i^2+i^3+ldots+i^{4000}= | vedclass

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Question

(D) हम जानते हैं कि $i$ की चार क्रमागत घातों का योग शून्य होता है,अर्थात किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए $i^n+i^{n+1}+i^{n+2}+i^{n+3}=0$। दी गई श्रेणी $S

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$-i$

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(D) हम जानते हैं कि $i$ की चार क्रमागत घातों का योग शून्य होता है,अर्थात किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए $i^n+i^{n+1}+i^{n+2}+i^{n+3}=0$। दी गई श्रेणी $S = i^2+i^3+i^4+\ldots+i^{4000}$ है। इस श्रेणी में $3999$ पद हैं। इन पदों को चार के समूहों में विभाजित करने पर,$3999 = 4 	imes 999 + 3$ प्राप्त होता है,इसलिए $999$ समूहों का योग $0$ होगा और $3$ पद शेष रहेंगे। योग $\sum_{k=2}^{4000} i^k = \frac{i^2(1-i^{3999})}{1-i} = \frac{-1(1-(-i))}{1-i} = \frac{-(1+i)}{1-i} = -i$ होता है।

$i^2+i^3+\ldots+i^{4000}=$

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