TS EAMCET 2004 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) द्रव्यमान केंद्र का वेग $(v_{CM})$ इस प्रकार दिया जाता है:
$v_{CM} = \frac{m_1 \overrightarrow{v}_1 + m_2 \overrightarrow{v}_2}{m_1 + m_2} = \frac{\overrightarrow{v}_1 + \overrightarrow{v}_2}{2}$ (चूंकि $m_1 = m_2 = m$)।
$v_{CM} = \frac{4 \hat{i} + 4 \hat{j}}{2} = (2 \hat{i} + 2 \hat{j}) \text{ ms}^{-1}$।
द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $(a_{CM})$ इस प्रकार दिया जाता है:
$a_{CM} = \frac{m_1 \overrightarrow{a}_1 + m_2 \overrightarrow{a}_2}{m_1 + m_2} = \frac{\overrightarrow{a}_1 + 0}{2} = \frac{5 \hat{i} + 5 \hat{j}}{2} = (2.5 \hat{i} + 2.5 \hat{j}) \text{ ms}^{-2}$।
चूंकि त्वरण सदिश $\overrightarrow{a}_{CM}$ स्थिर है,द्रव्यमान केंद्र स्थिर त्वरण के साथ गति करता है।
चूंकि प्रारंभिक वेग $\overrightarrow{v}_{CM}$ और त्वरण $\overrightarrow{a}_{CM}$ समानांतर हैं (दोनों $\hat{i} + \hat{j}$ की दिशा में हैं),इसलिए द्रव्यमान केंद्र का पथ एक सीधी रेखा होगा।

(D) कथन $A$ गलत है। जब कोई व्यक्ति चलता है,तो वह अपने पैर से जमीन को पीछे की ओर धकेलता है। न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार,जमीन व्यक्ति पर आगे की दिशा में समान और विपरीत बल लगाती है। यह स्थैतिक घर्षण बल ही व्यक्ति को आगे बढ़ाता है।
कथन $B$ सही है। साइकिल के अगले पहिये के लिए (जो चेन द्वारा संचालित नहीं होता है),जमीन लुढ़कने की गति का विरोध करने के लिए पीछे की दिशा में घर्षण बल लगाती है,जो पहिये को धीमा करता है या जमीन के सापेक्ष उसकी गति की स्थिति को बनाए रखता है।

(A) दिया गया है: $m_1 = 2 \,kg$, $v_1 = 24 \,ms^{-1}$, $m_2 = 4 \,kg$, $v_2 = -48 \,ms^{-1}$ (विपरीत दिशा), $e = 2/3$।
टक्कर के बाद अंतिम वेग के लिए सूत्र का उपयोग करते हुए:
$v_1' = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2 + e m_2 (v_2 - v_1)}{m_1 + m_2}$
$v_1' = \frac{(2)(24) + (4)(-48) + (2/3)(4)(-48 - 24)}{2 + 4}$
$v_1' = \frac{48 - 192 + (8/3)(-72)}{6} = \frac{-144 - 192}{6} = \frac{-336}{6} = -56 \,ms^{-1}$।
संवेग संरक्षण या प्रत्यावस्थान समीकरण $v_2' - v_1' = e(v_1 - v_2)$ का उपयोग करते हुए:
$v_2' - (-56) = (2/3)(24 - (-48))$
$v_2' + 56 = (2/3)(72) = 48$
$v_2' = 48 - 56 = -8 \,ms^{-1}$।

(B) मान लीजिए कि दो कणों के स्थिति सदिश $\vec{r}_1 = 4\hat{i} + 4\hat{j} + 57\hat{k}$ और $\vec{r}_2 = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}$ हैं।
कणों के $t = 10 \ s$ पर टकराने के लिए,उस क्षण पर उनकी स्थिति समान होनी चाहिए: $\vec{r}_1 + \vec{v}_1 t = \vec{r}_2 + \vec{v}_2 t$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(4\hat{i} + 4\hat{j} + 57\hat{k}) + (0.4\hat{i})(10) = (2\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}) + \vec{v}_2(10)$.
प्रश्न में दिए गए समाधान के तर्क के अनुसार,यदि हम पहले सदिश को $4\hat{i} - 4\hat{j} + 7\hat{k}$ मानते हैं:
$10\vec{v}_2 = (4\hat{i} - 4\hat{j} + 7\hat{k} + 4\hat{i}) - (2\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}) = 6\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{v}_2 = 0.6(\hat{i} - \hat{j} + \frac{1}{3}\hat{k}) \ ms^{-1}$.

(D) ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,पृथ्वी की सतह पर कुल ऊर्जा और अनंत दूरी पर कुल ऊर्जा समान होनी चाहिए।
मान लीजिए पिंड का द्रव्यमान $m$ है और पृथ्वी का द्रव्यमान $M$ है।
सतह पर: $E_i = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_e^2$ (क्योंकि $v_e^2 = \frac{2GM}{R}$)।
अनंत दूरी पर: $E_f = \frac{1}{2}mv'^2 - 0 = \frac{1}{2}mv'^2$।
$E_i = E_f$ को बराबर करने पर: $\frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_e^2 = \frac{1}{2}mv'^2$।
अतः,$v'^2 = v^2 - v_e^2$।
दिया गया है कि $v = \sqrt{5}v_e$,इसलिए $v'^2 = (\sqrt{5}v_e)^2 - v_e^2 = 5v_e^2 - v_e^2 = 4v_e^2$।
अतः,$v' = \sqrt{4v_e^2} = 2v_e$।

(B) टोरिसेली के नियम के अनुसार,$h$ गहराई पर स्थित छेद से बाहर निकलने वाले पानी का वेग $v = \sqrt{2gh}$ होता है।
$A$ क्षेत्रफल वाले छेद से बाहर निकलने वाली पानी की धारा द्वारा लगाया गया बल $F = \rho A v^2$ द्वारा दिया जाता है।
$h_1$ गहराई पर स्थित ऊपरी छेद के लिए बल $F_1 = \rho A (2gh_1)$ है।
$h_2 = h_1 + h$ गहराई पर स्थित निचले छेद के लिए,जहाँ $h = 1 \,m$ छेदों के बीच की ऊर्ध्वाधर दूरी है,बल $F_2 = \rho A (2g(h_1 + h))$ है।
चूंकि छेद विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए बल विपरीत दिशाओं में कार्य करते हैं। टैंक पर लगने वाला कुल बल $F_{net}$ इन बलों का अंतर है:
$F_{net} = F_2 - F_1 = \rho A (2g(h_1 + h)) - \rho A (2gh_1) = 2 \rho A g h$.
दिए गए मानों को रखने पर: $\rho = 1000 \,kg/m^3$,$A = 0.01 \,m^2$,$g = 10 \,m/s^2$,और $h = 1 \,m$:
$F_{net} = 2 \times 1000 \times 0.01 \times 10 \times 1 = 200 \,N$.

(B) $h$ गहराई पर हवा का बुलबुला बनाने के लिए आवश्यक कुल दबाव उस गहराई पर हाइड्रोस्टेटिक दबाव और बुलबुले की सतह पर पृष्ठ तनाव के कारण अतिरिक्त दबाव का योग है।
$1$. $h = 1 \ cm = 0.01 \ m$ गहराई पर हाइड्रोस्टेटिक दबाव $P_h = \rho g h = 10^3 \times 10 \times 0.01 = 100 \ N/m^2$ है।
$2$. $r = 0.025 \ cm = 2.5 \times 10^{-4} \ m$ त्रिज्या वाले बुलबुले के लिए पृष्ठ तनाव के कारण अतिरिक्त दबाव $P_s = \frac{2T}{r} = \frac{2 \times 7 \times 10^{-2}}{2.5 \times 10^{-4}} = \frac{14 \times 10^{-2}}{2.5 \times 10^{-4}} = 5.6 \times 10^2 = 560 \ N/m^2$ है।
$3$. कुल अतिरिक्त दबाव $P = P_h + P_s = 100 + 560 = 660 \ N/m^2$ है।
$4$. वैज्ञानिक संकेतन में बदलने पर: $660 \ N/m^2 = 0.0066 \times 10^5 \ N/m^2$।

(D) कर्तन प्रतिबल (shearing stress) $\tau$ को सूत्र $\tau = \eta \left( \frac{dv}{dx} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\eta = 10^{-3} \ SI \ units$ श्यानता गुणांक है।
वेग प्रवणता $\frac{dv}{dx}$ की गणना वेग $v$ को गहराई $x$ से विभाजित करके की जाती है।
दिया गया है $v = 10 \ ms^{-1}$ और $x = 20 \ m$,इसलिए $\frac{dv}{dx} = \frac{10}{20} = 0.5 \ s^{-1}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\tau = 10^{-3} \times 0.5 = 0.5 \times 10^{-3} \ Nm^{-2}$.

(B) यंग मापांक $Y$ को प्रतिबल और विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है: $Y = \frac{F/A}{\Delta L/L}$.
यहाँ,रिंग की प्रारंभिक लंबाई $L = 2 \pi r$ है।
जब इसे $R$ त्रिज्या तक खींचा जाता है,तो लंबाई में परिवर्तन $\Delta L = 2 \pi R - 2 \pi r = 2 \pi (R - r)$ होता है।
बल $F$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $F = \frac{Y A \Delta L}{L}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $F = \frac{Y A [2 \pi (R - r)]}{2 \pi r}$.
व्यंजक को सरल करने पर,हमें $F = \frac{A Y (R - r)}{r}$ प्राप्त होता है।

(A) क्षैतिज विस्थापन $x = (u \cos \theta) t = 6t$ द्वारा दिया गया है,जिसका अर्थ है $u \cos \theta = 6 \text{ m/s}$.
ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y = (u \sin \theta) t - \frac{1}{2} g t^2 = 8t - 5t^2$ द्वारा दिया गया है। इसे मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर,हमें $u \sin \theta = 8 \text{ m/s}$ और $\frac{1}{2} g = 5$ प्राप्त होता है,इसलिए $g = 10 \text{ m/s}^2$.
प्रक्षेप्य की परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2(u \sin \theta)(u \cos \theta)}{g}$ है।
मान रखने पर: $R = \frac{2 \times 8 \times 6}{10} = \frac{96}{10} = 9.6 \text{ m}$.

(C) एक सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $T^2 = 4 \pi^2 \left(\frac{l}{g}\right) \quad ...(i)$
जब लंबाई में $10 \ cm$ की वृद्धि की जाती है,तो नया आवर्तकाल $T_1$ इस प्रकार है: $T_1^2 = 4 \pi^2 \left(\frac{l+10}{g}\right) \quad ...(ii)$
जब लंबाई में $10 \ cm$ की कमी की जाती है,तो नया आवर्तकाल $T_2$ इस प्रकार है: $T_2^2 = 4 \pi^2 \left(\frac{l-10}{g}\right) \quad ...(iii)$
समीकरण $(ii)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$T_1^2 + T_2^2 = 4 \pi^2 \left(\frac{l+10}{g}\right) + 4 \pi^2 \left(\frac{l-10}{g}\right)$
$T_1^2 + T_2^2 = \frac{4 \pi^2}{g} (l + 10 + l - 10)$
$T_1^2 + T_2^2 = \frac{4 \pi^2}{g} (2l)$
$T_1^2 + T_2^2 = 2 \left(4 \pi^2 \frac{l}{g}\right)$
इसमें समीकरण $(i)$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$T_1^2 + T_2^2 = 2 T^2$

(D) ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} m R^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि द्रव्यमान $m$ स्थिर रहता है,इसलिए $I \propto R^2$ है।
जड़त्व आघूर्ण में भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{\Delta I}{I} = 2 \frac{\Delta R}{R}$ है।
हम जानते हैं कि रेखीय प्रसार $\frac{\Delta R}{R} = \alpha \Delta t$ है,जहाँ $\alpha = 10^{-5} /^{\circ} C$ और $\Delta t = 200^{\circ} C$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{\Delta I}{I} = 2 \alpha \Delta t$ प्राप्त होता है।
प्रतिशत वृद्धि ज्ञात करने के लिए,हम $100$ से गुणा करते हैं:
$\text{प्रतिशत वृद्धि} = 2 \times 10^{-5} \times 200 \times 100 = 0.4 \%$.

(B) माना वर्गाकार लैमिना का द्रव्यमान $m$ है। इसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और $X$-अक्ष के समानांतर अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm,x} = \frac{ma^2}{12}$ है।
समानांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(0, 2a)$ से गुजरने वाली और $X$-अक्ष के समानांतर अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण:
$I_1 = I_{cm,x} + m(2a)^2 = \frac{ma^2}{12} + 4ma^2 = \frac{49ma^2}{12}$.
वर्गाकार लैमिना के द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और $xy$-समतल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm,z} = I_{cm,x} + I_{cm,y} = \frac{ma^2}{12} + \frac{ma^2}{12} = \frac{ma^2}{6}$ है।
समानांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(d, 0)$ से गुजरने वाली और $xy$-समतल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण:
$I_2 = I_{cm,z} + md^2 = \frac{ma^2}{6} + md^2$.
$I_1$ और $I_2$ की तुलना करने पर:
$\frac{49ma^2}{12} = \frac{ma^2}{6} + md^2$.
$\frac{49a^2}{12} - \frac{2a^2}{12} = d^2$.
$d^2 = \frac{47a^2}{12}$.
$d = \sqrt{\frac{47}{12}} a$.

(B) औसत बल आघूर्ण $\tau_{avg}$ को कोणीय संवेग में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\tau_{avg} = \frac{\Delta L}{\Delta t}$.
प्रक्षेपण बिंदु पर,कोणीय संवेग $L_i = 0$ है।
टकराव के बिंदु पर,प्रक्षेप्य प्रक्षेपण बिंदु से $R$ (परास) की क्षैतिज दूरी पर होता है। ऊर्ध्वाधर वेग घटक $v_y = -u \sin \theta$ और क्षैतिज घटक $v_x = u \cos \theta$ है।
टकराव के बिंदु पर कोणीय संवेग $L_f = m \times v_y \times R = m(-u \sin \theta) \times \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = -\frac{m u^3 \sin \theta \sin 2\theta}{g}$ है।
वैकल्पिक रूप से,गुरुत्वाकर्षण के कारण बल आघूर्ण का उपयोग करते हुए: $\tau = \vec{r} \times \vec{F} = \vec{r} \times m\vec{g}$.
औसत बल आघूर्ण $\tau_{avg} = \frac{1}{T} \int_0^T \tau dt = \frac{1}{T} \int_0^T (mg \cdot x) dt = \frac{mg}{T} \int_0^T (u \cos \theta) t dt = \frac{mg u \cos \theta}{T} [\frac{t^2}{2}]_0^T = \frac{mg u \cos \theta T}{2}$.
चूंकि $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$,इसलिए $\tau_{avg} = \frac{mg u \cos \theta}{2} \times \frac{2u \sin \theta}{g} = m u^2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} m u^2 \sin 2\theta$.
मान रखने पर: $m = 1 \ kg$,$u = 10 \ ms^{-1}$,$\theta = 45^{\circ}$.
$\tau_{avg} = \frac{1}{2} \times 1 \times (10)^2 \times \sin(90^{\circ}) = \frac{1}{2} \times 100 \times 1 = 50 \ Nm$.

(A) एक थर्मोकपल दो अलग-अलग धातुओं के जंक्शन से बना होता है।
चूंकि जंक्शन बहुत छोटे होते हैं,इसलिए उनकी ऊष्मीय क्षमता (द्रव्यमान $\times$ विशिष्ट ऊष्मा) अत्यंत कम होती है।
ऊष्मीय क्षमता यह निर्धारित करती है कि किसी वस्तु का तापमान बदलने के लिए कितनी ऊष्मा की आवश्यकता होती है।
चूंकि ऊष्मीय क्षमता बहुत कम है,इसलिए जंक्शन आसपास के वातावरण के साथ तापीय संतुलन प्राप्त करने के लिए जल्दी से ऊष्मा प्राप्त या खो सकता है।
यह थर्मोकपल को तापमान में होने वाले परिवर्तनों के प्रति तेजी से प्रतिक्रिया करने की अनुमति देता है।
इसलिए,$(A)$ और $(R)$ दोनों सत्य हैं,और $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।

(C) वस्तु के शीतलन की दर का सूत्र है: $\frac{d\theta}{dt} = \frac{\sigma A(T^4 - T_0^4)}{ms}$.
यहाँ,$\sigma = 5.73 \times 10^{-8} \ W \ m^{-2} \ K^{-4}$,$A = 19.2 \times 10^{-4} \ m^2$,$T = 400 \ K$,$T_0 = 300 \ K$,$m = 34.38 \times 10^{-3} \ kg$,और $\frac{d\theta}{dt} = 0.04 \ K/s$.
विशिष्ट ऊष्मा $s$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $s = \frac{\sigma A(T^4 - T_0^4)}{m(\frac{d\theta}{dt})}$.
मान रखने पर: $s = \frac{(5.73 \times 10^{-8}) \times (19.2 \times 10^{-4}) \times (400^4 - 300^4)}{(34.38 \times 10^{-3}) \times 0.04}$.
गणना करने पर: $s = \frac{5.73 \times 19.2 \times 10^{-12} \times 175 \times 10^8}{1.3752 \times 10^{-3}}$.
अतः,$s = 1400 \ J \ kg^{-1} \ K^{-1}$ प्राप्त होता है।

(D) आदर्श गैस मिश्रण के लिए, अंतिम तापमान $T$ आंतरिक ऊर्जा के संरक्षण के नियम द्वारा प्राप्त किया जाता है। चूंकि दोनों गैसें एकपरमाणुक हैं, इसलिए स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V$ दोनों के लिए समान होगी।
अंतिम तापमान का सूत्र है:
$T = \frac{n_1 T_1 + n_2 T_2}{n_1 + n_2}$
दिया गया है:
$n_1 = 4 \,mol$, $T_1 = 400 \,K$
$n_2 = 2 \,mol$, $T_2 = 700 \,K$
मान रखने पर:
$T = \frac{4(400) + 2(700)}{4 + 2}$
$T = \frac{1600 + 1400}{6}$
$T = \frac{3000}{6}$
$T = 500 \,K$

(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब $P$ और घनत्व $\rho$ (या $d$) के बीच का संबंध $P \propto \rho^\gamma$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$\frac{P^{\prime}}{P} = \left(\frac{d^{\prime}}{d}\right)^\gamma$.
दिया गया है कि $\frac{d^{\prime}}{d} = 32$ और $\gamma = \frac{7}{5}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{P^{\prime}}{P} = (32)^{7/5}$.
चूंकि $32 = 2^5$,इसलिए $\frac{P^{\prime}}{P} = (2^5)^{7/5} = 2^7$.
$2^7 = 128$ की गणना करने पर।
अतः,अनुपात $\frac{P^{\prime}}{P} = 128$ है।

(B) एक आदर्श गैस के लिए,दबाव $P$ को $P = \frac{nRT}{V} = \frac{m}{MV} RT$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ गैस का द्रव्यमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है।
पात्र $A$ के लिए,प्रारंभिक दबाव $P_{A,i} = \frac{m_A RT}{MV}$ है और अंतिम दबाव $P_{A,f} = \frac{m_A RT}{M(2V)}$ है।
दबाव में परिवर्तन $\Delta P = P_{A,i} - P_{A,f} = \frac{m_A RT}{MV} - \frac{m_A RT}{2MV} = \frac{m_A RT}{2MV}$ है।
इसी प्रकार,पात्र $B$ के लिए,दबाव में परिवर्तन $1.5 \Delta P = \frac{m_B RT}{2MV}$ है।
$1.5 \Delta P$ के व्यंजक को $\Delta P$ के व्यंजक से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1.5 \Delta P}{\Delta P} = \frac{m_B RT / 2MV}{m_A RT / 2MV} = \frac{m_B}{m_A}$.
अतः,$1.5 = \frac{m_B}{m_A}$,जिसका अर्थ है $\frac{3}{2} = \frac{m_B}{m_A}$,या $3 m_A = 2 m_B$।

(D) समीकरण $x(t) = \frac{v_0}{A}(1 - e^{-At})$ में,घातांकीय फलन का घातांक विमाहीन होना चाहिए। इसलिए,$At$ की विमाएँ $[M^0 L^0 T^0]$ होनी चाहिए।
चूँकि $[t] = [T]$,हमारे पास $[A][T] = [1]$ है,जिसका अर्थ है कि $[A] = [T^{-1}] = [M^0 L^0 T^{-1}]$।
आगे,पद $(1 - e^{-At})$ विमाहीन है। अतः,$x$ की विमाएँ $\frac{v_0}{A}$ की विमाओं के बराबर होनी चाहिए।
$[x] = \frac{[v_0]}{[A]} \implies [L] = \frac{[v_0]}{[T^{-1}]}$।
इसलिए,$[v_0] = [L][T^{-1}] = [M^0 LT^{-1}]$।
अतः,$v_0$ और $A$ की विमाएँ क्रमशः $[M^0 LT^{-1}]$ और $[M^0 L^0 T^{-1}]$ हैं।

(D) माना कि तीसरे स्वर की आवृत्ति $n$ है और ध्वनि का वेग $v$ है।
दोनों स्वरों की आवृत्तियाँ $n_1 = \frac{v}{\lambda_1} = \frac{v}{36/195} = \frac{195v}{36}$ और $n_2 = \frac{v}{\lambda_2} = \frac{v}{36/193} = \frac{193v}{36}$ हैं।
चूंकि प्रत्येक स्वर तीसरे स्वर के साथ प्रति सेकंड $10$ विस्पंद उत्पन्न करता है,इसलिए:
$\frac{195v}{36} - n = 10$ ---$(i)$
$n - \frac{193v}{36} = 10$ ---(ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$\frac{195v}{36} - \frac{193v}{36} = 10 + 10$
$\frac{2v}{36} = 20$
$\frac{v}{18} = 20$
$v = 360 \,m/s$.

(D) सोनोमीटर तार की आवृत्ति $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $f$ और $\mu$ स्थिर हैं,इसलिए $l \propto \sqrt{T}$ है।
अतः,$\frac{l_{\text{air}}}{l_{\text{water}}} = \sqrt{\frac{T_{\text{air}}}{T_{\text{water}}}}$.
हवा में तनाव $T_{\text{air}} = mg$ है। जब पानी में डुबोया जाता है,तो उत्प्लावन बल $F_B$ ऊपर की ओर कार्य करता है,इसलिए $T_{\text{water}} = mg - F_B$.
दिया गया विशिष्ट गुरुत्व $\sigma = 8$ है,अर्थात लोहे का घनत्व $\rho = 8 \rho_w$ है। उत्प्लावन बल $F_B = V \rho_w g = \frac{m}{\rho} \rho_w g = \frac{m}{8 \rho_w} \rho_w g = \frac{mg}{8}$ है।
इसलिए,$T_{\text{water}} = mg - \frac{mg}{8} = \frac{7}{8} mg = \frac{7}{8} T_{\text{air}}$.
इस मान को अनुपात में रखने पर: $\frac{l_{\text{air}}}{l_{\text{water}}} = \sqrt{\frac{T_{\text{air}}}{\frac{7}{8} T_{\text{air}}}} = \sqrt{\frac{8}{7}}$.
दिया गया है $l_{\text{air}} = \frac{1}{\sqrt{7}} \times 1 \ m = \frac{1}{\sqrt{7}} \ m$.
अतः $l_{\text{water}} = l_{\text{air}} \times \sqrt{\frac{7}{8}} = \frac{1}{\sqrt{7}} \times \sqrt{\frac{7}{8}} = \frac{1}{\sqrt{8}} \ m$.

(C) बल द्वारा ब्लॉक पर किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
चूंकि ब्लॉक $x = 0$ पर विरामावस्था से शुरू होता है,किसी भी स्थिति $x$ पर गतिज ऊर्जा $KE$,किए गए कार्य $W = \int_{0}^{x} F \, dx$ द्वारा दी जाती है।
$KE = \int_{0}^{x} (9 - x^2) \, dx = 9x - \frac{x^3}{3}$.
अधिकतम गतिज ऊर्जा ज्ञात करने के लिए,हम बल $F = 0$ रखते हैं ताकि वह संतुलन स्थिति मिल सके जहाँ त्वरण शून्य हो:
$9 - x^2 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = 3 \ m$.
$x = 3 \ m$ पर,गतिज ऊर्जा:
$KE_{max} = \int_{0}^{3} (9 - x^2) \, dx = [9x - \frac{x^3}{3}]_{0}^{3} = (9(3) - \frac{3^3}{3}) - 0 = 27 - 9 = 18 \ J$.

(C) $1$. एमिटर को कलेक्टर की तुलना में भारी रूप से डोप किया जाता है ताकि बड़ी संख्या में आवेश वाहक प्रदान किए जा सकें। यह कथन सही है।
$2$. एमिटर और कलेक्टर को आपस में बदला नहीं जा सकता क्योंकि उन्हें डोपिंग सांद्रता और भौतिक आकार के संदर्भ में अलग तरह से डिज़ाइन किया गया है। यह कथन गलत है।
$3$. आधार (बेस) क्षेत्र बहुत पतला होता है लेकिन आवेश वाहकों के पुनर्संयोजन को कम करने के लिए इसे हल्के से डोप किया जाता है। यह कथन गलत है।
$4$. $n-p-n$ ट्रांजिस्टर में,पारंपरिक धारा आधार से एमिटर की ओर बहती है (क्योंकि इलेक्ट्रॉन एमिटर से आधार की ओर बहते हैं)। यह कथन सही है।
अतः,कथन $1$ और $4$ सही हैं।

(C) हवा वाले समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ होती है।
जब $t$ मोटाई और $K$ परावैद्युतांक वाली एक परावैद्युत स्लैब डाली जाती है,तो नई धारिता $C' = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$ हो जाती है।
चूंकि विभवांतर $V$ समान रखा जाता है और आवेश $Q$ स्थिर रहता है,इसलिए धारिता समान रहनी चाहिए: $C = C'$।
अतः,$\frac{\varepsilon_0 A}{d} = \frac{\varepsilon_0 A}{d' - t + \frac{t}{K}}$,जहाँ $d'$ प्लेटों के बीच की नई दूरी है।
यह समीकरण $d = d' - t + \frac{t}{K}$ या $d' - d = t(1 - \frac{1}{K})$ में सरल हो जाता है।
यहाँ $d' - d = 3.2 \ mm$ और $t = 4 \ mm$ दिया गया है,इसलिए:
$3.2 = 4(1 - \frac{1}{K})$
$\frac{3.2}{4} = 1 - \frac{1}{K}$
$0.8 = 1 - \frac{1}{K}$
$\frac{1}{K} = 1 - 0.8 = 0.2$
$K = \frac{1}{0.2} = 5$।

(A) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{A}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि सभी तारों के आयाम समान हैं ($L$ और $A$ स्थिर हैं),प्रतिरोध $R$ प्रतिरोधकता $\rho$ के सीधे आनुपातिक है।
जब $n$ तार श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं,तो कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R_1 + R_2 + . . . + R_n$ होता है।
$R = \rho \frac{L}{A}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\rho_{eq} \frac{L}{A} = \rho_1 \frac{L}{A} + \rho_2 \frac{L}{A} + . . . + \rho_n \frac{L}{A}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $\frac{L}{A}$ को हटाने पर,$\rho_{eq} = \rho_1 + \rho_2 + . . . + \rho_n$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\rho_1 = 1, \rho_2 = 2, . . . , \rho_n = n$ दिया गया है,इसलिए तुल्य प्रतिरोधकता $\rho_{eq} = 1 + 2 + 3 + . . . + n$ है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र का उपयोग करने पर,$\rho_{eq} = \frac{n(n+1)}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) पोटेंशियोमीटर में,सेल का emf $E$ उसकी संतुलन लंबाई $l$ के सीधे आनुपातिक होता है,अर्थात $E \propto l$।
इसलिए,$l_1$ और $l_2$ संतुलन लंबाई वाले दो सेलों $E_1$ और $E_2$ के लिए,हमारे पास संबंध है: $\frac{E_1}{E_2} = \frac{l_1}{l_2}$।
दिया गया है: $E_A = 1.08 \ V$,$l_A = 400 \ cm$,और $l_B = 440 \ cm$।
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{1.08}{E_B} = \frac{400}{440}$
$E_B = \frac{440 \times 1.08}{400}$
$E_B = 1.1 \times 1.08 = 1.188 \ V$।
अतः,दूसरे सेल $B$ का emf $1.188 \ V$ है।

(C) आइंस्टीन का प्रकाश-विद्युत समीकरण इस प्रकार है:
$h \nu = h \nu_0 + K_{max}$
चूंकि निरोधी विभव (stopping potential) $V_0 = 3 \ V$ है,इसलिए अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = e V_0 = 1.6 \times 10^{-19} \times 3 \ J$ है।
देहली आवृत्ति (threshold frequency) $\nu_0 = 6 \times 10^{14} \ s^{-1}$ है।
संबंध $h \nu = h \nu_0 + e V_0$ का उपयोग करते हुए:
$\nu = \nu_0 + \frac{e V_0}{h}$
$\nu = 6 \times 10^{14} + \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 3}{6.4 \times 10^{-34}}$
$\nu = 6 \times 10^{14} + \frac{4.8 \times 10^{-19}}{6.4 \times 10^{-34}}$
$\nu = 6 \times 10^{14} + 0.75 \times 10^{15}$
$\nu = 6 \times 10^{14} + 7.5 \times 10^{14} = 13.5 \times 10^{14} \ s^{-1}$.

(D) $K_\alpha$ रेखा की तरंगदैर्ध्य,जिसे $\lambda_{K_\alpha}$ के रूप में दर्शाया गया है,स्थिर है और ऑपरेटिंग वोल्टेज $V$ से स्वतंत्र है।
निरंतर $X$-ray स्पेक्ट्रम की न्यूनतम तरंगदैर्ध्य $\lambda_{min} = \frac{hc}{eV}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $\Delta \lambda = \lambda_{min} - \lambda_{K_\alpha} = \frac{hc}{eV} - \lambda_{K_\alpha}$।
जब वोल्टेज को बदलकर $V^{\prime} = V/3$ कर दिया जाता है,तो नई न्यूनतम तरंगदैर्ध्य $\lambda_{min}^{\prime} = \frac{hc}{e(V/3)} = 3 \frac{hc}{eV} = 3 \lambda_{min}$ होती है।
नया अंतर $\Delta \lambda^{\prime} = \lambda_{min}^{\prime} - \lambda_{K_\alpha} = 3 \lambda_{min} - \lambda_{K_\alpha}$ है।
चूंकि $\lambda_{min} = \Delta \lambda + \lambda_{K_\alpha}$,हम इसे $\Delta \lambda^{\prime}$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\Delta \lambda^{\prime} = 3(\Delta \lambda + \lambda_{K_\alpha}) - \lambda_{K_\alpha} = 3 \Delta \lambda + 3 \lambda_{K_\alpha} - \lambda_{K_\alpha} = 3 \Delta \lambda + 2 \lambda_{K_\alpha}$।
चूंकि $\lambda_{K_\alpha} > 0$,इसलिए $\Delta \lambda^{\prime} > 3 \Delta \lambda$ होता है। अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) आवेशों के निकाय की स्थितिज ऊर्जा $U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभ में,भुजा की लंबाई $r_1 = 1 \ m$ है। स्थितिज ऊर्जा $U_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} [\frac{(1)(-2)}{1} + \frac{(-2)(-2)}{1} + \frac{(-2)(1)}{1}] = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} [-2 + 4 - 2] = 0$ है।
अंत में,भुजा की लंबाई $r_2 = 2 \ m$ है। स्थितिज ऊर्जा $U_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} [\frac{(1)(-2)}{2} + \frac{(-2)(-2)}{2} + \frac{(-2)(1)}{2}] = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} [-1 + 2 - 1] = 0$ है।
बाहरी बल द्वारा किया गया कार्य $W = U_2 - U_1 = 0 - 0 = 0 \ J$ है।

(C) $n$ फेरों और $R$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर $i$ धारा के कारण चुंबकीय प्रेरण $B = \frac{\mu_0 n i}{2 R}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $B \propto \frac{n}{R}$,इसलिए $\frac{B_1}{B_2} = \frac{n_1}{n_2} \times \frac{R_2}{R_1}$ होगा।
पहली कुंडली के लिए,$n_1 = 1$ और लंबाई $l = 2 \pi R_1$,इसलिए $R_1 = \frac{l}{2 \pi}$।
दूसरी कुंडली के लिए,$n_2 = 2$ और लंबाई $l = 2 \times (2 \pi R_2)$,इसलिए $R_2 = \frac{l}{4 \pi}$।
अतः,$\frac{R_2}{R_1} = \frac{l / 4 \pi}{l / 2 \pi} = \frac{1}{2}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{B_1}{B_2} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$।
इसलिए,अनुपात $B_1: B_2 = 1: 4$ है।

(B) $n$ फेरों और $r$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय प्रेरण $B$ इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 n i}{2r}$
इससे, धारा $i$ को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
$i = \frac{2 B r}{\mu_0 n}$
लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M$ इस प्रकार परिभाषित है:
$M = n i A$
$i$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$M = n \left( \frac{2 B r}{\mu_0 n} \right) A = \frac{2 B r A}{\mu_0}$
दिया गया क्षेत्रफल $A = \pi \ m^2$, हम जानते हैं कि $A = \pi r^2$, इसलिए $\pi r^2 = \pi$, जिसका अर्थ है $r = 1 \ m$।
मान $B = 0.1 \ T$, $r = 1 \ m$, और $A = \pi \ m^2$ रखने पर:
$M = \frac{2 \times 0.1 \times 1 \times \pi}{\mu_0} = \frac{0.2 \pi}{\mu_0}$

(B) कंपन चुंबकत्वमापी की दोलन आवृत्ति $n$,$n = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{M H}{I}}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $n \propto \sqrt{B_{net}}$।
प्रथम स्थिति में,शुद्ध चुंबकीय क्षेत्र $H$ है। अतः,$n_1 = 12 \propto \sqrt{H}$।
दूसरी स्थिति में,छड़ चुंबक को अक्ष पर रखा जाता है,इसलिए शुद्ध क्षेत्र $H + H_1$ है। अतः,$n_2 = 15 \propto \sqrt{H + H_1}$।
अनुपात लेने पर: $\frac{15}{12} = \sqrt{\frac{H + H_1}{H}} \Rightarrow \frac{5}{4} = \sqrt{1 + \frac{H_1}{H}} \Rightarrow \frac{25}{16} = 1 + \frac{H_1}{H} \Rightarrow \frac{H_1}{H} = \frac{9}{16}$।
जब ध्रुवों को आपस में बदल दिया जाता है,तो क्षेत्र $H - H_1$ हो जाता है। मान लीजिए नई आवृत्ति $n_3$ है।
$\frac{n_3}{n_1} = \sqrt{\frac{H - H_1}{H}} = \sqrt{1 - \frac{H_1}{H}} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$।
अतः,$n_3 = 12 \times \frac{\sqrt{7}}{4} = 3 \sqrt{7} = \sqrt{9 \times 7} = \sqrt{63}$ दोलन प्रति मिनट।

(D) चुंबकीय प्रेरण $B$,चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $H$ और सापेक्ष पारगम्यता $\mu_r$ के बीच संबंध $B = \mu H = \mu_r \mu_0 H$ है।
यहाँ,$B = 1 \ Wb \ m^{-2}$ और $H = 150 \ A \ m^{-1}$ दिया गया है।
$\mu_r$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$\mu_r = \frac{B}{\mu_0 H}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\mu_r = \frac{1}{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 150}$
$\mu_r = \frac{1}{600 \pi \times 10^{-7}}$
$\mu_r = \frac{10^7}{600 \pi} = \frac{10^5}{6 \pi}$.

(C) नाभिकीय घनत्व द्रव्यमान संख्या से स्वतंत्र होता है और सभी नाभिकों के लिए लगभग स्थिर रहता है,जिसका मान लगभग $\rho \approx 2.3 \times 10^{17} \ kg/m^3$ होता है। अतः,कथन $A$ सत्य है।
नाभिक की त्रिज्या $R$ और द्रव्यमान संख्या $A$ के बीच का संबंध $R = R_0 A^{1/3}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R_0$ एक स्थिरांक है। इसका अर्थ है कि $R^3 \propto A$,या $R \propto A^{1/3}$।
दिया गया कथन $B$ है $\sqrt{A} \propto R^{1/6}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर हमें $A \propto R^{1/3}$ प्राप्त होता है,जो स्थापित संबंध $R \propto A^{1/3}$ (या $A \propto R^3$) के विपरीत है। इसलिए,कथन $B$ असत्य है।
अतः,$A$ सत्य है और $B$ असत्य है।

(A) ऑप्टिकल फाइबर का उपयोग आधुनिक संचार प्रणालियों में व्यापक रूप से किया जाता है क्योंकि वे उच्च बैंडविड्थ और कम सिग्नल हानि प्रदान करते हैं।
वे आकार में छोटे,हल्के और लचीले होते हैं,जिससे उन्हें स्थापित करना आसान होता है।
चूंकि प्रकाश संकेत पूर्ण आंतरिक परावर्तन के कारण फाइबर के भीतर ही रहते हैं,इसलिए वे विद्युत चुम्बकीय हस्तक्षेप से मुक्त होते हैं,जो तांबे के तारों की तुलना में एक महत्वपूर्ण लाभ है।
इसलिए,कथन और कारण दोनों सत्य हैं,और कारण सही ढंग से बताता है कि ऑप्टिकल फाइबर का व्यापक रूप से उपयोग क्यों किया जाता है।

(B) माना प्रिज्म का कोण $A$ है। चूंकि किरण सतह $AB$ पर लंबवत आपतित होती है,यह बिना किसी विचलन के प्रिज्म में प्रवेश करती है।
चांदी की पॉलिश वाली सतह $AC$ पर,आपतन कोण $i_1$ प्रिज्म के कोण $A$ के बराबर होता है।
परावर्तन के नियम के अनुसार,परावर्तन कोण भी $i_1 = A$ होगा।
किरण और सतहों द्वारा बने त्रिभुज में,सतह $AB$ पर कोण $90^{\circ} - A$ है। अतः,सतह $AB$ पर दूसरे परावर्तन के समय आपतन कोण $i_2 = 90^{\circ} - (90^{\circ} - 2A) = 2A$ होता है।
अंत में,किरण आधार $BC$ से लंबवत बाहर निकलती है।
ज्यामितीय संरचना से,प्रिज्म के अंदर किरण द्वारा बने त्रिभुज के कोणों का योग $A + 2A + 2A = 180^{\circ}$ होता है।
$5A = 180^{\circ} \implies A = 36^{\circ}$.

(B) प्रिज्म के अपवर्तक कोण $A$ और न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m$ के पदों में प्रिज्म के अपवर्तनांक $\mu$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\mu = \frac{\sin((A + \delta_m) / 2)}{\sin(A / 2)}$
दिया गया है कि $\mu = \cot(A / 2) = \frac{\cos(A / 2)}{\sin(A / 2)}$,इस मान को सूत्र में रखने पर:
$\frac{\cos(A / 2)}{\sin(A / 2)} = \frac{\sin((A + \delta_m) / 2)}{\sin(A / 2)}$
दोनों पक्षों से $\sin(A / 2)$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\cos(A / 2) = \sin((A + \delta_m) / 2)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos \theta = \sin(\pi/2 - \theta)$ का उपयोग करने पर:
$\sin(\pi/2 - A/2) = \sin((A + \delta_m) / 2)$
कोणों की तुलना करने पर:
$\pi/2 - A/2 = (A + \delta_m) / 2$
$2$ से गुणा करने पर:
$\pi - A = A + \delta_m$
$\delta_m = \pi - 2A$

(C) $1$. उत्सर्जक (emitter) को संग्राहक (collector) की तुलना में भारी रूप से डोप किया जाता है ताकि आवेश वाहकों की बड़ी संख्या प्रदान की जा सके। यह कथन सही है।
$2$. उत्सर्जक और संग्राहक को आपस में नहीं बदला जा सकता क्योंकि उनके डोपिंग स्तर और भौतिक आयाम अलग-अलग होते हैं। यह कथन गलत है।
$3$. आधार (base) क्षेत्र बहुत पतला और हल्का डोप किया हुआ होता है ताकि उत्सर्जक से अधिकांश आवेश वाहक संग्राहक तक पहुँच सकें। यह कथन गलत है।
$4$. $n-p-n$ ट्रांजिस्टर में,पारंपरिक धारा आधार से उत्सर्जक की ओर बहती है। यह कथन सही है।
अतः,कथन $1$ और $4$ सही हैं।

(A) कथन $A$ सत्य है: फ्रेनेल विवर्तन में,प्रकाश का स्रोत और पर्दा विवर्तन करने वाले छिद्र या अवरोध से सीमित दूरी पर होते हैं। यह फ्रौनहोफर विवर्तन के विपरीत है,जहाँ दोनों अनंत दूरी पर होते हैं।
कथन $B$ सत्य है: एक्स-रे विवर्तन (विवर्तन का एक रूप) एक मानक तकनीक है जिसका उपयोग $DNA$ जैसे न्यूक्लिक एसिड की हेलिकल संरचना सहित जटिल जैविक अणुओं की आणविक संरचना निर्धारित करने के लिए किया जाता है।
अतः,कथन $A$ और $B$ दोनों सही हैं।