$\sum \limits_{ k =0}^6{ }^{51- k } C _3$ बराबर है -

$52$ पत्तों की दो गड्डियाँ फेंटी जाती हैं। एक व्यक्ति को $26$ पत्ते बांटने के कुल प्रकार कितने होंगे, यदि उसके पास एक ही सूट (suit) तथा एक ही मान  (denomination) के दो पत्ते न आवें

किसी वृत्त पर स्थित $21$ बिंदुओं से होकर जाने वाली कितनी जीवाएँ खींची जा सकती हैं ?

यदि ${a_n} = \sum\limits_{r = 0}^n {} \frac{1}{{^n{C_r}}}$ है, तो $\sum\limits_{r = 0}^n {} \frac{r}{{^n{C_r}}}$ =

चार डिब्बों पर विचार कीजिए, जहाँ प्रत्येक डिब्बे में $3$ लाल गेंदें एवं $2$ नीली गेंदें हैं। मान लीजिए कि सभी $20$ गेंदें भिन्न (distinct) हैं। इन $4$ डिब्बों से $10$ गेंदों को कितने भिन्न तरीके से चयनित किया जा सकता है कि प्रत्येक डिब्बे से कम से कम एक लाल गेंद एवं एक नीली गेंद चयनित हों ?

$^n{C_r}\,{ \div ^n}\,{C_{r - 1}} = $