माना $\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}+\lambda \hat{k}$,$\vec{b}=3 \hat{i}-5 \hat{j}-\lambda \hat{k}$,$\vec{a} \cdot \vec{c}=7$,$2 \vec{b} \cdot \vec{c}+43=0$,और $\vec{a} \times \vec{c}=\vec{b} \times \vec{c}$ है। तो $|\vec{a} \cdot \vec{b}|$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \vec{b}=\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}, \vec{c}=\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}$ और $\vec{d}=-4\hat{i}+5\hat{j}-3\hat{k}$ है। यदि $\vec{d}=x(\vec{b} \times \vec{c})-\frac{7}{9}(\vec{c} \times \vec{a})+z(\vec{a} \times \vec{b})$ है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}+3 \overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$ है,तो $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $\overrightarrow{a}$ एक शून्येतर सदिश है जो मूल बिंदु से गुजरने वाले और क्रमशः $(\hat{i}+\hat{j}, \hat{i}+\hat{k})$ और $(\hat{i}-\hat{j}, \hat{j}-\hat{k})$ सदिशों को समाहित करने वाले दो समतलों के प्रतिच्छेदन रेखा के समानांतर है। यदि $\theta$ सदिश $\vec{a}$ और सदिश $\vec{b}=2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$ के बीच का कोण है और $\vec{a} \cdot \vec{b}=6$ है,तो क्रमित युग्म $(\theta, |\vec{a} \times \vec{b}|)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\bar{a}, \bar{b}$ और $\bar{c}$ तीन इकाई सदिश इस प्रकार हैं कि $\bar{a} \times(\bar{b} \times \bar{c})=\frac{\sqrt{3}}{2}(\bar{b}+\bar{c})$ है। यदि $\bar{b}, \bar{c}$ के समांतर नहीं है,तो $\bar{a}$ और $\bar{b}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\vec \alpha = 3\hat i + \hat j$ और $\vec \beta = 2\hat i - \hat j + 3\hat k.$ यदि $\vec \beta = \vec \beta _1 - \vec \beta _2,$ जहाँ $\vec \beta _1$ सदिश $\vec \alpha$ के समांतर है और $\vec \beta _2$ सदिश $\vec \alpha$ के लंबवत है,तो $\vec \beta _1 \times \vec \beta _2$ का मान क्या होगा?