$2, 3, 4, 5$ અને $7$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનતી $3$-અંકની સંખ્યાઓ,જેમાં અંકોનું પુનરાવર્તન થતું નથી અને જે $3$ વડે વિભાજ્ય નથી,તેની સંખ્યા .......... છે.

પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે,અસમતા $2^n(n - 1)! < n^n$ ક્યારે સાચી છે?

જો કોઈ $m, n$ માટે,${ }^6 C_{m}+2({ }^6 C_{m+1})+{ }^6 C_{m+2} > { }^8 C_3$ અને ${ }^{n-1} P_3 : { }^n P_4 = 1 : 8$ હોય,તો ${ }^n P_{m+1} + { }^{n+1} C_m$ ની કિંમત શોધો.

એક પુરુષ $X$ ને $7$ મિત્રો છે,જેમાંથી $4$ સ્ત્રીઓ અને $3$ પુરુષો છે. તેની પત્ની $Y$ ને પણ $7$ મિત્રો છે,જેમાંથી $3$ સ્ત્રીઓ અને $4$ પુરુષો છે. ધારો કે $X$ અને $Y$ ના કોઈ સામાન્ય મિત્રો નથી. તો $X$ અને $Y$ સાથે મળીને $3$ સ્ત્રીઓ અને $3$ પુરુષોને પાર્ટીમાં આમંત્રિત કરે,જેથી $X$ અને $Y$ દરેકના $3$ મિત્રો આ પાર્ટીમાં હોય,તેવા કુલ કેટલા પ્રકાર છે:

$1, 2, 3, 5$ અને $7$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાતી સાત-અંકની સંખ્યાઓ,જેમાં દરેક અંકનો ઓછામાં ઓછી એક વાર ઉપયોગ થયો હોય,તેની સંખ્યા કેટલી છે?

$1, 2, 3, ..., 7$ અંકોના પુનરાવર્તન વગરના એવા કેટલા ક્રમચયો છે જેમાં $153$ સ્ટ્રિંગ કે $2467$ સ્ટ્રિંગ ન હોય?