TS EAMCET 2004 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) આપેલ સમીકરણ $y^{2} \sin^{2} \theta - xy \sin^{2} \theta + x^{2}(\cos^{2} \theta - 1) = 0$ છે.
$\cos^{2} \theta - 1 = -\sin^{2} \theta$ હોવાથી,સમીકરણ $y^{2} \sin^{2} \theta - xy \sin^{2} \theta - x^{2} \sin^{2} \theta = 0$ બને છે.
$\sin^{2} \theta$ વડે ભાગતા,આપણને $y^{2} - xy - x^{2} = 0$ મળે છે.
અહીં $x^{2}$ અને $y^{2}$ ના સહગુણકોનો સરવાળો $a + b = -1 + 1 = 0$ છે.
જ્યારે $a + b = 0$ હોય,ત્યારે રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોય છે.
તેથી,રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $d(n)$ એ $n$ ના ધન ભાજકોની સંખ્યા દર્શાવે છે.
અવિભાજ્ય સંખ્યા $P$ માટે,$P^7$ ના ભાજકો $P^0, P^1, P^2, P^3, P^4, P^5, P^6, P^7$ છે. તેથી,$d(P^7) = 8$.
હવે,આપણે $d(8)$ શોધીએ. $8 = 2^3$ હોવાથી,ભાજકોની સંખ્યા $3 + 1 = 4$ થાય. તેથી,$d(8) = 4$.
છેલ્લે,આપણે $d(4)$ શોધીએ. $4 = 2^2$ હોવાથી,ભાજકોની સંખ્યા $2 + 1 = 3$ થાય. તેથી,$d(4) = 3$.
આમ,$d(d(d(P^7))) = 3$.

(D) આપેલ છે કે,$\log _{27}(\log _3 x) = \frac{1}{3}$.
લઘુગણકની વ્યાખ્યા $\log _a b = c \Rightarrow b = a^c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log _3 x = (27)^{1/3}$.
કારણ કે $27 = 3^3$,તેથી $(27)^{1/3} = (3^3)^{1/3} = 3^1 = 3$.
આમ,$\log _3 x = 3$.
ફરીથી,લઘુગણકની વ્યાખ્યા મુજબ,$x = 3^3$.
તેથી,$x = 27$.

(D) કારણ કે $(x-2)$ એ પદાવલિઓ $x^2+ax+b$ અને $x^2+cx+d$ નો સામાન્ય અવયવ છે,તેથી $x=2$ આગળ આ પદાવલિઓની કિંમત $0$ થવી જોઈએ.
$x^2+ax+b$ માટે: $(2)^2+a(2)+b=0 \Rightarrow 4+2a+b=0 \dots(i)$
$x^2+cx+d$ માટે: $(2)^2+c(2)+d=0 \Rightarrow 4+2c+d=0 \dots(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી સમીકરણ $(ii)$ બાદ કરતા:
$(4+2a+b) - (4+2c+d) = 0 - 0$
$2a+b-2c-d = 0$
$b-d = 2c-2a$
$b-d = 2(c-a)$
બંને બાજુ $(c-a)$ વડે ભાગતા (ધારો કે $c \neq a$):
$\frac{b-d}{c-a} = 2$

(A) ધારો કે $y = \sqrt{42+\sqrt{42+\sqrt{42+\ldots}}}$
$\Rightarrow y = \sqrt{42+y}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે:
$y^2 = 42 + y$
$\Rightarrow y^2 - y - 42 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(y - 7)(y + 6) = 0$
$\Rightarrow y = 7$ અથવા $y = -6$
કારણ કે વર્ગમૂળનું મૂલ્ય હંમેશા અ-ઋણ હોય છે,તેથી $y = -6$ શક્ય નથી.
આમ,જરૂરી ઉકેલ $y = 7$ છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x)$ એ સંમેય સહગુણકો ધરાવતી બહુપદી છે.
જો સંકર સંખ્યા $a+bi$ બીજ હોય,તો તેની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $a-bi$ પણ બીજ હોય. તેથી,$1+2i$ અને $1-2i$ બીજ છે.
જો અસંમેય સંખ્યા $a+\sqrt{b}$ સ્વરૂપનું બીજ હોય,તો તેની અનુબદ્ધ સંખ્યા $a-\sqrt{b}$ પણ બીજ હોય. તેથી,$2-\sqrt{3}$ અને $2+\sqrt{3}$ બીજ છે.
વધુમાં,$5$ એ પણ બીજ આપેલ છે.
તેથી,કુલ બીજ $1+2i, 1-2i, 2-\sqrt{3}, 2+\sqrt{3}$ અને $5$ છે.
આમ,બહુપદીની ન્યૂનતમ ઘાત $n$ એ $5$ છે.

(C) વિધેય $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$ નું આવર્તમાન એ $g(x)$ અને $h(x)$ ના આવર્તમાનોનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ છે.
અહીં $g(x) = \cos(nx)$ છે,જેનું આવર્તમાન $T_1 = \frac{2\pi}{n}$ છે.
અહીં $h(x) = \sin\left(\frac{x}{n}\right)$ છે,જેનું આવર્તમાન $T_2 = \frac{2\pi}{1/n} = 2n\pi$ છે.
ભાગાકારનું આવર્તમાન એ $T_1$ અને $T_2$ નો $LCM$ છે.
કારણ કે $T_2$ એ $T_1$ નો ગુણક છે $(2n\pi = n^2 \cdot \frac{2\pi}{n})$,તેથી વિધેયનું આવર્તમાન $T_2 = 2n\pi$ થાય.
આપેલ છે કે $2n\pi = 4\pi$,તેથી $n = 2$ મળે.

(A) આપેલ છે કે $x_n = \cos \frac{\pi}{2^n} + i \sin \frac{\pi}{2^n} = e^{i \frac{\pi}{2^n}}$.
આપણે ગુણાકાર $P = \prod_{n=1}^{\infty} x_n = \prod_{n=1}^{\infty} e^{i \frac{\pi}{2^n}}$ શોધવાનો છે.
ઘાતાંકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$P = e^{i \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi}{2^n}}$.
ઘાતાંકમાં રહેલ સરવાળો એ સમગુણોત્તર શ્રેણી છે: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi}{2^n} = \pi \left( \frac{1/2}{1 - 1/2} \right) = \pi \left( \frac{1/2}{1/2} \right) = \pi$.
તેથી,$P = e^{i \pi}$.
ઓઈલરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi = -1 + 0i = -1$.

(A) આપેલ શ્રેણી એ અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{2 i}{3}$ છે.
કારણ કે $|r| = |\frac{2 i}{3}| = \frac{2}{3} < 1$,સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ દ્વારા મળે છે.
$S = \frac{1}{1-\frac{2 i}{3}} = \frac{1}{\frac{3-2 i}{3}} = \frac{3}{3-2 i}$.
સરળ બનાવવા માટે,અંશ અને છેદને અનુબદ્ધ $(3+2 i)$ વડે ગુણો:
$S = \frac{3(3+2 i)}{(3-2 i)(3+2 i)} = \frac{9+6 i}{3^2 - (2 i)^2} = \frac{9+6 i}{9 - (-4)} = \frac{9+6 i}{13}$.

(D) કુલ $10$ વક્તાઓ છે. $10$ વક્તાઓને ગોઠવવાની કુલ રીતો $10!$ છે.
કોઈપણ ગોઠવણીમાં,$S_1$ અને $S_2$ ના સાપેક્ષ ક્રમ માટે બે શક્યતાઓ છે: કાં તો $S_1$ એ $S_2$ પહેલાં બોલે છે,અથવા $S_2$ એ $S_1$ પહેલાં બોલે છે.
શરત એ છે કે $S_1$ એ ફક્ત $S_2$ પછી જ સંબોધન કરવું જોઈએ,તેથી આપણે ફક્ત તે જ કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ જ્યાં $S_2$ એ $S_1$ ની પહેલાં આવે છે.
સમાનતા દ્વારા,કુલ ગોઠવણીમાંથી અડધી ગોઠવણી આ શરતને સંતોષે છે.
તેથી,જરૂરી રીતોની સંખ્યા $\frac{10!}{2}$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રથમ $k$ ઘનનો સરવાળો $\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2$ છે અને પ્રથમ $k$ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો $k^2$ છે.
આ કિંમતોને પદમાં મૂકતા:
$\sum_{k=1}^5 \frac{\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2}{k^2} = \sum_{k=1}^5 \frac{k^2(k+1)^2}{4k^2} = \sum_{k=1}^5 \frac{(k+1)^2}{4}$
$k=1$ થી $5$ માટે સરવાળો કરતા:
$= \frac{1}{4} [2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2] = \frac{1}{4} [4 + 9 + 16 + 25 + 36] = \frac{90}{4} = 22.5$

(C) ધારો કે $y = x \log _e a$. આપેલી શ્રેણી $y + \frac{y^3}{3!} + \frac{y^5}{5!} + \dots$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે હાયપરબોલિક સાઈન વિધેયનું ટેલર શ્રેણી વિસ્તરણ $\sinh(y) = y + \frac{y^3}{3!} + \frac{y^5}{5!} + \dots$ છે.
$y = x \log _e a$ ને શ્રેણીમાં પાછું મૂકતા,આપણને $\sinh(x \log _e a)$ મળે છે.
આમ,શ્રેણીનું મૂલ્ય $\sinh(x \log _e a)$ છે.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડી $3x^2-4xy+y^2=0$ છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા: $3x^2-3xy-xy+y^2=0$ $\Rightarrow 3x(x-y)-y(x-y)=0$ $\Rightarrow (3x-y)(x-y)=0$.
તેથી,બે રેખાઓ $L_1: 3x-y=0$ અને $L_2: x-y=0$ છે.
ત્રીજી રેખા $L_3: 2x-y=6$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ આ રેખાઓના છેદબિંદુઓ છે:
$1$. $L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ: $(0,0)$.
$2$. $L_1$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $3x-y=0$ અને $2x-y=6$. બાદબાકી કરતા $x=-6$,તેથી $y=-18$. બિંદુ $(-6, -18)$ છે.
$3$. $L_2$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $x-y=0$ અને $2x-y=6$. બાદબાકી કરતા $x=6$,તેથી $y=6$. બિંદુ $(6, 6)$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0(-18-6) + (-6)(6-0) + 6(0-(-18))| = \frac{1}{2} |0 - 36 + 108| = \frac{1}{2} |72| = 36 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) વર્તુળ $x^2+y^2=61$ નું કેન્દ્ર $O(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r=\sqrt{61}$ છે.
$PA=PB=10$ હોવાથી,$P$ એ જીવા $AB$ ના લંબદ્વિભાજક પર છે. કેન્દ્ર $O$ પણ જીવા $AB$ ના લંબદ્વિભાજક પર છે. તેથી,રેખા $OP$ એ રેખા $l$ ને લંબ છે.
$OP$ નો ઢાળ $m_{OP} = \frac{6-0}{-5-0} = -\frac{6}{5}$ છે.
$l \perp OP$ હોવાથી,રેખા $l$ નો ઢાળ $m_l = \frac{5}{6}$ થાય.
રેખા $l$ નું સમીકરણ $5x-6y+k=0$ ધારો.
કેન્દ્ર $O(0,0)$ થી જીવા $AB$ નું અંતર $d = \frac{|k|}{\sqrt{61}}$ છે.
ગણતરી કરતા $d = \frac{11}{\sqrt{61}}$ મળે છે,તેથી $|k|=11$. વિકલ્પ $(c)$ $5x-6y+11=0$ સાચો છે.

(B) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ એ વર્તુળ $x^2+y^2=r^2$ ના સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી હોય જો $x_1x_2 + y_1y_2 = r^2$ થાય.
આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2=25$ માટે,$r^2=25$ છે.
બિંદુઓ $(1, a)$ અને $(b, 2)$ ને શરતમાં મૂકતા:
$(1)(b) + (a)(2) = 25$
$b + 2a = 25$
આપણે $4a + 2b$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સમીકરણ $b + 2a = 25$ ને $2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$2(b + 2a) = 2(25)$
$2b + 4a = 50$
તેથી,$4a + 2b = 50$.

(B) આપણી પાસે છે,\\ $(a-b)^2 \cos^2 \frac{C}{2} + (a+b)^2 \sin^2 \frac{C}{2}$ \\ $= (a^2 + b^2 - 2ab) \cos^2 \frac{C}{2} + (a^2 + b^2 + 2ab) \sin^2 \frac{C}{2}$ \\ $= (a^2 + b^2)(\cos^2 \frac{C}{2} + \sin^2 \frac{C}{2}) - 2ab(\cos^2 \frac{C}{2} - \sin^2 \frac{C}{2})$ \\ $= (a^2 + b^2)(1) - 2ab \cos C$ \\ $= a^2 + b^2 - 2ab \cos C$ \\ કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$,\\ તેથી,આ પદાવલિ $c^2$ ને સમાન છે.

(C) વિધાન $I$: આપણે જાણીએ છીએ કે $r = 4R \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$. આ ત્રિકોણ માટેનું પ્રમાણિત નિત્યસમ છે. તેથી,$I$ સાચું છે.
વિધાન $II$: આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 = s \tan \frac{A}{2}$. આપેલ સૂત્ર $r_1 = (s-a) \tan \frac{A}{2}$ ખોટું છે. તેથી,$II$ ખોટું છે.
વિધાન $III$: આપણે જાણીએ છીએ કે $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$. આ બહિર ત્રિજ્યા $r_3$ માટેનું પ્રમાણિત સૂત્ર છે. તેથી,$III$ સાચું છે.
તેથી,વિધાન $I$ અને $III$ સાચા છે.

(C) આપેલ છે કે,$\frac{x+1}{(2 x-1)(3 x+1)}=\frac{A}{(2 x-1)}+\frac{B}{(3 x+1)}$
બંને બાજુ $(2x-1)(3x+1)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$(x+1) = A(3x+1) + B(2x-1)$
$(x+1) = x(3A+2B) + (A-B)$
બંને બાજુ $x$ ના સહગુણકો અને અચળ પદોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે:
$3A + 2B = 1$ ... $(i)$
$A - B = 1$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ પરથી,$A = B + 1$. આ કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$3(B+1) + 2B = 1$
$3B + 3 + 2B = 1$
$5B = -2 \Rightarrow B = -\frac{2}{5}$
હવે,$A = -\frac{2}{5} + 1 = \frac{3}{5}$
આપણે $16A + 9B$ ની કિંમત શોધવાની છે:
$16A + 9B = 16\left(\frac{3}{5}\right) + 9\left(-\frac{2}{5}\right)$
$= \frac{48}{5} - \frac{18}{5} = \frac{30}{5} = 6$

(A) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3-10x^2+7x+8=0$ છે,જેના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે. વિએટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = -(-10)/1 = 10$ ($A$-$5$)
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 7/1 = 7$
$\alpha\beta\gamma = -8/1 = -8$
$B$ માટે: $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = (10)^2 - 2(7) = 100 - 14 = 86$ ($B$-$3$)
$C$ માટે: $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma} = \frac{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha}{\alpha\beta\gamma} = \frac{7}{-8} = -\frac{7}{8}$ ($C$-$2$)
$D$ માટે: $\frac{\alpha}{\beta\gamma}+\frac{\beta}{\gamma\alpha}+\frac{\gamma}{\alpha\beta} = \frac{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}{\alpha\beta\gamma} = \frac{86}{-8} = -\frac{43}{4}$ ($D$-$1$)
આમ,સાચી જોડી $A-5, B-3, C-2, D-1$ છે.

(A) ધારો કે સમીકરણ $4x^3 - 12x^2 + 11x + k = 0$ ના બીજ $\alpha - d, \alpha, \alpha + d$ છે.
બીજનો સરવાળો $= (\alpha - d) + \alpha + (\alpha + d) = 3\alpha$.
સમીકરણ પરથી,બીજનો સરવાળો $-\frac{-12}{4} = 3$ થાય છે.
તેથી,$3\alpha = 3 \Rightarrow \alpha = 1$.
કારણ કે $\alpha = 1$ એ બીજ છે,તે સમીકરણ $4(1)^3 - 12(1)^2 + 11(1) + k = 0$ નું સમાધાન કરશે.
$4 - 12 + 11 + k = 0$.
$3 + k = 0 \Rightarrow k = -3$.

(C) $\cos(nx)$ નું આવર્તમાન $T_1 = \frac{2\pi}{n}$ છે.
$\sin(x/n)$ નું આવર્તમાન $T_2 = \frac{2\pi}{1/n} = 2n\pi$ છે.
ભાગાકાર $\frac{\cos(nx)}{\sin(x/n)}$ નું આવર્તમાન એ અંશ અને છેદના આવર્તમાનનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ છે.
આપેલ છે કે આવર્તમાન $4\pi$ છે,તેથી $2n\pi = 4\pi$.
$n$ માટે ઉકેલતા,આપણને $n = 2$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $\left|\frac{z_1-3 z_2}{3-z_1 \bar{z}_2}\right|=1$ અને $\left|z_1\right| \neq 3$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\left|z_1-3 z_2\right|^2 = \left|3-z_1 \bar{z}_2\right|^2$.
$|z|^2 = z \bar{z}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$(z_1-3 z_2)(\bar{z}_1-3 \bar{z}_2) = (3-z_1 \bar{z}_2)(3-\bar{z}_1 z_2)$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા: $|z_1|^2 - 3z_1 \bar{z}_2 - 3z_2 \bar{z}_1 + 9|z_2|^2 = 9 - 3\bar{z}_1 z_2 - 3z_1 \bar{z}_2 + |z_1|^2 |z_2|^2$.
સમાન પદો $-3z_1 \bar{z}_2$ અને $-3z_2 \bar{z}_1$ ને દૂર કરતા: $|z_1|^2 + 9|z_2|^2 = 9 + |z_1|^2 |z_2|^2$.
પદોને ગોઠવતા: $|z_1|^2 - 9 - |z_1|^2 |z_2|^2 + 9|z_2|^2 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(|z_1|^2 - 9)(1 - |z_2|^2) = 0$.
કારણ કે $|z_1| \neq 3$,તેથી $|z_2|^2 = 1$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $|z_2| = 1$.

(A) સૌ પ્રથમ,$216$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ શોધો:
$216 = 2^3 \times 3^3$.
એકી ભાજકમાં $2$ નો કોઈ અવયવ હોવો જોઈએ નહીં.
તેથી,એકી ભાજકો ફક્ત $3$ ના ઘાત દ્વારા બને છે.
$3^3$ ના અવયવો $3^0, 3^1, 3^2, 3^3$ છે.
આવા ભાજકોની સંખ્યા $3$ નો ઘાતાંક વત્તા $1$ છે,જે $3 + 1 = 4$ થાય છે.
એકી ભાજકો $1, 3, 9, 27$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $e^{-x}$ નું વિસ્તરણ $e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^n}{n!} = 1 - \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} - \dots + \frac{(-1)^n x^n}{n!} + \dots$ છે.
હવે,$(2+3x)e^{-x}$ પદને ધ્યાનમાં લો:
$(2+3x)e^{-x} = 2e^{-x} + 3xe^{-x}$
$2e^{-x}$ માં $x^{10}$ વાળું પદ $2 \times \frac{(-x)^{10}}{10!} = \frac{2}{10!} x^{10}$ છે.
$3xe^{-x}$ માં $x^{10}$ વાળું પદ $3x \times \frac{(-x)^9}{9!} = 3x \times \frac{-x^9}{9!} = -\frac{3}{9!} x^{10}$ છે.
આ બંનેને જોડવા માટે,બીજા પદને $10!$ છેદ સાથે લખતા:
$-\frac{3}{9!} = -\frac{3 \times 10}{10!} = -\frac{30}{10!}$.
આમ,$x^{10}$ નો સહગુણક $\frac{2}{10!} - \frac{30}{10!} = \frac{2-30}{10!} = \frac{-28}{10!}$ છે.

(A) પ્રથમ,આંશિક અપૂર્ણાંકોનો ઉપયોગ કરીને અપૂર્ણાંકને દર્શાવો: $\frac{x-4}{(x-2)(x-3)} = \frac{2}{x-2} - \frac{1}{x-3}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ માટે પદોને ફરીથી લખો: $2(x-2)^{-1} - (x-3)^{-1} = 2(-2)^{-1}(1-\frac{x}{2})^{-1} - (-3)^{-1}(1-\frac{x}{3})^{-1}$.
આનું સાદું રૂપ: $-(1-\frac{x}{2})^{-1} + \frac{1}{3}(1-\frac{x}{3})^{-1}$.
$(1-y)^{-1} = 1 + y + y^2 + y^3 + \dots$ વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$-(1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} + \frac{x^3}{8} + \dots) + \frac{1}{3}(1 + \frac{x}{3} + \frac{x^2}{9} + \frac{x^3}{27} + \dots)$.
$x^3$ નો સહગુણક $-\frac{1}{8} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{27} = -\frac{1}{8} + \frac{1}{81}$ છે.
સરવાળો કરતા: $\frac{-81 + 8}{648} = -\frac{73}{648}$.

(D) $n=15$ માટે દ્વિપદી સહગુણકો ${ }^{15} C_0, { }^{15} C_1, \dots, { }^{15} C_7, { }^{15} C_8, \dots, { }^{15} C_{15}$ છે.
જેમ $r$ ની કિંમત $0$ થી $7$ સુધી વધે છે તેમ ${ }^{15} C_r$ વધે છે અને $r$ ની કિંમત $8$ થી $15$ સુધી વધે તેમ તે ઘટે છે.
વિકલ્પ $D$ માટે,શ્રેણી ${ }^{15} C_7, { }^{15} C_6, { }^{15} C_5$ છે. અહીં $7 > 6 > 5$ હોવાથી અને આ કિંમતો દ્વિપદી સહગુણક વિતરણના ઘટતા ભાગમાં હોવાથી,આ શ્રેણી ઘટતા ક્રમમાં છે.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ $\theta \in \mathbb{R}$ માટે,$\cos \theta$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે.
તેથી,$-1 \leq \cos (4x - 5) \leq 1$.
અસમતાને $3$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$-3 \leq 3 \cos (4x - 5) \leq 3$.
અસમતાના દરેક ભાગમાં $4$ ઉમેરતા,આપણને મળે:
$-3 + 4 \leq 3 \cos (4x - 5) + 4 \leq 3 + 4$.
$1 \leq 3 \cos (4x - 5) + 4 \leq 7$.
તેથી,આ પદાવલિ $[1, 7]$ અંતરાલમાં આવેલી છે.

(D) આપણી પાસે છે,$\cos 12^{\circ} + \cos 84^{\circ} + \cos 132^{\circ} + \cos 156^{\circ}$.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્ર $\cos C + \cos D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= (\cos 132^{\circ} + \cos 12^{\circ}) + (\cos 156^{\circ} + \cos 84^{\circ})$
$= 2 \cos 72^{\circ} \cos 60^{\circ} + 2 \cos 120^{\circ} \cos 36^{\circ}$
$= 2 \left( \frac{\sqrt{5}-1}{4} \right) \left( \frac{1}{2} \right) + 2 \left( -\frac{1}{2} \right) \left( \frac{\sqrt{5}+1}{4} \right)$
$= \frac{\sqrt{5}-1}{4} - \frac{\sqrt{5}+1}{4}$
$= \frac{\sqrt{5}-1-\sqrt{5}-1}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 63^{\circ} = \cot 27^{\circ}$ અને $\tan 81^{\circ} = \cot 9^{\circ}$ થાય.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\tan 9^{\circ} - \tan 27^{\circ} - \cot 27^{\circ} + \cot 9^{\circ} = (\tan 9^{\circ} + \cot 9^{\circ}) - (\tan 27^{\circ} + \cot 27^{\circ})$
નિત્યસમ $\tan \theta + \cot \theta = \frac{2}{\sin 2\theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{2}{\sin 18^{\circ}} - \frac{2}{\sin 54^{\circ}}$
અહીં $\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ અને $\sin 54^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ હોવાથી:
$= \frac{2}{(\sqrt{5}-1)/4} - \frac{2}{(\sqrt{5}+1)/4} = \frac{8}{\sqrt{5}-1} - \frac{8}{\sqrt{5}+1}$
$= 8 \left( \frac{\sqrt{5}+1 - (\sqrt{5}-1)}{5-1} \right) = 8 \left( \frac{2}{4} \right) = 4$.

(A) ધારો કે $M$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. $PA = PB$ હોવાથી,ત્રિકોણ $PAB$ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે અને રેખાખંડ $PM$ એ $AB$ નો લંબદ્વિભાજક છે.
આપેલ રેખા $L: 2x - y + 3 = 0$ નો ઢાળ $m_L = 2$ છે.
$PM \perp AB$ હોવાથી,$PM$ નો ઢાળ $m_{PM} = -\frac{1}{m_L} = -\frac{1}{2}$ થાય.
રેખા $PM$ એ $P(1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો ઢાળ $-\frac{1}{2}$ છે. તેનું સમીકરણ:
$y - 2 = -\frac{1}{2}(x - 1)$
$2y - 4 = -x + 1$
$x + 2y = 5$ (સમીકરણ $ii$)
મધ્યબિંદુ $M$ એ રેખા $2x - y = -3$ (સમીકરણ $i$) અને $x + 2y = 5$ (સમીકરણ $ii$) નું છેદબિંદુ છે.
$(i)$ પરથી,$y = 2x + 3$. તેને (ii) માં મૂકતા:
$x + 2(2x + 3) = 5$
$x + 4x + 6 = 5$
$5x = -1 \implies x = -\frac{1}{5}$
$y = 2(-\frac{1}{5}) + 3 = -\frac{2}{5} + \frac{15}{5} = \frac{13}{5}$
આમ,$AB$ નું મધ્યબિંદુ $M\left(-\frac{1}{5}, \frac{13}{5}\right)$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A = (a \cos \theta, a \sin \theta)$ અને $B = (a \cos \phi, a \sin \phi)$ છે.
આપેલ અંતર $AB = 2a$ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$AB^2 = (a \cos \theta - a \cos \phi)^2 + (a \sin \theta - a \sin \phi)^2 = (2a)^2$
$a^2(\cos^2 \theta + \cos^2 \phi - 2 \cos \theta \cos \phi + \sin^2 \theta + \sin^2 \phi - 2 \sin \theta \sin \phi) = 4a^2$
$a^2(2 - 2(\cos \theta \cos \phi + \sin \theta \sin \phi)) = 4a^2$
$2 - 2 \cos(\theta - \phi) = 4$
$-2 \cos(\theta - \phi) = 2$
$\cos(\theta - \phi) = -1$
$\cos(\theta - \phi) = -1$ હોવાથી,$\theta - \phi = (2n + 1)\pi = 2n\pi + \pi$,જ્યાં $n \in Z$.
તેથી,$\theta = 2n\pi + \pi + \phi$.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડી $3x^2 - 4xy + y^2 = 0$ છે.
અવયવ પાડતા: $(3x - y)(x - y) = 0$,તેથી $L_1: 3x - y = 0$ અને $L_2: x - y = 0$.
ત્રીજી રેખા $L_3: 2x - y = 6$ છે.
છેદબિંદુઓ:
$1$. $L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ: $(0, 0)$.
$2$. $L_1$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $(-6, -18)$.
$3$. $L_2$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $(6, 6)$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = \frac{1}{2} |0 + (-6)(6) + 6(18)| = \frac{1}{2} |-36 + 108| = 36 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે,જ્યાં ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$ છે.
પ્રથમ વર્તુળ $x^2+y^2+8x-6y=0$ માટે,$g=4, f=-3, c=0$. તેથી,$r_1 = \sqrt{4^2+(-3)^2-0} = 5$. પરિમિતિ $P_1 = 10\pi$.
બીજા વર્તુળ $4x^2+4y^2-4x-12y-186=0$ માટે,$4$ વડે ભાગતા: $x^2+y^2-x-3y-46.5=0$. અહીં $g=-0.5, f=-1.5, c=-46.5$. તેથી,$r_2 = \sqrt{0.25+2.25+46.5} = \sqrt{49} = 7$. પરિમિતિ $P_2 = 14\pi$.
ત્રીજા વર્તુળ $x^2+y^2-6x+6y-9=0$ માટે,$g=-3, f=3, c=-9$. તેથી,$r_3 = \sqrt{9+9+9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \approx 5.196$. પરિમિતિ $P_3 = 6\sqrt{3}\pi \approx 10.39\pi$.
પરિમિતિઓની સરખામણી કરતા: $10\pi < 10.39\pi < 14\pi$,એટલે કે $P_1 < P_3 < P_2$.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $r = \sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta$ છે.
બંને બાજુ $r$ વડે ગુણતા,આપણને $r^2 = \sqrt{3} (r \sin \theta) + (r \cos \theta)$ મળે છે.
ધ્રુવીયથી કાર્તેઝિયન રૂપાંતરણ $x = r \cos \theta$ અને $y = r \sin \theta$ તથા $r^2 = x^2 + y^2$ નો ઉપયોગ કરતા,સમીકરણ નીચે મુજબ બને છે:
$x^2 + y^2 = x + \sqrt{3} y$.
પદોને ગોઠવતા,$x^2 - x + y^2 - \sqrt{3} y = 0$.
આને સામાન્ય સ્વરૂપ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$2g = -1 \Rightarrow g = -\frac{1}{2}$ અને $2f = -\sqrt{3} \Rightarrow f = -\frac{\sqrt{3}}{2}$,જ્યાં $c = 0$.
ત્રિજ્યા $\sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - 0}$ દ્વારા મળે છે.
ત્રિજ્યા $= \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1$.

(C) આપેલ વર્તુળનું ધ્રુવીય સમીકરણ $r^2-4r(\cos \theta+\sin \theta)-4=0$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x=r \cos \theta$,$y=r \sin \theta$,અને $r^2=x^2+y^2$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2+y^2-4(x+y)-4=0$
$x^2+y^2-4x-4y-4=0$
આને વર્તુળના સામાન્ય સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $2g=-4 \Rightarrow g=-2$ અને $2f=-4 \Rightarrow f=-2$ મળે છે.
તેથી,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (2, 2)$ છે.

(B) રેખાનું સમીકરણ $3x - 2y + 6 = 0$ છે.
$X$-અંતઃખંડ $(A)$ શોધવા માટે,$y = 0$ મૂકતા: $3x + 6 = 0 \Rightarrow x = -2$. તેથી,$A = (-2, 0)$.
$Y$-અંતઃખંડ $(B)$ શોધવા માટે,$x = 0$ મૂકતા: $-2y + 6 = 0 \Rightarrow y = 3$. તેથી,$B = (0, 3)$.
ત્રિજ્યા $r = AB = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.
કેન્દ્ર $(h, k) = (-2, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{13}$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે.
$(x - (-2))^2 + (y - 0)^2 = (\sqrt{13})^2$
$(x + 2)^2 + y^2 = 13$
$x^2 + 4x + 4 + y^2 = 13$
$x^2 + y^2 + 4x - 9 = 0$.

(C) વર્તુળ $x^2+y^2=61$ નું કેન્દ્ર $O(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r=\sqrt{61}$ છે.
$PA=PB=10$ હોવાથી,$P$ એ જીવા $AB$ ના લંબદ્વિભાજક પર છે. કેન્દ્ર $O$ પણ $AB$ ના લંબદ્વિભાજક પર છે. તેથી,$OP \perp AB$.
$OP$ નો ઢાળ $m_{OP} = \frac{6-0}{-5-0} = -\frac{6}{5}$ છે.
$AB \perp OP$ હોવાથી,રેખા $l$ (એટલે કે $AB$) નો ઢાળ $m_l = \frac{5}{6}$ થાય.
રેખા $l$ નું સમીકરણ $5x-6y+k=0$ સ્વરૂપમાં લેતા,વિકલ્પ $(c)$ ચકાસતા $5x-6y+11=0$ મળે છે.

(C) આપેલ રેખાઓ $L_1: x+y-1=0$,$L_2: x-y-1=0$ અને $L_3: y+1=0$ છે.
આ ત્રણેય રેખાઓ સમાંતર નથી અને એક જ બિંદુમાં છેદતી નથી,તેથી તેઓ એક ત્રિકોણ બનાવે છે.
કોઈપણ ત્રિકોણ માટે,એક અંતઃવર્તુળ (incircle) હોય છે જે ત્રણેય બાજુઓને અંદરથી સ્પર્શે છે.
વધુમાં,ત્રણ બહિર્વર્તુળો (excircles) હોય છે,જેમાંથી દરેક ત્રિકોણની એક બાજુને બહારથી અને બાકીની બે બાજુઓના લંબાવેલા ભાગને સ્પર્શે છે.
તેથી,ત્રણેય રેખાઓને સ્પર્શતા વર્તુળોની કુલ સંખ્યા $1 + 3 = 4$ છે.

(A) વક્રનું આપેલ સમીકરણ $2y^2 = x + 1$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$4y \frac{dy}{dx} = 1 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{4y}$.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \frac{1}{4y}$ છે.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -4y$ છે.
હવે,આપણે દરેક આપેલ બિંદુ પર અભિલંબનો ઢાળ શોધીએ:
$A. (7, 2): m_n = -4(2) = -8$ ($2$ સાથે મેળ ખાય છે).
$B. (0, 1/\sqrt{2}): m_n = -4(1/\sqrt{2}) = -2\sqrt{2}$ ($5$ સાથે મેળ ખાય છે).
$C. (1, -1): m_n = -4(-1) = 4$ ($3$ સાથે મેળ ખાય છે).
$D. (3, \sqrt{2}): m_n = -4(\sqrt{2}) = -4\sqrt{2}$ ($1$ સાથે મેળ ખાય છે).
આમ,સાચી જોડ $A-2, B-5, C-3, D-1$ છે.

(C) આપેલ ધ્રુવીય સમીકરણ $\cos \theta + 7 \sin \theta = \frac{1}{r}$ છે.
બંને બાજુ $r$ વડે ગુણતા,આપણને $r \cos \theta + 7 r \sin \theta = 1$ મળે છે.
પ્રમાણિત રૂપાંતરણ સૂત્રો $x = r \cos \theta$ અને $y = r \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,સમીકરણ $x + 7y = 1$ બને છે.
આ $x$ અને $y$ માં એક સુરેખ સમીકરણ છે,જે એક સીધી રેખા દર્શાવે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $36x^2 + 144y^2 - 36x - 96y - 119 = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$36(x^2 - x) + 144(y^2 - \frac{2}{3}y) = 119$ મળે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$36(x^2 - x + \frac{1}{4}) + 144(y^2 - \frac{2}{3}y + \frac{1}{9}) = 119 + 9 + 16$ મળે.
આનું સાદું રૂપ $36(x - \frac{1}{2})^2 + 144(y - \frac{1}{3})^2 = 144$ થાય.
$144$ વડે ભાગતા,$\frac{(x - 1/2)^2}{4} + \frac{(y - 1/3)^2}{1} = 1$ મળે.
આ ઉપવલય (ellipse) નું સમીકરણ છે,જ્યાં $a^2 = 4$ અને $b^2 = 1$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(B) આપણી પાસે છે,$(a-b)^2 \cos^2 \frac{C}{2} + (a+b)^2 \sin^2 \frac{C}{2}$
$= (a^2 + b^2 - 2ab) \cos^2 \frac{C}{2} + (a^2 + b^2 + 2ab) \sin^2 \frac{C}{2}$
$= (a^2 + b^2)(\cos^2 \frac{C}{2} + \sin^2 \frac{C}{2}) - 2ab(\cos^2 \frac{C}{2} - \sin^2 \frac{C}{2})$
$= (a^2 + b^2)(1) - 2ab \cos C$
કારણ કે $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$,તેથી $a^2 + b^2 - 2ab \cos C = c^2$
તેથી,પદાવલિની કિંમત $c^2$ છે.

(B) $\triangle ABC$ માં,આપણે જાણીએ છીએ કે $A+B+C = \pi$.
પદાવલિ ધ્યાનમાં લો:
$\cos \left(\frac{B+2C+3A}{2}\right) + \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$
પ્રથમ પદને $A+B+C = \pi$ નો ઉપયોગ કરીને ફરીથી લખતા:
$\frac{B+2C+3A}{2} = \frac{2(A+B+C) + A-B}{2} = \frac{2\pi + (A-B)}{2} = \pi + \frac{A-B}{2}$
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\cos \left(\pi + \frac{A-B}{2}\right) + \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$
$\cos(\pi + \theta) = -\cos(\theta)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$-\cos \left(\frac{A-B}{2}\right) + \cos \left(\frac{A-B}{2}\right) = 0$

(D) $I$. આપણે જાણીએ છીએ કે $r = 4R \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$ એ ત્રિકોણની અંતઃત્રિજ્યા માટેનું પ્રમાણિત સૂત્ર છે.
$II$. આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 = (s-a) \tan \frac{A}{2}$ એ શિરોબિંદુ $A$ ની સામેની બહિઃત્રિજ્યા $r_1$ માટેનું પ્રમાણિત સૂત્ર છે.
$III$. આપણે જાણીએ છીએ કે $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ એ શિરોબિંદુ $C$ ની સામેની બહિઃત્રિજ્યા $r_3$ માટેનું પ્રમાણિત સૂત્ર છે.
આમ,ત્રણેય વિધાનો સાચા છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે અંતઃત્રિજ્યા અને બહિઃત્રિજ્યાઓ નીચે મુજબ છે:
$r = 4R \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$
$r_1 = 4R \sin \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$
$r_2 = 4R \cos \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$
$r_3 = 4R \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$
આપેલ છે $r_3 = r_1 + r_2 + r$,તેથી:
$r_3 - r = r_1 + r_2$
સાદુરૂપ આપતા:
$\sin \frac{C}{2} \cos(\frac{A+B}{2}) = \cos \frac{C}{2} \sin(\frac{A+B}{2})$
$\frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$ મૂકતા:
$\sin^2 \frac{C}{2} = \cos^2 \frac{C}{2}$
$\tan^2 \frac{C}{2} = 1$ $\Rightarrow \frac{C}{2} = 45^{\circ}$ $\Rightarrow C = 90^{\circ}$
તેથી,$A+B = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.

(C) આપેલ અસમતા $x^2 - 2x + 5 \leq 0$ છે.
આપણે પદાવલિને પૂર્ણવર્ગ બનાવીને ફરીથી લખી શકીએ:
$x^2 - 2x + 1 + 4 \leq 0$
$(x - 1)^2 + 4 \leq 0$
દરેક વાસ્તવિક $x$ માટે $(x - 1)^2 \geq 0$ હોવાથી,$(x - 1)^2 + 4 \geq 4$ થાય.
તેથી,પદાવલિ $(x - 1)^2 + 4$ હંમેશા ધન છે અને તે ક્યારેય $0$ કે તેથી નાની હોઈ શકે નહીં.
આમ,આપેલ અસમતાનું સમાધાન કરે તેવી કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ અસ્તિત્વ ધરાવતી નથી.
તેથી,તમામ ઉકેલોનો ગણ ખાલી ગણ છે,જેને $\phi$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.

(C) ધારો કે અવલોકનકારનું સ્થાન $A$ છે. વિમાનની ઊંચાઈ $h = 1 \ km$ છે. પ્રારંભિક સ્થાન $D$ અને અંતિમ સ્થાન $E$ છે.
$\Delta DAP$ માં,$\tan 60^{\circ} = \frac{DP}{AP}$ $\Rightarrow \sqrt{3} = \frac{1}{AP}$ $\Rightarrow AP = \frac{1}{\sqrt{3}} \ km$.
$\Delta EAQ$ માં,$\tan 30^{\circ} = \frac{EQ}{AQ} = \frac{1}{AP + PQ} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}} + PQ}$.
$PQ$ માટે ઉકેલતા: $\frac{1}{\sqrt{3}} + PQ = \sqrt{3}$ $\Rightarrow PQ = \sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3-1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \ km$.
વિમાન દ્વારા કાપેલું અંતર $PQ = \frac{2}{\sqrt{3}} \ km$ છે,જે $10 \ s$ માં કાપેલું છે.
ઝડપ $= \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{2/\sqrt{3} \ km}{10 \ s} = \frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{10} \ km/s$.
$km/h$ માં ફેરવતા: $\text{ઝડપ} = \frac{2}{10\sqrt{3}} \times 3600 \ km/h = \frac{7200}{10\sqrt{3}} = \frac{720}{\sqrt{3}} = 240\sqrt{3} \ km/h$.

(B) આપેલ છે કે,$x = \log \left[ \cot \left( \frac{\pi}{4} + \theta \right) \right]$.
આનો અર્થ એ થાય કે $e^x = \cot \left( \frac{\pi}{4} + \theta \right)$ અને $e^{-x} = \tan \left( \frac{\pi}{4} + \theta \right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\sinh x = \frac{\cot \left( \frac{\pi}{4} + \theta \right) - \tan \left( \frac{\pi}{4} + \theta \right)}{2}$
નિત્યસમ $\cot A - \tan A = 2 \cot 2A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sinh x = \frac{1}{2} \left[ 2 \cot \left( 2 \left( \frac{\pi}{4} + \theta \right) \right) \right]$
$\sinh x = \cot \left( \frac{\pi}{2} + 2\theta \right)$
$\cot \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) = -\tan \alpha$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\sinh x = -\tan 2\theta$.

(A) પાસાની બાજુઓ $\{2, 3, 5, 7, 11, 13\}$ છે.
અહીં $1$ બેકી સંખ્યા $(2)$ અને $5$ એકી સંખ્યાઓ $(3, 5, 7, 11, 13)$ છે.
બે સંખ્યાઓનો સરવાળો એકી ત્યારે જ થાય જો એક સંખ્યા બેકી અને બીજી એકી હોય.
ધારો કે $E$ એ બેકી સંખ્યા મેળવવાની ઘટના છે અને $O$ એ એકી સંખ્યા મેળવવાની ઘટના છે.
$P(E) = \frac{1}{6}$ અને $P(O) = \frac{5}{6}$.
સરવાળો એકી હોવાની બે શક્યતાઓ છે: (પ્રથમ પાસા પર બેકી,બીજા પર એકી) અથવા (પ્રથમ પાસા પર એકી,બીજા પર બેકી).
જરૂરી સંભાવના $= P(E) \times P(O) + P(O) \times P(E)$
$= \left(\frac{1}{6} \times \frac{5}{6}\right) + \left(\frac{5}{6} \times \frac{1}{6}\right)$
$= \frac{5}{36} + \frac{5}{36} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$.

(C) આપેલ પદાવલિ $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n (k^2 x)$ છે.
આપણે તેને $x \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n (\frac{k}{n})^2$ તરીકે લખી શકીએ.
રીમાન સરવાળાની મર્યાદા તરીકે નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(\frac{k}{n}) = \int_0^1 f(t) dt$.
અહીં,$f(t) = t^2$,તેથી પદાવલિ $x \int_0^1 t^2 dt$ બને છે.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $x [\frac{t^3}{3}]_0^1 = x (\frac{1}{3} - 0) = \frac{x}{3}$.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ છે.
$G$ એ $\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર હોવાથી,તેનો સ્થાન સદિશ $\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$ થાય.
આથી $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 3\vec{g}$ મળે.
હવે,સદિશોનો સરવાળો $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC}$ નીચે મુજબ છે:
$\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = (\vec{a} - \vec{g}) + (\vec{b} - \vec{g}) + (\vec{c} - \vec{g})$
$= (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - 3\vec{g}$
$= 3\vec{g} - 3\vec{g} = \vec{0}$.

(D) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \end{array}\right]$.
શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક (Rank) શોધવા માટે,આપણે તેનો નિશ્ચાયક $|A|$ ગણીએ.
$|A| = 1(1 - (-1)) - (-1)(1 - 1) + 1(1 - (-1))$
$|A| = 1(2) + 1(0) + 1(2)$
$|A| = 2 + 0 + 2 = 4$.
અહીં $|A| = 4 \neq 0$ હોવાથી,શ્રેણિક અસામાન્ય (non-singular) છે.
તેથી,$3 \times 3$ શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક (Rank) $3$ છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x, y) = 2(x-y)^2 - x^4 - y^4$ છે.
પ્રથમ,$x$ અને $y$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન મેળવો:
$f_x = 4(x-y) - 4x^3$
$f_y = -4(x-y) - 4y^3$
હવે,દ્વિતીય ક્રમનું આંશિક વિકલન મેળવો:
$f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(4x - 4y - 4x^3) = 4 - 12x^2$
$f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(-4x + 4y - 4y^3) = 4 - 12y^2$
$f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(4x - 4y - 4x^3) = -4$
બિંદુ $(0,0)$ પર આની કિંમત મેળવતા:
$(f_{xx})_{(0,0)} = 4 - 12(0)^2 = 4$
$(f_{yy})_{(0,0)} = 4 - 12(0)^2 = 4$
$(f_{xy})_{(0,0)} = -4$
અંતે,$(0,0)$ પર $(f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2)$ ની કિંમતની ગણતરી કરો:
$(f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2)_{(0,0)} = (4)(4) - (-4)^2 = 16 - 16 = 0$.

(C) આપેલ છે કે $y = \sin^{-1} x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ ... $(i)$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\left(\frac{d y}{d x}\right)^2 = \frac{1}{1-x^2}$
$(1-x^2) \left(\frac{d y}{d x}\right)^2 = 1$
હવે ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં ફરીથી વિકલન કરતા:
$(1-x^2) \cdot 2 \left(\frac{d y}{d x}\right) \cdot \frac{d^2 y}{d x^2} + \left(\frac{d y}{d x}\right)^2 \cdot (-2x) = 0$
$2 \frac{d y}{d x}$ વડે ભાગતા (ધારો કે $\frac{d y}{d x} \neq 0$):
$(1-x^2) \frac{d^2 y}{d x^2} - x \frac{d y}{d x} = 0$
તેથી,$(1-x^2) \frac{d^2 y}{d x^2} = x \frac{d y}{d x}$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{d x}{(x+100) \sqrt{x+99}}$.
છેદને $(x+99) + 1 = (\sqrt{x+99})^2 + 1$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$I = \int \frac{d x}{((\sqrt{x+99})^2 + 1) \sqrt{x+99}}$.
ધારો કે $t = \sqrt{x+99}$. તેથી $t^2 = x+99$,જેનો અર્થ થાય છે કે $2t \, dt = dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{2t \, dt}{(t^2 + 1)t} = \int \frac{2 \, dt}{t^2 + 1}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = 2 \tan^{-1}(t) + c$.
$t = \sqrt{x+99}$ પાછા મૂકતા:
$I = 2 \tan^{-1}(\sqrt{x+99}) + c$.
આને $f(x) + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f(x) = 2 \tan^{-1}(\sqrt{x+99})$ મળે છે.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{\sqrt{\cot x}}{\sin x \cos x} d x$.
અંશ અને છેદને $\cos^2 x$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{\sqrt{\cot x}}{\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x}} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} d x = \int \frac{\sqrt{\cot x}}{\tan x} \sec^2 x d x$.
$\frac{1}{\tan x} = \cot x$ હોવાથી,$I = \int \sqrt{\cot x} \cdot \cot x \cdot \sec^2 x d x = \int (\cot x)^{3/2} \sec^2 x d x$.
બીજી રીતે,છેદને ફરીથી લખતા:
$I = \int \frac{\sqrt{\cot x}}{\sin x \cos x} d x = \int \frac{\sqrt{\cot x}}{\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos^2 x} d x = \int \frac{\sqrt{\cot x}}{\cot x \cdot \cos^2 x} d x = \int \frac{\sec^2 x}{\sqrt{\cot x}} d x$.
ધારો કે $u = \cot x$,તો $du = -\csc^2 x d x$,તેથી $d x = -\sin^2 x du$.
$I = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{\sin x \cos x} \cdot (-\sin^2 x du) = -\int \frac{\sin x}{\cos x \sqrt{u}} du = -\int \frac{1}{u \sqrt{u}} du = -\int u^{-3/2} du$.
$I = -\left( \frac{u^{-1/2}}{-1/2} \right) + c = 2 \sqrt{u} + c = 2 \sqrt{\cot x} + c$.
આપેલ છે કે $\int \frac{\sqrt{\cot x}}{\sin x \cos x} d x = -f(x) + c$,તેથી $-f(x) = 2 \sqrt{\cot x}$,એટલે કે $f(x) = -2 \sqrt{\cot x}$.

(A) આપેલ સંકલન $I = \int \frac{3-x^2}{1-2 x+x^2} e^x d x$ છે.
અહીં $1-2x+x^2 = (1-x)^2$ હોવાથી,આપણે સંકલ્યને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$I = \int \frac{3-x^2}{(1-x)^2} e^x d x$
અંશને $f(x) + f'(x)$ ના સ્વરૂપમાં લાવવા માટે:
$I = \int \frac{2 + 1 - x^2}{(1-x)^2} e^x d x = \int \left( \frac{2}{(1-x)^2} + \frac{1-x^2}{(1-x)^2} \right) e^x d x$
$I = \int \left( \frac{2}{(1-x)^2} + \frac{(1-x)(1+x)}{(1-x)^2} \right) e^x d x$
$I = \int \left( \frac{2}{(1-x)^2} + \frac{1+x}{1-x} \right) e^x d x$
ધારો કે $f(x) = \frac{1+x}{1-x}$. તો $f'(x) = \frac{(1-x)(1) - (1+x)(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1-x+1+x}{(1-x)^2} = \frac{2}{(1-x)^2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\int (f(x) + f'(x)) e^x d x = e^x f(x) + c$,તેથી:
$I = e^x \left( \frac{1+x}{1-x} \right) + c$.
આપેલ પદ $e^x f(x) + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f(x) = \frac{1+x}{1-x}$ મળે છે.

(A) ધારો કે $I = \int_0^2 \frac{2x-2}{2x-x^2} dx$.
અહીં વિધેય $f(x) = \frac{2x-2}{2x-x^2} = \frac{-(2-2x)}{x(2-x)}$ છે.
આ સંકલન અયોગ્ય (improper) છે કારણ કે છેદ $2x-x^2 = x(2-x)$ એ $x=0$ અને $x=2$ આગળ $0$ થાય છે.
અનિશ્ચિત સંકલન મેળવતા: $\int \frac{2x-2}{2x-x^2} dx = \int \frac{-(2-2x)}{2x-x^2} dx$.
ધારો કે $u = 2x-x^2$,તો $du = (2-2x) dx$,તેથી $-(2-2x) dx = -du$.
આમ,$\int \frac{-du}{u} = -\ln|u| + C = -\ln|2x-x^2| + C$.
લક્ષનો ઉપયોગ કરીને નિશ્ચિત સંકલન મેળવતા: $\lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{\epsilon}^{2-\epsilon} \frac{2x-2}{2x-x^2} dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} [-\ln|2x-x^2|]_{\epsilon}^{2-\epsilon}$.
$= \lim_{\epsilon \to 0^+} [-\ln|2(2-\epsilon)-(2-\epsilon)^2| + \ln|2\epsilon-\epsilon^2|]$.
$= \lim_{\epsilon \to 0^+} [-\ln|2\epsilon-\epsilon^2| + \ln|2\epsilon-\epsilon^2|] = 0$.
આમ,કોશી પ્રિન્સિપલ વેલ્યુ $0$ મળે છે.

(A) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{2-\sin \theta}{2+\sin \theta}\right) d \theta$.
$f(\theta) = \log \left(\frac{2-\sin \theta}{2+\sin \theta}\right)$ લો.
હવે,$f(-\theta)$ શોધીને વિધેયની યુગ્મતા તપાસીએ:
$f(-\theta) = \log \left(\frac{2-\sin(-\theta)}{2+\sin(-\theta)}\right) = \log \left(\frac{2+\sin \theta}{2-\sin \theta}\right)$.
ગુણધર્મ $\log(x^{-1}) = -\log(x)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(-\theta) = \log \left(\left(\frac{2-\sin \theta}{2+\sin \theta}\right)^{-1}\right) = -\log \left(\frac{2-\sin \theta}{2+\sin \theta}\right) = -f(\theta)$.
અહીં $f(-\theta) = -f(\theta)$ હોવાથી,$f(\theta)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.
નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મ મુજબ,જો $f(x)$ અયુગ્મ વિધેય હોય તો $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$ થાય.
તેથી,$I = 0$.

(A) આપેલ છે,$y = A e^x + B e^{2x} + C e^{3x} \quad \dots(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y' = A e^x + 2B e^{2x} + 3C e^{3x} \quad \dots(ii)$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y'' = A e^x + 4B e^{2x} + 9C e^{3x} \quad \dots(iii)$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y''' = A e^x + 8B e^{2x} + 27C e^{3x} \quad \dots(iv)$
વૈકલ્પિક રીતે,સહાયક સમીકરણના બીજ $m = 1, 2, 3$ હોવાથી,લાક્ષણિક સમીકરણ $(m-1)(m-2)(m-3) = 0$ થશે.
$(m^2 - 3m + 2)(m-3) = 0$
$m^3 - 3m^2 - 3m^2 + 9m + 2m - 6 = 0$
$m^3 - 6m^2 + 11m - 6 = 0$
$m^k$ ને $y^{(k)}$ વડે બદલતા,આપણને વિકલ સમીકરણ મળે છે:
$y''' - 6y'' + 11y' - 6y = 0$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x+2 y^3) \frac{d y}{d x}=y^2$ છે.
સમીકરણને $\frac{d x}{d y} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$y^2 \frac{d x}{d y} = x + 2y^3$
$\frac{d x}{d y} - \frac{1}{y^2} x = 2y$.
અહીં,$P(y) = -\frac{1}{y^2}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(y) dy}$ દ્વારા મળે છે.
$IF = e^{\int -\frac{1}{y^2} dy} = e^{\int -y^{-2} dy} = e^{-(-y^{-1})} = e^{1/y}$.
આમ,સંકલ્યકારક અવયવ $e^{(1/y)}$ છે.

(A) ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની બાજુઓ સદિશ $\vec{a} = \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ અને $\vec{b} = 3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ દ્વારા દર્શાવેલ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો એક વિકર્ણ તેની પાસપાસેની બાજુઓના સરવાળા દ્વારા મળે છે,$\vec{d_1} = \vec{a} + \vec{b}$.
$\vec{d_1} = (\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) + (3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}) = 4\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k} = 4(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
આ વિકર્ણને સમાંતર એકમ સદિશ $\hat{d_1} = \frac{\vec{d_1}}{|\vec{d_1}|}$ છે.
$|\vec{d_1}| = \sqrt{4^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{16+16+16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$.
તેથી,$\hat{d_1} = \frac{4(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})}{4\sqrt{3}} = \frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $\frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$ છે.

(C) ધારો કે $\vec{a} = \hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ અને $\vec{b} = \lambda\hat{i} - 4\hat{j} + \hat{k}$.
સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય,એટલે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
ઘટકોને મૂકતા:
$(\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}) \cdot (\lambda\hat{i} - 4\hat{j} + \hat{k}) = 0$
અદિશ ગુણાકાર કરતા:
$(1)(\lambda) + (3)(-4) + (4)(1) = 0$
$\lambda - 12 + 4 = 0$
$\lambda - 8 = 0$
$\lambda = 8$.

(A) ધારો કે $\vec{a} = 3 \hat{i} + 3 \hat{j} + \sqrt{3} \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + \hat{k}$,અને $\vec{c} = \sqrt{3} \hat{i} + \sqrt{3} \hat{j} + \lambda \hat{k}$.
આ સદિશો સમતલીય હોવાથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય,એટલે કે $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે ઘટકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} 3 & 3 & \sqrt{3} \\ 1 & 0 & 1 \\ \sqrt{3} & \sqrt{3} & \lambda \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$3(0 - \sqrt{3}) - 3(\lambda - \sqrt{3}) + \sqrt{3}(\sqrt{3} - 0) = 0$
$-3\sqrt{3} - 3\lambda + 3\sqrt{3} + 3 = 0$
$-3\lambda + 3 = 0$
$3\lambda = 3$
$\lambda = 1$

(A) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $ax + by + cz + d = 0$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ પરના લંબનો લંબપાદ $(2, -1, 3)$ હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ ઉગમબિંદુથી લંબપાદ સુધીનો સદિશ થશે,જે $\vec{n} = (2 - 0)\hat{i} + (-1 - 0)\hat{j} + (3 - 0)\hat{k} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
આમ,સમતલનું સમીકરણ $2x - y + 3z = D$ સ્વરૂપનું થશે.
બિંદુ $(2, -1, 3)$ સમતલ પર આવેલું હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(2) - (-1) + 3(3) = D$
$4 + 1 + 9 = D$
$D = 14$.
તેથી,સમતલનું સમીકરણ $2x - y + 3z - 14 = 0$ છે.

(D) સમતલનું આપેલ સમીકરણ $3x - 2y - z = 18$ છે.
બંને બાજુ $18$ વડે ભાગતા,આપણને અંતઃખંડ સ્વરૂપ મળે છે:
$\frac{3x}{18} - \frac{2y}{18} - \frac{z}{18} = 1$
$\frac{x}{6} + \frac{y}{-9} + \frac{z}{-18} = 1$.
આને અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ સાથે સરખાવતા,યામ અક્ષો પરના અંતઃખંડો $a = 6, b = -9, c = -18$ મળે છે.
આમ,સમતલ અક્ષોને જ્યાં મળે છે તે બિંદુઓના યામ $A(6, 0, 0)$,$B(0, -9, 0)$ અને $C(0, 0, -18)$ છે.
$\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(G)$ શોધવાનું સૂત્ર $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ છે.
$G = \left(\frac{6+0+0}{3}, \frac{0-9+0}{3}, \frac{0+0-18}{3}\right)$
$G = (2, -3, -6)$.

(C) $m$ પ્રાચલ (parameter) ધરાવતા પોઈસન વિતરણ માટે,સંભાવના દળ વિધેય $P(X=x) = \frac{e^{-m} m^x}{x!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $P(X=0) = 0.8$.
સૂત્રમાં $x=0$ મૂકતા,આપણને $P(X=0) = \frac{e^{-m} m^0}{0!} = e^{-m}$ મળે છે.
તેથી,$e^{-m} = 0.8$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા,$-m = \log_e(0.8) = \log_e(8/10) = \log_e(4/5)$.
તેથી,$m = -\log_e(4/5) = \log_e(5/4)$.
પોઈસન વિતરણમાં,વિચરણ એ પ્રાચલ $m$ જેટલું હોય છે.
આમ,વિચરણ $\log_e(5/4)$ છે.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B,$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b},$ અને $\vec{c}$ છે.
$G$ એ $\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર હોવાથી,તેનો સ્થાન સદિશ $\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$ થાય.
આથી,$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 3\vec{g}$ મળે.
હવે,સદિશોનો સરવાળો $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC}$ ને સ્થાન સદિશોના સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ લખી શકાય:
$\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = (\vec{a} - \vec{g}) + (\vec{b} - \vec{g}) + (\vec{c} - \vec{g})$
$= (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - 3\vec{g}$
$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 3\vec{g}$ મૂકતા,આપણને મળે:
$= 3\vec{g} - 3\vec{g} = 0$.

(C) વક્ર $y = f(x)$,$x$-અક્ષ અને રેખાઓ $x = a$ તથા $x = b$ દ્વારા આવૃત્ત ક્ષેત્રફળ નિશ્ચિત સંકલન $\int_a^b y \, dx$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$y = x^2 + 2$,$a = 1$,અને $b = 2$ છે.
$\text{માગેલ ક્ષેત્રફળ} = \int_1^2 (x^2 + 2) \, dx$
$= \left[ \frac{x^3}{3} + 2x \right]_1^2$
$= \left( \frac{2^3}{3} + 2(2) \right) - \left( \frac{1^3}{3} + 2(1) \right)$
$= \left( \frac{8}{3} + 4 \right) - \left( \frac{1}{3} + 2 \right)$
$= \left( \frac{8 + 12}{3} \right) - \left( \frac{1 + 6}{3} \right)$
$= \frac{20}{3} - \frac{7}{3}$
$= \frac{13}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(D) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક (rank) શોધવા માટે,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = 1(1 - (-1)) - (-1)(1 - 1) + 1(1 - (-1))$
$|A| = 1(2) + 1(0) + 1(2)$
$|A| = 2 + 0 + 2 = 4$.
અહીં $|A| \neq 0$ હોવાથી,શ્રેણિક $A$ અસામાન્ય (non-singular) છે.
તેથી,$3 \times 3$ શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક (rank) $3$ છે.

(C) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 4 & 2 \\ 3 & -4 & 6 \end{array}\right]$.
ઘટક $a_{ij}$ નો સહ-અવયવ $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $M_{ij}$ એ નિશ્ચાયક છે.
$1$. ઘટક $-1$ માટે જે $(1, 2)$ સ્થાન પર છે: $C_{12} = (-1)^{1+2} \left|\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 3 & 6 \end{array}\right| = -1(0 - 6) = 6$. તેથી,$A-4$.
$2$. ઘટક $1$ માટે જે $(1, 1)$ સ્થાન પર છે: $C_{11} = (-1)^{1+1} \left|\begin{array}{cc} 4 & 2 \\ -4 & 6 \end{array}\right| = 1(24 - (-8)) = 32$. તેથી,$B-2$.
$3$. ઘટક $3$ માટે જે $(3, 1)$ સ્થાન પર છે: $C_{31} = (-1)^{3+1} \left|\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 4 & 2 \end{array}\right| = 1(-2 - 0) = -2$. તેથી,$C-1$.
$4$. ઘટક $6$ માટે જે $(3, 3)$ સ્થાન પર છે: $C_{33} = (-1)^{3+3} \left|\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & 4 \end{array}\right| = 1(4 - 0) = 4$. તેથી,$D-3$.
આમ,સાચી જોડ $A-4, B-2, C-1, D-3$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) ધારો કે $A = \left|\begin{array}{lll}1990 & 1991 & 1992 \\ 1991 & 1992 & 1993 \\ 1992 & 1993 & 1994\end{array}\right|$.
સ્તંભ પ્રક્રિયાઓ $C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ અને $C_3 \rightarrow C_3 - C_2$ લાગુ પાડતા,આપણને મળે છે:
$A = \left|\begin{array}{ccc}1990 & 1991-1990 & 1992-1991 \\ 1991 & 1992-1991 & 1993-1992 \\ 1992 & 1993-1992 & 1994-1993\end{array}\right|$
$A = \left|\begin{array}{ccc}1990 & 1 & 1 \\ 1991 & 1 & 1 \\ 1992 & 1 & 1\end{array}\right|$
અહીં સ્તંભ $C_2$ અને સ્તંભ $C_3$ સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sin ^{-1} x + \sin ^{-1}(1-x) = \cos ^{-1} x$
$\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\sin ^{-1}(1-x) = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x - \sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - 2 \sin ^{-1} x$
બંને બાજુ $\sin$ લેતા:
$1-x = \sin(\frac{\pi}{2} - 2 \sin ^{-1} x) = \cos(2 \sin ^{-1} x)$
નિત્યસમ $\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\theta = \sin ^{-1} x$:
$1-x = 1 - 2(\sin(\sin ^{-1} x))^2$
$1-x = 1 - 2x^2$
$2x^2 - x = 0$
$x(2x - 1) = 0$
આમ,$x = 0$ અથવા $x = \frac{1}{2}$.
બંને કિંમતો પ્રતિવિધેયોના પ્રદેશનું પાલન કરે છે.
તેથી,$x \in \{0, \frac{1}{2}\}$.

(B) આપેલ છે કે $f(x)$ એ યુગ્મ વિધેય છે,તેથી $f(-x) = f(x)$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}[f(-x)] = \frac{d}{dx}[f(x)]$
$-f^{\prime}(-x) = f^{\prime}(x)$,જેનો અર્થ છે કે $f^{\prime}(-x) = -f^{\prime}(x)$.
આમ,પ્રથમ વિકલિત $f^{\prime}(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.
હવે,ફરીથી વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}[f^{\prime}(-x)] = \frac{d}{dx}[-f^{\prime}(x)]$
$-f^{\prime \prime}(-x) = -f^{\prime \prime}(x)$,જેનો અર્થ છે કે $f^{\prime \prime}(-x) = f^{\prime \prime}(x)$.
આમ,દ્વિતીય વિકલિત $f^{\prime \prime}(x)$ એ યુગ્મ વિધેય છે.
તે જ રીતે,તૃતીય વિકલિત $f^{\prime \prime \prime}(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય થશે.
તેથી,$f^{\prime}(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે. વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = \begin{cases} [x], & -3 < x \leq -1 \\ |x|, & -1 < x < 1 \\ |[x]|, & 1 \leq x < 3 \end{cases}$ છે.
કિસ્સો $1$: $-3 < x \leq -1$ માટે,$f(x) = [x]$. કારણ કે $x \leq -1$,તેથી $[x] \leq -1$,એટલે કે $f(x) < 0$.
કિસ્સો $2$: $-1 < x < 1$ માટે,$f(x) = |x|$. નિરપેક્ષ મૂલ્ય હંમેશા અ-ઋણ હોવાથી,તમામ $x \in (-1, 1)$ માટે $f(x) \geq 0$ થાય.
કિસ્સો $3$: $1 \leq x < 3$ માટે,$f(x) = |[x]|$. મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેયનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય હંમેશા અ-ઋણ હોવાથી,તમામ $x \in [1, 3)$ માટે $f(x) \geq 0$ થાય.
કિસ્સો $2$ અને કિસ્સો $3$ ના અંતરાલોને જોડતા,આપણને $(-1, 1) \cup [1, 3) = (-1, 3)$ મળે છે.
આમ,ગણ $\{x : f(x) \geq 0\}$ એ $(-1, 3)$ છે.

(B) આપેલ વિધેય $f: N \rightarrow Z$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:
$f(n) = \begin{cases} 2 & \text{જો } n=3k, k \in Z \\ 10 & \text{જો } n=3k+1, k \in Z \\ 0 & \text{જો } n=3k+2, k \in Z \end{cases}$
આપણે $\{n \in N: f(n) > 2\}$ ગણ શોધવો છે.
વ્યાખ્યા જોતા,$f(n) > 2$ ત્યારે જ થાય જ્યારે $f(n) = 10$ હોય.
આ સ્થિતિ ત્યારે ઉદ્ભવે છે જ્યારે $n = 3k + 1$ હોય,જ્યાં $k \in Z$.
કારણ કે $n \in N$ (પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ),આપણે $k \geq 0$ લઈશું:
$k=0$ માટે,$n = 3(0) + 1 = 1$.
$k=1$ માટે,$n = 3(1) + 1 = 4$.
$k=2$ માટે,$n = 3(2) + 1 = 7$.
આમ,માંગેલ ગણ $\{1, 4, 7, \dots\}$ છે.

(C) આપેલ વિધેય $f: R \rightarrow R$ માટે $f(x)=3^{-x}$ છે.
$I$. એક-એક વિધેય માટે: ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$.
$3^{-x_1} = 3^{-x_2} \Rightarrow -x_1 = -x_2 \Rightarrow x_1 = x_2$.
આમ,$f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$ હોવાથી,વિધેય એક-એક છે.
$II$. વ્યાપ્ત વિધેય માટે: $f(x) = 3^{-x}$ નો વિસ્તાર $(0, \infty)$ છે,જે સહપ્રદેશ $R$ નો ઉપગણ છે. વિસ્તાર $\neq$ સહપ્રદેશ હોવાથી,વિધેય વ્યાપ્ત નથી.
$III$. ઘટતા વિધેય માટે: $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$f'(x) = -3^{-x} \ln 3$ મળે છે. $3^{-x} > 0$ અને $\ln 3 > 0$ હોવાથી,દરેક $x \in R$ માટે $f'(x) < 0$ થાય છે. તેથી,વિધેય ઘટતું વિધેય છે.
આમ,વિધાન $I$ અને $III$ સાચા છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^y = e^{x-y}$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા:
$\ln(x^y) = \ln(e^{x-y})$
$y \ln x = x - y$
$y$ ને કર્તા બનાવવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$y \ln x + y = x$
$y(1 + \ln x) = x$
$y = \frac{x}{1 + \ln x}$
હવે,ભાગાકારના નિયમ $\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{v u' - u v'}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
ધારો કે $u = x$ અને $v = 1 + \ln x$,તેથી $u' = 1$ અને $v' = \frac{1}{x}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{(1 + \ln x)(1) - x(\frac{1}{x})}{(1 + \ln x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1 + \ln x - 1}{(1 + \ln x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\ln x}{(1 + \ln x)^2}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) વક્રનું આપેલ સમીકરણ $y = 4 - 2x^2$ છે.
બંને બાજુ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dt} = -4x \frac{dx}{dt}$.
અહીં આપેલ છે કે $x$-યામ $5 \text{ units/s}$ ના દરે ઘટે છે,તેથી $\frac{dx}{dt} = -5 \text{ units/s}$.
બિંદુ $(1, 2)$ પર,$x = 1$ છે.
આ કિંમતોને વિકલનના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dy}{dt} = -4(1)(-5) = 20 \text{ units/s}$.
આમ,$y$-યામ $20 \text{ units/s}$ ના દરે બદલાઈ રહ્યો છે.

(C) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $y = x^2 + 2x$ છે.
કણના $x$ અને $y$ યામ સમાન દરે બદલાતા હોવાથી,આપણી પાસે $\frac{dy}{dt} = \frac{dx}{dt}$ છે.
વક્રના સમીકરણનું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dt} = (2x + 2) \frac{dx}{dt}$.
$\frac{dy}{dt} = \frac{dx}{dt}$ મૂકતા:
$\frac{dx}{dt} = (2x + 2) \frac{dx}{dt}$.
જો $\frac{dx}{dt} \neq 0$ હોય,તો બંને બાજુ $\frac{dx}{dt}$ વડે ભાગતા:
$1 = 2x + 2$
$2x = -1$
$x = -\frac{1}{2}$.
હવે,$y$ શોધવા માટે $x = -\frac{1}{2}$ ને વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 2\left(-\frac{1}{2}\right)$
$y = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$.
તેથી,માંગેલ બિંદુ $\left(-\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}\right)$ છે.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{\sqrt{\cot x}}{\sin x \cos x} d x$.
અંશ અને છેદને $\cos^2 x$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{\sqrt{\cot x}}{\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x}} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} d x = \int \frac{\sqrt{\cot x}}{\tan x} \sec^2 x d x$.
$\frac{1}{\tan x} = \cot x$ હોવાથી,$I = \int \sqrt{\cot x} \cdot \cot x \cdot \sec^2 x d x = \int (\cot x)^{3/2} \sec^2 x d x$.
વૈકલ્પિક રીતે,$t = \cot x$ લેતા,$dt = -\csc^2 x d x$,તેથી $dx = -\sin^2 x dt$.
$I = \int \frac{\sqrt{t}}{\sin x \cos x} (- \sin^2 x) dt = \int \frac{\sqrt{t}}{\cot^{-1} t} (-dt) = \int \frac{\sqrt{t}}{t} (-dt) = -\int t^{-1/2} dt$.
$I = -[2 t^{1/2}] + c = -2 \sqrt{\cot x} + c$.
$-f(x) + c$ સાથે સરખાવતા,$-f(x) = -2 \sqrt{\cot x}$,તેથી $f(x) = 2 \sqrt{\cot x}$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{d x}{(x+100) \sqrt{x+99}}$.
આપણે છેદને $(x+99)+1$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ,તેથી $I = \int \frac{d x}{((\sqrt{x+99})^2+1) \sqrt{x+99}}$.
$t = \sqrt{x+99}$ આદેશ લેતા,તેથી $t^2 = x+99$,જેનો અર્થ થાય છે કે $2t \, dt = dx$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{2t \, dt}{(t^2+1)t} = \int \frac{2 \, dt}{t^2+1}$.
સંકલન કરતા,આપણને $I = 2 \tan^{-1}(t) + c$ મળે છે.
$t = \sqrt{x+99}$ પાછું મૂકતા,આપણને $I = 2 \tan^{-1}(\sqrt{x+99}) + c$ મળે છે.
આને $f(x) + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f(x) = 2 \tan^{-1}(\sqrt{x+99})$ મળે છે.

(A) આપેલ સંકલન $I = \int \frac{3-x^2}{1-2x+x^2} e^x dx$ છે.
છેદને $(1-x)^2$ તરીકે લખી શકાય છે.
તેથી,$I = \int \frac{3-x^2}{(1-x)^2} e^x dx$.
અંશને $f(x) + f'(x)$ સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$I = \int \frac{-(x^2-1) + 2}{(1-x)^2} e^x dx = \int \frac{-(x-1)(x+1) + 2}{(x-1)^2} e^x dx$
$I = \int \left( \frac{-(x+1)}{x-1} + \frac{2}{(x-1)^2} \right) e^x dx = \int \left( \frac{x+1}{1-x} + \frac{2}{(1-x)^2} \right) e^x dx$.
ધારો કે $f(x) = \frac{1+x}{1-x}$. તો $f'(x) = \frac{(1)(1-x) - (1+x)(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1-x+1+x}{(1-x)^2} = \frac{2}{(1-x)^2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\int (f(x) + f'(x)) e^x dx = e^x f(x) + c$,તેથી $I = e^x \left( \frac{1+x}{1-x} \right) + c$.
આને $e^x f(x) + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f(x) = \frac{1+x}{1-x}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે,$f(x) = \frac{1}{x^2} \int_3^x (2t - 3f'(t)) dt$.
બંને બાજુ $x^2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $x^2 f(x) = \int_3^x (2t - 3f'(t)) dt$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા (ડાબી બાજુ ગુણાકારનો નિયમ અને જમણી બાજુ કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા):
$x^2 f'(x) + 2x f(x) = 2x - 3f'(x)$.
પદોને ગોઠવતા: $f'(x)(x^2 + 3) = 2x - 2x f(x)$.
$x = 3$ આગળ,નોંધો કે $f(3) = \frac{1}{3^2} \int_3^3 (2t - 3f'(t)) dt = 0$.
વિકલિત સમીકરણમાં $x = 3$ મૂકતા:
$f'(3)(3^2 + 3) = 2(3) - 2(3) f(3)$.
$f'(3)(9 + 3) = 6 - 6(0)$.
$12 f'(3) = 6$.
$f'(3) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

(C) વિધાન $A$ માટે:
આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y = x^2$ છે.
આને પ્રમાણિત સુરેખ સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $P(x) = 1$ મળે છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int 1 dx} = e^x$ દ્વારા મળે છે.
આમ,વિધાન $A$ સાચું છે.
વિધાન $R$ માટે:
સુરેખ વિકલ સમીકરણનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $e^{\int P(x) dx}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
આમ,વિધાન $R$ સાચું છે.
વિધાન $A$ એ વિધાન $R$ માં આપેલા સૂત્ર પરથી સીધું તારવેલું હોવાથી,$R \Rightarrow A$ સાચું છે.
તેથી,બંને વિધાનો સાચા છે અને $R$ એ $A$ માટેની સાચી સમજૂતી છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left(x+2 y^3\right) \frac{d y}{d x}=y^2$ છે.
સમીકરણને $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$\frac{dx}{dy} = \frac{x+2y^3}{y^2} = \frac{x}{y^2} + 2y$
$\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y^2}x = 2y$
અહીં,$P(y) = -\frac{1}{y^2}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ નું સૂત્ર $e^{\int P(y) dy}$ છે.
$IF = e^{\int -\frac{1}{y^2} dy} = e^{\int -y^{-2} dy} = e^{-(-y^{-1})} = e^{\frac{1}{y}}$.

(A) અમને પદાવલિ $c \cdot ((b+c) \times (a+b+c))$ આપેલ છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટના વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$(b+c) \times (a+b+c) = b \times a + b \times b + b \times c + c \times a + c \times b + c \times c$
કોઈપણ સદિશનો તેની પોતાની સાથેનો ક્રોસ પ્રોડક્ટ શૂન્ય હોવાથી ($b \times b = 0$ અને $c \times c = 0$),પદાવલિ નીચે મુજબ સરળ બને છે:
$b \times a + b \times c + c \times a + c \times b$
હવે,$c$ સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ લેતા:
$c \cdot (b \times a + b \times c + c \times a + c \times b)$
$= c \cdot (b \times a) + c \cdot (b \times c) + c \cdot (c \times a) + c \cdot (c \times b)$
સ્કેલર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટ $[x \ y \ z] = x \cdot (y \times z)$ ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં જો કોઈપણ બે સદિશ સમાન હોય તો ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે:
$= [c \ b \ a] + [c \ b \ c] + [c \ c \ a] + [c \ c \ b]$
$= [c \ b \ a] + 0 + 0 + 0$
$= c \cdot (b \times a)$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણો:
$l+m+n=0 \quad \dots(i)$
$mn-2ln+lm=0 \quad \dots(ii)$
$(i)$ પરથી,$l = -(m+n)$. આ કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$mn - 2n(-(m+n)) + m(-(m+n)) = 0$
$mn + 2mn + 2n^2 - m^2 - mn = 0$
$2n^2 + 2mn - m^2 = 0$
$m^2$ વડે ભાગતા,$2(\frac{n}{m})^2 + 2(\frac{n}{m}) - 1 = 0$ મળે. ધારો કે બીજ $\frac{n_1}{m_1}$ અને $\frac{n_2}{m_2}$ છે.
તેથી $\frac{n_1 n_2}{m_1 m_2} = -\frac{1}{2} \implies n_1 n_2 = -\frac{1}{2} m_1 m_2 \quad \dots(iii)$
તે જ રીતે,$(i)$ પરથી,$m = -(l+n)$. $(ii)$ માં મૂકતા:
$n(-(l+n)) - 2ln + l(-(l+n)) = 0$
$-ln - n^2 - 2ln - l^2 - ln = 0$
$l^2 + 4ln + n^2 = 0$
$n^2$ વડે ભાગતા,$(\frac{l}{n})^2 + 4(\frac{l}{n}) + 1 = 0$ મળે. ધારો કે બીજ $\frac{l_1}{n_1}$ અને $\frac{l_2}{n_2}$ છે.
તેથી $\frac{l_1 l_2}{n_1 n_2} = 1 \implies l_1 l_2 = n_1 n_2 \quad \dots(iv)$
$(iii)$ અને $(iv)$ પરથી,$l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = 0$ થાય છે. તેથી,રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(C) ધારો કે $H$ એ છાપ અને $T$ એ કાંટો દર્શાવે છે. દરેક $H$ માટે,$+2$ પોઈન્ટ મળે છે અને દરેક $T$ માટે,$-1$ પોઈન્ટ ગુમાવે છે.
જ્યારે ત્રણ સિક્કા ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે છાપ $(n_H)$ અને કાંટા $(n_T)$ ની સંખ્યા માટેના શક્ય પરિણામો નીચે મુજબ છે:
$1$. ત્રણ કાંટા $(0H, 3T)$: સ્કોર $X = 0(2) + 3(-1) = -3$.
$2$. બે કાંટા અને એક છાપ $(1H, 2T)$: સ્કોર $X = 1(2) + 2(-1) = 2 - 2 = 0$.
$3$. એક કાંટો અને બે છાપ $(2H, 1T)$: સ્કોર $X = 2(2) + 1(-1) = 4 - 1 = 3$.
$4$. ત્રણ છાપ $(3H, 0T)$: સ્કોર $X = 3(2) + 0(-1) = 6$.
આમ,કુલ સ્કોર $X$ માટેના શક્ય મૂલ્યો $\{-3, 0, 3, 6\}$ છે.
તેથી,$X$ નો વિસ્તાર $\{-3, 0, 3, 6\}$ છે.

(C) આપેલ છે કે,$P(E) = 1/5$ અને $P(F|E) = 1/10$.
આપણે જાણીએ છીએ કે બંને ઘટનાઓ ઉદ્ભવવાની સંભાવના $P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F|E)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $P(E \cap F) = (1/5) \cdot (1/10) = 1/50$ મળે છે.
ઘટનાઓ $E$ અને $F$ પૈકી ઓછામાં ઓછી એક ઘટના ન ઉદ્ભવે તેની સંભાવના એ બંને ઘટનાઓ $E$ અને $F$ ઉદ્ભવે તે ઘટનાની પૂરક ઘટના છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $1 - P(E \cap F)$ છે.
આની ગણતરી કરતા,આપણને $1 - 1/50 = 49/50$ મળે છે.

(A) ધારો કે $H$ એ છાપ અને $T$ એ કાંટો દર્શાવે છે. મળતા પોઈન્ટ $H$ માટે $2$ અને $T$ માટે $1$ છે.
જ્યારે ત્રણ સિક્કા ઉછાળવામાં આવે,ત્યારે ધારો કે $n_H$ એ છાપની સંખ્યા છે અને $n_T$ એ કાંટાની સંખ્યા છે.
કુલ પોઈન્ટ $S = 2n_H + 1n_T$.
$n_H + n_T = 3$ હોવાથી,$n_T = 3 - n_H$ મળે.
આ કિંમત મૂકતા,$S = 2n_H + (3 - n_H) = n_H + 3$.
$S$ એકી સંખ્યા હોય તે માટે $n_H + 3$ એકી હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $n_H$ બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ.
$n_H$ ની શક્ય કિંમતો $0$ અને $2$ છે.
કિસ્સો $1$: $n_H = 0$ (બધા કાંટા). સંભાવના $\binom{3}{0} (\frac{1}{2})^0 (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$ છે.
કિસ્સો $2$: $n_H = 2$ (બે છાપ,એક કાંટો). સંભાવના $\binom{3}{2} (\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{2})^1 = 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$ છે.
કુલ સંભાવના $\frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ થાય.

(C) પોઈસન વિતરણ માટે,સંભાવના દળ વિધેય $P(X=x) = \frac{e^{-m} m^x}{x!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ પ્રાચલ (મધ્યક અને વિચરણ) છે.
આપેલ છે કે $P(X=0) = 0.8$.
સૂત્રમાં $x=0$ મૂકતા:
$P(X=0) = \frac{e^{-m} m^0}{0!} = e^{-m} = 0.8$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$-m = \ln(0.8) = \ln(\frac{8}{10}) = \ln(\frac{4}{5})$.
તેથી,$m = -\ln(\frac{4}{5}) = \ln((\frac{4}{5})^{-1}) = \ln(\frac{5}{4}) = \ln(1.25)$.
પોઈસન વિતરણનું વિચરણ તેના પ્રાચલ $m$ જેટલું હોવાથી,વિચરણ $\ln(1.25)$ અથવા $\log _e 1.25$ થાય.