आर्गंड समतल पर सम्मिश्र संख्या z द्वारा निरूप | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) दी गई शर्त $\left|\frac{z-1+i}{z+1-i}ight|=\left|\operatorname{Re}\left(\frac{z-1+i}{z+1-i}ight)ight|$ है, जहाँ $z 
eq -1+i$. माना $w = \fr

Vedclass · Accepted Answer

एक सीधी रेखा जिसमें बिंदु $(-1+i)$ शामिल नहीं है

Vedclass · Answer

(A) दी गई शर्त $\left|\frac{z-1+i}{z+1-i}ight|=\left|\operatorname{Re}\left(\frac{z-1+i}{z+1-i}ight)ight|$ है, जहाँ $z 
eq -1+i$. माना $w = \frac{z-1+i}{z+1-i}$. शर्त $|w| = |\operatorname{Re}(w)|$ है। किसी भी सम्मिश्र संख्या $w = u + iv$ के लिए, $|w| = \sqrt{u^2 + v^2}$ और $|\operatorname{Re}(w)| = |u| = \sqrt{u^2}$. अतः, $\sqrt{u^2 + v^2} = \sqrt{u^2} \implies u^2 + v^2 = u^2 \implies v^2 = 0 \implies v = 0$. इसका अर्थ है कि $\operatorname{Im}(w) = 0$, इसलिए $w$ एक वास्तविक संख्या होनी चाहिए। माना $z = x + iy$. तब $w = \frac{(x-1) + i(y+1)}{(x+1) + i(y-1)}$. अंश और हर को हर के संयुग्मी से गुणा करने पर: $w = \frac{((x-1) + i(y+1))((x+1) - i(y-1))}{(x+1)^2 + (y-1)^2}$. $w$ का काल्पनिक भाग शून्य होगा जब अंश का काल्पनिक भाग शून्य हो: $(x-1)(-(y-1)) + (y+1)(x+1) = 0$. $-xy + x + y - 1 + xy + x + y + 1 = 0$. $2x + 2y = 0 \implies x + y = 0$. चूंकि $z 
eq -1+i$, बिंदु $(-1, 1)$ रेखा $x+y=0$ से बाहर है। अतः, बिंदुपथ एक सीधी रेखा है जिसमें बिंदु $(-1+i)$ शामिल नहीं है।

Similar Questions

समुच्चय $S = \left\{ \frac{\alpha + i}{\alpha - i} : \alpha \in R \right\} (i = \sqrt{-1})$ के सभी बिंदु किस पर स्थित हैं?

यदि $z-2-3i$ का आयाम (amplitude) $\pi/4$ है,तो $z=x+iy$ का बिंदुपथ (locus) क्या है?

यदि सम्मिश्र संख्याएँ $z_1, z_2, z_3$ एक समबाहु त्रिभुज के शीर्षों को इस प्रकार निरूपित करती हैं कि $|z_1| = |z_2| = |z_3|$ है,तो $z_1 + z_2 + z_3 = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module