જો d એ રેખાઓ x^2+4xy+ky^2-4x-10y+3=0 ના છેદબિ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2+4xy+ky^2-4x-10y+3=0$ એ રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે. આ માટે નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ: $\left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -2 \ 2 & k &

Vedclass · Accepted Answer

$8$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2+4xy+ky^2-4x-10y+3=0$ એ રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે. આ માટે નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ: $\left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -2 \ 2 & k & -5 \ -2 & -5 & 3 \end{array}ight| = 0$ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $1(3k-25) - 2(6-10) - 2(-10+2k) = 0$ $3k-25+8+20-4k = 0 \implies k = 3$. સમીકરણ $x^2+4xy+3y^2-4x-10y+3=0$ બને છે. અવયવ પાડતા: $(x+y-3)(x+3y-1) = 0$. રેખાઓ $x+y-3=0$ અને $x+3y-1=0$ છે. છેદબિંદુ શોધતા: $x+y=3$ અને $x+3y=1$. બાદબાકી કરતા $2y = -2 \implies y = -1$,તેથી $x = 4$. છેદબિંદુ $(4, -1)$ છે. ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી $(4,-1)$ સુધીનું અંતર $d = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{17}$,તેથી $d^2 = 17$. ઉગમબિંદુથી રેખાઓ $x+y-3=0$ અને $x+3y-1=0$ પરના લંબ અંતર $d_1 = \frac{|-3|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ અને $d_2 = \frac{|-1|}{\sqrt{1^2+3^2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$ છે. ગુણાકાર $p = d_1 	imes d_2 = \frac{3}{\sqrt{2} 	imes \sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{20}} = \frac{3}{2\sqrt{5}}$. આમ,$p^2 = \frac{9}{20}$. અંતે,$d^2 - 20p^2 = 17 - 20 	imes \frac{9}{20} = 17 - 9 = 8$.

Similar Questions

જો $2x^2-5xy+2y^2=0$ એ ત્રિકોણની બે બાજુઓ દર્શાવે છે જેનું મધ્યકેન્દ્ર $(1,1)$ છે,તો ત્રીજી બાજુનું સમીકરણ શું હશે?

જો રેખા $2x + by + 5 = 0$ એ રેખાઓની જોડી $ax^2 - 96bxy + ky^2 = 0$ સાથે સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે,તો $a + 3k =$

જો $\left(\frac{2}{3}, 0\right)$ એ $4x^2-y^2=0$ અને $lx+my+n=0$ રેખાઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર હોય,તો $l+m+n=$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module