સદિશ $c \cdot (b+c) \times (a+b+c)$ કોના બરાબર છે?

જો $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{c} = r\hat{i} + \hat{j} + (2r - 1)\hat{k}$ એ ત્રણ સદિશો છે કે જેથી $\vec{c}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલને સમાંતર હોય,તો $r$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\vec{v}=\alpha \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$,$\vec{w}=2 \alpha \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$,અને $\vec{u}$ એક એવો સદિશ છે કે જેથી $|\vec{u}|=\alpha > 0$ થાય. જો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}]$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $-\alpha \sqrt{3401}$ હોય,અને $|\vec{u} \cdot \hat{i}|^2=\frac{m}{n}$ જ્યાં $m$ અને $n$ પરસ્પર અવિભાજ્ય પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે,તો $m + n$ ની કિંમત $.........$ થાય.

જો સદિશો $p \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\hat{i}+q \hat{j}+\hat{k}$ અને $\hat{i}+\hat{j}+r \hat{k}$ $(p \neq q \neq r \neq 1)$ સમતલીય હોય,તો $pqr-(p+q+r)$ ની કિંમત શોધો.

જો $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{c} = \lambda\hat{i} + \hat{j} + (2\lambda - 1)\hat{k}$ સમતલીય સદિશો હોય,તો $\lambda = . . . .$

ધારો કે એક સમાંતરફલક (parallelepiped) નું ઘનફળ $1 \text{ cu. unit}$ છે,જેની ધાર $\overrightarrow{u}=\hat{i}+\hat{j}+\lambda \hat{k}$,$\overrightarrow{v}=\hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}$ અને $\overrightarrow{w}=2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ છે. જો $\theta$ એ ધાર $\overrightarrow{u}$ અને $\overrightarrow{w}$ વચ્ચેનો ખૂણો હોય,તો $\cos \theta$ ની કિંમત શું હોઈ શકે?