)(1) + (2)(1) = 2 - 1 + 2 = 3$
$(a \times b) \times c = 2(i - j + 2k) - 3(2i - 3j + k) = (2i - 2j + 4k) - (6i - 9j + 3k) = -4i + 7j + k$
$|(a \times b) \times c| = \sqrt{(-4)^2 + 7^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 49 + 1} = \sqrt{66}$.
अब,$a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$ के लिए:
$a \cdot c = 2$
$a \cdot b = (2)(1) + (-3)(-1) + (1)(2) = 2 + 3 + 2 = 7$
$a \times (b \times c) = 2(i - j + 2k) - 7(2i + j + k) = (2i - 2j + 4k) - (14i + 7j + 7k) = -12i - 9j - 3k$
$|a \times (b \times c)| = \sqrt{(-12)^2 + (-9)^2 + (-3)^2} = \sqrt{144 + 81 + 9} = \sqrt{234}$.
अतः,$\frac{|(a \times b) \times c|}{|a \times (b \times c)|} = \sqrt{\frac{66}{234}} = \sqrt{\frac{11}{39}}$.
इसलिए,$|(a \times b) \times c| = \sqrt{\frac{11}{39}}|a \times (b \times c)|$.

(D) अदिश त्रिक गुणनफल $[abc]$ सदिशों $a$,$b$,और $c$ के घटकों के सारणिक द्वारा दिया जाता है।
$[abc] = \begin{vmatrix} p & p & p \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$[abc] = p(1(2) - (-2)(-1)) - p(1(2) - (-2)(2)) + p(1(-1) - 1(2))$
$[abc] = p(2 - 2) - p(2 + 4) + p(-1 - 2)$
$[abc] = p(0) - p(6) + p(-3) = -9p$
दिया गया है कि $-5 \leq [abc] \leq 15$,इसलिए $[abc] = -9p$ प्रतिस्थापित करने पर:
$-5 \leq -9p \leq 15$
$-9$ से विभाजित करने पर और असमानता के चिह्नों को बदलने पर:
$\frac{15}{-9} \leq p \leq \frac{-5}{-9}$
$\frac{-5}{3} \leq p \leq \frac{5}{9}$
अतः,$p \in \left[\frac{-5}{3}, \frac{5}{9}\right]$.

(A) समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,विकर्ण $AC$ और $BD$ एक-दूसरे को बिंदु $M$ पर समद्विभाजित करते हैं।
$M$,$AC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $M = \left(\frac{3+7}{2}, \frac{2+4}{2}, \frac{3+5}{2}\right) = (5, 3, 4)$.
चूंकि $M$,$BD$ का भी मध्य-बिंदु है,मान लीजिए $D = (x, y, z)$ है। तब $\left(\frac{x+1}{2}, \frac{y+4}{2}, \frac{z+6}{2}\right) = (5, 3, 4)$.
$x, y, z$ के लिए हल करने पर: $x+1=10 \Rightarrow x=9$; $y+4=6 \Rightarrow y=2$; $z+6=8 \Rightarrow z=2$. अतः,$D = (9, 2, 2)$.
सदिश $\vec{DC} = (7-9, 4-2, 5-2) = (-2, 2, 3)$ है। दिक अनुपात $a_1 = -2, b_1 = 2, c_1 = 3$ हैं।
सदिश $\vec{DB} = (1-9, 4-2, 6-2) = (-8, 2, 4)$ है। दिक अनुपात $a_2 = -8, b_2 = 2, c_2 = 4$ हैं।
$\vec{DC}$ और $\vec{DB}$ के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
$\cos \theta = \frac{|(-2)(-8) + (2)(2) + (3)(4)|}{\sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 3^2} \sqrt{(-8)^2 + 2^2 + 4^2}} = \frac{|16 + 4 + 12|}{\sqrt{4+4+9} \sqrt{64+4+16}} = \frac{32}{\sqrt{17} \sqrt{84}} = \frac{32}{\sqrt{17} \cdot 2\sqrt{21}} = \frac{16}{\sqrt{357}}$.
इसलिए,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{16}{\sqrt{357}}\right)$।

(C) माना बिंदु $P_1 = 2a+3b-c, P_2 = a-2b+3c, P_3 = 3a+\lambda b-2c$ और $P_4 = a-6b+6c$ हैं।
सदिश $\vec{P_1P_2}, \vec{P_1P_3}$ और $\vec{P_1P_4}$ समतलीय होते हैं यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो।
$\vec{P_1P_2} = -a-5b+4c$
$\vec{P_1P_3} = a+(\lambda-3)b-c$
$\vec{P_1P_4} = -a-9b+7c$
समतलीयता के लिए शर्त $\begin{vmatrix} -1 & -5 & 4 \\ 1 & \lambda-3 & -1 \\ -1 & -9 & 7 \end{vmatrix} = 0$ है।
सारणिक का विस्तार करने पर: $-1(7(\lambda-3) - 9) + 5(7-1) + 4(-9 + (\lambda-3)) = 0$.
$-1(7\lambda - 21 - 9) + 5(6) + 4(\lambda - 12) = 0$.
$-7\lambda + 30 + 30 + 4\lambda - 48 = 0$.
$-3\lambda + 12 = 0 \Rightarrow \lambda = 4$.
सदिश $4\hat{i} - 8\hat{j} + \hat{k}$ प्राप्त होता है।
इसका परिमाण $\sqrt{4^2 + (-8)^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 64 + 1} = \sqrt{81} = 9$ है।
दिक्कोज्याएँ $\frac{4}{9}, \frac{-8}{9}, \frac{1}{9}$ हैं।

(D) दिए गए समीकरण $a+2b+c=0$ $(i)$ और $11bc+6ca-14ab=0$ (ii) हैं।
$(i)$ से,$b = \frac{-(a+c)}{2}$।
इसे (ii) में प्रतिस्थापित करने पर:
$11\left(\frac{-(a+c)}{2}\right)c + 6ac - 14a\left(\frac{-(a+c)}{2}\right) = 0$
$\Rightarrow -\frac{11}{2}ac - \frac{11}{2}c^2 + 6ac + 7a^2 + 7ac = 0$
$2$ से गुणा करने पर: $-11ac - 11c^2 + 12ac + 14a^2 + 14ac = 0$
$\Rightarrow 14a^2 + 15ac - 11c^2 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(7a+11c)(2a-c) = 0$।
स्थिति $1$: $2a = c \Rightarrow a = 1, c = 2$। तब $b = \frac{-(1+2)}{2} = -1.5$। भिन्नों से बचने के लिए,$a=2, c=4, b=-3$ लें। दिक्-अनुपात: $(2, -3, 4)$।
स्थिति $2$: $7a = -11c \Rightarrow a = -11, c = 7$। तब $b = \frac{-(-11+7)}{2} = 2$। दिक्-अनुपात: $(-11, 2, 7)$।
मान लीजिए दिक्-अनुपात $\vec{n_1} = (2, -3, 4)$ और $\vec{n_2} = (-11, 2, 7)$ हैं।
डॉट प्रोडक्ट $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (2)(-11) + (-3)(2) + (4)(7) = -22 - 6 + 28 = 0$।
चूंकि डॉट प्रोडक्ट $0$ है,रेखाएं लंबवत हैं।
इसलिए,रेखाओं के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(B) रेखाओं के समीकरण $\vec{r} = \vec{a}_1 + t\vec{b}_1$ और $\vec{r} = \vec{a}_2 + s\vec{b}_2$ हैं।
यहाँ,$\vec{a}_1 = \hat{i} + \hat{j}$,$\vec{b}_1 = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{a}_2 = 2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$,$\vec{b}_2 = 3\hat{i} - 5\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
सबसे पहले,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) - (\hat{i} + \hat{j}) = \hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$ की गणना करें।
इसके बाद,सदिश गुणनफल $\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & -5 & 2 \end{vmatrix} = 3\hat{i} - \hat{j} - 7\hat{k}$ ज्ञात करें।
इसका परिमाण $|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + (-7)^2} = \sqrt{59}$ है।
न्यूनतम दूरी $d = \left| \frac{(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|} \right|$ सूत्र द्वारा प्राप्त होती है।
$d = \left| \frac{(\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}) \cdot (3\hat{i} - \hat{j} - 7\hat{k})}{\sqrt{59}} \right| = \frac{12}{\sqrt{59}}$.