$f: R \rightarrow R$ વિધેય ધ્યાનમાં લો જે $f(x)=\frac{2x}{\sqrt{1+9x^2}}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. જો $f$ નું સંયોજન $\underbrace{(f \circ f \circ \ldots \circ f)}_{10 \text{ વખત }}(x) = \frac{2^{10}x}{\sqrt{1+9\alpha x^2}}$ હોય,તો $\sqrt{3\alpha+1}$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો $f(x) = \begin{cases} \sin x, & x \ne n\pi, n \in \mathbb{Z} \\ 2, & \text{અન્યથા} \end{cases}$ અને $g(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \ne 0, 2 \\ 4, & x = 0 \\ 5, & x = 2 \end{cases}$ હોય,તો $\lim_{x \to 0} g(f(x))$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f, g :(1, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ એ $f(x) = \frac{2x+3}{5x+2}$ અને $g(x) = \frac{2-3x}{1-x}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. જો વિધેય $f \circ g : [2, 4] \rightarrow \mathbb{R}$ નો વિસ્તાર $[\alpha, \beta]$ હોય,તો $\frac{1}{\beta-\alpha}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f(x) = ax + b$ અને $g(x) = cx + d$,જ્યાં $a \ne 0$ અને $c \ne 0$. ધારો કે $a = 1$ અને $b = 2$. જો તમામ $x$ માટે $(fog)(x) = (gof)(x)$ હોય,તો તમે $c$ અને $d$ વિશે શું કહી શકો?

ધારો કે $N$ એ તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ છે,અને $Z$ એ તમામ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો ગણ છે. વિધેયો $f: N \rightarrow Z$ અને $g: Z \rightarrow N$ ધ્યાનમાં લો,જે $f(n) = \begin{cases} (n+1)/2 & \text{જો } n \text{ એકી હોય} \\ (4-n)/2 & \text{જો } n \text{ બેકી હોય} \end{cases}$ અને $g(n) = \begin{cases} 3+2n & \text{જો } n \geq 0 \\ -2n & \text{જો } n < 0 \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. $(g \circ f)(n) = g(f(n))$ બધા $n \in N$ માટે,અને $(f \circ g)(n) = f(g(n))$ બધા $n \in Z$ માટે વ્યાખ્યાયિત કરો. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન (વિધાનો) સત્ય છે?

ધારો કે વિધેયો $f: R \rightarrow R$ અને $g: R \rightarrow R$ એ $f(x) = \begin{cases} x+2, & x < 0 \\ x^2, & x \geq 0 \end{cases}$ અને $g(x) = \begin{cases} x^3, & x < 1 \\ 3x-2, & x \geq 1 \end{cases}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. તો,$R$ માં એવા બિંદુઓની સંખ્યા જ્યાં $(f \circ g)(x)$ વિકલનીય નથી,તે કેટલી છે?