વિકલ સમીકરણ $y dx - x dy + 3x^2 y^2 e^{x^3} dx = 0$ નો ઉકેલ,જે $x = 1$ હોય ત્યારે $y = 1$ નું સમાધાન કરે છે,તે શોધો:

ધારો કે $\frac{dy}{dx} = \frac{ax - by + a}{bx + cy + a}$,જ્યાં $a, b, c$ અચળાંકો છે,તે $(2, 5)$ બિંદુમાંથી પસાર થતું વર્તુળ દર્શાવે છે. તો આ વર્તુળથી $(11, 6)$ બિંદુનું લઘુત્તમ અંતર કેટલું છે?

ધારો કે $S = (0, 2 \pi) - \left\{\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}, \frac{3 \pi}{2}, \frac{7 \pi}{4}\right\}$. ધારો કે $y = y(x)$,$x \in S$,એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \sin 2x}$ નો ઉકેલ વક્ર છે,જ્યાં $y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}$ છે. જો વક્ર $y = y(x)$ અને વક્ર $y = \sqrt{2} \sin x$ ના તમામ છેદબિંદુઓના યામોનો સરવાળો $\frac{k \pi}{12}$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો:

સ્તંભ $I$ માં આપેલા વિધાનો/પદાવલિઓને સ્તંભ $II$ માં આપેલા મૂલ્યો સાથે જોડો.

સ્તંભ $I$	સ્તંભ $II$
$(A)$ અંતરાલ $(0, \frac{\pi}{2})$ માં સમીકરણ $x e^{\sin x}-\cos x=0$ ના ઉકેલોની સંખ્યા	$(p)$ $1$
$(B)$ $k$ ના મૂલ્યો જેના માટે સમતલો $k x+4 y+z=0, 4 x+k y+2 z=0$ અને $2 x+2 y+z=0$ એક સીધી રેખામાં છેદે છે	$(q)$ $2$
$(C)$ $k$ ના મૂલ્યો જેના માટે $|x-1|+|x-2|+|x+1|+|x+2|=4 k$ ના પૂર્ણાંક ઉકેલો મળે	$(r)$ $3$
$(D)$ જો $y^{\prime}=y+1$ અને $y(0)=1$ હોય,તો $y(\ln 2)$ નું મૂલ્ય	$(s)$ $4$
	$(t)$ $5$

વિકલ સમીકરણ $\cos^2 x \frac{d^2y}{dx^2} = 1$ નો ઉકેલ શોધો.

જો $y = \frac{x}{\log_e|cx|}$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \phi\left(\frac{x}{y}\right)$ નો ઉકેલ હોય,તો $\phi\left(\frac{x}{y}\right)$ શું થાય?