TS EAMCET 2019 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) $m$ लड़कों और $m$ लड़कियों को एक पंक्ति में इस प्रकार व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या कि कोई भी दो लड़के एक साथ न बैठें,$x = (m+1)! m!$ है।
$m$ लड़कों और $m$ लड़कियों को एक पंक्ति में इस प्रकार व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या कि वे एकांतर क्रम में बैठें,$y = m! \times m! \times 2$ है।
$m$ लड़कों और $m$ लड़कियों को एक गोलाकार मेज के चारों ओर इस प्रकार व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या कि वे एकांतर क्रम में बैठें,$z = (m-1)! m!$ है।
अतः,अनुपात:
$x: y: z = (m+1)! m! : 2(m! m!) : (m-1)! m!$
$(m-1)! m!$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x: y: z = (m+1)m : 2m : 1$.

(C) '$REPETITION$' शब्द में $10$ अक्षर हैं: $R, E, P, E, T, I, T, I, O, N$। भिन्न अक्षर $R, E, P, T, I, O, N$ ($7$ भिन्न अक्षर) हैं। पुनरावृत्त अक्षर $E, T, I$ हैं (प्रत्येक दो बार आते हैं)।
हमें $4$ अक्षरों के क्रमचय बनाने हैं। स्थितियाँ इस प्रकार हैं:
$(i)$ सभी $4$ अक्षर भिन्न हों: $7$ भिन्न अक्षरों में से $4$ चुनकर व्यवस्थित करने पर: ${}^{7}C_{4} \times 4! = 35 \times 24 = 840$।
(ii) $2$ अक्षर समान (एक जोड़ा) और $2$ भिन्न हों: $3$ जोड़ों में से $1$ जोड़ा और शेष $6$ अक्षरों में से $2$ अक्षर चुनकर व्यवस्थित करने पर: ${}^{3}C_{1} \times {}^{6}C_{2} \times \frac{4!}{2!} = 3 \times 15 \times 12 = 540$।
(iii) $2$ जोड़े हों: $3$ जोड़ों में से $2$ जोड़े चुनकर व्यवस्थित करने पर: ${}^{3}C_{2} \times \frac{4!}{2! \times 2!} = 3 \times 6 = 18$।
कुल क्रमचय $= 840 + 540 + 18 = 1398$।
अतः,विकल्प $(C)$ सही है।

(C) छात्र को कुल $13$ प्रश्नों में से $10$ प्रश्नों का चयन करना है,जिसमें पहले $5$ प्रश्नों में से कम से कम $4$ प्रश्नों का चयन करने की शर्त है।
स्थिति $I$: पहले $5$ प्रश्नों में से $4$ प्रश्न और शेष $8$ प्रश्नों में से $6$ प्रश्न चुनना।
तरीकों की संख्या $= {}^{5}C_{4} \times {}^{8}C_{6} = 5 \times 28 = 140$.
स्थिति $II$: पहले $5$ प्रश्नों में से $5$ प्रश्न और शेष $8$ प्रश्नों में से $5$ प्रश्न चुनना।
तरीकों की संख्या $= {}^{5}C_{5} \times {}^{8}C_{5} = 1 \times 56 = 56$.
कुल विकल्पों की संख्या $= 140 + 56 = 196$.

(C) हमें $2$ भिन्न स्वरों और $2$ भिन्न व्यंजनों के साथ $4$-अक्षर का शब्द बनाना है,जहाँ पुनरावृत्ति की अनुमति है।
माना $V$,$5$ स्वरों का समूह है और $C$,$21$ व्यंजनों का समूह है।
स्थिति $1$: हम $1$ स्वर और $1$ व्यंजन चुनते हैं,और प्रत्येक को एक बार दोहराया जाता है।
$1$ स्वर और $1$ व्यंजन चुनने के तरीके $\binom{5}{1} \times \binom{21}{1} = 5 \times 21 = 105$ हैं।
इन $4$ अक्षरों के विन्यास की संख्या $\frac{4!}{2!2!} = 6$ है।
स्थिति $1$ के लिए कुल $= 105 \times 6 = 630$।
स्थिति $2$: हम $2$ भिन्न स्वर और $2$ भिन्न व्यंजन चुनते हैं।
$2$ स्वर और $2$ व्यंजन चुनने के तरीके $\binom{5}{2} \times \binom{21}{2} = 10 \times 210 = 2100$ हैं।
इन $4$ भिन्न अक्षरों के विन्यास की संख्या $4! = 24$ है।
स्थिति $2$ के लिए कुल $= 2100 \times 24 = 50400$।
कुल क्रमचय $= 630 + 50400 = 51030$।
$51030 = 729 \times 70 = 3^6 \times 70$।

(B) यह समस्या समीकरण $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 = 3$ के गैर-ऋणात्मक पूर्णांक समाधान खोजने के बराबर है,जहाँ $x_i \ge 0$ है।
स्टार्स और बार्स सूत्र का उपयोग करते हुए,तरीकों की संख्या $\binom{n+r-1}{r-1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 3$ (समान गेंदें) और $r = 7$ (अलग डिब्बे) हैं।
तरीकों की संख्या = $\binom{7+3-1}{7-1} = \binom{9}{6}$.
चूँकि $\binom{9}{6} = \binom{9}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$.

(C) $(i).$ $n$ वस्तुओं को $k$ पात्रों में इस प्रकार रखने के तरीके कि कोई पात्र खाली न रहे,$x_1 + x_2 + \ldots + x_k = n$ के धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या के बराबर है,जो ${}^{n-1}C_{k-1}$ है। यह कथन सत्य है।
$(ii).$ एक धनात्मक पूर्णांक $n$ को $k$ धनात्मक पूर्णांकों के योग के रूप में लिखने के तरीकों की संख्या $x_1 + x_2 + \ldots + x_k = n$ के धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या के बराबर है,जो ${}^{n-1}C_{k-1}$ है। यह कथन सत्य है।
$(iii).$ यह कथन गलत है।
$(iv).$ पास्कल के नियम के अनुसार,${}^nC_k = {}^{n-1}C_k + {}^{n-1}C_{k-1}$। अतः ${}^nC_k - {}^{n-1}C_k = {}^{n-1}C_{k-1}$ सत्य है।
अतः,$(iii)$ को छोड़कर सभी कथन सही हैं।

(D) दी गई संख्या $n = (210)^2(360)(143)$ है।
सबसे पहले,हम $n$ का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात करते हैं:
$n = (2 \times 3 \times 5 \times 7)^2 \times (2^3 \times 3^2 \times 5) \times (11 \times 13)$
$n = (2^2 \times 3^2 \times 5^2 \times 7^2) \times (2^3 \times 3^2 \times 5) \times (11 \times 13)$
$n = 2^5 \times 3^4 \times 5^3 \times 7^2 \times 11^1 \times 13^1$
$n$ के कुल गुणनखंडों की संख्या प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की (घात + $1$) के गुणनफल द्वारा प्राप्त होती है:
कुल गुणनखंड $= (5+1)(4+1)(3+1)(2+1)(1+1)(1+1)$
कुल गुणनखंड $= 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 2 = 1440$
तुच्छ गुणनखंड $1$ और $n$ स्वयं हैं।
इसलिए,गैर-तुच्छ गुणनखंडों की संख्या $1440 - 2 = 1438$ है।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(D) श्रेणी का सामान्य पद $T_r = r(n-r+1) = nr - r^2 + r$ है।
$r=1$ से $n$ तक योग करने पर:
$S_n = \sum_{r=1}^n (nr - r^2 + r) = (n+1) \sum_{r=1}^n r - \sum_{r=1}^n r^2$.
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:
$S_n = (n+1) \frac{n(n+1)}{2} - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
$\frac{n(n+1)}{2}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$S_n = \frac{n(n+1)}{2} [ (n+1) - \frac{2n+1}{3} ] = \frac{n(n+1)}{2} [ \frac{3n+3-2n-1}{3} ] = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$.
इसे $\alpha n(n+1)(n+2)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = \frac{1}{6}$ प्राप्त होता है।

(A) हम जानते हैं कि प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$S_n = 1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
इस व्यंजक का विस्तार करने पर हमें प्राप्त होता है:
$S_n = \frac{2n^3+3n^2+n}{6} = \frac{n^3}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{n}{6}$
चूंकि $n \in \mathbb{N}$,$n \ge 1$,इसलिए $\frac{n^2}{2} + \frac{n}{6} > 0$ है।
अतः,$S_n = \frac{n^3}{3} + (\text{धनात्मक पद}) > \frac{n^3}{3}$।
दी गई असमिका $S_n > x$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है कि $x = \frac{n^3}{3}$।

(D) $(a+b)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^nC_r a^{n-r} b^r$ द्वारा दिया जाता है।
$\left(3-\sqrt{\frac{17}{4}+3 \sqrt{2}}\right)^{10}$ के विस्तार के लिए,$n=10$,$a=3$,और $b=-\sqrt{\frac{17}{4}+3 \sqrt{2}}$ है।
छठा पद $(T_6)$ $r=5$ के अनुरूप है:
$T_6 = {}^{10}C_5 (3)^{10-5} \left(-\sqrt{\frac{17}{4}+3 \sqrt{2}}\right)^5$.
$T_6 = -{}^{10}C_5 (3)^5 \left(\frac{17}{4}+3 \sqrt{2}\right)^{5/2}$.
चूँकि $\sqrt{2}$ अपरिमेय है,इसलिए $\left(\frac{17}{4}+3 \sqrt{2}\right)$ का कोई भी भिन्नात्मक घात अपरिमेय ही रहेगा।
अतः,$T_6$ एक ऋणात्मक अपरिमेय संख्या है।

(C) $\left(\frac{3}{2} x^2 - \frac{1}{3x}\right)^6$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^6C_r \left(\frac{3}{2}\right)^{6-r} \left(-\frac{1}{3}\right)^r x^{12-3r}$ है।
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$12-3r = 0 \implies r = 4$।
अतः $k = r+1 = 5$।
अब,$x = \frac{2}{3}$ के लिए $\left(\frac{3}{2} x^2 - \frac{1}{3x}\right)^5$ में सबसे बड़ा पद ज्ञात करने पर,$r=2$ प्राप्त होता है।
$T_3 = {}^5C_2 \left(\frac{3}{2} x^2\right)^3 \left(-\frac{1}{3x}\right)^2 = 10 \cdot \frac{27}{8} x^6 \cdot \frac{1}{9x^2} = \frac{20}{27}$।

(A) $\left(x^2+\frac{1}{x}\right)^8$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{8}C_{r} (x^2)^{8-r} (x^{-1})^r = {}^{8}C_{r} x^{16-3r}$ है।
$x^4$ के गुणांक के लिए,$16-3r = 4$ रखने पर,$3r = 12$,जिससे $r = 4$ प्राप्त होता है। गुणांक ${}^{8}C_{4} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$ है।
$x$ के गुणांक के लिए,$16-3r = 1$ रखने पर,$3r = 15$,जिससे $r = 5$ प्राप्त होता है। गुणांक ${}^{8}C_{5} = {}^{8}C_{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ है।
हमें $56$ और $70$ के बीच स्थित $4$ के पूर्णांक गुणजों की संख्या ज्ञात करनी है।
$4$ के गुणज $60, 64, 68$ हैं।
अतः,$p$ के ऐसे $3$ मान हैं।
इसलिए,विकल्प $A$ सही है।

(C) माना $(2+\sqrt{3})^5 = I + f$,जहाँ $I$ एक पूर्णांक है और $0 < f < 1$ है।
व्यंजक $(2-\sqrt{3})^5 = f'$ पर विचार करें।
चूंकि $0 < 2-\sqrt{3} < 1$,इसलिए $0 < (2-\sqrt{3})^5 < 1$,अतः $0 < f' < 1$ है।
अब,योग $S = (2+\sqrt{3})^5 + (2-\sqrt{3})^5$ पर विचार करें।
द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,$S = 2 \times [^5C_0 2^5 + ^5C_2 2^3 (\sqrt{3})^2 + ^5C_4 2^1 (\sqrt{3})^4]$।
$S = 2 \times [32 + 10 \times 8 \times 3 + 5 \times 2 \times 9] = 2 \times [32 + 240 + 90] = 2 \times 362 = 724$।
चूंकि $I + f + f' = 724$ और $0 < f + f' < 2$ है,इसलिए $f + f'$ एक पूर्णांक होना चाहिए।
चूंकि $0 < f < 1$ और $0 < f' < 1$ है,इसलिए $f + f'$ का एकमात्र संभावित मान $1$ है।
अतः,$I + 1 = 724$,जिसका अर्थ है $I = 723$।

(C) $\left(2^{1/3} + 3^{-1/3}\right)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = { }^n C_r 2^{(n-r)/3} 3^{-r/3}$ है।
प्रारंभ से $7$ वां पद $T_7 = { }^n C_6 2^{(n-6)/3} 3^{-2}$ है।
अंत से $7$ वां पद,प्रारंभ से $(n-5)$ वां पद है,जो $T_{n-5} = { }^n C_6 2^2 3^{(6-n)/3}$ है।
दिया गया अनुपात $\frac{1}{6}$ है:
$\frac{{ }^n C_6 2^{(n-6)/3} 3^{-2}}{{ }^n C_6 2^2 3^{(6-n)/3}} = \frac{1}{6}$
$6^{(n-12)/3} = 6^{-1}$
$\frac{n-12}{3} = -1 \Rightarrow n = 9$.
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(D) दिया गया विस्तार: $(1+x+x^2)^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_{2n} x^{2n}$।
चरण $1$: $x=1$ रखने पर:
$(1+1+1)^n = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{2n} \implies 3^n = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{2n} \quad (i)$
चरण $2$: $x=-1$ रखने पर:
$(1-1+1)^n = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \ldots + a_{2n} \implies 1 = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \ldots + a_{2n} \quad (ii)$
चरण $3$: $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$3^n + 1 = 2(a_0 + a_2 + a_4 + \ldots) \implies a_0 + a_2 + \ldots = \frac{1}{2}(3^n + 1)$। अतः,$A \rightarrow III$।
चरण $4$: $(i)$ में से $(ii)$ को घटाने पर:
$3^n - 1 = 2(a_1 + a_3 + a_5 + \ldots) \implies a_1 + a_3 + \ldots = \frac{1}{2}(3^n - 1)$। अतः,$B \rightarrow IV$।
चरण $5$: विस्तार का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$n(1+x+x^2)^{n-1}(1+2x) = a_1 + 2a_2 x + 3a_3 x^2 + \ldots + 2n a_{2n} x^{2n-1}$।
$x=1$ रखने पर:
$n(3)^{n-1}(3) = a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 2n a_{2n} \implies n \cdot 3^n = a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 2n a_{2n}$। अतः,$C \rightarrow II$।
अतः,सही मिलान $A-III, B-IV, C-II$ है।

(C) दिया गया है कि $|x| < \frac{4}{3}$.
हमारे पास $\frac{1}{(4-3 x)^{\frac{1}{2}}} = (4-3 x)^{-\frac{1}{2}} = 4^{-\frac{1}{2}} \left(1-\frac{3 x}{4}\right)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \left(1-\frac{3 x}{4}\right)^{-\frac{1}{2}}$ है।
द्विपद विस्तार $(1+u)^n = 1 + nu + \frac{n(n-1)}{2!} u^2 + \dots$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $u = -\frac{3x}{4}$ और $n = -\frac{1}{2}$:
$\frac{1}{2} \left(1-\frac{3 x}{4}\right)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \left[ 1 + \left(-\frac{1}{2}\right) \left(-\frac{3x}{4}\right) + \frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})}{2} \left(-\frac{3x}{4}\right)^2 + \dots \right]$
$= \frac{1}{2} \left[ 1 + \frac{3x}{8} + \frac{3}{8} \cdot \frac{9x^2}{16} + \dots \right]$
$= \frac{1}{2} \left[ 1 + \frac{3x}{8} + \frac{27x^2}{128} + \dots \right]$
$= \frac{1}{2} + \frac{3x}{16} + \frac{27x^2}{256} + \dots$

(C) $|x| < 1$ के लिए $(1+x)^n$ का विस्तार $1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \ldots$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $n = \frac{7}{5}$ और $x = \frac{5}{7}$ दिया गया है।
$t_1 = 1$
$t_2 = nx = \frac{7}{5} \times \frac{5}{7} = 1$
$t_3 = \frac{n(n-1)}{2!}x^2 = \frac{\frac{7}{5}(\frac{2}{5})}{2} \times (\frac{5}{7})^2 = \frac{7}{25} \times \frac{25}{49} = \frac{1}{7}$
$t_4 = \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 = \frac{\frac{7}{5}(\frac{2}{5})(-\frac{3}{5})}{6} \times (\frac{5}{7})^3 = \frac{-\frac{42}{125}}{6} \times \frac{125}{343} = -\frac{7}{343} = -\frac{1}{49}$
चूँकि $t_4$ पहला ऋणात्मक पद है,$k=4$ है।
योग $t_1+t_2+t_3+t_4 = 1 + 1 + \frac{1}{7} - \frac{1}{49} = 2 + \frac{7-1}{49} = 2 + \frac{6}{49} = \frac{98+6}{49} = \frac{104}{49}$.

(A) हमारे पास है,$\frac{x}{x+1} = x(1+x)^{-1}$.
चूंकि $|x| < 1$,$(1+x)^{-1}$ का द्विपद प्रसार $1-x+x^2-x^3+\dots = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n$ है।
अतः,$\frac{x}{x+1} = x \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^{n+1}$.
इसलिए,कथन $(A)$ सत्य है।
कारण $(R)$,$|x| < 1$ के लिए $(1+x)^{-1}$ का मानक प्रसार है,जो कि सत्य है।
चूंकि कथन को सीधे कारण से प्राप्त किया जा सकता है,इसलिए $R$,$A$ की सही व्याख्या है।

(D) दिया गया है कि $(2+a)^{50}$ के विस्तार में $17^{\text{th}}$ और $18^{\text{th}}$ पद समान हैं।
$(x+y)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = ^{n}C_{r} x^{n-r} y^{r}$ होता है।
$T_{17} = T_{18}$ के लिए:
$^{50}C_{16} (2)^{34} (a)^{16} = ^{50}C_{17} (2)^{33} (a)^{17}$
दोनों पक्षों को $^{50}C_{16} (2)^{33} (a)^{16}$ से विभाजित करने पर:
$2 = \frac{^{50}C_{17}}{^{50}C_{16}} \times a$
गुणधर्म $\frac{^{n}C_{r}}{^{n}C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करने पर:
$2 = \frac{50-17+1}{17} \times a = \frac{34}{17} \times a = 2a$
अतः,$a = 1$.
अब,हमें $(a+x)^{-2} = (1+x)^{-2}$ के विस्तार में $x^{35}$ का गुणांक ज्ञात करना है।
$(1+x)^{-n}$ के विस्तार में $x^r$ का गुणांक $(-1)^r (r+1)$ होता है।
$r=35$ के लिए,गुणांक $(-1)^{35} (35+1) = -36$ होगा।

(C) हमारे पास है,$\frac{x^4-12x^2+7}{(x^2+1)^3} = (x^4-12x^2+7)(1+x^2)^{-3}$.
द्विपद विस्तार $(1+u)^{-n} = 1 - nu + \frac{n(n+1)}{2!}u^2 - \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}u^3 + \dots$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = x^2$ और $n = 3$:
$(1+x^2)^{-3} = 1 - 3x^2 + 6x^4 - 10x^6 + \dots$
अब,$(x^4 - 12x^2 + 7)$ से गुणा करने पर:
$(x^4 - 12x^2 + 7)(1 - 3x^2 + 6x^4 - 10x^6 + \dots)$
$x^6$ वाले पद हैं:
$x^4 \times (-3x^2) = -3x^6$
$-12x^2 \times (6x^4) = -72x^6$
$7 \times (-10x^6) = -70x^6$
गुणांकों का योग: $-3 - 72 - 70 = -145$.

(B) हम जानते हैं कि,$\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$।
सर्वसमिका $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर:
$\cos 18^{\circ} = \sqrt{1 - \sin^2 18^{\circ}}$
$= \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2}$
$= \sqrt{1 - \frac{5+1-2\sqrt{5}}{16}}$
$= \sqrt{\frac{16 - 6 + 2\sqrt{5}}{16}}$
$= \sqrt{\frac{10 + 2\sqrt{5}}{16}}$
$= \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4}$
$= \frac{\sqrt{2(5 + \sqrt{5})}}{4} = \frac{\sqrt{5+\sqrt{5}}}{2\sqrt{2}}$।

(B) माना दो न्यून कोण $x$ और $y$ हैं जहाँ $x > y$ है। एक समकोण त्रिभुज में,दोनों न्यून कोणों का योग $90^{\circ}$ होता है।
दिया है: $x - y = 60^{\circ}$ और $x + y = 90^{\circ}$।
समीकरणों को जोड़ने पर: $2x = 150^{\circ} \implies x = 75^{\circ}$।
अतः,$y = 90^{\circ} - 75^{\circ} = 15^{\circ}$।
माना $BD$ समकोण शीर्ष $B$ से कर्ण $AC$ पर डाला गया लंब है। $\triangle ABD$ में,$\angle ADB = 90^{\circ}$ और $\angle BAD = y = 15^{\circ}$ है। अतः,$\tan(15^{\circ}) = \frac{BD}{AD} \implies AD = BD \cot(15^{\circ})$।
$\triangle BDC$ में,$\angle BDC = 90^{\circ}$ और $\angle BCD = x = 75^{\circ}$ है। अतः,$\tan(75^{\circ}) = \frac{BD}{CD} \implies CD = BD \cot(75^{\circ})$।
कर्ण की लंबाई $AC = AD + CD = BD(\cot(15^{\circ}) + \cot(75^{\circ}))$।
$\cot(15^{\circ}) = 2 + \sqrt{3}$ और $\cot(75^{\circ}) = 2 - \sqrt{3}$ का उपयोग करने पर:
$AC = BD(2 + \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3}) = 4BD$।
अतः,अनुपात $\frac{AC}{BD} = 4: 1$ है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$1) \ 3 \cos^2 A + 2 \cos^2 B = 4$
$2) \ \frac{3 \sin A}{\sin B} = \frac{2 \cos B}{\cos A}$ $\Rightarrow 3 \sin A \cos A = 2 \sin B \cos B$ $\Rightarrow \frac{3}{2} \sin 2A = \sin 2B$
$(1)$ से:
$3(1 - \sin^2 A) + 2(1 - \sin^2 B) = 4$
$5 - 3 \sin^2 A - 2 \sin^2 B = 4$
$3 \sin^2 A + 2 \sin^2 B = 1$
$3 \sin^2 A = 1 - 2 \sin^2 B = \cos 2B$
$\cos(A + 2B) = \cos A \cos 2B - \sin A \sin 2B$ पर विचार करें।
$\cos 2B = 3 \sin^2 A$ और $\sin 2B = \frac{3}{2} \sin 2A = 3 \sin A \cos A$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos(A + 2B) = \cos A (3 \sin^2 A) - \sin A (3 \sin A \cos A)$
$\cos(A + 2B) = 3 \sin^2 A \cos A - 3 \sin^2 A \cos A = 0$
चूंकि $A, B$ न्यून कोण हैं,इसलिए $A + 2B = 90^{\circ}$ होगा।

(C) माना व्यंजक $E = \left(1+\cos \frac{\pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{3 \pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{5 \pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{7 \pi}{8}\right)$ है।
सर्वसमिका $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$ का उपयोग करते हुए,हमें $\cos \frac{5\pi}{8} = -\cos \frac{3\pi}{8}$ और $\cos \frac{7\pi}{8} = -\cos \frac{\pi}{8}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \left(1+\cos \frac{\pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{3 \pi}{8}\right)\left(1-\cos \frac{3 \pi}{8}\right)\left(1-\cos \frac{\pi}{8}\right)$
$E = \left(1-\cos^2 \frac{\pi}{8}\right)\left(1-\cos^2 \frac{3 \pi}{8}\right)$
$E = \sin^2 \frac{\pi}{8} \sin^2 \frac{3 \pi}{8}$
चूंकि $\frac{3\pi}{8} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}$,इसलिए $\sin \frac{3\pi}{8} = \cos \frac{\pi}{8}$ होता है।
$E = \sin^2 \frac{\pi}{8} \cos^2 \frac{\pi}{8} = \left(\sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8}\right)^2$
$2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ का उपयोग करते हुए,$\sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} = \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
$E = \left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{8}$.

(C) दिया गया है कि $A+B+C=270^{\circ}$ है।
हमें $\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C + 4 \sin A \sin B \sin C$ का मान ज्ञात करना है।
योग-से-गुणनफल सूत्र $\cos 2B + \cos 2C = 2 \cos(B+C) \cos(B-C)$ का उपयोग करने पर:
$= \cos 2A + 2 \cos(B+C) \cos(B-C) + 4 \sin A \sin B \sin C$.
चूंकि $B+C = 270^{\circ} - A$,इसलिए $\cos(B+C) = \cos(270^{\circ} - A) = -\sin A$.
यह मान रखने पर:
$= \cos 2A + 2(-\sin A) \cos(B-C) + 4 \sin A \sin B \sin C$
$= (1 - 2 \sin^2 A) - 2 \sin A \cos(B-C) + 4 \sin A \sin B \sin C$
$= 1 - 2 \sin A [\sin A + \cos(B-C)] + 4 \sin A \sin B \sin C$.
चूंकि $\sin A = \sin(270^{\circ} - (B+C)) = -\cos(B+C)$:
$= 1 - 2 \sin A [-\cos(B+C) + \cos(B-C)] + 4 \sin A \sin B \sin C$.
सर्वसमिका $-\cos(B+C) + \cos(B-C) = 2 \sin B \sin C$ का उपयोग करने पर:
$= 1 - 2 \sin A (2 \sin B \sin C) + 4 \sin A \sin B \sin C$
$= 1 - 4 \sin A \sin B \sin C + 4 \sin A \sin B \sin C$
$= 1$.

(C) दिया गया है $0 < A < B < \frac{\pi}{4}$,$\cos (A+B) = \frac{11}{61}$ और $\sin (A-B) = \frac{24}{25}$।
$\sin (A+B) = \frac{60}{61}$ और $\cos (A-B) = \frac{7}{25}$ प्राप्त होता है।
$\sin 2A = \sin ((A+B) + (A-B)) = \sin (A+B) \cos (A-B) + \cos (A+B) \sin (A-B) = \frac{684}{1525}$।
$\sin 2B = \sin ((A+B) - (A-B)) = \sin (A+B) \cos (A-B) - \cos (A+B) \sin (A-B) = \frac{156}{1525}$।
अतः,$\sin 2A + \sin 2B = \frac{684}{1525} + \frac{156}{1525} = \frac{168}{305}$।

(D) दिया है,$A+B+C=\frac{\pi}{3}$।
हमें $S = \sin \left(\frac{\pi-6A}{6}\right)+\sin \left(\frac{\pi-6B}{6}\right)+\sin C$ का मान ज्ञात करना है।
सूत्र $\sin X + \sin Y = 2 \sin \left(\frac{X+Y}{2}\right) \cos \left(\frac{X-Y}{2}\right)$ का उपयोग करते हुए:
$S = 2 \sin \left(\frac{\frac{\pi-6A}{6} + \frac{\pi-6B}{6}}{2}\right) \cos \left(\frac{\frac{\pi-6A}{6} - \frac{\pi-6B}{6}}{2}\right) + \sin C$
$S = 2 \sin \left(\frac{2\pi - 6(A+B)}{12}\right) \cos \left(\frac{6(B-A)}{12}\right) + \sin C$
चूंकि $A+B = \frac{\pi}{3} - C$,इसलिए $6(A+B) = 2\pi - 6C$।
$S = 2 \sin \left(\frac{2\pi - (2\pi - 6C)}{12}\right) \cos \left(\frac{B-A}{2}\right) + \sin C$
$S = 2 \sin \left(\frac{6C}{12}\right) \cos \left(\frac{B-A}{2}\right) + 2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}$
$S = 2 \sin \frac{C}{2} \left[ \cos \left(\frac{B-A}{2}\right) + \cos \frac{C}{2} \right]$
चूंकि $C = \frac{\pi}{3} - (A+B)$,इसलिए $\frac{C}{2} = \frac{\pi}{6} - \frac{A+B}{2}$।
$S = 2 \sin \frac{C}{2} \left[ \cos \left(\frac{B-A}{2}\right) + \cos \left(\frac{\pi}{6} - \frac{A+B}{2}\right) \right]$
$\cos X + \cos Y = 2 \cos \left(\frac{X+Y}{2}\right) \cos \left(\frac{X-Y}{2}\right)$ का उपयोग करते हुए:
$S = 4 \sin \frac{C}{2} \cos \left(\frac{\pi - 6A}{12}\right) \cos \left(\frac{\pi - 6B}{12}\right)$।

(D) माना $E = \left(2 \cos^2 18^{\circ} - \sin 18^{\circ}\right) \left(\cos \theta + 3 \sqrt{2} \cos \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) + 3\right)$ है।
सबसे पहले,अचर पद को सरल करने पर: $2 \cos^2 18^{\circ} - \sin 18^{\circ} = (1 + \cos 36^{\circ}) - \sin 18^{\circ}$।
$\cos 36^{\circ} = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}$ और $\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ का उपयोग करने पर,हमें $1 + \frac{\sqrt{5} + 1}{4} - \frac{\sqrt{5} - 1}{4} = 1 + \frac{2}{4} = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,दूसरे पद को सरल करने पर: $\cos \theta + 3 \sqrt{2} \left(\cos \theta \cos \frac{\pi}{4} - \sin \theta \sin \frac{\pi}{4}\right) + 3$।
$= \cos \theta + 3 \sqrt{2} \left(\cos \theta \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} - \sin \theta \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\right) + 3$।
$= \cos \theta + 3 \cos \theta - 3 \sin \theta + 3 = 4 \cos \theta - 3 \sin \theta + 3$।
अतः,$E = \frac{3}{2} (4 \cos \theta - 3 \sin \theta + 3)$।
$a \cos \theta + b \sin \theta$ का अधिकतम मान $\sqrt{a^2 + b^2}$ होता है।
यहाँ,$4 \cos \theta - 3 \sin \theta$ का अधिकतम मान $\sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$ है।
इसलिए,$E$ का अधिकतम मान $\frac{3}{2} (5 + 3) = \frac{3}{2} \times 8 = 12$ है।

(B) दिया गया समीकरण $\cos A \cos B + \sin A \sin B \sin C = 1$ है।
चूंकि $\sin C \le 1$,हमारे पास $\cos A \cos B + \sin A \sin B \sin C \le \cos A \cos B + \sin A \sin B = \cos(A - B)$ है।
चूंकि $\cos(A - B) \le 1$,समानता केवल तभी संभव है जब $\cos(A - B) = 1$ और $\sin C = 1$ हो।
इसका अर्थ है $A = B$ और $C = 90^{\circ}$।
चूंकि $A + B + C = 180^{\circ}$,हमारे पास $2A + 90^{\circ} = 180^{\circ}$ है,इसलिए $A = 45^{\circ}$ और $B = 45^{\circ}$।
अतः,$\sin A + \sin B + \sin C = \sin 45^{\circ} + \sin 45^{\circ} + \sin 90^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + 1 = \sqrt{2} + 1$।

(A) दी गई श्रेणी $S = \sin^2(3^{\circ}) + \sin^2(6^{\circ}) + \dots + \sin^2(87^{\circ}) + \sin^2(90^{\circ})$ है।
यहाँ कोण समांतर श्रेणी में हैं: $3^{\circ}, 6^{\circ}, \dots, 90^{\circ}$,जिसमें कुल $30$ पद हैं।
सर्वसमिका $\sin^2(\theta) + \sin^2(90^{\circ} - \theta) = 1$ का उपयोग करके जोड़े बनाने पर:
जोड़े $(3^{\circ}, 87^{\circ}), (6^{\circ}, 84^{\circ}), \dots, (42^{\circ}, 48^{\circ})$ प्राप्त होते हैं।
$\sin^2(90^{\circ})$ को छोड़कर कुल $29$ पद हैं,अतः $14$ जोड़े और एक मध्य पद $\sin^2(45^{\circ})$ प्राप्त होगा।
योग $= 14 \times 1 + \sin^2(45^{\circ}) + \sin^2(90^{\circ}) = 14 + 0.5 + 1 = 15.5 = \frac{31}{2}$.

(B) दिया गया समीकरण: $\sin x - \sqrt{3} \cos x + 4 \sin 2x - 4 \sqrt{3} \cos 2x + \sin 3x - \sqrt{3} \cos 3x = 0$.
$2$ से भाग देने पर:
$2[\frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x] + 8[\frac{1}{2} \sin 2x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2x] + 2[\frac{1}{2} \sin 3x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 3x] = 0$.
सरल करने पर:
$2 \sin(x - \frac{\pi}{3}) + 8 \sin(2x - \frac{\pi}{3}) + 2 \sin(3x - \frac{\pi}{3}) = 0$.
$2$ से भाग देने पर:
$\sin(x - \frac{\pi}{3}) + \sin(3x - \frac{\pi}{3}) + 4 \sin(2x - \frac{\pi}{3}) = 0$.
$\sin C + \sin D$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$2 \sin(2x - \frac{\pi}{3}) \cos(x) + 4 \sin(2x - \frac{\pi}{3}) = 0$.
$2 \sin(2x - \frac{\pi}{3}) [\cos x + 2] = 0$.
चूंकि $\cos x + 2 \neq 0$,इसलिए $\sin(2x - \frac{\pi}{3}) = 0$.
अतः,$2x - \frac{\pi}{3} = n \pi$,जिससे $x = \frac{n \pi}{2} + \frac{\pi}{6}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $y = \log_e \tan \left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right)$.
$e^y = \tan \left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right) = \frac{1 + \tan \frac{x}{2}}{1 - \tan \frac{x}{2}}$.
हम जानते हैं कि $\tanh \left(\frac{y}{2}\right) = \frac{e^y - 1}{e^y + 1}$.
$e^y$ का मान रखने पर:
$\tanh \left(\frac{y}{2}\right) = \frac{\frac{1 + \tan \frac{x}{2}}{1 - \tan \frac{x}{2}} - 1}{\frac{1 + \tan \frac{x}{2}}{1 - \tan \frac{x}{2}} + 1} = \frac{(1 + \tan \frac{x}{2}) - (1 - \tan \frac{x}{2})}{(1 + \tan \frac{x}{2}) + (1 - \tan \frac{x}{2})} = \frac{2 \tan \frac{x}{2}}{2} = \tan \frac{x}{2}$.
अतः,विकल्प $D$ सही है.

(B) दिया गया समीकरण: $\sin A - 5 \sin 2A + \sin 3A = \cos A - 5 \cos 2A + \cos 3A$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(\sin A + \sin 3A) - 5 \sin 2A = (\cos A + \cos 3A) - 5 \cos 2A$
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर: $2 \sin 2A \cos A - 5 \sin 2A = 2 \cos 2A \cos A - 5 \cos 2A$
गुणनखंड करने पर: $2 \cos A (\sin 2A - \cos 2A) - 5 (\sin 2A - \cos 2A) = 0$
$(\sin 2A - \cos 2A)(2 \cos A - 5) = 0$
चूंकि $2 \cos A - 5 = 0$ का अर्थ है $\cos A = 2.5$,जो असंभव है,इसलिए $\sin 2A - \cos 2A = 0$ होना चाहिए
$\sin 2A = \cos 2A \Rightarrow \tan 2A = 1$
अंतराल $(0, \pi)$ के लिए,$2A \in (0, 2\pi)$
$\tan 2A = 1$ का मान $2A = \frac{\pi}{4}$ और $2A = \frac{5\pi}{4}$ पर प्राप्त होता है
अतः,$A = \frac{\pi}{8}$ और $A = \frac{5\pi}{8}$
इस प्रकार,दिए गए अंतराल में $2$ हल हैं।

(C) दिया गया है $\cot \theta + \tan \theta = 3$.
$\frac{1}{\sin \theta \cos \theta} = 3 \Rightarrow \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{3}$.
$1 - \cos^2 \theta - \alpha \cos \theta = 0 \Rightarrow \sin^2 \theta = \alpha \cos \theta$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\sin^4 \theta = \alpha^2 \cos^2 \theta = \alpha^2(1 - \sin^2 \theta)$.
चूँकि $\sin^3 \theta = \frac{\alpha}{3}$,इसलिए $\sin^2 \theta = (\frac{\alpha}{3})^{2/3}$.
मान रखने पर,$9 \alpha^2(6 - \alpha^2) = 1$ प्राप्त होता है।

(D) माना $S = \cos \frac{\pi}{7} - \cos \frac{2\pi}{7} + \cos \frac{3\pi}{7} - \cos \frac{4\pi}{7} + \cos \frac{5\pi}{7} - \cos \frac{6\pi}{7}$ है।
गुणधर्म $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\cos \frac{6\pi}{7} = -\cos \frac{\pi}{7}$,$\cos \frac{5\pi}{7} = -\cos \frac{2\pi}{7}$,और $\cos \frac{4\pi}{7} = -\cos \frac{3\pi}{7}$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$S = \cos \frac{\pi}{7} - \cos \frac{2\pi}{7} + \cos \frac{3\pi}{7} - (-\cos \frac{3\pi}{7}) + (-\cos \frac{2\pi}{7}) - (-\cos \frac{\pi}{7})$
$S = \cos \frac{\pi}{7} - \cos \frac{2\pi}{7} + \cos \frac{3\pi}{7} + \cos \frac{3\pi}{7} - \cos \frac{2\pi}{7} + \cos \frac{\pi}{7}$
$S = 2 \cos \frac{\pi}{7} - 2 \cos \frac{2\pi}{7} + 2 \cos \frac{3\pi}{7}$।
$2 \sin \frac{\pi}{7}$ से गुणा और भाग करने पर:
$S = \frac{2 \sin \frac{\pi}{7} \cos \frac{\pi}{7} - 2 \sin \frac{\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} + 2 \sin \frac{\pi}{7} \cos \frac{3\pi}{7}}{\sin \frac{\pi}{7}}$
$2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$S = \frac{\sin \frac{2\pi}{7} - (\sin \frac{3\pi}{7} - \sin \frac{\pi}{7}) + (\sin \frac{4\pi}{7} - \sin \frac{2\pi}{7})}{\sin \frac{\pi}{7}}$
$S = \frac{\sin \frac{2\pi}{7} - \sin \frac{3\pi}{7} + \sin \frac{\pi}{7} + \sin \frac{4\pi}{7} - \sin \frac{2\pi}{7}}{\sin \frac{\pi}{7}}$
चूँकि $\sin \frac{4\pi}{7} = \sin(\pi - \frac{4\pi}{7}) = \sin \frac{3\pi}{7}$,इसलिए पद कट जाएंगे:
$S = \frac{\sin \frac{\pi}{7}}{\sin \frac{\pi}{7}} = 1$।

(A) हम जानते हैं कि $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ और $\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ है।
प्रथम पद के लिए: $\sinh[\log(2+\sqrt{5})] = \frac{e^{\log(2+\sqrt{5})} - e^{-\log(2+\sqrt{5})}}{2} = \frac{(2+\sqrt{5}) - \frac{1}{2+\sqrt{5}}}{2}$।
चूंकि $\frac{1}{2+\sqrt{5}} = \sqrt{5}-2$,इसलिए $\frac{(2+\sqrt{5}) - (\sqrt{5}-2)}{2} = \frac{4}{2} = 2$।
द्वितीय पद के लिए: $\cosh[\log(2+\sqrt{3})] = \frac{e^{\log(2+\sqrt{3})} + e^{-\log(2+\sqrt{3})}}{2} = \frac{(2+\sqrt{3}) + \frac{1}{2+\sqrt{3}}}{2}$।
चूंकि $\frac{1}{2+\sqrt{3}} = 2-\sqrt{3}$,इसलिए $\frac{(2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3})}{2} = \frac{4}{2} = 2$।
इन परिणामों को जोड़ने पर: $2 + 2 = 4$।

(D) दिया गया समीकरण: $\cos 2x - 2 \tan x + 2 = 0$
सर्वसमिका $\cos 2x = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} - 2 \tan x + 2 = 0$
$(1 + \tan^2 x)$ से गुणा करने पर:
$(1 - \tan^2 x) - 2 \tan x(1 + \tan^2 x) + 2(1 + \tan^2 x) = 0$
$1 - \tan^2 x - 2 \tan x - 2 \tan^3 x + 2 + 2 \tan^2 x = 0$
$2 \tan^3 x - \tan^2 x + 2 \tan x - 3 = 0$
माना $\tan x = t$,तब $2t^3 - t^2 + 2t - 3 = 0$.
निरीक्षण द्वारा,$t = 1$ एक मूल है।
$(t - 1)(2t^2 + t + 3) = 0$ प्राप्त होता है।
यहाँ $2t^2 + t + 3$ के लिए विविक्तकर $D < 0$ है,अतः कोई वास्तविक मूल नहीं है।
इसलिए,$\tan x = 1 = \tan \frac{\pi}{4}$.
व्यापक हल $x = n\pi + \frac{\pi}{4}, n \in Z$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $2 \cosh 2x + 10 \sinh 2x = 5$
घातांकीय परिभाषाओं $\cosh 2x = \frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2}$ और $\sinh 2x = \frac{e^{2x} - e^{-2x}}{2}$ का उपयोग करने पर:
$2 \left(\frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2}\right) + 10 \left(\frac{e^{2x} - e^{-2x}}{2}\right) = 5$
$(e^{2x} + e^{-2x}) + 5(e^{2x} - e^{-2x}) = 5$
$6e^{2x} - 4e^{-2x} = 5$
$e^{2x}$ से गुणा करने पर:
$6(e^{2x})^2 - 5e^{2x} - 4 = 0$
माना $u = e^{2x}$,तो $6u^2 - 5u - 4 = 0$
गुणनखंड करने पर: $(2u + 1)(3u - 4) = 0$
चूंकि $u = e^{2x} > 0$,इसलिए $3u - 4 = 0 \Rightarrow u = \frac{4}{3}$
$e^{2x} = \frac{4}{3} \Rightarrow 2x = \log \left(\frac{4}{3}\right)$
$x = \frac{1}{2} \log \left(\frac{4}{3}\right)$

(C) दिया गया है,$A+B+C=\pi$.
हमें $\sin A - \sin B + \sin C$ का मान ज्ञात करना है।
योग-से-गुणनफल सूत्र $\sin A + \sin C = 2 \sin \left(\frac{A+C}{2}\right) \cos \left(\frac{A-C}{2}\right)$ और $\sin B = 2 \sin \frac{B}{2} \cos \frac{B}{2}$ का उपयोग करने पर:
चूंकि $A+C = \pi - B$,इसलिए $\frac{A+C}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{B}{2}$,अतः $\sin \left(\frac{A+C}{2}\right) = \cos \frac{B}{2}$.
अतः,$\sin A + \sin C = 2 \cos \frac{B}{2} \cos \left(\frac{A-C}{2}\right)$.
अब,$\sin A - \sin B + \sin C = 2 \cos \frac{B}{2} \cos \left(\frac{A-C}{2}\right) - 2 \sin \frac{B}{2} \cos \frac{B}{2}$.
$= 2 \cos \frac{B}{2} \left[ \cos \left(\frac{A-C}{2}\right) - \sin \frac{B}{2} \right]$.
चूंकि $\frac{B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{A+C}{2}$,इसलिए $\sin \frac{B}{2} = \cos \left(\frac{A+C}{2}\right)$.
$= 2 \cos \frac{B}{2} \left[ \cos \left(\frac{A-C}{2}\right) - \cos \left(\frac{A+C}{2}\right) \right]$.
$\cos X - \cos Y = 2 \sin \left(\frac{X+Y}{2}\right) \sin \left(\frac{Y-X}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$= 2 \cos \frac{B}{2} \left[ 2 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{C}{2} \right] = 4 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$.

(B) दिया गया है: $\sin x + \sin y = p$ $(i)$ और $\cos x + \cos y = q$ (ii).
$(i)$ और (ii) का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(\sin x + \sin y)^2 + (\cos x + \cos y)^2 = p^2 + q^2$
$2 + 2 \cos(x - y) = p^2 + q^2$ (iii).
अब,$q^2 - p^2 = (\cos x + \cos y)^2 - (\sin x + \sin y)^2$
$= \cos 2x + \cos 2y + 2 \cos(x + y) = 2 \cos(x + y) [\cos(x - y) + 1]$.
(iii) से,$\cos(x - y) + 1 = \frac{p^2 + q^2}{2}$.
अतः,$q^2 - p^2 = 2 \cos(x + y) \cdot \frac{p^2 + q^2}{2} = \cos(x + y)(p^2 + q^2)$.
इसलिए,$\sec(x + y) = \frac{p^2 + q^2}{q^2 - p^2}$.
अतः,विकल्प $B$ सही है.

(C) दिया गया समीकरण $7 \cos x + 5 \sin x = 2k + 1$ है।
हम जानते हैं कि व्यंजक $a \cos x + b \sin x$ का परिसर $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ होता है।
यहाँ,$a = 7$ और $b = 5$ है,इसलिए परिसर $[-\sqrt{7^2 + 5^2}, \sqrt{7^2 + 5^2}] = [-\sqrt{74}, \sqrt{74}]$ है।
चूँकि $\sqrt{64} < \sqrt{74} < \sqrt{81}$,इसलिए $8 < \sqrt{74} < 9$,जो लगभग $8.6$ है।
समीकरण का हल होने के लिए,$-\sqrt{74} \leq 2k + 1 \leq \sqrt{74}$ होना चाहिए।
अनुमानित मान रखने पर: $-8.6 \leq 2k + 1 \leq 8.6$.
सभी भागों से $1$ घटाने पर: $-9.6 \leq 2k \leq 7.6$.
$2$ से भाग देने पर: $-4.8 \leq k \leq 3.8$.
चूँकि $k$ एक पूर्णांक है,इसलिए $k$ के संभावित मान $\{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ हैं।
अतः $k$ के कुल $8$ पूर्णांक मान संभव हैं।

(B) दी गई असमिका $\sqrt{2} \sin^2 x + (3\sqrt{2} + 1) \sin x + 3 > 0$ है।
गुणनखंड करने पर: $(\sqrt{2} \sin x + 1)(\sin x + 3) > 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin x + 3 > 0$ सभी वास्तविक $x$ के लिए सत्य है,इसलिए $\sqrt{2} \sin x + 1 > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\sin x > -\frac{1}{\sqrt{2}}$।
यह असमिका $x \in \left(-\frac{\pi}{4} + 2n\pi, \frac{5\pi}{4} + 2n\pi\right)$ के लिए सत्य है।
दूसरी असमिका $x^2 - 7x + 10 < 0$ के लिए,गुणनखंड $(x - 2)(x - 5) < 0$ है,जिसका हल $x \in (2, 5)$ है।
अतः,दोनों का प्रतिच्छेदन $x \in \left(2, \frac{5\pi}{4}\right)$ है।

(B) माना $O(h, k)$ त्रिभुज $ABC$ का परिकेंद्र है,जिसके शीर्ष $A(-2, 1)$,$B(0, -2)$,और $C(1, 2)$ हैं।
परिकेंद्र होने के कारण,$OA = OB = OC$ होगा।
$OA^2 = OB^2 \Rightarrow (h+2)^2 + (k-1)^2 = h^2 + (k+2)^2$
$4h - 6k + 1 = 0$ --- $(i)$
$OB^2 = OC^2 \Rightarrow h^2 + (k+2)^2 = (h-1)^2 + (k-2)^2$
$2h + 8k - 1 = 0$ --- $(ii)$
समीकरणों $(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर,हमें $h = -\frac{1}{22}$ और $k = \frac{3}{22}$ प्राप्त होता है।
रेखा $BC$ का समीकरण: $4x - y - 2 = 0$
परिकेंद्र $O(-\frac{1}{22}, \frac{3}{22})$ से रेखा $BC$ की लंबवत दूरी:
$d = \frac{|4(-\frac{1}{22}) - \frac{3}{22} - 2|}{\sqrt{4^2 + (-1)^2}} = \frac{51}{22\sqrt{17}} = \frac{3\sqrt{17}}{22}$

(C) और $b$ अंतःखंडों वाली रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
मूलबिंदु $(0, 0)$ से इस रेखा की लंबवत दूरी $d = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1}{d^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$ प्राप्त होता है।
जब अक्षों को घुमाया जाता है,तो मूलबिंदु स्थिर रहता है,इसलिए रेखा $L$ की मूलबिंदु से लंबवत दूरी $d$ अपरिवर्तित रहती है।
नई निर्देशांक प्रणाली में,रेखा $L$ के अंतःखंड $p$ और $q$ हैं,इसलिए इसका समीकरण $\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 1$ है।
इस नई रेखा की मूलबिंदु से लंबवत दूरी $d = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{p^2} + \frac{1}{q^2}}}$ है,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{d^2} = \frac{1}{p^2} + \frac{1}{q^2}$।
अतः,$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{p^2} + \frac{1}{q^2}$ है।

(A) दिया गया समीकरण $x^2 + 2\sqrt{3}xy - y^2 = 2a^2$ है।
चूंकि अक्षों को $\theta = 30^{\circ}$ के कोण पर घुमाया गया है,इसलिए रूपांतरण समीकरण हैं:
$x = X \cos 30^{\circ} - Y \sin 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}X - Y}{2}$
$y = X \sin 30^{\circ} + Y \cos 30^{\circ} = \frac{X + \sqrt{3}Y}{2}$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\left(\frac{\sqrt{3}X - Y}{2}\right)^2 + 2\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}X - Y}{2}\right)\left(\frac{X + \sqrt{3}Y}{2}\right) - \left(\frac{X + \sqrt{3}Y}{2}\right)^2 = 2a^2$
$4$ से गुणा करने पर:
$(\sqrt{3}X - Y)^2 + 2\sqrt{3}(\sqrt{3}X^2 + 2XY - \sqrt{3}Y^2) - (X + \sqrt{3}Y)^2 = 8a^2$
सरल करने पर:
$8X^2 - 8Y^2 = 8a^2$
$X^2 - Y^2 = a^2$

(C) माना शीर्ष $A(1, 2)$,$B(3, -1)$,और $C(4, 0)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई की गणना करने पर:
$AB = \sqrt{(3-1)^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{13}$
$AC = \sqrt{(4-1)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{13}$
चूंकि $AB = AC$,त्रिभुज समद्विबाहु है।
केंद्रक $G = \left(\frac{8}{3}, \frac{1}{3}\right)$ है।
परिकेंद्र $O$,$A$ से $BC$ पर खींचे गए शीर्षलंब पर स्थित है। $BC$ की ढाल $1$ है,इसलिए शीर्षलंब की ढाल $-1$ है। शीर्षलंब का समीकरण $y = -x + 3$ है।
$AC$ के लंब समद्विभाजक का समीकरण $y = 1.5x - 2.75$ है।
दोनों समीकरणों को हल करने पर,$O = \left(\frac{23}{10}, \frac{7}{10}\right)$ प्राप्त होता है।
दूरी $OG = \sqrt{(\frac{8}{3} - \frac{23}{10})^2 + (\frac{1}{3} - \frac{7}{10})^2} = \frac{11}{30} \sqrt{2}$ है।

(B) माना मूल बिंदु $(h, k)$ पर स्थानांतरित किया गया है। रूपांतरण समीकरण $x = x' + h$ और $y = y' + k$ हैं। दिए गए समीकरण $x^2 + 5xy + 2y^2 + 5x + 6y + 7 = 0$ में इन्हें प्रतिस्थापित करने पर:
$(x' + h)^2 + 5(x' + h)(y' + k) + 2(y' + k)^2 + 5(x' + h) + 6(y' + k) + 7 = 0$.
इसका विस्तार करने पर,$x'$ और $y'$ के प्रथम घात के पद हैं:
$(2h + 5k + 5)x' + (5h + 4k + 6)y'$.
समीकरण को प्रथम कोटि के पदों से मुक्त होने के लिए,इन गुणांकों को शून्य होना चाहिए:
$2h + 5k + 5 = 0$ $(i)$
$5h + 4k + 6 = 0$ (ii)
$(i)$ को $4$ से और (ii) को $5$ से गुणा करने पर:
$8h + 20k + 20 = 0$
$25h + 20k + 30 = 0$
दूसरे समीकरण से पहले को घटाने पर: $17h + 10 = 0 \implies h = -\frac{10}{17}$.
$h$ का मान $(i)$ में रखने पर: $2(-\frac{10}{17}) + 5k + 5 = 0 \implies -\frac{20}{17} + 5k + 5 = 0 \implies 5k = -\frac{65}{17} \implies k = -\frac{13}{17}$.
अतः,$h = -\frac{10}{17}$ और $k = -\frac{13}{17}$.

(D) त्रिभुज की भुजाओं के लंब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु परिकेंद्र $O$ होता है। समीकरणों $x-y+5=0$ और $x+2y=0$ को हल करने पर,हमें $x = -10/3$ और $y = 5/3$ प्राप्त होता है। अतः परिकेंद्र $O(-10/3, 5/3)$ है।
चूंकि $B$,रेखा $x-y+5=0$ के सापेक्ष $A(1,-2)$ का प्रतिबिंब है,इसलिए $\frac{x_B-1}{1} = \frac{y_B+2}{-1} = -2 \frac{1-(-2)+5}{1^2+(-1)^2} = -8$ प्राप्त होता है। इससे $x_B = -7$ और $y_B = 6$ मिलता है। अतः $B = (-7, 6)$ है।
चूंकि $C$,रेखा $x+2y=0$ के सापेक्ष $A(1,-2)$ का प्रतिबिंब है,इसलिए $\frac{x_C-1}{1} = \frac{y_C+2}{2} = -2 \frac{1+2(-2)}{1^2+2^2} = 6/5$ प्राप्त होता है। इससे $x_C = 11/5$ और $y_C = 2/5$ मिलता है। अतः $C = (11/5, 2/5)$ है।
$BC$ का लंब समद्विभाजक परिकेंद्र $O(-10/3, 5/3)$ और $BC$ के मध्य बिंदु $M$ से होकर गुजरता है। मध्य बिंदु $M = (-12/5, 16/5)$ है।
$O$ और $M$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m = 23/14$ है।
रेखा का समीकरण $y - 5/3 = 23/14(x + 10/3)$ है,जिसे सरल करने पर $23x - 14y + 100 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) $3x - 4y + 1 = 0$ और $5x + y - 1 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $(3x - 4y + 1) + \lambda(5x + y - 1) = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$(3 + 5\lambda)x + (-4 + \lambda)y + (1 - \lambda) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि रेखा अक्षों पर समान अंतःखंड बनाती है,$3 + 5\lambda = -4 + \lambda$ $\Rightarrow 4\lambda = -7$ $\Rightarrow \lambda = -\frac{7}{4}$।
समीकरण में $\lambda = -\frac{7}{4}$ रखने पर,$23x + 23y = 11$ प्राप्त होता है।
अंतःखंड रूप में: $\frac{x}{11/23} + \frac{y}{11/23} = 1$।
अंतःखंड $a = \frac{11}{23}$ और $b = \frac{11}{23}$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times \frac{11}{23} \times \frac{11}{23} = \frac{121}{1058}$ वर्ग इकाई।

(A) दिया गया समीकरण: $y^{\cos x}=x^{\sin y}$
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर: $\cos x \log y = \sin y \log x$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(\cos x \log y) = \frac{d}{dx}(\sin y \log x)$
$(\cos x) \cdot \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} + (\log y) \cdot (-\sin x) = (\sin y) \cdot \frac{1}{x} + (\log x) \cdot (\cos y) \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}$ वाले पदों को एक तरफ करने पर:
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{\cos x}{y} - \cos y \log x \right) = \frac{\sin y}{x} + \sin x \log y$
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{\cos x - y \cos y \log x}{y} \right) = \frac{\sin y + x \sin x \log y}{x}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y(\sin y + x \sin x \log y)}{x(\cos x - y \cos y \log x)}$

(A) माना $u = \cosh^{-1} x$ है। इसका अवकलज $\frac{du}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ है।
माना $v = \log x$ है। इसका अवकलज $\frac{dv}{dx} = \frac{1}{x}$ है।
हमें $\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx} = \frac{1/\sqrt{x^2-1}}{1/x} = \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$ ज्ञात करना है।
$x=5$ पर,$\frac{du}{dv} = \frac{5}{\sqrt{5^2-1}} = \frac{5}{\sqrt{25-1}} = \frac{5}{\sqrt{24}}$।

(D) दिया गया है $x = t + \frac{1}{t}$ और $y = t - \frac{1}{t}$।
सबसे पहले,$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = 1 - \frac{1}{t^2} = \frac{t^2-1}{t^2}$
$\frac{dy}{dt} = 1 + \frac{1}{t^2} = \frac{t^2+1}{t^2}$
अब,$\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{(t^2+1)/t^2}{(t^2-1)/t^2} = \frac{t^2+1}{t^2-1}$
अब,$x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर $\frac{d^2y}{dx^2}$ प्राप्त होता है:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{t^2+1}{t^2-1}\right) \cdot \frac{dt}{dx}$
भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करने पर:
$= \frac{(t^2-1)(2t) - (t^2+1)(2t)}{(t^2-1)^2} = \frac{2t^3 - 2t - 2t^3 - 2t}{(t^2-1)^2} = \frac{-4t}{(t^2-1)^2}$
चूंकि $\frac{dx}{dt} = \frac{t^2-1}{t^2}$,इसलिए $\frac{dt}{dx} = \frac{t^2}{t^2-1}$ होगा।
अतः,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-4t}{(t^2-1)^2} \cdot \frac{t^2}{t^2-1} = \frac{-4t^3}{(t^2-1)^3}$।

(A) दिया गया है $f(x) = \cosh^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$.
अवकलन सूत्र $\frac{d}{dx}(\cosh^{-1}(u)) = \frac{1}{\sqrt{u^2-1}} \cdot \frac{du}{dx}$ का उपयोग करने पर:
$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^2 - 1}} \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$
$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{\frac{(1-x)^2 - (1+x)^2}{(1+x)^2}}} \cdot \frac{(1+x)(-1) - (1-x)(1)}{(1+x)^2}$
$f'(x) = \frac{1+x}{\sqrt{1 - 2x + x^2 - (1 + 2x + x^2)}} \cdot \frac{-1 - x - 1 + x}{(1+x)^2}$
$f'(x) = \frac{1+x}{\sqrt{-4x}} \cdot \frac{-2}{(1+x)^2}$
$f'(x) = \frac{1+x}{2\sqrt{-x}} \cdot \frac{-2}{(1+x)^2} = \frac{-1}{(1+x)\sqrt{-x}}$.

(C) दिया गया है $h(x)=(f(x))^2+(g(x))^2$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$h^{\prime}(x)=2f(x)f^{\prime}(x)+2g(x)g^{\prime}(x)$.
चूंकि $f^{\prime}(x)=g(x)$,इसलिए $g^{\prime}(x)=f^{\prime \prime}(x)$ है।
दिया गया है $f^{\prime \prime}(x)=-f(x)$,इसलिए $g^{\prime}(x)=-f(x)$ है।
इन मानों को $h^{\prime}(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$h^{\prime}(x)=2f(x)g(x)+2g(x)(-f(x)) = 2f(x)g(x)-2f(x)g(x) = 0$.
चूंकि $h^{\prime}(x)=0$,इसलिए $h(x)$ एक अचर फलन है।
दिया गया है $h(1)=2$,इसलिए सभी $x$ के लिए $h(x)=2$ होगा।
अतः,$h(2)=2$.

(B) दिया गया फलन $f(x)=e^{-\sqrt{x}}+e^{-\frac{1}{x^2}}$ है।
सबसे पहले,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके प्रथम अवकलज $f^{\prime}(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f^{\prime}(x) = e^{-\sqrt{x}} \cdot \frac{d}{dx}(-\sqrt{x}) + e^{-\frac{1}{x^2}} \cdot \frac{d}{dx}(-x^{-2})$
$f^{\prime}(x) = e^{-\sqrt{x}} \left(-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right) + e^{-\frac{1}{x^2}} \left(\frac{2}{x^3}\right)$
अब,$f^{\prime \prime}(x)$ ज्ञात करने के लिए $f^{\prime}(x)$ का पुनः अवकलन करते हैं:
$f^{\prime \prime}(x) = \frac{d}{dx} \left[ -\frac{1}{2} x^{-1/2} e^{-\sqrt{x}} \right] + \frac{d}{dx} \left[ 2 x^{-3} e^{-\frac{1}{x^2}} \right]$
गुणन नियम (product rule) का उपयोग करते हुए:
प्रथम पद के लिए: $-\frac{1}{2} \left[ e^{-\sqrt{x}} \cdot (-\frac{1}{2} x^{-3/2}) + x^{-1/2} \cdot e^{-\sqrt{x}} \cdot (-\frac{1}{2} x^{-1/2}) \right] = \frac{1}{4} \frac{e^{-\sqrt{x}}}{x} (1 + \frac{1}{\sqrt{x}})$
द्वितीय पद के लिए: $2 \left[ e^{-\frac{1}{x^2}} \cdot (-3x^{-4}) + x^{-3} \cdot e^{-\frac{1}{x^2}} \cdot (2x^{-3}) \right] = 2 \frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^4} (-3 + \frac{2}{x^2}) = -2 \frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^4} (3 - \frac{2}{x^2})$
दिए गए समीकरण के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = \frac{1}{4}$ और $\beta = -2$ प्राप्त होता है।

(D) हम जानते हैं कि $\frac{dx}{dy} = \left(\frac{dy}{dx}\right)^{-1}$ होता है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए $y$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{d^2x}{dy^2} = \frac{d}{dy} \left(\left(\frac{dy}{dx}\right)^{-1}\right) = -\left(\frac{dy}{dx}\right)^{-2} \cdot \frac{d}{dy} \left(\frac{dy}{dx}\right)$.
चूंकि $\frac{d}{dy} \left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d}{dx} \left(\frac{dy}{dx}\right) \cdot \frac{dx}{dy} = \frac{d^2y}{dx^2} \cdot \frac{1}{\frac{dy}{dx}}$,इसलिए:
$\frac{d^2x}{dy^2} = -\left(\frac{dy}{dx}\right)^{-2} \cdot \frac{d^2y}{dx^2} \cdot \left(\frac{dy}{dx}\right)^{-1} = -\frac{\frac{d^2y}{dx^2}}{\left(\frac{dy}{dx}\right)^3}$.
बिंदु $P$ पर $\frac{dy}{dx} = 4$ और $\frac{d^2y}{dx^2} = -3$ दिया गया है:
$\left(\frac{d^2x}{dy^2}\right)_P = -\frac{-3}{(4)^3} = \frac{3}{64}$.

(C) दिया गया समीकरण: $ax^2+2hxy+by^2=3$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2ax + 2h(y + x\frac{dy}{dx}) + 2by\frac{dy}{dx} = 0$.
$2$ से भाग देने पर: $ax + hy + hx\frac{dy}{dx} + by\frac{dy}{dx} = 0$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = -\frac{ax+hy}{hx+by}$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{(hx+by)(a+h\frac{dy}{dx}) - (ax+hy)(h+b\frac{dy}{dx})}{(hx+by)^2}$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{ax+hy}{hx+by}$ का मान रखने पर और मूल समीकरण $ax^2+2hxy+by^2=3$ का उपयोग करके सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{3(h^2-ab)}{(hx+by)^3}$.

(B) दिया गया है कि $\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}=c$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $(x+y)+(x-y)-2 \sqrt{x^2-y^2}=c^2$।
$2x - c^2 = 2 \sqrt{x^2-y^2}$।
पुनः दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $4x^2 + c^4 - 4xc^2 = 4(x^2-y^2) = 4x^2 - 4y^2$।
$c^4 - 4xc^2 = -4y^2$,जिसका अर्थ है $4y^2 = 4xc^2 - c^4$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $8y \frac{dy}{dx} = 4c^2$,अतः $2y \frac{dy}{dx} = c^2$।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $2(\frac{dy}{dx})^2 + 2y \frac{d^2y}{dx^2} = 0$।
अतः,$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{(\frac{dy}{dx})^2}{y}$।
चूंकि $\frac{dy}{dx} = \frac{c^2}{2y}$,इसलिए $\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{(c^2/2y)^2}{y} = -\frac{c^4}{4y^3}$।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) . $y = |x| + |x - 2|$ के लिए,$x = 2$ पर फलन का एक कोणीय बिंदु है। अतः,$\frac{dy}{dx}$ का अस्तित्व नहीं है। इसलिए,$A \rightarrow IV$.
$B$. $f(x) = |\cos 2x|$ के लिए,जब $x$,$\frac{\pi}{4}$ से थोड़ा बड़ा है,तो $\cos 2x$ ऋणात्मक है,इसलिए $f(x) = -\cos 2x$। तब $f'(x) = 2 \sin 2x$। अतः,$f'(\frac{\pi}{4} +) = 2 \sin(\frac{\pi}{2}) = 2$। इसलिए,$B \rightarrow I$.
$C$. $f(x) = \sin(\pi[x])$ के लिए,जब $x$,$1$ से थोड़ा छोटा है,तो $[x] = 0$। इसलिए $f(x) = \sin(0) = 0$। अतः,$f'(1-) = 0$। इसलिए,$C \rightarrow II$.
$D$. $f(x) = \log|x - 1|$ के लिए,$f'(x) = \frac{1}{x - 1}$। तब $f'(\frac{1}{2}) = \frac{1}{1/2 - 1} = \frac{1}{-1/2} = -2$। इसलिए,$D \rightarrow III$.
अतः,सही मिलान $A-IV, B-I, C-II, D-III$ है।

(A) दिए गए वक्र के प्राचलिक समीकरण $x = t^2 - 7t + 7$ और $y = t^2 - 4t - 10$ हैं।
बिंदु $(1, 2)$ पर $t$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम $x = 1$ और $y = 2$ रखते हैं।
$x = 1$ के लिए: $t^2 - 7t + 7 = 1 \Rightarrow t^2 - 7t + 6 = 0 \Rightarrow (t - 6)(t - 1) = 0$,अतः $t = 1$ या $t = 6$।
$y = 2$ के लिए: $t^2 - 4t - 10 = 2 \Rightarrow t^2 - 4t - 12 = 0 \Rightarrow (t - 6)(t + 2) = 0$,अतः $t = 6$ या $t = -2$।
उभयनिष्ठ मान $t = 6$ है।
अब,$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = 2t - 7$ और $\frac{dy}{dt} = 2t - 4$।
$t = 6$ पर:
$\frac{dx}{dt} = 2(6) - 7 = 12 - 7 = 5$।
$\frac{dy}{dt} = 2(6) - 4 = 12 - 4 = 8$।
स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{8}{5}$ है।

(C) दिए गए वक्र $xy=1$ $(i)$ और $x^2+8y=0$ (ii) हैं।
$(i)$ से,$y = \frac{1}{x}$. (ii) में प्रतिस्थापित करने पर: $x^2 + 8(\frac{1}{x}) = 0 \Rightarrow x^3 + 8 = 0 \Rightarrow x^3 = -8 \Rightarrow x = -2$.
$x = -2$ के लिए,$y = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$. प्रतिच्छेदन बिंदु $(-2, -\frac{1}{2})$ है।
$(i)$ का अवकलन करने पर: $y + x \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$. बिंदु $(-2, -\frac{1}{2})$ पर,$m_1 = -\frac{-1/2}{-2} = -\frac{1}{4}$.
(ii) का अवकलन करने पर: $2x + 8 \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{4}$. बिंदु $(-2, -\frac{1}{2})$ पर,$m_2 = -\frac{-2}{4} = \frac{1}{2}$.
वक्रों के बीच के कोण $\theta$ की स्पर्शज्या $\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\tan \theta = |\frac{-1/4 - 1/2}{1 + (-1/4)(1/2)}| = |\frac{-3/4}{1 - 1/8}| = |\frac{-3/4}{7/8}| = |-\frac{3}{4} \times \frac{8}{7}| = |-\frac{6}{7}| = \frac{6}{7}$.

(B) वक्र $y = g(x)$ के किसी भी बिंदु $x$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $g'(x)$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $g(x)$,$f(x)$ का प्रतिअवकलज है,इसलिए $g'(x) = f(x) = ax^2 + bx + c$ है।
$x = 1$ और $x = 2$ पर स्पर्श रेखाओं की ढाल समान है,इसलिए $g'(1) = g'(2)$ है।
इसका अर्थ है $f(1) = f(2)$।
मान रखने पर,$a(1)^2 + b(1) + c = a(2)^2 + b(2) + c$ प्राप्त होता है।
$a + b + c = 4a + 2b + c$।
$3a + b = 0 \implies b = -3a$।
हमें समीकरण $2a + 3b + 6c = 0$ दिया गया है।
इस समीकरण में $b = -3a$ रखने पर: $2a + 3(-3a) + 6c = 0$।
$2a - 9a + 6c = 0 \implies -7a + 6c = 0 \implies 6c = 7a$।
इस प्रकार,$a : b : c = a : -3a : \frac{7a}{6}$।
$6$ से गुणा करने पर,हमें $6 : -18 : 7$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{a}{6} = \frac{b}{-18} = \frac{c}{7}$।

(B) वक्र $y=f(x)$ के बिंदु $(1,2)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $f^{\prime}(1)$ है।
बिंदु $(1,2)$ पर वक्र के अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{f^{\prime}(1)}$ है।
दिया गया है कि अभिलंब धनात्मक $X$-अक्ष के साथ $\theta = \frac{3 \pi}{4}$ का कोण बनाता है,इसलिए अभिलंब की ढाल $m_n = \tan\left(\frac{3 \pi}{4}\right)$ है।
हम जानते हैं कि $\tan\left(\frac{3 \pi}{4}\right) = -1$ होता है।
अभिलंब की ढाल के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $-\frac{1}{f^{\prime}(1)} = -1$।
दोनों पक्षों को $-1$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{1}{f^{\prime}(1)} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$f^{\prime}(1) = 1$।

(B) हम जानते हैं कि अधःस्पर्शक (subtangent) की लंबाई $|y_1 \frac{dx}{dy}|$ द्वारा और अधोलंब (subnormal) की लंबाई $|y_1 \frac{dy}{dx}|$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $(x_1, y_1)$ पर अधःस्पर्शक और अधोलंब की लंबाइयाँ बराबर हैं,इसलिए:
$|y_1 \frac{dx}{dy}| = |y_1 \frac{dy}{dx}|$
यदि $y_1 \neq 0$ है,तो हमें प्राप्त होता है:
$|\frac{dx}{dy}| = |\frac{dy}{dx}|$
चूंकि $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}$,यह दर्शाता है कि:
$|\frac{1}{dy/dx}| = |\frac{dy}{dx}|$
$|\frac{dy}{dx}|^2 = 1 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \pm 1$.
स्पर्श रेखा की लंबाई का सूत्र है:
$L = |y_1 \sqrt{1 + (\frac{dx}{dy})^2}|$
चूंकि $\frac{dy}{dx} = \pm 1$,इसलिए $\frac{dx}{dy} = \pm 1$.
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$L = |y_1 \sqrt{1 + (\pm 1)^2}| = |y_1 \sqrt{1 + 1}| = \sqrt{2}|y_1|$.
अतः,स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{2}|y_1|$ है।

(B) माना बिंदु $P(h, k)$ वक्र $y=3x^2-5x+7$ पर स्थित है।
बिंदु $P$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{dy}{dx} = 6x-5$ द्वारा दी जाती है।
बिंदु $P(h, k)$ पर,प्रवणता $6h-5$ है।
जीवा बिंदुओं $(1, y_1)$ और $(2, y_2)$ को जोड़ती है।
$x=1$ के लिए,$y_1 = 3(1)^2 - 5(1) + 7 = 5$.
$x=2$ के लिए,$y_2 = 3(2)^2 - 5(2) + 7 = 12 - 10 + 7 = 9$.
जीवा की प्रवणता $\frac{y_2-y_1}{2-1} = \frac{9-5}{1} = 4$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा जीवा के समांतर है,इसलिए उनकी प्रवणताएँ समान हैं:
$6h-5 = 4$.
$6h = 9$.
$h = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$.
अतः,बिंदु $P$ का $x$-निर्देशांक $\frac{3}{2}$ है।

(B) दिया गया वक्र $x=a(\theta+\sin \theta)$ और $y=a(1-\cos \theta)$ है।
चूँकि स्पर्श रेखा धनात्मक $X$-अक्ष के साथ $\psi = \frac{\pi}{4}$ का कोण बनाती है,इसलिए स्पर्श रेखा की ढाल $m = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ है।
हम जानते हैं कि $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$.
अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{d\theta} = a \sin \theta$
$\frac{dx}{d\theta} = a(1+\cos \theta)$
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{a \sin \theta}{a(1+\cos \theta)} = \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} = 1$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin \theta = 2 \sin(\frac{\theta}{2}) \cos(\frac{\theta}{2})$ और $1+\cos \theta = 2 \cos^2(\frac{\theta}{2})$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2 \sin(\frac{\theta}{2}) \cos(\frac{\theta}{2})}{2 \cos^2(\frac{\theta}{2})} = \tan(\frac{\theta}{2}) = 1$.
इसलिए,$\frac{\theta}{2} = \frac{\pi}{4}$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{\pi}{2}$.
अब,$x$ और $y$ के समीकरणों में $\theta = \frac{\pi}{2}$ रखने पर:
$x = a(\frac{\pi}{2} + \sin(\frac{\pi}{2})) = a(\frac{\pi}{2} + 1)$
$y = a(1 - \cos(\frac{\pi}{2})) = a(1 - 0) = a$.
बिंदु के निर्देशांक $\left(a(\frac{\pi}{2}+1), a\right)$ हैं।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(B) दिया गया है कि $I \propto \tan \theta$,इसलिए $I = k \tan \theta$।
$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$dI = k \sec^2 \theta \, d\theta$ प्राप्त होता है।
सापेक्ष त्रुटि $\frac{dI}{I} = \frac{k \sec^2 \theta \, d\theta}{k \tan \theta} = \frac{\sec^2 \theta}{\tan \theta} d\theta$ द्वारा दी जाती है।
$\sec^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ और $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ का उपयोग करने पर,$\frac{dI}{I} = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} d\theta = \frac{2}{\sin(2\theta)} d\theta$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\theta = 45^{\circ} = \frac{\pi}{4}$ रेडियन है और $\theta$ में प्रतिशत त्रुटि $\frac{d\theta}{\theta} \times 100 = 1\%$ है,इसलिए $d\theta = \frac{1}{100} \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{400}$ रेडियन।
मान रखने पर: $\frac{dI}{I} \times 100 = \frac{2}{\sin(2 \times 45^{\circ})} \times d\theta \times 100 = \frac{2}{\sin(90^{\circ})} \times \frac{\pi}{400} \times 100 = 2 \times 1 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \%$.
अतः,धारा में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\pi}{2} \%$ है।

(A) माना $y = \tan ^{-1} x$.
तब $y + \Delta y = \tan ^{-1}(x + \Delta x)$.
हम $x = 1$ और $\Delta x = -0.001$ लेते हैं।
अवकलन करने पर $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}$ प्राप्त होता है।
अवकलज सन्निकटन का उपयोग करते हुए $dy = \frac{dx}{1 + x^2} = \frac{-0.001}{1 + 1^2} = \frac{-0.001}{2} = -0.0005$.
अतः $\tan ^{-1}(0.999) = \tan ^{-1}(1) + dy = \frac{\pi}{4} - 0.0005$.
चूंकि $\frac{\pi}{4} \approx 0.7854$,इसलिए $\tan ^{-1}(0.999) \approx 0.7854 - 0.0005 = 0.7849$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $0.7852$ है।

(D) दिया गया है: $\frac{d(2r)}{dt} = 4 \text{ cm/s} \implies \frac{dr}{dt} = 2 \text{ cm/s}$.
बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h$ है। चूँकि आयतन स्थिर है, $\frac{dV}{dt} = 0$.
$\frac{dV}{dt} = \pi \left( r^2 \frac{dh}{dt} + 2rh \frac{dr}{dt} \right) = 0$.
$r^2 \frac{dh}{dt} + 2rh(2) = 0 \implies r \frac{dh}{dt} + 4h = 0 \implies \frac{dh}{dt} = -\frac{4h}{r}$.
जब $r = 4 \text{ cm}$ और $h = 12 \text{ cm}$ है, तब $\frac{dh}{dt} = -\frac{4(12)}{4} = -12 \text{ cm/s}$.
पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 2 \pi rh$ है।
$\frac{dS}{dt} = 2 \pi \left( r \frac{dh}{dt} + h \frac{dr}{dt} \right)$.
मान रखने पर: $\frac{dS}{dt} = 2 \pi \left( 4(-12) + 12(2) \right) = 2 \pi (-48 + 24) = 2 \pi (-24) = -48 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$.

(A) दिया गया है कि भुजा $l$ में त्रुटि $dl = 0.01$ है।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{\sqrt{3}}{4} l^2$ द्वारा दिया जाता है।
$A$ का $l$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dA}{dl} = \frac{\sqrt{3}}{2} l$ प्राप्त होता है।
अतः,क्षेत्रफल में अनुमानित परिवर्तन $dA = \frac{\sqrt{3}}{2} l \cdot dl$ है।
क्षेत्रफल में प्रतिशत त्रुटि $\frac{dA}{A} \times 100$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\frac{dA}{A} \times 100 = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} l \cdot dl}{\frac{\sqrt{3}}{4} l^2} \times 100$।
इसे सरल करने पर,हमें $\frac{dA}{A} \times 100 = \frac{2 \cdot dl}{l} \times 100$ प्राप्त होता है।
चूंकि $dl = 0.01$ दिया गया है,इसलिए प्रतिशत त्रुटि $\frac{2 \times 0.01}{l} \times 100 = \frac{2}{l}$ है।

(B) दिया गया है कि विद्युत धारा $I \propto \tan \theta$ है।
$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $dI = k \sec^2 \theta \, d\theta$ प्राप्त होता है।
$I = k \tan \theta$ से भाग देने पर,$\frac{dI}{I} = \frac{\sec^2 \theta}{\tan \theta} d\theta = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} d\theta = \frac{2}{\sin(2\theta)} d\theta$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\theta = 45^{\circ} = \frac{\pi}{4}$ रेडियन है,और $\theta$ को पढ़ने में $1 \%$ की त्रुटि है,इसलिए $d\theta = \frac{1}{100} \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{400}$ रेडियन।
इन मानों को रखने पर: $\frac{dI}{I} = \frac{2}{\sin(90^{\circ})} \times \frac{\pi}{400} = 2 \times 1 \times \frac{\pi}{400} = \frac{\pi}{200}$।
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए: $\frac{dI}{I} \times 100 = \frac{\pi}{200} \times 100 = \frac{\pi}{2} \%$।
अतः,सही विकल्प $(b)$ है।

(B) माना $f(x) = e^{x-1} + \log x + x - 2$ है। चूँकि $\log x$ केवल $x > 0$ के लिए परिभाषित है,हम प्रांत $(0, \infty)$ पर विचार करते हैं।
हम अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = e^{x-1} + \frac{1}{x} + 1$ है।
सभी $x > 0$ के लिए,$e^{x-1} > 0$,$\frac{1}{x} > 0$,और $1 > 0$ है। अतः,सभी $x \in (0, \infty)$ के लिए $f'(x) > 0$ है।
चूँकि $f'(x) > 0$ है,फलन $f(x)$ अपने प्रांत पर निरंतर वर्धमान फलन है।
जैसे $x \to 0^+$,$f(x) \to -\infty$,और जैसे $x \to \infty$,$f(x) \to \infty$ है।
इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम के अनुसार,समीकरण $f(x) = 0$ का केवल एक वास्तविक मूल है।

(C) $f(x)=2x^3-3x^2-x+1=0$ के मूल ज्ञात करने के लिए,हम इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम का उपयोग करके प्रत्येक अंतराल के अंत बिंदुओं पर $f(x)$ का चिह्न जाँचते हैं।
$f(-2) = 2(-8) - 3(4) - (-2) + 1 = -16 - 12 + 2 + 1 = -25$
$f(-1) = 2(-1) - 3(1) - (-1) + 1 = -2 - 3 + 1 + 1 = -3$
चूंकि $f(-2)$ और $f(-1)$ का चिह्न समान है,इसलिए $I_4=[-2,-1]$ में कोई मूल नहीं है।
$f(0) = 1$
चूंकि $f(-1)=-3$ और $f(0)=1$ है,इसलिए $I_1=[-1,0]$ में एक मूल है।
$f(1) = 2 - 3 - 1 + 1 = -1$
चूंकि $f(0)=1$ और $f(1)=-1$ है,इसलिए $I_2=[0,1]$ में एक मूल है।
$f(2) = 2(8) - 3(4) - 2 + 1 = 16 - 12 - 2 + 1 = 3$
चूंकि $f(1)=-1$ और $f(2)=3$ है,इसलिए $I_3=[1,2]$ में एक मूल है।
अतः,$f(x)=0$ का $I_4$ को छोड़कर प्रत्येक अंतराल में एक मूल है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = (x - 3)^{2018}(x - 2)^{2019}$ है।
गुणन नियम का उपयोग करते हुए,$f'(x) = 2018(x - 3)^{2017}(x - 2)^{2019} + 2019(x - 3)^{2018}(x - 2)^{2018}$.
उभयनिष्ठ पदों को बाहर निकालने पर,$f'(x) = (x - 3)^{2017}(x - 2)^{2018} \{2018(x - 2) + 2019(x - 3)\}$.
कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर,$2018x - 4036 + 2019x - 6057 = 4037x - 10093$.
अतः,$f'(x) = (x - 3)^{2017}(x - 2)^{2018} \cdot 4037 \left( x - \frac{10093}{4037} \right)$.
क्रांतिक बिंदु $x = 3, 2, \frac{10093}{4037}$ हैं।
$x = \alpha = \frac{10093}{4037}$ के आसपास $f'(x)$ के चिह्न की जांच करने पर,अवकलज धनात्मक से ऋणात्मक हो जाता है,जो स्थानीय अधिकतम को दर्शाता है।
$x = \alpha = \frac{10093}{4037}$ पर,$x - 3 = -\frac{2018}{4037}$ और $x - 2 = \frac{2019}{4037}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$f(\alpha) = \left( -\frac{2018}{4037} \right)^{2018} \left( \frac{2019}{4037} \right)^{2019} = \left( \frac{2018}{4037} \right)^{2018} \left( \frac{2019}{4037} \right)^{2019}$.
अतः,$2\alpha + 3f(\alpha) = 2 \left( \frac{10093}{4037} \right) + 3 \left( \frac{2018}{4037} \right)^{2018} \left( \frac{2019}{4037} \right)^{2019} = \frac{20186}{4037} + 3 \left( \frac{2018}{4037} \right)^{2018} \left( \frac{2019}{4037} \right)^{2019}$.

(A) माना अर्धवृत्त की त्रिज्या $R = 2$ है। माना आयत की लंबाई $2x$ और चौड़ाई $y$ है जो अर्धवृत्त के भीतर अंकित है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$x^2 + y^2 = R^2 = 2^2 = 4$ है।
अतः,$x = \sqrt{4 - y^2}$ है।
आयत का क्षेत्रफल $A = (2x) \times y = 2y \sqrt{4 - y^2}$ है।
$A$ को अधिकतम करने के लिए,हम $A^2 = 4y^2(4 - y^2) = 16y^2 - 4y^4$ को अधिकतम करते हैं।
माना $f(y) = 16y^2 - 4y^4$ है। $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f'(y) = 32y - 16y^3$ प्राप्त होता है।
$f'(y) = 0$ रखने पर,हमें $16y(2 - y^2) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $y > 0$ है,इसलिए $y^2 = 2$,जिससे $y = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
तब $x = \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2}$ है।
आयत की भुजाएं $2x = 2\sqrt{2}$ और $y = \sqrt{2}$ हैं।
अतः,छोटी भुजा की लंबाई $\sqrt{2}$ है।

(B) माना ठोस बेलन की ऊँचाई $h$ और त्रिज्या $r$ है।
आयतन $V = \pi r^2 h$ है,जिसका अर्थ है $h = \frac{V}{\pi r^2}$।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 2\pi rh + 2\pi r^2$ है।
$h$ का मान रखने पर: $S = 2\pi r \left(\frac{V}{\pi r^2}\right) + 2\pi r^2 = \frac{2V}{r} + 2\pi r^2$।
न्यूनतम पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए,$r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dS}{dr} = -\frac{2V}{r^2} + 4\pi r$।
$\frac{dS}{dr} = 0$ रखने पर,$4\pi r = \frac{2V}{r^2}$,जिसका अर्थ है $V = 2\pi r^3$।
$V = \pi r^2 h$ का मान रखने पर: $\pi r^2 h = 2\pi r^3$,जो सरल होकर $h = 2r$ देता है।
चूँकि $2r$ व्यास है,इसलिए पृष्ठीय क्षेत्रफल तब न्यूनतम होता है जब ऊँचाई व्यास के बराबर हो।

(C) एक अवकलनीय फलन $f$ का चरम बिंदु $c$,$f'(c) = 0$ को संतुष्ट करता है।
कथन $Y$ के लिए: मान लीजिए $g(x) = rf(x)$ है। तब $g'(x) = rf'(x)$ होगा। $x=c$ पर,$g'(c) = rf'(c) = r(0) = 0$ है। अतः,$c$,$rf$ का एक चरम बिंदु है।
कथन $M$ के लिए: मान लीजिए $h(x) = r + f(x)$ है। तब $h'(x) = f'(x)$ होगा। $x=c$ पर,$h'(c) = f'(c) = 0$ है। अतः,$c$,$r+f$ का एक चरम बिंदु है।
इसलिए,दोनों कथन सत्य हैं।

(A) दिया गया है $\int \frac{\cos x+x}{1+\sin x} d x=f(x)+\int \frac{3 \cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}} d x+c_r$.
$f(x) = \int \left( \frac{\cos x+x}{1+\sin x} - \frac{3 \cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}} \right) d x$.
$1+\sin x = (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2$ और $\cos x = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}$ का उपयोग करके,हम समाकल्य को सरल करते हैं।
ध्यान दें कि $\frac{3 \cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}} = \frac{(3 \cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2})(\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2})}{1+\sin x} = \frac{3 \cos^2 \frac{x}{2} + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}}{1+\sin x} = \frac{2 \cos^2 \frac{x}{2} + \sin x + 1}{1+\sin x} = \frac{1+\cos x + \sin x}{1+\sin x} = \frac{\cos x}{1+\sin x} + 1$.
इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर,$f(x) = \int \left( \frac{\cos x+x}{1+\sin x} - (\frac{\cos x}{1+\sin x} + 1) \right) d x = \int (\frac{x}{1+\sin x} - 1) d x$.
$1+\sin x = (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2$ का उपयोग करके,हमें $f(x) = \frac{-2x}{1+\tan \frac{x}{2}}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) सबसे पहले,हम निश्चित समाकलन का मान ज्ञात करते हैं:
$\int_0^3 (3x^2 - 4x + 2) dx = [x^3 - 2x^2 + 2x]_0^3$
$= (3^3 - 2(3^2) + 2(3)) - (0) = 27 - 18 + 6 = 15$.
अतः,$k = 15$.
अब,हम समीकरण $3x^2 - 4x + 2 = \frac{3k}{5}$ को हल करते हैं:
$3x^2 - 4x + 2 = \frac{3(15)}{5} = 9$.
$3x^2 - 4x - 7 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$3x^2 - 7x + 3x - 7 = 0$
$x(3x - 7) + 1(3x - 7) = 0$
$(x + 1)(3x - 7) = 0$.
मूल $x = -1$ और $x = \frac{7}{3}$ प्राप्त होते हैं।
चूंकि हमें अंतराल $[0, 3]$ में मूल चाहिए,इसलिए सही मूल $x = \frac{7}{3}$ है।

(D) सबसे पहले,अंश को हर से विभाजित करें:
$2x^3 - 4x^2 - x - 3 = (2x)(x^2 - 2x - 3) + (5x - 3)$.
अतः,समाकल्य इस प्रकार होगा:
$\frac{2x^3 - 4x^2 - x - 3}{x^2 - 2x - 3} = 2x + \frac{5x - 3}{(x+1)(x-3)}$.
अब,$\frac{5x - 3}{(x+1)(x-3)}$ के लिए आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करें:
$\frac{5x - 3}{(x+1)(x-3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-3}$.
$5x - 3 = A(x-3) + B(x+1)$.
$x = -1$ रखने पर,$-8 = A(-4) \implies A = 2$.
$x = 3$ रखने पर,$12 = B(4) \implies B = 3$.
अतः,समाकलन:
$I = \int (2x + \frac{2}{x+1} + \frac{3}{x-3}) dx = x^2 + 2 \log |x+1| + 3 \log |x-3| + c$.

(B) दिया गया है,$\int e^{\alpha x}\left(\frac{1-\beta \sin x}{1-\cos x}\right) d x=-e^x \cot \frac{x}{2}+c$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$e^{\alpha x}\left(\frac{1-\beta \sin x}{1-\cos x}\right) = \frac{d}{dx} \left(-e^x \cot \frac{x}{2}\right)$।
गुणन नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'$:
$e^{\alpha x}\left(\frac{1-\beta \sin x}{1-\cos x}\right) = -\left[e^x \cot \frac{x}{2} + e^x \left(-\frac{1}{2} \csc^2 \frac{x}{2}\right)\right]$।
$e^{\alpha x}\left(\frac{1-\beta \sin x}{1-\cos x}\right) = -e^x \left[\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{1}{2 \sin^2(x/2)}\right]$।
$e^{\alpha x}\left(\frac{1-\beta \sin x}{1-\cos x}\right) = -e^x \left[\frac{2 \sin(x/2) \cos(x/2) - 1}{2 \sin^2(x/2)}\right]$।
$2 \sin(x/2) \cos(x/2) = \sin x$ और $2 \sin^2(x/2) = 1 - \cos x$ का उपयोग करते हुए:
$e^{\alpha x}\left(\frac{1-\beta \sin x}{1-\cos x}\right) = -e^x \left[\frac{\sin x - 1}{1 - \cos x}\right] = e^x \left(\frac{1 - \sin x}{1 - \cos x}\right)$।
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $\alpha = 1$ और $\beta = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{\alpha^2 + \beta^2}{2 \alpha \beta} = \frac{1^2 + 1^2}{2(1)(1)} = \frac{2}{2} = 1$।

(A) दिया गया समाकलन $I = \int \sqrt{1+2 \cot x(\cot x+\operatorname{cosec} x)} \, dx$ है।
सर्वसमिका $1+\cot^2 x = \operatorname{cosec}^2 x$ का उपयोग करके,वर्गमूल के अंदर के व्यंजक का विस्तार करने पर:
$I = \int \sqrt{1+2 \cot^2 x + 2 \operatorname{cosec} x \cot x} \, dx$.
चूंकि $1+\cot^2 x = \operatorname{cosec}^2 x$,इसलिए $1 = \operatorname{cosec}^2 x - \cot^2 x$ होता है।
यह मान रखने पर:
$I = \int \sqrt{\operatorname{cosec}^2 x - \cot^2 x + 2 \cot^2 x + 2 \operatorname{cosec} x \cot x} \, dx$
$I = \int \sqrt{\operatorname{cosec}^2 x + \cot^2 x + 2 \operatorname{cosec} x \cot x} \, dx$
$I = \int \sqrt{(\operatorname{cosec} x + \cot x)^2} \, dx$
$I = \int (\operatorname{cosec} x + \cot x) \, dx$
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$I = \ln |\operatorname{cosec} x - \cot x| + \ln |\sin x| + c$
$I = \ln |(\operatorname{cosec} x - \cot x) \sin x| + c$
$I = \ln |1 - \cos x| + c$
सर्वसमिका $1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$I = \ln |2 \sin^2 \frac{x}{2}| + c = \ln 2 + 2 \ln |\sin \frac{x}{2}| + c$
चूंकि $\ln 2$ एक स्थिरांक है,इसे $c$ में समाहित किया जा सकता है:
$I = 2 \ln |\sin \frac{x}{2}| + c$.

(D) माना $I = \int e^x \left( \frac{\sec^2 x + \tan x - \cot x}{\sin x} \right) dx$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int e^x \left( \frac{\sec^2 x}{\sin x} + \frac{\tan x}{\sin x} - \frac{\cot x}{\sin x} \right) dx$
$I = \int e^x \left( \sec^2 x \operatorname{cosec} x + \sec x - \cot x \operatorname{cosec} x \right) dx$
सर्वसमिका $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int e^x \left( \operatorname{cosec} x(1 + \tan^2 x) + \sec x - \cot x \operatorname{cosec} x \right) dx$
$I = \int e^x \left( \operatorname{cosec} x + \operatorname{cosec} x \tan^2 x + \sec x - \cot x \operatorname{cosec} x \right) dx$
चूंकि $\operatorname{cosec} x \tan^2 x = \frac{1}{\sin x} \cdot \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \sec x \tan x$,इसलिए व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$I = \int e^x \left( (\operatorname{cosec} x - \cot x \operatorname{cosec} x) + (\sec x + \sec x \tan x) \right) dx$
यह $\int e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + c$ के रूप में है।
यहाँ,$f(x) = \operatorname{cosec} x + \sec x$ और $f'(x) = -\operatorname{cosec} x \cot x + \sec x \tan x$ है।
अतः,$I = e^x(\operatorname{cosec} x + \sec x) + c$.
इसलिए,विकल्प $(D)$ सही है।

(C) दिया गया समाकलन: $I = \int \frac{\sqrt{2} \, dx}{\cos x \sqrt{\sin 2x}}$.
सर्वसमिका $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर,$\sqrt{\sin 2x} = \sqrt{2} \sqrt{\sin x} \sqrt{\cos x}$ प्राप्त होता है।
इस मान को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{\sqrt{2} \, dx}{\cos x \cdot \sqrt{2} \sqrt{\sin x} \sqrt{\cos x}} = \int \frac{dx}{\cos x \sqrt{\sin x} \sqrt{\cos x}} = \int \frac{dx}{(\cos x)^{3/2} \sqrt{\sin x}}$.
अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{\sec^2 x \, dx}{\sqrt{\frac{\sin x}{\cos x}}} = \int \frac{\sec^2 x \, dx}{\sqrt{\tan x}}$.
माना $u = \tan x$,तब $du = \sec^2 x \, dx$.
$I = \int \frac{du}{\sqrt{u}} = \int u^{-1/2} \, du = 2u^{1/2} + c = 2 \sqrt{\tan x} + c$.
अतः,$f(x) = 2 \sqrt{\tan x}$.

(B) माना $I = \int \frac{\sqrt{\cos 2x}}{\sin x} dx$.
हम जानते हैं कि $\cos 2x = \frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}$.
अतः,$I = \int \frac{\sqrt{1-\tan^2 x}}{\sec x \sin x} dx = \int \frac{\sqrt{1-\tan^2 x}}{\tan x} dx$.
माना $1-\tan^2 x = t^2$,तो $-2\tan x \sec^2 x dx = 2t dt$,जिसका अर्थ है कि $dx = \frac{-t dt}{\tan x (1+\tan^2 x)} = \frac{-t dt}{\sqrt{1-t^2}(2-t^2)}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$I = \int \frac{t}{\sqrt{1-t^2}} \cdot \frac{-t dt}{\sqrt{1-t^2}(2-t^2)} = -\int \frac{t^2}{(1-t^2)(2-t^2)} dt$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर,$\frac{t^2}{(1-t^2)(2-t^2)} = \frac{2}{t^2-2} - \frac{1}{t^2-1}$.
इस प्रकार,$I = -\int \left( \frac{2}{t^2-2} - \frac{1}{t^2-1} \right) dt = 2 \int \frac{1}{2-t^2} dt + \int \frac{1}{t^2-1} dt$.
मानक समाकलन का उपयोग करने पर,$I = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} \log \left| \frac{\sqrt{2}+t}{\sqrt{2}-t} \right| + \frac{1}{2} \log \left| \frac{t-1}{t+1} \right| + c$.
$t = \sqrt{1-\tan^2 x}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \frac{1}{\sqrt{2}} \log \left| \frac{\sqrt{2}+\sqrt{1-\tan^2 x}}{\sqrt{2}-\sqrt{1-\tan^2 x}} \right| - \frac{1}{2} \log \left| \frac{1+\sqrt{1-\tan^2 x}}{1-\sqrt{1-\tan^2 x}} \right| + c$.

(D) हमारे पास है,$I = \int \frac{x^2-1}{x^3 \sqrt{2 x^4-2 x^2+1}} dx$.
वर्गमूल के अंदर अंश और हर को $x^4$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{x^2-1}{x^3 \cdot x^2 \sqrt{2 - \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^4}}} dx = \int \frac{x^2-1}{x^5 \sqrt{2 - 2x^{-2} + x^{-4}}} dx$.
$I = \int \frac{x^{-3} - x^{-5}}{\sqrt{2 - 2x^{-2} + x^{-4}}} dx$.
माना $t = \sqrt{2 - 2x^{-2} + x^{-4}}$.
तब $t^2 = 2 - 2x^{-2} + x^{-4}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2t \frac{dt}{dx} = 4x^{-3} - 4x^{-5} = 4(x^{-3} - x^{-5})$.
अतः,$(x^{-3} - x^{-5}) dx = \frac{1}{2} t dt$.
इस मान को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{\frac{1}{2} t dt}{t} = \frac{1}{2} \int dt = \frac{1}{2} t + c$.
$t$ का मान वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{2} \sqrt{2 - \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^4}} + c$.

(D) माना $I = \int \sin ^{-1} \sqrt{\frac{x}{a+x}} d x$.
$x = a \tan^2 \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 2a \tan \theta \sec^2 \theta d\theta$ प्राप्त होता है।
तब $\sqrt{\frac{x}{a+x}} = \sqrt{\frac{a \tan^2 \theta}{a(1+\tan^2 \theta)}} = \sqrt{\sin^2 \theta} = \sin \theta$.
अतः,$I = \int \theta \cdot 2a \tan \theta \sec^2 \theta d\theta = 2a \int \theta \tan \theta \sec^2 \theta d\theta$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = \theta$ और $dv = \tan \theta \sec^2 \theta d\theta$ लेने पर,$du = d\theta$ और $v = \frac{1}{2} \tan^2 \theta$ प्राप्त होता है।
$I = 2a \left[ \frac{1}{2} \theta \tan^2 \theta - \int \frac{1}{2} \tan^2 \theta d\theta \right] = a \theta \tan^2 \theta - a \int (\sec^2 \theta - 1) d\theta$.
$I = a \theta \tan^2 \theta - a (\tan \theta - \theta) + c = a \theta (\tan^2 \theta + 1) - a \tan \theta + c$.
चूंकि $\tan^2 \theta = \frac{x}{a}$,इसलिए $\theta = \tan^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}}$ है।
$I = a \tan^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}} (\frac{x}{a} + 1) - a \sqrt{\frac{x}{a}} + c = (x+a) \tan^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}} - \sqrt{ax} + c$.

(B) माना कि $I = \int \frac{x+1}{x(1+x e^x)} d x$.
अंश और हर को $e^x$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{(x+1) e^x}{x e^x(1+x e^x)} d x$.
माना कि $t = 1 + x e^x$.
तब $d t = (e^x + x e^x) d x = (1+x) e^x d x$.
साथ ही,$t = 1 + x e^x$ से,हमें $x e^x = t - 1$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{d t}{(t-1) t}$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{(t-1) t} = \frac{1}{t-1} - \frac{1}{t}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$I = \int \left( \frac{1}{t-1} - \frac{1}{t} \right) d t = \log |t-1| - \log |t| + C = \log \left| \frac{t-1}{t} \right| + C$.
$t = 1 + x e^x$ का मान वापस रखने पर:
$I = \log \left| \frac{x e^x}{1+x e^x} \right| + C$.

(A) माना $I = \int \frac{x^3+2x}{x^4+4} dx$.
समाकलन को दो भागों में विभाजित करें: $I = \int \frac{x^3}{x^4+4} dx + \int \frac{2x}{x^4+4} dx$.
पहले भाग के लिए,$u = x^4+4$ लें,तो $du = 4x^3 dx$,जिससे $\int \frac{x^3}{x^4+4} dx = \frac{1}{4} \log|x^4+4| + C_1$.
दूसरे भाग के लिए,$t = x^2$ लें,तो $dt = 2x dx$,जिससे $\int \frac{2x}{(x^2)^2+4} dx = \int \frac{dt}{t^2+2^2} = \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{t}{2}) + C_2 = \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{x^2}{2}) + C_2$.
इन दोनों को जोड़ने पर,$I = \frac{1}{4} \log(x^4+4) + \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{x^2}{2}) + C$.
ध्यान दें कि $\frac{1}{4} \log(x^4+4) = \frac{1}{2} \log(\sqrt{x^4+4}) = \frac{1}{2} \log(\frac{\sqrt{x^4+4}}{2} \times 2) = \frac{1}{2} \log(\frac{\sqrt{x^4+4}}{2}) + \frac{1}{2} \log(2)$.
अचर $\frac{1}{2} \log(2)$ को $C$ में समाहित करने पर,हमें $I = \frac{1}{2} \left[ \tan^{-1}(\frac{x^2}{2}) + \log(\frac{\sqrt{x^4+4}}{2}) \right] + C$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int \frac{dx}{(1+x) \sqrt{8+7x-x^2}}$.
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $8+7x-x^2 = (8-x)(1+x)$.
अतः,$I = \int \frac{dx}{(1+x) \sqrt{(8-x)(1+x)}} = \int \frac{dx}{(1+x)^{3/2} \sqrt{8-x}} = \int \frac{dx}{(1+x)^2 \sqrt{\frac{8-x}{1+x}}}$.
माना $t^2 = \frac{8-x}{1+x}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2t \frac{dt}{dx} = \frac{(1+x)(-1) - (8-x)(1)}{(1+x)^2} = \frac{-1-x-8+x}{(1+x)^2} = \frac{-9}{(1+x)^2}$.
इस प्रकार,$\frac{dx}{(1+x)^2} = -\frac{2}{9} t \, dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{1}{t} \left(-\frac{2}{9} t \, dt\right) = -\frac{2}{9} \int dt = -\frac{2}{9} t + c$.
$t = \sqrt{\frac{8-x}{1+x}}$ वापस रखने पर:
$I = -\frac{2}{9} \sqrt{\frac{8-x}{1+x}} + c$.

(B) माना $I = \int \frac{3 \sin x + 5 \cos x + 4}{\sin x + \cos x + 2} dx$.
हम अंश को $A(\sin x + \cos x + 2) + B \frac{d}{dx}(\sin x + \cos x + 2) + C$ के रूप में व्यक्त करते हैं।
$3 \sin x + 5 \cos x + 4 = A(\sin x + \cos x + 2) + B(\cos x - \sin x) + C$.
गुणांकों की तुलना करने पर:
$A - B = 3$
$A + B = 5$
$2A + C = 4$
इन्हें हल करने पर,हमें $2A = 8 \Rightarrow A = 4$,$B = 1$,और $C = 4 - 2(4) = -4$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int 4 dx + \int \frac{\cos x - \sin x}{\sin x + \cos x + 2} dx - 4 \int \frac{dx}{\sin x + \cos x + 2}$.
$I = 4x + \log|\sin x + \cos x + 2| - 4 \int \frac{dx}{\sin x + \cos x + 2}$.
$\tan(x/2) = t$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर,$dx = \frac{2 dt}{1+t^2}$,$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$,$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$.
$\int \frac{dx}{\sin x + \cos x + 2} = \int \frac{2 dt / (1+t^2)}{\frac{2t}{1+t^2} + \frac{1-t^2}{1+t^2} + 2} = \int \frac{2 dt}{2t + 1 - t^2 + 2 + 2t^2} = \int \frac{2 dt}{t^2 + 2t + 3} = \int \frac{2 dt}{(t+1)^2 + 2}$.
$= 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}\left(\frac{t+1}{\sqrt{2}}\right) = \sqrt{2} \tan^{-1}\left(\frac{\tan(x/2) + 1}{\sqrt{2}}\right)$.
अतः,$I = 4x + \log|\sin x + \cos x + 2| - 4\sqrt{2} \tan^{-1}\left(\frac{\tan(x/2) + 1}{\sqrt{2}}\right) + c$.

(C) $I = \int \frac{dx}{4 \sin x + 3 \cos x}$
माना $3 = r \cos \theta$ और $4 = r \sin \theta$.
वर्ग करके जोड़ने पर,$r^2 = 3^2 + 4^2 = 25$,अतः $r = 5$.
भाग देने पर,$\tan \theta = \frac{4}{3}$,अतः $\theta = \tan^{-1} \frac{4}{3}$.
समाकलन इस प्रकार होगा: $I = \int \frac{dx}{r \cos(x - \theta)} = \frac{1}{5} \int \sec(x - \theta) dx$.
सूत्र $\int \sec u du = \log |\sec u + \tan u| + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{5} \log |\sec(x - \theta) + \tan(x - \theta)| + c$.
$\theta = \tan^{-1} \frac{4}{3}$ रखने पर,$I = \frac{1}{5} \log |\sec(x - \tan^{-1} \frac{4}{3}) + \tan(x - \tan^{-1} \frac{4}{3})| + c$.

(C) समाकल $I = \int (\log x)^2 dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम खंडशः समाकलन (integration by parts) विधि का उपयोग करते हैं: $\int u dv = uv - \int v du$.
माना $u = (\log x)^2$ और $dv = dx$.
तब $du = 2 \log x \cdot \frac{1}{x} dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है।
सूत्र का उपयोग करने पर:
$I = x(\log x)^2 - \int x \cdot \frac{2 \log x}{x} dx + c$
$I = x(\log x)^2 - 2 \int \log x dx + c$
अब,$\int \log x dx$ का पुनः खंडशः समाकलन करने पर (माना $u = \log x, dv = dx$):
$\int \log x dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log x - x$.
इस मान को $I$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = x(\log x)^2 - 2(x \log x - x) + c$
$I = x(\log x)^2 - 2x \log x + 2x + c$
$I = x(\log x)^2 - 2x(\log x - 1) + c$.

(A) माना $I = \int (\log(\sin x) + x \cot x) dx$.
हम समाकलन को $I = \int \log(\sin x) dx + \int x \cot x dx$ के रूप में विभाजित कर सकते हैं।
प्रथम भाग $I_1 = \int \log(\sin x) dx$ पर विचार करें। खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = \log(\sin x)$ और $dv = dx$ लें।
तब $du = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x dx = \cot x dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है।
खंडशः समाकलन के सूत्र $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करने पर:
$I_1 = x \log(\sin x) - \int x \cot x dx$.
इस मान को $I$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = (x \log(\sin x) - \int x \cot x dx) + \int x \cot x dx + c$.
$I = x \log(\sin x) + c$.

(A) हमारे पास है,$I = \int \frac{2 x+3}{x(x+1)(x+2)(x+3)+1} d x$.
हर में पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$x(x+3) = x^2+3x$ और $(x+1)(x+2) = x^2+3x+2$.
अतः,$I = \int \frac{2 x+3}{(x^2+3 x)(x^2+3 x+2)+1} d x$.
माना $t = x^2+3 x$,तो $dt = (2x+3) dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{d t}{t(t+2)+1} = \int \frac{d t}{t^2+2 t+1} = \int \frac{d t}{(t+1)^2}$.
समाकलन करने पर,हमें $I = -\frac{1}{t+1} + c$ प्राप्त होता है।
$t = x^2+3x$ वापस रखने पर,हमें $I = -\frac{1}{x^2+3 x+1} + c$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $-\frac{1}{p x^2+q x+r} + c$ से करने पर,हमें $p=1, q=3, r=1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{3 p-q}{r} = \frac{3(1)-3}{1} = \frac{0}{1} = 0$.

(B) माना $I = \int \sec^5 x \, dx = \int \sec^3 x \cdot \sec^2 x \, dx$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = \sec^3 x$ और $dv = \sec^2 x \, dx$ लें। तब $du = 3 \sec^3 x \tan x \, dx$ और $v = \tan x$.
$I = \sec^3 x \tan x - \int 3 \sec^3 x \tan^2 x \, dx$.
चूंकि $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$,हमारे पास है:
$I = \sec^3 x \tan x - 3 \int \sec^3 x (\sec^2 x - 1) \, dx$.
$I = \sec^3 x \tan x - 3 \int \sec^5 x \, dx + 3 \int \sec^3 x \, dx$.
$4I = \sec^3 x \tan x + 3 \int \sec^3 x \, dx$.
मानक सूत्र $\int \sec^3 x \, dx = \frac{1}{2} (\sec x \tan x + \ln |\sec x + \tan x|) + c_1$ का उपयोग करते हुए:
$4I = \sec^3 x \tan x + \frac{3}{2} \sec x \tan x + \frac{3}{2} \ln |\sec x + \tan x| + C$.
$I = \frac{1}{4} \sec^3 x \tan x + \frac{3}{8} \sec x \tan x + \frac{3}{8} \ln |\sec x + \tan x| + c$.
चूंकि $\sec^3 x = \sec x (1 + \tan^2 x)$,इस पद को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:
$I = \frac{1}{4} \sec x \tan^3 x + \frac{5}{8} \sec x \tan x + \frac{3}{8} \ln |\sec x + \tan x| + c$.

(C) माना $I = \int \operatorname{cosec}^5 x \, dx = \int \operatorname{cosec}^3 x \cdot \operatorname{cosec}^2 x \, dx$ है।
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \operatorname{cosec}^3 x$ और $dv = \operatorname{cosec}^2 x \, dx$ लें। तब $du = 3 \operatorname{cosec}^2 x (-\operatorname{cosec} x \cot x) \, dx$ और $v = -\cot x$ होगा।
$I = \operatorname{cosec}^3 x(-\cot x) - \int (-\cot x) (-3 \operatorname{cosec}^3 x \cot x) \, dx$
$I = -\operatorname{cosec}^3 x \cot x - 3 \int \operatorname{cosec}^3 x \cot^2 x \, dx$
$I = -\operatorname{cosec}^3 x \cot x - 3 \int \operatorname{cosec}^3 x (\operatorname{cosec}^2 x - 1) \, dx$
$I = -\operatorname{cosec}^3 x \cot x - 3 \int \operatorname{cosec}^5 x \, dx + 3 \int \operatorname{cosec}^3 x \, dx$
$I = -\operatorname{cosec}^3 x \cot x - 3I + 3I_1$,जहाँ $I_1 = \int \operatorname{cosec}^3 x \, dx$ है।
$4I = -\operatorname{cosec}^3 x \cot x + 3I_1$।
$I_1 = \int \operatorname{cosec}^3 x \, dx$ के लिए,खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए:
$I_1 = -\operatorname{cosec} x \cot x - \int \operatorname{cosec} x(\operatorname{cosec}^2 x - 1) \, dx = -\operatorname{cosec} x \cot x - I_1 + \log|\tan \frac{x}{2}|$
$2I_1 = -\operatorname{cosec} x \cot x + \log|\tan \frac{x}{2}|$।
$I_1$ का मान $4I$ के समीकरण में रखने पर:
$4I = -\operatorname{cosec}^3 x \cot x + 3 \left( -\frac{1}{2} \operatorname{cosec} x \cot x + \frac{1}{2} \log|\tan \frac{x}{2}| \right)$
$I = -\frac{\operatorname{cosec}^3 x \cot x}{4} - \frac{3}{8} \operatorname{cosec} x \cot x + \frac{3}{8} \log|\tan \frac{x}{2}| + C$।

(D) दिया गया है,$\int \frac{2 x^2}{\left(2 x^2+\alpha\right)\left(x^2+5\right)} d x=\frac{\sqrt{5}}{3} \tan ^{-1} \frac{x}{\sqrt{5}}-\frac{\sqrt{2}}{3} \tan ^{-1} \frac{x}{\sqrt{2}}+c$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{2 x^2}{\left(2 x^2+\alpha\right)\left(x^2+5\right)} = \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{1}{1+\frac{x^2}{5}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{1}{1+\frac{x^2}{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$.
दाहिने पक्ष को सरल करने पर:
$= \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{x^2+5} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{x^2+2} = \frac{1}{3} \left( \frac{5(x^2+2) - 2(x^2+5)}{(x^2+5)(x^2+2)} \right)$.
$= \frac{1}{3} \left( \frac{5x^2 + 10 - 2x^2 - 10}{(x^2+5)(x^2+2)} \right) = \frac{3x^2}{3(x^2+5)(x^2+2)} = \frac{x^2}{(x^2+5)(x^2+2)}$.
इसकी तुलना बाएं पक्ष $\frac{2x^2}{(2x^2+\alpha)(x^2+5)}$ से करने पर,हमें मिलता है:
$\frac{2x^2}{(2x^2+\alpha)(x^2+5)} = \frac{x^2}{(x^2+5)(x^2+2)}$.
इसका अर्थ है $2(x^2+2) = 2x^2 + \alpha$,अतः $2x^2 + 4 = 2x^2 + \alpha$.
इस प्रकार,$\alpha = 4$.

(C) माना $I = \int_0^{2a} x^2 \sqrt{2ax-x^2} dx$.
$x = 2a \sin^2 \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 4a \sin \theta \cos \theta d\theta$ प्राप्त होता है।
सीमाएँ बदलती हैं: जब $x=0, \theta=0$; जब $x=2a, \theta=\frac{\pi}{2}$.
साथ ही,$\sqrt{2ax-x^2} = \sqrt{4a^2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta} = 2a \sin \theta \cos \theta$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int_0^{\pi/2} (2a \sin^2 \theta)^2 (2a \sin \theta \cos \theta) (4a \sin \theta \cos \theta) d\theta$
$I = 32a^4 \int_0^{\pi/2} \sin^6 \theta \cos^2 \theta d\theta$.
वालिस के सूत्र का उपयोग करने पर:
$I = 32a^4 \cdot \frac{(5 \cdot 3 \cdot 1) \cdot (1)}{(8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2)} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi a^4}{8}$.
दिया गया है कि $I = ka^4$,अतः $k = \frac{5\pi}{8}$,जिसका अर्थ है $k : \pi = 5 : 8$.