જો $a=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$a \cdot b=1$ અને $a \times b=\hat{j}-\hat{k}$ હોય,તો $b=$

એક કાટકોણ સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,વિકર્ણો પરસ્પર લંબ છે,અને પાયાની લંબાઈનો ગુણોત્તર $AD : BC = 2 : 3$ છે. તો વિકર્ણોની લંબાઈનો ગુણોત્તર શોધો.

સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $OACB$ માં,$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$,$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ છે અને બિંદુ $B$ માંથી $AC$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ $M$ છે. જો $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ અને $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 2$ હોય,તો $|\overrightarrow{BM}|$ શોધો.

સદિશો $a = 2i + 3j + k$ અને $b = 2i - j - k$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PQRS$ ની બે પાસપાસેની બાજુઓ $\vec{PQ} = \hat{i} + \hat{k}$ અને $\vec{PS} = \hat{i} - \hat{j}$ દ્વારા આપવામાં આવી છે. જો બાજુ $PS$ ને બિંદુ $P$ ની આસપાસ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના સમતલમાં લઘુકોણ $\alpha$ જેટલા ખૂણે ફેરવવામાં આવે જેથી તે બાજુ $PQ$ ને લંબ બને,તો $\sin^2(\frac{5\alpha}{2}) - \sin^2(\frac{\alpha}{2})$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{c} = \hat{j} - \hat{k}$ અને સદિશ $\vec{b}$ એવો છે કે જેથી $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}$ અને $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$ થાય. તો $|\vec{b}|$ ની કિંમત કેટલી થાય?