int_{-pi}^pi frac{2 y(1+sin y)}{1+cos ^2 y} d | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{2 y(1+\sin y)}{1+\cos ^2 y} d y$. સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરો: $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{2 y}{1+\cos ^2 y} d

Vedclass · Accepted Answer

$\pi^2$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{2 y(1+\sin y)}{1+\cos ^2 y} d y$. સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરો: $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{2 y}{1+\cos ^2 y} d y + \int_{-\pi}^\pi \frac{2 y \sin y}{1+\cos ^2 y} d y$. પ્રથમ ભાગ $\int_{-\pi}^\pi \frac{2 y}{1+\cos ^2 y} d y = 0$ છે કારણ કે વિધેય અયુગ્મ છે. બીજા ભાગ માટે,$y \sin y$ એ યુગ્મ વિધેય હોવાથી: $I = 2 \int_0^\pi \frac{2 y \sin y}{1+\cos ^2 y} d y = 4 \int_0^\pi \frac{y \sin y}{1+\cos ^2 y} d y$. ગુણધર્મ $\int_0^a f(y) dy = \int_0^a f(a-y) dy$ નો ઉપયોગ કરતા: $I = 4 \int_0^\pi \frac{(\pi-y) \sin y}{1+\cos ^2 y} d y = 4\pi \int_0^\pi \frac{\sin y}{1+\cos ^2 y} d y - 4 \int_0^\pi \frac{y \sin y}{1+\cos ^2 y} d y$. $I = 4\pi \int_0^\pi \frac{\sin y}{1+\cos ^2 y} d y - I \implies 2I = 4\pi \int_0^\pi \frac{\sin y}{1+\cos ^2 y} d y \implies I = 2\pi \int_0^\pi \frac{\sin y}{1+\cos ^2 y} d y$. ધારો કે $t = \cos y$,તો $dt = -\sin y dy$. જ્યારે $y=0, t=1$; જ્યારે $y=\pi, t=-1$. $I = 2\pi \int_1^{-1} \frac{-dt}{1+t^2} = 2\pi \int_{-1}^1 \frac{dt}{1+t^2} = 2\pi [	an^{-1} t]_{-1}^1$. $I = 2\pi [	an^{-1}(1) - 	an^{-1}(-1)] = 2\pi [\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})] = 2\pi [\frac{\pi}{2}] = \pi^2$.

$\int_{-\pi}^\pi \frac{2 y(1+\sin y)}{1+\cos ^2 y} d y$ નું મૂલ્ય શોધો:

Similar Questions

$\int_0^{\pi / 2} \frac{d x}{1+\tan ^3 x}$ ની કિંમત શોધો:

$\int_2^8 \frac{5^{\sqrt{10-x}}}{5^{\sqrt{x}}+5^{\sqrt{10-x}}} d x$ ની કિંમત શોધો.

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left(\frac{\sin x+\cos x}{\cos x}\right) d x=$

$\int_{0}^{1} \frac{\log (1+x)}{1+x^{2}} d x$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module