मान लीजिए PQR एक त्रिभुज है। बिंदु A, B और C | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए शीर्षों $P, Q, R$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$ हैं। सरलता के लिए,$\vec{p} = \vec{0}$ लें।दिया है $\frac{QA}{AR} = \

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$3$

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(B) मान लीजिए शीर्षों $P, Q, R$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$ हैं। सरलता के लिए,$\vec{p} = \vec{0}$ लें।दिया है $\frac{QA}{AR} = \frac{1}{2}$,अतः बिंदु $A$ भुजा $QR$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है। इसलिए,$\vec{a} = \frac{2\vec{q} + 1\vec{r}}{3}$।दिया है $\frac{RB}{BP} = \frac{1}{2}$,अतः बिंदु $B$ भुजा $RP$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है। इसलिए,$\vec{b} = \frac{2\vec{r} + 1\vec{p}}{3} = \frac{2\vec{r}}{3}$।दिया है $\frac{PC}{CQ} = \frac{1}{2}$,अतः बिंदु $C$ भुजा $PQ$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है। इसलिए,$\vec{c} = \frac{2\vec{p} + 1\vec{q}}{3} = \frac{\vec{q}}{3}$।$	riangle PQR$ का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} |\vec{q} 	imes \vec{r}|$ द्वारा दिया जाता है।$	riangle ABC$ का क्षेत्रफल $\Delta' = \frac{1}{2} |(\vec{b} - \vec{a}) 	imes (\vec{c} - \vec{a})|$ द्वारा दिया जाता है।सदिशों की गणना करने पर: $\vec{b} - \vec{a} = \frac{\vec{r} - 2\vec{q}}{3}$ और $\vec{c} - \vec{a} = \frac{-\vec{q} - \vec{r}}{3}$।$\Delta' = \frac{1}{2} |\frac{1}{9} (\vec{r} - 2\vec{q}) 	imes (-\vec{q} - \vec{r})| = \frac{1}{18} |-\vec{r} 	imes \vec{q} + 2\vec{q} 	imes \vec{r}| = \frac{1}{18} |\vec{q} 	imes \vec{r} + 2\vec{q} 	imes \vec{r}| = \frac{1}{6} |\vec{q} 	imes \vec{r}|$।अतः,$\frac{\operatorname{Area}(	riangle PQR)}{\operatorname{Area}(	riangle ABC)} = \frac{\frac{1}{2} |\vec{q} 	imes \vec{r}|}{\frac{1}{6} |\vec{q} 	imes \vec{r}|} = 3$।

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