જો $(\sim p \wedge q) \rightarrow r$ અસત્ય હોય,તો $p, q, r$ ના સત્યતા મૂલ્યો અનુક્રમે શું થાય?

સાબિત કરો કે વિધાન $p:$ 'જો $x$ એ એવી વાસ્તવિક સંખ્યા છે કે જેથી $x^{3}+4x=0$,તો $x$ એ $0$ છે' એ પ્રતિધનાત્મક (contrapositive) ની રીત દ્વારા સત્ય છે.

પ્રતિ-ઉદાહરણ આપીને દર્શાવો કે નીચેનું વિધાન સત્ય નથી.
$q:$ સમીકરણ $x^{2}-1=0$ ને $0$ અને $2$ ની વચ્ચે કોઈ બીજ નથી.

વિધાન $\sim (p \rightarrow q) \Leftrightarrow (\sim p \vee \sim q)$ કયા પ્રકારનું વિધાન છે?

વિધાન-$I$: $(p \wedge \sim q) \wedge (\sim p \wedge q)$ એ તર્કદોષી (contradiction) છે.
વિધાન-$II$: $(p$ $\rightarrow q) \Leftrightarrow (\sim q$ $\rightarrow \sim p)$ એ નિત્યસત્ય (tautology) છે.

નીચેના ત્રણ વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$P: 5$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.
$Q: 7$ એ $192$ નો અવયવ છે.
$R: 5$ અને $7$ નો લ.સા.અ. $35$ છે.
તો,નીચેનામાંથી કયા વિધાનનું સત્યતા મૂલ્ય સત્ય છે?