જો રેખા x+y+1=0 એ વર્તુળ x^2+y^2+x+3y=0 ને બે | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+x+3y=0$ છે. ધારો કે $A$ અને $B$ આગળના સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ $P(h, k)$ છે. સ્પર્શક જીવા $AB$ નું સમીકરણ $T=0$ દ્વારા મળે છ

Vedclass · Accepted Answer

$\left(\frac{3}{4}, -\frac{1}{4}\right)$

Vedclass · Answer

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+x+3y=0$ છે. ધારો કે $A$ અને $B$ આગળના સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ $P(h, k)$ છે. સ્પર્શક જીવા $AB$ નું સમીકરણ $T=0$ દ્વારા મળે છે: $xh + yk + \frac{x+h}{2} + 3\left(\frac{y+k}{2}\right) = 0$ $x\left(h+\frac{1}{2}\right) + y\left(k+\frac{3}{2}\right) + \frac{h+3k}{2} = 0$. આને આપેલ રેખા $x+y+1=0$ સાથે સરખાવતા: $\frac{h+1/2}{1} = \frac{k+3/2}{1} = \frac{(h+3k)/2}{1}$. $h+1/2 = k+3/2$ પરથી,આપણને $h-k=1$ મળે છે. $h+1/2 = (h+3k)/2$ પરથી,આપણને $2h+1 = h+3k$ મળે છે,એટલે કે $h-3k = -1$. આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $k=1$ અને $h=2$ મળે છે. તેથી $P=(2, 1)$. $A$ અને $B$ માંથી પસાર થતા વર્તુળોનું કુળ $x^2+y^2+x+3y + \lambda(x+y+1) = 0$ છે. આ વર્તુળ $P(2, 1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$4+1+2+3 + \lambda(2+1+1) = 0$,જે $10 + 4\lambda = 0$ આપે છે,તેથી $\lambda = -5/2$. વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+x+3y - \frac{5}{2}(x+y+1) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2+y^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}y - \frac{5}{2} = 0$ થાય છે. આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $\left(-\frac{-3/2}{2}, -\frac{1/2}{2}\right) = \left(\frac{3}{4}, -\frac{1}{4}\right)$ છે.

Similar Questions

વર્તુળો $(x - a)^2 + (y - b)^2 = c^2$ અને $(x - b)^2 + (y - a)^2 = c^2$ ની સામાન્ય જીવાની લંબાઈ શોધો.

વર્તુળો $x^2 + y^2 + 4x + 1 = 0$ અને $x^2 + y^2 + 6x + 2y + 3 = 0$ ની સામાન્ય જીવા (common chord) શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module