TS EAMCET 2019 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) माना $G$,$\triangle ABC$ का केंद्रक है। माध्यिकाएं $AD$ और $BE$ बिंदु $G$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
दिया है $AD=4$,$\angle GAB = \frac{\pi}{6}$,और $\angle GBA = \frac{\pi}{3}$।
$\triangle AGB$ में,कोणों का योग $\pi$ होता है,इसलिए $\angle AGB = \pi - (\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{2}$।
चूंकि $G$ केंद्रक है,$AG = \frac{2}{3} AD = \frac{2}{3} \times 4 = \frac{8}{3}$।
समकोण $\triangle AGB$ में,$\sin(\angle GBA) = \frac{AG}{AB} \implies \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{8/3}{AB} \implies AB = \frac{16}{3\sqrt{3}}$।
साथ ही,$\tan(\angle GBA) = \frac{AG}{BG} \implies \tan(\frac{\pi}{3}) = \frac{8/3}{BG} \implies BG = \frac{8}{3\sqrt{3}}$।
$\triangle AGB$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times AG \times BG = \frac{1}{2} \times \frac{8}{3} \times \frac{8}{3\sqrt{3}} = \frac{32}{9\sqrt{3}}$।
चूंकि केंद्रक त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले तीन त्रिभुजों में विभाजित करता है,इसलिए $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल = $3 \times$ $\triangle AGB$ का क्षेत्रफल = $3 \times \frac{32}{9\sqrt{3}} = \frac{32}{3\sqrt{3}}$ वर्ग इकाई।

(B) दिया गया है $a+3b=3c$,इसलिए $a=3(c-b)$.
सूत्र $\sin \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $s = \frac{a+b+c}{2}$.
$s-b = \frac{a+b+c}{2} - b = \frac{a-b+c}{2} = \frac{3(c-b)-b+c}{2} = \frac{4c-4b}{2} = 2(c-b)$.
$s-c = \frac{a+b+c}{2} - c = \frac{a+b-c}{2} = \frac{3(c-b)+b-c}{2} = \frac{2c-2b}{2} = c-b$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\sin \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{2(c-b)(c-b)}{bc}} = \sqrt{\frac{2(c-b)^2}{bc}} = (c-b) \sqrt{\frac{2}{bc}}$.
चूंकि $c-b = \frac{a}{3}$,इसलिए $\sin \frac{A}{2} = \frac{a}{3} \sqrt{\frac{2}{bc}}$.
अतः,विकल्प $B$ सही है.

(A-II, B-III, C-I) $\triangle ABC$ में,हम बहिःत्रिज्याओं $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ और अंतःत्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s}$ के मानक सूत्रों का उपयोग करते हैं।
$(A)$ दिया गया है $rr_2 = r_1r_3$:
$\frac{\Delta}{s} \cdot \frac{\Delta}{s-b} = \frac{\Delta}{s-a} \cdot \frac{\Delta}{s-c}$
$\Rightarrow (s-a)(s-c) = s(s-b)$
$\Rightarrow s^2 - s(a+c) + ac = s^2 - sb$
चूंकि $a+c = 2s-b$,हमारे पास $s^2 - s(2s-b) + ac = s^2 - sb$ है
$\Rightarrow -s^2 + 2sb + ac = 0$. यह $b^2 = a^2 + c^2$ में सरल हो जाता है,जिसका अर्थ है $\angle B = 90^{\circ}$। अतः,$(A)$ $\rightarrow$ $(II)$।
$(B)$ दिया गया है $r_1 + r_2 = r_3 - r$:
$\frac{\Delta}{s-a} + \frac{\Delta}{s-b} = \frac{\Delta}{s-c} - \frac{\Delta}{s}$
$\frac{s-b+s-a}{(s-a)(s-b)} = \frac{s-(s-c)}{s(s-c)}$
$\frac{c}{(s-a)(s-b)} = \frac{c}{s(s-c)}$
$\Rightarrow s(s-c) = (s-a)(s-b)$
$\Rightarrow s^2 - sc = s^2 - s(a+b) + ab$
$\Rightarrow s(a+b-c) = ab$
चूंकि $a+b-c = 2(s-c)$,यह $\angle C = 90^{\circ}$ की ओर ले जाता है। अतः,$(B)$ $\rightarrow$ $(III)$।
$(C)$ दिया गया है $r_1 = r + 2R$:
$r_1 - r = 4R \sin^2(A/2)$ और $r_1+r_2+r_3-r = 4R$ का उपयोग करते हुए,यह विशिष्ट सर्वसमिका $r_1 = r + 2R$ ज्ञात है कि $\angle A = 90^{\circ}$ के संगत है। अतः,$(C)$ $\rightarrow$ $(I)$।

(D) दिया गया है $a: b: c = 2: 3: 4$. मान लीजिए $a = 2k, b = 3k, c = 4k$.
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{9k}{2}$.
क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \frac{3k^2\sqrt{15}}{4}$.
हम जानते हैं कि $R = \frac{abc}{4\Delta}$ और $r = \frac{\Delta}{s}$.
अतः,$\frac{R}{r} = \frac{abc}{4(s-a)(s-b)(s-c)} = \frac{(2k)(3k)(4k)}{4(\frac{5k}{2})(\frac{3k}{2})(\frac{k}{2})} = \frac{24k^3}{4 \cdot \frac{15k^3}{8}} = \frac{16}{5}$.
इसलिए,$R: r = 16: 5$.

(B) मान लीजिए $a$ भुजा की लंबाई है और $b$ एक वृत्त में अंकित एक नियमित पंचभुज के विकर्ण की लंबाई है।
एक नियमित पंचभुज में,आंतरिक कोण $\frac{3\pi}{5}$ होता है।
दो भुजाओं और एक विकर्ण द्वारा निर्मित त्रिभुज पर विचार करें। एक नियमित पंचभुज के गुणों के अनुसार,विकर्ण $b$ केंद्र पर $\frac{2\pi}{5}$ का कोण बनाता है,और एक भुजा और विकर्ण के बीच का कोण $\frac{\pi}{5}$ होता है।
शीर्ष $C$ से विकर्ण $AB$ पर बिंदु $D$ तक एक लंब खींचने पर,हमें एक समकोण त्रिभुज $\triangle ACD$ प्राप्त होता है।
$\triangle ACD$ में,कोण $\angle CAD = \frac{\pi}{5}$ और कर्ण $AC = a$ है।
अतः,$\cos \frac{\pi}{5} = \frac{AD}{AC} = \frac{AD}{a}$,जिसका अर्थ है $AD = a \cos \frac{\pi}{5}$।
एक नियमित पंचभुज में विकर्ण $b$ विपरीत शीर्ष से खींचे गए लंब द्वारा समद्विभाजित होता है,इसलिए $b = 2AD$।
अतः,$b = 2a \cos \frac{\pi}{5}$,जिससे $\frac{b}{a} = 2 \cos \frac{\pi}{5}$ प्राप्त होता है।

(B) हमारे पास है,$\sinh ^{-1}(\sqrt{8})+\sinh ^{-1}(\sqrt{24})=\alpha$.
माना $\sinh ^{-1}(\sqrt{8})=x$,तो $\sinh x = \sqrt{8}$.
चूंकि $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$,इसलिए $\cosh x = \sqrt{1 + \sinh^2 x} = \sqrt{1 + 8} = \sqrt{9} = 3$.
माना $\sinh ^{-1}(\sqrt{24})=y$,तो $\sinh y = \sqrt{24}$.
इसी प्रकार,$\cosh y = \sqrt{1 + \sinh^2 y} = \sqrt{1 + 24} = \sqrt{25} = 5$.
सर्वसमिका $\sinh(x+y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y$ का उपयोग करने पर:
$\sinh(x+y) = (\sqrt{8})(5) + (3)(\sqrt{24}) = 5(2\sqrt{2}) + 3(2\sqrt{6}) = 10\sqrt{2} + 6\sqrt{6}$.
चूंकि $\alpha = x+y$,इसलिए $\sinh \alpha = 6\sqrt{6} + 10\sqrt{2}$.

(C) हमारे पास व्यंजक $\cos(x + 8x + 27x + \ldots + n^3x)$ है।
इसे $\cos\left(\sum_{k=1}^{n} k^3 x\right) = \cos\left(x \sum_{k=1}^{n} k^3\right)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के घनों के योग का सूत्र उपयोग करने पर,$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यंजक $\cos\left(\frac{n^2(n+1)^2}{4} x\right)$ हो जाता है।
$\cos(kx)$ का आवर्तकाल $\frac{2\pi}{|k|}$ होता है।
यहाँ,$k = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ है।
इसलिए,आवर्तकाल $\frac{2\pi}{\frac{n^2(n+1)^2}{4}} = \frac{8\pi}{n^2(n+1)^2}$ है।

(C) दिया गया है कि $f: X \rightarrow Y$ एक फलन है।
परिभाषा के अनुसार,$A_y = f^{-1}(\{y\}) = \{x \in X : f(x) = y\}$।
यह समुच्चय $A_y$ फलन $f$ के अंतर्गत अवयव $y$ का पूर्व-प्रतिबिंब (preimage) दर्शाता है।
किन्हीं भी दो भिन्न अवयवों $i, j \in Y$ जहाँ $i \neq j$ के लिए,समुच्चय $A_i$ और $A_j$ असंयुक्त (disjoint) होते हैं क्योंकि एक फलन प्रांत के प्रत्येक अवयव को सह-प्रांत के केवल एक ही अवयव से जोड़ता है। अतः,$A_i \cap A_j = \phi$।
इसके अतिरिक्त,सभी $y \in Y$ के लिए सभी पूर्व-प्रतिबिंबों $A_y$ का संघ (union) पूरे प्रांत $X$ को कवर करता है,अर्थात $\bigcup_{y \in Y} A_y = X$।
ये गुण किसी भी फलन $f: X \rightarrow Y$ के लिए सत्य हैं।
अतः,विकल्प $(C)$ सही है।

(B) द्विघात फलन $f(x)=ax^2+bx+c$ (जहाँ $a>0$) का न्यूनतम मान $-\frac{D}{4a} = \frac{4ac-b^2}{4a}$ द्वारा दिया जाता है।
$f(x)=2x^2+\alpha x+8$ के लिए,हमारे पास $a=2, b=\alpha, c=8$ है। न्यूनतम मान $\frac{4(2)(8)-\alpha^2}{4(2)} = \frac{64-\alpha^2}{8}$ है।
द्विघात फलन $g(x)=ax^2+bx+c$ (जहाँ $a < 0$) का अधिकतम मान $-\frac{D}{4a} = \frac{4ac-b^2}{4a}$ द्वारा दिया जाता है।
$g(x)=-3x^2-4x+\alpha^2$ के लिए,हमारे पास $a=-3, b=-4, c=\alpha^2$ है। अधिकतम मान $\frac{4(-3)(\alpha^2)-(-4)^2}{4(-3)} = \frac{-12\alpha^2-16}{-12} = \frac{12\alpha^2+16}{12}$ है।
दोनों मानों को बराबर करने पर:
$\frac{64-\alpha^2}{8} = \frac{12\alpha^2+16}{12}$
दोनों पक्षों को $24$ से गुणा करने पर:
$3(64-\alpha^2) = 2(12\alpha^2+16)$
$192-3\alpha^2 = 24\alpha^2+32$
$160 = 27\alpha^2$
$\alpha^2 = \frac{160}{27}$.
अतः,विकल्प $(B)$ सही है।

(A) माना $AB$ ऊँची इमारत है जिसकी ऊँचाई $H$ है और $CQ$ छोटी इमारत है जिसकी ऊँचाई $h$ है। माना $A$ ऊँची इमारत का आधार है और $C$ छोटी इमारत का आधार है।
$\triangle ABC$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{AC} = \frac{H}{AC}$. अतः,$AC = \frac{H}{\sqrt{3}}$.
चूँकि $AC = QP$,इसलिए $QP = \frac{H}{\sqrt{3}}$.
$\triangle BQP$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{BP}{QP} = \frac{H-h}{QP}$.
$QP = \frac{H}{\sqrt{3}}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{H-h}{H/\sqrt{3}}$.
इसे सरल करने पर $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{(H-h)\sqrt{3}}{H}$.
$H = 3(H-h)$ $\Rightarrow H = 3H - 3h$ $\Rightarrow 2H = 3h$.
अतः,छोटी इमारत और ऊँची इमारत की ऊंचाइयों का अनुपात $\frac{h}{H} = \frac{2}{3}$ या $2:3$ है।

(B) प्रथम व्यंजक $f(n) = 30 \cdot 5^{2n} + 4 \cdot 2^{3n}$ के लिए:
$n=1$ के लिए,$f(1) = 30 \cdot 25 + 4 \cdot 8 = 750 + 32 = 782 = 2 \times 17 \times 23$.
$n=2$ के लिए,$f(2) = 30 \cdot 625 + 4 \cdot 64 = 18750 + 256 = 19006 = 2 \times 17 \times 559$.
सबसे बड़ा सामान्य भाजक $p = 2 \times 17 = 34$.
दूसरे व्यंजक $g(n) = 2^{2n+1} - 6n - 2$ के लिए:
$n=1$ के लिए,$g(1) = 2^3 - 6(1) - 2 = 8 - 8 = 0$.
$n=2$ के लिए,$g(2) = 2^5 - 6(2) - 2 = 32 - 14 = 18$.
$n=3$ के लिए,$g(3) = 2^7 - 6(3) - 2 = 128 - 20 = 108$.
सबसे बड़ा सामान्य भाजक $q = \text{gcd}(18, 108) = 18$.
अतः,$p+q = 34 + 18 = 52$.

(B) सभी $n \in N$ के लिए $n^3+\alpha n$,$3$ से विभाज्य होने के लिए,$n=1$ पर: $1^3+\alpha(1) = 1+\alpha$। यह $3$ से विभाज्य हो,इसके लिए $\alpha$ का न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक मान $2$ है।
सभी $n \in N$ के लिए $n^3-\beta n$,$6$ से विभाज्य होने के लिए,$n=2$ पर: $2^3-\beta(2) = 8-2\beta$। यह $6$ से विभाज्य हो,इसके लिए $\beta$ का न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक मान $1$ है।
अतः,$\alpha+\beta = 2+1 = 3$।

(B) माना $\triangle ABC$ की भुजाओं के मध्य-बिंदु $D(1,0,3)$,$E(2,1,5)$ और $F(-2,3,6)$ हैं।
त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं से बने त्रिभुज का केंद्रक,मूल त्रिभुज के केंद्रक के समान ही होता है।
इसलिए,$\triangle ABC$ का केंद्रक $\triangle DEF$ के केंद्रक के समान है।
शीर्षों $(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2), (x_3, y_3, z_3)$ वाले त्रिभुज के केंद्रक का सूत्र $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ है।
दिए गए मध्य-बिंदुओं का उपयोग करने पर:
केंद्रक $= \left(\frac{1+2-2}{3}, \frac{0+1+3}{3}, \frac{3+5+6}{3}\right)$
$= \left(\frac{1}{3}, \frac{4}{3}, \frac{14}{3}\right)$.

(C) माना कि तीसरे शीर्ष $C$ के निर्देशांक $(x, y, z)$ हैं।
दिए गए शीर्ष $A(5, 4, 6)$ और $B(1, -1, 3)$ हैं।
त्रिभुज के केंद्रक $G$ का सूत्र $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ होता है।
दिया गया केंद्रक $G = \left(\frac{10}{3}, 2, \frac{11}{3}\right)$ है।
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$\frac{5+1+x}{3} = \frac{10}{3} \Rightarrow 6+x = 10 \Rightarrow x = 4$.
$\frac{4-1+y}{3} = 2 \Rightarrow 3+y = 6 \Rightarrow y = 3$.
$\frac{6+3+z}{3} = \frac{11}{3} \Rightarrow 9+z = 11 \Rightarrow z = 2$.
अतः,तीसरा शीर्ष $C$ $(4, 3, 2)$ है।

(A) कुल गेंदों की संख्या $= 6 + 2 + 8 = 16$.
$3$ गेंदें निकालने के कुल तरीके $= ^{16}C_3 = 560$.
$A$. कोई भी गेंद सफेद न होने की प्रायिकता:
$P(A) = \frac{^{14}C_3}{^{16}C_3} = \frac{13}{20} = III$.
$B$. $2$ सफेद और $1$ नीली गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता:
$P(B) = \frac{^{2}C_2 \times ^{8}C_1}{^{16}C_3} = \frac{1}{70} = I$.
$C$. $2$ नीली और $1$ सफेद गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता:
$P(C) = \frac{^{8}C_2 \times ^{2}C_1}{^{16}C_3} = \frac{1}{10} = IV$.
$D$. $1$ लाल,$1$ सफेद और $1$ नीली गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता:
$P(D) = \frac{^{6}C_1 \times ^{2}C_1 \times ^{8}C_1}{^{16}C_3} = \frac{6}{35} = II$.
अतः,सही मिलान $A-III, B-I, C-IV, D-II$ है।

(C) माना कि खतरे के स्तर को बढ़ाने के लिए शहर की जनसंख्या का न्यूनतम प्रतिशत जो बीमार पड़ना चाहिए,वह $x \%$ है।
यह दिया गया है कि एक बीमार व्यक्ति के $ICU$ में भर्ती होने की संभावना $10 \%$ है।
इसलिए,शहर के किसी भी व्यक्ति के $ICU$ में भर्ती होने की संभावना $10 \% \text{ of } x \%$ है।
हमें दिया गया है कि यदि यह संभावना $5 \%$ से अधिक हो जाती है तो खतरे का स्तर बढ़ा दिया जाता है।
अतः,हम समीकरण बनाते हैं: $\frac{10}{100} \times x = 5$.
$x$ के लिए हल करने पर: $0.1x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{0.1} = 50$.
इस प्रकार,खतरे के स्तर को बढ़ाने के लिए जनसंख्या का कम से कम $50 \%$ बीमार पड़ना चाहिए।
अतः,विकल्प $C$ सही है.

(D) प्रथम $30$ प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय $S = \{1, 2, 3, \dots, 30\}$ है,अतः कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 30$ है।
माना $A$ वह घटना है कि संख्या $4$ से विभाज्य है। ऐसी संख्याएँ $\{4, 8, 12, 16, 20, 24, 28\}$ हैं,अतः $n(A) = 7$ है।
माना $B$ वह घटना है कि संख्या $7$ से विभाज्य है। ऐसी संख्याएँ $\{7, 14, 21, 28\}$ हैं,अतः $n(B) = 4$ है।
घटना $A \cap B$ उन संख्याओं को दर्शाती है जो $4$ और $7$ दोनों से विभाज्य हैं (अर्थात $28$ से विभाज्य)। ऐसी एकमात्र संख्या $\{28\}$ है,अतः $n(A \cap B) = 1$ है।
प्रायिकता के योग नियम का उपयोग करते हुए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$।
$P(A \cup B) = \frac{7}{30} + \frac{4}{30} - \frac{1}{30} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$।

(A) दिया गया है कि $P(E_1 \cup E_2) = \frac{5}{8}$,$P(\bar{E}_1) = \frac{3}{4}$,और $P(E_2) = \frac{1}{2}$.
सबसे पहले,पूरक नियम का उपयोग करके $P(E_1)$ ज्ञात करें: $P(E_1) = 1 - P(\bar{E}_1) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए: $P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2)$.
मान रखने पर: $\frac{5}{8} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - P(E_1 \cap E_2)$.
$\frac{5}{8} = \frac{3}{4} - P(E_1 \cap E_2)$.
$P(E_1 \cap E_2) = \frac{3}{4} - \frac{5}{8} = \frac{6-5}{8} = \frac{1}{8}$.
अब,स्वतंत्रता की जाँच करें: $P(E_1) \times P(E_2) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.
चूंकि $P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \times P(E_2)$,इसलिए घटनाएँ $E_1$ और $E_2$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं।